Cote n° 14 · pages 1–131 · Lecture modernisée · Théorie des cycles algébriques : conjectures de Hodge, Tate, Lefschetz, Weil : notes manuscrites (s.d.), lettre (1965) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1971]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–131

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier ne construit pas un objet unique. Il tisse, autour d'une seule question — les cycles obéissent-ils aux lois que les théorèmes de Lefschetz donnent à la topologie ? —, un réseau de conjectures, et il traite à fond le seul degré où la réponse est un théorème : le degré 1, celui des variétés abéliennes.

1. Pages 1 à 14, « Structure d'effectivité » : comment le groupe de Galois motivique pourrait décrire la sous-catégorie des motifs effectifs, par des cocaractères et des cônes ; le cas d'un tore.
2. Pages 16 à 20, « Équivalence d'Albanese et de Picard des cycles algébriques » : un seul calcul, dont le signe dépend d'un choix.
3. Pages 23 à 38, « Théorie de l'équivalence d'Albanese des cycles », ses paragraphes 1 à 3 : l'anneau des classes à équivalence d'Albanese, les familles paramétrées par des variétés abéliennes, les homomorphismes \(\ell\)-adiques qu'elles induisent.
4. Pages 39 à 41, « Astuce de Tate sur les cycles décomposables ».
5. Pages 43 à 46, la lettre à Serre du 27 août 1965 : conjectures A, A', A'' et B.
6. Pages 47 à 70, « Sorites sur VA, Picard, Albanese » : un résumé, puis ses paragraphes 1 et 2 — les correspondances agissent sur les variétés d'Albanese et de Picard, le théorème de Lefschetz pour \(H^{1}\) avec un inverse algébrique, sa réciproque —, et deux questions.
7. Pages 72 et 73, deux feuillets sur Picard, Albanese et la cohomologie entière.
8. Pages 75 à 88, une suite qu'il numérote « I » : une axiomatique des variétés abéliennes à isogénie près et de leurs cycles.
9. Pages 90 et 91, le tableau des anneaux de classes de cycles.
10. Pages 92 à 99, « Mumford–Nakai / Cycles algébriques amples » : le critère numérique d'amplitude, les cônes d'une surface, puis la dimension supérieure.
11. Pages 101 à 122, « Conjectures de Lefschetz pour cycles algébriques » : les surfaces, les conjectures locales, les conjectures globales pour les groupes de Chow, vérifiées en dimension 2, 3 et 4, puis les familles limitées de cycles.
12. Pages 125 à 127, une chaîne d'énoncés équivalents sur les cycles algébriquement équivalents à zéro.
13. Pages 130 et 131, les groupes de Chow du membre générique d'un système linéaire, et quelques notes au crayon.

Les moutures, gardées distinctes

Deux suites numérotées, celle des pages 23 à 38 et celle des pages 47 à 69, emploient les mêmes numéros pour des énoncés différents : il y a un Théorème 1.6 à la page 29 et un autre à la page 55, un Corollaire 2.2 à la page 33 et un autre à la page 61, une Proposition 2.7 à la page 34 et une autre à la page 67 — sans compter le Corollaire 2.2 barré de la page 60. Toute citation porte donc ici sa page.

Les conjectures de type Lefschetz viennent trois fois, et la différence est du contenu : dans la lettre (pages 43 à 46), pour les cycles à équivalence algébrique près tensorisés par \(\mathbb{Q}\) ; sur un anneau local (pages 105 à 108) ; et pour les groupes de Chow, à équivalence rationnelle, algébrique et \(\tau\) près (pages 110 à 115). La lettre énonce des conjectures ; les pages 105 à 115 en dressent des tableaux et les essaient.

Ce que seule une lecture d'ensemble peut dire

Cinq liens, qu'aucun feuillet n'énonce, et qui sont de nous.

La référence que le Théorème 1.4 de la page 28 laisse en blanc — « résulte de [ , 1.2.] » — est comblée par le Corollaire 1.2 de la page 51 : une correspondance envoie un \(0\)-cycle de somme d'Albanese nulle sur un \(0\)-cycle de somme d'Albanese nulle.

La Remarque 1.5 de la page 28 (« on ignore, déjà pour les \(0\)-cycles, si l'équivalence d'Albanese est identique à l'équivalence linéaire »), la note de la page 29, l'hypothèse 2) de la page 117, la chaîne de la page 125 et les réserves « si équiv. … \(=\) équiv. d'Albanese » des pages 114 et 115 sont une seule question. Mumford y a répondu en 1969, par la négative sur \(\mathbb{C}\) dès que la surface porte une 2-forme holomorphe. Les « ok » de la page 114 pour les \(0\)-cycles ne valent que sous l'hypothèse qu'il a réfutée.

Le cycle \(U\) dont la page 31 dit qu'« a priori on ne sait pas si on peut le trouver » est la Question 1) de la page 70.

Le Théorème 3.1 de la page 37 est exactement ce dont aurait besoin la vérification laissée ouverte à la page 36 — que la dualité entre familles de cycles ne dépende que de l'application et non du cycle qui la définit.

Enfin, les « ? » que les pages 114 et 115 marquent « question numérique » sont exactement les cas où les exemples de Griffiths (1969) et de Clemens (1983) mettent les énoncés en défaut ; ce sont les mêmes exemples qui réfutent les conjectures A et A' de la lettre sous leur forme de 1965.

Les conventions, valables pour tout le dossier

• \(k\) est un corps algébriquement clos, \(\ell\) un nombre premier distinct de sa caractéristique \(p\) ; \(H^{i}(X)\) est la cohomologie étale \(\ell\)-adique, à coefficients \(\mathbb{Q}_{\ell}\) sauf mention de \(\mathbb{Z}_{\ell}\), et \((r)\) la torsion à la Tate. Sauf mention contraire, \(X\) et \(Y\) sont projectives, lisses et connexes, de dimensions \(n\) et \(m\) ; aux pages 102 à 122, \(Y\) est une section hyperplane lisse de \(X\).
• \(Z^{i}(X)\) est le groupe des cycles de codimension \(i\) et \(\mathrm{CH}^{i}(X)\) le groupe de Chow, à équivalence rationnelle près — ce qu'il appelle, selon l'usage de 1965, « équivalence linéaire », et qu'il note \(A^{*}(X)\) puis \(\mathcal{A}^{*}_{r}(X)\). Pour les autres équivalences, \(A^{i}_{\sim}(X) = Z^{i}(X)/\!\sim\) avec \(\sim\) égal à \(\mathrm{alb}\), \(\mathrm{alg}\), \(\tau\), \(\mathrm{hom}\) (équivalence homologique \(\ell\)-adique) ou \(\mathrm{num}\). Un indice inférieur est une dimension : \(\mathrm{CH}_{i}\), \(A_{i,\mathrm{alg}}\). Le sous-groupe des classes équivalentes à zéro pour une équivalence plus grossière s'écrit en indice après la parenthèse : \(\mathrm{CH}^{i}(X)_{\mathrm{alg}}\) (ses \(J^{i}\), \(\mathcal{A}^{i}_{r}(X)^{a}\)), \(\mathrm{CH}^{i}(X)_{\tau}\) (ses \(\mathcal{A}^{i}_{r}(X)^{\tau}\)), \(A^{i}_{\mathrm{alb}}(X)_{\mathrm{alg}}\) (ses \(P^{i}(X)\) des pages 33 à 36). Un cycle est \(\tau\)-équivalent à zéro si l'un de ses multiples non nuls est algébriquement équivalent à zéro.
• \(\mathrm{Alb}_{X}\) est la variété d'Albanese (son \(A_{X}\)), \(\mathrm{alb}_{X}\) la somme d'Albanese des \(0\)-cycles de degré \(0\) (son \(S_{X}\)) ; \(\mathrm{Pic}^{0}_{X}\) est la variété de Picard, c'est-à-dire la composante neutre réduite du schéma de Picard (son \(B_{X}\), qu'il note \(\underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X/k}\)). \(\mathrm{Alb}_{X}\) est la duale de \(\mathrm{Pic}^{0}_{X}\), et l'on note \(\hat{A}\) la variété duale de \(A\) (son \(A^{*}\)), comme au dossier 12.
• \(\varphi_{X} = \mathrm{alb}_{X}^{*} \colon H^{1}(\mathrm{Alb}_{X}) \to H^{1}(X)\), et \(\psi_{X} \colon H^{2n-1}(X)(n-1) \to H^{1}(\mathrm{Pic}^{0}_{X})\) l'homomorphisme défini par la classe de Poincaré ; ce sont des isomorphismes (pages 72 et 73).
• Pour un cycle \(Z\) sur \(X \times Y\), on note \(Z_{*}\) son action de \(Y\) vers \(X\), \(Z_{*}(t) = \mathrm{pr}_{X*}(Z \cdot \mathrm{pr}_{Y}^{*} t)\), sur les groupes de Chow comme en cohomologie, et \({}^{t}Z_{*}\) l'action de \(X\) vers \(Y\). La page écrit \(Z(t)\) et \({}^{t}Z(D)\) sur les cycles, mais \(a(\gamma(Z))\) en cohomologie dans les deux sens (de \(X\) vers \(Y\) à la page 55, de \(Y\) vers \(X\) à la page 58) ; on normalise.
• Aux pages 1 à 14 : le motif de Tate \(\mathbb{Q}(-1)\) est effectif et de poids \(2\) (la page écrit \(\Lambda(-1)\)), \(\varepsilon \colon G \to \mathbb{G}_{m}\) est son caractère, \(y\) le cocaractère des poids et \(i_{1}\) le cocaractère de Hodge, avec \(\langle y, \varepsilon\rangle = 2\) et \(\langle i_{1}, \varepsilon\rangle = 1\) — les conventions du dossier 12.
• Aux pages 95 à 99, les cônes portent leurs noms d'aujourd'hui : \(\mathrm{Eff}\) (effectif), \(\mathrm{Pos}\) (positif), \(\mathrm{Amp}\) (ample), \(\mathrm{Nef}^{i} = \mathrm{Eff}_{i}^{\vee}\) ; il écrit \(P^{+}\), \(Q^{+}\), \(R\) et \(P_{i}^{+\circ}\).

Ce que le dossier suppose sans l'établir, et ce qu'il annonce sans le faire

Les pages 1 à 14 supposent une catégorie de motifs tannakienne et semi-simple, ce que les conjectures standard donneraient. Les conjectures des pages 43 à 46 et 101 à 117 sont des conjectures, et le dossier le dit ; les résultats démontrés (pages 23 à 36, 47 à 69, 72 et 73, 93 à 95) ne dépendent d'aucune d'elles.

Il annonce et ne fait pas : les items 1° à 3° de la page 2, qui ne sont pas dans le dossier ; la « condition de saturation » de la page 8 ; une définition de l'équivalence de Picard, nommée aux pages 16 et 91 ; la vérification du déplacement des cycles de la Proposition 1.2 (iii) (« à vérifier », page 27) ; l'indépendance vis-à-vis du cycle, dans la dualité de la page 36 ; le Théorème 3.1 de la page 37 (« dém. pas faite ») et sa réciproque, et la démonstration du paragraphe 3, qui s'arrête page 38 ; le Lemme 1.5 de la page 54 (« nous nous dispensons ici d'expliciter ») et la vérification de la Proposition 2.3 de la page 61 ; les dénominateurs de la Proposition 2.4 ; les questions de signe des pages 61 et 77 ; les deux questions de la page 70 ; le problème (4) et les « Pb » des pages 106 à 108 ; la démonstration du Théorème 4 de la page 113 ; une « partie primitive » de \(\mathrm{CH}^{*}(X)\) (page 116) ; l'implication (ii) \(\Rightarrow\) (iii) de la page 119, interrompue.

1–14

I. Structures d'effectivité (pages 1 à 14)

Le feuillet de couverture porte, de sa main et souligné, « Structure d'effectivité » ; au-dessus, dans un cadre barré de diagonales, un premier titre : « Les éléments de structure motiviques et leur interprétation en termes de groupes algébriques sur \(\mathbb{Q}\) ». La suite s'ouvre à l'item 4° : les items 1° à 3° ne sont pas dans le dossier. Les renvois de la page 10 (« tenant compte de 3° », les polarisations modulo \(G(\mathbb{R})\)) montrent que 3° traitait de la structure de Hodge et de la polarisation, décrites par un cocaractère — l'objet des pages 3 à 11 du dossier 13 ; rien ne permet de dire si les items manquants sont ces pages-là.

On se place dans le cadre que ces pages supposent sans le dire : une catégorie \(\mathcal{M}\) de motifs sur \(\mathbb{Q}\), tannakienne et semi-simple, munie d'un foncteur fibre ; pour une sous-catégorie tensorielle de type fini, son groupe de Galois motivique \(G\), groupe algébrique réductif sur \(\mathbb{Q}\), de sorte que \(\mathcal{M} \simeq \operatorname{Rep}_{\mathbb{Q}}(G)\) ; le motif de Tate \(\mathbb{Q}(-1)\) et son caractère \(\varepsilon \colon G \to \mathbb{G}_{m}\).¹

2–4

L'axiome 4°, et les cocaractères effectifs (pages 2 à 4)

Une structure d'effectivité sur \(\mathcal{M}\) est la donnée d'une sous-catégorie strictement pleine \(\mathcal{M}^{+}\), les « motifs effectifs », stable par produit tensoriel, par sommes directes et par sous-objets, qui contient \(\mathbb{Q}(-1)\) et telle que, pour tout motif \(E\), il existe un entier \(n\) avec \(E(-n) = E \otimes \mathbb{Q}(-1)^{\otimes n}\) effectif.²

Comme \(\mathcal{M}\) est semi-simple, \(\mathcal{M}^{+}\) est déterminée par l'ensemble des classes d'objets simples qu'elle contient. La donnée équivaut donc à celle d'un cône \(K^{+}\) dans l'anneau \(K(G)\) des caractères virtuels de \(G\) sur \(\mathbb{Q}\) : un sous-monoïde contenant \(0\), stable par multiplication, et engendré par les éléments de la base canonique — les classes des représentations irréductibles — qu'il contient ; la stabilité par produit dit que les constituants d'un produit de deux objets effectifs simples sont effectifs. Une telle structure sur \(G\) en définit une sur \(G_{\mathbb{C}}\), en prenant pour objets effectifs les constituants des complexifiés des objets effectifs ; et une structure sur \(G_{\mathbb{C}}\) redescend, pourvu qu'elle soit stable par les conjugaisons de \(\operatorname{Aut}(\mathbb{C})\).³

Il prévoit d'autres axiomes : les motifs effectifs doivent être à poids positifs ; la structure doit provenir d'une structure du même type sur la composante neutre \(G^{\circ}\) ; et, avec un « (?!) », il ne doit y avoir, pour chaque entier \(i\), qu'un nombre fini de types de motifs effectifs de poids \(i\).⁴

Un cocaractère \(i \colon \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}} \to G_{\mathbb{C}}\) est effectif si, pour tout motif effectif \(E\), la graduation de \(E_{\mathbb{C}}\) qu'il définit est à degrés positifs. Ses conjugués par \(G(\mathbb{C})\) le sont alors aussi, et son conjugué complexe \(\bar{\imath}\). Réciproquement, un cocaractère \(i\) étant donné, soit \(\mathrm{Pl}(i)\) la sous-catégorie pleine des \(E\) tels que la \(i\)-graduation de \(E_{\mathbb{C}}\) soit à degrés positifs. Notons \(\langle i, \varepsilon\rangle\) l'entier \(\nu\) tel que \(\varepsilon(i(\lambda)) = \lambda^{\nu}\). Alors \(\mathrm{Pl}(i)\) est strictement pleine, stable par produit tensoriel, sommes et sous-objets ; elle contient \(\mathbb{Q}(-1)\) si \(\langle i, \varepsilon\rangle \geqslant 0\) ; et elle satisfait la dernière condition de 4° si \[ \langle i, \varepsilon\rangle > 0 , \] car les degrés de \(E(-n)\) sont ceux de \(E\) augmentés de \(n\langle i, \varepsilon\rangle\).⁵ Comme les objets de \(\mathcal{M}\) sont définis sur \(\mathbb{Q}\), la sous-catégorie \(\mathrm{Pl}(i)\) ne change pas quand on remplace \(i\) par un conjugué sous \(G(\mathbb{C})\) ou sous \(\operatorname{Aut}(\mathbb{C})\) : un automorphisme \(\sigma\) de \(\mathbb{C}\) envoie la partie de degré \(d\) pour \(i\) sur la partie de degré \(d\) pour \(\sigma(i)\).⁶

Une intersection d'un nombre fini de catégories \(\mathrm{Pl}(i)\), avec des \(i\) tels que \(\langle i, \varepsilon\rangle > 0\), satisfait donc les axiomes de 4°.⁷

6–10

Les cônes de cocaractères, et deux questions (pages 6 à 10)

Supposons \(G\) connexe.⁸ Soit \(T\) un tore maximal de \(G_{\mathbb{C}}\), \(\Gamma = \operatorname{Hom}(\mathbb{G}_{m,\mathbb{C}}, T)\) son groupe de cocaractères, \(W = N(T)/T\) le groupe de Weyl et \(W' = \operatorname{Aut}(G, T)/T\) ; alors \(W \subset W'\) et \(W'/W = \operatorname{Out}(G)(\mathbb{C})\), et \(W'\) opère sur \(\Gamma\). Les cocaractères effectifs contenus dans \(T\) forment un cône convexe \(\Gamma^{+}\) : c'est le cône dual de l'ensemble des poids de \(T\) dans les motifs effectifs. Il contient \(0\), il est invariant par \(W\) — mais peut-être pas par \(W'\) — et contenu dans le demi-espace \(\langle \cdot, \varepsilon\rangle \geqslant 0\). Il définit un « cône » dans \[ \Gamma' = \Gamma/W = \bigl[\operatorname{Hom}(\mathbb{G}_{m}, T)/(N(T)/T)\bigr](\mathbb{C}) = \bigl[\operatorname{Hom}(\mathbb{G}_{m}, G)/G\bigr](\mathbb{C}) , \] l'ensemble des classes de conjugaison de cocaractères. C'est l'ensemble des points complexes d'un schéma \(S\) sur \(\mathbb{Q}\), somme de spectres de corps de nombres, de sorte que \(\pi_{1} = \operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/ \mathbb{Q})\) opère sur \(\Gamma' = S(\mathbb{C}) = S(\bar{\mathbb{Q}})\), à travers un quotient fini ; et le cône de \(\Gamma'\) défini par \(\mathcal{M}^{+}\) est stable par \(\pi_{1}\).⁹

Si l'on se borne aux structures d'effectivité qui sont des intersections de catégories \(\mathrm{Pl}(i)\), la donnée d'une telle structure équivaut à celle d'un cône de \(\Gamma'\) stable par \(\pi_{1}\), contenu « strictement » dans le demi-espace défini par \(\varepsilon\) — en marge : « i.e. \(\varepsilon\) est intérieur au cône polaire » —, et satisfaisant une condition de saturation qu'il ne précise pas (« condition automatiquement satisfaite ? »). La marge dit bien ce que « strictement » doit vouloir dire : tout cocaractère non nul du cône a \(\langle i, \varepsilon\rangle > 0\), ce qui, pour un cône polyédral fermé, revient à ce que \(\varepsilon\) soit intérieur au cône dual. Quant à la saturation, elle est automatique pour les cônes polyédraux rationnels fermés invariants par \(W\).¹⁰

Le cas le plus intéressant est celui où \(\mathcal{M}^{+} = \mathrm{Pl}(i_{1})\), avec \(i_{1}\) le cocaractère de Hodge de 3° : le cône invariant engendré par \(i_{1}\) est contenu dans le demi-espace de \(\varepsilon\), puisque \(\varepsilon \circ i_{1} = \mathrm{id}\), c'est-à-dire \(\langle i_{1}, \varepsilon\rangle = 1\).¹¹ On obtient ainsi une application \[ I(G) \longrightarrow \mathrm{Eff}(G) \] de l'ensemble des cocaractères du type de 3° vers l'ensemble des structures d'effectivité, et, en tenant compte de la polarisation, \[ I^{*}(G) \longrightarrow \mathrm{Pol}(G) \times \mathrm{Eff}(G) , \] où \(I^{*}(G)\) est l'ensemble des cocaractères qui définissent une polarisation, modulo l'action de \(G(\mathbb{R})\).

Deux questions. Ces applications sont-elles injectives ? Les structures d'effectivité qui proviennent de la théorie des motifs sont-elles toujours décrites par un cocaractère, c'est-à-dire dans l'image de \(I(G)\) ? En marge : cette propriété est intrinsèque à la catégorie \(\mathcal{M}\), indépendante des foncteurs fibres. Il propose de regarder \(G\) commutatif, et \(G = \operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\) — les motifs d'Artin, où tous les cocaractères sont triviaux et tous les motifs effectifs —, de tordre par un torseur, et d'examiner le cas d'un motif attaché à un point de \(S(\mathbb{Q})\) au moyen du foncteur de De Rham. Des propriétés arithmétiques plus profondes, conclut-il, viendraient de l'introduction de filtrations dans l'interprétation des structures 3° et 4°.¹²

12–14

Le cas d'un tore (pages 12 à 14)

Soit \(T\) un tore sur \(\mathbb{Q}\), décrit par son groupe de caractères \(M\), réseau muni d'une action continue de \(\pi_{1}\), qui se fait à travers un quotient fini \(\pi\). On a \(\varepsilon \in M^{\pi}\), le cocaractère des poids \(y \in \check{M}^{\pi}\) et \(\langle y, \varepsilon\rangle = 2\).¹³ Les représentations de \(T\) correspondent aux éléments invariants par \(\pi\) de \(\mathbb{Z}[M]^{+}\), les combinaisons à coefficients positifs de caractères.

La structure de polarisation ne dépend que du tore réel \(T_{\mathbb{R}}\). Il est extension d'un tore déployé \(S\) par un tore compact \(U\), c'est-à-dire tel que \(U(\mathbb{R})\) soit compact, et \(\varepsilon\) est trivial sur \(U\), qui n'a pas de caractère réel non trivial ; on est ramené à \(S\). Grothendieck affirme qu'on doit avoir \(\dim S = 1\), autrement dit que \(\operatorname{Ker} \varepsilon\) est compact. C'est vrai dès que la structure est polarisée, et la démonstration tient en une ligne.¹⁴

Page 14, il détermine l'anneau des caractères. Sur \(\mathbb{C}\), \(T_{\mathbb{C}} = D_{\mathbb{C}}(M)\) ; l'anneau \(\mathbb{Z}[M]\) des caractères virtuels de \(T_{\mathbb{C}}\) porte l'action de \(\pi\), et \(K(T) = \mathbb{Z}[M]^{\pi}\) est une \(\mathbb{Z}\)-algèbre de type fini. Mieux : \(\mathbb{Z}[M]\) est l'anneau affine du tore déployé \(\mathbf{D} = D_{\mathbb{Z}}(M)\), sur lequel \(\pi\) agit par automorphismes de groupe, et \(K(T)\) celui du quotient \(\mathbf{D}/\pi\). Les caractères effectifs seraient-ils ceux qui prennent des valeurs positives sur la composante neutre de \(\mathbf{D}(\mathbb{R})\) ? Il le demande (« ?? ») et demande comment définir une structure d'effectivité intrinsèque.¹⁵

Le procédé standard est de se fixer un cocaractère \(i_{1} \colon \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}} \to T_{\mathbb{C}}\), c'est-à-dire \(i_{1}^{*} \colon M \to \mathbb{Z}\), d'où \(\mathbb{Z}[M] \to \mathbb{Z}[t, t^{-1}]\) et un morphisme \(\alpha \colon \mathbb{G}_{m,\mathbb{Z}} \to \mathbf{D}\), non compatible à \(\pi\). Un caractère \(\chi \in K(T)\) est effectif si \(\chi \circ \alpha\) est un polynôme en \(t\), c'est-à-dire reste fini sur \(\mathbb{R}^{*}\) quand \(t \to 0\). Il en tire, dans un dernier paragraphe très serré, que si \(\dim T \geqslant 3\) la finitude des caractères effectifs de poids donné est fausse.¹⁶

16–20

II. Équivalence d'Albanese et de Picard : un exemple (pages 16 à 20)

Le feuillet 16 porte le titre « Équivalence d'Albanese et de Picard des cycles algébriques ». L'équivalence d'Albanese sera définie aux pages 23 et suivantes ; l'équivalence de Picard n'est définie nulle part dans le dossier. Les pages 18 et 20, sous une grande lettre « E », font un seul calcul.

Soit \(A\) une courbe elliptique, \(P\) une courbe lisse, complète et connexe, et \(Y = A \times P\). Sur \(A \times A\), le diviseur \(\Theta_{0} = \Delta - A \times \{0\} - \{0\} \times A\) définit l'autodualité de \(A\) ; sur \(A \times Y = A \times A \times P\), on pose \(\Theta = \Theta_{0} \times P\). Soit \(L\) un faisceau inversible sur \(Y\), de classe \(c\), et \(X\) la complétion projective du fibré en droites le long de la section nulle duquel le fibré normal est \(L\) : une variété de dimension \(3\), avec sa section nulle \(i \colon Y \to X\). Le cycle \[ z = (\mathrm{id}_{A} \times i)_{*}(\Theta) \] est de codimension \(2\) sur \(A \times X\) : c'est une famille, paramétrée par \(A\), de courbes \(z_{a} = i_{*}\bigl((\{a\} - \{0\}) \times P\bigr)\) sur \(X\), algébriquement équivalentes à zéro. Soit \(s \colon A \times X \to A\) la projection ; on calcule le degré du \(0\)-cycle \(s_{*}(z^{2})\).

Posons \(i' = \mathrm{id}_{A} \times i\). La formule d'auto-intersection donne \(z^{2} = i'_{*}(\Theta^{2} \cdot c')\), où \(c' = i'^{*}i'_{*}(1) = 1_{A} \times c\) est la classe du fibré normal. D'où \(s_{*}(z^{2}) = t_{*}(\Theta^{2}\cdot c')\), avec \(t \colon A \times Y \to A\) la projection, et, par la formule de projection pour \(p \colon A \times Y \to Y\), \[ \deg s_{*}(z^{2}) = \deg\bigl(p_{*}(\Theta^{2}) \cdot c\bigr) . \] Comme \(p = p' \times \mathrm{id}_{P}\), avec \(p' \colon A \times A \to A\) la seconde projection, \(p_{*}(\Theta^{2}) = p'_{*}(\Theta_{0}^{2}) \times P\). Or \[ \Theta_{0}^{2} = \Delta^{2} - 2(0,0) - 2(0,0) + 2(0,0) = -2\,(0,0) , \] car \(\Delta^{2} = 0\) : le fibré tangent de \(A\) est trivial. Donc \(p_{*}(\Theta^{2}) = -2\,[\{0\} \times P]\) et \[ \deg s_{*}(z^{2}) = -2\,\deg\bigl(c \cdot [\{0\} \times P]\bigr) . \] Pour \(c\) la classe de \(A \times \{a\}\), \(a \in P(k)\), on trouve \(-2\) ; remplaçant \(c\) par \(-c\), on trouve \(+2\) : « des signes différents !! ».¹⁷

Ce que le calcul met en évidence est, nous semble-t-il, ceci. Le fibré projectif \(\mathbb{P}(\mathcal{O}_{Y} \oplus L)\) est isomorphe à \(\mathbb{P}(\mathcal{O}_{Y} \oplus L^{-1})\) ; il a deux sections, de fibrés normaux \(L\) et \(L^{-1}\). Les deux signes sont donc obtenus sur une même variété de dimension \(3\), par deux familles de courbes algébriquement équivalentes à zéro. La quantité \(z \mapsto \deg s_{*}(z^{2})\) n'a pas de signe fixe : aucune classe ample n'intervient, et, sur le \(H^{3}\) d'une variété de dimension \(3\), la forme d'intersection n'est définie qu'en restriction à la partie primitive relativement à une classe ample. C'est ce que la conjecture B de la lettre des pages 43 à 46 incorporera.¹⁸

23–38

III. Théorie de l'équivalence d'Albanese (pages 23 à 38)

Une rédaction au propre, sous le titre souligné « Théorie de l'équivalence d'Albanese des cycles », en paragraphes numérotés 1 à 3, non paginée ; en marge de la première page : « Consulter Weil, Critères d'équivalence ».¹⁹ Elle s'arrête aux deux tiers de la page 38, au milieu d'une démonstration.

23–29

1. L'anneau des classes à équivalence d'Albanese (pages 23 à 29)

Définition 1.1. Soit \(X\) un schéma lisse sur \(k\) et \(\mathfrak{z}\) un cycle sur \(X\). On dit que \(\mathfrak{z}\) est équivalent à zéro au sens d'Albanese s'il existe un schéma projectif, lisse et connexe \(T\), un \(0\)-cycle \(\mathfrak{t}\) sur \(T\) de degré \(0\) et de somme d'Albanese \(\mathrm{alb}_{T}(\mathfrak{t}) = 0\), et un cycle \(Z\) sur \(X \times T\) tel que \(Z_{*}(\mathfrak{t})\) soit défini et égal à \(\mathfrak{z}\).²⁰

Proposition 1.2. (i) Les cycles équivalents à zéro au sens d'Albanese forment un sous-groupe gradué \(N(X)\) de \(Z^{*}(X)\), qui contient les cycles rationnellement équivalents à zéro ; son image \(N'(X)\) dans \(\mathrm{CH}^{*}(X)\) le détermine, et \(Z^{*}(X)/N(X) \simeq \mathrm{CH}^{*}(X)/N'(X)\). (ii) \(N'(X)\) est un idéal, de sorte que \(A^{*}_{\mathrm{alb}}(X) = \mathrm{CH}^{*}(X)/N'(X)\) est un anneau. (iii) Pour tout morphisme \(f \colon X \to Y\) de variétés quasi-projectives lisses, \(f^{*}\) envoie \(N'(Y)\) dans \(N'(X)\) et induit un homomorphisme d'anneaux \(A^{*}_{\mathrm{alb}}(Y) \to A^{*}_{\mathrm{alb}}(X)\). (iv) Si de plus \(f\) est propre, l'image directe \(f_{*}\) envoie \(N'(X)\) dans \(N'(Y)\) et induit \(A^{*}_{\mathrm{alb}}(X) \to A^{*}_{\mathrm{alb}}(Y)\). (v) L'équivalence d'Albanese entraîne l'équivalence algébrique ; on peut donc parler des classes de \(A^{*}_{\mathrm{alb}}(X)\) algébriquement équivalentes à zéro.

Les démonstrations sont formelles. Pour la somme, si \(\mathfrak{z} = Z_{*}(\mathfrak{t})\) et \(\mathfrak{z}' = Z'_{*}(\mathfrak{t}')\) avec des paramètres \(T\), \(T'\), on remonte \(Z\) et \(Z'\) en \(Z_{1}\), \(Z'_{1}\) sur \(X \times T \times T'\), on choisit des points \(a \in T\), \(a' \in T'\) en lesquels \(Z\) et \(Z'\) se spécialisent bien, et l'on pose \(\mathfrak{t}_{2} = \mathfrak{t} \times a' + a \times \mathfrak{t}'\), \(Z_{2} = Z_{1} + Z'_{1}\) : les \(0\)-cycles \(\mathfrak{t} \times a'\) et \(a \times \mathfrak{t}'\) sont de somme d'Albanese nulle sur \(T \times T'\), les termes croisés sont nuls, et \(Z_{2*}(\mathfrak{t}_{2}) = \mathfrak{z} + \mathfrak{z}'\) ; le passage à \(-\mathfrak{z}\) est immédiat.²¹ L'équivalence rationnelle est contenue parce que sur \(T = \mathbb{P}^{1}\) tout \(0\)-cycle de degré \(0\) a une somme d'Albanese nulle. Pour (ii), (iii) et (iv), on a respectivement \(Z_{*}(\mathfrak{t}) \cdot w = (Z \cdot \mathrm{pr}_{X}^{*}w)_{*}(\mathfrak{t})\), \(f^{*}Z_{*}(\mathfrak{t}) = ((f \times \mathrm{id}_{T})^{*}Z)_{*}(\mathfrak{t})\) et \(f_{*}Z_{*}(\mathfrak{t}) = ((f \times \mathrm{id}_{T})_{*}Z)_{*}(\mathfrak{t})\), et (v) vient de ce qu'un \(0\)-cycle de degré \(0\) sur \(T\) connexe est algébriquement équivalent à zéro.²²

Scholie 1.3. Les anneaux \(A^{*}_{\mathrm{alb}}(X)\) ont les propriétés fonctorielles familières des anneaux de Chow ; en particulier la formule de projection vaut. Là où équivalence rationnelle et équivalence algébrique coïncident — le point, les espaces projectifs, les variétés de drapeaux —, elles coïncident avec l'équivalence d'Albanese, qui est entre les deux. C'est une relation d'équivalence adéquate au sens de Samuel.²³

Théorème 1.4. Soit \(X\) projective, lisse et connexe, de dimension \(n\). (i) Un \(0\)-cycle \(\mathfrak{t}\) sur \(X\) est équivalent à zéro au sens d'Albanese si et seulement s'il est de degré \(0\) et \(\mathrm{alb}_{X}(\mathfrak{t}) = 0\). (ii) Un diviseur \(D\) sur \(X\) est équivalent à zéro au sens d'Albanese si et seulement s'il est rationnellement équivalent à zéro.

Autrement dit, \(A_{0,\mathrm{alb}}(X)\) est extension de \(\mathbb{Z}\) par \(\mathrm{Alb}_{X}(k)\), et \(A^{1}_{\mathrm{alb}}(X) = \mathrm{Pic}(X)\). Pour (i), un \(0\)-cycle de degré \(0\) et de somme nulle est équivalent à zéro par définition, avec \(T = X\) et \(Z = \Delta_{X}\). La réciproque demande qu'une correspondance \(Z\) sur \(X \times T\) envoie un \(0\)-cycle de somme nulle sur un \(0\)-cycle de somme nulle : c'est le Corollaire 1.2 de la page 51, qui la déduit de ce que \(Z\) induit un homomorphisme \(\mathrm{Alb}_{T} \to \mathrm{Alb}_{X}\) compatible aux sommes.²⁴ Pour (ii), si \(Z\) est un diviseur sur \(X \times T\), on a \(Z_{*}(\mathfrak{t}) = u(\mathrm{alb}_{T}(\mathfrak{t}))\) pour l'homomorphisme \(u \colon \mathrm{Alb}_{T} \to \mathrm{Pic}^{0}_{X}\) défini par la correspondance divisorielle \(Z\), qui est nul si \(\mathrm{alb}_{T}(\mathfrak{t}) = 0\).

Remarque 1.5. On ignore, déjà pour les \(0\)-cycles, si l'équivalence d'Albanese est l'équivalence rationnelle — et il se demande, avec trois points d'interrogation, si ce serait vrai pour tous les cycles.²⁵

Théorème 1.6 (page 29). Si deux classes \(\mathfrak{z}\), \(\mathfrak{z}'\) de \(A^{*}_{\mathrm{alb}}(X)\) sont algébriquement équivalentes à zéro, leur produit est nul. En effet, l'équivalence algébrique se témoigne par des courbes : \(\mathfrak{z} = Z_{*}((x) - (y))\) et \(\mathfrak{z}' = Z'_{*}((x') - (y'))\) avec des paramètres \(T\), \(T'\) ; alors \(\mathfrak{z}\cdot \mathfrak{z}'\) est l'image par la correspondance \((\Delta_{X} \times \mathrm{id})^{*}(Z \times Z')\) du \(0\)-cycle \[ \mathfrak{t} = \bigl((x) - (y)\bigr) \times \bigl((x') - (y')\bigr) = (x, x') - (x, y') - (y, x') + (y, y') \] de \(T \times T'\), dont la somme d'Albanese est nulle, puisque \(\mathrm{Alb}_{T \times T'} = \mathrm{Alb}_{T} \times \mathrm{Alb}_{T'}\). Il demande entre crochets s'il suffirait, pour \(X\) projective, que l'une des classes soit algébriquement et l'autre numériquement équivalente à zéro, et note : « on ignore si cet \(\mathfrak{t}\) est linéairement équivalent à zéro, même si \(T, T'\) sont des courbes ! ».²⁶ Il y aurait intérêt, conclut-il, à faire de ce lemme un énoncé sur le produit extérieur \(\times\) — ce que fera la page 125.

30–36

2. Familles de classes à équivalence d'Albanese près (pages 30 à 36)

Théorème 2.1. Soit \(Z \in A^{i}_{\mathrm{alb}}(X \times Y)\). L'application \(\mathfrak{t} \mapsto Z_{*}(\mathfrak{t})\), de \(A_{0,\mathrm{alb}}(Y)\) dans \(A^{i}_{\mathrm{alb}}(X)\), est un homomorphisme ; comme \(\mathrm{alb}_{Y}\) identifie \(A_{0,\mathrm{alb}}(Y)\) au groupe des points de toutes les composantes \(\mathrm{Alb}^{d}_{Y}\) (\(d \in \mathbb{Z}\)), elle s'écrit \(Z_{*}(\mathfrak{t}) = u^{\bullet}_{Z}(\mathrm{alb}_{Y}(\mathfrak{t}))\), et l'on note \(u_{Z} \colon \mathrm{Alb}_{Y}(k) \to A^{i}_{\mathrm{alb}}(X)\) sa restriction au degré \(0\). Alors : (i) \(u_{Z}\) ne dépend que de la classe de \(Z\) à \(\tau\)-équivalence près ; (ii) il existe une isogénie \(\varphi \colon A' \to \mathrm{Alb}_{Y}\) et un cycle \(Z' \in A^{i}_{\mathrm{alb}}(X \times A')\) tel que \(Z'_{*}((0)) = 0\) — ce qui revient à dire que \(v_{Z'} \colon a' \mapsto Z'_{*}((a'))\) est un homomorphisme \(A'(k) \to A^{i}_{\mathrm{alb}}(X)\) — et tel que \(u_{Z} \circ \varphi = v_{Z'}\). On peut prendre pour \(\varphi\) la multiplication par un entier sur \(\mathrm{Alb}_{Y}\).²⁷

Pour (ii), s'il existait un cycle \(U\) sur \(Y \times \mathrm{Alb}_{Y}\), de codimension \(m\), tel que \(\mathrm{alb}_{Y}(U_{*}(a)) = a\) pour tout \(a\), le cycle \(Z' = Z \circ U\), normalisé en \(0\), conviendrait avec \(\varphi = \mathrm{id}\). On ne sait pas trouver un tel \(U\), mais on en trouve un avec \(\mathrm{alb}_{Y}(U_{*}(a)) = na\) pour un entier \(n > 0\).²⁸ Posons \(Z'(a) = Z_{*}(U_{*}(a) - U_{*}(0))\). Si \(\mathfrak{t}\) est de degré \(0\) et \(a = \mathrm{alb}_{Y}(\mathfrak{t})\), les \(0\)-cycles \(U_{*}(a) - U_{*}(0)\) et \(n\mathfrak{t}\) ont même degré et même somme, donc sont équivalents au sens d'Albanese, et \(Z'(a) = n Z_{*}(\mathfrak{t})\) dans \(A^{i}_{\mathrm{alb}}(X)\) ; le même argument montre que \(a \mapsto Z'(a)\) est additif.²⁹ D'où \(u_{Z} \circ n = v_{Z'}\). Pour (i) : si \(Z\) est algébriquement équivalent à zéro, \(u_{Z} = 0\) par le Théorème 1.6 de la page 29, appliqué à \(Z \cdot \mathrm{pr}_{Y}^{*}\mathfrak{t}\) ; si \(mZ\) l'est, \(m u_{Z} = 0\), donc \(u_{Z} = 0\) puisque \(\mathrm{Alb}_{Y}(k)\) est divisible.

Corollaire 2.2 (page 33). Un cycle de codimension \(i\) sur \(X\) est algébriquement équivalent à zéro si et seulement s'il est équivalent au sens d'Albanese à un cycle \(W_{*}((a_{0}))\), où \(A\) est une variété abélienne et \(W\) un cycle de codimension \(i\) sur \(X \times A\) tel que \(a \mapsto W_{*}((a))\) soit un homomorphisme \(A(k) \to A^{i}_{\mathrm{alb}}(X)\).³⁰

Corollaire 2.3. Le groupe \(A^{i}_{\mathrm{alb}}(X)_{\mathrm{alg}}\) des classes algébriquement équivalentes à zéro est divisible : c'est une réunion d'images de groupes \(A(k)\).

Corollaire 2.4. Si \(\mathfrak{z}\) est algébriquement et \(\mathfrak{z}'\) \(\tau\)-équivalent à zéro, \(\mathfrak{z}\mathfrak{z}' = 0\) dans \(A^{*}_{\mathrm{alb}}(X)\).³¹

Définition 2.5. Une application \(\phi \colon Y(k) \to A^{i}_{\mathrm{alb}}(X)\) est algébrique si 1°) son prolongement par linéarité aux \(0\)-cycles se factorise par \(A_{0,\mathrm{alb}}(Y)\), et 2°) l'homomorphisme induit sur \(\mathrm{Alb}_{Y}(k)\) est tel que, pour un entier \(N > 0\), \(a \mapsto \phi(Na)\) soit induit par un cycle de \(A^{i}_{\mathrm{alb}}(X \times \mathrm{Alb}_{Y})\). Proposition 2.6. Une application définie par un cycle de \(X \times Y\) est algébrique (c'est 2.1). Proposition 2.7 (page 34). Les applications algébriques forment un groupe, et \(\phi\) est algébrique si \(N\phi\) l'est ; elles sont fonctorielles en \(Y\), et en \(X\) par les correspondances à coefficients entiers.

Un point \(y_{0}\) étant fixé, les familles algébriques \(Y(k) \to A^{i}_{\mathrm{alb}}(X)\) se décomposent en une constante et un homomorphisme algébrique \(\mathrm{Alb}_{Y}(k) \to A^{i}_{\mathrm{alb}}(X)\). On est donc ramené aux homomorphismes algébriques \(A(k) \to A^{i}_{\mathrm{alb}}(X)\), et, comme \(A(k) = A_{0,\mathrm{alb}}(A)_{\mathrm{alg}}\), à la notion générale : un homomorphisme \(\phi \colon A^{j}_{\mathrm{alb}}(X')_{\mathrm{alg}} \to A^{i}_{\mathrm{alb}}(X)_{\mathrm{alg}}\) est algébrique si \(N\phi\) est défini par un cycle sur \(X \times X'\) pour un \(N > 0\). Il l'est alors par un cycle à coefficients rationnels — mais un cycle à coefficients rationnels quelconque ne définit pas un tel homomorphisme, « à moins que les degrés soient les bons ». Ces homomorphismes se composent ; peuvent-ils s'inverser, quand ce sont des isomorphismes ? Il le demande.

Vient une dualité, pour \(i + j = n + 1\). Si \(A\) et \(\hat{A}\) sont deux variétés abéliennes duales, un homomorphisme \(A(k) \to A^{i}_{\mathrm{alb}}(X)_{\mathrm{alg}}\) défini par \(Z \in A^{i}_{\mathrm{alb}}(X \times A)\) donne, par le transposé, \[ {}^{t}Z_{*} \colon A^{j}_{\mathrm{alb}}(X)_{\mathrm{alg}} \longrightarrow A^{i+j-n}_{\mathrm{alb}}(A)_{\mathrm{alg}} = A^{1}_{\mathrm{alb}}(A)_{\mathrm{alg}} = \mathrm{Pic}^{0}(A) = \hat{A}(k) , \] d'où une correspondance entre \(\mathrm{Hom}_{\mathrm{alg}}(A, A^{i}_{\mathrm{alb}}(X)_{\mathrm{alg}})\) et \(\mathrm{Hom}_{\mathrm{alg}}(A^{j}_{\mathrm{alb}}(X)_{\mathrm{alg}}, \hat{A})\) — à condition de vérifier que \({}^{t}Z_{*}\) ne dépend que de l'application et non de \(Z\), ce que la page signale et ne fait pas. Il note la question de la transposition en général, « cf. plus bas ».³²

37–38

3. Homomorphismes \(\ell\)-adiques associés à une famille abélienne de cycles (pages 37 et 38)

Soit \(A\) une variété abélienne et \(Z \in A^{i}_{\mathrm{alb}}(X \times A)\) ; on a \(u_{Z} \colon A(k) \to A^{i}_{\mathrm{alb}}(X)\), mais aussi \[ {}^{t}Z_{*} \colon H^{2(n-i)+1}(X)(n-i) \longrightarrow H^{1}(A) , \] à coefficients \(\mathbb{Z}_{\ell}\). Il affirme qu'à torsion près cet homomorphisme ne dépend que de \(u_{Z}\), et plus précisément :

Théorème 3.1. Si \(u_{Z} = 0\), alors \({}^{t}Z_{*} \colon H^{2(n-i)+1}(X)(n-i) \to H^{1}(A)\) est nul (à coefficients \(\mathbb{Q}_{\ell}\)).

En marge : « dém. pas faite », entouré, et « A-t-on une réciproque ? ». La démonstration commencée choisit une courbe « ample » \(C \to A\), de sorte que \(H^{1}(A) \to H^{1}(C)\) soit injectif et que \(C(k)\) engendre \(A(k)\) : les deux nullités se lisent alors sur \(C\), et l'on est ramené à \(A = C\). La décomposition de Künneth de \(H^{2i}(X \times C)\) est algébrique, puisque les projecteurs de Künneth d'une courbe le sont ; un cycle qui « appartient » à l'un des deux facteurs extrêmes, \(H^{2i}(X) \otimes H^{0}(C)\) ou \(H^{2i-2}(X) \otimes H^{2}(C)\), donne un \(u\) nul et un homomorphisme cohomologique nul. On est ramené aux cycles du facteur médian, dont la projection sur \(X\) et la restriction à \(X\) sont nulles — et la page s'arrête là.³³

39–41

IV. L'astuce de Tate sur les cycles décomposables (pages 39 à 41)

Le feuillet 39 porte seul le titre ; le feuillet 40, d'une encre plus noire sur un papier jauni, et le haut du feuillet 41, qui achève sa dernière phrase, donnent l'argument. Un cycle est ici décomposable s'il est produit de classes de diviseurs ; on note \(D^{2i}(A, \mathbb{Q}_{\ell}(i))\) le sous-espace de \(H^{2i}(A, \mathbb{Q}_{\ell}(i))\) engendré par les produits de \(i\) classes de diviseurs.

Soit \(A\) une variété abélienne ; son module de Tate \(T_{\ell}(A)\) est un module sur ce qu'il appelle la « pseudo-algèbre de Lie » \(\mathfrak{g}\), et l'on pose \(T_{K}(A) = T_{\ell}(A) \otimes K\) pour une clôture algébrique \(K\) de \(\mathbb{Q}_{\ell}\), module sur \(\mathfrak{g}_{K}\).³⁴ Supposons :

• a)la conjecture de Tate pour les diviseurs : \(H^{2}(A, \mathbb{Q}_{\ell}(1))^{\mathrm{alg}} = H^{2}(A, \mathbb{Q}_{\ell}(1))^{\mathfrak{g}}\) ;
• b)ou bien les valeurs propres des Frobenius sur \(T_{K}(A)\) sont, à des racines de l'unité près, des racines carrées de la norme \(q\) du point ; ou bien \(T_{K}(A)\) se décompose en deux morceaux \(V_{1} \oplus V_{2}\), propres pour presque tous les Frobenius, avec des valeurs propres différentes pour presque tous.

Alors on doit avoir \[ D^{2i}(A, \mathbb{Q}_{\ell}(i)) = H^{2i}(A, \mathbb{Q}_{\ell}(i))^{\mathrm{alg}} = H^{2i}(A, \mathbb{Q}_{\ell}(i))^{\mathfrak{g}} , \] car on a a priori les inclusions de gauche à droite, et l'hypothèse donne l'égalité des extrêmes.³⁵

Ces conditions sont vérifiées si \(A\) est une puissance d'une courbe elliptique définie sur un corps fini \(\mathbb{F}_{q}\) : a) se ramène au produit de deux courbes elliptiques et « a été vérifié par Mumford », et b) est trivial à partir du cas de la courbe, et stable par puissances cartésiennes. La conjecture de Tate vaut donc, en tous degrés, pour les puissances d'une courbe elliptique sur un corps fini.³⁶

43–46

V. La lettre à Serre du 27 août 1965 (pages 43 à 46)

Quatre feuillets dactylographiés, datés « 27.8.65 », signés « A. Grothendieck » : c'est la « lettre (1965) » de l'inventaire.³⁷ Grothendieck y écrit qu'il retourne les questions de cycles algébriques, qu'il lui manque toujours le pas décisif, et qu'il veut énoncer les deux conjectures clés de façon purement géométrique, sans cohomologie.

Notations : \(X\) projective, lisse et connexe de dimension \(n\), \(Y\) une section hyperplane lisse, \(A^{i}_{\mathrm{alg}}(X)_{\mathbb{Q}} = A^{i}_{\mathrm{alg}}(X) \otimes \mathbb{Q}\) le groupe des classes de cycles de codimension \(i\) à équivalence algébrique près, tensorisé par \(\mathbb{Q}\), et \(\xi \in A^{1}_{\mathrm{alg}}(X)_{\mathbb{Q}}\) la classe de \(Y\).³⁸

Conjecture A. Pour \(2i \leqslant n\), la multiplication par \(\xi^{n-2i}\) est un isomorphisme \(A^{i}_{\mathrm{alg}}(X)_{\mathbb{Q}} \xrightarrow{\sim} A^{n-i}_{\mathrm{alg}}(X)_{\mathbb{Q}}\).

Il suffirait, dit-il, de vérifier la surjectivité, et pour \(n = 2i + 1\) ; le premier cas ouvert est \(i = 1\), \(n = 3\). A donnerait pour ces groupes l'analogue des théorèmes de Lefschetz comparant \(X\) et \(Y\) par image directe et inverse, et impliquerait le théorème de Lefschetz cohomologique fort, \(\xi^{n-i} \colon H^{i} \xrightarrow{\sim} H^{2n-i}\), que la lettre dit non démontré ; seul l'est le théorème « faible », qui résulte de ce que la dimension cohomologique d'une variété affine de dimension \(n\) est au plus \(n\) : pour \(U = X - Y\), \(H^{i}(X) \to H^{i}(Y)\) est bijectif pour \(i \leqslant n - 2\) et injectif pour \(i = n - 1\), et \(H^{i}(Y) \to H^{i+2}(X)\) est bijectif pour \(i \geqslant n\) et surjectif pour \(i = n - 1\).³⁹

Conjecture A'. Pour \(2i \geqslant n - 1\), l'image directe \(A^{i}_{\mathrm{alg}}(Y)_{\mathbb{Q}} \to A^{i+1}_{\mathrm{alg}}(X)_{\mathbb{Q}}\) est surjective : à \(\tau\)-équivalence près, tout cycle de dimension \(j < n/2\) sur \(X\) est image d'un cycle à coefficients rationnels de \(Y\).

Il dit savoir déduire A de A', sauf erreur, à condition d'avoir A' sur un corps de base non nécessairement algébriquement clos, ou d'énoncer A pour l'équivalence cohomologique au prix du caractère purement géométrique. A impliquerait la « formule de Künneth pour les cycles », donc l'intégralité des coefficients des polynômes caractéristiques, à des puissances de \(p\) près en dénominateur, donc les conjectures de Weil sauf la question des valeurs absolues des valeurs propres, qui relève de B ; A lui paraît le minimum pour une définition utilisable des motifs sur un corps.

Conjecture B. Soit \(n = 2m\), et soit \(A^{m}_{\mathrm{alg}}(X)_{\mathbb{Q},\mathrm{prim}}\) le noyau de la multiplication par \(\xi\) de \(A^{m}_{\mathrm{alg}}(X)_{\mathbb{Q}}\) dans \(A^{m+1}_{\mathrm{alg}}(X)_{\mathbb{Q}}\). La forme \((-1)^{m}\deg(x x')\) est définie positive sur ce noyau.

Pour Weil, la positivité suffirait ; la forme définie donnerait en outre que la \(\tau\)-équivalence est l'équivalence numérique — l'équivalence homologique à coefficients \(\mathbb{Q}_{\ell}\) étant coincée entre les deux —, que les groupes de classes à \(\tau\)-équivalence près sont de type fini, que \(A^{m}_{\mathrm{alg}}(X)_{\mathbb{Q}} \otimes \mathbb{Q}_{\ell} \to H^{2m}(X)(m)\) est injectif, et que le rang est majoré par le nombre de Betti \(b_{2m}\). A et B ensemble impliqueraient la semi-simplicité de la catégorie des motifs, et que l'algèbre des correspondances de \(X\) est une \(\mathbb{Q}\)-algèbre semi-simple de dimension finie, avec involution et trace. Suivent une généralisation de A à une correspondance quelconque, la semi-simplicité des opérations de Galois dans les conjectures de Tate, et une théorie raisonnable des « jacobiennes intermédiaires », morceaux algébriques des jacobiennes de Weil liés à la cohomologie de degré impair, par lesquelles la démonstration de B pourrait passer. A et A' lui semblent préliminaires à B, et il donne une forme équivalente de A' :

Conjecture A''. Soit \(U = X - Y\), affine de dimension \(n\). Alors \(A^{i}_{\mathrm{alg}}(U)_{\mathbb{Q}} = 0\) pour \(2i > n\).

Ce serait peut-être vrai pour toute variété affine lisse, et, pour toute variété lisse, tout cycle cohomologiquement équivalent à zéro serait \(\tau\)-équivalent à zéro — conséquence de A et B pour les variétés projectives. Ce qu'il faudrait : un procédé pour déformer un cycle de dimension pas trop grande et le « pousser à l'infini ». Il invite Serre à y réfléchir et dit s'y être mis le jour même. En post-scriptum : \(H^{i}(X)\) est la cohomologie \(\ell\)-adique, éventuellement tordue, la torsion étant omise des notations.

Ce que l'on sait aujourd'hui tient en trois phrases. Sous la forme de la lettre, qui porte sur l'équivalence algébrique, A et A' sont en défaut, au « premier cas ouvert » que la lettre désigne ; la conséquence que la lettre tire de la forme définie de B, « \(\tau\)-équivalence \(=\) équivalence numérique », est fausse pour la même raison.⁴⁰ Reformulées pour l'équivalence homologique — dans l'exposé de Grothendieck au colloque de Bombay (1968) et dans celui de Kleiman, « Algebraic cycles and the Weil conjectures » (1968) —, elles sont devenues les conjectures standard : la conjecture de type Lefschetz, que l'inverse de l'opérateur de Lefschetz soit algébrique, et la conjecture de type Hodge, la positivité de B ; elles sont ouvertes en général, la première connue notamment pour les courbes, les surfaces et les variétés abéliennes, la seconde en caractéristique nulle, où elle résulte de la théorie de Hodge.⁴¹ Enfin les conjectures de Weil ont été démontrées par Deligne (« La conjecture de Weil I », 1974) sans passer par elles.

47–70

VI. Sorites sur les variétés abéliennes, Picard, Albanese (pages 47 à 70)

Le feuillet 47 porte le titre, d'une autre encre que les notes qui suivent. La rédaction reprend la numérotation à 1 : un « Résumé » (pages 48 à 50), un paragraphe 1 (pages 51 à 57), un paragraphe 2 (pages 57 à 69), deux questions (page 70). Elle traite le degré 1 à fond, et c'est la partie démontrée du dossier.

47–50

Le résumé, et les quatre cas (pages 47 à 50)

On sait attacher à une variété deux variétés abéliennes au moyen de ses cycles : sa variété de Picard \(\mathrm{Pic}^{0}_{X}\) par les diviseurs algébriquement équivalents à zéro, sa variété d'Albanese \(\mathrm{Alb}_{X}\) par les \(0\)-cycles. Pour deux variétés abéliennes \(A\) et \(B\) attachées de l'une ou l'autre façon à \(X\) et à \(Y\), un cycle \(Z\) de dimension convenable sur \(X \times Y\) donne une application \(A(k) \to B(k)\) — il y a \(4 = 2 \times 2\) cas. Il annonce qu'elle est toujours induite par un homomorphisme de variétés abéliennes \(u_{Z}\), qui ne dépend que de la classe d'équivalence numérique de \(Z\) ; que, réciproquement, avec des cycles à coefficients rationnels, tout homomorphisme s'obtient ainsi ; et qu'en cohomologie \(\ell\)-adique, par les identifications \[ \varphi_{T} \colon H^{1}(\mathrm{Alb}_{T}) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{1}(T) , \qquad \psi_{T} \colon H^{2d-1}(T)(d-1) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{1}(\mathrm{Pic}^{0}_{T}) \qquad (d = \dim T) , \] l'homomorphisme cohomologique est un isomorphisme si et seulement si l'homomorphisme de variétés abéliennes est une isogénie ; alors l'inverse est défini par une correspondance à coefficients rationnels. C'est le cas, verra-t-on, du cup-produit par \(\xi_{1} \cdots \xi_{n-1}\), pour des classes amples \(\xi_{j}\), de \(H^{1}(X)\) dans \(H^{2n-1}(X)(n-1)\).

La page 50 dresse le tableau des quatre cas ; on le redessine avec les notations du dossier.

Cas I et cas II, transposés l'un de l'autre :

\begin{tikzcd}
H^{1}(Y) \arrow[r] & H^{1}(X) \\
H^{1}(\mathrm{Alb}_{Y}) \arrow[u, "\varphi_{Y}"] \arrow[r] & H^{1}(\mathrm{Alb}_{X}) \arrow[u, "\varphi_{X}"'] \\
\mathrm{Alb}_{Y} & \mathrm{Alb}_{X} \arrow[l]
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
H^{2m-1}(Y)(m-1) \arrow[r] \arrow[d, "\psi_{Y}"'] & H^{2n-1}(X)(n-1) \arrow[d, "\psi_{X}"] \\
H^{1}(\mathrm{Pic}^{0}_{Y}) \arrow[r] & H^{1}(\mathrm{Pic}^{0}_{X}) \\
\mathrm{Pic}^{0}_{Y} & \mathrm{Pic}^{0}_{X} \arrow[l]
\end{tikzcd}

Cas III et cas IV, chacun transposé de lui-même :

\begin{tikzcd}
H^{2m-1}(Y)(m-1) \arrow[r] \arrow[d, "\psi_{Y}"'] & H^{1}(X) \\
H^{1}(\mathrm{Pic}^{0}_{Y}) \arrow[r] & H^{1}(\mathrm{Alb}_{X}) \arrow[u, "\varphi_{X}"'] \\
\mathrm{Pic}^{0}_{Y} & \mathrm{Alb}_{X} \arrow[l]
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
H^{1}(Y) \arrow[r] & H^{2n-1}(X)(n-1) \arrow[d, "\psi_{X}"] \\
H^{1}(\mathrm{Alb}_{Y}) \arrow[u, "\varphi_{Y}"] \arrow[r] & H^{1}(\mathrm{Pic}^{0}_{X}) \\
\mathrm{Alb}_{Y} & \mathrm{Pic}^{0}_{X} \arrow[l]
\end{tikzcd}

Pour passer d'un homomorphisme de variétés abéliennes à un cycle sur \(X \times Y\), il faut, dans le cas I, inverser \(\varphi_{Y}\) ; dans le cas II, inverser \(\psi_{X}\) — « il faut des dénominateurs ? » ; dans le cas III, rien : c'est le théorème classique des correspondances divisorielles ; dans le cas IV, inverser \(\varphi_{Y}\) et \(\psi_{X}\), ce qui introduit des dénominateurs. Pour inverser \(\psi_{X}\) on utilise le théorème de Lefschetz ; pour inverser \(\varphi_{X}\), le théorème de Lefschetz et le cas des variétés abéliennes. C'est le programme des pages 61 à 69.⁴²

51–57

1. Un lemme de théorie des intersections (pages 51 à 57)

Théorème 1.1 (page 51). Soient \(X\), \(Y\) projectives, lisses et connexes sur \(k\), de dimensions \(n\) et \(m\), et \(Z\) un cycle de dimension \(m\) sur \(X \times Y\). Il existe un unique homomorphisme de variétés abéliennes \[ u_{Z} \colon \mathrm{Alb}_{Y} \longrightarrow \mathrm{Alb}_{X} \] tel que, pour tout \(0\)-cycle \(\mathfrak{A}\) de degré \(0\) sur \(Y\) pour lequel \(Z_{*}(\mathfrak{A})\) est défini, on ait \(\mathrm{alb}_{X}(Z_{*}(\mathfrak{A})) = u_{Z}(\mathrm{alb}_{Y}(\mathfrak{A}))\). De plus, \(u_{Z}\) ne dépend que de la classe d'équivalence numérique de \(Z\).⁴³

Corollaire 1.2. Si \(\mathrm{alb}_{Y}(\mathfrak{A}) = 0\) et si \(Z_{*}(\mathfrak{A})\) est défini, alors \(\mathrm{alb}_{X}(Z_{*}(\mathfrak{A})) = 0\).⁴⁴

Unicité. Il existe un ouvert non vide \(V\) de \(Y\) tel que \(Z_{*}(y)\) soit défini pour \(y \in V(k)\), donc \(Z_{*}(\mathfrak{A})\) pour tout \(0\)-cycle à support dans \(V\) ; et \(\mathrm{Alb}_{Y}(k)\) est l'ensemble des sommes de tels \(0\)-cycles de degré \(0\).

Existence. Soit \(\alpha_{X} \colon X \to \mathrm{Alb}^{1}_{X}\) le morphisme canonique dans le torseur de degré \(1\), \(Z' = (\alpha_{X} \times \mathrm{id}_{Y})_{*}(Z)\), et \(B = \mathrm{Pic}^{0}(\mathrm{Alb}^{1}_{X}) \simeq \mathrm{Pic}^{0}_{X}\), l'isomorphisme étant le transposé de \(\alpha_{X}\). Soit \(\Theta\) la classe de Poincaré sur \(B \times \mathrm{Alb}^{1}_{X}\), \(\theta\) sa classe numérique relevée à \(B \times \mathrm{Alb}^{1}_{X} \times Y\), et \(\mathfrak{z}''\) la classe numérique de \(B \times Z'\). Le cycle \[ c = \pi_{*}(\mathfrak{z}'' \cdot \theta) , \qquad \pi \colon B \times \mathrm{Alb}^{1}_{X} \times Y \to B \times Y , \] est une classe numérique de diviseurs sur \(B \times Y\), donc une correspondance divisorielle entre \(Y\) et \(B\), qui définit un homomorphisme \(\mathrm{Alb}_{Y} \to \mathrm{Pic}^{0}(B)\) ; par la bidualité des variétés abéliennes, \(\mathrm{Pic}^{0}(B) \simeq \mathrm{Alb}_{X}\). C'est \(u_{Z}\), et il ne dépend que de la classe numérique de \(Z\).⁴⁵

Le Théorème 1.1 résulte alors du Corollaire 1.3 (l'homomorphisme construit satisfait la condition de 1.1), qui résulte du Lemme 1.4 : pour un \(0\)-cycle \(\mathfrak{A}\) de degré \(0\) sur \(Y\) tel que \(Z_{*}(\mathfrak{A})\) soit défini, l'élément \(\Theta(\mathrm{alb}_{X}(Z_{*}(\mathfrak{A})))\) de \(\mathrm{Pic}^{0}(B)\) est égal à \(c'(\mathfrak{A})\). En effet, par la bidualité ensembliste \(\mathrm{Alb}_{X}(k) \to \mathrm{Pic}^{0}(B)\), il suffit de comparer les images dans \(\mathrm{Pic}^{0}(B)\), et \(c'(\mathfrak{A}) = \Theta(u_{Z}(\mathrm{alb}_{Y}(\mathfrak{A})))\) par définition de \(u_{Z}\).⁴⁶ Et le Lemme 1.4 résulte du Lemme 1.5 : il existe un diviseur \(D\) dans la classe de \(\Theta\) tel que, posant \(C = \pi_{*}(Z'' \cdot (D \times Y))\), on ait \(D(\alpha_{X*}(Z_{*}(\mathfrak{A}))) = C(\mathfrak{A})\) dans \(Z^{1}(B)\), les deux membres étant définis — « de la théorie d'intersections standard, que nous nous dispensons ici d'expliciter ».

Théorème 1.6 (page 55). Avec les notations de 1.1, le carré suivant, à coefficients \(\mathbb{Z}_{\ell}\), est commutatif :

\begin{tikzcd}
H^{1}(X) \arrow[r, "{}^{t}Z_{*}"] & H^{1}(Y) \\
H^{1}(\mathrm{Alb}_{X}) \arrow[u, "\varphi_{X}"] \arrow[r, "u_{Z}^{*}"] & H^{1}(\mathrm{Alb}_{Y}) \arrow[u, "\varphi_{Y}"']
\end{tikzcd}

— ce qu'on vérifie en suivant la construction du point de vue cohomologique.⁴⁷

Corollaire 1.7. Soient \(X\), \(Y\) des variétés abéliennes de dimensions \(n\) et \(m\). Un homomorphisme \(H^{1}(X) \to H^{1}(Y)\) est défini par un cycle de codimension \(n\) sur \(X \times Y\) si et seulement s'il est de la forme \(u^{*}\) pour un homomorphisme de variétés abéliennes \(u \colon Y \to X\) ; \(Z\) fixé, \(u\) est unique et indépendant de \(\ell\).

Remarques 1.8. Le Théorème 1.1 se généralise aux schémas projectifs et lisses à fibres géométriquement connexes sur une base \(S\) quelconque, en partant d'une classe \(Z \in \mathrm{CK}^{n}(X \times_{S} Y)\) — un « \(n\)-cocycle au sens du gradué associé au \(K\) » : si \(\mathrm{Alb}_{Y}\) existe, et si l'on se donne un morphisme de \(X\) dans un schéma « parabélien » sous un schéma abélien \(A\), on obtient \(\mathrm{Alb}_{Y} \to A\) par un élément de \(\mathrm{CK}^{1}(\mathrm{Alb}_{Y} \times_{S} \hat{A})\), donné fibre à fibre par la construction précédente.⁴⁸

57–60

2. Application : l'homomorphisme défini par un \(1\)-cycle (pages 57 à 60)

Le titre de la page 57 est « Application : l'algébricité de certains homomorphismes de VA ou d'espaces de cohomologie \(\ell\)-adique ».

Proposition 2.1. Soient \(X\), \(Y\) projectives, lisses et connexes, de dimensions \(n\) et \(m\), et \(Z\) un \(1\)-cycle sur \(X \times Y\). Il existe un unique homomorphisme \(u \colon \mathrm{Pic}^{0}_{X} \to \mathrm{Alb}_{Y}\) tel que, pour tout diviseur \(D\) algébriquement équivalent à zéro sur \(X\) pour lequel \({}^{t}Z_{*}(D) = \mathrm{pr}_{Y*}((D \times Y)\cdot Z)\) est défini, \(u(\mathrm{cl}\,D) = \mathrm{alb}_{Y}({}^{t}Z_{*}(D))\). Il est aussi caractérisé par la commutativité du carré, à coefficients \(\mathbb{Z}_{\ell}\),

\begin{tikzcd}
H^{1}(\mathrm{Alb}_{Y}) \arrow[r, "u^{*}"] \arrow[d, "\varphi_{Y}"'] & H^{1}(\mathrm{Pic}^{0}_{X}) \\
H^{1}(Y) \arrow[r, "Z_{*}"'] & H^{2n-1}(X)(n-1) \arrow[u, "\psi_{X}"']
\end{tikzcd}

et \(u\) ne dépend que de la classe numérique de \(Z\).⁴⁹

Démonstration. Le composé \(\psi_{X} \circ Z_{*} \circ \varphi_{Y}\) est défini par une correspondance algébrique entre \(\mathrm{Alb}_{Y}\) et \(\mathrm{Pic}^{0}_{X}\), indépendante de \(\ell\), puisque ses trois facteurs le sont ; par le Corollaire 1.7 il est de la forme \(u^{*}\).⁵⁰ Pour la formule, on construit \(u\) directement. Il suffit de calculer avec les classes rationnelles, puisque la somme d'Albanese d'un \(0\)-cycle rationnellement équivalent à zéro est nulle. Soit \(\Theta \in \mathrm{CH}^{1}(X \times \mathrm{Pic}^{0}_{X})\) la classe de Poincaré, normalisée par \(\Theta(0) = 0\), et \[ C = \pi_{*}\bigl((1_{Y} \times \Theta) \cdot (Z \times 1)\bigr) \in \mathrm{CH}^{m}(Y \times \mathrm{Pic}^{0}_{X}) , \qquad \pi \colon Y \times X \times \mathrm{Pic}^{0}_{X} \to Y \times \mathrm{Pic}^{0}_{X} , \] de sorte que \({}^{t}Z_{*}(\Theta_{b}) = C_{*}((b) - (0))\). Le Théorème 1.1 appliqué à \(C\) donne \(u \colon \mathrm{Pic}^{0}_{X} \to \mathrm{Alb}_{Y}\) avec \(\mathrm{alb}_{Y}({}^{t}Z_{*}(\Theta_{b})) = u(b)\). L'accord avec la cohomologie se déduit du Théorème 1.6 de la page 55 ; \(u\) dépend linéairement de \(Z\), et si \(Z\) est numériquement équivalent à zéro, \(C\) l'est, donc \(u = 0\).

Variante. On cherche \(\mathrm{Pic}^{0}_{X} \to \mathrm{Alb}_{Y} \simeq \widehat{\mathrm{Pic}^{0}_{Y}}\), c'est-à-dire une correspondance divisorielle sur \(\mathrm{Pic}^{0}_{X} \times \mathrm{Pic}^{0}_{Y}\) : c'est le composé \(\Theta_{Y} \circ Z \circ {}^{t}\Theta_{X}\).

Un « Corollaire 2.2 » suit, barré de six traits : tout homomorphisme \(\mathrm{Pic}^{0}_{X} \to \mathrm{Alb}_{Y}\) serait défini par un \(1\)-cycle entier.⁵¹

61–64

Transposition, et inversion (pages 61 à 64)

Corollaire 2.2 (page 61). Dans la situation de 2.1, le transposé \(\hat{u} \colon \mathrm{Pic}^{0}_{Y} \to \mathrm{Alb}_{X}\) est l'homomorphisme défini par \({}^{t}Z\) : pour tout diviseur \(D\) algébriquement équivalent à zéro sur \(Y\) tel que \(Z_{*}(D)\) soit défini, \(\mathrm{alb}_{X}(Z_{*}(D)) = \hat{u}(\mathrm{cl}\,D)\). Vérification « par exemple par voie cohomologique » ; en marge, deux fois : « attention aux signes éventuels ! ».⁵²

Proposition 2.3, entre crochets et avec en marge « devrait remonter au n° 1 ». Dans la situation du Théorème 1.1, le transposé \(\hat{u}_{Z} \colon \mathrm{Pic}^{0}_{X} \to \mathrm{Pic}^{0}_{Y}\) vérifie \({}^{t}Z_{*}(D) \sim \hat{u}_{Z}(\mathrm{cl}\,D)\) pour tout diviseur \(D\) algébriquement équivalent à zéro sur \(X\). Ces deux énoncés donnent une autre démonstration de 1.1, par un homomorphisme de schémas en groupes \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/k} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/k}\) ; vérification « par AQT », lecture incertaine.

Proposition 2.4. Dans la situation de 2.1, et \(\ell\) fixé, \(Z_{*} \colon H^{1}(Y) \to H^{2n-1}(X)(n-1)\) est un isomorphisme si et seulement si \(u\) est une isogénie. Il existe alors un diviseur \(D\) à coefficients rationnels sur \(X \times Y\) tel que \({}^{t}D_{*} \colon H^{2n-1}(X)(n-1) \to H^{1}(Y)\) soit l'inverse de \(Z_{*}\), ce qui caractérise \(D\) comme correspondance divisorielle à coefficients rationnels ; l'homomorphisme \(\mathrm{Alb}_{Y} \to \mathrm{Pic}^{0}_{X}\) qu'il définit est \(u^{-1}\), dans \(\mathrm{Hom}(\mathrm{Alb}_{Y}, \mathrm{Pic}^{0}_{X}) \otimes \mathbb{Q}\). On peut prendre \(D\) à coefficients entiers si et seulement si \(u\) est un isomorphisme, et, si \(N\) annule le noyau de \(u\) comme schéma en groupes, on peut prendre \(D = N^{-1}D_{0}\) avec \(D_{0}\) entier.

En effet, dans le carré de 2.1, \(\varphi_{Y}\) et \(\psi_{X}\) sont des isomorphismes : \(Z_{*}\) en est un si et seulement si \(u^{*}\) en est un, c'est-à-dire si \(u\) est une isogénie. L'inverse de \(u\) dans \(\mathrm{Hom}\otimes\mathbb{Q}\) est défini, par le théorème des correspondances divisorielles (cas III), par un diviseur rationnel \(D\), dont l'effet cohomologique est l'inverse de \(Z_{*}\). Si \(N\) tue \(\operatorname{Ker} u\), \(N u^{-1}\) est un vrai homomorphisme ; le meilleur dénominateur est l'exposant de ce noyau.⁵³

Corollaire 2.5. Pour \(\ell\) premier à la caractéristique, \(u\) est une isogénie de degré premier à \(\ell\) si et seulement si le composé \(H^{1}(Y, \mathbb{Z}_{\ell}) \to H^{2n-1}(X, \mathbb{Z}_{\ell})(n-1) \to H^{2n-1}(X, \mathbb{Z}_{\ell})(n-1)/\mathrm{torsion}\) est bijectif ; il suffit que la première flèche le soit.⁵⁴

64–67

Le théorème de Lefschetz pour \(H^{1}\) (pages 64 à 67)

Corollaire 2.6. Soit \(X\) projective, lisse et connexe de dimension \(n \geqslant 2\), et \(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n-1} \in \mathrm{CH}^{1}(X)\) des classes amples. Pour tout \(\ell\), le cup-produit par \(\eta = \xi_{1}\cdots\xi_{n-1}\), \[ H^{1}(X) \longrightarrow H^{2n-1}(X)(n-1) , \] est un isomorphisme, et son inverse est défini par un élément de \(\mathrm{CH}^{1}(X \times X) \otimes \mathbb{Q}\), unique et indépendant de \(\ell\).

En marge : « Th ? C'est un cas particulier important du “Lefschetz vachement” donnant “Lefschetz” aux surfaces ».⁵⁵ Soit \(Z\) le \(1\)-cycle \(\Delta_{*}(\eta)\) sur \(X \times X\) : son effet \(Z_{*}\) est le cup-produit par \(\eta\), et par 2.4 il suffit de voir que l'homomorphisme \(u \colon \mathrm{Pic}^{0}_{X} \to \mathrm{Alb}_{X}\) de 2.1 est une isogénie ; mieux, c'est une polarisation de \(\mathrm{Pic}^{0}_{X}\), compte tenu de \(\mathrm{Alb}_{X} \simeq \widehat{\mathrm{Pic}^{0}_{X}}\).⁵⁶

Quand \(Z\) est l'image d'une courbe lisse projective \(v = (v_{1}, v_{2}) \colon C \to X \times Y\), l'homomorphisme \(\mathrm{Pic}^{0}_{X} \to \mathrm{Alb}_{Y}\) de 2.1 est le composé \[ \mathrm{Pic}^{0}_{X} \xrightarrow{\ v_{1}^{*}\ } \mathrm{Pic}^{0}_{C} \xrightarrow{\ \text{dualité}\ } \mathrm{Alb}_{C} \xrightarrow{\ v_{2*}\ } \mathrm{Alb}_{Y} . \] Si \(X = Y\) et \(v_{1} = v_{2} = v\), c'est le tiré en arrière par \(v^{*}\) de la polarisation principale de la jacobienne de \(C\), puisque \(v_{*}\) est le transposé de \(v^{*}\) ; les conditions suivantes sont donc équivalentes : (i) \(u\) est une polarisation ; (ii) \(u\) est une isogénie ; (iii) \(v^{*} \colon \mathrm{Pic}^{0}_{X} \to \mathrm{Pic}^{0}_{C}\) est à noyau fini ; (iv) \(v_{*} \colon \mathrm{Alb}_{C} \to \mathrm{Alb}_{X}\) est surjectif. En cohomologie, \(u^{*}\) est le cup-produit par la classe de \(C\), de \(H^{1}(\mathrm{Alb}_{X}) \simeq H^{1}(X)\) dans \(H^{1}(\mathrm{Pic}^{0}_{X}) \simeq H^{2n-1}(X)(n-1)\). Or, si \(C\) est une intersection générale de diviseurs très amples, \(\mathrm{Alb}_{C} \to \mathrm{Alb}_{X}\) est surjectif — « fait bien connu ». Comme on peut remplacer chaque \(\xi_{j}\) par un multiple très ample, ce qui multiplie \(\eta\) par un entier non nul, le corollaire est démontré.⁵⁷

67–69

La réciproque (pages 67 à 69)

Proposition 2.7 (page 67). Soit \(D \in \mathrm{CH}^{1}(X \times Y)\), d'où \(u_{D} \colon \mathrm{Alb}_{Y} \to \mathrm{Pic}^{0}_{X}\) et \({}^{t}D_{*} \colon H^{2n-1}(X)(n-1) \to H^{1}(Y)\). Celui-ci est un isomorphisme si et seulement si \(u_{D}\) est une isogénie ; il existe alors \(Z \in \mathrm{CH}_{1}(X \times Y) \otimes \mathbb{Q}\) tel que \(Z_{*}\) soit l'inverse de \({}^{t}D_{*}\), quel que soit \(\ell\), et l'homomorphisme \(u_{Z} \colon \mathrm{Pic}^{0}_{X} \to \mathrm{Alb}_{Y}\) de 2.1 est \(u_{D}^{-1}\).

Démonstration. On a \({}^{t}D_{*} = \varphi_{Y} \circ u_{D}^{*} \circ \psi_{X}\) :

\begin{tikzcd}
H^{2n-1}(X)(n-1) \arrow[r, "{}^{t}D_{*}"] \arrow[d, "\psi_{X}"'] & H^{1}(Y) \\
H^{1}(\mathrm{Pic}^{0}_{X}) \arrow[r, "u_{D}^{*}"] & H^{1}(\mathrm{Alb}_{Y}) \arrow[u, "\varphi_{Y}"']
\end{tikzcd}

d'où la première assertion. Pour la seconde, il faut voir que \(\psi_{X}^{-1}\) et \(\varphi_{Y}^{-1}\) sont définis par des correspondances à coefficients rationnels, indépendantes de \(\ell\). Choisissons une classe ample \(\xi \in \mathrm{CH}^{1}(X)\), et soit \(\lambda\) le cup-produit par \(\xi^{n-1}\), isomorphisme par 2.6. Posons \(\mu = \psi_{X} \circ \lambda \circ \varphi_{X} \colon H^{1}(\mathrm{Alb}_{X}) \to H^{1}(\mathrm{Pic}^{0}_{X})\) :

\begin{tikzcd}
H^{2n-1}(X)(n-1) \arrow[r, "\psi_{X}"] & H^{1}(\mathrm{Pic}^{0}_{X}) \\
H^{1}(X) \arrow[u, "\lambda"] & H^{1}(\mathrm{Alb}_{X}) \arrow[u, "\mu"'] \arrow[l, "\varphi_{X}"]
\end{tikzcd}

C'est l'effet cohomologique de l'isogénie \(\mathrm{Pic}^{0}_{X} \to \mathrm{Alb}_{X}\) de 2.6, de sorte que \(\mu^{-1}\) est défini par son inverse dans \(\mathrm{Hom} \otimes \mathbb{Q}\). Donc \(\psi_{X}^{-1} = \lambda \circ \varphi_{X} \circ \mu^{-1}\) et \(\varphi_{X}^{-1} = \mu^{-1} \circ \psi_{X} \circ \lambda\) sont algébriques ; on applique la seconde formule à \(Y\).⁵⁸

70–70

Deux questions (page 70)

1) Y a-t-il toujours un cycle entier qui inverse \(\varphi_{X} \colon H^{1}(\mathrm{Alb}_{X}) \to H^{1}(X)\) ? Il suffirait que, pour \(N\) assez grand, la fibre générique de \(\mathrm{Sym}^{N}(X) \to \mathrm{Alb}^{N}_{X}\) ait un point rationnel. 2) Y a-t-il toujours un cycle entier qui inverse \(\psi_{X}\) ? Si la réponse à 1) était positive, il suffirait de connaître la réponse à 2) pour les variétés abéliennes.⁵⁹

72–73

VII. Deux feuillets : Picard, Albanese et cohomologie entière (pages 72 et 73)

Deux feuillets isolés, qui donnent sur \(\mathbb{Z}_{\ell}\) les identifications dont le paragraphe 2 s'est servi. Pour \(X\) propre sur \(k\) et \(N\) premier à la caractéristique, la suite de Kummer donne \[ H^{1}(X, \mu_{N}) \simeq \mathrm{Pic}(X)[N] , \qquad 0 \to \mathrm{Pic}^{0}(X)[N] \to H^{1}(X, \mu_{N}) \to \mathrm{NS}(X)[N] \to 0 , \] et, à la limite, \(H^{1}(X, \mathbb{Z}_{\ell}(1)) \simeq T_{\ell}(\mathrm{Pic}^{0}_{X})\), le groupe de Néron–Severi ne contribuant pas puisque \(\mathrm{Pic}^{\tau}/\mathrm{Pic}^{0}\) est fini. Si le schéma de Picard a une composante neutre propre, par exemple si \(X\) est normal, on en tire \(\varphi_{X} \colon H^{1}(\mathrm{Alb}_{X}, \mathbb{Z}_{\ell}) \to H^{1}(X, \mathbb{Z}_{\ell})\), qui est un isomorphisme. Pour \(X\) lisse de dimension \(n\), la dualité de Poincaré donne \[ 0 \to \mathrm{NS}(X)[N]^{\vee} \to H^{2n-1}(X, \mathbb{Z}/N)(n-1) \to H^{1}(\mathrm{Pic}^{0}_{X}, \mathbb{Z}/N) \to 0 , \] et à la limite sur les \(\ell^{\nu}\) \[ 0 \to \mathrm{NS}(X)\{\ell\}^{\vee} \to H^{2n-1}(X, \mathbb{Z}_{\ell})(n-1) \xrightarrow{\ \psi_{X}\ } H^{1}(\mathrm{Pic}^{0}_{X}, \mathbb{Z}_{\ell}) \to 0 , \] où \(\mathrm{NS}(X)\{\ell\}\) est la composante \(\ell\)-primaire, finie, du groupe de Néron–Severi, et la dernière flèche un homomorphisme algébrique.⁶⁰

Le second feuillet, « Relations entre \(\underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X}\), \(\underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X}\) et \(H^{1}(X)\), \(H^{2n-1}(X)\) », résume : le pro-\(\ell\)-groupe fondamental abélianisé de \(X\) se surjecte sur celui de \(\mathrm{Alb}_{X}\), avec un noyau fini ; \(H^{1}(\mathrm{Alb}_{X}) \to H^{1}(X)\) est un isomorphisme ; \(H^{2n-1}(X)(n-1) \to H^{1}(\mathrm{Pic}^{0}_{X}) = \pi_{1}(\mathrm{Alb}_{X})(-1)\) est surjectif, de noyau fini. Si l'on repère les variétés abéliennes par leur \(H^{1}\), \(\mathrm{Alb}_{X}\) correspond à \(H^{1}(X)\) et \(\mathrm{Pic}^{0}_{X}\) à \(H^{2n-1}(X)(n-1)\).⁶¹

75–88

VIII. Une axiomatique des variétés abéliennes à isogénie près (pages 75 à 88)

Une suite qu'il numérote « I », cerclé, avec des alinéas numérotés : il énumère les structures dont est munie la catégorie des variétés abéliennes et de leurs cycles, pour en faire une axiomatique ; puis il calcule, en termes de modules de Tate, l'image directe et la classe d'une sous-variété.

75–77

Les données (pages 75 et 77)

(1) La catégorie \(\mathcal{VA}\) des variétés abéliennes sur \(k\), à isogénie près ; le foncteur de dualité \(A \mapsto \hat{A}\), contravariant ; le foncteur \(A \mapsto C^{*}(A) = A^{*}_{\mathrm{alg}}(A)\) vers les anneaux gradués commutatifs, à degrés positifs, avec \(C^{0} \simeq \mathbb{Z}\) ; la dimension, additive et invariante par dualité. (2) Le degré \(C^{n}(A) \to \mathbb{Z}\), isomorphisme canonique mais non fonctoriel — une isogénie de degré \(d\) multiplie par \(d\) — et l'isomorphisme fonctoriel \(\mathbb{Z} \to C^{0}(A)\) ; l'image directe des cycles, la formule de projection, qui contient la formule de transposition. (3) L'« application fondamentale » \[ C^{1}(A) \longrightarrow \mathrm{Hom}(A, \hat{A})^{\mathrm{sym}} , \qquad C^{1}(A \times B)/\bigl(C^{1}(A) \oplus C^{1}(B)\bigr) \simeq \mathrm{Hom}(A, \hat{B}) , \] la première se factorisant par \(C^{1}(A \times A)\) ; en marge : « on pourrait définir axiomatiquement \(A^{*}\) par cette formule ».⁶²

La réalisation \(\ell\)-adique : \(V_{\ell}(A) = T_{\ell}(A) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}\), covariant, et \(H^{1}(A) = \mathrm{Hom}(V_{\ell}(A), \mathbb{Q}_{\ell})\), contravariant, sont des foncteurs additifs et fidèles, et \(H^{*}(A) = \bigwedge^{*}H^{1}(A)\). La dualité se lit \[ H^{1}(\hat{A}) \simeq \mathrm{Hom}\bigl(H^{1}(A), \mathbb{Q}_{\ell}(-1)\bigr) , \] fonctoriellement à isomorphisme près, par l'accouplement de Weil. L'application cycle \(\gamma^{2i}_{A} \colon C^{i}(A) \to H^{2i}(A)(i) = \bigwedge^{2i}H^{1}(A)(i)\) est un homomorphisme d'anneaux. Enfin (2) les isomorphismes de trace \(\eta_{A} \colon H^{2n}(A) = \bigwedge^{2n}H^{1}(A) \xrightarrow{\sim} \mathbb{Q}_{\ell}(-n)\) et \(\eta_{\hat{A}}\) se correspondent par la dualité — « vérifier s'il n'y a pas un signe ! ».⁶³

79–84

Image directe et classe d'une sous-variété (pages 79 à 84)

Soit \(u \colon A \to A'\) un homomorphisme de variétés abéliennes de dimensions \(n\) et \(n'\).⁶⁴ Si \(n = n'\), \(u^{*}\) est la multiplication par \(d = \deg u\) sur \(H^{2n}\), nulle si et seulement si \(u\) n'est pas une isogénie ; de façon équivalente, l'image directe \(u_{*} \colon H^{*}(A) \to H^{*}(A')\), définie par transposition au moyen de la dualité de Poincaré, vérifie \(u_{*}(1_{A}) = d\cdot 1_{A'}\). En général, on définit par transposition \[ u_{*} \colon H^{i}(A) \longrightarrow H^{i+2(n'-n)}(A')(n'-n) , \] qui se déduit directement de \(u^{*} \colon H^{1}(A') \to H^{1}(A)\) et des isomorphismes \(\eta_{A}\), \(\eta_{A'}\). La classe \(u_{*}(1_{A}) \in H^{2(n'-n)}(A')(n'-n)\) est celle du cycle image \(u_{*}[A] \in C^{n'-n}(A')\) : elle est nulle si \(u(A)\) est de dimension \(< n\), et, si \(u(A) = B\) est de dimension \(n\) et \(d\) le degré de \(A \to B\), elle vaut \(d\cdot\gamma(B)\).

En termes de modules de Tate : soit \(u_{1} = V_{\ell}(u) \colon V_{\ell}(A) \to V_{\ell}(A')\). Si \(u_{1}\) n'est pas injectif, on trouve \(0\) ; s'il l'est, on trouve un multivecteur de degré \(2(n'-n) = \dim\operatorname{Coker} u_{1}\), c'est-à-dire une forme alternée de degré \(2(n'-n)\) sur \(V_{\ell}(A')\), nulle sur \(u_{1}(V_{\ell}(A))\), déterminée à un scalaire près, et normalisée ainsi : si \(0 \to K \to H^{1}(A') \to H^{1}(A) \to 0\), l'isomorphisme \[ \bigwedge^{2n'}H^{1}(A') \simeq \bigwedge^{2n}H^{1}(A) \otimes \bigwedge^{2(n'-n)}K \] envoie le produit de la classe fondamentale de \(A\) par \(u_{*}(1_{A})\) sur \(d\) fois la classe fondamentale de \(A'\). La partie \(\ell\)-primaire de \(d\) est l'indice de \(u_{1}(T_{\ell}(A))\) dans son saturé.⁶⁵

Par la dualité de Poincaré, \(H^{i}(A) \simeq \bigwedge^{2n-i}V_{\ell}(A)(-n)\), et \(u_{*}\) s'identifie à \(\bigwedge^{2n-i}u_{1} \otimes \mathbb{Q}_{\ell}(-n)\). En particulier \(u_{*}(1_{A})\) est l'image par \(\bigwedge^{2n}u_{1}\) de la classe fondamentale de \(H^{0}(A) = \bigwedge^{2n}V_{\ell}(A)(-n)\) : la connaissance de \(u_{*}(1)\) détermine le sous-espace \(u_{1}(V_{\ell}(A))\) de \(V_{\ell}(A')\) quand \(u_{1}\) est injectif, comme un multivecteur décomposable détermine le sous-espace qu'il engendre.⁶⁶

86–88

Homomorphismes et groupe de Néron–Severi (pages 86 et 88)

Sous le titre « Relations entre hom. de V.A. et groupes de N.S. », il met en regard (\(n = \dim A\)) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
C^{1}(A) \arrow[r] \arrow[d] & H^{2}(A)(1) = \bigwedge^{2}H^{1}(A)(1) \arrow[d, "\text{dualité}"] & \\
\mathrm{Hom}(A, \hat{A}) \arrow[r] \arrow[dr, "\text{graphe}"'] & \mathrm{Hom}(H^{1}(\hat{A}), H^{1}(A)) \arrow[dr] & \\
 & C^{n}(A \times \hat{A}) \arrow[r] & H^{2n}(A \times \hat{A})(n)
\end{tikzcd}

où la flèche verticale de droite vient de l'accouplement \(H^{1}(A) \times H^{1}(\hat{A}) \to \mathbb{Q}_{\ell}(-1)\), et l'injection « graphe » n'est « pas additive ! ». Pour \(u \colon A \to \hat{A}\), le graphe est l'image de \(\bar{u} = (\mathrm{id}_{A}, u) \colon A \to A \times \hat{A}\), et \(\bar{u}^{*}\) agit sur \(H^{1}(A \times \hat{A}) = H^{1}(A) \oplus H^{1}(\hat{A})\) par \((\mathrm{id}, u^{*})\).⁶⁷

Un homomorphisme \(u \colon A \to B\) est connu dès qu'on connaît la classe de cohomologie de son graphe \(\Gamma \subset A \times B\) : par la page 84, elle détermine \(V_{\ell}(\Gamma) \subset V_{\ell}(A \times B)\), donc \(\Gamma\). De même, une sous-variété abélienne est connue par sa classe. L'isomorphisme \(C^{1}(A \times B)/(C^{1}(A) \oplus C^{1}(B)) \simeq \mathrm{Hom}(A, \hat{B})\) se lit en cohomologie \[ \frac{\bigwedge^{2}\bigl(H^{1}(A) \oplus H^{1}(B)\bigr)(1)}{\bigwedge^{2}H^{1}(A)(1) \oplus \bigwedge^{2}H^{1}(B)(1)} \simeq \bigl(H^{1}(A) \otimes H^{1}(B)\bigr)(1) \simeq \mathrm{Hom}\bigl(V_{\ell}(A), V_{\ell}(\hat{B})\bigr) , \] et il pose la question de prouver que certains éléments de \((H^{1}(A) \otimes H^{1}(B))(1) \subset H^{2}(A \times B)(1)\) sont algébriques.⁶⁸

90–91

IX. Le tableau des anneaux de classes de cycles (pages 90 et 91)

Le feuillet 90 porte seul le titre « Tableau des classes de cycles… » ; le feuillet 91, « Anneaux de classes de cycles sur une variété projective non singulière sur un corps \(k\) alg. clos », est une seule figure, qu'on redessine avec les notations du dossier.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  & & A_{\mathrm{num}} & \\
  & & A_{\tau} \arrow[u, "\overset{?}{\simeq}"'] \arrow[r, "\overset{?}{\simeq}"] & A_{\mathbb{Q}_{\ell}\text{-hom}} \\
  & & A_{\mathrm{alg}} \arrow[u] \arrow[r, "\overset{?}{\simeq}"] & A_{\mathbb{Z}_{\ell}\text{-hom}} \arrow[u] \\
  & & A_{\mathrm{pic}} \arrow[u] & \\
  \mathrm{Gr}_{\mathrm{top}}K \arrow[uuurr] \arrow[uurrr, dashed, "?"'] & & A_{\mathrm{alb}} \arrow[u, "\simeq ?"'] & \\
  \mathrm{Gr}_{\mathrm{alg}}K \arrow[u] & & \mathrm{CH} \arrow[u, "\simeq ?"'] \arrow[ull, "\text{surj}"'] & \\
  & \mathrm{CK} \arrow[ul, "\text{surj}"] \arrow[ur] & &
\end{tikzcd}

Un cadre y entoure la « théorie discrète » — \(A_{\mathrm{num}}\), \(A_{\tau}\), \(A_{\mathrm{alg}}\) et les deux équivalences homologiques, à coefficients \(\mathbb{Q}_{\ell}\) et \(\mathbb{Z}_{\ell}\) — ; un autre, la « théorie continue » — \(A_{\mathrm{pic}}\), \(A_{\mathrm{alb}}\) et \(\mathrm{CH}\), qu'il note \(A_{\mathrm{lin}}\). À gauche, les gradués de la \(K\)-théorie et l'anneau \(\mathrm{CK}\), reliés par des « flèches qui sont des isomorphismes mod torsion ». Des accolades demandent si \(A_{\mathrm{num}}\) et \(A_{\tau}\) sont des groupes libres de type fini, si le noyau de \(A_{\mathrm{alg}} \to A_{\tau}\) est fini, si celui de \(A_{\mathrm{pic}} \to A_{\mathrm{alg}}\) est une variété abélienne ; les flèches de la théorie continue sont « toutes surjectives » ; et une note renvoie à « d'autres équivalences … définies par Liebermann ».⁶⁹

Ce qu'on sait aujourd'hui des points d'interrogation. \(A_{\mathrm{num}}\) est bien libre de type fini. Mais les deux isomorphismes conjecturaux issus de \(A_{\tau}\), vers \(A_{\mathrm{num}}\) et vers l'équivalence homologique, sont faux en général, par l'exemple de Griffiths (voir la page 46) ; \(A_{\tau}\) n'est pas de type fini, même tensorisé par \(\mathbb{Q}\) (Clemens) ; et \(\mathrm{CH} \to A_{\mathrm{alb}}\) n'est pas un isomorphisme sur \(\mathbb{C}\), par le théorème de Mumford (voir la page 28). Reste, entre équivalence homologique et équivalence numérique à coefficients rationnels, la conjecture standard D, ouverte.⁷⁰

92–99

X. Mumford–Nakai : cycles amples et cônes (pages 92 à 99)

Le feuillet 92 porte « Mumford-Nakai / Cycles algébriques amples… » ; les pages 93 à 99 sont un brouillon rapide, dont les formules portent mieux que la prose.

93–94

Le critère (pages 93 et 94)

Théorème de Mumford–Nakai. Soit \(X\) un schéma projectif sur un corps et \(L\) un faisceau inversible sur \(X\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

• a)\(L\) est ample ;
• b)pour tout faisceau cohérent \(F\) sur \(X\) de support de dimension \(\geqslant 1\), \(\chi(F \otimes L^{\otimes n}) \to +\infty\) quand \(n \to +\infty\) ;
• b')de même avec \(F = \mathcal{O}_{Z}\), \(Z\) sous-schéma fermé intègre de dimension \(\geqslant 1\) (on peut se borner aux \(Z\) normaux) ;
• b'')pour tout sous-schéma fermé intègre \(Z\) de dimension \(1\) (resp. \(\geqslant 2\)), il existe \(n > 0\) tel que \(\chi(L^{\otimes n} \otimes \mathcal{O}_{Z}) \geqslant 2\) (resp. \(\geqslant 1\)) ;
• c), c'), c'')les mêmes, avec \(\dim H^{0}\) au lieu de \(\chi\).

En marge, le critère numérique : pour \(X\) irréductible de dimension \(d\), \(D \cdot C > 0\) pour toute courbe irréductible \(C\) et \(D^{d} > 0\), « intersection calculée dans \(GK(X)\) ! ».⁷¹

Les implications a) \(\Rightarrow\) b) et c) sont connues (théorie du polynôme de Hilbert, \(L\) très ample) ; b) \(\Rightarrow\) b') \(\Rightarrow\) b'') et c) \(\Rightarrow\) c') \(\Rightarrow\) c'') sont triviales. Le reste se fait par récurrence sur \(d = \dim X\). Pour b'') \(\Rightarrow\) c''), un Lemme 1 : si les restrictions de \(L\) aux sous-schémas intègres de dimension \(< d\) sont amples, \(H^{i}(X, L^{\otimes n}) = 0\) pour \(i \geqslant 2\) et \(n\) grand — par restriction aux diviseurs, mais « il faut supposer \(X\) projectif » ; « cf. lettre de Mumford ». Pour c'') \(\Rightarrow\) a), on se ramène à \(X\) intègre ; une section non nulle \(f\) de \(L^{\otimes n}\) a un lieu des zéros \(D\) non vide, puisque \(L\) n'est pas trivial, donc de dimension \(d - 1\), sur lequel \(L\) est ample par récurrence ; et un Lemme 2 : sous les conditions du Lemme 1, si une puissance de \(L\) a une section non nulle, \(X \dashrightarrow \mathbb{P}\,H^{0}(X, L^{\otimes n})\) est partout défini et non constant pour \(n\) grand. C'est le schéma de la démonstration de Nakai.

Deux conditions d) et d') sont barrées d'un treillis de traits : l'existence d'une section non nulle d'une puissance de \(L\), jointe à la positivité de \(L\) sur les courbes. Il demande si l'on peut y supprimer l'hypothèse de la section, et si l'on peut supprimer l'hypothèse que \(X\) est projectif.⁷²

95–95

Les cônes d'une surface (page 95)

Sur une surface projective lisse, dans l'espace de Néron–Severi réel, on a le cône effectif \(\mathrm{Eff}\) (les \(x\) tels que \(nx\) soit la classe d'une courbe effective pour un \(n > 0\)), le cône positif \(\mathrm{Pos}\) défini par \(x^{2} \geqslant 0\) et \(x \cdot a \geqslant 0\) pour une classe ample \(a\), et le cône ample \(\mathrm{Amp}\) ; avec leurs intérieurs et leurs adhérences, \[ \begin{array}{ccccc} \mathring{\mathrm{Eff}} & \subset & \mathrm{Eff} & \subset & \overline{\mathrm{Eff}} \\ \cup & & & & \cup \\ \mathring{\mathrm{Pos}} & \subset & \mathrm{Pos} & = & \overline{\mathrm{Pos}} \\ \cup & & & & \cup \\ \mathring{\mathrm{Amp}} & = & \mathrm{Amp} & \subset & \overline{\mathrm{Amp}} \end{array} \] L'inclusion encadrée \(\mathring{\mathrm{Pos}} \subset \mathrm{Eff}\) — par Riemann–Roch, un \(x\) de carré \(> 0\) a un multiple effectif — donne \(\mathrm{Pos} \subset \overline{\mathrm{Eff}}\), et, comme le cône positif est son propre dual pour la forme d'intersection (théorème de l'indice de Hodge), \(\overline{\mathrm{Eff}}^{\vee} = \mathrm{Eff}^{\vee} \subset \mathrm{Pos}\).⁷³ Par le théorème de Nakai, \(x\) est ample si et seulement si \(x \cdot C > 0\) pour toute courbe effective \(C\) et \(x^{2} > 0\). D'où \[ \boxed{\;\mathrm{Amp} = \operatorname{int}\bigl(\mathrm{Eff}^{\vee}\bigr) \subset \mathring{\mathrm{Pos}} , \qquad \overline{\mathrm{Amp}} = \mathrm{Eff}^{\vee} = \overline{\mathrm{Eff}}^{\vee} \subset \mathrm{Pos}\;} \] : le cône ample est l'intérieur du cône nef, dual du cône effectif, qui est son adhérence. C'est, en dimension \(2\), le théorème de Kleiman (1966).

Question : \(x \cdot C > 0\) pour toute courbe effective entraîne-t-il \(x\) ample ? Par Nakai, il reste à voir \(x^{2} \neq 0\) ; on peut supposer \(x\) classe d'un diviseur \(D\) avec \(D^{2} = 0\) ; alors \(\chi(nD) = \chi(\mathcal{O}_{X}) + n\chi(\mathcal{O}_{D})\), et \(h^{0}(nD) \geqslant \chi(nD)\) pour \(n\) grand, de sorte qu'on doit avoir \(\chi(\mathcal{O}_{D}) \leqslant 0\) — et la page s'arrête. La réponse est non : c'est l'exemple de Mumford cité plus haut, où \(\chi(\mathcal{O}_{D}) < 0\), et l'argument ne pouvait pas aboutir.⁷⁴

97–99

En dimension supérieure (pages 97 et 99)

Pour \(X\) lisse de dimension \(d\), soit \(\mathrm{Eff}_{i}\) le cône des classes numériques de \(i\)-cycles effectifs, \(\mathrm{Nef}^{i} = \mathrm{Eff}_{i}^{\vee}\) le cône dual dans les classes de codimension \(i\), et \(\alpha_{i} \colon A^{i} \to A_{d-i}\) l'identification de Poincaré. Il cherche à dire le critère numérique par ces cônes — \(D^{d} > 0\) et \(D \cdot C > 0\) pour les courbes effectives, contre « \(D \in \mathrm{Nef}^{1}\) et \(\alpha_{d-1}D^{d-1} \in \mathrm{Eff}_{1}\) » — et pose trois questions.⁷⁵

La première, page 99 : si \(D \cdot C \geqslant 0\) pour toute courbe effective, a-t-on \(D^{i}\cdot X_{i} \geqslant 0\) pour tout cycle effectif \(X_{i}\) de dimension \(i\), et en particulier \(D^{3} \geqslant 0\) sur une variété de dimension \(3\) ? Il obtient ce dernier point, encadré, en développant \((D' + nD)^{3}\) pour une classe \(D'\) auxiliaire. La réponse est oui en général : c'est le théorème de Kleiman (1966), un diviseur nef est limite de classes amples.

La deuxième, page 97 : a-t-on \(\alpha_{d-1}(\mathrm{Nef}^{d-1}) \subset \mathrm{Eff}_{1}\), c'est-à-dire une classe de courbe positive sur tous les diviseurs effectifs est-elle effective ? Sous la forme des cônes fermés, la réponse est oui en caractéristique nulle : le dual du cône pseudo-effectif des diviseurs est le cône des courbes mobiles (Boucksom, Demailly, Păun et Peternell, 2004).

La troisième, encadrée page 99 : a-t-on \(\mathrm{Nef}^{i} \cdot \mathrm{Nef}^{d-i} \geqslant 0\) ? C'est équivalent, à adhérence près, à \(\alpha_{i}(\mathrm{Nef}^{i}) \subset \overline{\mathrm{Eff}}_{d-i}\) et à l'énoncé symétrique, et c'est impliqué par \(\mathrm{Nef}^{i} \cdot \mathrm{Nef}^{j} \subset \mathrm{Nef}^{i+j}\). La réponse est non : Debarre, Ein, Lazarsfeld et Voisin (2011) ont exhibé, sur certaines variétés abéliennes de dimension \(4\), des classes nef de codimension \(2\) qui ne sont pas pseudo-effectives ; il existe donc deux classes nef de codimension \(2\) de produit négatif.⁷⁶

101–122

XI. Conjectures de Lefschetz pour les cycles algébriques (pages 101 à 122)

Le feuillet 101 porte « Conjectures de Lefschetz pour cycles algébriques », suivi d'une accolade qui réunit deux lignes : « Extension aux Jac. inter. » et « Conjectures locales ». Les notations que les pages 102 à 117 emploient ne sont fixées qu'à la page 116 ; on les traduit dès maintenant : ses \(\mathcal{A}^{i}\) ou \(\mathcal{A}^{i}_{r}\) sont \(\mathrm{CH}^{i}\), ses \(N^{i}\) ou \(\mathcal{A}^{i}_{a}\) sont \(A^{i}_{\mathrm{alg}}\), ses \(J^{i}\) ou \(\mathcal{A}^{i}_{r}(X)^{a}\) sont \(\mathrm{CH}^{i}(X)_{\mathrm{alg}}\) ; « \(\equiv\) » et « mod gpes finis » veulent dire : à des groupes finis près ; « exc. \(p\) », à de la \(p\)-torsion près.

101–102

Une surface (page 102)

Soit \(X\) une surface projective lisse et \(Y\) une section hyperplane lisse. Alors \(A^{1}_{\mathrm{alg}}(X) \to A^{1}_{\mathrm{alg}}(Y) = \mathbb{Z}\) est surjectif à un groupe fini près, de noyau de rang \(\rho - 1\) ; \(\mathrm{CH}^{1}(X)_{\mathrm{alg}} = \mathrm{Pic}^{0}_{X}(k) \to \mathrm{Pic}^{0}_{Y}(k)\) est injectif à de la \(p\)-torsion près ; le noyau \(K\) de \(\mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(Y)\) rencontre \(\mathrm{Pic}^{0}(X)\) en un groupe fini, donc est de type fini, et s'envoie, à un groupe fini près, injectivement dans la partie primitive de \(A^{1}_{\mathrm{alg}}(X)\). « En général », ajoute-t-il, \(K\) est fini, et il présume qu'il en est ainsi si les courbes des bons pinceaux de sections hyperplanes passant par \(Y\) sont irréductibles.⁷⁷

105–108

Les conjectures locales (pages 105 à 108)

Soit \(S = \operatorname{Spec} A\), où \(A\) est un anneau local noethérien strictement hensélien, \(f\) un élément de son idéal maximal, \(X = S - \{\text{point fermé}\}\) le spectre épointé, \(Y = X \cap V(f)\), et \(U = X - Y\) ; on suppose \(X\) et \(Y\) réguliers, et l'on note \(N\) la dimension de \(A\).⁷⁸ Il conjecture :

• (1)\(A^{i}_{\mathrm{alg}}(X) \equiv 0\) pour \(i = N/2\) ; et, pour \(i \geqslant (N+1)/2\), \(A^{i}_{\mathrm{alg}}(X) \equiv 0\) et \(\mathrm{CH}^{i}(X)_{\mathrm{alg}} \equiv 0\), c'est-à-dire \(\mathrm{CH}^{i}(X) \equiv 0\).
• (2)\(\mathrm{CH}^{i}(X)_{\mathrm{alg}} \to \mathrm{CH}^{i}(Y)_{\mathrm{alg}}\) est bijectif (exc. \(p\)) pour \(i \leqslant (N-2)/2\), injectif pour \(i \leqslant (N-1)/2\), nul pour \(i \geqslant N/2\) — et alors \(\mathrm{CH}^{i}(Y)_{\mathrm{alg}} = 0\). \(A^{i}_{\mathrm{alg}}(X) \to A^{i}_{\mathrm{alg}}(Y)\) est bijectif pour \(i \leqslant (N-3)/2\), injectif pour \(i \leqslant (N-2)/2\), nul à un groupe fini près pour \(i \geqslant (N-1)/2\). Donc \(\mathrm{CH}^{i}(X) \to \mathrm{CH}^{i}(Y)\) est bijectif pour \(i \leqslant (N-3)/2\) et injectif pour \(i \leqslant (N-2)/2\) ; les cas critiques sont \(i = (N-2)/2\), \((N-1)/2\), \(N/2\).
• (3)Conséquence de (1) et (2) : \(\mathrm{CH}^{i}(X) \to \mathrm{CH}^{i}(U)\) est toujours un isomorphisme à un groupe fini près, et un isomorphisme si \(i \leqslant (N-1)/2\) ; \(\mathrm{CH}^{i}(Y) \to \mathrm{CH}^{i+1}(X)\) est toujours nul à un groupe fini près, et nul si \(i \leqslant (N-1)/2\).
• (4)Problème : définir des formes d'intersection \(A^{i}_{\mathrm{alg}}(X) \times A^{i}_{\mathrm{alg}}(X) \to \mathbb{Z}\), et définir les homomorphismes des cas critiques au moyen des cycles évanescents.

Pour \(i = 1\), c'est le domaine des théorèmes de Lefschetz locaux pour le groupe de Picard de SGA 2, où Grothendieck avait démontré la conjecture de Samuel : une intersection complète locale de dimension \(\geqslant 4\) est factorielle.⁷⁹

\(N = 2\). (1) \(A^{1}_{\mathrm{alg}}(X)\) est fini : « c'est le théorème de Mumford–Hodge » ; (2) et (3) sont vides ; le groupe essentiel est \(\mathrm{CH}^{1}(X)_{\mathrm{alg}}\).⁸⁰

\(N = 3\). (1) \(\mathrm{CH}^{2}(X)\) est fini, en particulier \(\mathrm{CH}^{2}(X)_{\mathrm{alg}} = 0\) ; (2) \(\mathrm{CH}^{1}(X)_{\mathrm{alg}} \to \mathrm{CH}^{1}(Y)_{\mathrm{alg}}\) est injectif (exc. \(p\)). Les groupes essentiels sont \(\mathrm{CH}^{1}(X)_{\mathrm{alg}}\) et \(A^{1}_{\mathrm{alg}}(X)\), les homomorphismes essentiels leurs applications vers \(\mathrm{CH}^{1}(Y)_{\mathrm{alg}}\). Problème : définir un complémentaire naturel de \(\mathrm{CH}^{1}(X)_{\mathrm{alg}}\) dans \(\mathrm{CH}^{1}(Y)_{\mathrm{alg}}\), correspondant aux cycles évanescents, et donner un sens à la formule \(\mathrm{CH}^{1}(X)_{\mathrm{alg}} \simeq \mathrm{CH}^{1}(Y)_{\mathrm{alg}}^{\pi}\) ; interpréter le théorème de l'indice de Hodge pour les surfaces projectives comme la négativité d'une forme sur \(A^{1}_{\mathrm{alg}}(X)\).⁸¹

\(N = 4\). (1) \(A^{2}_{\mathrm{alg}}(X)\) et \(\mathrm{CH}^{3}(X)\) sont finis ; (2) \(\mathrm{CH}^{1}(X)_{\mathrm{alg}} \to \mathrm{CH}^{1}(Y)_{\mathrm{alg}}\) est bijectif et \(A^{1}_{\mathrm{alg}}(X) \to A^{1}_{\mathrm{alg}}(Y)\) injectif (exc. \(p\)), donc \(\mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(Y)\) est injectif.⁸² Les groupes essentiels sont \(\mathrm{CH}^{2}(X)_{\mathrm{alg}}\) et \(A^{1}_{\mathrm{alg}}(X)\) ; problème : un complémentaire naturel de \(A^{1}_{\mathrm{alg}}(X)\) dans \(A^{1}_{\mathrm{alg}}(Y)\), et un sens à \(A^{1}_{\mathrm{alg}}(X) \simeq A^{1}_{\mathrm{alg}}(Y)^{\pi}\).

En général, pour \(N = 2m + 1\), \(\mathrm{CH}^{i}(X) \equiv 0\) pour \(i \geqslant m + 1\) ; pour \(N = 2m\), \(A^{m}_{\mathrm{alg}}(X) \equiv 0\) — c'est-à-dire \(\mathrm{CH}^{m}(X)_{\mathrm{alg}} \equiv \mathrm{CH}^{m}(X)\) — et \(\mathrm{CH}^{i}(X) \equiv 0\) pour \(i \geqslant m + 1\).

110–112

Les conjectures globales (pages 110 à 112)

Soit \(X\) projective, lisse et connexe de dimension \(n\), \(Y\) une section hyperplane lisse, et \(E\) l'opérateur de Lefschetz, produit par la classe de \(Y\).

• (1)Restriction \(\mathrm{CH}^{i}(X) \to \mathrm{CH}^{i}(Y)\). Bijective (exc. \(p\) ?) si \(2i \leqslant n - 2\). Si \(2i = n - 1\), injective (exc. \(p\)), et bijective sur les sous-groupes des classes \(\tau\)-équivalentes à zéro ; d'où la bijectivité sur les classes algébriquement équivalentes à zéro, à la torsion de \(A^{i}_{\mathrm{alg}}\) près, et l'injectivité de \(A^{i}_{\tau}(X) \to A^{i}_{\tau}(Y)\). Si \(2i = n\), injective sur les classes \(\tau\)-équivalentes à zéro.⁸³
• (2)Image directe \(\mathrm{CH}_{i}(Y) \to \mathrm{CH}_{i}(X)\), en dimension \(i\). Bijective (exc. \(p\) ?) si \(2i \leqslant n - 3\). Si \(2i = n - 2\), surjective (exc. \(p\)), surjective sur les classes \(\tau\)-équivalentes à zéro, et bijective à équivalence algébrique près. Si \(2i = n - 1\), surjective à \(\tau\)-équivalence près.
• (3)Lefschetz fort. Pour \(2i \leqslant n\), \(E^{n-2i} \colon A^{i}_{\mathrm{alg}}(X) \to A^{n-i}_{\mathrm{alg}}(X)\) est bijectif à des groupes finis près ; pour \(2i - 1 \leqslant n\), \(E^{n-2i+1} \colon \mathrm{CH}^{i}(X)_{\tau} \to \mathrm{CH}^{n-i+1}(X)_{\tau}\) l'est aussi. Donc \(E^{p} \colon \mathrm{CH}^{i}(X) \to \mathrm{CH}^{i+p}(X)\) est injectif à des groupes finis près si \(p \leqslant n - 2i\), surjectif si \(p \geqslant n - 2i + 1\).
• (2')Soit \(U = X - Y\), affine et lisse, de sorte que \(\mathrm{CH}_{i}(U) = \mathrm{CH}_{i}(X)/\operatorname{Im}\mathrm{CH}_{i}(Y)\). Si \(2i \leqslant n - 2\), \(\mathrm{CH}_{i}(U) = 0\) (exc. \(p\) ?) ; si \(2i = n - 1\), \(A_{i,\mathrm{alg}}(U) = 0\).
• (3')Soit \(E_{X}\) le cône affine épointé sur \(X\), quasi-affine et lisse de dimension \(n + 1\). Si \(2i \geqslant n + 2\), \(\mathrm{CH}^{i}(E_{X})\) est fini et \(\mathrm{CH}^{i}(E_{X})_{\mathrm{alg}} = 0\) ; si \(2i \geqslant n + 1\), \(A^{i}_{\mathrm{alg}}(E_{X})\) est fini.

(1) et (2) sont la forme, pour les cycles, des théorèmes de Lefschetz faibles ; (3) est celle du théorème fort ; (2') et (3') en sont des reformulations, par les suites de localisation.⁸⁴ Il note ce qu'on doit alors avoir : \(A^{i}_{\mathrm{alg}}(E_{X})\) est, à des groupes finis près, la partie primitive \(\operatorname{Ker}(E^{n-2i+1} \colon A^{i}_{\mathrm{alg}}(X) \to A^{n-i+1}_{\mathrm{alg}}(X))\) pour \(2i \leqslant n\), et nul pour \(2i \geqslant n + 1\) ; \(\mathrm{CH}^{i}(E_{X})_{\mathrm{alg}}\) est la partie primitive \(\operatorname{Ker}(E^{n-2i+2} \colon \mathrm{CH}^{i}(X)_{\mathrm{alg}} \to \mathrm{CH}^{n-i+2}(X)_{\mathrm{alg}})\) de la « variété abélienne intermédiaire » pour \(2i \leqslant n + 1\), et nul pour \(2i \geqslant n + 2\).⁸⁵

113–113

Un théorème de dimension cohomologique (page 113)

Théorème 4. Soit \(A\) un anneau local noethérien complet dont les composantes irréductibles sont d'égale dimension, \(f\) un élément de son idéal maximal, et \(U = \operatorname{Spec} A_{f}\). Alors \(\operatorname{cd} U \leqslant \dim A\).

C'est l'énoncé de dimension cohomologique qui porte les conjectures locales, au sens où la majoration d'Artin porte le Lefschetz faible de la lettre. Le brouillon, traversé d'un long trait au crayon, esquisse la démonstration : on se ramène à \(A\) intègre, normal, complet, de dimension \(n\), et à prouver \(H^{i}(U, \mathbb{Z}/\ell) = 0\) pour \(i > n\) ; \(A\) est fini sur \(A_{0} = k[[t_{1}, \ldots, t_{n}]]\), avec une extension de corps des fractions qu'on peut supposer séparable ; on choisit \(\delta\) avec \(\delta f = t_{n}\), et l'on descend à l'hensélisé \(A'_{0}\) de \(k[[t_{1}, \ldots, t_{n-1}]][t_{n}]\), \(S\) s'écrivant comme produit fibré d'un revêtement fini normal au-dessus de \(\operatorname{Spec} A'_{0}\). La prose de liaison est en grande partie illisible.⁸⁶

114–115

Vérifications en dimension 2, 3 et 4 (pages 114 et 115)

Il reprend les conjectures (1), (2), (3) et (2') pour \(n = 2\), \(3\), \(4\), ligne à ligne, et marque chacune « ok » ou « ? ». Pour \(n = 2\) : la restriction \(\mathrm{CH}^{0}(X) \to \mathrm{CH}^{0}(Y)\) et l'injectivité sur \(\mathrm{CH}^{1}(X)_{\tau}\), ok ; \(\mathrm{CH}_{0}(Y) \to \mathrm{CH}_{0}(X)\) surjectif, et \(A_{0,\mathrm{alg}}(Y) \to A_{0,\mathrm{alg}}(X)\) bijectif (les deux \(\simeq \mathbb{Z}\)), ok — avec en marge : « du moins si équiv. alg. des \(0\)-cycles \(=\) équiv. d'Albanese » ; (3) ok ; (2') \(\mathrm{CH}_{0}(U) = 0\), « ok si équivalence numérique \(=\) équiv. d'Albanese ». Pour \(n = 3\) et \(n = 4\), les lignes sur les \(0\)-cycles reçoivent la même réserve ; d'autres restent marquées « ? », avec la légende « question “continue” » (les parties \(\tau\)-équivalentes à zéro des groupes de Chow en dimension moyenne) ou « question “numérique” » (\(A^{1}_{\mathrm{alg}} \to A^{2}_{\mathrm{alg}}\) par \(E\) pour \(n = 3\) ; \(A_{1,\mathrm{alg}}(Y) \to A_{1,\mathrm{alg}}(X)\) pour \(n = 4\)).⁸⁷

Ce que l'on sait aujourd'hui éclaire ces marges. Toutes les réserves portant sur les \(0\)-cycles sont l'hypothèse que l'équivalence d'Albanese des \(0\)-cycles est l'équivalence rationnelle — la question de la Remarque 1.5 de la page 28. Or (2) pour les \(0\)-cycles, (2') et (3') pour \(n = 2\), et la seconde famille de (3) pour \(n = 2\), disent tous que \(\mathrm{CH}_{0}(X)\) est, à un groupe fini près, supporté par une courbe — la section hyperplane \(Y\) —, et c'est faux sur \(\mathbb{C}\) dès que \(p_{g}(X) > 0\).⁸⁸ Et les « questions numériques » tombent sur les exemples de Griffiths et de Clemens : la quintique générale de \(\mathbb{P}^{4}\) met en défaut (3) pour \(n = 3\), \(i = 1\), c'est-à-dire la conjecture A de la lettre ; vue comme section hyperplane de \(\mathbb{P}^{4}\) plongé par \(\mathcal{O}(5)\), elle met en défaut la bijectivité de \(A_{1,\mathrm{alg}}(Y) \to A_{1,\mathrm{alg}}(X)\) de (2) pour \(n = 4\) ; et (2) pour \(2i = n - 1\) est la conjecture A', que Clemens réfute.⁸⁹ Grothendieck avait mis ses points d'interrogation exactement là.

116–117

Notations, et deux hypothèses de finitude (pages 116 et 117)

La page 116 fixe les notations : pour \(X\) projective et lisse, \(H^{*}(X)\) la cohomologie \(\ell\)-adique et \(P^{*}(X)\) sa partie primitive ; \(\mathrm{CH}^{*}(X)\), \(A^{*}_{\mathrm{alg}}(X)\) et \(\mathrm{CH}^{*}(X)_{\mathrm{alg}}\), avec la suite exacte \[ 0 \longrightarrow \mathrm{CH}^{*}(X)_{\mathrm{alg}} \longrightarrow \mathrm{CH}^{*}(X) \longrightarrow A^{*}_{\mathrm{alg}}(X) \longrightarrow 0 , \] et les parties primitives de \(A^{*}_{\mathrm{alg}}(X)\) et de \(\mathrm{CH}^{*}(X)_{\mathrm{alg}}\). « Je ne sais pas s'il y a une définition raisonnable de la “partie primitive” de \(\mathrm{CH}^{*}(X)\). »

La page 117 pose deux hypothèses. 1) Les cycles numériquement équivalents à zéro, à équivalence rationnelle près, sont décrits par un nombre fini de « familles algébriques » ; d'où l'égalité de l'équivalence numérique et de la \(\tau\)-équivalence, et la finitude du type des \(A^{i}_{\mathrm{alg}}(X)\). 2) \((x, y) - (x, b) - (a, y) + (a, b) \sim 0\). Ensemble, elles entraîneraient que les \(\mathrm{CH}^{i}(X)_{\mathrm{alg}}\) sont des variétés abéliennes, que les produits \(\mathrm{CH}^{i}(X)_{\mathrm{alg}} \times \mathrm{CH}^{j}(Y)_{\mathrm{alg}} \to \mathrm{CH}^{i+j}(X \times Y)_{\mathrm{alg}}\) ont une propriété dont le nom est illisible, et que \(\mathrm{CH}_{0}(X)_{\mathrm{alg}} \to \mathrm{Alb}_{X}(k)\) est bijectif ; et 2) équivaut à la bijectivité de \(\mathrm{CH}_{0}(X \times Y)_{\mathrm{alg}} \to \mathrm{CH}_{0}(X)_{\mathrm{alg}} \times \mathrm{CH}_{0}(Y)_{\mathrm{alg}}\). Les deux hypothèses sont fausses sur \(\mathbb{C}\) : la première par Griffiths et Clemens — un ensemble fini de familles ne donne qu'un nombre fini de classes d'équivalence algébrique —, la seconde par Mumford, comme on l'a vu à la page 29.⁹⁰

119–122

Familles limitées de cycles (pages 119 à 122)

Soit \(X\) projectif et \(M\) une partie de \(K(X)\). Conditions équivalentes : (i) il existe des familles limitées de faisceaux localement libres \((F_{i})\), \((G_{i})\) telles que \(M\) soit contenu dans l'ensemble des \(\gamma(F_{i}) - \gamma(G_{i})\) ; (ii) il existe des entiers \(n\), \(N\) et un ensemble fini \(P\) de polynômes tels que tout \(\xi \in M\) soit de la forme \(\gamma(F) - \gamma(G)\), avec \(F\), \(G\) quotients localement libres de \(\mathcal{O}(-n)^{N}\) de polynômes de Hilbert dans \(P\) ; (iii) il existe des faisceaux localement libres fixes \(A\), \(B\) tels que les \(\xi + \gamma(A)\) soient représentés par des quotients localement libres de \(B\). (iii) \(\Rightarrow\) (ii) est trivial ; (ii) \(\Leftrightarrow\) (i) est la caractérisation des familles limitées ; pour (ii) \(\Rightarrow\) (iii), si \(G = \mathcal{O}(-n)^{N}/R\), alors \(\xi + \gamma(\mathcal{O}(-n)^{N}) = \gamma(F \oplus R)\), et la page s'interrompt sur la limitation des \(F \oplus R\).⁹¹

Page 120 : \(X\) de plus lisse, et \(M'\) une partie de \(Z^{i}(X)\), les cycles étant pris à « \(K\)-équivalence » près. Conditions : (i) \(M'\) est limitée, définie par une famille limitée de cycles ; (ii) \(M'\) est numériquement limitée — un nombre fini de classes numériques — et il existe \(Z_{0}\) tel que les \(Z_{0} + Z\), \(Z \in M'\), soient positifs ; (iii) il existe une partie limitée \(M\) de \(K(X)\) telle que tout \(Z \in M'\) vérifie \((i-1)!\,Z = c^{i}(\xi)\) pour un \(\xi \in M\) ; (iv) il existe une partie limitée de \(K^{(i)}(X)\) dont \(M'\) soit contenu dans l'image ; (v) \(M'\) est numériquement limitée. La page 122, au dos d'un feuillet dactylographié étranger, conclut : \[ (\mathrm{ii}) \Longrightarrow (\mathrm{i}) \Longleftrightarrow (\mathrm{iv}) \Longrightarrow (\mathrm{iii}) \Longrightarrow (\mathrm{v}) , \] la première implication par la construction des familles limitées de faisceaux, l'équivalence par la définition de la \(K\)-équivalence des cycles, la troisième par « R.R. ».⁹² La réciproque (v) \(\Rightarrow\) (i) est fausse en général : une famille limitée n'a qu'un nombre fini de classes d'équivalence algébrique, et sur la quintique générale les cycles numériquement équivalents à zéro en ont une infinité (Griffiths). C'est l'hypothèse 1) de la page 117, sous un autre jour.

125–127

XII. Une chaîne d'énoncés sur les cycles algébriquement équivalents à zéro (pages 125 à 127)

La page 125 aligne des énoncés reliés par des doubles flèches, et la page 127 en est le brouillon. Pour des variétés projectives lisses \(X\), \(Y\) et des points \(a, x \in X\), \(b, y \in Y\) :

• 1°)le produit \(\mathrm{CH}^{i}(X)_{\mathrm{alg}} \times \mathrm{CH}^{j}(X)_{\mathrm{alg}} \to \mathrm{CH}^{i+j}(X)_{\mathrm{alg}}\) est nul ; 1° bis) de même pour le produit extérieur vers \(X \times Y\) ;
• 2°)le produit extérieur \(\mathrm{CH}_{0}(X)_{\mathrm{alg}} \times \mathrm{CH}_{0}(Y)_{\mathrm{alg}} \to \mathrm{CH}_{0}(X \times Y)\) est nul ; 2° bis) de même avec \(X = Y\) ;
• 3°)\((x, y) - (x, b) - (a, y) + (a, b) \sim 0\) ; 3° bis) de même avec \(X = Y\) ;
• 4°)pour une variété abélienne \(A\) et \(x, y \in A\), \((x + y) - (x) - (y) + (0) \sim 0\), c'est-à-dire que \(x \mapsto (x) - (0)\) est un homomorphisme \(A(k) \to \mathrm{CH}_{0}(A)_{\mathrm{alg}}\) — « mais surjectif ! » ; 4° bis) \(\mathrm{CH}_{0}(A)_{\mathrm{alg}} \to A(k)\) est un isomorphisme ;
• 5°)pour tout \(X\), \(\mathrm{CH}_{0}(X)_{\mathrm{alg}} \to \mathrm{Alb}_{X}(k)\), qui est surjectif, est un isomorphisme ;
• 6°)\(\mathrm{CH}_{0}(X \times Y)_{\mathrm{alg}} \to \mathrm{CH}_{0}(X)_{\mathrm{alg}} \times \mathrm{CH}_{0}(Y)_{\mathrm{alg}}\), qui est surjectif, est bijectif ; 6° bis) de même avec \(X = Y\).

Sur la page, 1° \(\Leftrightarrow\) 1° bis \(\Rightarrow\) 2°, et les énoncés de 2° à 5° sont reliés par des équivalences, 6° n'étant rattaché à rien. Le brouillon donne un schéma plus prudent : \([2, 2\,\mathrm{bis}, 3, 3\,\mathrm{bis}] \Leftrightarrow [4, 4\,\mathrm{bis}] \Rightarrow [5]\), et \(5 \Rightarrow [6, 6\,\mathrm{bis}] \Rightarrow [2, \ldots]\), une flèche « th. de Weil » et une réciproque marquée « ? » étant barrées.⁹³

Les implications qu'on vérifie directement sont celles-ci : 2° équivaut à 3°, les \(0\)-cycles algébriquement équivalents à zéro étant engendrés par les \((x) - (a)\) ; 3° bis entraîne 4°, par image directe le long de l'addition \(A \times A \to A\) ; 4° entraîne 4° bis, puisque la composée \(A(k) \to \mathrm{CH}_{0}(A)_{\mathrm{alg}} \to A(k)\) est l'identité et que la première flèche est surjective ; et 3° équivaut à 6°, par la réduction de la page 29. Tous ces énoncés sont faux sur \(\mathbb{C}\) : 3°, 6°, et donc 2°, 1° bis et 1°, pour le produit de deux courbes de genre \(\geqslant 1\) ; 4°, 4° bis et 5° pour une surface abélienne, dont le genre géométrique vaut \(1\). C'est le théorème de Mumford (1969).⁹⁴

130–131

XIII. Le membre générique d'un système linéaire (pages 130 et 131)

Soit \(C \subset X\) un sous-schéma lisse de codimension \(j + 1\), lieu de base d'un système linéaire de dimension \(j\) de diviseurs, \(f \colon X' \to X\) l'éclaté de \(X\) le long de \(C\), et \(X' \to S\) le morphisme vers l'espace projectif \(S\) du système, une variété rationnelle. Le diviseur exceptionnel est \(P(N) \simeq C \times S\) ; la fibre \(Y(y)\) au-dessus du point générique \(y\) de \(S\) est le membre générique du système, et \(C_{y} \simeq C\) y est de codimension \(j\) :

\begin{tikzcd}[column sep=large]
 & C \times S & \\
C \arrow[d, hook, "\operatorname{codim} j+1"'] & P(N) \arrow[l] \arrow[u, no head, "\simeq" description] \arrow[d, hook, "\alpha"] & C_{y} \arrow[l, hook'] \arrow[d, hook, "\alpha_{y}"] \\
X & X' \arrow[l, "f"] \arrow[d] & Y(y) \arrow[l, hook', "i'_{y}"] \arrow[d] \arrow[ll, bend left=35, "i_{y}"] \\
 & S & y \arrow[l]
\end{tikzcd}

Toute classe de \(Y(y)\) se relève en une classe \(y'\) sur \(X'\), et \(f^{*}f_{*}y' = y' + \alpha_{*}(u)\) par la formule de l'éclatement. Restreignant à la fibre générique, avec \(x = f_{*}(y')\) : \[ i_{y}^{*}(x) = i'^{*}_{y}(y') + \alpha_{y*}(u_{y}) , \] et, \(S\) étant rationnelle, \(u_{y}\) provient de \(\mathrm{CH}(C)\). D'où \[ \boxed{\;\mathrm{CH}(Y(y)) = \operatorname{Im}\mathrm{CH}(X) + \operatorname{Im}\mathrm{CH}(C)\;} , \qquad \mathrm{CH}^{i}(Y(y)) = \operatorname{Im}\mathrm{CH}^{i}(X) + \operatorname{Im}\mathrm{CH}^{i-j}(C) , \] les groupes de Chow du membre générique étant pris sur le corps \(k(S)\) : ils sont engendrés par les restrictions de \(X\) et les images directes du lieu de base.⁹⁵

La page 131, au dos d'une feuille à en-tête de l'IHÉS, porte quelques notes au crayon : la cuspide \(x^{2} = y^{3}\) et sa normalisation \(k[t]\), engendrée par \(t^{2}\) et \(t^{3}\), le nœud \(k[x, y]/(xy)\), et des croquis de points sur des segments et de deux droites qui se croisent.