Cote n° 14 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · Théorie des cycles algébriques : conjectures de Hodge, Tate, Lefschetz, Weil : notes manuscrites (s.d.), lettre (1965).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1971]
Édition de démonstration

Conjectures de Lefschetz pour cycles algébriques

titre de sa main, sur le feuillet de garde 101, suivi d'une accolade réunissant deux lignes : « Extension aux Jac. inter. » (Jac. inter. souligné) et « Conjectures locales » (locales souligné)

102\(X\) surface projective non sing.

\(Y\) section hyperplane non sing.

\(N^{1}(X) \to N^{1}(Y)\) surjectif mod gpe fini, noyau de rang \(\rho - 1\)

\(J^{1}(X) \to J^{1}(Y)\) injectif exc. \(p\).

\(\mathcal{A}^{1}(X) \to \mathcal{A}^{1}(Y)\) noyau \(K\) tel que \(K \cap J^{1}(X)\) fini, donc \(K\) de type fini.

Soit \(B^{1}(X)\) « partie primitive » de \(\mathcal{A}^{1}(X)\), formée des classes de diviseurs de degré \(0\), donc \[ B^{1}(X) \longrightarrow J^{1}(Y) \qquad [\,B^{1}(X) \text{ contenant } K\,] \] \[ 0 \to K \xrightarrow[\text{mod gpes finis}]{\text{inj.}} M^{1}(X) \longrightarrow \underbrace{N^{1}(Y)/\operatorname{Im} N^{1}(X)}_{\text{partie « mobile » de } N^{1}(Y)} \] la lecture « mobile » est douteuse

Question. Un […] de \(M^{1}(X)\) […] […] […] […] \(N^{1}(Y)/N^{1}(X)\) […] […] contenu dans \(K\) i.e. dans […] passage barré en zigzag ; au-dessous, un petit schéma « \(I \to K\) »

N.B. « En général » \(M^{1}(X) \to N^{1}(Y)/N^{1}(X)\) est injectif mod gpes finis, donc \(K\) fini. Je présume qu'il en est ainsi si les sections hyperplanes de \(X\) des bons pinceaux passant par \(Y\) sont des courbes irréductibles… le dernier mot est souligné deux fois

Conjectures « Lefschetz » locales

105titre souligné, de sa main

\(S = \operatorname{Spec} A\), \(A\) anneau str. local noeth., \(f \in \mathfrak{m}_{A}\), \[ \begin{cases} X = S - \text{pt fermé} \\ Y = X \cap V(f) \end{cases} \] \(X\), \(Y\) réguliers, \(U = X - Y\).

(1) […] \(i = \frac{N}{2}\) \(N^{i}(X) \equiv\) […] \(0\) (mod gpes finis) le signe entre \(i\) et \(\frac{N}{2}\) est surchargé ; \(=\) est la lecture finale

\(i \geqslant \frac{N+1}{2}\) \(N^{i}(X) \equiv 0\), \(J^{i}(X) = 0\) (mod gpes finis)

i.e. \(\mathcal{A}^{i}(X) \equiv 0\) (mod gpes finis)

(2) \(J^{i}(X) \to J^{i}(Y)\) \[ \begin{array}{lll} \text{bij.\ [exc.\ } p\text{] si} & i \leqslant \frac{N-2}{2} \\[2pt] \text{inj.\ [exc.\ } p\text{] si} & i \leqslant \frac{N-1}{2} \\[2pt] \text{nul si} & i \geqslant \frac{N}{2} \end{array} \] [N.B. Si \(i \geqslant \frac{N}{2}\), \(J^{i}(Y) = 0\) ! d'ailleurs si \(i \geqslant \frac{N+1}{2}\), […] \(J^{i}(X) = J^{i}(Y) = 0\)]

\(N^{i}(X) \to N^{i}(Y)\) \[ \begin{array}{lll} \text{bij.\ [exc.\ } p\text{] si} & i \leqslant \frac{N-3}{2} \\[2pt] \text{inj.\ [exc.\ } p\text{] si} & i \leqslant \frac{N-2}{2} \\[2pt] \text{nul [mod.\ gpes finis] si} & i \geqslant \frac{N-1}{2} \end{array} \] Cas critiques \(N^{\frac{N-1}{2}}\), \(N^{\frac{N}{2}}\) les deux indices sont soulignés d'un crochet

[N.B. si \(i \geqslant \frac{N-1}{2}\), on a \(N^{i}(Y) \equiv 0\) ; si \(i \geqslant \frac{N}{2}\), […] \(N^{i}(X) = N^{i}(Y) = 0\) ?]

106Cas critiques \(N^{\frac{N-2}{2}}\), \(N^{\frac{N-1}{2}}\)

le \(N\) de ces deux symboles est repassé à l'encre épaisse

\(\mathcal{A}^{i}(X) \to \mathcal{A}^{i}(Y)\) bij. si \(i \leqslant \frac{N-3}{2}\), inj. si \(i \leqslant \frac{N-2}{2}\)

Cas critiques \(i = \frac{N-2}{2}, \frac{N-1}{2}, \frac{N}{2}\)

conséquence de 1° et 2° (3) \(\mathcal{A}^{i}(X) \longrightarrow \mathcal{A}^{i}(U)\) un isom. mod gpes finis, tjs ; un isom. si \(i \leqslant \frac{N-1}{2}\) [NB. si […] \(i \geqslant \frac{N+1}{2}\), \(\mathcal{A}^{i}(X)\) et \(\mathcal{A}^{i}(U)\) sont finis !]

\(\mathcal{A}^{i}(Y) \longrightarrow \mathcal{A}^{i+1}(X)\) nul mod gpes finis, tjs ; nul si \(i \leqslant \frac{N-1}{2}\) [NB si \(i \geqslant \frac{N}{2}\), \(\mathcal{A}^{i}(Y)\) est un gpe fini !]

(4) Pb. Définir des formes « intersections » \(N^{i}(X) \times N^{i}(X) \to \mathbb{Z}\) ??

Définir par \(J^{\frac{N-1}{2}}(X) \to J^{\frac{N-1}{2}}(Y)\) resp. \(N^{\frac{N-2}{2}}(X) \to N^{\frac{N-2}{2}}(Y)\) via théorie des cycles évanouissants ——

un trait horizontal traverse la page

Ex \(N = 2\)

(1) \(\boxed{N^{1}(X) \text{ fini}}\) : c'est le th. de […] Mumford-Hodge.

(2) vide

(3) \(\mathcal{A}^{1}(X)\) \(\to\) vide

Groupe fini essentiel \(J^{1}(X)\)

107Ex \(N = 3\)

(1) \(\boxed{\mathcal{A}^{2}(X) \text{ fini}}\) en particulier \(J^{2}(X) = 0\)

(2) \(\boxed{J^{1}(X) \to J^{1}(Y) \quad \text{injectif exc.}}\) […]

(3) \(\mathcal{A}^{2}(X)\) contenu dans 1°)

groupes essentiels \(J^{1}(X)\), \(N^{1}(X)\) définissant \(\mathcal{A}^{1}(X)\)

homs essentiels \(J^{1}(X) \longrightarrow J^{1}(Y)\), \(N^{1}(X)' \longrightarrow J^{1}(Y)\) \(\bigl|\) \(\mathcal{A}^{1}(X)' \longrightarrow J^{1}(Y)\)

sous-groupe d'indice fini de \(N^{1}(X)\) la glose en marge se rapporte, par un trait, au \(N^{1}(X)'\)

Pb définir un complémentaire naturel de \(J^{1}(X)\) dans \(J^{1}(Y)\) (correspondant aux « cycles évanescents »)

Donner un sens à la formule \[ J^{1}(X) \xrightarrow{\ \sim\ } J^{1}(Y)^{\pi} \] Interpréter le th. de Hodge l'indice de Hodge pour surfaces projectives en termes de la négativité d'une certaine forme définie sur \(N^{1}(X)\)… ?

Ex \(N = 4\)

(1) \(\begin{cases} N^{2}(X) \text{ fini} \\ \mathcal{A}^{3}(X) \text{ fini, en particulier } J^{3}(X) = 0 \end{cases}\)

(2) \(J^{1}(X) \to J^{1}(Y)\) bij exc. \(p\)

\(N^{1}(X) \longrightarrow N^{1}(Y)\) inj. exc \(p\)

\(\Longrightarrow \mathcal{A}^{1}(X) \to \mathcal{A}^{1}(Y)\) bij exc. \(p\)

(3) […] le chiffre est surchargé et rien ne suit sur la page

108groupes essentiels \(J^{2}(X)\), \(N^{1}(X)\)

hom essentiel \(N^{1}(X) \longrightarrow N^{1}(Y)\)

Pb définir un complémentaire naturel de \(N^{1}(X)\) dans \(N^{1}(Y)\) (cycles évanouissants). Donner Donner un sens à la formule \[ N^{1}(X) \xrightarrow{\ \sim\ } N^{1}(Y)^{\pi} \] un trait horizontal sépare ce qui suit

Cas important \(N = 2m+1\), on trouve alors \[ \mathcal{A}^{m+1}(X) \equiv 0 \qquad \bigl(\text{et } \mathcal{A}^{i}(X) \equiv 0 \text{ si } i \geqslant m+1\bigr) \] [Cas \(N = 2m\), alors \(N^{m}(X) \equiv 0\) i.e. \(J^{m}(X) \equiv \mathcal{A}^{m}(X)\), et \(\mathcal{A}^{m+1}(X) \equiv 0\), (et \(\mathcal{A}^{i}(X) \equiv 0\) si \(i \geqslant m+1\)) le crochet ouvert n'est pas refermé

Conjectures « Lefschetz » (k alg. clos)

110titre de sa main : « Conjectures » souligné, « "Lefschetz" » ajouté au-dessus, « (k alg. clos) » à la suite

Soit \(X^{n}\) projectif lisse connexe, \(Y^{n-1}\) section hyperplane lisse.

— \(\mathcal{A}^{i}_{r}(X)\) … cycles de codimension \(i\) mod équivalence […] rationnelle

\(\mathcal{A}^{i}_{a}(X)\) algébrique

\(\mathcal{A}^{i}_{\tau}(X)\) équivalence \(\tau\)

(1) \(\mathcal{A}^{i}_{r}(X) \longrightarrow \mathcal{A}^{i}_{r}(Y)\) bijectif [exc. \(p\)] si \(2i \leqslant n-2\) i.e. \(i \leqslant \frac{n-1}{2}\) ; injectif exc. \(p\) si \(2i = n-1\) … i.e. \(i \leqslant \frac{n-1}{2}\) ; bijectif […] un premier tableau encadré, à droite, est biffé en zigzag ; la suite le reprend ligne par ligne

\(2i \leqslant n-2\) i.e. \(i < \frac{n-1}{2}\)

bijectif [exc. \(p\) ?]

\(2i = n-1\) i.e. \(i = \frac{n-1}{2}\)

injectif [exc. \(p\),]

induit \(\mathcal{A}^{i}_{r}(X)^{\tau} \longrightarrow \mathcal{A}^{i}_{r}(Y)^{\tau}\) bijectif [exc. \(p\)]

\(\Longrightarrow\) \(\mathcal{A}^{i}_{a}(X) \longrightarrow \mathcal{A}^{i}_{a}(Y)\) bijectif [exc. \(p\)]

\(\mathcal{A}^{i}_{\tau}(X) \longrightarrow \mathcal{A}^{i}_{\tau}(Y)\) injectif

\(2i = n\) i.e. \(i = \frac{n}{2}\) \(n\) est ici surchargé, dans les deux membres

induit \(\mathcal{A}^{i}_{r}(X)^{\tau} \longrightarrow \mathcal{A}^{i}_{r}(Y)^{\tau}\) injectif [exc. \(p\)]

(2) \(\mathcal{A}^{r}_{i}(Y) \longrightarrow \mathcal{A}^{r}_{i}(X)\)

\(2i \leqslant n-3\) i.e. \(i \leqslant \frac{n-3}{2}\) […] \(= \frac{n-1}{2} - 1\) le \(3\) de \(n-3\) est surchargé

bijectif [exc. \(p\) ?]

\(2i = n-2\) i.e. \(i = \frac{n-2}{2}\) \[ \begin{cases} \text{surjectif [exc.\ } p\text{]} \\ \text{induit } \mathcal{A}^{r}_{i}(Y)^{\tau} \to \mathcal{A}^{r}_{i}(X)^{\tau} \quad \text{surj.\ [exc.\ } p\text{]} \\ \text{induit } \mathcal{A}^{a}_{i}(Y) \to \mathcal{A}^{a}_{i}(X) \quad \text{bij.\ [exc.\ } p\text{]} \end{cases} \] les « [exc. \(p\)] » de cette page sont ajoutés au crayon ou d'une encre plus pâle

111\(2i = n-1\) i.e. \(i = \frac{n-1}{2}\)

induit \(\mathcal{A}^{\tau}_{i}(Y) \longrightarrow \mathcal{A}^{\tau}_{i}(X)\) surj. exc. \(p\)

(3) \(\mathcal{A}^{i}_{a}(X) \xrightarrow{E^{n-2i}} \mathcal{A}^{n-i}_{a}(X)\) \((2i \leqslant n)\)

injectif exc. \(p\) bijectif mod groupes finis

induit \(\mathcal{A}^{i}_{\tau}(X) \to \mathcal{A}^{n-i}_{\tau}(X)\) bijectif mod groupes finis

\(\mathcal{A}^{i}_{r}(X)^{\tau} \xrightarrow{E^{n-2i+1}} \mathcal{A}^{n-i+1}_{r}(X)^{\tau}\) \((2i-1 \leqslant n)\)

bijectif mod groupes finis \[ \Longrightarrow \qquad \mathcal{A}^{i}_{r}(X) \xrightarrow{E^{p}} \mathcal{A}^{i+p}_{r}(X) \] a) injectif mod gpes finis si \(p \leqslant n-2i\)

b) surjectif mod gpes finis si \(p \geqslant n-2i+1\)

un trait horizontal ; le reste de la page est blanc

112(2') Posons \(U = X - Y\), qui est une variété affine non sing. \[ \mathcal{A}^{i}_{r}(U) \simeq \mathcal{A}^{i}_{r}(X)/\operatorname{Im} \mathcal{A}^{i}_{r}(Y), \quad \text{de même pour } \mathcal{A}_{a}(U) \ldots \] \(2i \leqslant n-2\) i.e. \(i \leqslant \frac{n}{2} - 1\) \(\mathcal{A}^{r}_{i}(U) = 0\) (exc. \(p\) ?) […]

\(2i = n-1\) i.e. \(i = \frac{n-1}{2}\) \(\mathcal{A}^{a}_{i}(U) = 0\) (exc \(p\) ?)

(3') Soit \(E\) le cône projetant affine associé à \(X\), (variété quasi-affine non sing. de dim \(2n+1\)). on attendrait \(n+1\) ; nous lisons ce que la page porte

\(2i \geqslant n+2\) i.e. \(i \geqslant \frac{n}{2} + 1\), \(n - i \leqslant \frac{n}{2} - 1\) \(\mathcal{A}^{i}_{r}(E)\) \(\equiv\) fini, \(\mathcal{A}^{i}_{r}(E)^{a} = 0\)

\(2i \geqslant n+1\) i.e. \(i \geqslant \frac{n+1}{2}\) i.e. \(n - i \leqslant \frac{n-1}{2}\) \(\mathcal{A}^{i}_{a}(E)\) fini

N.B. On doit avoir \[ \begin{cases} \mathcal{A}^{i}_{a}(E) \simeq P^{i}_{a}(X) & \text{(mod gpes finis) si } 2i \leqslant n \\ \mathcal{A}^{i}_{a}(E) \simeq 0 & \text{mod gpes finis si } 2i \geqslant n+1 \end{cases} \] entre les deux lignes, une troisième est barrée : « \(\mathcal{A}^{i}_{\tau}(E)^{a} \simeq P^{i}_{\tau}(X)\) mod gpes finis si \(2i \leqslant n+1\) » ; la lettre \(P\) est surchargée à l'encre épaisse sur une première lettre illisible \[ \begin{cases} \mathcal{A}^{i}_{r}(E)^{a} \simeq I^{i}(X) & \text{mod gpes finis si } 2i \leqslant n+1 \\ \mathcal{A}^{i}_{r}(E)^{a} \simeq 0 & \text{mod gpes finis si } 2i \geqslant n+2 \end{cases} \] où \[ \begin{aligned} P_{a}(X) &\simeq \operatorname{Ker}\bigl(\mathcal{A}^{i}_{a}(X) \xrightarrow{L^{n-2i}} \mathcal{A}^{n-i}_{a}(X)\bigr) && \text{partie « primitive » de la « coh.\ algébrique »} \\ I_{r}(X) &= \operatorname{Ker}\bigl(\mathcal{A}^{i}_{r}(X)^{a} \xrightarrow{L^{n-2i+1}} \mathcal{A}^{n-i+1}_{r}(X)^{a}\bigr) && \text{partie « primitive » de la V.A.\ intermédiaire} \end{aligned} \] les lettres \(P\) et \(I\) sont surchargées ; les deux gloses sont en marge droite

113brouillon rapide, traversé de haut en bas par un long trait au crayon ; la prose de liaison est en grande partie illisible

Th. 4 Soit \(A\) un anneau local noeth. complet tel que les composantes irréductibles de \(S = \operatorname{Spec} A\) soient « d'égale dim ». Soit \(f \in \mathfrak{m}_{A}\), et \(U = S_{f}\). Alors […] \(\operatorname{cd} U \leqslant \dim A\).

On peut supposer \(A\) intègre [normal] complet [de dim \(n\)], et on est ramené à prouver \(H^{i}(U, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) = 0\) si \(i > n\). \(A\) est fini sur un anneau de séries formelles \(A_{0} = k[[t_{1}, \ldots, t_{n}]]\), et on peut supposer de plus \(K/K_{0}\) séparable, quitte à remplacer \(A\) […] […] […] \(A_{0}\) […] […] […]. Soit \(\delta \in \mathfrak{m}A_{0}\) tel que \(S_{\delta}\) […] sur \(S_{0\delta}\) […] […] de \(K_{0}\) dans \(K\) …). On […] […] […] \(\delta f = t_{n}\) [[…] de la dim. […] […] […]]. Posons \(A'_{0} = k[[t_{1}, \ldots, t_{n-1}]]\{t_{n}\}\), \(S'_{0} = \operatorname{Spec} A'_{0}\), on […] […] […] \(S \mid S_{0}\) […] d'un \(\Sigma'\) étale sur \(S'_{0}\) […] […] et un […] ([…] […] à normalité) \[ S \simeq S_{0} \times_{S'_{0}} S', \qquad S' \ [= \operatorname{Spec} A'] \text{ rev.\ fini normal de } S. \] D'ailleurs \(f\) provient d'un \(f' \in A'\).

\(S \to S_{0} = \operatorname{Spec} k[[t_{1}, \ldots, t_{n}]] \to S'_{0} = \operatorname{Spec} k[[t_{1}, \ldots, t_{n-1}]]\{t_{n}\}\) petit schéma vertical en marge gauche, au niveau de \(A_{0}\)

1141) […] \(n = 2\)

Ex. \(n = 2\)

(1) \(\mathcal{A}^{0}_{r}(X) \to \mathcal{A}^{0}_{r}(Y)\) bijectif exc \(p\) ok

\(\mathcal{A}^{1}_{r}(X)^{\tau} \to \mathcal{A}^{1}_{r}(Y)^{\tau}\) injectif exc. \(p\) ok

(2) \(\mathcal{A}^{r}_{0}(Y) \to \mathcal{A}^{r}_{0}(X)\) surjectif exc. \(p\) ok

\(\mathcal{A}^{r}_{0}(Y)^{\tau} \to \mathcal{A}^{r}_{0}(X)^{\tau}\) —- ok

\(\mathcal{A}^{a}_{0}(Y) \to \mathcal{A}^{a}_{0}(X)\) bijectif exc. \(p\) ok (les deux \(\simeq \mathbb{Z}\))

du moins si équiv. alg. des 0-cycles \(=\) équiv. d'Albanese… la note marginale, séparée par un trait vertical, se rapporte aux deux lignes \(\mathcal{A}^{r}_{0}\)

(3) \(\left.\begin{array}{c} \mathcal{A}^{0}_{a}(X) \xrightarrow{E^{2}} \mathcal{A}^{2}_{a}(X) \\ \wr\!\!\parallel \qquad\qquad \wr\!\!\parallel \\ \mathbb{Z} \qquad\qquad\ \ \mathbb{Z} \\[4pt] \mathcal{A}^{1}_{a}(X) \xrightarrow{E^{0} = \mathrm{id}} \mathcal{A}^{1}_{a}(X) \end{array}\right\}\) bijectif mod gpes finis OK.

\(\left.\begin{array}{c} \mathcal{A}^{0}_{r}(X)^{\tau} \longrightarrow \mathcal{A}^{2}_{r}(X) \\ \wr\!\!\parallel \qquad\qquad \wr\!\!\parallel \\ 0 \qquad\qquad\ \ 0 \\[4pt] \mathcal{A}^{1}_{r}(X)^{\tau} \xrightarrow{\ \mathrm{id}\ } \mathcal{A}^{1}_{r}(X)^{\tau} \end{array}\right\}\) bij. mod gpes finis OK. à la première ligne du second groupe, l'exposant et l'indice du but se lisent mal ; on attendrait \(\mathcal{A}^{3}_{r}(X)^{\tau}\), nul pour \(n = 2\)

(2') \(\mathcal{A}^{r}_{0}(U) = 0\)

O.K. si équivalence numérique \(=\) équiv. d'Albanese

Ex. \(n = 3\)

(1) \(\mathcal{A}^{0}_{r}(X) \to \mathcal{A}^{0}_{r}(Y)\) bij. exc \(p\) O.K.

\(\mathcal{A}^{1}_{r}(X) \to \mathcal{A}^{1}_{r}(Y)\) injectif exc \(p\) O.K.

\(\mathcal{A}^{1}_{r}(X)^{\tau} \to \mathcal{A}^{1}_{r}(Y)^{\tau}\) bijectif exc \(p\) O.K. les exposants de cette ligne se lisent mal ; nous suivons le cas \(2i = n-1\) de la page 110

(2) \(\mathcal{A}^{r}_{0}(Y) \to \mathcal{A}^{r}_{0}(X)\) bijectif exc. \(p\) O.K.

si équiv. num. \(=\) équiv. Alb.

\(\mathcal{A}^{a}_{1}(Y) \longrightarrow \mathcal{A}^{a}_{1}(X)\) surjectif exc. \(p\) ( ? ) le point d'interrogation est encerclé, et relié par un trait à la ligne suivante

(3) \(\begin{array}{c} \mathcal{A}^{0}_{a}(X) \xrightarrow{E^{3}} \mathcal{A}^{3}_{a}(X) \\ \wr\!\!\parallel\mathbb{Z} \qquad \wr\!\!\parallel\mathbb{Z} \\ \mathcal{A}^{1}_{a}(X) \xrightarrow{E^{1}} \mathcal{A}^{2}_{a}(X) \end{array}\) bijectif mod gpes finis O.K. bijectif ( ? ) bijectif mod gpes finis

décid. gpes finis le second « ( ? ) », cerclé à l'encre épaisse, porte la légende « Question “numérique” »

115\(\mathcal{A}^{0}_{r}(X)^{\tau} \xrightarrow{E^{4}} \mathcal{A}^{4}_{r}(X)^{\tau}\) bijec. mod finis ok

\(\wr\!\!\parallel\) \(0\) \(\wr\!\!\parallel\) \(0\)

\(\mathcal{A}^{1}_{r}(X)^{\tau} \xrightarrow{E^{2}} \mathcal{A}^{3}_{r}(X)^{\tau}\) id ok

\(\mathcal{A}^{2}_{r}(X)^{\tau} \xrightarrow{\ \mathrm{id}\ } \mathcal{A}^{2}_{r}(X)^{\tau}\) id ok

si équiv. […] \(\simeq\) équiv. […] la marge se rapporte à la deuxième ligne ; « id » dans la colonne des conclusions vaut « idem » ; l'exposant \(4\) du but est surchargé

(2') \(\mathcal{A}^{r}_{0}(U) = 0\) \(\mathcal{A}^{a}_{1}(U) = 0\) (exc \(p\)) ?? les deux points d'interrogation sont cerclés au crayon

Ex. \(n = 4\)

(1) \(\mathcal{A}^{0}_{r}(X) \to \mathcal{A}^{0}_{r}(Y)\) bij. exc. \(p\) ok (les deux \(\simeq \mathbb{Z}\))

\(\mathcal{A}^{1}_{r}(X) \to \mathcal{A}^{1}_{r}(Y)\) bij. exc. \(p\) O.K.

[…]

\(\mathcal{A}^{2}_{r}(X)^{\tau} \to \mathcal{A}^{2}_{r}(Y)^{\tau}\) injectif exc. \(p\) ( ? ) — question « continue »

(2) \(\mathcal{A}^{r}_{0}(Y) \to \mathcal{A}^{r}_{0}(X)\) bijectif exc. \(p\) O.K.

si équiv. num. \(=\) équiv. Alb

\(\mathcal{A}^{r}_{1}(Y) \longrightarrow \mathcal{A}^{r}_{1}(X)\) surj. exc. \(p\) ?

\(\mathcal{A}^{r}_{1}(Y)^{\tau} \longrightarrow \mathcal{A}^{r}_{1}(X)^{\tau}\) surj. exc. \(p\) ( ? ) — question « continue »

\(\mathcal{A}^{a}_{1}(Y) \longrightarrow \mathcal{A}^{a}_{1}(X)\) bij. exc. \(p\) ( ? ) — question « numérique » (ess.[t])

(3) \(\mathcal{A}^{0}_{a}(X) \xrightarrow{E^{4}} \mathcal{A}^{4}_{a}(X)\) bij. mod gpes finis O.K. (les deux \(\simeq \mathbb{Z}\))

\(\mathcal{A}^{1}_{a}(X) \xrightarrow{E^{2}} \mathcal{A}^{3}_{a}(X)\) id ( ? )

\(\mathcal{A}^{2}_{a}(X) \xrightarrow{\ \mathrm{id}\ } \mathcal{A}^{2}_{a}(X)\) id O.K.

des traits au crayon relient les « ( ? ) » de cette page à une mention « mod gpes finis » en marge

\(\mathcal{A}^{0}_{r}(X)^{\tau} \xrightarrow{E^{5}} \mathcal{A}^{5}_{r}(X)^{\tau}\) bij. id ok

\(\wr\!\!\parallel\) \(0\) \(\wr\!\!\parallel\) \(0\)

\(\mathcal{A}^{1}_{r}(X)^{\tau} \xrightarrow{E^{3}} \mathcal{A}^{4}_{r}(X)^{\tau}\) id OK

si équiv. num. \(=\) équiv. Alb

\(\mathcal{A}^{2}_{r}(X)^{\tau} \xrightarrow{\ E\ } \mathcal{A}^{3}_{r}(X)^{\tau}\) id ( ? ) — question « continue »

(2') \(\mathcal{A}^{r}_{0}(U) = 0\), \(\mathcal{A}^{r}_{1}(U) = 0\) exc \(p\). ?? les deux derniers points d'interrogation, cerclés, sont presque effacés

116Notations Pour \(X\) variété projective non singulière. \[ \begin{cases} H^{*}(X) & \text{cohomologie } \ell\text{-adique} \\ P^{*}(X) & \text{partie primitive de la cohomologie} \end{cases} \] on peut mettre des coeff. \[ \begin{cases} \mathcal{A}^{*}(X) = \mathcal{A}^{*}_{r}(X) & \text{anneau de Chow (équiv.\ rationnelle)} \\ N^{*}(X) = \mathcal{A}^{*}_{a}(X) & \text{id.\ pour équiv.\ algébrique} \\ J^{*}(X) = \mathcal{A}^{*}_{r}(X)^{a} \end{cases} \] \[ 0 \longrightarrow J^{*}(X) \longrightarrow \mathcal{A}^{*}(X) \longrightarrow N^{*}(X) \longrightarrow 0 \] \[ \begin{cases} M^{*}(X) & \text{partie primitive de } N^{*}(X) \\ I^{*}(X) & \text{partie primitive de } J^{*}(X) \end{cases} \] « id. » rend ses guillemets de répétition

N.B. Je ne sais pas s'il y a une définition raisonnable de la « partie primitive » de \(\mathcal{A}^{*}(X)\) —

1171) Les cycles num. équivalents à \(0\) sur \(X\), mod équiv. rationnelle, sont décrits par un ens. fini de « familles algébriques » de cycles. \[ \Longrightarrow \begin{cases} (\text{équiv.\ num.} = \tau\text{-équivalence}) \\ \text{les } \mathcal{A}^{i}_{a}(X) \text{ sont de type fini} \ldots \end{cases} \ \Downarrow \] 2) \((x, y) - (x, b) - (a, y) + (a, b) \underset{a}{\sim} 0\)

1) et 2) \(\Longrightarrow\) Les \(\mathcal{A}^{i}_{r}(X)^{a}\) sont des V.A. \[ \begin{cases} \mathcal{A}^{i}_{r}(X)^{a} \times \mathcal{A}^{j}_{r}(Y)^{a} \longrightarrow \mathcal{A}^{i+j}_{r}(X \times Y)^{a} & \text{est une \ill{}} \\ \mathcal{A}^{i}_{r}(X)^{a} \times \mathcal{A}^{j}_{r}(X)^{a} \longrightarrow \mathcal{A}^{i+j}_{r}(X)^{a} & \text{est une \ill{}} \end{cases} \] […] \(\mathcal{A}_{0}(X)^{a} \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Alb}(X)\) bijectif le \(\mathcal{A}\) de cette ligne porte un exposant illisible

2) \(\Longleftrightarrow\) \(\mathcal{A}_{0}(X \times Y)^{a} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{A}_{0}(X)^{a} \times \mathcal{A}_{0}(Y)^{a}\) bijectif

119\(X\) schéma projectif

\(M \subset K(X)\)

Conditions équivalentes (i) \(\exists\) familles limitées de faisceaux [loc. libres] \((F_{i})\), \((G_{i})\) sur \(X\), tel que \(M\) contenu dans l'ens. des \(\gamma(F_{i}) - \gamma(G_{i})\) « loc. libres » est ajouté au-dessus de la ligne, de sa main

(ii) \(\exists\) des entiers \(n\), \(N\) et des parties finies de polynômes \(P \subset \mathbb{Q}[T]\), telles que les \(\xi \in M\) soient de la forme \(\gamma(F) - \gamma(G)\), \(F\) et \(G\) des quotients loc. libres de \(\mathcal{O}(-n)^{N}\), de polynômes de Hilbert \(\in P\).

les polynômes de Hilbert des \(\xi \in M\) sont en nb fini ? ligne cerclée, écrite au-dessus de (iii)

(iii) [\(\exists\) des faisceaux loc. libres \(A\) et \(B\) […] \(\mathcal{O}(-n)^{N}\) […] […]) tels que les \(\xi + \gamma(A)\) (\(\xi \in M\)) soient décrits par des faisceaux loc. libres, quotients de \(B\) = faisceau \(\mathcal{O}\) loc. libre \((\mathcal{O}(-n)^{N}\) […] […]].

(iii) \(\Longrightarrow\) (ii) trivial, compte tenu que \(A\), \(B\) sont quotients de \(\mathcal{O}(-n)^{N}\) pour \(n\), \(N\) convenables,

(ii) \(\Longleftrightarrow\) (i) par la caractérisation des familles limitées

(ii) \(\Longrightarrow\) (iii) on a si \(G = \mathcal{O}(-n)^{N}/R\), … \[ \xi = \gamma(F) - \gamma\bigl(\mathcal{O}(-n)^{N}\bigr) + \gamma(R) \] d'où \[ \xi + \gamma\bigl(\mathcal{O}(-n)^{N}\bigr) = \gamma(F + R). \] Or \(F + R\) est un quotient de \(\mathcal{O}(-n)^{N}_{\xi}\), donc les \(F + R\) sont quotients d'un … la page s'arrête ici au milieu de la phrase ; l'indice \(\xi\) de la dernière ligne se lit mal

120Supposons [de plus] \(X\) non singulier, et considérons des une partie \(M'\) de \(Z^{i}(X)\), […] (considérons les cycles à \(K\)-équivalence près …\()\). Conditions possibles : « de plus » et « considérons les » sont ajoutés au-dessus de la ligne

(i) \(\exists\) La famille de \(M'\) est limitée, i.e. définie par une famille limitée de cycles algébriques.

(ii) La famille de \(M'\) est « numériquement limitée » (i.e. un ens. fini de classes d'équivalence numérique […]) et \(\exists\) […] [des]

\(Z_{0} \in Z^{i}(X)\) tel que les \(Z + d(Z_{0})\) \(Z_{0} + Z\) \((Z \in M)\) soient « positifs » … i.e. soient des cycles positifs.

(iii) Il y a une famille limitée de […] de faisceaux loc. libres […] […] Il y a une famille limitée \(M \subset K(X)\) telle que \(\forall Z \in M'\), \(\exists \xi \in M\) tel que \((i-1)!\, Z = c^{i}(\xi)\) […]

(iv) Il y a une famille limitée \(M \subset K^{(i)}(X)\) telle que \(M' \subset \operatorname{Image}\) de \(M\).

(v) La famille \(M'\) est numériquement limitée.

la suite de cette liste — les implications entre (i) et (v) — est à la page 122 ; la page 121 est un feuillet dactylographié étranger