Cote n° 14, pages 81–100

Cote n° 14 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Théorie des cycles algébriques : conjectures de Hodge, Tate, Lefschetz, Weil : notes manuscrites (s.d.), lettre (1965).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1971]
Édition de démonstration

82la page continue la dernière phrase de la page 80, qui s'achève sur « une forme \(2(n'-n)\)-fois linéaire alternée sur \(T_{\mathbb{Q}}(A')\) » ; \(u\) y est un homomorphisme \(A \to A'\) de variétés abéliennes de dimensions \(n\) et \(n'\), et \(d\) le degré défini à la même page nulle sur \(\mathbb{Q}_{\ell}(A)\) (on peut la choisir […] un scalaire près) et tel que, si \[ 0 \longrightarrow K \longrightarrow H^{1}(A'^{*}) \longrightarrow H^{1}(A) \longrightarrow 0 \] 1ère l'astérisque qui suit \(A'\), ici et à la ligne suivante, est petit ; la page 80 écrit déjà \(H^{1}(A'^{*}) \to H^{1}(A)\) ; plus bas, \(H^{2n'}(A')\) est sans astérisque \[ \begin{array}{ccccc} \bigwedge^{2n'} H^{1}(A'^{*}) & \simeq & \bigwedge^{2n} H^{1}(A) & \otimes & \bigwedge^{2(n'-n)} K \\ \wr & & \wr & & \\ H^{2n'}(A') & & H^{2n}(A) & & \end{array} \] […] la classe caractéristique de \(H^{2n}(A)(n)\) fois la classe duale \(u_{*}(1_{A})\) de \(\bigwedge^{2(n'-n)} K\,(n'-n)\) corresponde à \(d\) fois la classe caractéristique de \(H^{2n'}(A')(n')\). N.B. \(d\) est aussi le contenu de \(T_{\mathbb{Z}_{\ell}}(A)\) dans \(T_{\mathbb{Z}_{\ell}}(A')\). les deux \(\mathbb{Z}_{\ell}\) de cette dernière ligne sont encerclés

\[ H^{i}(A) \times H^{2n-i}(A) \longrightarrow H^{2n}(A) \simeq \mathbb{Q}_{\ell}(-n) \] est une dualité, d'où \[ H^{i}(A) \simeq H^{2n-i}(A)'(-n) \simeq \bigwedge^{2n-i} T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A)\,(-n) \] En particulier, Ceci posé, l'hom. \(u_{*}\) \[ \begin{array}{rccc} u_{*} : & H^{i}(A) & \longrightarrow & H^{i+2(n'-n)}(A')(n'-n) \\ & \wr & & \\ & \bigwedge^{2n-i} T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A)\,(-n) & \longrightarrow & \bigwedge^{2n-i} T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A')\,(-n) \end{array} \] l'exposant \(2(n'-n)\) de la première ligne est écrit en surcharge s'identifie : \(\bigwedge^{2n-1} u_{1} \otimes \mathbb{Q}_{\ell}(-n)\). l'exposant se lit \(2n-1\) et non \(2n-i\) ; un premier \(\otimes\) est biffé

84De cette façon, on retrouve \(u_{*}(1_{A})\), où \(1_{A} \in H^{0}(A) = \bigl(\bigwedge^{2n} T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A)\bigr)(-n)\), à partir de \(u_{*}(1_{A}) \in \bigwedge^{2n} T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A')(-n)\), et \(u_{1} : T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A) \to T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A')\), en prenant \[ \bigwedge^{2n} u_{1} \otimes \mathbb{Q}_{\ell}(-n) : \bigwedge^{2n} T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A)(-n) \longrightarrow \bigwedge^{2n} T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A')(-n) \] en prenant l'image de la classe fondamentale du premier […] […]. « à partir de » est biffé et la formule qui donne \(u_{*}(1_{A})\) écrite au-dessous ; le mot biffé sous « premier » et le mot qui suit ne se lisent pas On voit ainsi que la connaissance de \(u_{*}(1)\) détermine l'image de \(u_{1} : T_{\ell}(A) \to T_{\ell}(A')\), dans le cas où cet hom. est injectif.

86Relations entre hom. de V.A. et groupes de N.S.

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\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=normal, nodes={font=\scriptsize}]
  C^{1}(A) \arrow[rr] \arrow[d] & & H^{2}(A) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}(1) = H^{2}(A, \mathbb{Q}_{\ell}(1)) = \bigwedge^{2} H^{1}(A) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}(1) \arrow[d, "\text{dualité}"] & \\
  \mathrm{Hom}(A, A^{*}) \arrow[rr] \arrow[dr, "\text{graphe}"'] & & \mathrm{Hom}(H^{1}(A^{*}), H^{1}(A)) \arrow[dr] & \\
  & C^{n}(A \times A^{*}) \arrow[rr] & & H^{2n}(A \times A^{*}) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}(n)
\end{tikzcd}

les étiquettes sont abrégées dans le diagramme ; sur la page, la flèche verticale de droite porte « dualité de l'accouplement \(H^{1}(A) \times H^{1}(A^{*}) \to \mathbb{Q}_{\ell}(1)\) », et la diagonale de gauche « injection “graphe” (pas additive !) »

(\(n = \dim A\))

\[ \bar{u} = (\mathrm{id}_{A}, u) \qquad A \longrightarrow A \times A^{*} \] \[ H^{*}(A) \xrightarrow{\ \bar{u}_{*}\ } H^{*}(A \times A^{*})(\cdot\cdot) \qquad\qquad H^{*}(A) \xleftarrow{\ \bar{u}^{*}\ } H^{*}(A \times A^{*}) \] sous la seconde flèche, un premier mot biffé, illisible, précède \((\bar{u}^{*})\) \[ \begin{array}{ccc} H^{0}(A) & \longrightarrow & H^{2n}(A \times A^{*})(n) \\ \times & & \times \\ H^{2n}(A) & \longleftarrow & H^{2n}(A \times A^{*}) \\ \wr & & \wr \\ \mathbb{Q}_{\ell}(-n) & & \mathbb{Q}_{\ell}(-n) \end{array} \] \[ H^{1}(A) \xleftarrow{\ (\mathrm{id}_{H^{1}(A)},\, u^{1})\ } H^{1}(A \times A^{*}) = H^{1}(A) \times H^{1}(A^{*}) \] \[ \bar{u}_{*}(1) \]

88Un homomorphisme \(u : A \to B\) de V.A. est connu quand on connaît la classe de cohomologie associée à son graphe dans \(A \times B\), (en cette […] Ceci si on la connaît […] […] dans la coh. cohomologique \(\ell\)-adique), car alors on connaît le graphe \(\Gamma \subset A \times B\) de \(u\) car \(T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(\Gamma) \subset T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A \times B)\) est alors connu.

De même, une ss-V.A. de \(A\) est connue quand on connaît sa classe de cohomologie.

L'« interprétation » cohomologique de l'isom. \[ C^{1}(A \times B) / C^{1}(A) \times C^{1}(B) \simeq \mathrm{Hom}(A, B^{*}) \] est bien claire, vu \[ \begin{array}{c} \bigwedge^{2}\bigl(H^{1}(A) \times H^{1}(B)\bigr)(1) \big/ \bigwedge^{2} H^{1}(A)(1) \times \bigwedge^{2} H^{1}(B)(1) \simeq \bigl(H^{1}(A) \otimes H^{1}(B)\bigr)(1) \\ \wr \\ \mathrm{Hom}\bigl(T_{\ell}(A), T_{\ell}(B^{*})\bigr) \end{array} \] la barre de fraction de la première formule surcharge un signe illisible

Question Prouver que […] […] élts de \(\bigl(H^{1}(A) \otimes H^{1}(B)\bigr)(1) \subset H^{2}(A \times B)(1)\) sont algébriques

Tableau des classes de cycles …

ces mots sont de sa main, seuls sur le feuillet 90, qui sert de chemise à la page suivante

91Anneaux de classes de cycles sur une variété projective non singulière sur un corps \(k\) alg. clos

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  & & A_{\mathrm{num}} & \\
  & & A_{\tau} \arrow[u, "\overset{?}{\simeq}"'] \arrow[r, "\overset{?}{\simeq}"] & A_{\mathbb{Q}_{\ell}\text{-hom}} \\
  & & A_{\mathrm{alg}} \arrow[u] \arrow[r, "\overset{?}{\simeq}"] & A_{\mathbb{Z}_{\ell}\text{-hom}} \arrow[u] \\
  & & A_{\mathrm{pic}} \arrow[u] & \\
  G_{\mathrm{top}}K \arrow[uuurr] \arrow[uurrr, dashed, "?"'] & & A_{\mathrm{alb}} \arrow[u, "\simeq ?"'] & \\
  G_{\mathrm{alg}}K \arrow[u] & & A_{\mathrm{lin}} \arrow[u, "\simeq ?"'] \arrow[ull, "\text{surj}"'] & \\
  & CK \arrow[ul, "\text{surj}"] \arrow[ur] & &
\end{tikzcd}

diagramme redessiné d'après la page. Un cadre, désigné « théorie discrète », entoure \(A_{\mathrm{num}}\), \(A_{\tau}\), \(A_{\mathrm{alg}}\), \(A_{\mathbb{Q}_{\ell}\text{-hom}}\) et \(A_{\mathbb{Z}_{\ell}\text{-hom}}\) ; un second, « théorie continue », entoure \(A_{\mathrm{pic}}\), \(A_{\mathrm{alb}}\), \(A_{\mathrm{lin}}\). L'indice lu \(\tau\) est douteux. Les signes portés sur les flèches verticales, écrits de côté (une sorte de « z » accompagné de « ? »), sont lus comme \(\simeq\) tourné ; sur les flèches horizontales, \(\simeq\) est surmonté de « ? ». La flèche de \(G_{\mathrm{top}}K\) vers \(A_{\tau}\) est un long trait qui monte le long du bord gauche et s'incurve vers \(A_{\tau}\). À droite du cadre, une première position des nœuds \(A_{\mathbb{Q}_{\ell}\text{-hom}}\) et \(A_{\mathbb{Z}_{\ell}\text{-hom}}\), reliés par une flèche verticale, est couverte de hachures ; les nœuds ont été repris dans le cadre. Les « \(G\) » devant \(K\), les deux « surj », et l'accolade du bas à gauche sont d'une autre encre

Accolades et renvois, de sa main, autour du diagramme :

à gauche de \(A_{\mathrm{num}}\) et \(A_{\tau}\) : « groupe libre de type fini ? » ;
à gauche de \(A_{\tau}\) et \(A_{\mathrm{alg}}\) : « Groupe fini ? » ;
à gauche de \(A_{\mathrm{alg}}\) et \(A_{\mathrm{pic}}\) : « V.A. ? » ;
sous \(A_{\mathrm{pic}}\), \(A_{\mathrm{alb}}\), \(A_{\mathrm{lin}}\) : « flèches toutes surjectives » ;
sous \(G_{\mathrm{top}}K\), \(G_{\mathrm{alg}}K\), \(CK\) : « flèches qui sont des isom. mod torsion » ;
un trait fin part d'un petit sigle encerclé, […], posé contre la flèche \(A_{\mathrm{alg}} \to A_{\mathbb{Z}_{\ell}\text{-hom}}\), et mène à : « car. 0 » (encerclé) « ou meilleure théorie intégrale ».

Autres équivalences : l'équivalence […] \(r\) et les équivalences de Weil \(wh\) et \(W\) définies par Liebermann …..

Mumford-Nakai. Cycles algébriques amples …..

ces mots sont de sa main, seuls sur le feuillet 92, qui sert de chemise aux pages suivantes

93N.B. le critère implique le critère d'amplitude de A. Weil ….. en tête du feuillet, au-dessus du titre ; une double flèche le rattache à l'énoncé

Th. de Mumford-Nakai \(X\) schéma projectif sur corps \(k\), \(L\) faisceau inv. sur \(X\). Conditions équivalentes :

a)\(L\) ample
b)Pour tout sous-préschéma fermé intègre \(Z\) de \(X\) faisceau cohérent \(F\) sur \(X\) […] de dimension \(F \geqslant 1\), on a \[ \chi(F \otimes L^{\otimes n}) \longrightarrow +\infty \quad \text{si } n \longrightarrow +\infty \] « faisceau cohérent \(F\) sur \(X\) » est écrit au-dessus de la rédaction biffée ; au-dessus du passage biffé qui suit, un mot, peut-être « tels »
b')Comme b), avec \(F\) de la forme \(\mathcal{O}_{Z}\), \(Z\) un sous-préschéma intègre de \(X\) de dim \(\geqslant 1\). on peut se borner à \(Z\) normaux
b'')Pour tout sous-préschéma intègre \(Z\) de \(X\), tel que \(\dim Z = 1\) (resp. \(\dim Z \geqslant 2\)) il existe un entier \(n = n_{Z} > 0\) tel que \(\chi(L^{\otimes n} \otimes \mathcal{O}_{Z}) \geqslant 2\) (resp. \(\chi(L^{\otimes n} \otimes \mathcal{O}_{Z}) \geqslant 1\)).
c)Comme b), en remplaçant \(\chi\) par \(H^{0}\) \(\dim H^{0}\)
c')Comme b')
c'')Pour tout sous préschéma intègre \(Z\) de \(X\) tel que \(\dim Z = 1\) (\(\dim Z \geqslant 2\)), existe un entier \(n = n_{Z} > 0\) tel que \(\dim H^{0}(Z, L^{\otimes n} \otimes \mathcal{O}_{Z}) \geqslant 2\) (resp. \(\geqslant 1\)). « tel que \(\dim Z = 1\) (\(\dim Z \geqslant 2\)) » est ajouté dans une accolade au-dessus de la ligne
d)Il existe un entier \(n > 0\) tel que \(L^{\otimes n}\) admette une section \(\neq 0\) ; et pour tout sous-préschéma intègre \(Z\) de \(X\), de dim 1, il existe un entier \(n > 0\) tel que \(\dim H^{0}(Z, L^{\otimes n} \otimes \mathcal{O}_{Z}) \geqslant 2\).
d')Il existe un entier \(n > 0\) tel que \(L^{\otimes n}\) admette une section \(\neq 0\), et pour tout sous-préschéma intègre \(Z\) de \(X\), de dim 1, on a \(\deg(L|Z) > 0\).

d) et d') sont barrés d'un treillis de traits obliques ; ils restent lisibles. Dans d), « il existe un » est biffé après « \(Z\) de \(X\) », et « de dim 1, il existe » est récrit au-dessus ; dans d'), un premier « Pour » est biffé

N.B. Critère numérique (\(X\) irréd. de dim \(d\)) : \(D \cdot C > 0\) si \(C\) courbe irréd. […] \(> 0\) ; \(D^{d} > 0\) (intersection calculée dans \(GK(X)\) !) écrit de bas en haut dans la marge gauche ; les deux inégalités sont réunies par une accolade

94a) \(\Longrightarrow\) (b) \(+\) c)) bien connu (on peut supposer \(L\) très ample, et on applique la théorie du pol. de Hilbert)

b) \(\Longrightarrow\) b') \(\Longrightarrow\) b'') trivial

c) \(\Longrightarrow\) c') \(\Longrightarrow\) c'') trivial

On prouve les autres assertions par récurrence sur […] \(\dim X = d\), c'est trivial si \(d = 0\), et bien connu si \(d = 1\). Supposons \(d \geqslant 2\).

b'') \(\Longrightarrow\) c'') Grâce au le « c'') » surcharge un autre signe ; la phrase s'arrête là

Lemme 1 Si les conditions b''), […] \(n_{0} > 0\) restrictions de \(L\) aux sous-préschémas intègres \(Z\) de \(X\) de dim \(< d\) sont amples, alors \(\exists\, n_{0}\) tel que \[ n \geqslant n_{0} \Longrightarrow H^{i}(X, L^{\otimes n}) = 0 \quad \text{pour } i \geqslant 2 \] […] « restrictions de \(L\) aux sous-préschémas intègres » est écrit au-dessus de la rédaction biffée par des restrictions aux diviseurs. Mais il faut supposer \(X\) projectif

cf. lettre de Mumford.

d) \(\Longrightarrow\) c) trivial ; d) \(\Longleftarrow\) d') d'après […] […] […] […] \(d = 1\) deux lignes barrées de grandes croix

c'') \(\Longrightarrow\) a) On peut supposer grâce à EGA III … que \(X\) est intègre. […] Soit \(f\) une section de \(L^{\otimes n}\), […] \(D\) l'ens. de ses zéros, alors \(D \neq \emptyset\) car \(L\) n'est pas trivial, donc \(\dim D = d - 1\). On peut […]

Lemme 2 Sous les conditions du Lemme 1, supposons \(\exists\, n\) tel que \(L^{\otimes n}\) ait une section. Alors \(\exists\, n_{0}\) tel que \[ \text{pour } n \geqslant n_{0} \Longrightarrow X \dashrightarrow \mathbb{P}\, H^{0}(X, L^{\otimes n}) \text{ partout défini} \] et non constant. \(d \geqslant 2\) « \(\exists\, n\) tel que » est ajouté au-dessus de la ligne ; sa flèche porte un point au-dessus, qu'on rend par \(\dashrightarrow\)

cf. lettre Mumford …

Questions Dans les énoncés d) et d') peut-on supprimer l'hyp. d'existence d'une section \(\neq 0\) ?? […] Peut-on supprimer l'hyp. que \(X\) projectif ??

95\[ \begin{array}{ccccc} \mathring{P}^{+} & \subset & P^{+} & \subset & \overline{P^{+}} \\ \cup & & & & \cup \\ \mathring{Q}^{+} & \subset & Q^{+} & = & \overline{Q^{+}} \\ \cup & & & & \cup \\ \mathring{R} & = & R & \subset & \overline{R} \end{array} \] les exposants \(+\) du haut de la page sont repassés et surchargés, comme les trois \(R\) ; on les lit \(+\) et \(R\) partout

\(\boxed{\mathring{Q}^{+} \subset P^{+}}\) d'où \(Q^{+} = \overline{\mathring{Q}^{+}} \subset \overline{P^{+}}\) Prop. de […]

(donc \(\mathring{Q}^{+} \subset \mathring{\overline{P^{+}}} = \mathring{P}^{+}\))

d'où par polarité, comme \(Q^{+} = Q^{+\circ}\) \[ \overline{P^{+}}^{\,\circ} = P^{+\circ} \subset Q^{+} \]

\[ P^{+} \ni x \iff \exists\, C > 0,\ n > 0, \text{ tel que } \gamma(C) = n x \iff \ell(nx) \geqslant 2 \text{ si } n \text{ grand} \] « \(n > 0\) » est ajouté au-dessus ; la dernière condition est encerclée, sous un premier essai biffé et illisible \[ Q^{+} \ni x \iff \left\{\begin{array}{l} x^{2} \geqslant 0 \\ x \cdot a \geqslant 0 \end{array}\right. , \qquad \mathring{Q}^{+} \ni x \iff x^{2} > 0,\ x \cdot a \geqslant 0 \] [\(a\) choisi dans \(\mathring{Q}^{+}\), p. ex. \(a\) dans \(R\)] le \(\mathring{Q}^{+}\) du crochet surcharge un \(R\) \[ R \ni x \iff \exists\, C \text{ \textit{ample}},\ n > 0, \text{ tel que } \gamma(C) = n x \]

\[ \boxed{\ x \in R \iff x \cdot P > 0 \text{ et } x^{2} > 0\ } \] avant « \(x \cdot P\) », quelques signes biffés, illisibles th. de Nakai « th. de Nakai » est écrit sous la double flèche. À droite, un croquis : trois cônes emboîtés de même sommet, marqués \(P\), \(Q\), \(R\) de l'extérieur vers l'intérieur

\[ \overline{R} \subset \overline{P}^{\,\circ} \cap Q = P^{\circ} = \overline{P}^{\,\circ}, \] […] d'où le premier \(\overline{P}\) porte au-dessus un signe surchargé, peut-être une barre reprise

\(R \neq \mathring{P}\) […] encadré, puis barré

\(R = \mathring{\overline{R}} \subset \mathring{\overline{P^{\circ}}}\), je dis qu'on a égalité, car \[ \mathring{P}^{\circ} \subset \mathring{Q} \] et on applique le critère de Nakai \[ \boxed{\begin{array}{l} R = \mathring{\overline{R}} = \mathring{\overline{P^{\circ}}} \subset \mathring{Q} \\ \overline{R} = P^{\circ} = \overline{P}^{\,\circ} \subset Q \end{array}} \]

Question \(x \cdot P > 0 \overset{?}{\Longrightarrow} x \in R\)

Par Nakai, il reste à voir si \(x^{2} > 0\). Donc \(x^{2} \geqslant 0\), il reste à voir \(x^{2} \neq 0\). On peut supposer que \(x\) provient de \(D\) div. tel que \(D^{2} = 0\). Mais alors \(\chi(L(nD)) = \chi(X) + n\chi(D)\) et \(h^{0}(L(nD)) \geqslant \chi(L(nD))\) pour \(n\) grand par Mumford, on doit donc avoir \(\chi(D) \leqslant 0\) le signe de la dernière inégalité est surchargé

97\[ H^{2}(L^{\otimes n} \otimes K^{\otimes(2n-1)}) \] l'exposant de \(K\) est surchargé ; la lecture \(2n-1\) est douteuse. Un trait sépare cette ligne de ce qui suit

\(D^{d}\) \[ \boxed{\left\{\begin{array}{l} D^{d} > 0 \\ D \cdot C > 0 \text{ si } C > 0 \end{array}\right.} \] \[ \Big\Updownarrow \] \[ \boxed{\ D \in P_{1}^{+\circ},\quad \alpha_{d-1} D^{d-1} \in P_{1}^{+}\ } \] \[ D \in P_{1}^{+\circ} \Longrightarrow \alpha D^{d-1} \in P_{d-1}^{+\circ} \] hyp. de réc. la dernière implication est une flèche qui part d'une accolade sous « \(D \in P_{1}^{+\circ}\) » dans le cadre ; « hyp. de réc. » y est rattaché par un trait

Question \(\alpha_{d-1}(P_{d-1}^{+\circ}) \subset P_{1}^{+}\)

\[ \boxed{\begin{array}{ccccccc} P_{i}^{+\circ} & \subset & \mathcal{A}^{i} & \xrightarrow{\ \alpha_{i}\ } & \mathcal{A}_{d-i} & \supset & P_{d-i}^{+} \\ \Vert & & & & & & \\ P^{i}_{+} & & & & & & \\[1ex] P_{d-i}^{+\circ} & \subset & \mathcal{A}^{2d-i} & \xrightarrow{\ \alpha_{d-i}\ } & \mathcal{A}_{i} & \supset & P_{i}^{+} \\[1ex] & & \mathrm{int}\bigl(P_{i}^{+\circ}\bigr) & \longrightarrow & P_{d-i}^{+} & & \end{array}} \] les indices \(d-i\) de \(\mathcal{A}_{d-i}\) et des \(P_{d-i}\) surchargent un signe antérieur ; \(\mathcal{A}^{2d-i}\) est écrit ainsi

\[ c_{i}(E) \]

99\[ D \cdot C \geqslant 0 \text{ si } C > 0 \] l'exposant de ce premier \(D\) est surchargé et illisible \[ \Big\Downarrow ? \] \[ D^{i} X_{i} \geqslant 0 \text{ si } X_{i} > 0 \quad ?? \]

\[ D \in P_{1}^{+\circ} \Longrightarrow D^{i} \in P_{i}^{+\circ} \quad \text{pour } i \leqslant d-1 \] hyp. de réc. […] […] \(D^{d} \in P_{d}^{+\circ}\) i.e. \(D^{d} \geqslant 0\) ??

On a \[ \begin{array}{ccc} D^{d} = & D^{i} & D^{d-i} \\ & \cap & \cap \\ & P_{i}^{+\circ} & P_{d-i}^{+\circ} \end{array} \qquad (0 < i < d) \] les \(\cap\) sont les signes \(\in\) couchés

\[ \begin{array}{ccc} \boxed{P_{i}^{+\circ} \cdot P_{d-i}^{+\circ} \geqslant 0 \ ?} & & \\[1ex] \Big\Updownarrow & \Longleftarrow & P_{i}^{+\circ}\, P_{j}^{+\circ} \subset P_{i+j}^{+\circ} \\[1ex] \boxed{\alpha_{i}(P_{i}^{+\circ}) \subset P_{d-i}^{+}} & & \\[1ex] \boxed{\alpha_{d-i}(P_{d-i}^{+\circ}) \subset P_{i}^{+}} & & \end{array} \] les deux derniers cadres sont accolés et joints par un signe d'intégrale, qui les réunit ; un croquis de surface et une courbe occupent le milieu de la page

\[ \begin{array}{l} D \cdot C \geqslant 0 \text{ si } C \geqslant 0 \\ D^{2} \cdot D' \geqslant 0 \text{ si } D' \geqslant 0 \\ \quad \Big\Downarrow ? \\ D^{3} \geqslant 0 \end{array} \] dans la deuxième ligne, un facteur est biffé entre \(D^{2}\) et \(D'\)

\[ P_{1}^{+\circ} \subset \mathcal{A}^{1} \longrightarrow \mathcal{A}_{2} \supset P_{2}^{+} \] […] \(D' + nD \in P_{2}^{+}\) \[ (D' + nD)^{3} = D'^{3} + 3n D'^{2} D + 3n^{2} D' D^{2} + n^{3} D^{3} \] \(D + \tfrac{1}{n} D'\) \(D' + nD \simeq\) \[ \boxed{D^{3} \geqslant 0} \] des arcs relient les termes du développement au cadre final ; au-dessous à gauche, un croquis de cône dont un point intérieur est marqué, étiqueté \(P_{2}^{+}\)