Cote n° 14 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Théorie des cycles algébriques : conjectures de Hodge, Tate, Lefschetz, Weil : notes manuscrites (s.d.), lettre (1965).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1971]
Édition de démonstration

61la page 60 (lot précédent) s'achève sur un énoncé « Cor. Main 2.2 », barré de grands traits obliques, sur les homomorphismes \(B_X \to A_Y\) définis par un cycle sur \(X \times Y\) ; le Corollaire 2.2 ci-dessous est un autre énoncé sous le même numéro.

Corollaire 2.2. Notations de 2.1. Considérons \({}^{t}(u_{Z}) : B_{Y} \to A_{X}\), alors \({}^{t}(u_{Z}) = u_{({}^{t}Z)}\), i.e. […] pour tout diviseur \(D\) alg. équiv. à \(0\) sur \(Y\), tel que \(Z(D)\) soit défini, \[ S_{X}(Z(D)) = {}^{t}(u_{Z})(D) \] Vérification par exemple par voie cohomologique. Attention aux signes éventuels !

devrait remonter au n° 1. [ Proposition 2.3. Conditions de 1.1. Alors Considérons \(\sigma_{Z} = {}^{t}(u_{Z}) : B_{X} \to B_{Y}\). Alors […], pour tout diviseur alg. équiv. à \(0\) \(D\) sur \(X\), tel que \(Z(D)\) soit défini, \[ {}^{t}Z(D) = {}^{t}(u_{Z})(D) \]

N.B. Ces deux propositions servent à une autre démonstration de 1.1, via un homom. de schémas en groupes \[ \underline{\mathrm{Pic}}_{X/k} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/k} \ ! \]

Vérification de 2.3 par AQT. ] attention aux signes éventuels ! la note marginale « Attention aux signes éventuels ! » est écrite deux fois, en face du Corollaire 2.2 et en face de la vérification de 2.3 ; les crochets qui encadrent 2.3 et le N.B. sont de sa main.

Proposition 2.4. Avec les notations de 2.1. Supposons que Fixons \(\ell\), pour un \(\ell\) convenable que l'homom. \[ a(\gamma(Z)) : H^{1}(Y, \mathbb{Q}_{\ell}) \longrightarrow H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) \] soit un isom […], i.e. que \(u_{Z}\) soit une isogénie (cond. néc. et suffisante). Alors il existe un cycle diviseur

62algébrique \(D\) à coefficients rationnels, […] sur \(X \times Y\) tel que l'homom. \(a({}^{t}\gamma(D)) : H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) \to H^{1}(Y, \mathbb{Q}_{\ell})\) soit inverse de \(a(\gamma(Z))\), ce qui caractérise \(D\) comme élément de \(\mathcal{C}\ell(X \times Y) \otimes \mathbb{Q}\). L'homomorphisme de \(\mathrm{Hom}_{\mathbb{Q}}(A_{Y}, B_{X})\) défini par \(D\) n'est autre que \(u_{Z}^{-1}\), […]. Pour qu'on puisse choisir \(D\) à coefficients entiers, il faut et il suffit que \(u\) soit un isom. Pour que […] Plus généralement, si \(\operatorname{Ker} u\) est annulé par \(N\), […] (attention, \(\operatorname{Ker} u\) en tant que schéma en gr. non réd.) alors on peut choisir \(D\) de la forme \(D = N^{-r} D_{0}\), \(D_{0}\) étant un div. à coeff. entiers, et […] de la forme \(N^{-r} D_{0}\), […] \(r \geqslant 0\), […] […] diviseurs premiers de \(n\). les deux lignes qui suivent « \(D_0\) étant un div. à coeff. entiers » sont surchargées d'ajouts interlinéaires et d'une rature ; seuls les fragments donnés se lisent. On écrit le diagramme commutatif

\begin{tikzcd}
  H^{1}(Y, \mathbb{Q}_{\ell}) \arrow[r, "a(\gamma(Z))"] & H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) \arrow[d, "\wr"] \\
  H^{1}(A_{Y}, \mathbb{Q}_{\ell}) \arrow[u, "\wr"] \arrow[r, "u^{(1)}"] & H^{1}(B_{X}, \mathbb{Q}_{\ell})
\end{tikzcd}

où toutes les flèches écrites sont \(\mathbb{Z}\)-algébriques, les flèches verticales des isom. Ceci prouve que

63(\(b\) étant donné par \(\operatorname{card} \operatorname{Ker} u\)) ajout encadré en tête de page ; il se rapporte au « meilleur dénominateur possible \(b\) » quelques lignes plus bas.

\(a(\gamma(Z))\) soit un isom., il faut et il suffit que \(u^{(1)}\) le soit, i.e. que \(u\) soit une isogénie. Alors \(u\) admet un inverse unique dans \(\mathrm{Hom}_{\mathbb{Q}}(A_{Y}, B_{X})\), défini dont l'homom. inverse de \(u^{(1)}\) est défini par un […] \(\mathbb{Q}\)-cycles algébriques. à coeff. en \(R\), le meilleur dénominateur possible \(b\) (\(D\) […] \(a(\gamma(Z))^{-1}\)) est défini par un \(\mathbb{Q}\)-cycle algébrique, ce qui prouve la première assertion, La seconde ayant […] […] dénominateur que \(R\). Cela prouve la première assertion, la seconde résulte de la connaissance de l'effet cohomologique d'une donnée de corr. de diviseurs associée, via l'effet sur les VA … (cf …). Il reste : prouver notons que si \(D\) admet un certain dénominateur, inverse, un dénominateur valant pour le \(\mathbb{Q}\)-hom \(A_{Y} \to B_{X}\) inverse de \(u\), […] il […] un […] par […] meilleur puissance de cardt \(N\). les points de suspension « sur les VA … (cf … ) » sont de lui : la référence est laissée en blanc. La fin du paragraphe, à partir de « Il reste », est d'une écriture rapide et raturée.

Corollaire 2.5. Avec les notations de 2.4, pour

64que \(u\) soit une isogénie et que \(N\) soit premier à \(\ell\) (où \(\ell \neq\) car \(k\)) il f. et s. que le composé \[ H^{1}(Y, \mathbb{Z}_{\ell}) \longrightarrow H^{2n-1}(X, \mathbb{Z}_{\ell})(n-1) \longrightarrow \underline{H^{2n-1}(X, \mathbb{Z}_{\ell})(n-1)} \] soit surjectif bijectif ; et (il suffit […] (Pour que de plus \(H^{2n-1}(X, \mathbb{Z}_{\ell})\) soit sans torsion […]) que \(H^{1}(Y, \mathbb{Z}_{\ell}) \to H^{2n-1}(X, \mathbb{Z}_{\ell})(n-1)\) soit bijectif. « u soit une isogénie et que » est ajouté au-dessus de la première ligne et rattaché par un trait au début de l'énoncé, qui commence à la dernière ligne de la page 63. Le second \(H^{2n-1}\) du composé est souligné par lui : le soulignement ne se lit pas avec certitude (quotient par la torsion ?). La parenthèse interlinéaire sur la torsion paraît traversée par le même trait que « et (il suffit » ; l'ordre exact des ratures est incertain.

Th ? C'est un cas particulier important du « Lefschetz vachement » donnant « Lefschetz » aux surfaces …

Corollaire 2.6. Soit \(X\) projective lisse conn. de dim \(n \geqslant 2\), et \(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n-1} \in\) \(\mathrm{Pic}(X)\) […] des […] [\(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n-1} \in A^{1}(X)\) leurs classes.] provenant des faisceaux amples, Alors pour tout entier \(\ell\), l'hom. cup-produit par \(\eta = \xi_{1}\xi_{2}\cdots\xi_{n-1}\) : \[ H^{1}(X, \mathbb{Q}_{\ell}) \longrightarrow H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) \] est un isomorphisme. L'isom. inverse est définissable par un élément de […] \(A^{1}(X \times X) \otimes \mathbb{Q}\), i.e. de ou encore de \(\mathcal{C}\ell(X, X) \otimes \mathbb{Q}\), et cet élément cet élément est unique et ne dépend pas de \(\ell\). la mention encadrée « \(\xi_1, \ldots, \xi_{n-1} \in A^1(X)\) leurs classes » est écrite au-dessus de la ligne biffée ; « Alors pour tout » est un ajout encadré.

Il faut prouver que l'hom de VA \[ u : B_{X} \longrightarrow A_{X} \]

65« correspondant » est une isogénie, ou, mieux, a un noyau fini. Pour bien faire, il faudrait on peut prouver mieux, savoir qu'il correspond à une polarisation de \(B_{X}\) (compte tenu de \(A_{X} \simeq B_{X}^{*}\)).

On est […] […], peut […] le […] de […] […] comme composé d'hom. de restriction

\(B_{X} = B_{X_{0}} \xrightarrow{\rho_{0}} B_{X_{1}} \xrightarrow{\rho_{1}} B_{X_{2}} \cdots\) \(\xrightarrow{\rho_{n-3}} B_{X_{n-2}} \xrightarrow{\sigma} A_{X_{n-2}} \xrightarrow{i} \cdots\) […]

\[ B_{X} \xrightarrow{\ \rho\ } B_{Y} \xrightarrow{\ \lambda\ } A_{Y} \xrightarrow{\ \sigma\ } A_{X} \] \(Y\) étant défini t. comme l'intersection de \(n-2\) hyperplans diviseurs « génériques » convenables correspondant : \(L_{1}, \ldots, L_{n-2}\) (supposons très amples), \(\rho\) est la restriction, \(\sigma\) l'injection, et \(\lambda\) est défini comme \(u\), avec \(L_{n-1}|Y\) sur \(Y\). On sait […] […] (des propriétés des pinceaux …) que \(\rho\), \(\sigma\) sont des isogénies, et (d'ailleurs transposées l'une de l'autre), tout le passage depuis « On est » jusqu'à « l'une de l'autre) » est annulé par deux grands traits en croix et un trait vertical dans la marge gauche ; la ligne-diagramme \(B_X = B_{X_0} \to \cdots\) est en outre barrée d'un trait horizontal et se termine par une surcharge illisible. Seul le diagramme \(B_X \to B_Y \to A_Y \to A_X\) reste hors des ratures propres à la ligne.

Or une fonctorialité évidente en \(X\), \(Y\) permet d'interpréter de la façon suivante l'hom. \(B_{X} \to A_{Y}\) défini dans 2.1, lorsque \(Z\) est un morphisme défini par un

66\[ v : C \longrightarrow X \times Y , \] où \(C\) est une courbe lisse projective, donnée par \[ v_{1} : C \longrightarrow X , \qquad v_{2} : C \longrightarrow Y . \] Il suffit dans ce cas de prendre le composé \[ B_{X} \xrightarrow{\ v_{1}^{*}\ } B_{C} \xrightarrow{\ \text{dualité}\ } A_{C} \xrightarrow{\ v_{2*}\ } A_{Y} . \] Si on exprime en termes de données de correspondances divisorielles sur \(B_{X} \times B_{Y}\), il suffit de prendre la donnée dualisante canonique sur \(B_{C} \times B_{C}\), avec les hom. \(B_{X} \xrightarrow{v_{1}^{*}} B_{C}\), \(B_{Y} \xrightarrow{v_{2}^{*}} B_{C}\). Ceci posé, si \(X = Y\), \(v_{1} = v_{2}\), on voit que cela donc […] les conditions suivantes sont équivalentes :

1. (i)L'hom. \(B_{X} \to A_{X} = B_{X}^{*}\) est un hom. de polarisation.
2. (ii)L'hom. \(B_{X} \to B_{X}^{*} = A_{X}\) est une isogénie.
3. (iii)L'hom. \(v^{*} : B_{X} \to B_{C}\) est injectif (mod gpes finis).
4. (iv)L'hom. \(v_{*} : A_{C} \to A_{X}\) est surjectif.

« (mod gpes finis) » est placé entre (iii) et (iv), dans une accolade qui paraît valoir pour les deux.

67D'ailleurs si \(\xi \in A_{1}(X)\) est défini par \(u : C \to X\), alors \(B_{X} \to A_{X}\) est aussi, du point de vue cohomologique, défini par le cup-produit par \[ \gamma(c) : H^{1}(A_{X}, \mathbb{Q}_{\ell}) \simeq H^{1}(X, \mathbb{Q}_{\ell}) \longrightarrow H^{1}(B_{X}, \mathbb{Q}_{\ell}) \xleftarrow{\ \sim\ } H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) . \] On est ramené au fait bien connu que si \(C\) est une courbe sur \(X\), intersection « gén. » de diviseurs très amples, alors \(A_{C} \to A_{X}\) est surjectif. cette dernière phrase est séparée de ce qui précède par un trait oblique et encadrée.

Proposition 2.7. \(X\) et \(Y\) sont comme d'habitude, \(D \in A^{1}(X \times Y)\), d'où \[ u_{D} : A_{Y} \longrightarrow B_{X} \] et \[ a(\gamma(D)) : H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) \longrightarrow H^{1}(Y, \mathbb{Q}_{\ell}) . \] Pour que \(a(\gamma(D))\) soit un isom., il f. et s. que \(u_{D}\) soit une isogénie. Alors il existe \(Z \in A_{1}(X \times Y) \otimes \mathbb{Q}\) tel que \[ a(\gamma(Z)) : H^{1}(Y, \mathbb{Q}_{\ell}) \longrightarrow H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) \] soit défini inverse de \(a(\gamma(D))\) (quel que soit \(\ell\)). Ce \(Z\) est devant le but \(B_X\) de \(u_D\), un premier symbole est raturé ; devant \(a(\gamma(Z))\), un petit « t » en exposant est biffé.

68Rappelons le \(\mathbb{Q}\)-hom On écrit le diagramme […] \[ u_{Z} : B_{X} \longrightarrow A_{Y} \quad (\text{une isog.}) \] défini par \(Z\) au moyen de 2.1, n'est autre que \(u_{D}^{-1}\).

Dém. On utilise le diagramme commutatif

\begin{tikzcd}
  H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) \arrow[r, "a(\gamma(D))"] \arrow[d, "\Psi_{X}"'] & H^{1}(Y, \mathbb{Q}_{\ell}) \\
  H^{1}(B_{X}, \mathbb{Q}_{\ell}) \arrow[r, "u_{D}^{(1)}"] & H^{1}(A_{Y}, \mathbb{Q}_{\ell}) \arrow[u, "\Phi_{Y}"']
\end{tikzcd}

les deux flèches verticales portent en outre le signe \(\wr\) (isomorphismes) ; à côté de \(\Psi_X\), un mot est biffé.

Ceci prouve que \(a(\gamma(D))\) est un isom. ssi \(u_{D}^{(1)}\) l'est, i.e. \(u_{D}\) est une isogénie. Pour conclure à l'existence de \(Z\), il faut montrer que \(\Phi_{Y}^{-1}\) et \(\Psi_{X}^{-1}\) sont \(\mathbb{Q}\)-algébriques (indépendamment de \(\ell\)). R[…] le […] défini Ceci, […] faut Pour \(\Psi_{X}\), on est donc ramené : prouver 2.7 dans le cas particulier de l'hom. can. \[ H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) \longrightarrow H^{1}(B_{X}, \mathbb{Q}_{\ell}) \] défini par \(D \in \mathcal{C}\ell(X, B_{X})\), pour trouver un élément can. \(Z \in A_{1}(X \times B_{X})\).

69Or choisissons un \(\xi \in A^{1}(X)\) de polarisation. Alors on a un diagramme commutatif

\begin{tikzcd}
  H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) \arrow[r, "\Psi_{X}"] & H^{1}(B_{X}, \mathbb{Q}_{\ell}) \\
  H^{1}(X, \mathbb{Q}_{\ell}) \arrow[u, "\lambda"] & H^{1}(A_{X}, \mathbb{Q}_{\ell}) \arrow[u, "\mu"'] \arrow[l, leftrightarrow, "\varphi_{X}^{(1)}"]
\end{tikzcd}

toutes les flèches portent le signe d'isomorphisme (\(\sim\) ou \(\wr\)) ; la flèche verticale de gauche est annotée « cup \(\xi^{n-1}\) ». La flèche horizontale du bas a une pointe à chaque bout, la droite surchargée : le sens n'est pas tranché sur la page.

où toutes les flèches sont […] autres sont définies par des classes de cycles alg. (indép. de \(\ell\)). (\(\mu\) étant défini comme \(\Psi_{X}\lambda\varphi_{X}\) (composé) et étant donc un isom. en vertu de […] et de 2.6.) Donc \(\Psi_{X}^{-1} = \lambda\varphi\mu^{-1}\), et tout revient à voir que \(\mu^{-1}\) est algébrique, ce qui provient du fait que \(\mu\) est défini par une \(\mathbb{Q}\)-isogénie \(B_{X} \to A_{X}\) (cf […]), dont on peut prendre l'inverse …

Reste : traiter le cas de \(\Phi_{Y}^{-1}\) (où on peut remplacer \(X\) par \(Y\)). On utilise le même diagramme, qui donne \[ \varphi_{X}^{-1} = \mu^{-1}\Psi_{X}\lambda \] donc on est ramené à inverser les « algébriques » ; or cela est possible grâce au fait que \(\mu\) est associé à une isogénie de VA. « (cf » est suivi d'un blanc ; les points de suspension après « l'inverse » sont de lui. Le \(\varphi_X\) de cette page correspond au \(\Phi_Y\) de la page 68, \(Y\) remplacé par \(X\).

70Questions. 1) Y a-t-il toujours un cycle entier qui donne l'inverse pour \(H^{1}(A_{X}) \to H^{1}(X)\) ? Il suffirait qu'on sache que pour \(n\) grand convenable (donc \(n \geqslant d\)) la fibre générique de \(\mathrm{Sym}^{n}(X) \to A_{X}\) a un point rationnel.

2) Y a-t-il toujours un cycle entier qui donne l'inverse pour \(H^{2n-1}(X)(n-1) \to H^{1}(B_{X})\) ? Si la réponse à 1) était affirmative, il suffirait de connaître la réponse à 2) dans le cas des VA.

72\[ H^{1}(X, \mu_{N}) \simeq {}_{N}\mathrm{Pic}(X) \] \[ 0 \to {}_{N}\mathrm{Pic}^{0}(X) \to H^{1}(X, \mu_{N}) \longrightarrow {}_{N}\mathrm{NS}(X) \longrightarrow 0 \] \(X\) propre sur corps \(k\) sép. clos, \(N\), \(\ell\) premiers à car. de \(k\) \[ H^{1}(X, \mathbb{Z}_{\ell}(1)) \xleftarrow{\ \simeq\ } T_{\ell}(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/k}) \] le but s'écrivait d'abord \(H^{1}(X, A_{X})\), biffé et remplacé par \(T_\ell(\underline{\mathrm{Pic}}^0_{X/k})\) ; un signe raturé suit. Utiliser le fait que \(\mathrm{Pic}^{\tau}(X)/\mathrm{Pic}^{0}(X)\) est fini dans la seconde note marginale, un premier quotient, avec \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/k}\), est raturé. La première suite commence par un « \(0 \to {}_N\mathrm{Pic}^0(X) \to\) » ajouté dans la marge gauche, d'une autre encre.

En particulier, si \(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/k}\) propre, p. ex. \(X\) normal, on trouve, introduisant \(B_{X} = \underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X/k}\) et \(A_{X} = B_{X}^{*}\), un \[ H^{1}(X, \mathbb{Z}_{\ell}) \xleftarrow{\ \varphi_{X}^{*}\ } H^{1}(A_{X}, \mathbb{Z}_{\ell}) . \]

\(H^{2n-1}\) Soit maintenant \(X\) lisse, purement \(n\)-dim. Alors \[ H^{2n-1}(X, \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}) \simeq H^{1}(X, \mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{\vee}(-n) \] d'où \[ 0 \to ({}_{N}\mathrm{NS}(X))^{\vee} \to H^{2n-1}(X, \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}) \to {}_{N}A_{X}(k)(-n) \to 0 \] avec \({}_{N}A_{X}(k)(-n) \simeq H^{1}(B_{X}, \mathbb{Z}/N\mathbb{Z})(1-n)\). Passant à la limite sur \(\ell^{\nu}\) : \[ 0 \to (\mathrm{NS}(X)[\ell])^{\vee} \to H^{2n-1}(X, \mathbb{Z}_{\ell})(n-1) \to H^{1}(B_{X}, \mathbb{Z}_{\ell}) \to 0 \] où \(\mathrm{NS}(X)[\ell]\) est la comp. \(\ell\)-primaire, et la dernière flèche un hom. algébrique. les exposants de Tate de ces deux suites ont été corrigés sur la page : \((-n)\) biffé après \(({}_N\mathrm{NS}(X))^\vee\), \((1-n)\) surchargeant une première valeur après \(H^1(B_X, \mathbb{Z}/N\mathbb{Z})\), et \((n-1)\) porté en travers de la flèche du milieu de la dernière suite ; après \((\mathrm{NS}(X)[\ell])^\vee\) et après \(H^1(B_X, \mathbb{Z}_\ell)\), un exposant (dans le second cas \((1-n)\)) est raturé.

73Relations entre \(\underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X}\), \(\underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X}\) et \(H^{1}(X)\), \(H^{2n-1}(X)\) (\(X\) projective lisse conn. de dim \(n\) sur \(k\) alg. clos).

\[\begin{align*} &\pi_{1}^{\ell}(\underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X}) \xleftarrow[\ \sim\ ]{(t)} \pi_{1}^{\ell}(X)^{\mathrm{ab}}(\ell) && \text{i.e. \emph{torsion près}} \quad [\text{c'est toujours surjectif ?}] \\ &\pi_{1}(\underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X}) \simeq H^{1}(\underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X})(1) \xrightarrow[\ \sim\ ]{t} H^{1}(X)(1) && \text{i.e. \emph{torsion près}} \quad [\text{c'est toujours injectif}] \\ &H^{1}(\underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X}) \xrightarrow[\ \sim\ ]{t} H^{1}(X) && \text{i.e. \emph{torsion près}} \quad [\text{c'est toujours injectif}] \\ &H^{1}(\underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X}) \simeq \pi_{1}(\underline{\mathrm{Alb}}_{X})(-1) \xleftarrow[\ \sim\ ]{(t)} H^{2n-1}(X)(n-1) && \text{toujours} \end{align*}\] au-dessus du premier but \(\pi_1^\ell(X)^{\mathrm{ab}}(\ell)\), un ajout rattaché par une accolade : « \((t)\ H^{2n-1}(X)(n)\) », qui paraît remplacer un symbole raturé après \((\ell)\). Les points d'exclamation ou d'interrogation qui closent les deux crochets « injectif » sont surchargés ; devant « toujours », à la dernière ligne, un mot raturé et illisible ([…]).

Si on repère les VA par les \(H^{1}\), \[ \left\{ \begin{array}{lll} \underline{\mathrm{Alb}}_{X} & \text{correspond :} & H^{1}(X) \\ \underline{\mathrm{Pic}}_{X} & \text{------------} & H^{2n-1}(X)(n-1) \end{array} \right. \]

75commence ici une nouvelle suite, numérotée par lui « I » (cerclé), avec des alinéas aux numéros cerclés, rendus ici (1), (2), (3) : une axiomatique de la catégorie des variétés abéliennes et de leurs cycles.

I. (1) \(\mathcal{VA}\) catégorie (additive) définie […] à isog. près […] sur un corps alg. clos \(k\). \[ \mathcal{VA}^{\circ} \xrightarrow{\ *\ } \mathcal{VA} \qquad A \rightsquigarrow A^{*} \] foncteur « dualité » […] \[ \mathcal{VA}^{\circ} \xrightarrow{\ C^{*}\ } \begin{pmatrix} \text{Anneaux gradués comm.,} \\ \text{à degrés} \geqslant 0, \\ C^{0} \simeq \mathbb{Z} \end{pmatrix} \qquad A \rightsquigarrow C^{*} \quad \text{cycles mod équiv. alg.} \] Fonction dimension, additive, invariante par dualité.

(2) \(C^{n}(A) \xrightarrow{\ \deg\ } \mathbb{Z}\) isom. can., mais pas fonctoriel (fonct. pour isom.) ; \(C^{0}(A) \xleftarrow{\ \sim\ } \mathbb{Z}\) isom. fonctoriel. l'étiquette de la première flèche est surchargée ; on lit au-dessous une sorte de \(\int_x\) ou « deg ».

Loi covariante pour les cycles, formule de projection (contenant la formule de transposition).

On peut en tirer formellement la loi de Pythagore pour les cycles …

(3) Application fondamentale

\begin{tikzcd}
  C^{1}(A) \arrow[rr] \arrow[dr, dashed] & & \mathrm{Hom}(A, A^{*})^{\mathrm{alt}} \\
  & C^{1}(A \times A) \arrow[ur, dashed] &
\end{tikzcd}

\[ C^{1}(A \times B) \longrightarrow \mathrm{Hom}(A, B^{*}) \] (isom. \(C^{1}(A \times B)/C^{1}(A) \times C^{1}(B) \simeq \mathrm{Hom}(A, B^{*})\)) on a un choix

N.B. On pourrait définir axiomatiquement \(A^{*}\) par cette formule les deux flèches obliques du diagramme sont en pointillé sur la page ; le \(C^1(A \times A)\) surcharge une première lettre. Le N.B. est encadré dans le coin inférieur gauche.

77la page reprend la numérotation de la page 75 : un nouvel alinéa (1), cerclé (réalisation \(\ell\)-adique), un second groupe marqué en marge d'un signe illisible, puis un alinéa 2, non cerclé.

(1) \[ \mathcal{VA} \xrightarrow{\ T_{\mathbb{Q}_{\ell}}\ } \mathrm{Mod}(\mathbb{Q}_{\ell}) \qquad A \rightsquigarrow T_{\ell}(A) \otimes_{\mathbb{Z}_{\ell}} \mathbb{Q}_{\ell} \] \[ \mathcal{VA}^{\circ} \xrightarrow{\ H^{1}\ } \mathrm{Mod}(\mathbb{Q}_{\ell}) \qquad A \rightsquigarrow H^{1}(A, \mathbb{Q}_{\ell}) = \mathrm{Hom}_{\mathbb{Q}_{\ell}}(T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A), \mathbb{Q}_{\ell}) \] foncteurs fidèles, additifs. un astérisque, en exposant de la première source \(\mathcal{VA}\), paraît effacé ; l'indice de \(T\) au-dessus de la première flèche surcharge un premier indice raturé ; de même sous le \(\mathrm{Hom}\) de la seconde ligne, où un indice \(\mathbb{Z}_\ell\) semble remplacé par \(\mathbb{Q}_\ell\). \[ H^{*}(A) = {\textstyle\bigwedge^{*}} H^{1}(A) \]

\begin{tikzcd}[column sep=huge]
  \mathcal{VA}^{\circ} \arrow[r, "*"] \arrow[d, "(H^{1})^{\circ}"'] & \mathcal{VA} \arrow[d, "H^{1}"] \\
  \mathrm{Mod}\,\mathbb{Q}_{\ell}^{\circ} \arrow[r, "{\mathrm{Hom}(\cdot,\, \mathbb{Q}_{\ell}(-1))}"'] & \mathrm{Mod}\,\mathbb{Q}_{\ell}
\end{tikzcd}

\(A \rightsquigarrow A^{*}\) (équivalences) ; commutatif à isom. près.

\(Z^{i}(A)\) […] \[ \mathcal{VA} \xrightarrow{\ \mathcal{C}^{*}\ } (\mathrm{Ab}) \qquad A \rightsquigarrow \mathcal{C}^{*}(A) \quad \text{anneau de Chow (des cycles mod \emph{équiv. alg})} \] \[ \mathcal{C}^{i} \longrightarrow H^{2i} \otimes \mathbb{Q}_{\ell}(i) = {\textstyle\bigwedge^{2i}} H^{1} \otimes \mathbb{Q}_{\ell}(i) \qquad \mathcal{C}^{i}(A) \xrightarrow{\ \gamma_{A}^{2i}\ } H^{2i}(A, \mathbb{Q}_{\ell})(i) \] compatible avec structure d'anneau. le \(\mathcal{C}\) ronde de \(\mathcal{C}^*\) et de \(\mathcal{C}^i\) surcharge chaque fois une première lettre (\(Z\) ?).

2 \[ \begin{array}{rcl} H^{2n}(A) \simeq {\textstyle\bigwedge^{2n}} H^{1}(A) & \xrightarrow[\ \sim\ ]{\eta_{A}} & \mathbb{Q}_{\ell}(-n) \\[2pt] H^{2n}(A^{*}) \simeq {\textstyle\bigwedge^{2n}} H^{1}(A^{*}) & \xrightarrow[\ \sim\ ]{\eta_{A^{*}}} & \mathbb{Q}_{\ell}(-n) \\[2pt] \wr & & \wr\ \text{(can.)} \\ \mathbb{Q}_{\ell}(2n) & & \mathbb{Q}_{\ell}(-2n) \end{array} \] isom canoniques id ? vérifier s'il n'y a pas un signe ! sous la seconde ligne, deux isomorphismes verticaux mènent l'un à « \(\mathbb{Q}_\ell(2n)\) » (lecture incertaine, surchargée), l'autre, marqué « can. » dans un cercle, à \(\mathbb{Q}_\ell(-2n)\) ; des croix au-dessus de \(H^1(A^*)\) et du second \(\mathbb{Q}_\ell(-n)\) semblent renvoyer l'un à l'autre. « id » est suivi d'un signe en équerre.

79la page 78, entre 77 et 79, est une page dactylographiée étrangère à ces notes ; l'alinéa 3) ci-dessous suit les alinéas (1) et 2 de la page 77.

3) Soit \(u : A' \to A\) un isogénie homom., avec \(\dim A = \dim A' = n\), alors \[ \begin{array}{ccc} u^{2n} : H^{2n}(A) & \longrightarrow & H^{2n}(A') \\ \wr & & \wr \\ \mathbb{Q}_{\ell}(-n) & & \mathbb{Q}_{\ell}(-n) \end{array} \] est donné par la multiplication par \(\deg u = d\) (nul ssi \(u(A') \neq A\), i.e. \(u\) n'est pas une isogénie). En d'autres termes, définissant […] \[ u_{*} : H^{*}(A) \longrightarrow H^{*}(A') \] par transposition (attention, il y a que \(A\) et \(A'\) sont de même dim) on trouve \[ u_{*}(1_{A}) = d \cdot 1_{A'} \] Supposons que les degrés dim \(n\), \(n'\) de \(A\), \(A'\) soient quelconques, on définit par transposition \[ H^{i}(A) \longrightarrow H^{i+2(n'-n)}(A')(n'-n) \] et on […] qui se déduit directement de la connaissance de \[ u^{1} : H^{1}(A') \longrightarrow H^{1}(A) \qquad (\text{d'où } u^{*} : H^{*}(A') \to H^{*}(A) \text{ par } {\textstyle\bigwedge^{*}}) \] et des isom. \(\eta_{A}\) et \(\eta_{A'}\), par transposition. Notons que

80[…] \[ u_{*}(1_{A}) \in H^{2(n'-n)}(A')(n'-n) \] est la classe du cycle image \(u(A) \in \mathcal{C}^{n'-n}(A')\) (de façon générale, \(u_{*}\) compatible avec les images directes sur les cycles …), donc est nulle si \(u(A)\) est de dim \(< n\), et si \(u(A)\) est de dim \(n\), et si \(B\) désigne la VA […] image (au sens faisceautique) et \(d\) le degré de projection \(A \to B\), alors \(u_{*}(1_{A})\) est égal à : \(d \cdot \gamma^{2(n'-n)}_{A'}(B)\) (classe de cycle associée). « classe de cycle associée » est écrit sous \(\gamma^{2(n'-n)}_{A'}(B)\) et rattaché par une flèche. Le texte porte \(u(A) \in \mathcal{C}^{n'-n}(A)\) ; la cohérence demande \((A')\).

En termes de \(H^{1}(A'^{*}) \to H^{1}(A)\) : on regarde la transposée […] des \(\mathbb{Q}_{\ell}\) […], \[ u_{1} : T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A) \longrightarrow T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A'), \] on prend s'il n'est pas injectif on trouve \(0\) ; s'il est injectif on trouve un multivecteur total de degré \(2(n'-n) = \dim \operatorname{Coker} u_{1}\), qui définit une forme \(2(n'-n)\)-fois linéaire alternée sur \(T_{\mathbb{Q}_{\ell}}(A')\) la phrase se poursuit sur la page suivante (lot suivant).