Fonds Grothendieck, cote n° 14, pages 61–80

la page 60 (lot précédent) s'achève sur un énoncé « Cor. Main 2.2 », barré de grands traits obliques, sur les homomorphismes B_X \to A_Y définis par un cycle sur X \times Y ; le Corollaire 2.2 ci-dessous est un autre énoncé sous le même numéro.

Corollaire 2.2. Notations de 2.1. Considérons {}^{t}(u_{Z}) : B_{Y} \to A_{X}, alors {}^{t}(u_{Z}) = u_{({}^{t}Z)}, i.e. pour tout diviseur D alg. équiv. à 0 sur Y, tel que Z(D) soit défini, S_{X}(Z(D)) = {}^{t}(u_{Z})(D) Vérification par exemple par voie cohomologique. Attention aux signes éventuels !

devrait remonter au n° 1. [ Proposition 2.3. Conditions de 1.1. ~~Alors~~ Considérons \sigma_{Z} = {}^{t}(u_{Z}) : B_{X} \to B_{Y}. Alors , pour tout diviseur alg. équiv. à 0 D sur X, tel que Z(D) soit défini, {}^{t}Z(D) = {}^{t}(u_{Z})(D)

N.B. Ces deux propositions servent à une autre démonstration de 1.1, via un homom. de schémas en groupes \underline{\mathrm{Pic}}_{X/k} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/k} \ !

Vérification de 2.3 par AQT. ] attention aux signes éventuels ! la note marginale « Attention aux signes éventuels ! » est écrite deux fois, en face du Corollaire 2.2 et en face de la vérification de 2.3 ; les crochets qui encadrent 2.3 et le N.B. sont de sa main.

Proposition 2.4. Avec les notations de 2.1. ~~Supposons que~~ Fixons \ell, pour ~~un \ell convenable~~ que l'homom. a(\gamma(Z)) : H^{1}(Y, \mathbb{Q}_{\ell}) \longrightarrow H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) soit un isom , i.e. que u_{Z} soit une isogénie (cond. néc. ~~et suffisante~~). Alors il existe un ~~cycle~~ diviseur

~~algébrique~~ D à coefficients rationnels, sur X \times Y tel que l'homom. a({}^{t}\gamma(D)) : H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) \to H^{1}(Y, \mathbb{Q}_{\ell}) soit inverse de a(\gamma(Z)), ce qui caractérise D comme élément de \mathcal{C}\ell(X \times Y) \otimes \mathbb{Q}. L'homomorphisme de \mathrm{Hom}_{\mathbb{Q}}(A_{Y}, B_{X}) défini par D n'est autre que u_{Z}^{-1}, . Pour qu'on puisse choisir D à coefficients entiers, il faut et il suffit que u soit un isom. ~~Pour que~~ Plus généralement, si \operatorname{Ker} u est annulé par N, (attention, \operatorname{Ker} u en tant que schéma en gr. non réd.) alors on peut choisir D de la forme D = N^{-r} D_{0}, D_{0} étant un div. à coeff. entiers, et de la forme N^{-r} D_{0}, r \geqslant 0, diviseurs premiers de n. les deux lignes qui suivent « D_0 étant un div. à coeff. entiers » sont surchargées d'ajouts interlinéaires et d'une rature ; seuls les fragments donnés se lisent. On écrit le diagramme commutatif

\begin{tikzcd} H^{1}(Y, \mathbb{Q}_{\ell}) \arrow[r, "a(\gamma(Z))"] & H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) \arrow[d, "\wr"] \\ H^{1}(A_{Y}, \mathbb{Q}_{\ell}) \arrow[u, "\wr"] \arrow[r, "u^{(1)}"] & H^{1}(B_{X}, \mathbb{Q}_{\ell}) \end{tikzcd}

où toutes les flèches écrites sont \mathbb{Z}-algébriques, les flèches verticales des isom. Ceci prouve que

(b étant donné par \operatorname{card} \operatorname{Ker} u) ajout encadré en tête de page ; il se rapporte au « meilleur dénominateur possible b » quelques lignes plus bas.

a(\gamma(Z)) soit un isom., il faut et il suffit que u^{(1)} le soit, i.e. que u soit une isogénie. Alors u admet un inverse unique dans \mathrm{Hom}_{\mathbb{Q}}(A_{Y}, B_{X}), ~~défini~~ dont l'homom. inverse de u^{(1)} est défini par un \mathbb{Q}-cycles algébriques. ~~à coeff. en~~ R, le meilleur dénominateur possible b (D a(\gamma(Z))^{-1}) est défini par un \mathbb{Q}-cycle algébrique, ce qui prouve la première assertion, ~~La seconde~~ ayant dénominateur que R. Cela prouve la première assertion, la seconde résulte de la connaissance de l'effet cohomologique d'une donnée de corr. de diviseurs associée, via l'effet sur les VA … (cf …). Il reste : ~~prouver~~ notons que si D admet un certain dénominateur, inverse, un dénominateur valant pour le \mathbb{Q}-hom A_{Y} \to B_{X} inverse de u, il un par meilleur puissance de ~~cardt~~ N. les points de suspension « sur les VA … (cf … ) » sont de lui : la référence est laissée en blanc. La fin du paragraphe, à partir de « Il reste », est d'une écriture rapide et raturée.

Corollaire 2.5. Avec les notations de 2.4, pour

que u soit une isogénie et que N soit premier à \ell (où \ell \neq car k) il f. et s. que le composé H^{1}(Y, \mathbb{Z}_{\ell}) \longrightarrow H^{2n-1}(X, \mathbb{Z}_{\ell})(n-1) \longrightarrow \underline{H^{2n-1}(X, \mathbb{Z}_{\ell})(n-1)} soit ~~surjectif~~ bijectif ; ~~et (il suffit~~ ~~(Pour que de plus H^{2n-1}(X, \mathbb{Z}_{\ell}) soit sans torsion )~~ que H^{1}(Y, \mathbb{Z}_{\ell}) \to H^{2n-1}(X, \mathbb{Z}_{\ell})(n-1) soit bijectif. « u soit une isogénie et que » est ajouté au-dessus de la première ligne et rattaché par un trait au début de l'énoncé, qui commence à la dernière ligne de la page 63. Le second H^{2n-1} du composé est souligné par lui : le soulignement ne se lit pas avec certitude (quotient par la torsion ?). La parenthèse interlinéaire sur la torsion paraît traversée par le même trait que « et (il suffit » ; l'ordre exact des ratures est incertain.

Th ? C'est un cas particulier important du « Lefschetz vachement » donnant « Lefschetz » aux surfaces …

Corollaire 2.6. Soit X projective lisse conn. de dim n \geqslant 2, et \xi_{1}, \ldots, \xi_{n-1} \in ~~\mathrm{Pic}(X) des~~ [\xi_{1}, \ldots, \xi_{n-1} \in A^{1}(X) leurs classes.] ~~provenant~~ des faisceaux amples, Alors pour tout entier \ell, l'hom. cup-produit par \eta = \xi_{1}\xi_{2}\cdots\xi_{n-1} : H^{1}(X, \mathbb{Q}_{\ell}) \longrightarrow H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) est un isomorphisme. L'isom. inverse est définissable par un élément de A^{1}(X \times X) \otimes \mathbb{Q}, ~~i.e. de~~ ou encore de \mathcal{C}\ell(X, X) \otimes \mathbb{Q}, et ~~cet élément~~ cet élément est unique et ne dépend pas de \ell. la mention encadrée « \xi_1, \ldots, \xi_{n-1} \in A^1(X) leurs classes » est écrite au-dessus de la ligne biffée ; « Alors pour tout » est un ajout encadré.

Il faut prouver que l'hom de VA u : B_{X} \longrightarrow A_{X}

« correspondant » est une isogénie, ou, mieux, a un noyau fini. Pour bien faire, ~~il faudrait~~ on peut prouver mieux, savoir qu'il correspond à une polarisation de B_{X} (compte tenu de A_{X} \simeq B_{X}^{*}).

~~On est , peut le de comme composé d'hom. de restriction~~

~~B_{X} = B_{X_{0}} \xrightarrow{\rho_{0}} B_{X_{1}} \xrightarrow{\rho_{1}} B_{X_{2}} \cdots~~ ~~\xrightarrow{\rho_{n-3}} B_{X_{n-2}} \xrightarrow{\sigma} A_{X_{n-2}} \xrightarrow{i} \cdots~~

B_{X} \xrightarrow{\ \rho\ } B_{Y} \xrightarrow{\ \lambda\ } A_{Y} \xrightarrow{\ \sigma\ } A_{X} Y étant défini t. comme l'intersection de n-2 ~~hyperplans~~ diviseurs « génériques » convenables correspondant : L_{1}, \ldots, L_{n-2} (supposons très amples), \rho est la restriction, \sigma l'injection, et \lambda est défini comme u, avec L_{n-1}|Y sur Y. On sait (des propriétés des pinceaux …) que \rho, \sigma sont des isogénies, et ~~(d'ailleurs transposées l'une de l'autre)~~, tout le passage depuis « On est » jusqu'à « l'une de l'autre) » est annulé par deux grands traits en croix et un trait vertical dans la marge gauche ; la ligne-diagramme B_X = B_{X_0} \to \cdots est en outre barrée d'un trait horizontal et se termine par une surcharge illisible. Seul le diagramme B_X \to B_Y \to A_Y \to A_X reste hors des ratures propres à la ligne.

Or une fonctorialité évidente en X, Y permet d'interpréter de la façon suivante l'hom. B_{X} \to A_{Y} défini dans 2.1, lorsque Z est un morphisme défini par un

v : C \longrightarrow X \times Y , où C est une courbe lisse projective, donnée par v_{1} : C \longrightarrow X , \qquad v_{2} : C \longrightarrow Y . Il suffit dans ce cas de prendre le composé B_{X} \xrightarrow{\ v_{1}^{*}\ } B_{C} \xrightarrow{\ \text{dualité}\ } A_{C} \xrightarrow{\ v_{2*}\ } A_{Y} . Si on exprime en termes de données de correspondances divisorielles sur B_{X} \times B_{Y}, il suffit de prendre la donnée ~~dualisante~~ canonique sur B_{C} \times B_{C}, avec les hom. B_{X} \xrightarrow{v_{1}^{*}} B_{C}, B_{Y} \xrightarrow{v_{2}^{*}} B_{C}. Ceci posé, si X = Y, v_{1} = v_{2}, on voit que ~~cela donc~~ les conditions suivantes sont équivalentes :

(i)L'hom. B_{X} \to A_{X} = B_{X}^{*} est un hom. de polarisation. (ii)L'hom. B_{X} \to B_{X}^{*} = A_{X} est une isogénie. (iii)L'hom. v^{*} : B_{X} \to B_{C} est injectif (mod gpes finis). (iv)L'hom. v_{*} : A_{C} \to A_{X} est surjectif.

« (mod gpes finis) » est placé entre (iii) et (iv), dans une accolade qui paraît valoir pour les deux.

D'ailleurs si \xi \in A_{1}(X) est défini par u : C \to X, alors B_{X} \to A_{X} est aussi, du point de vue cohomologique, défini par le cup-produit par \gamma(c) : H^{1}(A_{X}, \mathbb{Q}_{\ell}) \simeq H^{1}(X, \mathbb{Q}_{\ell}) \longrightarrow H^{1}(B_{X}, \mathbb{Q}_{\ell}) \xleftarrow{\ \sim\ } H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) . On est ramené au fait bien connu que si C est une courbe sur X, intersection « gén. » de diviseurs très amples, alors A_{C} \to A_{X} est surjectif. cette dernière phrase est séparée de ce qui précède par un trait oblique et encadrée.

Proposition 2.7. X et Y sont comme d'habitude, D \in A^{1}(X \times Y), d'où u_{D} : A_{Y} \longrightarrow B_{X} et a(\gamma(D)) : H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) \longrightarrow H^{1}(Y, \mathbb{Q}_{\ell}) . Pour que a(\gamma(D)) soit un isom., il f. et s. que u_{D} soit une isogénie. Alors il existe Z \in A_{1}(X \times Y) \otimes \mathbb{Q} tel que a(\gamma(Z)) : H^{1}(Y, \mathbb{Q}_{\ell}) \longrightarrow H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) soit ~~défini~~ inverse de a(\gamma(D)) (quel que soit \ell). ~~Ce Z est~~ devant le but B_X de u_D, un premier symbole est raturé ; devant a(\gamma(Z)), un petit « t » en exposant est biffé.

~~Rappelons le \mathbb{Q}-hom~~ ~~On écrit le diagramme~~ u_{Z} : B_{X} \longrightarrow A_{Y} \quad (\text{une isog.}) défini par Z au moyen de 2.1, n'est autre que u_{D}^{-1}.

Dém. On utilise le diagramme commutatif

\begin{tikzcd} H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) \arrow[r, "a(\gamma(D))"] \arrow[d, "\Psi_{X}"'] & H^{1}(Y, \mathbb{Q}_{\ell}) \\ H^{1}(B_{X}, \mathbb{Q}_{\ell}) \arrow[r, "u_{D}^{(1)}"] & H^{1}(A_{Y}, \mathbb{Q}_{\ell}) \arrow[u, "\Phi_{Y}"'] \end{tikzcd}

les deux flèches verticales portent en outre le signe \wr (isomorphismes) ; à côté de \Psi_X, un mot est biffé.

Ceci prouve que a(\gamma(D)) est un isom. ssi u_{D}^{(1)} l'est, i.e. u_{D} est une isogénie. Pour conclure à l'existence de Z, il faut montrer que \Phi_{Y}^{-1} et \Psi_{X}^{-1} sont \mathbb{Q}-algébriques (indépendamment de \ell). R ~~le défini~~ ~~Ceci, faut~~ Pour \Psi_{X}, on est donc ramené : prouver 2.7 dans le cas particulier de l'hom. can. H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) \longrightarrow H^{1}(B_{X}, \mathbb{Q}_{\ell}) défini par D \in \mathcal{C}\ell(X, B_{X}), pour trouver un élément can. Z \in A_{1}(X \times B_{X}).

Or choisissons un \xi \in A^{1}(X) de polarisation. Alors on a un diagramme commutatif

\begin{tikzcd} H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) \arrow[r, "\Psi_{X}"] & H^{1}(B_{X}, \mathbb{Q}_{\ell}) \\ H^{1}(X, \mathbb{Q}_{\ell}) \arrow[u, "\lambda"] & H^{1}(A_{X}, \mathbb{Q}_{\ell}) \arrow[u, "\mu"'] \arrow[l, leftrightarrow, "\varphi_{X}^{(1)}"] \end{tikzcd}

toutes les flèches portent le signe d'isomorphisme (\sim ou \wr) ; la flèche verticale de gauche est annotée « cup \xi^{n-1} ». La flèche horizontale du bas a une pointe à chaque bout, la droite surchargée : le sens n'est pas tranché sur la page.

où toutes les flèches ~~sont~~ autres sont définies par des classes de cycles alg. (indép. de \ell). (\mu étant défini comme \Psi_{X}\lambda\varphi_{X} (composé) et étant donc un isom. en vertu de et de 2.6.) Donc \Psi_{X}^{-1} = \lambda\varphi\mu^{-1}, et tout revient à voir que \mu^{-1} est algébrique, ce qui provient du fait que \mu est défini par une \mathbb{Q}-isogénie B_{X} \to A_{X} (cf ), dont on peut prendre l'inverse …

Reste : traiter le cas de \Phi_{Y}^{-1} (où on peut remplacer X par Y). On utilise le même diagramme, qui donne \varphi_{X}^{-1} = \mu^{-1}\Psi_{X}\lambda donc on est ramené à inverser les « algébriques » ; or cela est possible grâce au fait que \mu est associé à une isogénie de VA. « (cf » est suivi d'un blanc ; les points de suspension après « l'inverse » sont de lui. Le \varphi_X de cette page correspond au \Phi_Y de la page 68, Y remplacé par X.

Questions. 1) Y a-t-il toujours un cycle entier qui donne l'inverse pour H^{1}(A_{X}) \to H^{1}(X) ? Il suffirait qu'on sache que pour n grand convenable (donc n \geqslant d) la fibre générique de \mathrm{Sym}^{n}(X) \to A_{X} a un point rationnel.

2) Y a-t-il toujours un cycle entier qui donne l'inverse pour H^{2n-1}(X)(n-1) \to H^{1}(B_{X}) ? Si la réponse à 1) était affirmative, il suffirait de connaître la réponse à 2) dans le cas des VA.

H^{1}(X, \mu_{N}) \simeq {}_{N}\mathrm{Pic}(X) 0 \to {}_{N}\mathrm{Pic}^{0}(X) \to H^{1}(X, \mu_{N}) \longrightarrow {}_{N}\mathrm{NS}(X) \longrightarrow 0 X propre sur corps k sép. clos, N, \ell premiers à car. de k H^{1}(X, \mathbb{Z}_{\ell}(1)) \xleftarrow{\ \simeq\ } T_{\ell}(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/k}) le but s'écrivait d'abord ~~H^{1}(X, A_{X})~~, biffé et remplacé par T_\ell(\underline{\mathrm{Pic}}^0_{X/k}) ; un signe raturé suit. Utiliser le fait que \mathrm{Pic}^{\tau}(X)/\mathrm{Pic}^{0}(X) est fini dans la seconde note marginale, un premier quotient, avec \underline{\mathrm{Pic}}_{X/k}, est raturé. La première suite commence par un « 0 \to {}_N\mathrm{Pic}^0(X) \to » ajouté dans la marge gauche, d'une autre encre.

En particulier, si \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/k} propre, p. ex. X normal, on trouve, introduisant B_{X} = \underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X/k} et A_{X} = B_{X}^{*}, un H^{1}(X, \mathbb{Z}_{\ell}) \xleftarrow{\ \varphi_{X}^{*}\ } H^{1}(A_{X}, \mathbb{Z}_{\ell}) .

~~H^{2n-1}~~ Soit maintenant X lisse, purement n-dim. Alors H^{2n-1}(X, \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}) \simeq H^{1}(X, \mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{\vee}(-n) d'où 0 \to ({}_{N}\mathrm{NS}(X))^{\vee} \to H^{2n-1}(X, \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}) \to {}_{N}A_{X}(k)(-n) \to 0 avec {}_{N}A_{X}(k)(-n) \simeq H^{1}(B_{X}, \mathbb{Z}/N\mathbb{Z})(1-n). Passant à la limite sur \ell^{\nu} : 0 \to (\mathrm{NS}(X)[\ell])^{\vee} \to H^{2n-1}(X, \mathbb{Z}_{\ell})(n-1) \to H^{1}(B_{X}, \mathbb{Z}_{\ell}) \to 0 où \mathrm{NS}(X)[\ell] est la comp. \ell-primaire, et la dernière flèche un hom. algébrique. les exposants de Tate de ces deux suites ont été corrigés sur la page : (-n) biffé après ({}_N\mathrm{NS}(X))^\vee, (1-n) surchargeant une première valeur après H^1(B_X, \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}), et (n-1) porté en travers de la flèche du milieu de la dernière suite ; après (\mathrm{NS}(X)[\ell])^\vee et après H^1(B_X, \mathbb{Z}_\ell), un exposant (dans le second cas (1-n)) est raturé.

Relations entre \underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X}, \underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X} et H^{1}(X), H^{2n-1}(X) (X projective lisse conn. de dim n sur k alg. clos).

\begin{align*} &\pi_{1}^{\ell}(\underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X}) \xleftarrow[\ \sim\ ]{(t)} \pi_{1}^{\ell}(X)^{\mathrm{ab}}(\ell) && \text{i.e. \emph{torsion près}} \quad [\text{c'est toujours surjectif ?}] \\ &\pi_{1}(\underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X}) \simeq H^{1}(\underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X})(1) \xrightarrow[\ \sim\ ]{t} H^{1}(X)(1) && \text{i.e. \emph{torsion près}} \quad [\text{c'est toujours injectif}] \\ &H^{1}(\underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X}) \xrightarrow[\ \sim\ ]{t} H^{1}(X) && \text{i.e. \emph{torsion près}} \quad [\text{c'est toujours injectif}] \\ &H^{1}(\underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X}) \simeq \pi_{1}(\underline{\mathrm{Alb}}_{X})(-1) \xleftarrow[\ \sim\ ]{(t)} H^{2n-1}(X)(n-1) && \text{toujours} \end{align*} au-dessus du premier but \pi_1^\ell(X)^{\mathrm{ab}}(\ell), un ajout rattaché par une accolade : « (t)\ H^{2n-1}(X)(n) », qui paraît remplacer un symbole raturé après (\ell). Les points d'exclamation ou d'interrogation qui closent les deux crochets « injectif » sont surchargés ; devant « toujours », à la dernière ligne, un mot raturé et illisible ().

Si on repère les VA par les H^{1}, \left\{ \begin{array}{lll} \underline{\mathrm{Alb}}_{X} & \text{correspond :} & H^{1}(X) \\ \underline{\mathrm{Pic}}_{X} & \text{------------} & H^{2n-1}(X)(n-1) \end{array} \right.

commence ici une nouvelle suite, numérotée par lui « I » (cerclé), avec des alinéas aux numéros cerclés, rendus ici (1), (2), (3) : une axiomatique de la catégorie des variétés abéliennes et de leurs cycles.

I. (1) \mathcal{VA} catégorie (additive) définie à isog. près sur un corps alg. clos k. \mathcal{VA}^{\circ} \xrightarrow{\ *\ } \mathcal{VA} \qquad A \rightsquigarrow A^{*} foncteur « dualité » \mathcal{VA}^{\circ} \xrightarrow{\ C^{*}\ } \begin{pmatrix} \text{Anneaux gradués comm.,} \\ \text{à degrés} \geqslant 0, \\ C^{0} \simeq \mathbb{Z} \end{pmatrix} \qquad A \rightsquigarrow C^{*} \quad \text{cycles mod équiv. alg.} Fonction dimension, additive, invariante par dualité.

(2) C^{n}(A) \xrightarrow{\ \deg\ } \mathbb{Z} isom. can., mais pas fonctoriel (fonct. pour isom.) ; C^{0}(A) \xleftarrow{\ \sim\ } \mathbb{Z} isom. fonctoriel. l'étiquette de la première flèche est surchargée ; on lit au-dessous une sorte de \int_x ou « deg ».

Loi covariante pour les cycles, formule de projection (contenant la formule de transposition).

On peut en tirer formellement la loi de Pythagore pour les cycles …

(3) Application fondamentale

\begin{tikzcd} C^{1}(A) \arrow[rr] \arrow[dr, dashed] & & \mathrm{Hom}(A, A^{*})^{\mathrm{alt}} \\ & C^{1}(A \times A) \arrow[ur, dashed] & \end{tikzcd}

C^{1}(A \times B) \longrightarrow \mathrm{Hom}(A, B^{*}) (isom. C^{1}(A \times B)/C^{1}(A) \times C^{1}(B) \simeq \mathrm{Hom}(A, B^{*})) on a un choix

N.B. On pourrait définir axiomatiquement A^{*} par cette formule les deux flèches obliques du diagramme sont en pointillé sur la page ; le C^1(A \times A) surcharge une première lettre. Le N.B. est encadré dans le coin inférieur gauche.

la page reprend la numérotation de la page 75 : un nouvel alinéa (1), cerclé (réalisation \ell-adique), un second groupe marqué en marge d'un signe illisible, puis un alinéa 2, non cerclé.

(1) \mathcal{VA} \xrightarrow{\ T_{\mathbb{Q}_{\ell}}\ } \mathrm{Mod}(\mathbb{Q}_{\ell}) \qquad A \rightsquigarrow T_{\ell}(A) \otimes_{\mathbb{Z}_{\ell}} \mathbb{Q}_{\ell} \mathcal{VA}^{\circ} \xrightarrow{\ H^{1}\ } \mathrm{Mod}(\mathbb{Q}_{\ell}) \qquad A \rightsquigarrow H^{1}(A, \mathbb{Q}_{\ell}) = \mathrm{Hom}_{\mathbb{Q}_{\ell}}(T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A), \mathbb{Q}_{\ell}) foncteurs fidèles, additifs. un astérisque, en exposant de la première source \mathcal{VA}, paraît effacé ; l'indice de T au-dessus de la première flèche surcharge un premier indice raturé ; de même sous le \mathrm{Hom} de la seconde ligne, où un indice \mathbb{Z}_\ell semble remplacé par \mathbb{Q}_\ell. H^{*}(A) = {\textstyle\bigwedge^{*}} H^{1}(A)

\begin{tikzcd}[column sep=huge] \mathcal{VA}^{\circ} \arrow[r, "*"] \arrow[d, "(H^{1})^{\circ}"'] & \mathcal{VA} \arrow[d, "H^{1}"] \\ \mathrm{Mod}\,\mathbb{Q}_{\ell}^{\circ} \arrow[r, "{\mathrm{Hom}(\cdot,\, \mathbb{Q}_{\ell}(-1))}"'] & \mathrm{Mod}\,\mathbb{Q}_{\ell} \end{tikzcd}

A \rightsquigarrow A^{*} (équivalences) ; commutatif à isom. près.

~~Z^{i}(A)~~ \mathcal{VA} \xrightarrow{\ \mathcal{C}^{*}\ } (\mathrm{Ab}) \qquad A \rightsquigarrow \mathcal{C}^{*}(A) \quad \text{anneau de Chow (des cycles mod \emph{équiv. alg})} \mathcal{C}^{i} \longrightarrow H^{2i} \otimes \mathbb{Q}_{\ell}(i) = {\textstyle\bigwedge^{2i}} H^{1} \otimes \mathbb{Q}_{\ell}(i) \qquad \mathcal{C}^{i}(A) \xrightarrow{\ \gamma_{A}^{2i}\ } H^{2i}(A, \mathbb{Q}_{\ell})(i) compatible avec structure d'anneau. le \mathcal{C} ronde de \mathcal{C}^* et de \mathcal{C}^i surcharge chaque fois une première lettre (Z ?).

2 \begin{array}{rcl} H^{2n}(A) \simeq {\textstyle\bigwedge^{2n}} H^{1}(A) & \xrightarrow[\ \sim\ ]{\eta_{A}} & \mathbb{Q}_{\ell}(-n) \\[2pt] H^{2n}(A^{*}) \simeq {\textstyle\bigwedge^{2n}} H^{1}(A^{*}) & \xrightarrow[\ \sim\ ]{\eta_{A^{*}}} & \mathbb{Q}_{\ell}(-n) \\[2pt] \wr & & \wr\ \text{(can.)} \\ \mathbb{Q}_{\ell}(2n) & & \mathbb{Q}_{\ell}(-2n) \end{array} isom canoniques id ? vérifier s'il n'y a pas un signe ! sous la seconde ligne, deux isomorphismes verticaux mènent l'un à « \mathbb{Q}_\ell(2n) » (lecture incertaine, surchargée), l'autre, marqué « can. » dans un cercle, à \mathbb{Q}_\ell(-2n) ; des croix au-dessus de H^1(A^*) et du second \mathbb{Q}_\ell(-n) semblent renvoyer l'un à l'autre. « id » est suivi d'un signe en équerre.

la page 78, entre 77 et 79, est une page dactylographiée étrangère à ces notes ; l'alinéa 3) ci-dessous suit les alinéas (1) et 2 de la page 77.

3) Soit u : A' \to A un ~~isogénie~~ homom., avec \dim A = \dim A' = n, alors \begin{array}{ccc} u^{2n} : H^{2n}(A) & \longrightarrow & H^{2n}(A') \\ \wr & & \wr \\ \mathbb{Q}_{\ell}(-n) & & \mathbb{Q}_{\ell}(-n) \end{array} est donné par la multiplication par \deg u = d (nul ssi u(A') \neq A, i.e. u n'est pas une isogénie). En d'autres termes, définissant u_{*} : H^{*}(A) \longrightarrow H^{*}(A') par transposition (attention, il y a que A et A' sont de même dim) on trouve u_{*}(1_{A}) = d \cdot 1_{A'} Supposons que ~~les~~ ~~degrés~~ dim n, n' de A, A' soient quelconques, on définit par transposition H^{i}(A) \longrightarrow H^{i+2(n'-n)}(A')(n'-n) ~~et on~~ qui se déduit directement de la connaissance de u^{1} : H^{1}(A') \longrightarrow H^{1}(A) \qquad (\text{d'où } u^{*} : H^{*}(A') \to H^{*}(A) \text{ par } {\textstyle\bigwedge^{*}}) et des isom. \eta_{A} et \eta_{A'}, par transposition. Notons que

u_{*}(1_{A}) \in H^{2(n'-n)}(A')(n'-n) est la classe du cycle image u(A) \in \mathcal{C}^{n'-n}(A') (de façon générale, u_{*} compatible avec les images directes sur les cycles …), donc est nulle si u(A) est de dim < n, et si u(A) est de dim n, et si B désigne la VA image (au sens faisceautique) et d le degré de projection A \to B, alors u_{*}(1_{A}) est égal à : d \cdot \gamma^{2(n'-n)}_{A'}(B) (classe de cycle associée). « classe de cycle associée » est écrit sous \gamma^{2(n'-n)}_{A'}(B) et rattaché par une flèche. Le texte porte u(A) \in \mathcal{C}^{n'-n}(A) ; la cohérence demande (A').

En termes de H^{1}(A'^{*}) \to H^{1}(A) : on regarde la transposée des \mathbb{Q}_{\ell} , u_{1} : T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A) \longrightarrow T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A'), ~~on prend~~ s'il n'est pas injectif on trouve 0 ; s'il est injectif on trouve un multivecteur ~~total~~ de degré 2(n'-n) = \dim \operatorname{Coker} u_{1}, qui définit une forme 2(n'-n)-fois linéaire alternée sur T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A') la phrase se poursuit sur la page suivante (lot suivant).