Cote n° 14 · batch 7 · pages 121–131 · Transcription · Théorie des cycles algébriques : conjectures de Hodge, Tate, Lefschetz, Weil : notes manuscrites (s.d.), lettre (1965).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1971]
Édition de démonstration

122cette page conclut la liste des conditions (i) à (v) sur une famille \(M'\) de cycles de \(Z^{i}(X)\), posée à la page 120 ; la page 121, entre les deux, est un feuillet dactylographié étranger à ces notes

Ceci prouve[,] […][,] les implications \[ (\mathrm{ii}) \Longrightarrow (\mathrm{i}) \Longleftrightarrow (\mathrm{iv}) \Longrightarrow (\mathrm{iii}) \Longrightarrow (\mathrm{v}) \] par construction que les famille[s] limitées de faisceaux définition de la K-équivalence de cycles R.R. les trois gloses sont écrites sous la chaîne d'implications, chacune rattachée par un trait à la flèche qu'elle justifie : la première à \((\mathrm{ii}) \Rightarrow (\mathrm{i})\), la deuxième à \((\mathrm{i}) \Leftrightarrow (\mathrm{iv})\), « R.R. » à \((\mathrm{iv}) \Rightarrow (\mathrm{iii})\) ; la première, en quatre lignes serrées, se lit mal. Le mot entre « prouve » et « les » est court et ne se lit pas

125une accolade dans la marge de gauche embrasse les énoncés 2°) à 6° bis) ; entre deux énoncés consécutifs, une double flèche verticale, \(\Updownarrow\) partout sauf entre 1° bis) et 2°), où elle est \(\Downarrow\), et entre 5°) et 6°), où il n'y en a pas. Les mots « nul » sont soulignés deux fois

1°) \(\mathcal{A}^{i}_{\uncertain{r}}(X)^{a} \times \mathcal{A}^{j}(X)^{a} \longrightarrow \mathcal{A}^{i+j}(X)^{a}\) nul

\(\Updownarrow\)

1° bis) \(\mathcal{A}^{i}(X)^{a} \times \mathcal{A}^{j}(Y)^{a} \longrightarrow \mathcal{A}^{i+j}(X \times Y)^{a}\) nul

\(\Downarrow\)

2°) \(\mathcal{A}_{0}(X)^{a} \times \mathcal{A}_{0}(Y)^{a} \longrightarrow \mathcal{A}_{0}(X \times Y)^{a}\) nul

\(\Updownarrow\)

2° bis) \(\mathcal{A}_{0}(X)^{a} \times \mathcal{A}_{0}(X)^{a} \longrightarrow \mathcal{A}_{0}(X \times X)^{a}\) nul

\(\Updownarrow\)

3°) \(a, x \in X\), \(b, y \in Y \Longrightarrow (x,y) - (x,b) - (a,y) + (a,b) \sim 0\) sous « \(a, x \in X\) » une petite insertion (un \(a\) surligné, un signe \(\in\) ?) ne se lit pas sûrement

\(\Updownarrow\)

3° bis) Kif-kif avec \(X = Y\).

\(\Updownarrow\)

\(\mathcal{A}_{0}(X)^{\tau} \to \mathrm{Alb}(X)\)

4°) Si \(A\) v.a. […], pour \(x, y \in A\) : \[ (x+y) - (x) - (y) + (0) \sim 0 , \] i.e. \(x \mapsto (x) - (0)\) est un homom. \(A \to \mathcal{A}_{0}(A)^{\tau}\) [mais surjectif !] le signe \(\sim\) porte en dessous une petite marque, peut-être un \(a\). L'exposant de \(\mathcal{A}_{0}(A)\), ici comme dans la ligne biffée au-dessus de 4°) et à la page 127, a la forme d'un \(\tau\) et non de son \(a\) ; transcrit tel qu'il se lit

\(\Updownarrow\)

4° bis) Si \(A\) v.a., […] l'hom. \[ \mathcal{A}_{0}(A)^{a} \longrightarrow A \] est un isom. (Donc l'isom. réciproque est celui considéré dans 4°)

\(\Updownarrow\)

5°) Pour tt \(X\), […] \(\mathcal{A}_{0}(X)^{a} \longrightarrow \mathrm{Alb}(\uncertain{A})\) (qui est surj.) est un isomorphisme. la lettre dans \(\mathrm{Alb}(\;)\) est repassée, un \(A\) par-dessus un \(X\) ou l'inverse

6°) Pour \(X, Y\), l'hom. \(\mathcal{A}_{0}(X \times Y)^{a} \longrightarrow \mathcal{A}_{0}(X)^{a} \times \mathcal{A}_{0}(Y)^{a}\) (qui est surj.) est bijectif.

(6° bis) Kif-kif avec \(X = Y\).

127feuille de brouillon pour la page 125, à l'encre et au crayon, sans ordre de lecture assuré ; transcrite de haut en bas

\[ \begin{array}{cc} X & Y \\ a & b \end{array} \qquad X \times Y = Z \qquad\qquad A \times A \to A \]

\[ (\underset{\sim\, 0}{z} \times b) \times (\underset{\sim\, 0}{a \times z'}) \quad \text{dans} \quad Z \times Z = X \times Y \times X \times Y \]

\[ (z \times z') \times (b \times a) \]

\(3 \Longrightarrow 4\) au crayon, à gauche, au-dessus de « \(3 \Rightarrow 4\) », deux lignes écrites dans l'autre sens de la feuille, dont une biffée, se lisent peut-être \(X^{2}/\mathbb{R}(S^{1}) \neq X^{2}(S^{1})/\mathbb{R}(S^{1})\) ; lecture très douteuse. Au crayon aussi et dans l'autre sens, à droite, une colonne d'identités : \(a^{-1}(ab) = b\), \(a(a^{-1}b) = b\), \((ba)a^{-1} = b\), \((ba^{-1})a = b\)

\(\sum \mathcal{A}(x,y)\) \(\sum u_{x,y}\,(x,y)\) \((x,y)\)

\begin{tikzcd}[column sep=huge]
A \arrow[r, "\text{hom. surjectif}"] & \mathcal{A}_{0}(A)^{\tau} \arrow[l, bend left=40, "\text{(hom. injectif)}"]
\end{tikzcd}

le second mot de chacune des deux étiquettes est douteux (« surjectif », « injectif ») ; devant le \(A\) de gauche, un astérisque repassé

\(A \longrightarrow \mathcal{A}_{0}(A)^{\tau}\) est bij.

\begin{tikzcd}
{[2, 2\,\mathrm{bis}, 3, 3\,\mathrm{bis}]} \arrow[r, leftrightarrow] & {[4, 4\,\mathrm{bis}]} \arrow[r, Rightarrow] & {[5]} \\
{[6, 6\,\mathrm{bis}]} \arrow[u, Rightarrow] & & \\
5^{\circ} \arrow[u, Rightarrow] & &
\end{tikzcd}

via les conditions toutes les flèches de ce schéma sont doubles sur la page, celle entre les deux premiers crochets à double pointe. L'étiquette encadrée « via les conditions » est reliée par un trait à la flèche \(\Leftrightarrow\) ; le « 5° » du bas est cerclé. Au-dessus de la flèche vers \([5]\), « th. de Weil ». Une seconde double flèche montante, marquée « th. de Weil », part d'un « 5° » biffé vers \([2, 2\,\mathrm{bis}, 3, 3\,\mathrm{bis}]\) ; une longue double flèche revient de la droite vers la gauche, marquée « ? » et accompagnée d'un texte biffé illisible. Deux grands traits au crayon entourent l'ensemble

\(\mathrm{Alb}(X \times Y)\)

\(\mathcal{A}_{0}(X \times Y) \to \mathcal{A}_{0}(\)

\(\mathcal{A}_{0}(X) \times \mathcal{A}_{0}(Y) \longrightarrow \mathcal{A}_{0}(X \times Y)\)

\[ \mathcal{A}_{0}(X \times Y)^{\tau} \longrightarrow \mathcal{A}_{0}(X)^{\tau} \times \mathcal{A}_{0}(Y)^{\tau} \] \(\downarrow\) \(\mathrm{Alb}(X) \times \mathrm{Alb}(Y)\) la flèche verticale part de sous la flèche horizontale ; \(\mathrm{Alb}(X) \times \mathrm{Alb}(Y)\) est écrit par-dessus un premier \(\mathrm{Alb}(X \times Y)\), et la lecture de la surcharge est douteuse

\(x,y\) \(x, y\) \(\varphi(x) - \varphi(a)\)

\(x,y\) \(x - a\) \(\varphi(x) - \varphi(a)\), \(\varphi(y) - \varphi(b)\)

\((x,y) - (x,b) - (a,y) + (a,b)\)

\(x - x - a + a\)

130\(Z \subset X \times S\) cycle d'incidence

\(Z^{i}(Y\) l'expression s'arrête là

\(C \subset X \longleftarrow X'\), \(X' \to S\) codim \(j\) éclaté « codim \(j\) » est écrit au-dessus de \(C\), « éclaté » au-dessus de \(X'\) ; un trait oblique relie ce schéma au \(P(N)\) écrit plus haut à droite

\begin{tikzcd}[column sep=large]
 & C \times S & \\
C \arrow[d, hook, "\operatorname{codim} j+1"'] & P(N) \arrow[l] \arrow[u, no head, "\simeq" description] \arrow[d, hook, "\alpha"] & C_{y} \arrow[l, hook'] \arrow[d, hook, "\alpha_{y}"] \\
X & X' \arrow[l, "f"] \arrow[d] & Y(y) \arrow[l, hook', "i'_{y}"] \arrow[d] \arrow[ll, bend left=35, "i_{y}"] \\
 & S & y \arrow[l]
\end{tikzcd}

codim \(j\) pt générique variété rationnelle « codim \(j\) » est écrit à droite de \(\alpha_{y}\), « pt générique » à droite de \(y\), « variété rationnelle » sous \(S\), qu'un trait lui rattache. \(C \times S\) est écrit au-dessus de \(P(N)\), relié par un signe \(\simeq\) vertical ; la flèche courbe \(i_{y}\) passe sous le diagramme, de \(Y(y)\) à \(X\). L'étiquette \(f\) est placée sous la flèche \(X \leftarrow X'\)

\[ y_{y} = i_{y}^{*}(y') \] \[ f_{*}(y') = x \] \[ i_{y}^{*}(x) = i'^{*}_{y}(f^{*}f_{*}(y')) \qquad f^{*}f_{*}y' = y' + \alpha_{*}(u) \] \[ \begin{aligned} i_{y}^{*}(x) &= i'^{*}_{y}(y') + i'^{*}_{y}(\alpha_{*}(u)) \\ &= y' + \alpha_{y*}(u_{y}) \end{aligned} \qquad \text{Or } u_{y} = u, \ u \in A(C) \] à la dernière ligne il écrit \(y'\) là où l'on attend \(y_{y} = i'^{*}_{y}(y')\) ; transcrit tel quel

Donc \[ \boxed{A(Y(y)) = \mathrm{Im}\, A(X) + \mathrm{Im}\, A(C)}\,. \] […] \[ A^{i}(Y(y)) = \mathrm{Im}\, A^{i}(X) + \mathrm{Im}\, A^{i-j}(C) \] le mot abrégé en tête de la dernière ligne ne se lit pas ; devant \(A^{i-j}(C)\) un trait isolé, peut-être une parenthèse ébauchée

131quelques notations au crayon, dans le sens de la hauteur

\(k[x\) \(x^{2} - y^{\uncertain{3}}\) \(k[t]\) \(t^{2}, t^{3}\) \(k[x,y]/xy\) l'exposant de \(y\) est repassé. À côté, des croquis : quatre courts segments portant chacun un point marqué, et deux droites qui se croisent