Fonds Grothendieck, cote n° 14, pages 81–100

la page continue la dernière phrase de la page 80, qui s'achève sur « une forme 2(n'-n)-fois linéaire alternée sur T_{\mathbb{Q}}(A') » ; u y est un homomorphisme A \to A' de variétés abéliennes de dimensions n et n', et d le degré défini à la même page nulle sur \mathbb{Q}_{\ell}(A) (on peut la choisir un scalaire près) et tel que, si 0 \longrightarrow K \longrightarrow H^{1}(A'^{*}) \longrightarrow H^{1}(A) \longrightarrow 0 1ère l'astérisque qui suit A', ici et à la ligne suivante, est petit ; la page 80 écrit déjà H^{1}(A'^{*}) \to H^{1}(A) ; plus bas, H^{2n'}(A') est sans astérisque \begin{array}{ccccc} \bigwedge^{2n'} H^{1}(A'^{*}) & \simeq & \bigwedge^{2n} H^{1}(A) & \otimes & \bigwedge^{2(n'-n)} K \\ \wr & & \wr & & \\ H^{2n'}(A') & & H^{2n}(A) & & \end{array} la classe caractéristique de H^{2n}(A)(n) fois la classe duale u_{*}(1_{A}) de \bigwedge^{2(n'-n)} K\,(n'-n) corresponde à d fois la classe caractéristique de H^{2n'}(A')(n'). N.B. d est aussi le contenu de T_{\mathbb{Z}_{\ell}}(A) dans T_{\mathbb{Z}_{\ell}}(A'). les deux \mathbb{Z}_{\ell} de cette dernière ligne sont encerclés

H^{i}(A) \times H^{2n-i}(A) \longrightarrow H^{2n}(A) \simeq \mathbb{Q}_{\ell}(-n) est une dualité, d'où H^{i}(A) \simeq H^{2n-i}(A)'(-n) \simeq \bigwedge^{2n-i} T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A)\,(-n) ~~En particulier,~~ Ceci posé, l'hom. ~~u_{*}~~ \begin{array}{rccc} u_{*} : & H^{i}(A) & \longrightarrow & H^{i+2(n'-n)}(A')(n'-n) \\ & \wr & & \\ & \bigwedge^{2n-i} T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A)\,(-n) & \longrightarrow & \bigwedge^{2n-i} T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A')\,(-n) \end{array} l'exposant 2(n'-n) de la première ligne est écrit en surcharge s'identifie : \bigwedge^{2n-1} u_{1} \otimes \mathbb{Q}_{\ell}(-n). l'exposant se lit 2n-1 et non 2n-i ; un premier \otimes est biffé

De cette façon, on retrouve u_{*}(1_{A}), où 1_{A} \in H^{0}(A) = \bigl(\bigwedge^{2n} T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A)\bigr)(-n), ~~à partir de~~ u_{*}(1_{A}) \in \bigwedge^{2n} T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A')(-n), et u_{1} : T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A) \to T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A'), en prenant \bigwedge^{2n} u_{1} \otimes \mathbb{Q}_{\ell}(-n) : \bigwedge^{2n} T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A)(-n) \longrightarrow \bigwedge^{2n} T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A')(-n) en prenant l'image de la classe fondamentale du premier . « à partir de » est biffé et la formule qui donne u_{*}(1_{A}) écrite au-dessous ; le mot biffé sous « premier » et le mot qui suit ne se lisent pas On voit ainsi que la connaissance de u_{*}(1) détermine l'image de u_{1} : T_{\ell}(A) \to T_{\ell}(A'), dans le cas où cet hom. est injectif.

Relations entre hom. de V.A. et groupes de N.S.

\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=normal, nodes={font=\scriptsize}] C^{1}(A) \arrow[rr] \arrow[d] & & H^{2}(A) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}(1) = H^{2}(A, \mathbb{Q}_{\ell}(1)) = \bigwedge^{2} H^{1}(A) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}(1) \arrow[d, "\text{dualité}"] & \\ \mathrm{Hom}(A, A^{*}) \arrow[rr] \arrow[dr, "\text{graphe}"'] & & \mathrm{Hom}(H^{1}(A^{*}), H^{1}(A)) \arrow[dr] & \\ & C^{n}(A \times A^{*}) \arrow[rr] & & H^{2n}(A \times A^{*}) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}(n) \end{tikzcd}

les étiquettes sont abrégées dans le diagramme ; sur la page, la flèche verticale de droite porte « dualité de l'accouplement H^{1}(A) \times H^{1}(A^{*}) \to \mathbb{Q}_{\ell}(1) », et la diagonale de gauche « injection “graphe” (pas additive !) »

(n = \dim A)

\bar{u} = (\mathrm{id}_{A}, u) \qquad A \longrightarrow A \times A^{*} H^{*}(A) \xrightarrow{\ \bar{u}_{*}\ } H^{*}(A \times A^{*})(\cdot\cdot) \qquad\qquad H^{*}(A) \xleftarrow{\ \bar{u}^{*}\ } H^{*}(A \times A^{*}) sous la seconde flèche, un premier mot biffé, illisible, précède (\bar{u}^{*}) \begin{array}{ccc} H^{0}(A) & \longrightarrow & H^{2n}(A \times A^{*})(n) \\ \times & & \times \\ H^{2n}(A) & \longleftarrow & H^{2n}(A \times A^{*}) \\ \wr & & \wr \\ \mathbb{Q}_{\ell}(-n) & & \mathbb{Q}_{\ell}(-n) \end{array} H^{1}(A) \xleftarrow{\ (\mathrm{id}_{H^{1}(A)},\, u^{1})\ } H^{1}(A \times A^{*}) = H^{1}(A) \times H^{1}(A^{*}) \bar{u}_{*}(1)

Un homomorphisme u : A \to B de V.A. est connu quand on connaît la classe de cohomologie associée à son graphe dans A \times B, (~~en cette~~ Ceci si on la connaît dans la coh. cohomologique \ell-adique), car alors on connaît le graphe \Gamma \subset A \times B de u car T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(\Gamma) \subset T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A \times B) est alors connu.

De même, une ss-V.A. de A est connue quand on connaît sa classe de cohomologie.

L'« interprétation » cohomologique de l'isom. C^{1}(A \times B) / C^{1}(A) \times C^{1}(B) \simeq \mathrm{Hom}(A, B^{*}) est bien claire, vu \begin{array}{c} \bigwedge^{2}\bigl(H^{1}(A) \times H^{1}(B)\bigr)(1) \big/ \bigwedge^{2} H^{1}(A)(1) \times \bigwedge^{2} H^{1}(B)(1) \simeq \bigl(H^{1}(A) \otimes H^{1}(B)\bigr)(1) \\ \wr \\ \mathrm{Hom}\bigl(T_{\ell}(A), T_{\ell}(B^{*})\bigr) \end{array} la barre de fraction de la première formule surcharge un signe illisible

Question Prouver que élts de \bigl(H^{1}(A) \otimes H^{1}(B)\bigr)(1) \subset H^{2}(A \times B)(1) sont algébriques

Tableau des classes de cycles …

ces mots sont de sa main, seuls sur le feuillet 90, qui sert de chemise à la page suivante

Anneaux de classes de cycles sur une variété projective non singulière sur un corps k alg. clos

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & A_{\mathrm{num}} & \\ & & A_{\tau} \arrow[u, "\overset{?}{\simeq}"'] \arrow[r, "\overset{?}{\simeq}"] & A_{\mathbb{Q}_{\ell}\text{-hom}} \\ & & A_{\mathrm{alg}} \arrow[u] \arrow[r, "\overset{?}{\simeq}"] & A_{\mathbb{Z}_{\ell}\text{-hom}} \arrow[u] \\ & & A_{\mathrm{pic}} \arrow[u] & \\ G_{\mathrm{top}}K \arrow[uuurr] \arrow[uurrr, dashed, "?"'] & & A_{\mathrm{alb}} \arrow[u, "\simeq ?"'] & \\ G_{\mathrm{alg}}K \arrow[u] & & A_{\mathrm{lin}} \arrow[u, "\simeq ?"'] \arrow[ull, "\text{surj}"'] & \\ & CK \arrow[ul, "\text{surj}"] \arrow[ur] & & \end{tikzcd}

diagramme redessiné d'après la page. Un cadre, désigné « théorie discrète », entoure A_{\mathrm{num}}, A_{\tau}, A_{\mathrm{alg}}, A_{\mathbb{Q}_{\ell}\text{-hom}} et A_{\mathbb{Z}_{\ell}\text{-hom}} ; un second, « théorie continue », entoure A_{\mathrm{pic}}, A_{\mathrm{alb}}, A_{\mathrm{lin}}. L'indice lu \tau est douteux. Les signes portés sur les flèches verticales, écrits de côté (une sorte de « z » accompagné de « ? »), sont lus comme \simeq tourné ; sur les flèches horizontales, \simeq est surmonté de « ? ». La flèche de G_{\mathrm{top}}K vers A_{\tau} est un long trait qui monte le long du bord gauche et s'incurve vers A_{\tau}. À droite du cadre, une première position des nœuds A_{\mathbb{Q}_{\ell}\text{-hom}} et A_{\mathbb{Z}_{\ell}\text{-hom}}, reliés par une flèche verticale, est couverte de hachures ; les nœuds ont été repris dans le cadre. Les « G » devant K, les deux « surj », et l'accolade du bas à gauche sont d'une autre encre

Accolades et renvois, de sa main, autour du diagramme :

à gauche de A_{\mathrm{num}} et A_{\tau} : « groupe libre de type fini ? » ; à gauche de A_{\tau} et A_{\mathrm{alg}} : « Groupe fini ? » ; à gauche de A_{\mathrm{alg}} et A_{\mathrm{pic}} : « V.A. ? » ; sous A_{\mathrm{pic}}, A_{\mathrm{alb}}, A_{\mathrm{lin}} : « flèches toutes surjectives » ; sous G_{\mathrm{top}}K, G_{\mathrm{alg}}K, CK : « flèches qui sont des isom. mod torsion » ; un trait fin part d'un petit sigle encerclé, , posé contre la flèche A_{\mathrm{alg}} \to A_{\mathbb{Z}_{\ell}\text{-hom}}, et mène à : « car. 0 » (encerclé) « ou meilleure théorie intégrale ».

Autres équivalences : l'équivalence r et les équivalences de Weil wh et W définies par Liebermann …..

Mumford-Nakai. Cycles algébriques amples …..

ces mots sont de sa main, seuls sur le feuillet 92, qui sert de chemise aux pages suivantes

N.B. le critère implique le critère d'amplitude de A. Weil ….. en tête du feuillet, au-dessus du titre ; une double flèche le rattache à l'énoncé

Th. de Mumford-Nakai X schéma projectif sur corps k, L faisceau inv. sur X. Conditions équivalentes :

a)L ample b)Pour tout ~~sous-préschéma fermé intègre Z de X~~ faisceau cohérent F sur X de dimension F \geqslant 1, on a \chi(F \otimes L^{\otimes n}) \longrightarrow +\infty \quad \text{si } n \longrightarrow +\infty « faisceau cohérent F sur X » est écrit au-dessus de la rédaction biffée ; au-dessus du passage biffé qui suit, un mot, peut-être « tels » b')Comme b), avec F de la forme \mathcal{O}_{Z}, Z un sous-préschéma intègre de X de dim \geqslant 1. on peut se borner à Z normaux b'')Pour tout sous-préschéma intègre Z de X, tel que \dim Z = 1 (resp. \dim Z \geqslant 2) il existe un entier n = n_{Z} > 0 tel que \chi(L^{\otimes n} \otimes \mathcal{O}_{Z}) \geqslant 2 (resp. \chi(L^{\otimes n} \otimes \mathcal{O}_{Z}) \geqslant 1). c)Comme b), en remplaçant \chi par ~~H^{0}~~ \dim H^{0} c')Comme b') c'')Pour tout sous préschéma intègre Z de X tel que \dim Z = 1 (\dim Z \geqslant 2), existe un entier n = n_{Z} > 0 tel que \dim H^{0}(Z, L^{\otimes n} \otimes \mathcal{O}_{Z}) \geqslant 2 (resp. \geqslant 1). « tel que \dim Z = 1 (\dim Z \geqslant 2) » est ajouté dans une accolade au-dessus de la ligne d)Il existe un entier n > 0 tel que L^{\otimes n} admette une section \neq 0 ; et pour tout sous-préschéma intègre Z de X, de dim 1, il existe un entier n > 0 tel que \dim H^{0}(Z, L^{\otimes n} \otimes \mathcal{O}_{Z}) \geqslant 2. d')~~Il existe un entier n > 0 tel que L^{\otimes n} admette une section \neq 0, et pour tout sous-préschéma intègre Z de X, de dim 1, on a \deg(L|Z) > 0.~~

d) et d') sont barrés d'un treillis de traits obliques ; ils restent lisibles. Dans d), « il existe un » est biffé après « Z de X », et « de dim 1, il existe » est récrit au-dessus ; dans d'), un premier « Pour » est biffé

N.B. Critère numérique (X irréd. de dim d) : D \cdot C > 0 si C courbe irréd. > 0 ; D^{d} > 0 (intersection calculée dans GK(X) !) écrit de bas en haut dans la marge gauche ; les deux inégalités sont réunies par une accolade

a) \Longrightarrow (b) + c)) bien connu (on peut supposer L très ample, et on applique la théorie du pol. de Hilbert)

b) \Longrightarrow b') \Longrightarrow b'') trivial

c) \Longrightarrow c') \Longrightarrow c'') trivial

On prouve les autres assertions par récurrence sur \dim X = d, c'est trivial si d = 0, et bien connu si d = 1. Supposons d \geqslant 2.

b'') \Longrightarrow c'') Grâce au le « c'') » surcharge un autre signe ; la phrase s'arrête là

Lemme 1 Si les ~~conditions b''), n_{0} > 0~~ restrictions de L aux sous-préschémas intègres Z de X de dim < d sont amples, alors \exists\, n_{0} tel que n \geqslant n_{0} \Longrightarrow H^{i}(X, L^{\otimes n}) = 0 \quad \text{pour } i \geqslant 2 « restrictions de L aux sous-préschémas intègres » est écrit au-dessus de la rédaction biffée par des restrictions aux diviseurs. Mais il faut supposer X projectif

cf. lettre de Mumford.

~~d) \Longrightarrow c) trivial ; d) \Longleftarrow d') d'après d = 1~~ deux lignes barrées de grandes croix

c'') \Longrightarrow a) On peut supposer grâce à EGA III … que X est intègre. Soit f une section de L^{\otimes n}, D l'ens. de ses zéros, alors D \neq \emptyset car L n'est pas trivial, donc \dim D = d - 1. On peut

Lemme 2 Sous les conditions du Lemme 1, supposons \exists\, n tel que L^{\otimes n} ait une section. Alors \exists\, n_{0} tel que \text{pour } n \geqslant n_{0} \Longrightarrow X \dashrightarrow \mathbb{P}\, H^{0}(X, L^{\otimes n}) \text{ partout défini} et non constant. d \geqslant 2 « \exists\, n tel que » est ajouté au-dessus de la ligne ; sa flèche porte un point au-dessus, qu'on rend par \dashrightarrow

cf. lettre Mumford …

Questions Dans les énoncés d) et d') peut-on supprimer l'hyp. d'existence d'une section \neq 0 ?? Peut-on supprimer l'hyp. que X projectif ??

\begin{array}{ccccc} \mathring{P}^{+} & \subset & P^{+} & \subset & \overline{P^{+}} \\ \cup & & & & \cup \\ \mathring{Q}^{+} & \subset & Q^{+} & = & \overline{Q^{+}} \\ \cup & & & & \cup \\ \mathring{R} & = & R & \subset & \overline{R} \end{array} les exposants + du haut de la page sont repassés et surchargés, comme les trois R ; on les lit + et R partout

\boxed{\mathring{Q}^{+} \subset P^{+}} d'où Q^{+} = \overline{\mathring{Q}^{+}} \subset \overline{P^{+}} Prop. de

(donc \mathring{Q}^{+} \subset \mathring{\overline{P^{+}}} = \mathring{P}^{+})

d'où par polarité, comme Q^{+} = Q^{+\circ} \overline{P^{+}}^{\,\circ} = P^{+\circ} \subset Q^{+}

P^{+} \ni x \iff \exists\, C > 0,\ n > 0, \text{ tel que } \gamma(C) = n x \iff \ell(nx) \geqslant 2 \text{ si } n \text{ grand} « n > 0 » est ajouté au-dessus ; la dernière condition est encerclée, sous un premier essai biffé et illisible Q^{+} \ni x \iff \left\{\begin{array}{l} x^{2} \geqslant 0 \\ x \cdot a \geqslant 0 \end{array}\right. , \qquad \mathring{Q}^{+} \ni x \iff x^{2} > 0,\ x \cdot a \geqslant 0 [a choisi dans \mathring{Q}^{+}, p. ex. a dans R] le \mathring{Q}^{+} du crochet surcharge un R R \ni x \iff \exists\, C \text{ \textit{ample}},\ n > 0, \text{ tel que } \gamma(C) = n x

\boxed{\ x \in R \iff x \cdot P > 0 \text{ et } x^{2} > 0\ } avant « x \cdot P », quelques signes biffés, illisibles th. de Nakai « th. de Nakai » est écrit sous la double flèche. À droite, un croquis : trois cônes emboîtés de même sommet, marqués P, Q, R de l'extérieur vers l'intérieur

\overline{R} \subset \overline{P}^{\,\circ} \cap Q = P^{\circ} = \overline{P}^{\,\circ}, d'où le premier \overline{P} porte au-dessus un signe surchargé, peut-être une barre reprise

~~R \neq \mathring{P}~~ encadré, puis barré

R = \mathring{\overline{R}} \subset \mathring{\overline{P^{\circ}}}, je dis qu'on a égalité, car \mathring{P}^{\circ} \subset \mathring{Q} et on applique le critère de Nakai \boxed{\begin{array}{l} R = \mathring{\overline{R}} = \mathring{\overline{P^{\circ}}} \subset \mathring{Q} \\ \overline{R} = P^{\circ} = \overline{P}^{\,\circ} \subset Q \end{array}}

Question x \cdot P > 0 \overset{?}{\Longrightarrow} x \in R

Par Nakai, il reste à voir si x^{2} > 0. Donc x^{2} \geqslant 0, il reste à voir x^{2} \neq 0. On peut supposer que x provient de D div. tel que D^{2} = 0. Mais alors \chi(L(nD)) = \chi(X) + n\chi(D) et h^{0}(L(nD)) \geqslant \chi(L(nD)) pour n grand par Mumford, on doit donc avoir \chi(D) \leqslant 0 le signe de la dernière inégalité est surchargé

H^{2}(L^{\otimes n} \otimes K^{\otimes(2n-1)}) l'exposant de K est surchargé ; la lecture 2n-1 est douteuse. Un trait sépare cette ligne de ce qui suit

~~D^{d}~~ \boxed{\left\{\begin{array}{l} D^{d} > 0 \\ D \cdot C > 0 \text{ si } C > 0 \end{array}\right.} \Big\Updownarrow \boxed{\ D \in P_{1}^{+\circ},\quad \alpha_{d-1} D^{d-1} \in P_{1}^{+}\ } D \in P_{1}^{+\circ} \Longrightarrow \alpha D^{d-1} \in P_{d-1}^{+\circ} hyp. de réc. la dernière implication est une flèche qui part d'une accolade sous « D \in P_{1}^{+\circ} » dans le cadre ; « hyp. de réc. » y est rattaché par un trait

Question \alpha_{d-1}(P_{d-1}^{+\circ}) \subset P_{1}^{+}

\boxed{\begin{array}{ccccccc} P_{i}^{+\circ} & \subset & \mathcal{A}^{i} & \xrightarrow{\ \alpha_{i}\ } & \mathcal{A}_{d-i} & \supset & P_{d-i}^{+} \\ \Vert & & & & & & \\ P^{i}_{+} & & & & & & \\[1ex] P_{d-i}^{+\circ} & \subset & \mathcal{A}^{2d-i} & \xrightarrow{\ \alpha_{d-i}\ } & \mathcal{A}_{i} & \supset & P_{i}^{+} \\[1ex] & & \mathrm{int}\bigl(P_{i}^{+\circ}\bigr) & \longrightarrow & P_{d-i}^{+} & & \end{array}} les indices d-i de \mathcal{A}_{d-i} et des P_{d-i} surchargent un signe antérieur ; \mathcal{A}^{2d-i} est écrit ainsi

c_{i}(E)

D \cdot C \geqslant 0 \text{ si } C > 0 l'exposant de ce premier D est surchargé et illisible \Big\Downarrow ? D^{i} X_{i} \geqslant 0 \text{ si } X_{i} > 0 \quad ??

D \in P_{1}^{+\circ} \Longrightarrow D^{i} \in P_{i}^{+\circ} \quad \text{pour } i \leqslant d-1 hyp. de réc. D^{d} \in P_{d}^{+\circ} i.e. D^{d} \geqslant 0 ??

On a \begin{array}{ccc} D^{d} = & D^{i} & D^{d-i} \\ & \cap & \cap \\ & P_{i}^{+\circ} & P_{d-i}^{+\circ} \end{array} \qquad (0 < i < d) les \cap sont les signes \in couchés

\begin{array}{ccc} \boxed{P_{i}^{+\circ} \cdot P_{d-i}^{+\circ} \geqslant 0 \ ?} & & \\[1ex] \Big\Updownarrow & \Longleftarrow & P_{i}^{+\circ}\, P_{j}^{+\circ} \subset P_{i+j}^{+\circ} \\[1ex] \boxed{\alpha_{i}(P_{i}^{+\circ}) \subset P_{d-i}^{+}} & & \\[1ex] \boxed{\alpha_{d-i}(P_{d-i}^{+\circ}) \subset P_{i}^{+}} & & \end{array} les deux derniers cadres sont accolés et joints par un signe d'intégrale, qui les réunit ; un croquis de surface et une courbe occupent le milieu de la page

\begin{array}{l} D \cdot C \geqslant 0 \text{ si } C \geqslant 0 \\ D^{2} \cdot D' \geqslant 0 \text{ si } D' \geqslant 0 \\ \quad \Big\Downarrow ? \\ D^{3} \geqslant 0 \end{array} dans la deuxième ligne, un facteur est biffé entre D^{2} et D'

P_{1}^{+\circ} \subset \mathcal{A}^{1} \longrightarrow \mathcal{A}_{2} \supset P_{2}^{+} D' + nD \in P_{2}^{+} (D' + nD)^{3} = D'^{3} + 3n D'^{2} D + 3n^{2} D' D^{2} + n^{3} D^{3} ~~D + \tfrac{1}{n} D'~~ D' + nD \simeq \boxed{D^{3} \geqslant 0} des arcs relient les termes du développement au cadre final ; au-dessous à gauche, un croquis de cône dont un point intérieur est marqué, étiqueté P_{2}^{+}