Fonds Grothendieck, cote n° 14, pages 121–131

cette page conclut la liste des conditions (i) à (v) sur une famille M' de cycles de Z^{i}(X), posée à la page 120 ; la page 121, entre les deux, est un feuillet dactylographié étranger à ces notes

Ceci prouve, , les implications (\mathrm{ii}) \Longrightarrow (\mathrm{i}) \Longleftrightarrow (\mathrm{iv}) \Longrightarrow (\mathrm{iii}) \Longrightarrow (\mathrm{v}) par construction que les familles limitées de faisceaux définition de la K-équivalence de cycles R.R. les trois gloses sont écrites sous la chaîne d'implications, chacune rattachée par un trait à la flèche qu'elle justifie : la première à (\mathrm{ii}) \Rightarrow (\mathrm{i}), la deuxième à (\mathrm{i}) \Leftrightarrow (\mathrm{iv}), « R.R. » à (\mathrm{iv}) \Rightarrow (\mathrm{iii}) ; la première, en quatre lignes serrées, se lit mal. Le mot entre « prouve » et « les » est court et ne se lit pas

une accolade dans la marge de gauche embrasse les énoncés 2°) à 6° bis) ; entre deux énoncés consécutifs, une double flèche verticale, \Updownarrow partout sauf entre 1° bis) et 2°), où elle est \Downarrow, et entre 5°) et 6°), où il n'y en a pas. Les mots « nul » sont soulignés deux fois

1°) \mathcal{A}^{i}_{\uncertain{r}}(X)^{a} \times \mathcal{A}^{j}(X)^{a} \longrightarrow \mathcal{A}^{i+j}(X)^{a} nul

\Updownarrow

1° bis) \mathcal{A}^{i}(X)^{a} \times \mathcal{A}^{j}(Y)^{a} \longrightarrow \mathcal{A}^{i+j}(X \times Y)^{a} nul

\Downarrow

2°) \mathcal{A}_{0}(X)^{a} \times \mathcal{A}_{0}(Y)^{a} \longrightarrow \mathcal{A}_{0}(X \times Y)^{a} nul

\Updownarrow

2° bis) \mathcal{A}_{0}(X)^{a} \times \mathcal{A}_{0}(X)^{a} \longrightarrow \mathcal{A}_{0}(X \times X)^{a} nul

\Updownarrow

3°) a, x \in X, b, y \in Y \Longrightarrow (x,y) - (x,b) - (a,y) + (a,b) \sim 0 sous « a, x \in X » une petite insertion (un a surligné, un signe \in ?) ne se lit pas sûrement

\Updownarrow

3° bis) Kif-kif avec X = Y.

\Updownarrow

~~\mathcal{A}_{0}(X)^{\tau} \to \mathrm{Alb}(X)~~

4°) Si A v.a. , pour x, y \in A : (x+y) - (x) - (y) + (0) \sim 0 , i.e. x \mapsto (x) - (0) est un homom. A \to \mathcal{A}_{0}(A)^{\tau} [mais surjectif !] le signe \sim porte en dessous une petite marque, peut-être un a. L'exposant de \mathcal{A}_{0}(A), ici comme dans la ligne biffée au-dessus de 4°) et à la page 127, a la forme d'un \tau et non de son a ; transcrit tel qu'il se lit

\Updownarrow

4° bis) Si A v.a., l'hom. \mathcal{A}_{0}(A)^{a} \longrightarrow A est un isom. (Donc l'isom. réciproque est celui considéré dans 4°)

\Updownarrow

5°) Pour tt X, \mathcal{A}_{0}(X)^{a} \longrightarrow \mathrm{Alb}(\uncertain{A}) (qui est surj.) est un isomorphisme. la lettre dans \mathrm{Alb}(\;) est repassée, un A par-dessus un X ou l'inverse

6°) Pour X, Y, l'hom. \mathcal{A}_{0}(X \times Y)^{a} \longrightarrow \mathcal{A}_{0}(X)^{a} \times \mathcal{A}_{0}(Y)^{a} (qui est surj.) est bijectif.

(6° bis) Kif-kif avec X = Y.

feuille de brouillon pour la page 125, à l'encre et au crayon, sans ordre de lecture assuré ; transcrite de haut en bas

\begin{array}{cc} X & Y \\ a & b \end{array} \qquad X \times Y = Z \qquad\qquad A \times A \to A

(\underset{\sim\, 0}{z} \times b) \times (\underset{\sim\, 0}{a \times z'}) \quad \text{dans} \quad Z \times Z = X \times Y \times X \times Y

(z \times z') \times (b \times a)

3 \Longrightarrow 4 au crayon, à gauche, au-dessus de « 3 \Rightarrow 4 », deux lignes écrites dans l'autre sens de la feuille, dont une biffée, se lisent peut-être X^{2}/\mathbb{R}(S^{1}) \neq X^{2}(S^{1})/\mathbb{R}(S^{1}) ; lecture très douteuse. Au crayon aussi et dans l'autre sens, à droite, une colonne d'identités : a^{-1}(ab) = b, a(a^{-1}b) = b, (ba)a^{-1} = b, (ba^{-1})a = b

~~\sum \mathcal{A}(x,y)~~ \sum u_{x,y}\,(x,y) ~~(x,y)~~

\begin{tikzcd}[column sep=huge] A \arrow[r, "\text{hom. surjectif}"] & \mathcal{A}_{0}(A)^{\tau} \arrow[l, bend left=40, "\text{(hom. injectif)}"] \end{tikzcd}

le second mot de chacune des deux étiquettes est douteux (« surjectif », « injectif ») ; devant le A de gauche, un astérisque repassé

A \longrightarrow \mathcal{A}_{0}(A)^{\tau} est bij.

\begin{tikzcd} {[2, 2\,\mathrm{bis}, 3, 3\,\mathrm{bis}]} \arrow[r, leftrightarrow] & {[4, 4\,\mathrm{bis}]} \arrow[r, Rightarrow] & {[5]} \\ {[6, 6\,\mathrm{bis}]} \arrow[u, Rightarrow] & & \\ 5^{\circ} \arrow[u, Rightarrow] & & \end{tikzcd}

via les conditions toutes les flèches de ce schéma sont doubles sur la page, celle entre les deux premiers crochets à double pointe. L'étiquette encadrée « via les conditions » est reliée par un trait à la flèche \Leftrightarrow ; le « 5° » du bas est cerclé. Au-dessus de la flèche vers [5], « ~~th. de Weil~~ ». Une seconde double flèche montante, marquée « ~~th. de Weil~~ », part d'un « 5° » biffé vers [2, 2\,\mathrm{bis}, 3, 3\,\mathrm{bis}] ; une longue double flèche revient de la droite vers la gauche, marquée « ? » et accompagnée d'un texte biffé illisible. Deux grands traits au crayon entourent l'ensemble

\mathrm{Alb}(X \times Y)

~~\mathcal{A}_{0}(X \times Y) \to \mathcal{A}_{0}(~~

\mathcal{A}_{0}(X) \times \mathcal{A}_{0}(Y) \longrightarrow \mathcal{A}_{0}(X \times Y)

\mathcal{A}_{0}(X \times Y)^{\tau} \longrightarrow \mathcal{A}_{0}(X)^{\tau} \times \mathcal{A}_{0}(Y)^{\tau} \downarrow \mathrm{Alb}(X) \times \mathrm{Alb}(Y) la flèche verticale part de sous la flèche horizontale ; \mathrm{Alb}(X) \times \mathrm{Alb}(Y) est écrit par-dessus un premier \mathrm{Alb}(X \times Y), et la lecture de la surcharge est douteuse

~~x,y~~ x, y ~~\varphi(x) - \varphi(a)~~

~~x,y~~ ~~x - a~~ \varphi(x) - \varphi(a), \varphi(y) - \varphi(b)

(x,y) - (x,b) - (a,y) + (a,b)

x - x - a + a

Z \subset X \times S cycle d'incidence

Z^{i}(Y l'expression s'arrête là

C \subset X \longleftarrow X', X' \to S codim j éclaté « codim j » est écrit au-dessus de C, « éclaté » au-dessus de X' ; un trait oblique relie ce schéma au P(N) écrit plus haut à droite

\begin{tikzcd}[column sep=large] & C \times S & \\ C \arrow[d, hook, "\operatorname{codim} j+1"'] & P(N) \arrow[l] \arrow[u, no head, "\simeq" description] \arrow[d, hook, "\alpha"] & C_{y} \arrow[l, hook'] \arrow[d, hook, "\alpha_{y}"] \\ X & X' \arrow[l, "f"] \arrow[d] & Y(y) \arrow[l, hook', "i'_{y}"] \arrow[d] \arrow[ll, bend left=35, "i_{y}"] \\ & S & y \arrow[l] \end{tikzcd}

codim j pt générique variété rationnelle « codim j » est écrit à droite de \alpha_{y}, « pt générique » à droite de y, « variété rationnelle » sous S, qu'un trait lui rattache. C \times S est écrit au-dessus de P(N), relié par un signe \simeq vertical ; la flèche courbe i_{y} passe sous le diagramme, de Y(y) à X. L'étiquette f est placée sous la flèche X \leftarrow X'

y_{y} = i_{y}^{*}(y') f_{*}(y') = x i_{y}^{*}(x) = i'^{*}_{y}(f^{*}f_{*}(y')) \qquad f^{*}f_{*}y' = y' + \alpha_{*}(u) \begin{aligned} i_{y}^{*}(x) &= i'^{*}_{y}(y') + i'^{*}_{y}(\alpha_{*}(u)) \\ &= y' + \alpha_{y*}(u_{y}) \end{aligned} \qquad \text{Or } u_{y} = u, \ u \in A(C) à la dernière ligne il écrit y' là où l'on attend y_{y} = i'^{*}_{y}(y') ; transcrit tel quel

Donc \boxed{A(Y(y)) = \mathrm{Im}\, A(X) + \mathrm{Im}\, A(C)}\,. A^{i}(Y(y)) = \mathrm{Im}\, A^{i}(X) + \mathrm{Im}\, A^{i-j}(C) le mot abrégé en tête de la dernière ligne ne se lit pas ; devant A^{i-j}(C) un trait isolé, peut-être une parenthèse ébauchée

quelques notations au crayon, dans le sens de la hauteur

~~k[x~~ x^{2} - y^{\uncertain{3}} k[t] t^{2}, t^{3} k[x,y]/xy l'exposant de y est repassé. À côté, des croquis : quatre courts segments portant chacun un point marqué, et deux droites qui se croisent