Cote n° 138, pages 81–100

Cote n° 138 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Cartes. Etude arithmétique (1976, 77 ?) : bon de commande (s.d.), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1976-1978]
Édition de démonstration

Action de Galois sur les systèmes $\Sigma(X/I/\xi/k)$

81La page commence au milieu d'une phrase : l'argument vient d'avant le lot. des $\Phi_{i} \in \mathrm{Homext}(T, \pi)$ canoniques, $i \in I$. Le système \[ \Sigma(X/I/\xi/k) = (T, I, \pi, (\Phi_{i})) \] la notation $\Sigma(X/I/\xi/k)$ est ajoutée au-dessus d'une première écriture biffée et illisible, $\struck{\Sigma(\ill{})}$ ; le troisième argument est lu $\xi$ ici, $x$ n'est pas exclu. satisfait aux conditions envisagées. […] Au lieu […] de prendre $x$, il suffisait de prendre un $\xi$, foncteur fibre sur la catégorie des rev[êtements] étales de $X \setminus I$ ($\pi$ étant le groupe des automorphismes de $\xi$ …).

Alors $\Sigma$ dépend fonctoriellement de $(X/I/\xi/k)$. Prenant $X/I$, $k$ fixes, $\xi$ variable, on voit que $\Sigma$ est déterminé « mod automorphismes intérieurs » i.e. […] définit un torseur sous ⌜à droite⌝ non pas sous $\widetilde{A}_{\nu}$ mais sous son quotient $(\widetilde{A}_{\nu}/\pi_{\nu} =)\ \widetilde{\Gamma}_{\nu}$, ⌜soit $P(X/I/k)$⌝ ([…] dernier torseur dont le commutant est le groupe des « automorphismes ext. » de $(T, I, \pi$ $\Sigma(X/I/\xi/k)$ …

Supposons que $X/I/k$ provienne par extension de la base ⌜$k_{0} \to k$⌝ […] $S_{0}$ d'une situation

82$X_{0}/S_{0}$ d'une situation $X_{0}/I_{0}/k_{0}$, $k_{0}$ où $k_{0}$ est un sous-corps. [OPS dans la pratique $k$ est la clôture alg. de $k_{0}$ …]. Alors $\Gamma = \mathrm{Gal}(\overline{k}/k_{0})$ opère sur $\Sigma^{\mathrm{ext}}$ par transport de structure, donc aussi une […] opération associée sur $P(X/I/k)$, ⌜i.e. on a⌝ donc un homom. \[ \Gamma \longrightarrow {}^{P(X/I/k)}\widetilde{\Gamma}_{\nu} \simeq \mathrm{Aut}(\Sigma^{\mathrm{ext}}) \] qui par changement inverse ⌜d'extension⌝ donne naissance à l'extension \[ 1 \to \pi_{1}(X \setminus I, x) \to \pi_{1}(X_{0} \setminus I_{0}, x_{0}) \to \pi_{1}(k_{0}, \overline{k}) \to 1 \] \[ \dots\qquad \Gamma \xrightarrow{\ \chi\ } \mathrm{Aut}(T) \simeq \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \] est l'homom. de Kummer-Tate …

II

Plus précisément supposons $k_{0} = \mathbb{Q}$, $X_{0} = \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Q}}$, $\overline{\mathbb{Q}}$ clôture alg. de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{C}$, \[ I = \mu_{\nu+1}(\overline{\mathbb{Q}}) = \mu_{\nu+1}(\mathbb{C}^{*}) \subset \overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{E}^{1}_{\overline{\mathbb{Q}}}(\overline{\mathbb{Q}}) \subset \mathbb{P}^{1}_{\overline{\mathbb{Q}}}(\overline{\mathbb{Q}}) \] $\mathbb{E}^{1}$ : lecture du symbole incertaine ; il désigne manifestement la droite affine. On trouve un isomorphisme canonique, via l'exponentielle et les lacets, \[ \struck{I \simeq [0,1]},\qquad \Sigma(X/I/k)^{\mathrm{ext}} \simeq L_{\nu}^{\mathrm{ext}} \] donc \[ P(X, I/k) = \text{torseur trivial} \]

83d'où \[ \Gamma = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \longrightarrow \widetilde{\mathcal{T}}_{\nu} \] L'homom. correspondant \[ \Gamma \to \mathfrak{S}_{\nu+1} \] se factorise via \[ \Gamma \to \mu_{\nu+1}(\mathbb{C}^{*}) \simeq \mathbb{Z}/\nu{+}1 \xrightarrow{\ \mathrm{can}\ } \mathfrak{S}_{\nu+1}\ \dots \]

L'intérêt de prendre $I$ comme dessus est d'avoir une opération ⌜$\mathbb{Z}/2$⌝ de $\mu_{\mathbb{Q}}$ transitive sur la situation $n = \nu + 1$ \[ (X_{0}/I_{0}/\mathbb{Q})\quad \text{donc de } \overset{\mathbb{Z}/2}{\dots}\ \mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}})\ (= D_{n}) \] sur $X/I/\mathbb{Q}$ – en fait, le produit semi-direct $(\Gamma \times \struck{\ill{}}\ \mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}})) \rtimes \overline{\mathbb{Q}}^{*}$ opère sur $X/I/\overline{\mathbb{Q}}$ donc j'aurais dû \[ (\Gamma \times \mathbb{Z}/2) \cdot \mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}}) \longrightarrow \widetilde{\mathcal{T}}_{\nu} \] la ligne précédente, telle qu'écrite, place $\overline{\mathbb{Q}}^{*}$ en indice sous $\mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}})$ ; la lecture comme produit semi-direct est incertaine. où l'homom. \[ \mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}}) \longrightarrow \widetilde{\mathcal{T}}_{\nu} \]

84se déduit de l'homom. évident \[ \mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}}) \xrightarrow{\ \rho_{\nu}\ } \widetilde{A}_{\nu} \] provenant de la permutation circulaire des gén. de $\widehat{L}_{\nu}$ – l'opération de $\mathbb{Z}/2$ dans $\widetilde{\mathcal{T}}_{\nu}$ provenant de même de l'opération \[ \mathbb{Z}/2 \longrightarrow \widetilde{A}_{\nu} \] vérifier ? par \[ (\lambda_{0}, \lambda_{1}, \dots, \lambda_{\nu}) \xrightarrow{\ t_{\nu}\ } \bigl(\lambda_{0},\ g_{\nu}\lambda_{\nu}g_{\nu}^{-1},\ g_{\nu-1}\lambda_{\nu-1}g_{\nu-1}^{-1}, \dots,\ g_{2}\lambda_{2}g_{2}^{-1},\ \lambda_{1}\bigr) \] au-dessous, une première écriture de l'image, biffée, en partie illisible : $\struck{(\ill{}, \lambda_{\nu}, \lambda_{\nu-1}, \dots)}$. où $g_{i} = \lambda_{0} \cdots \lambda_{i-1}$, qui renverse l'ordre circulaire.

Cela nous dit donc que l'homom. \[ \Gamma \xrightarrow{\ i_{\nu}\ } \widetilde{\mathcal{T}}_{\nu} \overset{\varepsilon_{\nu}}{\dashrightarrow} \mathfrak{S}_{n} \supset (\mathbb{Z}/n)^{*} \] sous $(\mathbb{Z}/n)^{*}$, une addition biffée, lue $\struck{\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/n)}$. satisfait, en plus de \[ \varepsilon_{\nu}\, i_{\nu} = \chi_{n} \bmod n \] encadré sur la page. la relation \[ \begin{cases} i_{\nu}(\Gamma) \text{ commute à } t_{\nu}\\[2pt] i_{\nu}(\gamma)\, \rho_{\nu}(i)\, i_{\nu}(\gamma)^{-1} = \rho_{\nu}(\chi_{n}(\gamma)\, i) \end{cases} \]

85Soit $\mathcal{T}_{\nu}^{!}$ le ss-groupe de $\widetilde{\mathcal{T}}_{\nu}$ formé des éléments qui satisfont aux relations précédentes. Donc on a \[ 1 \to \mathcal{T}_{\nu}^{!\,0} \to \mathcal{T}_{\nu}^{!} \to \widehat{\mathbb{Z}}^{\times} \to 1 \] avec \[ \mathcal{T}_{\nu}^{!\,0} \subset \mathcal{T}_{\nu}^{0},\qquad \mathcal{T}_{\nu}^{!\,0} = \Bigl\{\gamma \in \mathcal{T}_{\nu}^{0} \Bigm| \gamma \text{ commute aux } \rho_{\nu}(i) \text{ et à } t_{\nu}\Bigr\} \]

Si $\nu = 2$ il y a un autre choix intéressant de $I_{0} \subset \mathbb{P}^{1}(\overline{\mathbb{Q}})$, savoir $I = \{0, 1, \infty\}$ (plutôt que $I = \mu_{3}(\overline{\mathbb{Q}})$) qui donne lieu à action de $\mathfrak{S}_{3}$ sur $(X_{0}/I_{0}/k)$ – on trouve action de $\Gamma \times \mathfrak{S}_{3}$ sur $\Gamma_{2}^{\mathrm{ext}}$, i.e. \[ \Gamma \times \mathfrak{S}_{3} \longrightarrow \widetilde{\mathcal{T}}_{2} \] sur la page, $\mathfrak{S}_{3}$ porte un accent au-dessus dans « $\Gamma \times \mathfrak{S}_{3}$ », et $\Gamma_{2}^{\mathrm{ext}}$ est écrit sur une première lettre surchargée ; lecture de ces deux points incertaine.

86En fait on a ici, exceptionnellement \[ \widetilde{\mathcal{T}}_{2} \simeq \mathfrak{S}_{3} \cdot \mathcal{T}_{2} \] (produit semi-direct pour action de $\mathfrak{S}_{3}$ sur $\mathcal{T}_{2}$) \[ \Gamma \longrightarrow \struck{\ill{}}\ \widetilde{\mathcal{T}}_{2} \xrightarrow{\ \varepsilon\ } \mathfrak{S}_{3}\quad \text{trivial} \] i.e. $\Gamma \to \struck{\ill{}}\ \widetilde{\mathcal{T}}_{2}$, d'où \[ \boxed{\ \Gamma \longrightarrow \mathcal{T}_{2}^{\mathfrak{S}_{3}}\ } \]

On aurait envie de définir un iso can. $\mathcal{T}_{2}^{!} \simeq \mathcal{T}_{2}^{\mathfrak{S}_{3}}$ ? et des iso can. \[ \mathcal{T}_{2}^{!} \simeq \mathcal{T}_{\nu}^{!} \]

Pour essayer une généralisation d' la page s'arrête sur cette phrase inachevée ; la page suivante (87) est blanche.

Groupes profinis qui […]

88titre souligné sur la page ; lecture incertaine au-delà de « Groupes profinis ». \[ \begin{cases} \pi \ \text{groupe profini}\\ T\ \ \widehat{\mathbb{Z}}\text{-module libre de rang } 1 \ \struck{\text{de } \widehat{\mathbb{Z}}\ (\text{isomorphisme non précisé})}\\ \Phi_{i} \in \mathrm{Homext}(L, \pi)\ \struck{\ill{}} \qquad 0 \le i \le \nu \qquad (\nu \ge 2) \end{cases} \] la deuxième ligne commence par $T$ (surchargé) ; la troisième écrit $L$ là où l'on attend $T$ : transcrit tel quel.

Hyp$_{\nu}$ : \[ \begin{cases} \exists\, e \in T^{*} \text{ base de } T\\ (\varphi_{i})_{0 \le i \le \nu} \in \prod_{0 \le i \le \nu} \Phi_{i} \end{cases} \] tels que, posant $l_{i} = \varphi_{i}(e)$, l'homom. de \[ \widehat{L}_{\nu} \struck{\ill{}} \longrightarrow \pi,\qquad \lambda_{i} \longmapsto l_{i} \] sous $\widehat{L}_{\nu}$ une glose partiellement biffée : groupe profini … engendré par $\lambda_{0}, \dots, \lambda_{\nu}$ avec $\lambda_{0} \cdots \lambda_{\nu} = 1$. soit un isomorphisme.

En d'autres termes soit \[ \pi_{0} = \widehat{L}_{\nu} = \struck{\text{groupe profini}}\ (\lambda_{0}, \dots, \lambda_{\nu} \mid \lambda_{0}\lambda_{1}\cdots\lambda_{\nu} = 1)^{\wedge} \] \[ T_{0} = \widehat{\mathbb{Z}},\quad e_{0} = 1 \] \[ \Phi_{0i} \text{ classe de } \widehat{\mathbb{Z}} \longrightarrow \pi_{\nu}, \qquad e_{0} \longmapsto \lambda_{i} \] on veut que $(\pi, T, (\Phi_{i}))$ soit isom. à $(\pi_{0}, T_{0}, (\Phi_{0i}))$. \[ A_{\nu} = \mathrm{Aut}(\widehat{L}_{\nu}, T_{0}, (\Phi_{0i})) \xrightarrow{\ \chi_{\nu}\ } \widehat{\mathbb{Z}}^{*} = \mathrm{Aut}(T_{0}) \] on prouve que c'est surjectif. \[ \widehat{L}_{\nu} \xrightarrow{\ i\ } \mathrm{Ker}\,\chi_{\nu} \subset A_{\nu} \quad\text{injectif},\qquad g \longmapsto (\mathrm{int}(g), \mathrm{id}_{T_{0}}) \] $u\, i(g)\, u^{-1} = i(u(g))$ i.e. $\widehat{L}_{\nu}$ invariant dans $A_{\nu}$. \[ A_{\nu}/\widehat{L}_{\nu} = \Gamma_{\nu} \] on veut élucider sa structure.

89Considérons \[ L_{\nu} = \{\lambda_{0}, \dots, \lambda_{\nu} \mid \lambda_{0}\lambda_{1}\cdots\lambda_{\nu} = 1\} \quad \text{groupe discret} \] \[ \Psi_{i} \in \mathrm{Homext}(\mathbb{Z}, L_{\nu})\ \text{classe de}\ \psi_{i} : \mathbb{Z} \to L_{\nu},\quad \psi_{i}(1) = \lambda_{i} \] (donc $\Phi_{i} = \widehat{\Psi}_{i}$) […]

Considérons \[ B_{\nu} = \mathrm{Aut}(L_{\nu}, \mathbb{Z}, (\Psi_{i})) \] On a \[ B_{\nu} \xrightarrow{\ \chi_{\nu}^{0}\ } \mathbb{Z}^{*} = \{\pm 1\} \quad\text{surjectif} \] \[ L_{\nu} \hookrightarrow \mathrm{Ker}(\chi_{\nu}^{0}),\qquad g \longmapsto (\mathrm{int}(g), \mathrm{id}_{\mathbb{Z}}) \] Soit \[ \mathcal{T}_{\nu} = B_{\nu}/L_{\nu} \] (groupe de Teichmüller (discret) associé pour la sphère à $\nu + 1$ trous) \[ 1 \to \mathcal{T}_{\nu}^{0} \to \mathcal{T}_{\nu} \to \mathbb{Z}/2 \to 1 \] On sait que $\mathcal{T}_{2}^{0} = 1$, $\mathcal{T}_{\nu}^{0}$ = groupe des tresses sphériques colorées à $(\nu+1)$ brins, groupe non trivial si $\nu \ge 3$ $[\simeq \pi_{1}(\widetilde{D}_{\nu+1})\ ?]$.

On a

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  \widehat{L}_{\nu} \arrow[r, hook] \arrow[d] & \widehat{B}_{\nu} \arrow[r, "\widehat{\chi}_{\nu}^{0}"] \arrow[d] & (\mathbb{Z}^{*})^{\wedge} = \pm 1 \arrow[d] \\
  \widehat{L}_{\nu} \arrow[r] & A_{\nu} \arrow[r, "\chi_{\nu}"] & \mathbb{Z}^{*}
\end{tikzcd}

la flèche verticale de gauche est tracée double ; les deux autres sont des flèches d'inclusion. La dernière entrée de la ligne du bas est écrite $\mathbb{Z}^{*}$ (et non $\widehat{\mathbb{Z}}^{*}$) : transcrit tel quel. \[ \widehat{B}_{\nu}/\widehat{L}_{\nu} = \widehat{\mathcal{T}}_{\nu} \subset A_{\nu}/\widehat{L}_{\nu} = \Gamma_{\nu} \]

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  1 \arrow[r] & \widehat{\mathcal{T}}_{\nu}^{0} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{can}"] & \widehat{\mathcal{T}}_{\nu} \arrow[r] \arrow[d] & \mathbb{Z}/2 \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\
  1 \arrow[r] & \Gamma_{\nu}^{0} \arrow[r] & \Gamma_{\nu} \arrow[r] & \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

Questions : $\widehat{\mathcal{T}}_{\nu}$ invariant dans $\Gamma_{\nu}$ ? $\widehat{\mathcal{T}}_{\nu}^{0}$ dist. dans $\Gamma_{\nu}^{0}$ ? Quand a-t-on […] $\widehat{\mathcal{T}}_{\nu}^{0} = \Gamma_{\nu}^{0}$ (c'est faux pour $\nu = 2$).

90Variante. Donnons-nous […] \[ \varepsilon = (\varepsilon_{0}, \varepsilon_{1}, \dots, \varepsilon_{\nu}) \in (\overline{\mathbb{N}^{*}})^{\nu+1} \] sous $\overline{\mathbb{N}^{*}}$ une flèche renvoie à $[1, \infty]$. Soit \[ L_{\nu}^{\varepsilon} = \bigl\{\lambda_{0}, \dots, \lambda_{\nu} \bigm| \lambda_{0}\lambda_{1}\cdots\lambda_{\nu} = \lambda_{0}^{\varepsilon_{0}} = \lambda_{1}^{\varepsilon_{1}} = \dots = \lambda_{\nu}^{\varepsilon_{\nu}} = 1\bigr\} \] la page s'arrête là ; la page 91 est blanche.

Le $\Gamma$-torseur $\mathcal{C}$

Pages 92–95 : autre encre (brune), autre feuillet.

92\[ \left\{ \begin{array}{l} \Gamma \text{ groupe},\ \mathcal{C}\ \Gamma\text{-torseur à droite}\\ \pi,\ \Gamma\text{-groupe}\quad \struck{\ill{}}\\ T_{i}\ (i \in I)\ (\pi, \Gamma)\text{-tors.}\\ \pi_{i}\ \text{commutant}\\ I_{i} \hookrightarrow \pi_{i}\ \text{sous-}\Gamma\text{-groupe} \end{array} \right. \qquad\Bigg|\qquad \begin{array}{l} \widetilde{\pi}\ \text{groupe}\\ \widetilde{T}_{i}\ (i \in I)\ \widetilde{\pi}\text{-torseur}\\ \widetilde{\pi}_{i}\ \text{son commutant}\\ \widetilde{I}_{i} \subset \widetilde{\pi}_{i} \end{array} \] \[ \mathcal{C} \xrightarrow{\ \rho\ } \mathrm{Isom}(\pi, \widetilde{\pi}) \qquad \Gamma\text{-homomorphisme} \] deux lignes barrées d'un zigzag au crayon : $\struck{\ill{}\ \rho(\varphi) : \pi \to \widetilde{\pi}}$ et $\struck{\ill{}\ T_{i} \wedge_{\pi} (\widetilde{\pi}, \varphi)}$. \[ \pi \xrightarrow{\ \rho(\varphi)\ } \widetilde{\pi} \quad\text{donc}\quad \widetilde{\pi} \simeq \mathcal{C} \wedge_{\Gamma} \pi, \qquad T_{i} \xrightarrow{\ \rho_{i}(\varphi)\ } \widetilde{T}_{i} \] \[ \begin{cases} \widetilde{\pi} = \mathcal{C} \wedge_{\Gamma} \pi\\ (\widetilde{\pi}_{i}, \widetilde{T}_{i}, \widetilde{\pi}) = \mathcal{C} \wedge_{\Gamma} (\pi_{i}, T_{i}, \pi)\\ \struck{\ill{}}\ \widetilde{I}_{i} \subset \widetilde{\pi}_{i} \qquad \widetilde{I}_{i} = \mathcal{C} \wedge_{\Gamma} I_{i} \end{cases} \] à la fin de la troisième ligne : « donc $I_{i} = \dots$ », suivi d'une formule surchargée et illisible, […]. \[ \widetilde{I}_{i} \simeq \widehat{\mathbb{Z}} \quad\text{d'où}\quad \chi_{i} : \Gamma \to \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \simeq \mathrm{Aut}(I_{i}) \] indépendant de $i$

93\[ \Gamma\ (= \mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{Q}}))\ \text{groupe},\quad \mathcal{C}\ \Gamma\text{-tors.\ à droite} \quad (= \mathrm{Isom}(\overline{\mathbb{Q}}, \ill{})) \] \[ \pi\ \bigl(= \pi_{1}(\mathbb{P}^{1}_{\overline{\mathbb{Q}}} - I_{\overline{\mathbb{Q}}})\bigr) \ \Gamma\text{-groupe}\quad (I \subset \mathbb{P}^{1}(\mathbb{Q})\ \text{fini}) \] \[ \forall i \in I\quad T_{i}\ \text{un}\ (\pi, \Gamma)\text{-torseur à droite} \quad (= \mathrm{Isom}(F_{\overline{\xi}}, F_{\overline{\xi}_{i}})) \] \[ \forall\ r_{i} : \mathcal{C} \to T_{i}\ \text{satisfaisant}\quad r_{i}(\varphi\gamma) = \gamma^{-1} \cdot r_{i}(\varphi) \qquad \Big/\ r_{\cdot} : \mathcal{C} \to \textstyle\prod T_{i} \] \[ \pi_{i} = \mathrm{Aut}_{\pi}(T_{i})\ \ \text{commutant de } \pi \text{ dans } T_{i} \ \ \text{ou}\ \ T_{i} \wedge_{\pi} (\pi\ \mathrm{int}) \] \[ I_{i} = T_{\cdot}(\overline{\mathbb{Q}}) = \varprojlim_{n} \mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}}) \hookrightarrow \pi_{i} \] homom. de $\Gamma$-groupes avec $I_{i} \simeq \widehat{\mathbb{Z}}$ (pro-cyclique).

\[ \mathcal{C}_{2}(\pi\text{-ens}) \xrightarrow{\ f\ } (\mathrm{ens}) \quad\text{\uncertain{ou} \ill{} de $\pi$} \] \[ \begin{array}{l} \downarrow\ \overline{F}_{i}(E) = T_{i} \wedge_{\pi} E\\ \pi_{i}\text{-}(\mathrm{Ens})\\ \downarrow\ E_{i} \longmapsto E_{i}/I_{i} = \widehat{E}_{i}\\ \mathrm{Ens} \end{array} \] Une flèche courbe marquée $f_{i}$ va directement de $\mathcal{C}_{2}(\pi\text{-ens})$ à $\mathrm{Ens}$ le long de la colonne ; un trait fermé entoure le diagramme. \[ \mathcal{C} \longrightarrow \mathrm{Isom}(\pi, \widetilde{\pi}). \]

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  \pi_{i} \arrow[r] & \pi \\
  I_{i} \arrow[u] \arrow[ur, "\alpha_{i}(\varphi)"'] &
\end{tikzcd}

$I_{i} = I$

\[ \alpha(\varphi\gamma)(\lambda) = \gamma_{\pi}^{-1}\,\alpha(\varphi)\bigl(\gamma_{I}(\lambda)\bigr), \qquad \gamma_{I}(\lambda) = \lambda^{\gamma} \] \[ \gamma_{\pi}^{-1}\,\alpha_{i}(\varphi_{0})(\lambda_{i}) = l_{i} \] \[ l_{1}, \dots, l_{n}\qquad \bigl(\gamma_{\pi}^{-1}(l_{1}^{\gamma}), \dots, \gamma_{\pi}^{-1}(l_{n}^{\gamma})\bigr) \] \[ l_{1} l_{2} \cdots l_{n} = 1 \] \[ \gamma_{\pi}^{-1}(l_{1}) \] la page est coupée ici par un trait horizontal. \[ \mathcal{C} \xrightarrow{\ \rho_{i}\ } \mathrm{Isom}(\widehat{\mathbb{Z}}, I_{i}) \qquad \rho_{i}(\varphi)(1) = \lambda_{i}(\varphi) \] \[ \pi \xrightarrow[\text{indépendant de } i]{\ \chi\ } \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \qquad \lambda_{i}(\varphi\gamma) = \chi(\gamma)\,\lambda_{i}(\varphi) \] \[ \rho_{i}(\varphi\gamma)(n) = \rho_{i}(\varphi)\bigl(\struck{n^{\chi(\gamma)}}\ \chi(\gamma) \cdot n\bigr) = \chi(\gamma)\,\rho_{i}(\varphi)(n) \] \[ \lambda_{i}(\varphi) \in I_{i} \xrightarrow{\ \widetilde{r}_{i}(\varphi)\ } \pi \] la flèche du haut du premier diagramme est lue de $\pi_{i}$ vers $\pi$ ; à la fin de la dernière formule du bas, le $\rho_{i}(\varphi)(n)$ final est surchargé.

95\[ (\varphi \in \mathcal{C}) \longmapsto \pi \overset{\alpha_{i}(\varphi)}{\rightleftarrows} \pi_{i} \qquad \text{d'où}\quad I_{i} \hookrightarrow \pi_{i} \] sous la double flèche une accolade : « bien compatible […] avec $\Gamma$ ». \[ \alpha_{i}(\varphi\gamma) = \gamma_{\pi}^{-1}\,\alpha_{i}(\varphi)\,\gamma_{\pi_{i}} \] \[ \mathcal{C} \xrightarrow{\ \beta\ } \mathrm{Isom}(\pi, \widetilde{\pi}) \qquad \beta(\varphi\gamma) = \beta(\varphi) \circ \gamma_{\pi} \]

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  \pi \arrow[r, "\beta(\varphi)"] & \widetilde{\pi} \\
  I_{i} \arrow[u, "\alpha_{i}(\varphi)"] \arrow[ur, "\alpha'_{i}(\varphi)"'] &
\end{tikzcd}

\[ \begin{aligned} \alpha'_{i}(\varphi\gamma) &= \beta(\varphi\gamma)\,\alpha_{i}(\varphi\gamma) = \beta(\varphi)\,\gamma_{\pi}\,\gamma_{\pi}^{-1}\,\alpha_{i}(\varphi)\,\gamma_{\pi_{i}}\\ &= \beta(\varphi)\,\alpha_{i}(\varphi)\,\gamma_{\pi_{i}} = \alpha'_{i}(\varphi)\,\gamma_{\pi_{i}} \end{aligned} \] donc \[ \widetilde{I}_{i} = \alpha'_{i}(\varphi)(I_{i})\quad \text{indépendant de } i \] \[ \struck{\mathrm{Isom}(I_{i}, \widetilde{I}_{i}) =}\qquad \widetilde{I}_{i} = \mathcal{C} \wedge_{\pi} I_{i} \] \[ \text{Si}\quad \struck{\pi' = \pi/\ill{} \dots\ \ill{}}\quad \pi' = \pi/U_{i},\quad U_{i} = \text{sous-groupe de } \pi \text{ opérant trivialement sur } I_{i} \] « (indépendant de $i$) » est ajouté sous cette ligne. \[ \widetilde{I}_{i} = \mathcal{C} \wedge_{\pi} I_{i} \] \[ I_{i} \simeq T_{\cdot}(\overline{\mathbb{Q}})\qquad \pi' \simeq \mathrm{Aut}(I_{i}) \simeq \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \] \[ \mathcal{C} \simeq \varprojlim \mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}})^{*} \] l'indice « $\wedge_{\pi}$ » des lignes $\widetilde{I}_{i} = \mathcal{C} \wedge_{\pi} I_{i}$ est écrit $\pi$ sur la page (et non $\Gamma$ comme en p. 92) : transcrit tel quel.

Précartes et cartes toutes épinglées par précartes …

Titre repris des trois lignes de sa main, seules sur le feuillet page 96 ; « épinglées » lu d'après « épi-glées » abrégé.

97Cartes ⌜totalement⌝ épinglées etc.

I)

Appelons pré-carte un système $(S, A, F\,;\ p, q, r)$ où $S, A, F$ sont des ensembles, $p, q, r$ des applications \[ \struck{\ill{}\ S, A,}\qquad S \xrightarrow{\ p\ } \mathbb{N}^{*}\qquad A \xrightarrow{\ q\ } \mathbb{N}^{*}\qquad F \xrightarrow{\ r\ } \mathbb{N}^{*} \] et $q$ ne prenant que les valeurs 1 et 2.

Ils forment une catégorie pour ⌜simplement⌝ iso ⌜$\varphi$⌝ de $(S, A, F\,;\ p, q, r) \to{}$ $(S', A', F',$ $p', q', r')$ ([…] … […]) … À toute carte combinatoire $(\mathcal{C}, \dots)$ […] applications pré-cartes la ligne est entourée d'une accolade qui l'associe à la ligne précédente ; lecture de l'ensemble incertaine. \[ \struck{\varphi_{S} : S' \to S} \] \[ \varphi_{s} : S' \to S,\qquad \varphi_{a} : A' \to A,\qquad \varphi_{f} : F' \to F \] satisfaisant \[ \left\{ \begin{array}{l} p(s') = \nu(\varphi, s)\, p(s)\quad \struck{p(\varphi_{s}(s'))\ |\ p(\ill{})}\\ q(a') = \nu(\varphi, a)\, q(a)\quad \struck{q(\varphi_{a}(a'))\ |\ q(\ill{})}\\ r(f') = \nu(\varphi, f)\, r(f)\quad \struck{r(\varphi_{f}(f'))\ |\ r(\ill{})} \end{array} \right. \qquad \begin{array}{l} \forall s' \in S',\ s = \varphi_{s}(s')\\ \forall a' \in A',\ a = \varphi_{a}(a')\\ \forall f' \in F',\ f = \varphi_{f}(f') \end{array} \] il a d'abord écrit des conditions de divisibilité, barrées, puis les égalités au-dessus des lignes barrées. où $\nu(\varphi, s) = \mathrm{Card}(\varphi_{s}^{-1}(s))$, $\nu(\varphi, a) = \dots$, $\nu(\varphi, f) = \dots$

On a un foncteur évident de la catégorie des cartes comb. ⌜(Cat Comb)⌝ connexes finies ⌜cartes ordinaires⌝ dans celle des précartes, ⌜(Précart)⌝, \[ \mathcal{C} \longmapsto \mathrm{Fac}(\mathcal{C}) \] Appelons épinglage d' ⌜C'est […]⌝ […] le foncteur est conservatif ⌜($\mathrm{Fac}(u)$ iso $\Rightarrow u$ iso)⌝ D'où variété un foncteur fidèle sur les iso Soit \[ \mathcal{C}_{0} = (S, A, F, p, q, r)\ \text{une précarte} \] ⌜(connexe)⌝. On appelle carte co-épinglée ⌜par $\mathcal{C}_{0}$⌝ la donnée d'une carte $\mathcal{C}$ et d'un iso. \[ \struck{\mathrm{Fac}(\mathcal{C}) \to \mathcal{C}}\qquad \mathcal{C}_{0} \xrightarrow[\sim]{\ u\ } \mathrm{Fac}(\mathcal{C}) \] C'est […] Les morphismes sont les morphismes de cartes compatibles avec l'épinglage $u$, (ce sont) bien des isom. de cartes, et il a

98trouve que la catégorie des cartes ⌜orientées⌝ co-épinglées est rigide – donc équivalente à une catégorie discrète. D Dans le cas où $\mathcal{C}_{0}$ est fini, cette catégorie est elle-même finie. Elle est vide sauf si \[ \sum_{s} p(s) = \sum_{a} q(a) = \sum_{f} r(f)\ \ (= \delta), \] et si cette condition est vérifiée, alors […] la ⌜cardinalité⌝ […] commune des […] trois – donc le ⌜cardinal de l'⌝ nombre des classes d'isomorphie de co-cartes est égal à celui des classes d'iso. de $\mathfrak{S}_{2}^{0}$-ens de type « admissible » de ordre $\delta$, ayant les […] […] invariants de ramification que $\mathcal{C}_{0}$, multiplié par le cardinal du groupe des automorphismes de $\mathcal{C}_{0}$, qui est égal à \[ \prod_{n \in \mathbb{N}^{*}} \bigl(a_{n}!\, b_{n}!\, c_{n}!\bigr) \] où $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ sont les nb. de sommets (arêtes, faces) de degré $n$. la parenthèse « (arêtes, faces) » est écrite telle ; il faut entendre que $a_{n}$, $b_{n}$, $c_{n}$ comptent respectivement sommets, arêtes, faces.

// Définir ici $\mathcal{C}_{\mathcal{C}_{0}}$ et $\mathcal{C}_{\mathcal{C}_{0}}^{\alpha}$, et l'opération de $\Gamma \ni \gamma = \mathrm{Aut}(\mathcal{C}_{0})$ dessus. – NB $\mathcal{C}_{\mathcal{C}_{0}}^{\alpha}/\gamma$ est l'ens. des classes d'iso. de cartes du type $(\mathcal{C}_{0}, \alpha)$ … « $\Gamma \ni \gamma$ » : lecture incertaine ; on lit peut-être $\Gamma_{\mathcal{C}_{0}}$.

II)

⌜Supposons $\mathcal{C}_{0}$ fini. Soit un schéma de base $T$,⌝

(Appelons (revêtement spécial co-épinglé de $\mathbb{P}^{1}_{T}$, un rev. fini de $\mathbb{P}^{1}_{T}$, étale sur $U_{T} = \mathbb{P}^{1}_{T} - \{0, 1, \infty\}$, avec […] isomorphisme ⌜ramification⌝ modérée fibre par fibre, et ⌜des isomorphismes⌝ des […]. ce paragraphe est barré de deux longues diagonales ; au-dessus de « spécial » est ajouté $X \xrightarrow{f} \mathbb{P}^{1}_{T}$. \[ \struck{f^{-1}(0_{T})_{\ill{}} \simeq} \] \[ f^{-1}(0_{T})_{\mathrm{réd}} \simeq \struck{\ill{}}\ S_{T\,\mathrm{réd}} \] \[ f^{-1}(1_{T})_{\mathrm{réd}} \simeq A_{T\,\mathrm{réd}} \] \[ f^{-1}(\infty_{T})_{\mathrm{réd}} \simeq F_{T\,\mathrm{réd}} \] après chaque $T$ un mot biffé, illisible, précède « réd ». […] fibre par fibre sont […] « compatibles avec les degrés de ramification » […] ⌜(partout, […])⌝ fibre par fibre, […] ou partie […] On voit que cette catégorie est rigide. Pour $\mathcal{C}_{0}$ fixé, soit vérifier […] $F_{\mathcal{C}_{0}}(S)$ l'ens. des classes d'iso. de cette catégorie. On voit que pour $S$ variable, on a un foncteur contravariant en $S$, qui est représentable. On trouve que le schéma $M_{\mathcal{C}_{0}}$ qui le représente est quasi-fini, et étale et séparé sur $\mathbb{Z}$ ; il est de plus fini au-dessus de $\mathbb{Z}[\frac{1}{\delta!}]$ – i.e. aux voisinages des $p > \delta$ ($\delta$ = complexité de $\mathcal{C}_{0}$).

100On s'intéresse surtout au schéma $(M_{\mathcal{C}_{0}})_{\mathbb{Q}}$ – qui est donc fini étale sur $\mathbb{Q}$, non ramifié en les $p > \delta$. […] ce schéma […]

Sur le schéma $M_{\mathcal{C}_{0}}$, le groupe $\gamma_{\mathcal{C}_{0}} = \mathrm{Aut}(\mathcal{C}_{0})$ opère de façon évidente – il opère sur $F_{\mathcal{C}_{0}}$. Le stabilisateur d'une section de $M_{\mathcal{C}_{0}}$ sur un $T$, (i.e. d'une classe d'iso. de) $X \xrightarrow{f} \mathbb{P}^{1}_{S}$ … […] […] co-[…] épinglage, (si $S$ est connexe), correspond aux automorphismes du […] rev. $X \xrightarrow{f} \mathbb{P}^{1}_{S}$ indépendamment de l'épinglage. P. ex. si $\varphi$ est galoisien, il est can. iso. au groupe de Galois de $f$.

Prenons Un classe d'iso. $\alpha$ de cartes (co-épinglées) finis ⌜soit⌝ orientés (du type $\mathcal{C}_{0}$), $F_{\mathcal{C}_{0}}^{\alpha}$ le sous-foncteur ⌜co-épinglé⌝ […] $F_{\mathcal{C}_{0}}$ qui correspond aux $X \xrightarrow{f} \mathbb{P}^{1}_{T}$ tels que les ⌜ad⌝ fibres géom., le groupe de Galois des la page s'arrête au milieu de la phrase : l'argument se poursuit au-delà du lot.

Action de Galois sur les systèmes \(\Sigma(X/I/\xi/k)\)

II

Groupes profinis qui […]

Le \(\Gamma\)-torseur \(\mathcal{C}\)

Précartes et cartes toutes épinglées par précartes …

I)

II)