Cote n° 141 · pages 1–15 · Lecture modernisée · Théorie de Kumer ? + note Alexandre (bi tenseur…) : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1980]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–15

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier n'est pas un argument suivi. Il réunit quatre ensembles de feuillets, qui se distinguent à l'œil — encre, papier, format — autant que par le sujet ; aucun ne porte de titre de la main de Grothendieck.

• Pages 1, 3, 5 : théorie de Kummer. Sur un anneau de valuation discrète, puis sur un schéma quelconque ; stylo bleu, grands caractères.
• Pages 7 et 8 : espace classifiant d'un groupe discret. Deux fiches de petit format, deux théorèmes, la construction de Borel.
• Pages 9 et 10 : cartes et groupes cartographiques. Pages d'esquisses au feutre, formules dispersées et dessins.
• Pages 11 à 15 : \(\pi\)-ensembles et bitorseurs. Papier fin, encre noire ; les pages 11 et 12 sont numérotées ① et ② de sa main. Le seul ensemble qui ait la forme d'une rédaction, avec Proposition et Corollaire.

Ce qui les rapproche est une question plutôt qu'un théorème : un groupe classe les torseurs sous lui, et l'on cherche chaque fois l'objet qui porte cette classification — le groupe \(\varprojlim \mu_n\) de Kummer, l'espace \(B\pi\), le groupe cartographique, la catégorie \(\mathrm{Ens}(\pi)\). Deux liens entre les ensembles sont de cette lecture et non des pages : le groupe \(\pi_1(X, \Gamma, a)\) de la page 14 est le modèle combinatoire du \(\pi_1(X, \pi)\) de la page 8, et l'involution \(\varepsilon\) des pages 11 et 14 est un exemple des extensions par \(\mathbb{Z}/2\) de la page 13, dont la page 15 écrit la condition de cohérence.

Le titre de l'inventaire, « note Alexandre (bi tenseur…) », n'est éclairé par aucune page ; « bitorseur », le mot des pages 12 à 15, en est une lecture vraisemblable, rien de plus.

Conventions, valables pour tout le dossier. Les groupes agissent à gauche sauf mention contraire ; \(\mathrm{Ens}(\pi)\) est la catégorie des \(\pi\)-ensembles à gauche. Un \((\pi', \pi)\)-ensemble \({}_{\pi'}X_{\pi}\) porte une action de \(\pi'\) à gauche et une action de \(\pi\) à droite qui commutent ; le produit contracté \(X \times_{\pi} E\) d'un \(\pi\)-ensemble à droite \(X\) et d'un \(\pi\)-ensemble à gauche \(E\) est le quotient de \(X \times E\) par \((x\lambda, e) \sim (x, \lambda e)\). Un \((\pi', \pi)\)-bitorseur est un \((\pi', \pi)\)-ensemble sur lequel chacune des deux actions est libre et transitive ; \(\mathrm{Bit}(\pi', \pi)\) désigne le groupoïde qu'ils forment. On note \(\mathrm{Int}(\pi)\) les automorphismes intérieurs, \(\mathrm{Isomext}(\pi', \pi) = \mathrm{Isom}(\pi', \pi)/\mathrm{Int}(\pi)\) et \(\mathrm{Out}(\pi) = \mathrm{Isomext}(\pi, \pi)\). Pour un espace \(X\), \(H^1(X, \pi)\) est l'ensemble des classes d'isomorphisme de revêtements principaux de groupe \(\pi\).

1–5

Théorie de Kummer (pages 1, 3 et 5)

1–1

Le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète

Soit \(V\) un anneau de valuation discrète complet¹ , de corps résiduel \(k\) et de corps des fractions \(K\) ; soit \(\varpi\) une uniformisante et \(\overline{K}\) une clôture algébrique de \(K\).

Cas où \(k\) est algébriquement clos de caractéristique \(0\). Alors \[ K^{*}/K^{*n} \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \qquad x \longmapsto v(x) \bmod n, \] où \(v\) est la valuation. En effet \(K^{*} = \varpi^{\mathbb{Z}} \times V^{*}\), et tout élément de \(V^{*}\) est une puissance \(n\)-ième : sa réduction dans \(k^{*}\) en est une, \(k\) étant algébriquement clos, et l'on relève la racine par le lemme de Hensel, puisque \(n\) est inversible dans \(k\)² . Le même argument montre que \(K\) contient les racines \(n\)-ièmes de l'unité, et \(\mu_n(K) = \mu_n(k)\). La théorie de Kummer identifie alors les extensions abéliennes d'exposant divisant \(n\) aux sous-groupes de \(K^{*}/K^{*n}\) : il y en a une seule de degré \(n\), \(K(\varpi^{1/n})\), et elle est cyclique. Comme toute extension finie de \(K\) est totalement et modérément ramifiée — le corps résiduel est algébriquement clos et de caractéristique nulle —, elle est de cette forme : toutes les extensions finies de \(K\) sont cycliques, donc kummériennes³ .

Le groupe de Galois absolu se décrit alors canoniquement : \[ \mathrm{Gal}(\overline{K}/K) \xrightarrow{\ \sim\ } T(k) := \varprojlim_n \mu_n(k), \qquad \sigma \longmapsto \bigl(\sigma(\varpi^{1/n})/\varpi^{1/n}\bigr)_n , \] et \(T(k)\), le « module de Tate » du groupe multiplicatif de \(k\), est isomorphe à \(\widehat{\mathbb{Z}}\), mais non canoniquement⁴ .

Cas où \(k\) est de caractéristique \(p > 0\). On ne suppose plus \(V\) complet, mais seulement hensélien⁵ . Les extensions de degré premier à \(p\) du même type donnent le quotient modéré, et l'on a une suite exacte \[ 1 \to \varprojlim_{(n, p) = 1} \mu_n(\overline{K}) \longrightarrow \pi_1^{t}(K) \longrightarrow \pi_1(k) \to 1, \qquad \pi_1(k) = \pi_1(\mathrm{Spec}\, V), \] où \(\pi_1^{t}(K)\) est le groupe de Galois de l'extension modérément ramifiée maximale, \(\pi_1(k) = \mathrm{Gal}(k^{s}/k)\), et le noyau est l'inertie modérée, isomorphe à \(\prod_{\ell \neq p} \mathbb{Z}_\ell(1)\)⁶ .

3–5

Sur un schéma quelconque : la suite de Kummer

Soit \(S\) un schéma et \(n\) un entier inversible sur \(S\). Toute unité \(a \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S^{*})\) définit un revêtement \[ S_a = \mathrm{Spec}\bigl(\mathcal{O}_S[T]/(T^n - a)\bigr) \longrightarrow S, \] étale, torseur sous \(\mu_n\) qui agit par \(T \mapsto \zeta T\) ; sur un ouvert affine \(\mathrm{Spec}\, A\), c'est \(A[T]/(T^n - a)\). Si \(S\) est connexe et si \(\mu_n\) y est constant, un tel torseur, pointé au-dessus d'un point géométrique \(\bar{s}\), équivaut à un homomorphisme \(\pi_1(S, \bar{s}) \to \mu_n(S)\) — le caractère de Kummer de \(a\) ; une famille compatible de racines de \(a\) donne une flèche \(\pi_1(S, \bar{s}) \to \varprojlim_n \mu_n(S)\), qui généralise celle de la page 1, où \(a = \varpi\)⁷ .

Le classement de tous ces torseurs est la suite exacte longue associée à la suite de Kummer \(1 \to \mu_n \to \mathbb{G}_m \xrightarrow{\,n\,} \mathbb{G}_m \to 1\), exacte pour la topologie étale quand \(n\) est inversible sur \(S\), et pour la topologie fppf en général⁸ : \[ 0 \to \mu_n(S) \to \mathbb{G}_m(S) \xrightarrow{\,n\,} \mathbb{G}_m(S) \xrightarrow{\ \partial\ } H^1(S, \mu_n) \to \mathrm{Pic}(S) \xrightarrow{\,\otimes n\,} \mathrm{Pic}(S), \] en utilisant \(H^0(S, \mathbb{G}_m) = \mathbb{G}_m(S)\) et \(H^1(S, \mathbb{G}_m) = \mathrm{Pic}(S)\)⁹ . Le cobord \(\partial\) est \(a \mapsto [S_a]\), et \(H^1(S, \mu_n) \to \mathrm{Pic}(S)\) envoie un \(\mu_n\)-torseur sur le fibré en droites qu'il induit par \(\mu_n \subset \mathbb{G}_m\), dont la puissance \(n\)-ième est trivialisée. D'où la suite exacte courte de la page : \[ 0 \to \mathbb{G}_m(S)/\mathbb{G}_m(S)^{n} \longrightarrow H^1(S, \mu_n) \longrightarrow {}_{n}\mathrm{Pic}(S) \to 0, \] où \({}_{n}\mathrm{Pic}(S)\) est le sous-groupe de \(n\)-torsion¹⁰ : un \(\mu_n\)-torseur est donné par une unité, à puissance \(n\)-ième près, dès que le fibré en droites qu'il définit est trivial.

7–8

Espace classifiant d'un groupe discret (pages 7 et 8)

Soit \(\pi\) un groupe discret et \(E \to B\) un revêtement principal de groupe \(\pi\). Pour tout espace \(X\) — disons un CW-complexe¹¹ — on dispose de l'application, fonctorielle en \(X\), \[ h_X : [X, B] \longrightarrow H^1(X, \pi), \qquad f \longmapsto [f^{*}E], \] où \([X, B]\) désigne les classes d'homotopie d'applications¹² .

Théorème 1. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(h\) est un isomorphisme de foncteurs, i.e. \(h_X\) est bijectif pour tout \(X\) ;
2. \(E\) est faiblement contractile¹³ .

On dit alors que \((E, B, \pi)\) est un revêtement universel de groupe \(\pi\), et que \(B\) est un espace classifiant pour \(\pi\).

L'équivalence tient à ceci. Appliquée à un point, la condition 1 dit que \(B\) est connexe ; appliquée aux sphères \(S^k\), \(k \geq 2\), pour lesquelles \(H^1(S^k, \pi)\) est réduit à un point, elle dit que \(\pi_k(B) = 0\) ; appliquée à \(S^1\) et à \(B\) lui-même, que \(E\) est connexe et que \(\pi_1(B) \simeq \pi\). Donc \(E\) est le revêtement universel d'un espace \(B\) dont tous les groupes d'homotopie supérieurs sont nuls : c'est la condition 2. La réciproque est la théorie de l'obstruction. En termes d'aujourd'hui, \(B\) est un espace d'Eilenberg–MacLane \(K(\pi, 1)\), et \(H^1(X, \pi) \simeq \mathrm{Hom}(\pi_1(X), \pi)/\text{conjugaison}\) pour \(X\) connexe¹⁴ .

Théorème 2. Pour tout groupe discret \(\pi\), il existe un revêtement universel de groupe \(\pi\), et le couple formé de l'espace classifiant \(B_\pi\) et de la classe de \(E_\pi\) est défini à isomorphisme unique près dans la catégorie homotopique¹⁵ .

La construction de Borel. Soit \(X\) un espace sur lequel \(\pi\) agit¹⁶ . On pose \[ X_{h\pi} = E_\pi \times_\pi X = (E_\pi \times X)/\pi , \] qui se projette sur \(B_\pi = E_\pi/\pi\) et sur \(X/\pi\)¹⁷ . La première projection est un fibré de fibre \(X\) ; la seconde est une équivalence d'homotopie quand l'action est libre et proprement discontinue et \(X\) paracompact, \(E_\pi\) étant contractile. La suite exacte d'homotopie de la fibration \(X \to X_{h\pi} \to B_\pi\) donne, puisque \(\pi_2(B_\pi) = 0\) : \[ 0 = \pi_2(B_\pi) \to \pi_1(X) \longrightarrow \pi_1(X, \pi) \longrightarrow \pi \longrightarrow \pi_0(X), \] où \(\pi_1(X, \pi) := \pi_1(X_{h\pi})\), et le dernier terme est un ensemble pointé. Si \(X\) est connexe — la page écrit \(\pi_0(X) = 1\) —, c'est une extension \[ 1 \to \pi_1(X) \to \pi_1(X, \pi) \to \pi \to 1 , \] celle qu'on appelle aujourd'hui le groupe fondamental équivariant, ou le groupe fondamental orbifolde quand l'action est propre. La page 14 en donnera, sans le dire, une description combinatoire.

9–10

Cartes et groupes cartographiques (pages 9 et 10)

Ces deux pages sont des esquisses : formules dispersées, flèches et dessins. On en tire ce qui s'énonce, sans prétendre restituer un ordre qu'elles n'ont pas.

9–9

Le groupe cartographique et les cartes de type \((p, q)\)

Une carte est un graphe \(K\) tracé sur une surface \(X\), découpant la surface en faces ; les pages l'écrivent \(X \supset K \supset S\), surface, graphe, ensemble des sommets. Un drapeau est un triplet (sommet, arête, face) incidents ; le groupe \[ \Gamma = \langle \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 \mid \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = (\sigma_0\sigma_2)^2 = 1 \rangle \] agit sur les drapeaux, \(\sigma_i\) changeant la seule composante de dimension \(i\). Une carte connexe pointée par un drapeau \(\tilde{x}\) — au sens large, surfaces à bord, non orientables et cartes infinies comprises — équivaut à un sous-groupe \(\pi \subset \Gamma\), le stabilisateur de \(\tilde{x}\) ; une carte connexe non pointée, à une classe de conjugaison de sous-groupes ; et le groupe des automorphismes de la carte est \(\mathrm{Norm}(\pi)/\pi\). La catégorie des cartes s'identifie ainsi à celle des \(\Gamma\)-ensembles, et le revêtement universel \(\widetilde{X} \supset \widetilde{K} \supset \widetilde{S}\) en est l'objet correspondant à \(\pi = 1\)¹⁸ .

Les éléments pairs de \(\Gamma\) forment le groupe cartographique orienté \(\Gamma^{0}\), qui agit sur les cartes orientées ; il est engendré par les deux rotations \(\sigma_1\sigma_2\) (autour d'un sommet) et \(\sigma_0\sigma_1\) (autour d'une face) et par le retournement d'arête \(\sigma_2\sigma_0\), d'ordre \(2\), dont le produit est trivial ; d'où \(\Gamma^{0} \simeq \mathbb{Z} * \mathbb{Z}/2\).

Pour \(p, q \in \{1, 2, \ldots, \infty\}\), le groupe \(\Gamma_{p,q}\) s'obtient en imposant la relation \(\rho^{p} = 1\) à l'une des deux rotations et \(\rho'^{\,q} = 1\) à l'autre (\(p\) ou \(q\) infini : pas de relation) ; ses ensembles à action forment la catégorie \(C_{p,q}\) des cartes dont les sommets, respectivement les faces, sont de valence divisant ces entiers¹⁹ . En particulier \(\Gamma_{\infty,\infty} = \Gamma\), qui se surjecte sur tous les autres : \(\Gamma_{\infty,\infty} \to \Gamma_{\infty,3}\), \(\Gamma_{\infty,\infty} \to \Gamma_{p,q}\).

Divisibilité. Si \(p' \mid p\) et \(q' \mid q\), on a une surjection \(\Gamma_{p,q} \to \Gamma_{p',q'}\), de noyau le sous-groupe distingué \(R\) engendré par les relations supplémentaires. Un \(\Gamma_{p',q'}\)-ensemble est un \(\Gamma_{p,q}\)-ensemble sur lequel \(R\) agit trivialement : \(C_{p',q'}\) est une sous-catégorie pleine de \(C_{p,q}\), et le foncteur \(C_{p,q} \to C_{p',q'}\), \(E \mapsto E/R\), en est l'adjoint à gauche²⁰ . Les cas extrêmes \(C_{1,1}\), \(C_{1,2}\), \(C_{2,1}\) figurent en bas de page.

Triangulations et groupe modulaire. Quand l'une des rotations est d'ordre \(3\) et l'autre libre, le groupe orienté est \[ \Gamma^{0}_{\infty,3} \simeq \mathbb{Z}/2 * \mathbb{Z}/3 \simeq PSL(2, \mathbb{Z}) = SL(2, \mathbb{Z})/\{\pm 1\}, \] et le groupe entier \(\Gamma_{\infty,3}\) est le groupe modulaire étendu \(PGL(2, \mathbb{Z})\), groupe de réflexions du triangle hyperbolique d'angles \(\pi/2\), \(\pi/3\), \(0\). La réduction modulo \(2\) donne une suite exacte \[ 1 \to \Gamma(2)/\{\pm 1\} \longrightarrow PSL(2, \mathbb{Z}) \longrightarrow SL(2, \mathbb{F}_2) \simeq \mathfrak{S}_3 \to 1, \] dont le noyau est libre de rang \(2\) et s'identifie au groupe fondamental de la sphère privée de trois points²¹ . La page le rattache à la géométrie : un réseau de \(\mathbb{C}\) de base \((\omega_1, \omega_2)\) avec \(\mathrm{Im}(\omega_2/\omega_1) > 0\), le module \(\tau = \omega_2/\omega_1\), et, dessinée à côté, la droite des modules — une sphère marquée de deux points exceptionnels et d'une pointe —, dont \(PSL(2, \mathbb{Z})\) est le groupe fondamental au sens des orbifoldes²² .

10–10

Cartes trouées

La page 10 esquisse une définition topologique des cartes. Une carte trouée est un couple \((X \supset K)\) formé d'une surface topologique \(X\) et d'une partie fermée \(K\) de dimension \(1\)²³ , tel que les composantes de \(\text{Déc}(X, K)\) — la surface découpée le long de \(K\) — soient homéomorphes à des faces standard \(D_n^{*}\), \(1 \leq n \leq \infty\).

La face standard se construit à partir d'un polygone : soit \(\Pi_n\) le polygone convexe régulier à \(n\) côtés, \(\Pi_n = (S_n, A_n, F_n)\) ses sommets, arêtes et face²⁴ , et \(|\Pi_n|\) son bord, qui contient \(S_n\). Alors \(|\Pi_n| \times \left]0,1\right]\) est un disque fermé privé de son centre — le cône sur le bord, sommet ôté —, et \[ D_n^{*} = |\Pi_n| \times \left]0,1\right] \smallsetminus S_n , \] les sommets étant retirés du bord²⁵ . Les faces d'une carte trouée sont donc épointées en leur centre : les composantes de \(\text{Déc}(X, K)\) ne sont pas compactes, même pour une carte finie. Les dessins de la page — une face circulaire tournée de \(\pm 2\pi/n\), une carte pentagonale aux sommets cerclés et arêtes pendantes, les générateurs \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2\) — restent sans texte.

11–15

\(\pi\)-ensembles et bitorseurs (pages 11 à 15)

11–11

Deux rappels : indice des sous-groupes libres, sphère privée de trois points

Si \(L\) est un groupe libre de rang \(d\) et \(L' \subset L\) un sous-groupe d'indice \(n\), alors \(L'\) est libre de rang \(d'\) avec \[ d' - 1 = n(d - 1) \] (formule de Schreier ; par exemple \(d = 2\), \(n = 2\) donne \(d' = 3\)). Topologiquement : si \(L = \pi_1(X)\) pour un bouquet \(X\) de \(d\) cercles, \(L'\) est le groupe fondamental d'un revêtement \(X'\) à \(n\) feuillets, et la caractéristique d'Euler, \(\chi(X) = 1 - d\), est multipliée par \(n\).

La sphère privée des trois points \(0, 1, \infty\) a pour groupe fondamental \(\pi^{+} = \langle \rho_0, \rho_1, \rho_\infty \mid \rho_\infty \rho_1 \rho_0 = 1 \rangle\), libre de rang \(2\). La conjugaison complexe, qui fixe l'axe réel et donc les trois points, y induit l'automorphisme involutif \[ \rho_0 \mapsto \rho_0^{-1}, \qquad \rho_\infty \mapsto \rho_\infty^{-1}, \qquad \rho_1 \mapsto \rho_\infty \rho_0 = \rho_0^{-1}\,\rho_1^{-1}\,\rho_0 , \] défini sur les générateurs libres \(\rho_0, \rho_\infty\)²⁶ . On le retrouvera page 14.

11–12

Foncteurs sur les \(\pi\)-ensembles qui commutent aux limites inductives

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie cocomplète²⁷ . On a une équivalence entre

• les foncteurs \(F : \mathrm{Ens}(\pi) \to \mathcal{C}\) qui commutent aux limites inductives,
• les objets \(X\) de \(\mathcal{C}\) munis d'une action à droite de \(\pi\),

donnée par \(F \mapsto F(\pi_s)\), où \(\pi_s\) est \(\pi\) agissant sur lui-même à gauche, et dont l'action de \(\pi\) à droite par translations fait de \(F(\pi_s)\) un \(\pi\)-objet à droite ; en sens inverse, \(X \mapsto F_X\) avec \[ F_X(E) = X \times_\pi E, \qquad \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X \times_\pi E, Y) \simeq \mathrm{Hom}_\pi\bigl(E, \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)\bigr). \] La formule d'adjonction dit que \(F_X\) a un adjoint à droite, donc commute aux limites inductives ; qu'on retrouve ainsi tout \(F\) vient de ce que tout \(\pi\)-ensemble est somme d'orbites, \[ E \simeq \coprod_{i \in I} \pi/H_i, \qquad X \times_\pi E \simeq \coprod_{i} X \times_\pi (\pi/H_i) = \coprod_i X/H_i , \] où \(X/H_i\) est le quotient dans \(\mathcal{C}\). En termes d'aujourd'hui, \(\mathrm{Ens}(\pi)\) est la catégorie des préfaisceaux sur le groupe vu comme catégorie à un objet, sa complétion par limites inductives libre, et \(F_X\) est l'extension de Kan à gauche de \(X\)²⁸ .

Exemple : \(\mathcal{C} = \mathrm{Ens}(\pi')\). Un \(\pi'\)-ensemble muni d'une action à droite de \(\pi\) est un \((\pi', \pi)\)-ensemble, et l'on obtient une équivalence \[ \mathrm{Hom}_{!}\bigl(\mathrm{Ens}(\pi), \mathrm{Ens}(\pi')\bigr) \simeq {}_{\pi'}\mathrm{Ens}_{\pi}, \qquad F_X \longleftrightarrow {}_{\pi'}X_{\pi}, \] où \(\mathrm{Hom}_{!}\) désigne les foncteurs qui commutent aux limites inductives²⁹ . Un \((\pi', \pi)\)-ensemble est un foncteur \(B\pi' \times (B\pi)^{\mathrm{op}} \to \mathrm{Ens}\), où \(B\pi\) désigne le groupe vu comme catégorie à un objet : c'est un profoncteur de \(B\pi\) vers \(B\pi'\), et la composition des profoncteurs est le produit contracté (page 15).

Proposition. Pour que \(F_X\) soit exact à gauche, il faut et il suffit que \(X\) soit un \(\pi\)-torseur à droite, i.e. que l'action à droite de \(\pi\) sur \(X\) soit libre et transitive.

En effet, \(F_X\) doit préserver l'objet final, donc \(X/\pi\) est un point : \(X \simeq H\backslash\pi\) pour un sous-groupe \(H\), et alors \(F_X(E) = H\backslash E\), l'ensemble des orbites de \(H\). Il doit aussi préserver les produits ; or dans \(H\backslash(\pi_s \times \pi_s)\), les classes de \((1, 1)\) et de \((1, h)\), \(h \in H\), ont même image dans \(H\backslash\pi \times H\backslash\pi\) et ne sont égales que si \(h = 1\) : donc \(H = 1\). Réciproquement, si \(X\) est un torseur, le choix d'un point identifie \(F_X(E)\) à \(E\) lui-même, et \(F_X\) préserve les limites, qui se calculent sur les ensembles sous-jacents³⁰ .

Pour un \(\pi\)-torseur à droite \(X\), on note \[ {}^{X}\pi := X \times_\pi \pi_{\mathrm{int}} = \mathrm{Aut}_\pi(X), \] la forme tordue de \(\pi\) par \(X\), où \(\pi_{\mathrm{int}}\) est \(\pi\) agissant sur lui-même par conjugaison ; le choix d'un point \(x \in X\) l'identifie à \(\pi\), et deux choix diffèrent d'un automorphisme intérieur. Une structure de \((\pi', \pi)\)-ensemble sur \(X\) est alors un homomorphisme \(\pi' \to \mathrm{Aut}_\pi(X)\).

Corollaire. Pour que \(F_X\) soit une équivalence, il faut et il suffit que \(\pi' \to \mathrm{Aut}_\pi(X)\) soit un isomorphisme, i.e. que \(X\) soit un \((\pi', \pi)\)-bitorseur. D'où une équivalence de groupoïdes \[ \text{Équiv}\bigl(\mathrm{Ens}(\pi), \mathrm{Ens}(\pi')\bigr) \simeq \mathrm{Bit}(\pi', \pi), \] qui envoie un quasi-inverse \(u^{[-1]}\) sur le bitorseur opposé \(X^{-1}\) — le même ensemble, \(\pi\) agissant à gauche et \(\pi'\) à droite par les inverses³¹ .

13–13

Bitorseurs involutifs et extensions par \(\mathbb{Z}/2\)

Un \((\pi, \pi)\)-bitorseur \(X\) est trivial — isomorphe au bitorseur \(\pi\) — si et seulement s'il contient un élément \(e\) tel que \(\lambda e = e \lambda\) pour tout \(\lambda \in \pi\). Un bitorseur involutif est un \((\pi, \pi)\)-bitorseur \(X\) muni d'un isomorphisme \(\mu : X \times_\pi X \xrightarrow{\sim} \pi\), associatif au sens où les deux isomorphismes \(X \times_\pi X \times_\pi X \to X\) qu'il induit coïncident³² . La page affirme des équivalences de groupoïdes \[ \mathrm{Bit.invol}(\pi) \simeq \mathrm{Invol}\bigl(\mathrm{Ens}(\pi)\bigr) \simeq \mathrm{Ext}(\mathbb{Z}/2, \pi). \] La première est le Corollaire des pages 11 et 12, appliqué à \(\pi' = \pi\) et complété par \(\mu\) : une involution de \(\mathrm{Ens}(\pi)\) est un foncteur \(F\) avec \(\mu : F^2 \xrightarrow{\sim} \mathrm{id}\) et \(F\mu = \mu F\) (page 15). La seconde associe à une extension \(1 \to \pi \to \widetilde{\pi} \xrightarrow{p} \mathbb{Z}/2 \to 1\) la classe non neutre \(X = p^{-1}(1)\), qui est un \((\pi, \pi)\)-bitorseur par multiplication à gauche et à droite, et que la multiplication de \(\widetilde{\pi}\) munit de \(\mu : X \times_\pi X \to \pi\) ; inversement \(\widetilde{\pi} = \pi \sqcup X\), la loi étant donnée par les actions et par \(\mu\)³³ .

Le groupe d'un polygone idéal. Soit \(I\) un ensemble fini à \(n \geq 3\) éléments, qu'on pense comme les côtés d'un polygone convexe³⁴ . Le produit libre \[ \pi_I = (\mathbb{Z}/2)^{*I} \] est le groupe engendré par les réflexions par rapport aux côtés d'un polygone hyperbolique idéal à \(n\) côtés — deux côtés adjacents se rencontrant à l'infini, aucune relation ne lie leurs réflexions. Le morphisme \(\pi_I \to \mathbb{Z}/2\) qui envoie chaque générateur sur \(1\) a pour noyau le sous-groupe des déplacements, et \[ 1 \to \pi_I^{+} \to \pi_I \to \mathbb{Z}/2 \to 1, \qquad \pi_I^{+} \simeq L_I/(\lambda_0 \lambda_1 \cdots \lambda_{n-1}), \] groupe libre de rang \(n - 1\), groupe fondamental de la sphère privée de \(n\) points — le polygone doublé le long de son bord³⁵ . C'est un exemple de l'extension par \(\mathbb{Z}/2\) qu'on vient de décrire : la réflexion par rapport à un côté est un élément de la classe non neutre.

14–14

L'involution sur un groupoïde fondamental, et le groupe \(\pi_1(X, \Gamma, a)\)

Pour \(n = 4\), la page prend, semble-t-il, la sphère de Riemann privée de quatre points de l'axe réel, \(\pi\) engendré par les lacets \(\lambda_0, \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) avec \(\lambda_3\lambda_2\lambda_1\lambda_0 = 1\)³⁶ , et l'involution \(\varepsilon\) induite par la conjugaison complexe : \[ \varepsilon^2 = 1, \qquad \varepsilon\lambda_0\varepsilon^{-1} = \lambda_0^{-1}, \qquad \varepsilon\lambda_1\varepsilon^{-1} = \lambda_1^{-1}, \] et note à côté \(\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1}\lambda_1\), vraisemblablement l'image de \(\lambda_2\), conjuguée de \(\lambda_2^{-1}\) comme page 11³⁷ . La difficulté que la page affronte est que la conjugaison ne fixe pas le point base : elle échange \(i\) et \(-i\). On travaille donc dans le groupoïde fondamental, où \(\mathrm{Hom}(i, i)\) et \(\mathrm{Hom}(-i, i)\) sont respectivement un groupe et un torseur sous \(\pi\), et l'automorphisme de \(\pi\) s'obtient en transportant par un chemin : \(\lambda \mapsto \varepsilon \circ \bar\lambda \circ \varepsilon^{-1}\), où \(\bar\lambda\) est le lacet conjugué, pointé en \(-i\)³⁸ .

La seconde moitié de la page généralise. Soit \(\Gamma\) un groupe agissant sur un espace \(X\) et \(a \in X\). On pose \[ \pi_1(X, \Gamma, a) = \{(\gamma, \ell) \mid \gamma \in \Gamma, \ \ell \in \mathrm{Hom}(\gamma a, a)\}, \] les \(\ell\) étant des classes de chemins, avec la loi \[ (\gamma', \ell')(\gamma, \ell) = \bigl(\gamma'\gamma, \ \ell' \circ \gamma'(\ell)\bigr) : \quad \gamma'\gamma a \xrightarrow{\ \gamma'(\ell)\ } \gamma' a \xrightarrow{\ \ell'\ } a . \] La page écrit la loi plus généralement pour des chemins \(\ell : \gamma a \to b\) et \(\ell' : \gamma' b \to c\), ce qui en fait la composition d'un groupoïde³⁹ . La projection \((\gamma, \ell) \mapsto \gamma\) est un morphisme vers \(\Gamma\), de noyau \(\pi_1(X, a)\), et l'image est formée des \(\gamma\) qui ne changent pas la composante connexe par arcs de \(a\). C'est exactement l'extension \(1 \to \pi_1(X) \to \pi_1(X, \pi) \to \pi\) de la page 8 : quand \(\Gamma = \pi\) est discret et \(X\) assez régulier, \(\pi_1(X, \Gamma, a) \simeq \pi_1(E_\pi \times_\pi X)\)⁴⁰ .

15–15

Composition et classement des bitorseurs

Le produit contracté compose les foncteurs : pour \({}_{\pi'}X_{\pi}\) et \({}_{\pi''}Y_{\pi'}\), \[ \mathrm{Ens}(\pi) \xrightarrow{\ F_X\ } \mathrm{Ens}(\pi') \xrightarrow{\ F_Y\ } \mathrm{Ens}(\pi''), \qquad F_Y \circ F_X \simeq F_{Y \times_{\pi'} X} \] — un isomorphisme canonique plutôt qu'une égalité, le produit contracté n'étant associatif qu'à isomorphisme près⁴¹ .

Comment classer les bitorseurs ? Si \({}_{\pi'}X_{\pi}\) est un bitorseur, on a \(\pi' \xrightarrow{\sim} {}^{X}\pi\), et \({}^{X}\pi \simeq \pi\) non canoniquement, mais canoniquement à automorphisme intérieur de \(\pi\) près : \(X\) définit donc un élément de \(\mathrm{Isomext}(\pi', \pi)\)⁴² . On obtient ainsi \[ \pi_0\bigl(\mathrm{Bit}(\pi', \pi)\bigr) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Isomext}(\pi', \pi), \] et le même raisonnement pour les bitorseurs pointés, dont le point fixe l'identification, donne le carré

\begin{tikzcd}
\pi_0\bigl(\mathrm{Bit}_{\mathrm{pt}}(\pi', \pi)\bigr) \arrow[r, "\sim"] \arrow[d] & \mathrm{Isom}(\pi', \pi) \arrow[d] \\
\pi_0\bigl(\mathrm{Bit}(\pi', \pi)\bigr) \arrow[r, "\sim"] & \mathrm{Isomext}(\pi', \pi)
\end{tikzcd}

où les flèches verticales sont surjectives, celle de droite étant le passage au quotient par \(\mathrm{Int}(\pi)\)⁴³ . Le groupoïde \(\mathrm{Bit}(\pi', \pi)\) n'est pas pour autant discret : le groupe des automorphismes d'un bitorseur est le centre \(Z(\pi)\). Pour \(\pi' = \pi\), \(\mathrm{Bit}(\pi, \pi)\) est le \(2\)-groupe \(\mathrm{AUT}(\pi)\), avec \(\pi_0 = \mathrm{Out}(\pi)\) et \(\pi_1 = Z(\pi)\) — c'est le module croisé \(\pi \to \mathrm{Aut}(\pi)\) — et ce qui vient d'être dit est qu'il s'identifie aux auto-équivalences de \(\mathrm{Ens}(\pi)\)⁴⁴ .

Involutions de catégories. La page s'achève sur la définition qu'utilise la page 13 : une involution d'une catégorie est un foncteur \(F\) muni d'un isomorphisme \(\mu : F^2 \xrightarrow{\sim} \mathrm{id}\) tel que \[ F\mu = \mu F : F^3 \longrightarrow F, \] i.e. tel que, pour tout objet \(E\), les deux flèches \(F(\mu_E), \mu_{F(E)} : F(F(F(E))) \to F(E)\) coïncident. C'est exactement la condition pour que \((F, \mu)\) définisse une action du groupe \(\mathbb{Z}/2\) sur la catégorie à isomorphisme cohérent près ; sur \(\mathrm{Ens}(\pi)\), elle correspond à l'associativité de \(\mu\) pour un bitorseur involutif, et donc, par la page 13, à une extension de \(\mathbb{Z}/2\) par \(\pi\).