Conjectures « Lefschetz » locales
titre souligné, de sa main
S = \operatorname{Spec} A, A anneau str. local noeth.,
f \in \mathfrak{m}_{A},
\begin{cases}
X = S - \text{pt fermé} \\
Y = X \cap V(f)
\end{cases}
X, Y réguliers, U = X - Y.
(1)
i \geqslant \frac{N+1}{2} N^{i}(X) \equiv 0, J^{i}(X) = 0
(mod gpes finis)
i.e. \mathcal{A}^{i}(X) \equiv 0 (mod gpes finis)
(2) J^{i}(X) \to J^{i}(Y)
\begin{array}{lll}
\text{bij.\ [exc.\ } p\text{] si} & i \leqslant \frac{N-2}{2} \\[2pt]
\text{inj.\ [exc.\ } p\text{] si} & i \leqslant \frac{N-1}{2} \\[2pt]
\text{nul si} & i \geqslant \frac{N}{2}
\end{array}
[N.B. Si i \geqslant \frac{N}{2}, J^{i}(Y) = 0 ! d'ailleurs si
i \geqslant \frac{N+1}{2}, J^{i}(X) = J^{i}(Y) = 0]
N^{i}(X) \to N^{i}(Y)
\begin{array}{lll}
\text{bij.\ [exc.\ } p\text{] si} & i \leqslant \frac{N-3}{2} \\[2pt]
\text{inj.\ [exc.\ } p\text{] si} & i \leqslant \frac{N-2}{2} \\[2pt]
\text{nul [mod.\ gpes finis] si} & i \geqslant \frac{N-1}{2}
\end{array}
Cas critiques N^{\frac{N-1}{2}}, N^{\frac{N}{2}}
les deux indices sont soulignés d'un crochet
[N.B. si i \geqslant \frac{N-1}{2}, on a N^{i}(Y) \equiv 0 ; si
i \geqslant \frac{N}{2}, N^{i}(X) = N^{i}(Y) = 0 ?]
Cas critiques N^{\frac{N-2}{2}}, N^{\frac{N-1}{2}}
le N de ces deux symboles est repassé à l'encre épaisse
\mathcal{A}^{i}(X) \to \mathcal{A}^{i}(Y) bij. si
i \leqslant \frac{N-3}{2}, inj. si i \leqslant \frac{N-2}{2}
Cas critiques i = \frac{N-2}{2}, \frac{N-1}{2}, \frac{N}{2}
conséquence de 1° et 2°
(3) \mathcal{A}^{i}(X) \longrightarrow \mathcal{A}^{i}(U)
un isom. mod gpes finis, tjs ; un isom. si
i \leqslant \frac{N-1}{2} [NB. si
\mathcal{A}^{i}(Y) \longrightarrow \mathcal{A}^{i+1}(X) nul
mod gpes finis, tjs ; nul si i \leqslant \frac{N-1}{2}
[NB si i \geqslant \frac{N}{2}, \mathcal{A}^{i}(Y) est un gpe
fini !]
(4) Pb. Définir des formes « intersections »
N^{i}(X) \times N^{i}(X) \to \mathbb{Z} ??
Définir par J^{\frac{N-1}{2}}(X) \to J^{\frac{N-1}{2}}(Y) resp.
N^{\frac{N-2}{2}}(X) \to N^{\frac{N-2}{2}}(Y) via théorie des
cycles évanouissants ——
un trait horizontal traverse la page
Ex N = 2
(1) \boxed{N^{1}(X) \text{ fini}} : c'est le th. de
(2) vide
(3) \mathcal{A}^{1}(X) \to vide
Groupe fini essentiel J^{1}(X)
Ex N = 3
(1) \boxed{\mathcal{A}^{2}(X) \text{ fini}} en
particulier J^{2}(X) = 0
(2) \boxed{J^{1}(X) \to J^{1}(Y) \quad \text{injectif exc.}}
(3) \mathcal{A}^{2}(X) contenu dans 1°)
groupes essentiels J^{1}(X), N^{1}(X) définissant
\mathcal{A}^{1}(X)
homs essentiels J^{1}(X) \longrightarrow J^{1}(Y),
N^{1}(X)' \longrightarrow J^{1}(Y) \bigl|
\mathcal{A}^{1}(X)' \longrightarrow J^{1}(Y)
sous-groupe d'indice fini de N^{1}(X)
la glose en marge se rapporte, par un trait, au N^{1}(X)'
Pb définir un complémentaire naturel de J^{1}(X) dans
J^{1}(Y) (correspondant aux « cycles évanescents »)
Donner un sens à la formule
J^{1}(X) \xrightarrow{\ \sim\ } J^{1}(Y)^{\pi}
Interpréter le th. de Hodge l'indice de Hodge pour surfaces
projectives en termes de la négativité d'une certaine forme définie sur
N^{1}(X)… ?
Ex N = 4
(1)
\begin{cases}
N^{2}(X) \text{ fini} \\
\mathcal{A}^{3}(X) \text{ fini, en particulier } J^{3}(X) = 0
\end{cases}
(2) J^{1}(X) \to J^{1}(Y) bij exc. p
N^{1}(X) \longrightarrow N^{1}(Y) inj. exc p
\Longrightarrow \mathcal{A}^{1}(X) \to \mathcal{A}^{1}(Y) bij
exc. p
(3)
le chiffre est surchargé et rien ne suit sur la page
groupes essentiels J^{2}(X), N^{1}(X)
hom essentiel N^{1}(X) \longrightarrow N^{1}(Y)
Pb définir un complémentaire naturel de N^{1}(X) dans
N^{1}(Y) (cycles évanouissants). Donner Donner un sens à la
formule
N^{1}(X) \xrightarrow{\ \sim\ } N^{1}(Y)^{\pi}
un trait horizontal sépare ce qui suit
Cas important N = 2m+1, on trouve alors
\mathcal{A}^{m+1}(X) \equiv 0 \qquad \bigl(\text{et } \mathcal{A}^{i}(X)
\equiv 0 \text{ si } i \geqslant m+1\bigr)
[Cas N = 2m, alors N^{m}(X) \equiv 0 i.e.
J^{m}(X) \equiv \mathcal{A}^{m}(X), et \mathcal{A}^{m+1}(X) \equiv 0,
(et \mathcal{A}^{i}(X) \equiv 0 si i \geqslant m+1)
le crochet ouvert n'est pas refermé
Conjectures « Lefschetz » (k alg. clos)
titre de sa main : « Conjectures » souligné, « "Lefschetz" » ajouté
au-dessus, « (k alg. clos) » à la suite
Soit X^{n} projectif lisse connexe, Y^{n-1} section hyperplane lisse.
— \mathcal{A}^{i}_{r}(X) … cycles de codimension i mod équivalence
\mathcal{A}^{i}_{a}(X) algébrique
\mathcal{A}^{i}_{\tau}(X) équivalence \tau
(1) \mathcal{A}^{i}_{r}(X) \longrightarrow \mathcal{A}^{i}_{r}(Y)
bijectif [exc. p] si 2i \leqslant n-2 i.e.
i \leqslant \frac{n-1}{2} ; injectif exc. p si 2i = n-1 …
i.e. i \leqslant \frac{n-1}{2} ; bijectif
un premier tableau encadré, à droite, est biffé en zigzag ; la suite le
reprend ligne par ligne
2i \leqslant n-2 i.e. i < \frac{n-1}{2}
bijectif [exc. p ?]
2i = n-1 i.e. i = \frac{n-1}{2}
injectif [exc. p,]
induit \mathcal{A}^{i}_{r}(X)^{\tau} \longrightarrow
\mathcal{A}^{i}_{r}(Y)^{\tau} bijectif [exc. p]
\Longrightarrow \mathcal{A}^{i}_{a}(X) \longrightarrow
\mathcal{A}^{i}_{a}(Y) bijectif [exc. p]
\mathcal{A}^{i}_{\tau}(X) \longrightarrow
\mathcal{A}^{i}_{\tau}(Y) injectif
2i = n i.e. i = \frac{n}{2}
n est ici surchargé, dans les deux membres
induit \mathcal{A}^{i}_{r}(X)^{\tau} \longrightarrow
\mathcal{A}^{i}_{r}(Y)^{\tau} injectif [exc. p]
(2) \mathcal{A}^{r}_{i}(Y) \longrightarrow \mathcal{A}^{r}_{i}(X)
2i \leqslant n-3 i.e. i \leqslant \frac{n-3}{2}
bijectif [exc. p ?]
2i = n-2 i.e. i = \frac{n-2}{2}
\begin{cases}
\text{surjectif [exc.\ } p\text{]} \\
\text{induit } \mathcal{A}^{r}_{i}(Y)^{\tau} \to \mathcal{A}^{r}_{i}(X)^{\tau}
\quad \text{surj.\ [exc.\ } p\text{]} \\
\text{induit } \mathcal{A}^{a}_{i}(Y) \to \mathcal{A}^{a}_{i}(X)
\quad \text{bij.\ [exc.\ } p\text{]}
\end{cases}
les « [exc. p] » de cette page sont ajoutés au crayon ou d'une encre
plus pâle
2i = n-1 i.e. i = \frac{n-1}{2}
induit \mathcal{A}^{\tau}_{i}(Y) \longrightarrow
\mathcal{A}^{\tau}_{i}(X) surj. exc. p
(3) \mathcal{A}^{i}_{a}(X) \xrightarrow{E^{n-2i}}
\mathcal{A}^{n-i}_{a}(X) (2i \leqslant n)
injectif exc. p bijectif mod groupes finis
induit \mathcal{A}^{i}_{\tau}(X) \to
\mathcal{A}^{n-i}_{\tau}(X) bijectif mod groupes finis
\mathcal{A}^{i}_{r}(X)^{\tau} \xrightarrow{E^{n-2i+1}}
\mathcal{A}^{n-i+1}_{r}(X)^{\tau} (2i-1 \leqslant n)
bijectif mod groupes finis
\Longrightarrow \qquad \mathcal{A}^{i}_{r}(X) \xrightarrow{E^{p}}
\mathcal{A}^{i+p}_{r}(X)
a) injectif mod gpes finis si p \leqslant n-2i
b) surjectif mod gpes finis si p \geqslant n-2i+1
un trait horizontal ; le reste de la page est blanc
(2') Posons U = X - Y, qui est une variété affine non sing.
\mathcal{A}^{i}_{r}(U) \simeq \mathcal{A}^{i}_{r}(X)/\operatorname{Im}
\mathcal{A}^{i}_{r}(Y), \quad \text{de même pour } \mathcal{A}_{a}(U) \ldots
2i \leqslant n-2 i.e. i \leqslant \frac{n}{2} - 1
\mathcal{A}^{r}_{i}(U) = 0 (exc. p ?)
2i = n-1 i.e. i = \frac{n-1}{2}
\mathcal{A}^{a}_{i}(U) = 0 (exc p ?)
(3') Soit E le cône projetant affine associé à X, (variété
quasi-affine non sing. de dim 2n+1).
on attendrait n+1 ; nous lisons ce que la page porte
2i \geqslant n+2 i.e. i \geqslant \frac{n}{2} + 1,
n - i \leqslant \frac{n}{2} - 1 \mathcal{A}^{i}_{r}(E)
\equiv fini, \mathcal{A}^{i}_{r}(E)^{a} = 0
2i \geqslant n+1 i.e. i \geqslant \frac{n+1}{2} i.e.
n - i \leqslant \frac{n-1}{2} \mathcal{A}^{i}_{a}(E) fini
N.B. On doit avoir
\begin{cases}
\mathcal{A}^{i}_{a}(E) \simeq P^{i}_{a}(X) & \text{(mod gpes finis) si } 2i \leqslant n \\
\mathcal{A}^{i}_{a}(E) \simeq 0 & \text{mod gpes finis si } 2i \geqslant n+1
\end{cases}
entre les deux lignes, une troisième est barrée :
« \mathcal{A}^{i}_{\tau}(E)^{a} \simeq P^{i}_{\tau}(X) mod gpes finis si
2i \leqslant n+1 » ; la lettre P est surchargée à l'encre épaisse sur
une première lettre illisible
\begin{cases}
\mathcal{A}^{i}_{r}(E)^{a} \simeq I^{i}(X) & \text{mod gpes finis si } 2i \leqslant n+1 \\
\mathcal{A}^{i}_{r}(E)^{a} \simeq 0 & \text{mod gpes finis si } 2i \geqslant n+2
\end{cases}
où
\begin{aligned}
P_{a}(X) &\simeq \operatorname{Ker}\bigl(\mathcal{A}^{i}_{a}(X)
\xrightarrow{L^{n-2i}} \mathcal{A}^{n-i}_{a}(X)\bigr)
&& \text{partie « primitive » de la « coh.\ algébrique »} \\
I_{r}(X) &= \operatorname{Ker}\bigl(\mathcal{A}^{i}_{r}(X)^{a}
\xrightarrow{L^{n-2i+1}} \mathcal{A}^{n-i+1}_{r}(X)^{a}\bigr)
&& \text{partie « primitive » de la V.A.\ intermédiaire}
\end{aligned}
les lettres P et I sont surchargées ; les deux gloses sont en marge
droite
brouillon rapide, traversé de haut en bas par un long trait au crayon ;
la prose de liaison est en grande partie illisible
Th. 4 Soit A un anneau local noeth. complet tel
que les composantes irréductibles de S = \operatorname{Spec} A soient
« d'égale dim ». Soit f \in \mathfrak{m}_{A}, et U = S_{f}. Alors
On peut supposer A intègre [normal] complet [de dim n], et on est
ramené à prouver H^{i}(U, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) = 0 si i > n.
A est fini sur un anneau de séries formelles
A_{0} = k[[t_{1}, \ldots, t_{n}]], et on peut supposer de plus
K/K_{0} séparable, quitte à remplacer A
A_{0} . Soit \delta \in \mathfrak{m}A_{0} tel que
S_{\delta} sur S_{0\delta} de K_{0} dans K
…). On
S \to S_{0} = \operatorname{Spec} k[[t_{1}, \ldots, t_{n}]]
\to S'_{0} = \operatorname{Spec} k[[t_{1}, \ldots, t_{n-1}]]\{t_{n}\}
petit schéma vertical en marge gauche, au niveau de A_{0}
1) n = 2
Ex. n = 2
(1) \mathcal{A}^{0}_{r}(X) \to \mathcal{A}^{0}_{r}(Y)
bijectif exc p ok
\mathcal{A}^{1}_{r}(X)^{\tau} \to \mathcal{A}^{1}_{r}(Y)^{\tau}
injectif exc. p ok
(2) \mathcal{A}^{r}_{0}(Y) \to \mathcal{A}^{r}_{0}(X)
surjectif exc. p ok
\mathcal{A}^{r}_{0}(Y)^{\tau} \to \mathcal{A}^{r}_{0}(X)^{\tau}
—- ok
\mathcal{A}^{a}_{0}(Y) \to \mathcal{A}^{a}_{0}(X) bijectif
exc. p ok (les deux \simeq \mathbb{Z})
du moins si équiv. alg. des 0-cycles
= équiv. d'Albanese…
la note marginale, séparée par un trait vertical, se rapporte aux deux
lignes \mathcal{A}^{r}_{0}
(3)
\left.\begin{array}{c}
\mathcal{A}^{0}_{a}(X) \xrightarrow{E^{2}} \mathcal{A}^{2}_{a}(X) \\
\wr\!\!\parallel \qquad\qquad \wr\!\!\parallel \\
\mathbb{Z} \qquad\qquad\ \ \mathbb{Z} \\[4pt]
\mathcal{A}^{1}_{a}(X) \xrightarrow{E^{0} = \mathrm{id}} \mathcal{A}^{1}_{a}(X)
\end{array}\right\}
bijectif mod gpes finis OK.
\left.\begin{array}{c}
\mathcal{A}^{0}_{r}(X)^{\tau} \longrightarrow \mathcal{A}^{2}_{r}(X) \\
\wr\!\!\parallel \qquad\qquad \wr\!\!\parallel \\
0 \qquad\qquad\ \ 0 \\[4pt]
\mathcal{A}^{1}_{r}(X)^{\tau} \xrightarrow{\ \mathrm{id}\ } \mathcal{A}^{1}_{r}(X)^{\tau}
\end{array}\right\}
bij. mod gpes finis OK.
à la première ligne du second groupe, l'exposant et l'indice du but se
lisent mal ; on attendrait \mathcal{A}^{3}_{r}(X)^{\tau}, nul pour n = 2
(2') \mathcal{A}^{r}_{0}(U) = 0
O.K. si équivalence numérique = équiv. d'Albanese
Ex. n = 3
(1) \mathcal{A}^{0}_{r}(X) \to \mathcal{A}^{0}_{r}(Y)
bij. exc p O.K.
\mathcal{A}^{1}_{r}(X) \to \mathcal{A}^{1}_{r}(Y) injectif
exc p O.K.
\mathcal{A}^{1}_{r}(X)^{\tau} \to \mathcal{A}^{1}_{r}(Y)^{\tau}
bijectif exc p O.K.
les exposants de cette ligne se lisent mal ; nous suivons le cas
2i = n-1 de la page 110
(2) \mathcal{A}^{r}_{0}(Y) \to \mathcal{A}^{r}_{0}(X)
bijectif exc. p O.K.
si équiv. num. = équiv. Alb.
\mathcal{A}^{a}_{1}(Y) \longrightarrow \mathcal{A}^{a}_{1}(X)
surjectif exc. p ( ? )
le point d'interrogation est encerclé, et relié par un trait à la
ligne suivante
(3)
\begin{array}{c}
\mathcal{A}^{0}_{a}(X) \xrightarrow{E^{3}} \mathcal{A}^{3}_{a}(X) \\
\wr\!\!\parallel\mathbb{Z} \qquad \wr\!\!\parallel\mathbb{Z} \\
\mathcal{A}^{1}_{a}(X) \xrightarrow{E^{1}} \mathcal{A}^{2}_{a}(X)
\end{array}
bijectif mod gpes finis O.K. bijectif ( ? )
bijectif mod gpes finis
décid. gpes finis
le second « ( ? ) », cerclé à l'encre épaisse, porte la légende
« Question “numérique” »
\mathcal{A}^{0}_{r}(X)^{\tau} \xrightarrow{E^{4}}
\mathcal{A}^{4}_{r}(X)^{\tau} bijec. mod finis ok
\wr\!\!\parallel 0 \wr\!\!\parallel 0
\mathcal{A}^{1}_{r}(X)^{\tau} \xrightarrow{E^{2}}
\mathcal{A}^{3}_{r}(X)^{\tau} id ok
\mathcal{A}^{2}_{r}(X)^{\tau} \xrightarrow{\ \mathrm{id}\ }
\mathcal{A}^{2}_{r}(X)^{\tau} id ok
si équiv. \simeq équiv.
la marge se rapporte à la deuxième ligne ; « id » dans la colonne des
conclusions vaut « idem » ; l'exposant 4 du but est surchargé
(2') \mathcal{A}^{r}_{0}(U) = 0
\mathcal{A}^{a}_{1}(U) = 0 (exc p) ??
les deux points d'interrogation sont cerclés au crayon
Ex. n = 4
(1) \mathcal{A}^{0}_{r}(X) \to \mathcal{A}^{0}_{r}(Y)
bij. exc. p ok (les deux \simeq \mathbb{Z})
\mathcal{A}^{1}_{r}(X) \to \mathcal{A}^{1}_{r}(Y) bij. exc.
p O.K.
\mathcal{A}^{2}_{r}(X)^{\tau} \to \mathcal{A}^{2}_{r}(Y)^{\tau}
injectif exc. p ( ? ) — question « continue »
(2) \mathcal{A}^{r}_{0}(Y) \to \mathcal{A}^{r}_{0}(X)
bijectif exc. p O.K.
si équiv. num. = équiv. Alb
\mathcal{A}^{r}_{1}(Y) \longrightarrow \mathcal{A}^{r}_{1}(X)
surj. exc. p ?
\mathcal{A}^{r}_{1}(Y)^{\tau} \longrightarrow
\mathcal{A}^{r}_{1}(X)^{\tau} surj. exc. p ( ? ) — question
« continue »
\mathcal{A}^{a}_{1}(Y) \longrightarrow \mathcal{A}^{a}_{1}(X)
bij. exc. p ( ? ) — question « numérique » (ess.t)
(3) \mathcal{A}^{0}_{a}(X) \xrightarrow{E^{4}}
\mathcal{A}^{4}_{a}(X) bij. mod gpes finis O.K.
(les deux \simeq \mathbb{Z})
\mathcal{A}^{1}_{a}(X) \xrightarrow{E^{2}} \mathcal{A}^{3}_{a}(X)
id ( ? )
\mathcal{A}^{2}_{a}(X) \xrightarrow{\ \mathrm{id}\ }
\mathcal{A}^{2}_{a}(X) id O.K.
des traits au crayon relient les « ( ? ) » de cette page à une
mention « mod gpes finis » en marge
\mathcal{A}^{0}_{r}(X)^{\tau} \xrightarrow{E^{5}}
\mathcal{A}^{5}_{r}(X)^{\tau} bij. id ok
\wr\!\!\parallel 0 \wr\!\!\parallel 0
\mathcal{A}^{1}_{r}(X)^{\tau} \xrightarrow{E^{3}}
\mathcal{A}^{4}_{r}(X)^{\tau} id OK
si équiv. num. = équiv. Alb
\mathcal{A}^{2}_{r}(X)^{\tau} \xrightarrow{\ E\ }
\mathcal{A}^{3}_{r}(X)^{\tau} id ( ? ) — question « continue »
(2') \mathcal{A}^{r}_{0}(U) = 0,
\mathcal{A}^{r}_{1}(U) = 0 exc p. ??
les deux derniers points d'interrogation, cerclés, sont presque
effacés
Notations Pour X variété projective non singulière.
\begin{cases}
H^{*}(X) & \text{cohomologie } \ell\text{-adique} \\
P^{*}(X) & \text{partie primitive de la cohomologie}
\end{cases}
on peut mettre des coeff.
\begin{cases}
\mathcal{A}^{*}(X) = \mathcal{A}^{*}_{r}(X) & \text{anneau de Chow (équiv.\ rationnelle)} \\
N^{*}(X) = \mathcal{A}^{*}_{a}(X) & \text{id.\ pour équiv.\ algébrique} \\
J^{*}(X) = \mathcal{A}^{*}_{r}(X)^{a}
\end{cases}
0 \longrightarrow J^{*}(X) \longrightarrow \mathcal{A}^{*}(X) \longrightarrow
N^{*}(X) \longrightarrow 0
\begin{cases}
M^{*}(X) & \text{partie primitive de } N^{*}(X) \\
I^{*}(X) & \text{partie primitive de } J^{*}(X)
\end{cases}
« id. » rend ses guillemets de répétition
N.B. Je ne sais pas s'il y a une définition raisonnable de la
« partie primitive » de \mathcal{A}^{*}(X) —
1) Les cycles num. équivalents à 0 sur X, mod équiv.
rationnelle, sont décrits par un ens. fini de « familles
algébriques » de cycles.
\Longrightarrow
\begin{cases}
(\text{équiv.\ num.} = \tau\text{-équivalence}) \\
\text{les } \mathcal{A}^{i}_{a}(X) \text{ sont de type fini} \ldots
\end{cases}
\ \Downarrow
2) (x, y) - (x, b) - (a, y) + (a, b) \underset{a}{\sim} 0
1) et 2) \Longrightarrow Les \mathcal{A}^{i}_{r}(X)^{a} sont des V.A.
\begin{cases}
\mathcal{A}^{i}_{r}(X)^{a} \times \mathcal{A}^{j}_{r}(Y)^{a} \longrightarrow
\mathcal{A}^{i+j}_{r}(X \times Y)^{a} & \text{est une \ill{}} \\
\mathcal{A}^{i}_{r}(X)^{a} \times \mathcal{A}^{j}_{r}(X)^{a} \longrightarrow
\mathcal{A}^{i+j}_{r}(X)^{a} & \text{est une \ill{}}
\end{cases}
2) \Longleftrightarrow \mathcal{A}_{0}(X \times Y)^{a}
\xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{A}_{0}(X)^{a} \times \mathcal{A}_{0}(Y)^{a}
bijectif
X schéma projectif
M \subset K(X)
Conditions équivalentes (i) \exists familles
limitées de faisceaux loc. libres (F_{i}), (G_{i}) sur
X, tel que M contenu dans l'ens. des \gamma(F_{i}) - \gamma(G_{i})
« loc. libres » est ajouté au-dessus de la ligne, de sa main
(ii) \exists des entiers n, N et des parties finies
de polynômes P \subset \mathbb{Q}[T], telles que les
\xi \in M soient de la forme \gamma(F) - \gamma(G), F et G des
quotients loc. libres de \mathcal{O}(-n)^{N}, de polynômes de Hilbert
\in P.
les polynômes de Hilbert des \xi \in M sont en nb fini ?
ligne cerclée, écrite au-dessus de (iii)
(iii) [\exists des faisceaux loc. libres A et B
\mathcal{O}(-n)^{N} ) tels que les
\xi + \gamma(A) (\xi \in M) soient décrits par des
faisceaux loc. libres, quotients de B = faisceau \mathcal{O}
loc. libre (\mathcal{O}(-n)^{N} ].
(iii) \Longrightarrow (ii) trivial, compte tenu que A, B sont
quotients de \mathcal{O}(-n)^{N} pour n, N convenables,
(ii) \Longleftrightarrow (i) par la caractérisation des familles limitées
(ii) \Longrightarrow (iii) on a si G = \mathcal{O}(-n)^{N}/R, …
\xi = \gamma(F) - \gamma\bigl(\mathcal{O}(-n)^{N}\bigr) + \gamma(R)
d'où
\xi + \gamma\bigl(\mathcal{O}(-n)^{N}\bigr) = \gamma(F + R).
Or F + R est un quotient de \mathcal{O}(-n)^{N}_{\xi}, donc
les F + R sont quotients d'un …
la page s'arrête ici au milieu de la phrase ; l'indice \xi de la
dernière ligne se lit mal
Supposons de plus X non singulier, et considérons des une
partie M' de Z^{i}(X), (considérons les cycles à
K-équivalence près …). Conditions possibles :
« de plus » et « considérons les » sont ajoutés au-dessus de la ligne
(i) \exists La famille de M' est limitée, i.e.
définie par une famille limitée de cycles algébriques.
(ii) La famille de M' est « numériquement limitée » (i.e. un ens. fini
de classes d'équivalence numérique ) et \exists
Z_{0} \in Z^{i}(X) tel que les Z + d(Z_{0}) Z_{0} + Z
(Z \in M) soient « positifs » … i.e. soient des cycles
positifs.
(iii) Il y a une famille limitée de de faisceaux loc. libres
Il y a une famille limitée M \subset K(X) telle que
\forall Z \in M', \exists \xi \in M tel que
(i-1)!\, Z = c^{i}(\xi)
(iv) Il y a une famille limitée M \subset K^{(i)}(X) telle que
M' \subset \operatorname{Image} de M.
(v) La famille M' est numériquement limitée.
la suite de cette liste — les implications entre (i) et (v) — est à la
page 122 ; la page 121 est un feuillet dactylographié étranger