Cote n° 140-1 · pages 1–36 · Lecture modernisée · "Longue Marche" [brouillon] : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978-à partir de 1982]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–36

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier est fait de feuillets d'encres et de papiers différents ; une suite numérotée de sa main (① à ④, « 4 bis », 5, ⑥, ⑦ aux pages 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19) en forme l'ossature, et les autres feuillets s'y rattachent. Dans l'ordre où on les lira :

• Une page isolée — page 1 : un calcul de matrices \(2 \times 2\), sous le titre « Longue Marche ».
• Les extensions centrales de \(\Pi^{\mathbb{D}}_n\) — pages 3 et 5 : le groupe \(\Pi^{\mathbb{D}}_n = \mathbb{Z}/n * \mathbb{Z}/2\), son sous-groupe libre \(\Pi_n\), et ce que deviennent les générateurs de \(\Pi_n\) dans l'extension centrale \(\tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^2\).
• Le cas \(n = 3\) et ses quotients finis — pages 7, 9 et 14 : \(SL(2, \mathbb{Z})\), \(GL(2, \mathbb{Z})\), le groupe \(\mathbb{D}'_3\) d'ordre \(12\), et des quotients d'ordres \(18\), \(36\), \(72\).
• La normalisation des relèvements — pages 11, 13 et 18 : pour \(n\) impair, l'extension de \(\Pi^{\mathbb{D}}_n\) tirée de son abélianisé admet des générateurs avec \(\tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^2 = \tilde\omega^{\nu}\), et \(\nu\) est calculé.
• Les groupes \(\mathcal{T}_{1,1}\) et \(S\mathcal{T}_{1,1}\) — pages 15, 17 et 19 : \(M_{1,1} \simeq (U_{0,3}, \mathbb{D}'_3)\), \(\mathcal{T}_{1,1} \simeq SL(2, \mathbb{Z})\), et \(S\mathcal{T}_{1,1}\) comme image inverse de \(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\).
• Surfaces à bord — page 20 : la suite exacte qui relie \(S\mathcal{T}\), \(\mathcal{T}\) et les tours de bord, pour une surface quelconque.
• Cartes — pages 16, 29 (moitié inférieure) et 31 : sommets, arêtes, faces, drapeaux ; changement d'orientation ; orbites de \(\rho\).
• Le lemme — pages 22, 24 et 29 (moitié supérieure) : \(H^1(U_{0,3}, \mathfrak{S}_3; \mathbb{G}_m) \simeq \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\), engendré par \(\mathcal{O}(1)\).
• Les champs au-dessus de \(M_{1,1}\) — page 26.
• Le diagramme des extensions — pages 28 et 30 : les quatre groupes finis \(\mathbb{D}_3\), \(\mathbb{D}'_3\), \(\mathbb{D}''_3\), \(\mathbb{D}'''_3\).
• Classes d'extensions, et le caractère du revêtement — pages 32 et 34.
• La réponse — pages 33 et 35 : \(S\mathcal{T}_{1,1} \simeq S\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}\), et la place de \(S\mathcal{T}_{1,1}\) dans l'extension \(S\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}(4)\).

La question posée à la page 19 (« A-t-on bien \(S\mathcal{T}_{11} \simeq S\Pi^{D}_{03}\) ?? ») reçoit sa réponse à la page 33, et la proposition des pages 11 et 13, faite pour \(n\) impair quelconque, est exactement ce qui sert à la page 34 pour \(n = 3\) : c'est le fil qui relie les deux moitiés du dossier. Le bas de la page 17 porte, tête-bêche et barré, un fragment d'une autre rédaction (« 8. Groupes et groupoïdes fondamentaux », sur des \(\Delta\)-complexes normalisés) ; il est sans rapport avec le reste et n'est pas repris ici.

Les conventions

Les groupes \(\Pi^{\mathbb{D}}_n\). Pour \(n \geqslant 2\), \[ \Pi^{\mathbb{D}}_n = \langle \rho, \sigma \mid \rho^n = \sigma^2 = 1 \rangle \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} * \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} , \] et \(\mathbb{D}_n\) désigne son quotient diédral, d'ordre \(2n\), obtenu en imposant \(\sigma\rho\sigma^{-1} = \rho^{-1}\), c'est-à-dire \((\sigma\rho)^2 = 1\). On pose \(\rho_0 = \sigma\rho\sigma^{-1}\rho = (\sigma\rho)^2\) et \(\rho_i = \rho^i \rho_0 \rho^{-i}\), indices pris modulo \(n\). Le noyau \(\Pi_n\) de \(\Pi^{\mathbb{D}}_n \to \mathbb{D}_n\) est un groupe libre de rang \(n - 1\), engendré par \(\rho_0, \dots, \rho_{n-1}\) avec la seule relation \(\rho_{n-1}\rho_{n-2}\cdots\rho_0 = 1\) : c'est le groupe fondamental \(\Pi_{0,n}\) de la sphère privée de \(n\) points.¹ Le cas qui occupe le dossier est \(n = 3\) : \[ \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} := \Pi^{\mathbb{D}}_3, \qquad \mathbb{D}_3 = \mathfrak{S}_3, \qquad \Pi_{0,3} = \Pi_3 , \] le groupe fondamental de \(U_{0,3} = \mathbb{P}^1 - \{0, 1, \infty\}\) et celui de l'orbifold \((U_{0,3}, \mathfrak{S}_3)\), où \(\mathfrak{S}_3\) agit par les six substitutions anharmoniques de la coordonnée. On a \(\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \simeq PSL(2, \mathbb{Z})\), isomorphisme que le dossier utilise sans l'écrire.²

Deux extensions centrales à ne pas confondre. Le dossier donne le même nom \(\widetilde{\Pi}{}^{\mathbb{D}}_n\) à deux groupes distincts. On les sépare :

• \(\widetilde{\Pi}{}^{\mathbb{D}}_n = \langle \tilde\rho, \tilde\sigma \mid \tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^2 \rangle\), extension centrale de \(\Pi^{\mathbb{D}}_n\) par le groupe cyclique infini engendré par \(\tilde\omega_0 = \tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^2\) (pages 3 et 5) ;
• \(S\Pi^{\mathbb{D}}_n = \Pi^{\mathbb{D}}_n \times_{\mathbb{Z}/2n\mathbb{Z}} \mathbb{Z}\), pour \(n\) impair, l'image inverse de l'extension canonique \(0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{2n} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2n\mathbb{Z} \to 0\) par l'abélianisation \(\Pi^{\mathbb{D}}_n \to \mathbb{Z}/2n\mathbb{Z}\) (page 11), avec le générateur \(\tilde\omega\) de son noyau.

La page 11 appelle le second \(\widetilde{\Pi}{}^{D}_n\) ; la page 33 appelle \(S\Pi^{D}_{0,3}\) son cas \(n = 3\), et c'est le nom qu'on retient. Pour \(n = 3\) les deux coïncident ; pour \(n\) impair plus grand, le premier est un sous-groupe d'indice \(|\nu|\) du second (voir les pages 11 à 13).

Les \(\Pi'\). À la page 9, \(\Pi'_{0,3}\) est le sous-groupe d'indice \(3\) de \(\Pi_{0,3}\), noyau du caractère \(\rho_0, \rho_1, \rho_\infty \mapsto 1 \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\). À la page 28, le même symbole désigne \(\Pi_{0,3} \times \{1, \dot\omega\}\), c'est-à-dire le sous-groupe de congruence \(\Gamma(2)\) de \(SL(2, \mathbb{Z})\) ; on l'écrit \(\Gamma(2)\).

Orbifolds et champs. Pour un groupe \(G\) agissant sur un espace \(X\), le dossier note \((X, G)\) ce qu'on appelle aujourd'hui le champ quotient \([X/G]\) ou l'orbifold \(X/\!/G\), et \(\pi_1(X, G; P)\) son groupe fondamental : l'extension de \(G\) par \(\pi_1(X, P)\) formée des couples (élément de \(G\), chemin de \(P\) à son image). Si \(G\) agit à travers un quotient, les éléments du noyau de l'action restent dans le groupe fondamental : c'est ce qui distingue \((U_{0,3}, \mathbb{D}'_3)\) de \((U_{0,3}, \mathbb{D}_3)\).³

Ce que le dossier annonce et n'établit pas

• l'invariance de \(\widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n\) par \(\tilde\sigma\) pour \(n\) quelconque (page 5) ; la page calcule deux cas et s'arrête ; la lecture règle le cas \(n\) impair, et le signale ;
• l'identification du groupe \(\mathcal{E}\) d'ordre \(36\) à un « \(SL'(2, \mathbb{Z}/6\mathbb{Z})\) » dont l'ordre est « à déterminer » (page 9) ;
• la suggestion de la page 19, \(PM_{1,1} \simeq (T^{*}U_{0,3}, \mathfrak{S}'_3)\), ni démontrée ni reprise, et le symbole \(PM_{1,1}\) lui-même, jamais défini ;
• les axiomes des quadruples \((A, \sigma, A', \rho)\) de la page 31, qui renvoient à des pages qui ne sont pas dans ce dossier ;
• l'équivalence \(\mathrm{Pol}_\tau^{\Omega} \simeq \mathrm{Pol}_{\tau/\Omega}\) de la page 16, écrite sans que ses termes soient définis.

1–1

Un calcul matriciel (page 1)

Sous le titre, au crayon, un calcul sur des matrices \(2 \times 2\) qui ne se rattache à rien d'autre du dossier. Soient \[ \alpha = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad \delta_\alpha = \det\alpha, \qquad u = \begin{pmatrix} \mu & \lambda \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \rho = \begin{pmatrix} 0 & v_1 \\ v & w \end{pmatrix}, \] et \(\underline{a} = \alpha^{-1}u\). Pour toute matrice \(2 \times 2\) et tous scalaires \(x, y\), \[ \det(x\rho + y) = x^2 \det\rho + xy\,\mathrm{Tr}\,\rho + y^2 = -v v_1 x^2 + w xy + y^2 , \] ce qui, pour \(v_1 = 1\), \(x = d\), \(y = c\), est l'expression \(-vd^2 + wcd + c^2\) écrite en tête de la page. On calcule \[ \alpha^{-1}u = \frac{1}{\delta_\alpha} \begin{pmatrix} d\mu & d\lambda - b \\ -c\mu & a - c\lambda \end{pmatrix} . \] Si \(\underline{a}\) commute à \(\rho\) et si \(v \neq 0\), alors \(\underline{a}\) est un polynôme en \(\rho\) — le commutant d'une matrice \(2 \times 2\) non scalaire est la sous-algèbre qu'elle engendre —, soit \(\underline{a} = x\rho + y\) ; la première colonne de \(x\rho + y\) étant \((y, xv)\), on identifie \[ \underline{a} = \frac{\mu}{\delta_\alpha}\Bigl(-\frac{c}{v}\,\rho + d\Bigr) , \] qui est la formule encadrée.⁴ Son déterminant se calcule de deux façons : \[ \det \underline{a} = \frac{\mu}{\delta_\alpha} \qquad\text{et}\qquad \det \underline{a} = \Bigl(\frac{\mu}{\delta_\alpha}\Bigr)^{2} \Bigl[-\frac{c^2}{v^2}\,v v_1 - \frac{cd}{v}\,w + d^2\Bigr] , \] la première directement, la seconde par la formule du déterminant ; leur égalité est une relation entre les données.⁵ La page ne dit pas à quoi sert ce calcul.

3–5

Les extensions centrales de \(\Pi^{\mathbb{D}}_n\) (pages 3 et 5)

Les relèvements des \(\rho_i\) (page 3)

Dans \(\widetilde{\Pi}{}^{\mathbb{D}}_n = \langle \tilde\rho, \tilde\sigma \mid \tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^2 \rangle\), l'élément \(\tilde\omega_0 = \tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^2\) commute aux deux générateurs, donc est central, et engendre un sous-groupe cyclique infini : on a une extension centrale \[ 1 \to \mathbb{Z}\tilde\omega_0 \to \widetilde{\Pi}{}^{\mathbb{D}}_n \to \Pi^{\mathbb{D}}_n \to 1 . \] On relève les \(\rho_i\) par \[ \tilde\rho_0 = \tilde\sigma\tilde\rho\tilde\sigma^{-1}\tilde\rho = (\tilde\sigma\tilde\rho)^2\,\tilde\omega_0^{-1}, \qquad \tilde\rho_i = \tilde\rho^{\,i}\,\tilde\rho_0\,\tilde\rho^{-i} , \] la seconde égalité parce que \(\tilde\sigma^{-1} = \tilde\sigma\,\tilde\omega_0^{-1}\). Comme \(\tilde\rho^{\,n}\) est central, \(\tilde\rho_{i+n} = \tilde\rho_i\) : les indices vivent modulo \(n\). Le produit des \(\tilde\rho_i\) se calcule en télescopant : \[ \tilde\rho_{n-1}\tilde\rho_{n-2}\cdots\tilde\rho_0 = \tilde\rho^{\,n-1}(\tilde\rho_0\tilde\rho^{-1})^{n-1}\tilde\rho_0 = \tilde\rho^{\,n}\,(\tilde\rho^{-1}\tilde\rho_0)^n . \] Or \(\tilde\rho^{-1}\tilde\rho_0 = g\,\tilde\rho\,g^{-1}\) avec \(g = \tilde\rho^{-1}\tilde\sigma\), donc \((\tilde\rho^{-1}\tilde\rho_0)^n = g\,\tilde\rho^{\,n}g^{-1} = \tilde\omega_0\), et \[ \boxed{\tilde\rho_{n-1}\tilde\rho_{n-2}\cdots\tilde\rho_0 = \tilde\omega_0^{\,2}} . \] Là où le produit des \(\rho_i\) vaut \(1\) en bas, celui des relèvements vaut \(\tilde\omega_0^2\), non \(\tilde\omega_0\) : c'est le premier des facteurs \(2\) du dossier.

Soit \(\widetilde{\Pi}_n\) l'image inverse de \(\Pi_n\) dans \(\widetilde{\Pi}{}^{\mathbb{D}}_n\).⁶ C'est une extension centrale de \(\Pi_n\) par \(\mathbb{Z}\tilde\omega_0\), présentée par \[ \widetilde{\Pi}_n = \langle \tilde\rho_0, \dots, \tilde\rho_{n-1}, \tilde\omega_0 \mid \tilde\omega_0 \text{ central},\ \tilde\rho_{n-1}\cdots\tilde\rho_0 = \tilde\omega_0^{\,2} \rangle . \] Soit de même \[ \widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n = \langle \tilde\rho_0, \dots, \tilde\rho_{n-1} \mid \varpi = \tilde\rho_{n-1}\cdots\tilde\rho_0 \text{ central} \rangle , \] la condition revenant à demander que les permutations circulaires du produit soient égales. C'est une extension centrale de \(\Pi_n\) par \(\mathbb{Z}\varpi\), et \[ \widetilde{\Pi}_n \simeq \widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n \wedge^{\mathbb{Z}\varpi} \mathbb{Z}\tilde\omega_0, \qquad \varpi \longmapsto \tilde\omega_0^{\,2} , \] la somme amalgamée le long de \(\mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z}\) : \(\widetilde{\Pi}_n\) se déduit de \(\widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n\) en adjoignant une racine carrée centrale de \(\varpi\). En particulier \(\widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n\) est le sous-groupe de \(\widetilde{\Pi}_n\) engendré par les \(\tilde\rho_i\), et il y est d'indice \(2\).⁷

L'action de \(\sigma\) (page 5)

La question de la page est : le sous-groupe \(\widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n\), distingué dans \(\widetilde{\Pi}_n\) et stable par conjugaison par \(\tilde\rho\), l'est-il par \(\tilde\sigma\), donc dans \(\widetilde{\Pi}{}^{\mathbb{D}}_n\) tout entier ? En bas, dans \(\Pi^{\mathbb{D}}_n\), on a \(\sigma\rho\sigma^{-1} = \rho_0\rho^{-1}\), d'où \[ \sigma(\rho_0) = \rho_1, \quad \sigma(\rho_1) = \rho_0, \quad \sigma(\rho_2) = \rho_0\,\rho_{n-1}\,\rho_0^{-1}, \quad \dots, \] \[ \sigma(\rho_i) = (\rho_n\rho_{n-1}\cdots\rho_{n+2-i})\,\rho_{n+1-i}\, (\rho_n\rho_{n-1}\cdots\rho_{n+2-i})^{-1} , \] où \(\sigma(x) = \sigma x \sigma^{-1}\) et les indices sont pris modulo \(n\) ; \(\sigma\) étant une involution, \(\sigma = \sigma^{-1}\) en tant qu'automorphisme intérieur.⁸ Dans l'extension, les mêmes formules valent à un facteur central près : \(\tilde\sigma(\tilde\rho_i) = (\cdots)\,\tilde z_i\) avec \(\tilde z_i = \tilde\omega_0^{\,\nu_i}\). L'abélianisé de \(\widetilde{\Pi}{}^{\mathbb{D}}_n\) contient \(\mathbb{Z}\tilde\omega_0\) et \(\tilde\sigma\) fixe \(\tilde\omega_0^2 = \prod\tilde\rho_i\), d'où \(\sum_i \nu_i = 0\). Comme \(\tilde\omega_0 \notin \widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n\), \[ \widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n \text{ est stable par } \tilde\sigma \iff \nu_i \equiv 0 \pmod 2 \text{ pour tout } i . \] La page calcule les deux premiers : en utilisant \(\tilde\sigma^{\pm 2} = \tilde\omega_0^{\pm1} = \tilde\rho^{\,\pm n}\), \[ \tilde\rho_1^{-1}\,\tilde\sigma(\tilde\rho_0) = \tilde\sigma\tilde\rho^{-1}\tilde\sigma^{-2}\tilde\rho\tilde\sigma = \tilde\omega_0^{-1}\tilde\sigma^{2} = 1, \qquad \tilde\rho_0^{-1}\,\tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_1) = 1 , \] donc \(\nu_0 = \nu_1 = 0\), puis s'arrête sur le cas général.⁹

Pour \(n\) impair, la réponse est oui, et elle se lit sur l'abélianisé.¹⁰ Si \(n\) est impair, \((\widetilde{\Pi}{}^{\mathbb{D}}_n)_{\mathrm{ab}} = \mathbb{Z}^2/(n, -2) \simeq \mathbb{Z}\), par \(\tilde\rho \mapsto 2\), \(\tilde\sigma \mapsto n\) ; alors \(\tilde\rho_i \mapsto 4\) et \(\tilde\omega_0 \mapsto 2n \equiv 2 \pmod 4\). Le caractère \(\widetilde{\Pi}{}^{\mathbb{D}}_n \to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) qui s'en déduit, restreint à \(\widetilde{\Pi}_n\), tue les \(\tilde\rho_i\) et non \(\tilde\omega_0\) : son noyau dans \(\widetilde{\Pi}_n\) est donc \(\widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n\), qui est ainsi l'intersection de \(\widetilde{\Pi}_n\) avec un sous-groupe distingué de \(\widetilde{\Pi}{}^{\mathbb{D}}_n\), et distingué lui-même. Pour \(n\) pair, aucun caractère ne sépare ainsi \(\tilde\omega_0\) des \(\tilde\rho_i\), puisque \(\tilde\omega_0 = \tilde\rho^{\,n}\) a alors même image abélianisée que \(\tilde\rho_0^{\,n/2}\), et la question reste ouverte dans le dossier.

7–9

Le cas \(n = 3\) : \(SL(2, \mathbb{Z})\), \(\mathbb{D}'_3\) et leurs quotients finis (pages 7, 9 et 14)

La tour de la page 7

Pour \(n = 3\), le groupe \(\widetilde{\Pi}{}^{\mathbb{D}}_3 = \langle \tilde\rho, \tilde\sigma \mid \tilde\rho^{\,3} = \tilde\sigma^2 \rangle\) est l'image inverse \(\widetilde{SL}(2, \mathbb{Z})\) de \(SL(2, \mathbb{Z})\) dans le revêtement universel de \(SL(2, \mathbb{R})\) (page 17), et \(\widetilde{SL}(2, \mathbb{Z}) / \langle \omega^2 \rangle = SL(2, \mathbb{Z})\), où \(\omega = \tilde\omega_0\). La page organise ses sous-groupes distingués en une tour, chaque flèche étiquetée par le quotient : \[ \mathbb{Z}\omega^2 \subset \widetilde{\Pi}{}^{\circ}_{0,3} \subset \widetilde{\Pi}_{0,3} \subset \widetilde{SL}(2, \mathbb{Z}) \subset \widetilde{GL}(2, \mathbb{Z}), \qquad \text{quotients successifs } \Pi_{0,3},\ \mathbb{Z}/2,\ \mathbb{D}_3,\ \mathbb{Z}/2 , \] avec aussi \(\mathbb{Z}\omega^2 \subset \mathbb{Z}\omega \subset \widetilde{\Pi}_{0,3}\) (quotients \(\mathbb{Z}/2\), puis \(\Pi_{0,3}\)), et \(\widetilde{GL}(2, \mathbb{Z}) \supset \widetilde{\Pi}{}^{\tau}_{0,3}\) de quotient \(\mathbb{D}_3\). Modulo \(\omega^2\) : \(\widetilde{SL}(2, \mathbb{Z})/\mathbb{Z}\omega^2 = SL(2, \mathbb{Z})\), \(\widetilde{GL}(2, \mathbb{Z})/\mathbb{Z}\omega^2 = GL(2, \mathbb{Z})\), et \[ \widetilde{SL}(2, \mathbb{Z}) / \widetilde{\Pi}{}^{\circ}_{0,3} \simeq \mathbb{D}'_3 , \] le groupe d'ordre \(12\) \[ \mathbb{D}'_3 = \langle \rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2,\ \sigma^4 = 1,\ \sigma\rho\sigma^{-1} = \rho^{-1} \rangle , \qquad 1 \to \mathbb{Z}/2 \to \mathbb{D}'_3 \to \mathbb{D}_3 \to 1 , \] le noyau étant engendré par \(\omega = \rho^3 = \sigma^2\). C'est le groupe dicyclique d'ordre \(12\), \(\mathbb{Z}/3 \rtimes \mathbb{Z}/4\), et c'est aussi le produit fibré \(\mathbb{D}_3 \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/4\) de la page 15. L'extension n'est pas scindée : les deux relèvements de \(\sigma\), à savoir \(\sigma\) et \(\sigma\omega = \sigma^{-1}\), sont d'ordre \(4\), et aucun ne peut être l'image d'une section. Elle diffère en cela de \(\mathbb{D}_6 \simeq \mathbb{D}_3 \times \mathbb{Z}/2 \to \mathbb{D}_3\), qui l'est.¹¹

Au niveau de \(SL(2, \mathbb{Z})\) et \(GL(2, \mathbb{Z})\), la page écrit \[ 1 \to \mathbb{Z}/2 \times \Pi_{0,3} \to SL(2, \mathbb{Z}) \to \mathbb{D}_3 \to 1, \qquad 1 \to \mathbb{Z}/2 \times \Pi_{0,3} \to GL(2, \mathbb{Z}) \to \mathbb{D}_3 \times \{1, \tau\} \to 1 , \] la première étant la réduction modulo \(2\), de noyau \(\Gamma(2) = \{\pm 1\} \times \Pi_{0,3}\), la seconde \(g \mapsto (g \bmod 2, \det g)\), avec \(\tau\) le déterminant \(-1\). Puis, en retirant le facteur \(\{\pm 1\}\) : \[ 1 \to \Pi_{0,3} \to GL(2, \mathbb{Z}) \to \mathbb{D}'_3 \rtimes \{1, \tau\} \to 1, \qquad 1 \to \Pi_{0,3} \to PGL(2, \mathbb{Z}) \to \mathbb{D}_3 \times \{1, \tau\} \to 1 , \] et \(PGL(2, \mathbb{Z}) \simeq \pi_1(U_{0,3}, \mathbb{D}_3 \times \{1, \tau\}; P_+)\), où \(\tau\) agit sur \(U_{0,3}\) par la conjugaison complexe, qui commute aux substitutions anharmoniques.¹²

Les quotients d'ordres 18 et 36 (page 9)

La page 9 est une page de schémas ; on en donne les énoncés. Soit \(\Pi'_{0,3} \subset \Pi_{0,3}\) le noyau du caractère \(\rho_0, \rho_1, \rho_\infty \mapsto 1 \in \mathbb{Z}/3\). Il est stable par les substitutions anharmoniques, qui permutent les \(\rho_i\) à conjugaison près, donc distingué dans \(\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}\), d'indice \(18\) : \[ \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}/\Pi'_{0,3} = \langle \rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2 = (\sigma\rho)^6 = 1,\ (\sigma\rho)^2 = (\rho\sigma)^2 \rangle \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{Z}/6 \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{D}_3 \simeq (\mathbb{F}_3 \times \mathbb{F}_3) \rtimes \{1, \sigma\} , \] par \(\rho \mapsto (4, \rho)\), \(\sigma \mapsto (3, \sigma)\) ; la relation \((\sigma\rho)^2 = (\rho\sigma)^2\) dit \(\rho_0 = \rho_1\), et \((\sigma\rho)^6 = 1\) dit \(\rho_0^3 = 1\). Le produit fibré est pris au-dessus des deux surjections naturelles sur \(\mathbb{Z}/2\), la réduction et la signature ; son sous-groupe d'indice \(2\) est \(\mathbb{Z}/3 \times \mathfrak{A}_3\), et \((3, \sigma)\) y agit trivialement sur le premier facteur et par inversion sur le second.

Au-dessus, dans \(SL(2, \mathbb{Z})\), le quotient par le même \(\Pi'_{0,3}\) est un groupe \(\mathcal{E}\) d'ordre \(36\) : \[ \mathcal{E} = \langle \rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2 = \omega,\ \omega^2 = 1,\ \rho_0 = (\sigma\rho)^2\omega \text{ fixé par } \rho \text{ et d'ordre } 3 \rangle, \] \[ \mathcal{E}/\{1, \omega\} \simeq \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}/\Pi'_{0,3} , \] avec, vers l'abélianisé \(SL(2, \mathbb{Z})_{\mathrm{ab}} \simeq \mathbb{Z}/12\), \[ \rho \mapsto 10, \quad \sigma \mapsto 3, \quad \omega \mapsto 6, \quad \varepsilon_0 = \sigma\rho \mapsto 1, \quad \rho_0 \mapsto 8 . \] La page propose d'identifier \(\mathcal{E}\) à un sous-groupe « \(SL'(2, \mathbb{Z}/6\mathbb{Z})\) » dont l'ordre reste « à déterminer ».¹³ \(\mathcal{E}\) ne peut pas être un quotient de \(SL(2, \mathbb{Z}/6)\) par la réduction : son abélianisé est \(\mathbb{Z}/12\), celui de \(SL(2, \mathbb{Z}/6) = SL(2, \mathbb{F}_2) \times SL(2, \mathbb{F}_3)\) est \(\mathbb{Z}/6\). Ce qui est vrai est que \[ \mathcal{E} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{D}_3 \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/12, \qquad g \longmapsto (g \bmod 2,\ g_{\mathrm{ab}}) , \] le groupe que la page 28 appellera \(\mathbb{D}'''_3\) : l'application \(SL(2, \mathbb{Z}) \to \mathbb{D}_3 \times \mathbb{Z}/12\) a pour noyau \(\Gamma(2) \cap \ker(\mathrm{ab})\), qui est \(\Pi'_{0,3}\) puisque \(-1 \mapsto 6\) et que l'abélianisation restreinte à \(\Pi_{0,3}\) est le caractère \(\rho_i \mapsto 8\), et son image est d'ordre \(36\).¹⁴

14–14

Les mêmes quotients, repris (page 14)

La page 14 reprend ces identifications. Le quotient d'ordre \(18\) y est décrit comme \[ \mathbb{Z}/6 \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{D}_3 = \{ (\nu, g) \in \mathbb{Z}/6 \times \mathbb{D}_3 \mid \mathrm{sg}(g) \equiv \nu \pmod 2 \}, \] \(\mathrm{sg}\) la signature. L'abélianisé \((\Pi_{0,3})_{\mathrm{ab}} = \mathbb{Z}^3/\mathbb{Z}(1,1,1)\) sur les classes de \(\rho_0, \rho_1, \rho_\infty\) donne, tensorisé par \(\mathbb{F}_3\), l'espace \(\mathbb{F}_3^3/\mathbb{F}_3\) où se lit le caractère qui définit \(\Pi'_{0,3}\), et \(\Pi'_{0,3}\) est engendré, comme sous-groupe distingué, par \(\rho_0\rho_1^{-1}\), \(\rho_1\rho_\infty^{-1}\), \(\rho_\infty\rho_0^{-1}\) et \(\rho_0^3\). Enfin \[ SL(2, \mathbb{Z}/6)/\{\pm 1\} \simeq \bigl(SL(2, \mathbb{Z}/2) \times SL(2, \mathbb{Z}/3)\bigr)/\{\pm 1\} , \] d'ordre \(6 \cdot 24/2 = 72\), et l'on retrouve, dans \(SL(2, \mathbb{Z})\), \(\rho_0 = \sigma\rho\sigma^{-1}\rho = (\sigma\rho)^2\omega\).¹⁵

11–13

Normaliser les relèvements : \(\tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^2 = \tilde\omega^{\nu}\) (pages 11, 13 et 18)

L'énoncé (page 11)

Soit \(n\) impair. L'abélianisé de \(\Pi^{\mathbb{D}}_n\) est \(\mathbb{Z}/n \times \mathbb{Z}/2 \simeq \mathbb{Z}/2n\), et l'on choisit l'isomorphisme \[ \Pi^{\mathbb{D}}_n \longrightarrow \mathbb{Z}/2n, \qquad \rho \longmapsto n + 1 = 1 - n, \quad \sigma \longmapsto n . \] Par image inverse de \(0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{2n} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2n \to 0\), on obtient l'extension centrale \[ 1 \to \mathbb{Z}\tilde\omega \to S\Pi^{\mathbb{D}}_n = \Pi^{\mathbb{D}}_n \times_{\mathbb{Z}/2n} \mathbb{Z} \to \Pi^{\mathbb{D}}_n \to 1, \qquad \tilde\omega = (1, 2n) . \]

Proposition (\(n\) impair).¹⁶ Il existe des relèvements \(\tilde\rho\), \(\tilde\sigma\) de \(\rho\), \(\sigma\) dans \(S\Pi^{\mathbb{D}}_n\) tels que \(\tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^2\). Pour un tel couple, \(\tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^2 = \tilde\omega^{\nu}\), où la classe de \(\nu\) modulo \(2n\) ne dépend pas du couple, et vaut \(\frac{n^2+1}{2}\) ; les couples possibles sont les \((\tilde\rho\,\tilde\omega^{2x}, \tilde\sigma\,\tilde\omega^{nx})\), \(x \in \mathbb{Z}\), qui changent \(\nu\) en \(\nu + 2nx\). On peut donc choisir \(\nu \in \{-\frac{n-1}{2}, \frac{n+1}{2}\}\), et c'est l'unique élément impair de cet ensemble ; les relèvements sont alors uniquement déterminés, et \[ S\Pi^{\mathbb{D}}_n = \langle \tilde\rho, \tilde\sigma, \tilde\omega \mid \tilde\omega \text{ central},\ \tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^2 = \tilde\omega^{\nu} \rangle . \]

Démonstration (pages 11 et 13). Posons \(\tilde\rho_0 = (\rho, n+1)\) et \(\tilde\sigma_0 = (\sigma, n)\). Alors \(\tilde\sigma_0^{\,2} = (1, 2n) = \tilde\omega\) et \(\tilde\rho_0^{\,n} = (1, n(n+1)) = \tilde\omega^{(n+1)/2}\), de sorte que \(\tilde\rho_0^{\,n}\tilde\sigma_0^{-2} = \tilde\omega^{\alpha}\) avec \(\alpha = \frac{n-1}{2}\). On cherche \(\tilde\rho = \tilde\rho_0\tilde\omega^{\beta}\), \(\tilde\sigma = \tilde\sigma_0\tilde\omega^{\gamma}\) avec \(\tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^2\), c'est-à-dire¹⁷ \[ 2\gamma - n\beta = \alpha . \] Comme \(n = 2\alpha + 1\), on a \(2(\alpha + 1) - n = 1\), d'où la solution \(\beta = \alpha\), \(\gamma = \alpha(\alpha+1) = \frac{n^2-1}{4}\), et \[ \tilde\rho = (\rho, n^2 + 1), \qquad \tilde\sigma = \Bigl(\sigma, \frac{n^3+n}{2}\Bigr), \qquad \tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^2 = (1, n^3 + n) = \tilde\omega^{\frac{n^2+1}{2}} . \] Deux couples solutions diffèrent par \((\tilde\omega^{\beta}, \tilde\omega^{\gamma})\) avec \(n\beta = 2\gamma\), soit, \(n\) étant impair, \(\beta = 2x\) et \(\gamma = nx\) ; l'exposant devient alors \(\nu + 2nx\). Reste à réduire \(\frac{n^2+1}{2} = 2\alpha^2 + 2\alpha + 1\) modulo \(2n = 4\alpha + 2\) : \[ \frac{n^2+1}{2} \equiv \begin{cases} \alpha + 1 = \frac{n+1}{2} & \text{si } \alpha \text{ est pair}, \\[2pt] -\alpha = -\frac{n-1}{2} & \text{si } \alpha \text{ est impair}, \end{cases} \pmod{2n} \] et dans les deux cas l'exposant obtenu est impair. Les deux éléments de \(\{-\frac{n-1}{2}, \frac{n+1}{2}\}\) diffèrent de \(n\), impair : un seul est impair. La présentation s'en déduit, \(\tilde\rho\) et \(\tilde\sigma\) relevant les générateurs de \(\Pi^{\mathbb{D}}_n\) et \(\tilde\omega\) engendrant le noyau.¹⁸

Deux conséquences, que la page ne tire pas.¹⁹ D'abord, l'application \(\widetilde{\Pi}{}^{\mathbb{D}}_n \to S\Pi^{\mathbb{D}}_n\) qui envoie les générateurs de la page 3 sur les relèvements normalisés envoie \(\tilde\omega_0\) sur \(\tilde\omega^{\nu}\) ; elle est injective, d'image d'indice \(|\nu|\). Pour \(n = 3\), \(\nu = -1\) et les deux extensions coïncident : c'est la raison pour laquelle \(SL(2, \mathbb{Z})\) et son revêtement \(\widetilde{SL}(2, \mathbb{Z})\) se laissent décrire à la fois par la relation \(\tilde\rho^{\,3} = \tilde\sigma^2\) et par l'abélianisé ; pour \(n = 5\), \(\nu = 3\) et elles diffèrent. Ensuite, pour \(n = 3\), les relèvements normalisés sont \[ \tilde\rho = (\rho, -2), \qquad \tilde\sigma = (\sigma, -3), \qquad \tilde\rho^{\,3} = \tilde\sigma^2 = \tilde\omega^{-1} , \] dans \(\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \times_{\mathbb{Z}/6} \mathbb{Z}\) : ce sont exactement ceux de la page 34.

18–18

Une reprise (page 18)

La page 18, au crayon, refait la normalisation en partant de relèvements satisfaisant \(\tilde\sigma^2 = \tilde\rho^{\,n}\) et en essayant \(\tilde\rho \mapsto \tilde\rho\,\tilde\omega^{-1}\), \(\tilde\sigma \mapsto \tilde\sigma\,\tilde\omega^{s}\) ; elle aboutit à la condition « \(1 + 2s = \frac{1-n}{2}\), OK si \(\frac{1-n}{2}\) impair », qui est le second cas de la page 13.²⁰ Deux croquis l'accompagnent : une sphère portant des vecteurs tangents, et un faisceau de courbes issues d'un point, avec les étiquettes \(R_i\), \(\tilde R_i = (e_j - e_k) \wedge \omega_{jk}\), \(V(\omega)\), \(\varphi_\omega(\tilde R_k)\), \(P_i\), dont le texte ne dit pas le sens.²¹

15–19

Les groupes \(\mathcal{T}_{1,1}\) et \(S\mathcal{T}_{1,1}\) (pages 15, 17 et 19)

\(M_{1,1}\) comme orbifold de \(U_{0,3}\) (page 15)

Soit \(\mathbb{D}'_3\) le produit fibré \[ \mathbb{D}'_3 = \mathfrak{S}_3 \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/4 , \] au-dessus de la signature et de la réduction \(\mathbb{Z}/4 \to \mathbb{Z}/2\) : extension de \(\mathbb{D}_3 = \mathfrak{S}_3\) par \(\mathbb{Z}/2\), de noyau engendré par \(\omega = (1, 2)\). On fait agir \(\mathbb{D}'_3\) sur \(U_{0,3}\) à travers \(\mathbb{D}_3\), \(\omega\) agissant trivialement. Alors (sur \(\mathbb{C}\)) \[ M_{1,1} \simeq (U_{0,3}, \mathbb{D}'_3), \qquad \mathcal{T}_{1,1} \simeq \pi_1(U_{0,3}, \mathbb{D}'_3; P_+) = \Pi^{\mathbb{D}'}_{0,3} \simeq SL(2, \mathbb{Z}) , \] l'isomorphisme dépendant du choix d'un point du demi-plan de Poincaré au-dessus de \(P_+\), par exemple \(\zeta = e^{2i\pi/6}\).²² En termes de groupes : \(SL(2, \mathbb{Z})\) est l'image inverse, par \(\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \to \mathbb{D}_3\), de l'extension \(\mathbb{D}'_3\) de \(\mathbb{D}_3\) par \(\mathbb{Z}/2\), elle-même image inverse de l'extension \(\mathbb{Z}/4\) de \(\mathbb{Z}/2\) par \(\mathbb{Z}/2\) ; les deux carrés

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
SL(2, \mathbb{Z}) \arrow[r] \arrow[d] & \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \arrow[d] \\
\mathbb{D}'_3 \arrow[r] \arrow[d] & \mathbb{D}_3 \arrow[d, "\mathrm{sg}"] \\
\mathbb{Z}/4 \arrow[r] & \mathbb{Z}/2
\end{tikzcd}

sont cartésiens, avec \(\rho \mapsto 0\), \(\sigma \mapsto 1\) dans \(\mathbb{Z}/2\). Concrètement, \(\rho' = (\rho, 2)\) et \(\sigma' = (\sigma, 3)\) dans \(\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/4\) vérifient \(\rho'^3 = \sigma'^2 = (1, 2) = \omega\) et \(\rho'^6 = \sigma'^4 = 1\), ce qui est la présentation de \(SL(2, \mathbb{Z})\).²³

\(S\mathcal{T}_{1,1}\) (page 17)

Soit \(S\mathcal{T}_{1,1}\) l'image inverse de \(SL(2, \mathbb{Z})\) dans le revêtement universel \(\widetilde{SL(2, \mathbb{R})}\). Alors \[ S\mathcal{T}_{1,1} \simeq \langle \rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2 \rangle, \qquad \omega = \rho^3 = \sigma^2 \text{ central}, \qquad \mathcal{T}_{1,1} = S\mathcal{T}_{1,1}/\langle \omega^2 \rangle , \] le noyau \(\pi_1(SL(2, \mathbb{R})) \simeq \mathbb{Z}\) de \(\widetilde{SL(2, \mathbb{R})} \to SL(2, \mathbb{R})\) étant engendré par \(\omega^2\). C'est le groupe des tresses à trois brins, \(B_3\), et le groupe du nœud de trèfle.²⁴ Les abélianisés sont²⁵ \[ (S\mathcal{T}_{1,1})_{\mathrm{ab}} \simeq \mathbb{Z}, \quad \rho \mapsto 2,\ \sigma \mapsto 3,\ \omega \mapsto 6 ; \qquad (\mathcal{T}_{1,1})_{\mathrm{ab}} \simeq \mathbb{Z}/12, \quad \rho \mapsto 2,\ \sigma \mapsto 3 , \] et le carré

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
S\mathcal{T}_{1,1} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{T}_{1,1} \arrow[d] \\
\mathbb{Z} \arrow[r] & \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}
\end{tikzcd}

est cartésien, les deux flèches horizontales ayant le même noyau, \(\langle \omega^2 \rangle\) en haut et \(12\mathbb{Z}\) en bas. Donc \(S\mathcal{T}_{1,1}\) se déduit de \(\mathcal{T}_{1,1}\) par image inverse de l'extension canonique de \(\mathbb{Z}/12\) par \(\mathbb{Z}\), via l'abélianisation.

Le nom est celui des groupes de Teichmüller de la Longue Marche : pour le tore privé d'un disque, \(\mathcal{T}_{1,1}\) est le groupe des classes d'isotopie de difféomorphismes qui préservent l'orientation, et \(S\mathcal{T}_{1,1}\) celui des difféomorphismes qui fixent le bord point par point ; le générateur \(\omega^2\) du noyau est le twist de Dehn le long du bord.²⁶

19–19

Le diagramme de la page 19, et une question

La page 19 rassemble ces identifications en un seul diagramme. Avec \(\tilde\rho = (\rho, 2)\), \(\tilde\sigma = (\sigma, 3)\) : \[ S\mathcal{T}_{1,1} \simeq \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \times_{\mathbb{Z}/6} \mathbb{Z}, \qquad \mathcal{T}_{1,1} \simeq \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \times_{\mathbb{Z}/6} \mathbb{Z}/12 \simeq \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/4 , \] où \(\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \to \mathbb{Z}/6\) est l'abélianisation \(\rho \mapsto 2\), \(\sigma \mapsto 3\) ; tous les carrés du diagramme suivant sont cartésiens :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
S\mathcal{T}_{1,1} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{T}_{1,1} \arrow[r] \arrow[d] & \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \arrow[d] \\
\mathbb{Z} \arrow[r] & \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[d] & \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \arrow[d] \\
 & \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \arrow[r] & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}
\end{tikzcd}

et \(\mathcal{T}_{1,1} \to \mathbb{D}'_3 = \mathbb{D}_3 \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/4\) est surjectif.²⁷

Puis la question : « A-t-on bien \(S\mathcal{T}_{11} \simeq S\Pi^{D}_{03}\) ?? », à laquelle la page 33 répondra oui. Et une conjecture : « il semblerait plutôt \(PM_{11} \simeq (T^{*}U_{03}, \mathfrak{S}'_3)\) (fibré cotangent de \(U_{03}\) !!), donc \(\mathcal{T}_{11} \simeq \pi_1(T^{*}U_{03}, \mathfrak{S}'_3)\) ». Le symbole \(PM_{1,1}\) n'est défini nulle part ; la page 26 en donne des variantes de niveau \(2\), et les pages 34 et 35 le remplacent par le \(\mathbb{G}_m\)-torseur \(PU_{0,3} = \mathcal{O}(1)^{*}\).²⁸

20–20

Surfaces à bord : \(S\mathcal{T}\), \(\mathcal{T}\) et les tours de bord (page 20)

La page 20 pose le cadre général dont \(\mathcal{T}_{1,1}\) et \(S\mathcal{T}_{1,1}\) sont le premier cas. Soit \(X\) une surface compacte orientée à \(n\) composantes de bord, \(\pi\) son groupe fondamental et \(\ell_1, \dots, \ell_n\) des lacets autour des composantes du bord. Un automorphisme de la surface induit \(u \in \mathrm{Aut}\,\pi\), une permutation \(\sigma \in \mathfrak{S}_n\) et des éléments \(g_i \in \pi\) tels que \[ u(\ell_i) = g_i\,\ell_{\sigma(i)}\,g_i^{-1} , \] et la page forme le groupe \(\widetilde{E}\) de ces données, qui contient \(\pi\) (par les automorphismes intérieurs) et \(\mathbb{Z}^n\) (par les changements \(g_i \mapsto g_i\ell_{\sigma(i)}^{k_i}\)), avec \(\widetilde{E} \to \mathfrak{S}_n\) ; on pose \(E = \widetilde{E}/\pi\).²⁹ La fibration \[ S\mathrm{Aut}^{+}(X) \to \mathrm{Aut}^{+}(X) \to \mathrm{Aut}^{+}(\partial X) \simeq \mathfrak{S}_n \ltimes \mathbb{T}^n , \] où \(S\mathrm{Aut}^{+}(X)\) est le groupe des difféomorphismes qui fixent le bord point par point et où l'équivalence de droite est une équivalence d'homotopie (\(\mathrm{Diff}^{+}(S^1) \simeq SO(2)\)), donne, avec \(S\mathcal{T} = \pi_0 S\mathrm{Aut}^{+}(X)\) et \(\mathcal{T} = \pi_0 \mathrm{Aut}^{+}(X)\), la suite exacte \[ 1 \to \pi_1\mathrm{Aut}^{+}(X) \to \mathbb{Z}^n \to S\mathcal{T} \to \mathcal{T} \to \mathfrak{S}_n \to 1 , \] où \(\mathbb{Z}^n = \pi_1(\mathbb{T}^n)\) s'envoie dans \(S\mathcal{T}\) par les twists de Dehn le long des composantes du bord, et \(\pi_1\mathrm{Aut}^{+}(X)\) vaut \(0\) ou \(\mathbb{Z}\).³⁰ Elle écrit encore \(1 \to S\mathcal{T} \to E \to \mathfrak{S}_n \to 1\).

La fin de la page abstrait la situation. Soit \(1 \to F \to A \to G \to 1\) une extension de groupes topologiques, \(F\) discret. La suite d'homotopie de la fibration \(F \to A \to G\) s'écrit \[ 1 \to \pi_1(A) \to \pi_1(G) \to F \to \pi_0(A) \to \pi_0(G) \to 1 , \] l'image de \(\pi_1(G)\) dans \(F\) est centrale — c'est \(F \cap A^{\circ}\), et la composante neutre, connexe, agit trivialement par conjugaison sur le sous-groupe distingué discret \(F\) —, et \(\pi_0(G)\) opère extérieurement sur \(F\), donc sur son centre \(Z(F)\). En posant \(E = \pi_0(\widetilde{A})\) pour une extension \(\widetilde{A}\) convenable, on obtient \(1 \to F \to E \to \pi_0 \to 1\).³¹

16–16

Cartes : sommets, arêtes, faces, drapeaux (pages 16, 29 et 31)

Polyèdres réguliers et drapeaux (page 16)

Pour un polyèdre \(X_\bullet\) dont le groupe \(G_0\) des automorphismes agit simplement transitivement sur un ensemble \(\vec{S}(X_\bullet)\), les ensembles de sommets, d'arêtes et de faces sont des espaces homogènes \[ S(X_\bullet) \simeq G_0/H_S, \qquad A(X_\bullet) \simeq G_0/H_A, \qquad F(X_\bullet) \simeq G_0/H_F , \] et les stabilisateurs d'un sommet, d'une arête et d'une face incidents se coupent deux à deux trivialement, ce qui équivaut aux injections³² \[ G_0 \hookrightarrow G_0/H_S \times G_0/H_A, \qquad G_0 \hookrightarrow G_0/H_A \times G_0/H_F, \qquad G_0 \hookrightarrow G_0/H_S \times G_0/H_F . \]

Dans le cas non orienté, pour la catégorie des polyèdres d'un type donné \(\tau\), on a les foncteurs \(S\), \(A\), \(F\), les relations d'incidence \(A_1 \subset S \times A\), \(A_2 \subset A \times F\), \(A_3 \subset S \times F\), et l'ensemble des drapeaux \[ R = A_1 \times_A A_2 = \{ (s, a, f) \mid s < a < f \}, \qquad A_1 = \mathrm{Im}(R \to S \times A),\ \ldots,\ A_3 = \mathrm{Im}(R \to S \times F) . \] Avec \(\Omega\) l'ensemble des orientations, la page écrit \(A_{1\,\Omega} \simeq A_{2\,\Omega} \simeq A_{3\,\Omega}\) et \(\mathrm{Pol}_\tau^{\Omega} \simeq \mathrm{Pol}_{\tau/\Omega}\), sans les définir.³³ C'est la description des cartes par l'action d'un groupe sur les drapeaux, que l'Esquisse d'un programme (1984) appellera le groupe cartographique.³⁴

29–29

Le changement d'orientation (page 29, moitié inférieure)

Sur l'ensemble \(\bar A\) des arêtes d'une carte combinatoire orientée, une orientation définit deux opérations, \(\vec\rho_s\) (autour des sommets) et \(\vec\rho_f\) (autour des faces), liées par \[ \vec\rho_s^{\,-1}\,\vec\rho_f = \sigma , \] \(\sigma\) l'involution des arêtes. La page calcule ce qu'elles deviennent pour l'orientation opposée : si \(\bar a\) provient de \(a\) et donc aussi de \(\sigma_n a\), on a \(\rho_s(\sigma_n a) = \sigma_n(\rho_s^{-1}a)\), d'où \[ \vec\rho\,'_s = \vec\rho_s^{\,-1}, \qquad \vec\rho\,'_f = \vec\rho\,'_s\,\sigma = \vec\rho_s^{\,-1}\sigma = \sigma\,\vec\rho_f^{\,-1}\sigma = \mathrm{int}(\sigma)\bigl(\vec\rho_f^{\,-1}\bigr) . \] Renverser l'orientation inverse les deux permutations, celle des faces à conjugaison par \(\sigma\) près.³⁵

31–31

Orbites de \(\rho\) et triples \((A, \sigma, \rho)\) (page 31)

La page 31 construit les orbites d'une opération \(\rho\) sur un ensemble \(A\) d'arêtes orientées pas à pas, et distingue deux cas : ou bien la construction s'arrête — on finit par sortir de la partie \(A'\) où \(\rho\) est défini, et l'on ferme le cycle —, ou bien elle se prolonge indéfiniment, et l'on ne définit pas \(\rho\). Supposant désormais \(\rho\) défini partout, \(\rho\) est une permutation de \(A\) ; \(\bar S = A/\rho\) est l'ensemble de ses orbites, \(\hat S \subset \bar S\) celui des orbites finies, et l'on compactifie partiellement la surface \(X\) en \(\hat X\) en lui ajoutant les points de \(\hat S - S\). La conclusion est que les quadruples \((A, \sigma, A', \rho)\) satisfaisant aux axiomes, avec \(A' = \hat A'\), s'identifient aux triples \[ (A, \sigma, \rho), \qquad A \text{ fini},\ \sigma \text{ involution sans point fixe},\ \rho \text{ permutation quelconque} , \] \(A'\) se retrouvant comme une partie de \(A\) telle que \(A' \cup \sigma A' = A\).³⁶ C'est la description moderne d'une carte orientée par ses brins : \(\sigma\) recolle les deux moitiés de chaque arête, \(\rho\) tourne autour des sommets, et les faces sont les orbites de \(\rho\sigma\). Le groupe qui agit est \(\langle \rho, \sigma \mid \sigma^2 = 1 \rangle\), et les cartes dont tous les sommets sont de valence \(3\) sont les ensembles sur lesquels agit \(\langle \rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2 = 1 \rangle = \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}\) : c'est ce qui relie ces pages au reste du dossier.³⁷

22–24

Le lemme : \(H^1(U_{0,3}, \mathfrak{S}_3; \mathbb{G}_m) \simeq \mathbb{Z}/6\) (pages 22, 24 et 29)

L'énoncé (page 22)

Soit \(J\) un ensemble à trois éléments, \(S\) un schéma, et \[ 0 \to V_J \to \mathcal{O}_S^{J} \to \mathcal{O}_S \to 0 , \] \(V_J\) le module libre de rang \(2\) des combinaisons de somme nulle des \(e_i\), \(i \in J\) ; soit \(\Sigma_J = \mathbb{P}(V_J)\), droite projective sur \(S\) munie de l'action de \(\mathfrak{S}_J \simeq \mathfrak{S}_3\), avec \(\Gamma(\Sigma_J, \mathcal{O}(1)) = V_J\), engendré par les \(e_i - e_j\) (page 29). Les trois sections \(e_i - e_j\) s'annulent en trois points ; leur complémentaire \(\Sigma_J^{*}\) est une copie de \(U_{0,3}\) sur laquelle \(\mathfrak{S}_3\) agit par les substitutions anharmoniques. On note \(H^1(U_{0,3}, \mathfrak{S}_3; \mathbb{G}_m)\) le groupe des classes de \(\mathbb{G}_m\)-torseurs \(\mathfrak{S}_3\)-équivariants sur \(U_{0,3}\) — le groupe de Picard du champ \((U_{0,3}, \mathfrak{S}_3)\).

Lemme. Soit \(S\) un schéma régulier intègre, avec \(\mathrm{Pic}(S) = 0\) et de caractéristique générique \(\neq 2\). Alors \[ H^1(U_{0,3}, \mathfrak{S}_3; \mathbb{G}_m) \simeq \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}, \] engendré par la classe de \(\mathcal{O}(1)\), c'est-à-dire du \(\mathbb{G}_m\)-torseur \(P\Sigma_J = \mathbb{V}(\mathcal{O}(1))^{*}\), restreint à \(\Sigma_J^{*}\). En caractéristique générique \(2\), on trouve \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\).

Majoration (note marginale). La suite spectrale de Hochschild–Serre donne \[ 0 \to H^1\bigl(\mathfrak{S}_3, H^0(U_{0,3}, \mathbb{G}_m)\bigr) \to H^1(U_{0,3}, \mathfrak{S}_3; \mathbb{G}_m) \to H^0\bigl(\mathfrak{S}_3, H^1(U_{0,3}, \mathbb{G}_m)\bigr) = 0 , \] le dernier terme étant nul parce que \(\mathrm{Pic}(U_{0,3}) = 0\) sous les hypothèses faites sur \(S\) ; et \[ 0 \to H^0(S, \mathbb{G}_m) \to H^0(U_{0,3}, \mathbb{G}_m) \to V(J) \to 0 , \] où \(V(J) \simeq \ker(\mathbb{Z}^J \xrightarrow{\Sigma} \mathbb{Z})\) est le groupe des diviseurs des unités, portés par les trois points retirés. Or \(H^1(\mathfrak{S}_3, \mathcal{O}(S)^{*}) = \mathrm{Hom}(\mathfrak{S}_3, \mathcal{O}(S)^{*}) = \mu_2(S)\), d'ordre \(2\) si la caractéristique générique est \(\neq 2\) et \(1\) sinon, et \(H^1(\mathfrak{S}_3, V(J)) = \mathbb{Z}/3\) (suite exacte de \(0 \to V(J) \to \mathbb{Z}^J \to \mathbb{Z} \to 0\), avec \(H^1(\mathfrak{S}_3, \mathbb{Z}^J) = H^1(\mathfrak{S}_2, \mathbb{Z}) = 0\)). Le groupe cherché est donc d'ordre divisant \(6\) (resp. \(3\)), et il suffit de montrer que la classe de \(\mathcal{O}(1)\) est d'ordre exactement \(6\) (resp. \(3\)).³⁸

L'ordre divise \(6\). La section \[ \varphi = \prod_{\substack{i, j \in J \\ i \neq j}} (e_i - e_j) = -\prod_{\{j, k\} \subset J} (e_j - e_k)^2 = -\Delta \ \in \Gamma(\Sigma_J, \mathcal{O}(6)) = \mathrm{Sym}^6 V_J \] est invariante par \(\mathfrak{S}_3\) et ne s'annule pas sur \(\Sigma_J^{*}\) : elle trivialise \(\mathcal{O}(6)\) de façon équivariante. Le groupe structural de \(P\Sigma_J^{*}\) se réduit ainsi à \(\mu_6\) : c'est le \(\mu_6\)-torseur \(\{\lambda \mid \lambda^6 = \varphi\}\), que la page 29 écrit \(\lambda^6 = \prod_{i,j}\xi_{ij}(x)\).³⁹

Les invariants. Lorsque \(6\) est inversible sur \(S\), l'anneau des invariants est un anneau de polynômes, \[ \mathrm{Sym}^{*}(V_J)^{\mathfrak{S}_3} = \mathcal{O}[\gamma_2, \gamma_3], \qquad \gamma_2 = \sum_{i \in J} (e_j - e_k)^2, \qquad \gamma_3 = \prod_{i \in J} (e_j + e_k - 2e_i) , \] et le discriminant s'y écrit \(54\,\Delta = \gamma_2^{3} - 2\gamma_3^{2}\). La courbe \(\gamma_2^3 = 2\gamma_3^2\) du plan des invariants est une cubique cuspidale ; son complémentaire est le quotient, libre, par \(\mathfrak{S}_3\) du plan privé des trois droites où s'annulent les \(e_i - e_j\), c'est-à-dire de \(P\Sigma_J^{*}\).⁴⁰

24–24

L'ordre est exactement \(6\) (page 24)

\(\gamma_2\) s'annule aux deux points \(P_\pm\) de \(\Sigma_J^{*}\) fixés par les éléments d'ordre \(3\), et \(\gamma_3\) aux trois points \(Q_i\) fixés par les transpositions. Il n'y a donc pas de section inversible invariante de \(\mathcal{O}(n)\) sur \(\Sigma_J^{*}\) pour \(0 < n < 6\), et la classe de \(\mathcal{O}(1)\) est d'ordre \(6\) : c'est un générateur.⁴¹

Le raisonnement se dit mieux ainsi : en un point fixe d'un sous-groupe \(H\), \(H\) agit sur la fibre de \(\mathcal{O}(n)\) par un caractère ; une section invariante qui ne s'annule pas en ce point exige que ce caractère soit trivial. En \(P_\pm\) le stabilisateur, d'ordre \(3\), agit sur la fibre de \(\mathcal{O}(1)\) par une racine primitive cubique de l'unité, en \(Q_i\) le stabilisateur, d'ordre \(2\), par \(-1\) : il faut \(3 \mid n\) et \(2 \mid n\). Un argument qui vaut aussi en caractéristique \(3\), où \(P_+ = P_-\) : une section inversible de \(\mathcal{O}(n)\) sur \(\Sigma_J^{*}\) est, à une unité de \(S\) près, de la forme \(\prod (e_j - e_k)^{a_i}\) avec \(\sum a_i = n\) ; l'invariance par les permutations circulaires impose \(a_1 = a_2 = a_3\), et celle par les transpositions, qui changent le signe de \(\prod_{j<k}(e_j - e_k)\), que cet exposant commun soit pair ; d'où \(6 \mid n\). En caractéristique \(2\), le signe disparaît, \(\prod_{j<k}(e_j - e_k)\) est invariante, et l'ordre est \(3\).⁴²

Le résultat est l'analogue, pour le champ \((U_{0,3}, \mathfrak{S}_3)\), du calcul \(\mathrm{Pic}(M_{1,1}) \simeq \mathbb{Z}/12\) de Mumford (1965) : le passage de \(\mathbb{D}_3\) à \(\mathbb{D}'_3\) double l'ordre.⁴³

29–29

Les sections \(e_i - e_j\) (page 29, moitié supérieure)

La page 29 revient sur ces sections : \(V_J = \Gamma(X, \mathcal{O}(1))\) est engendré par les \(e_i - e_j\), que les permutations échangent entre elles au signe près ; une fonction \(\lambda\) avec \(\lambda^6 = \prod_{i \neq j}\xi_{ij}(x)\), où \(\xi_{ij}\) exprime \(e_i - e_j\) dans une trivialisation locale ; la suite \(\mathbb{Z} \to \widetilde{\Pi}_{0,3} \to \Pi_{0,3} \to 1\) ; et « \(V(\omega) \overset{!!}{\simeq} V\) ».⁴⁴

26–26

Les champs au-dessus de \(M_{1,1}\) (page 26)

La page 26 est faite de diagrammes sans texte. On les lit dans le langage des champs, avec \(\omega\) l'automorphisme \(-1\) d'une courbe elliptique : \((U_{0,3}, \{1, \omega\})\), le produit de \(U_{0,3}\) par la gerbe triviale \(B\mathbb{Z}/2\), est le champ \(M_{1,1}(2)\) des courbes elliptiques munies d'une structure de niveau \(2\) ; \((U_{0,3}, \mathbb{D}'_3) \simeq M_{1,1}\) (page 15) ; et \((U_{0,3}, \mathbb{D}_3)\), où l'on a oublié \(\omega\), est ce qu'on appelle aujourd'hui la rigidification de \(M_{1,1}\) le long de \(\mu_2\), que la page note \(M'_{1,1}\). Le premier diagramme en donne les flèches, chacune marquée de son groupe ou de sa nature :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
U_{0,3} \arrow[r, "{\{1, \omega\}}"] \arrow[dr, "\mathbb{D}'_3"'] & (U_{0,3}, \{1, \omega\}) \arrow[d, "\mathbb{D}_3"'] \arrow[dr, "\mathrm{gerbe}"] & \\
 & (U_{0,3}, \mathbb{D}'_3) \arrow[d, "\mathrm{gerbe}"'] & U_{0,3} \arrow[dl, "\mathbb{D}_3"] \\
 & (U_{0,3}, \mathbb{D}_3) &
\end{tikzcd}

— les flèches marquées d'un groupe sont des revêtements galoisiens de ce groupe, les flèches « gerbe » des gerbes de lien \(\mathbb{Z}/2\). Le second diagramme est le même, calqué sur le demi-plan de Poincaré \(\mathcal{D}\) : \((\mathcal{D}, \Pi_{0,3}) \simeq \mathcal{D}/\Pi_{0,3}\), \((\mathcal{D}, \Pi_{0,3} \times \{1, \omega\})\), \((\mathcal{D}, SL(2, \mathbb{Z}))\) et \((\mathcal{D}, PSL(2, \mathbb{Z}))\), les flèches étant marquées « gal » et « 2-gerbe ».⁴⁵ Un troisième diagramme relie \(M_{1,1}(\tilde 2)\), \(M_{1,1}(2)\), \(M_{1,1}(2)'\), \(M_{1,1}\) et \(M'_{1,1}\), et le carré cartésien \[ \begin{array}{ccc} PM_{1,1}(\tilde 2) \simeq PU_{0,3} & \longrightarrow & PM_{1,1}(2) \simeq TU_{0,3} \\ \downarrow & & \downarrow \\ U_{0,3} \simeq M_{1,1}(\tilde 2) & \longrightarrow & (U_{0,3}, \{1, \omega\}) \simeq M_{1,1}(2) \end{array} \] met pour la première fois en scène le \(\mathbb{G}_m\)-torseur \(PU_{0,3}\) des pages 34 et 35.⁴⁶

28–30

Le diagramme des extensions (pages 28 et 30)

Les pages 28 et 30 dessinent en perspective, puis à plat, un diagramme qui superpose les extensions déjà rencontrées. Ses sommets finis sont quatre groupes, tous produits fibrés au-dessus de \(\mathbb{Z}/2\) (signature d'un côté, réduction de l'autre) : \[ \begin{array}{lll} \mathbb{D}_3 = \mathfrak{S}_3 & \text{ordre } 6, & \text{quotient de } \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \text{ par } \Pi_{0,3} ; \\[2pt] \mathbb{D}'_3 = \mathbb{D}_3 \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/4 & \text{ordre } 12, & \text{quotient de } SL(2, \mathbb{Z}) \text{ par } \Pi_{0,3} ; \\[2pt] \mathbb{D}''_3 = \mathbb{D}_3 \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/6 & \text{ordre } 18, & \text{quotient de } \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \text{ par } \Pi'_{0,3} ; \\[2pt] \mathbb{D}'''_3 = \mathbb{D}_3 \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/12 \simeq \mathbb{D}'_3 \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/6 & \text{ordre } 36, & \text{quotient de } SL(2, \mathbb{Z}) \text{ par } \Pi'_{0,3} . \end{array} \] Le dernier isomorphisme vient de \(\mathbb{Z}/12 \simeq \mathbb{Z}/4 \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/6\). Les flèches \(\mathbb{D}'''_3 \to \mathbb{D}''_3\) et \(\mathbb{D}'_3 \to \mathbb{D}_3\) sont de degré \(2\), les flèches \(\mathbb{D}'''_3 \to \mathbb{D}'_3\) et \(\mathbb{D}''_3 \to \mathbb{D}_3\) de degré \(3\), et la face formée par ces quatre groupes est cartésienne, au-dessus de la face \(\mathbb{Z}/12\), \(\mathbb{Z}/6\), \(\mathbb{Z}/4\), \(\mathbb{Z}/2\).⁴⁷ Au-dessus de ces quotients finis, la page empile les extensions infinies : dans une colonne \(\widetilde{\Pi}{}^{\circ}_{0,3} \subset \widetilde{\Gamma}(2) \subset \widetilde{SL}(2, \mathbb{Z})\), extensions par \(\mathbb{Z}\) de \(\Pi_{0,3} \subset \Gamma(2) \subset SL(2, \mathbb{Z})\), elles-mêmes au-dessus de \(\Pi_{0,3} \subset \Pi_{0,3} \subset \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}\) ; dans une ligne, une extension \(\widetilde{\mathbb{D}}_3\) de \(\mathbb{D}'''_3\) par \(\mathbb{Z}\), quotient de \(\widetilde{SL}(2, \mathbb{Z})\) ; et, en bas, l'abélianisation \(\widetilde{SL}(2, \mathbb{Z}) \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/12 \to \mathbb{Z}/6\), le noyau de \(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) étant \(12\mathbb{Z}\). On peut lire \(\widetilde{\mathbb{D}}_3\) comme le produit fibré \(\mathbb{D}'''_3 \times_{\mathbb{Z}/12} \mathbb{Z}\), quotient de \(\widetilde{SL}(2, \mathbb{Z})\) par \((g \bmod \Pi'_{0,3},\ g_{\mathrm{ab}})\).⁴⁸

Au bas de la page 28, l'extension \(\widetilde{\Pi}{}^{\mathbb{D}}_{0,3}(4)\) est la somme amalgamée de \(\widetilde{\Pi}{}^{\mathbb{D}}_{0,3}\) le long de \(\mathbb{Z} \xrightarrow{4} \mathbb{Z}\) : \[ 1 \to \mathbb{Z} \to \widetilde{\Pi}{}^{\mathbb{D}}_{0,3}(4) \to \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \to 1, \qquad\text{et aussi}\qquad 1 \to \mathbb{Z}\omega \to \widetilde{\Pi}{}^{\mathbb{D}}_{0,3}(4) \to \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \times \mathbb{Z}/4 \to 1 , \] la seconde parce que l'image de l'ancien noyau est d'indice \(4\) dans le nouveau, et que l'extension quotient de \(\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}\) par \(\mathbb{Z}/4\) est scindée. La page demande alors ce qu'est l'image inverse de \(SL(2, \mathbb{Z}) \subset \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \times \mathbb{Z}/4\), et écrit un point d'interrogation : la réponse est aux pages 34 et 35.

30–30

La même chose, pour un \(\Pi\) quelconque (page 30)

La page 30 refait ce diagramme avec des lettres : \(\Pi\), son extension \(\widetilde{\Pi}\) par \(\mathbb{Z}\), un sous-groupe distingué \(\Pi_0\) de quotient \(\mathbb{D}_3\), et \(\Pi' \subset \Pi \times \mathbb{Z}/4\) l'image inverse de \(\mathbb{D}'_3 \subset \mathbb{D}_3 \times \mathbb{Z}/4\) : \[ \begin{array}{ccccccccc} 1 & \to & \Pi_0 & \to & \Pi \times \mathbb{Z}/4 & \to & \mathbb{D}_3 \times \mathbb{Z}/4 & \to & 1 \\ & & \parallel & & \cup & & \cup & & \\ 1 & \to & \Pi_0 & \to & \Pi' & \to & \mathbb{D}'_3 & \to & 1 \end{array} \] et l'extension \(\widetilde{\Pi}(4) \to \Pi \times \mathbb{Z}/4\) par \(\mathbb{Z}\).⁴⁹ C'est, avec \(\Pi = \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}\) et \(\Pi_0 = \Pi_{0,3}\), la description \(\Pi' = \mathcal{T}_{1,1} = SL(2, \mathbb{Z})\) de la page 15.

32–34

Classes d'extensions, et le caractère du revêtement (pages 32 et 34)

Un calcul dans \(\mathrm{Ext}^1\) (page 32)

Pour \(n \geqslant 1\), soit \(\eta_n \in \mathrm{Ext}^1(\mathbb{Z}/n, \mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}/n\) la classe de l'extension canonique \(0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{n} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n \to 0\). Soient \(p\), \(q\) deux entiers, \(\alpha \in (\mathbb{Z}/p)^{*}\), et \(\widetilde{\Pi}_0(q)\) l'extension de \(\mathbb{Z}/p \times \mathbb{Z}/q\) par \(\mathbb{Z}\) de classe⁵⁰ \[ \xi = \mathrm{pr}_1^{*}(\alpha\eta_p) + \mathrm{pr}_2^{*}(\eta_q) \ \in \mathrm{Ext}^1(\mathbb{Z}/p \times \mathbb{Z}/q, \mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}/p \oplus \mathbb{Z}/q . \] Soit \(\mu = \mathrm{ppcm}(p, q)\) et \(\delta = (\delta_p, \delta_q) : \mathbb{Z}/\mu \hookrightarrow \mathbb{Z}/p \times \mathbb{Z}/q\) le couple des réductions. En identifiant \(\mathrm{Ext}^1(\mathbb{Z}/n, \mathbb{Z})\) au dual \(\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/n, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})\), \(\eta_n\) correspondant à \(1 \mapsto \frac1n\), on trouve \[ \delta_p^{*}(\eta_p) = q'\,\eta_\mu, \qquad \delta_q^{*}(\eta_q) = p'\,\eta_\mu, \qquad q' = \frac{\mu}{p},\ p' = \frac{\mu}{q} , \] et donc la classe de l'extension \(\widetilde{\Pi}'_0 = \delta^{*}\widetilde{\Pi}_0(q)\) de \(\mathbb{Z}/\mu\) par \(\mathbb{Z}\) : \[ \xi' = \delta^{*}\xi = (p' + q'\alpha)\,\eta_\mu . \]

34–34

Le cas \(p = 6\), \(q = 4\) (page 34)

Pour \(p = 6\), \(q = 4\), on a \(\mu = 12\), \(p' = 3\), \(q' = 2\), et avec \(\alpha = -1\), \[ \xi' = (3 - 2)\,\eta_{12} = \eta_{12} \,! \] L'extension obtenue au-dessus de \(\mathbb{Z}/12\) est l'extension canonique : c'est celle qui, tirée en arrière par l'abélianisation, donne \(S\mathcal{T}_{1,1}\) à partir de \(\mathcal{T}_{1,1}\) (page 17). Le \(\mathbb{Z}/6\) est celui du revêtement défini par \(\mathcal{O}(1)\), le \(\mathbb{Z}/4\) celui du \(\mathbb{D}'_3\).⁵¹

Ce caractère est \[ \chi : \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \longrightarrow \mathbb{Z}/6, \qquad \rho \mapsto -2, \quad \sigma \mapsto 3, \quad \varepsilon_0 = \sigma\rho \mapsto 1, \quad \rho_0 = \varepsilon_0^{\,2} \mapsto 2 , \] défini directement par l'action de \(\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}\) sur le revêtement principal de \((U_{0,3}, \mathfrak{S}_3)\) de groupe \(\mu_6 \simeq \mathbb{Z}/6\) qui réduit le \(\mathbb{G}_m\)-torseur \(PU_{0,3} = \mathcal{O}_{U_{0,3}}(1)^{*}\) (page 22). Comme \(PU_{0,3}\) se déduit de ce \(\mu_6\)-torseur par l'inclusion \(\mu_6 \subset \mathbb{G}_m\), dont la suite d'homotopie est \(\mathbb{Z} \xrightarrow{6} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/6\), on a un carré cartésien \[ \pi_1(PU_{0,3}, \mathfrak{S}_3) = \widetilde{\Pi}{}^{\mathbb{D}}_{0,3} \simeq \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \times_{\mathbb{Z}/6} \mathbb{Z} , \] le noyau \(\mathbb{Z}\) étant engendré par le lacet \(\varpi'\) de la fibre \(\mathbb{G}_m\). Dans ce produit fibré, \(\tilde\rho = (\rho, -2)\) et \(\tilde\sigma = (\sigma, -3)\) vérifient \(\tilde\rho^{\,3} = \tilde\sigma^2 = (1, -6)\), générateur du noyau, et \[ \pi_1(PU_{0,3}, \mathfrak{S}_3) = \langle \tilde\rho, \tilde\sigma \mid \tilde\rho^{\,3} = \tilde\sigma^2 \rangle \simeq \widetilde{SL}(2, \mathbb{Z}) : \] ce sont les relèvements normalisés de la page 11 pour \(n = 3\), \(\nu = -1\). Ce groupe est le groupe des tresses \(B_3\), et l'espace \((PU_{0,3}, \mathfrak{S}_3)\) le complémentaire de la cubique cuspidale \(\gamma_2^3 = 2\gamma_3^2\) de la page 22.⁵²

Enfin la page écrit, au-dessus de \(\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \times \mathbb{Z}/4\), l'extension \(\widetilde{\Pi}{}^{\mathbb{D}}_{0,3}(4) = \pi_1(PU_{0,3}, \mathfrak{S}_3 \times \mu_4)\) de la page 28, et, en dessous, l'image inverse \(\widetilde{\mathcal{T}}_{1,1}\) du sous-groupe \(\mathcal{T}_{1,1} = \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/4\) : une extension de \(\mathcal{T}_{1,1}\) par le même \(\mathbb{Z}\), sous-groupe d'indice \(2\) de \(\widetilde{\Pi}{}^{\mathbb{D}}_{0,3}(4)\).⁵³

33–35

La réponse : \(S\mathcal{T}_{1,1} \simeq S\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}\) (pages 33 et 35)

Page 33

La question de la page 19 reçoit sa réponse : \[ S\mathcal{T}_{1,1} \simeq \widetilde{SL}(2, \mathbb{Z}) \simeq \langle \rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2 \rangle \simeq \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \times_{\mathbb{Z}/6} \mathbb{Z} = S\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} , \] par \(\rho \mapsto (\rho, 2)\), \(\sigma \mapsto (\sigma, 3)\). En effet, cette application envoie \(\omega = \rho^3 = \sigma^2\) sur \((1, 6)\), générateur du noyau du produit fibré ; elle est surjective sur \(\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}\), de noyau \(\langle \omega \rangle\), et induit un isomorphisme de ce noyau sur \(6\mathbb{Z}\).⁵⁴ La suite de la page, tête-bêche, reprend le diagramme de la page 30, avec la question de savoir comment \(\widetilde{\Pi}\) s'envoie dans \(\widetilde{\Pi}(4)\) au-dessus de \(\Pi'\).⁵⁵

35–35

Page 35

Dans \(S\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} = \langle \rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2 \rangle\), soit \(\omega = \rho^3 = \sigma^2\) et \(\omega' = \omega^{-1}\), générateur du noyau. La somme amalgamée le long de \(\omega' \mapsto \varpi^4\) est \[ S\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}(4) = \langle \rho, \sigma, \varpi \mid \varpi \text{ central},\ \rho^3 = \sigma^2 = \varpi^{-4} \rangle , \qquad 1 \to \mathbb{Z}\varpi^4 \to S\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}(4) \to \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \times \mathbb{Z}/4 \to 1 , \] avec \(\varpi \mapsto (1, 1)\) ; la page l'identifie à \(\pi_1(PU_{0,3}, \mathfrak{S}_3 \times \mu_4)\). L'application \[ S\mathcal{T}_{1,1} \longrightarrow S\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}(4), \qquad \rho \mapsto \rho\,\varpi^2, \quad \sigma \mapsto \sigma\,\varpi^3, \quad \omega \mapsto \varpi^2, \quad \omega^2 \mapsto \varpi^4 , \] est bien définie, relève \(\mathcal{T}_{1,1} \hookrightarrow \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \times \mathbb{Z}/4\), \(\rho \mapsto (\rho, 2)\), \(\sigma \mapsto (\sigma, 3)\), et envoie le noyau \(\mathbb{Z}\omega^2\) isomorphiquement sur \(\mathbb{Z}\varpi^4\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
1 \arrow[r] & \mathbb{Z}\varpi^4 \arrow[r] & S\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}(4) \arrow[r] & \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \times \mathbb{Z}/4 \arrow[r] & 1 \\
1 \arrow[r] & \mathbb{Z}\omega^2 \arrow[r] \arrow[u] & S\mathcal{T}_{1,1} \arrow[r] \arrow[u] & \mathcal{T}_{1,1} \arrow[r] \arrow[u, hook] & 1
\end{tikzcd}

Donc \(S\mathcal{T}_{1,1}\) est exactement l'image inverse de \(\mathcal{T}_{1,1}\) dans \(S\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}(4)\), sous-groupe d'indice \(2\), et c'est la réponse au point d'interrogation de la page 28.⁵⁶ En termes d'espaces, ce que les pages 26, 34 et 35 assemblent sans l'écrire en une ligne est que \(S\mathcal{T}_{1,1}\) est le groupe fondamental du champ \((PU_{0,3}, \mathbb{D}'_3)\), où \(\mathbb{D}'_3 = \mathfrak{S}_3 \times_{\mathbb{Z}/2} \mu_4 \subset \mathfrak{S}_3 \times \mu_4\) agit sur le \(\mathbb{G}_m\)-torseur \(\mathcal{O}(1)^{*}\) — c'est-à-dire, si l'on suit la page 26, du torseur \(PM_{1,1}\) au-dessus de \(M_{1,1}\).⁵⁷