Fonds Grothendieck, cote n° 138, pages 61–80

la page s'ouvre sur la fin d'un calcul commencé avant le lot : C, a, C_0 et les \pi_x n'y sont pas définis. On trouve \operatorname{Aut}^{\circ}(C, a) \simeq \prod_{x \in C_0 \smallsetminus \{a\}} \pi_x avant \pi_x, un symbole biffé, illisible.

un petit croquis : deux traits horizontaux coupés par quatre traits verticaux.

~~Soit K des graphes~~

Soit I un ensemble muni d'une structure polygonale d'ordre n \geqslant 2 ~~i.e.~~ [pour n = 2, il faut se donner l'un des de cardinal 2 orientés \Delta^{*}, ~~2, et~~ ce qui revient au même, \Omega(\Pi) \simeq I \wedge I^{*} … ]), D (\simeq D_n) le groupe des automorphismes de I.

Soit K = K(I) le graphe défini par

sommets : \Omega(\Pi) = C_0 = \{o, o'\} arêtes : I (indexation (\ell_i)_{i \in I})

~~est incidente~~

Incidence : C_0 \times I (tt arête incidente à tt sommet).

le graphe K(I) : un cercle, le sommet o en haut, o' en bas ; entre eux plusieurs arêtes parallèles marquées \ell_0, \ell_1, \ell_2.

G opère sur K(I), et on a aussi qui est l'identité sur I, et échange o, o', commutant à G. Soit C(I) le groupe fondamental de K(I). G y opère par automorphismes, en opérant transitivement sur C_0 = \{o, o'\}. On va regarder le ~~commutant~~ normalisateur de G dans

G dans \operatorname{Aut}(C(I)). On a un élément canonique \tau la page s'arrête là ; le reste du feuillet est vide.

feuillet de papier teinté, sans texte : une figure et des formules. une double pyramide : sommet E^{+} en haut, E^{-} en bas ; à l'équateur le triangle D_{20}, D_{01}, D_{12} (ce dernier en arrière). Les arêtes sont les applications p^{\pm}_{20}, p^{\pm}_{01}, p^{\pm}_{12} de E^{\pm} vers les D_{ij}. Sur les faces sont placés S_0, S_1, S_2, atteints par des flèches \pi^{\pm}_0, \pi^{\pm}_1, \pi^{\pm}_2 issues de E^{\pm}, et par des flèches q_{02}\colon D_{20} \to S_0, q_{01}\colon D_{01} \to S_0, q_{20}, q_{10}, q_{12}, q_{21} issues des sommets de l'équateur.

\begin{cases} \rho_0^{+} = (p_{01}^{+})^{-1}\, p_{01}^{-}\, (p_{20}^{-})^{-1}\, p_{20}^{+} \\ \rho_1^{+} = (p_{12}^{+})^{-1}\, p_{12}^{-}\, (p_{01}^{-})^{-1}\, p_{01}^{+} \\ \rho_2^{+} = (p_{20}^{+})^{-1}\, p_{20}^{-}\, (p_{12}^{-})^{-1}\, p_{12}^{+} \end{cases} \rho_2^{+} \rho_1^{+} \rho_0^{+} = \mathrm{id}_{E^{+}} dans la première ligne, les indices du premier facteur sont surchargés ; on les rétablit sur le modèle des deux lignes suivantes. \begin{aligned} S_0 &\simeq E^{+}/\rho_0^{+} \simeq E^{-}/\rho_0^{-} \\ S_1 &\simeq E^{+}/\rho_1^{+} \simeq E^{-}/\rho_1^{-} \\ S_2 &\simeq E^{+}/\rho_2^{+} \simeq E^{-}/\rho_2^{-} \end{aligned} \begin{cases} \rho_0^{-} = (p_{01}^{-})^{-1}\, p_{01}^{+}\, (p_{20}^{+})^{-1}\, p_{20}^{-} \\ \rho_1^{-} = (p_{12}^{-})^{-1}\, p_{12}^{+}\, (p_{01}^{+})^{-1}\, p_{01}^{-} \\ \rho_2^{-} = (p_{20}^{-})^{-1}\, p_{20}^{+}\, (p_{12}^{+})^{-1}\, p_{12}^{-} \end{cases}

Sous-groupes finis de GP(1) (cas tame)

titre de sa main sur un feuillet par ailleurs blanc (p. 64), qui porte aussi, à gauche, un « S. » isolé.

en général ~~d_{ij} =~~ d_i = N/\nu_i 2 - 2g' = N(2 - 2g) - \underbrace{(N\nu - \nu')}_{\sum_{i,j} (d_{ij} - 1)} \phantom{2 - 2g'} = N(2 - 2g) - \sum_i \underbrace{\nu_i (N/\nu_i - 1)}_{N - \nu_i \,=\, N(1 - \frac{\nu_i}{N})} deux mots biffés sous le membre de gauche, illisibles. \boxed{\,2 - 2g' = N \Bigl[ (2 - 2g) - \sum_i \Bigl(1 - \frac{1}{d_i}\Bigr) \Bigr]\,} Si g' = 0, on trouve g = 0 et \boxed{\,\frac{2}{N} = 2 - \sum_i \Bigl(1 - \frac{1}{d_i}\Bigr) > 0\,} d'où \sum_i \Bigl(1 - \frac{1}{d_i}\Bigr) < 2 .

Obs. Tous les d_i \geqslant 2 car I contient l'ens. de ramification.

1) \operatorname{Card} I = 0 : \frac{2}{N} = 2, N = 1 : ~~pour~~ G = 1.

2) \operatorname{Card} I = 1 : \frac{2}{N} = 2 - \Bigl(1 - \frac{1}{d}\Bigr) = 1 + \frac{1}{d}, \qquad 2 = N + \frac{N}{d} = N + \nu N \geqslant 1,\ \nu \geqslant 1 \quad\text{donc}\quad N = 1,\ \nu = 1,\ I = \varnothing impossible.

3) \operatorname{Card} I = 2 : \frac{2}{N} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2}, \qquad 2 = \frac{N}{d_1} + \frac{N}{d_2} = \nu_1 + \nu_2, \qquad \nu_1, \nu_2 \geqslant 1, \quad \nu_1 = \nu_2 = 1 d_1 = d_2 = N, N quelconque.

4) \operatorname{Card} I = 3 : ~~\frac{2}{N} = \ldots~~ \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} + \frac{1}{d_3} > 1 \qquad \Bigl( \frac{2}{N} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} - 1 \Bigr) Obs. ~~d_1 \geqslant d_2 \geqslant d_3~~

a) r = 2 : \frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2} i.e., posant p = \alpha + 2, q = \beta + 2 (\alpha \geqslant \beta \geqslant 0), 2p + 2q - pq > 0 \underbrace{2(\alpha + 2) + 2(\beta + 2) - (\alpha + 2)(\beta + 2)}_{4 - \alpha\beta} > 0 \alpha\beta < 4 : \beta = 0, \alpha quelc. ; \beta = 1, \alpha = 1, 2, 3 ; ~~\beta = 2~~ \begin{cases} (2, 2, p) & p \geqslant 2 \text{ quelc.} \qquad N = 2p \\ (2, 3, 3) & N = 12 \\ (2, 3, 4) & N = 24 \\ (2, 3, 5) & N = 60 \end{cases}

b) r \geqslant 3 : \frac{1}{p} + \frac{1}{q} > 1 - \frac{1}{r} \geqslant \frac{2}{3} impossible car \frac{1}{p}, \frac{1}{q} \leqslant \frac{1}{3}.

5) \operatorname{Card} I \geqslant 4. Faisons d'abord \operatorname{Card} I = 4 \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} > 2 \qquad p \geqslant q \geqslant r \geqslant s devant p \geqslant q un signe biffé ; après r une surcharge. ~~\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} > 2 - \frac{1}{s} = 1 + \bigl(1 - \frac{1}{s}\bigr)~~ ~~\geqslant 1 + \bigl(1 - \frac{1}{p}\bigr) > 1~~ ligne biffée d'un trait ; une première formule, biffée, précède aussi \frac{1}{p} dans la ligne du dessus.

toute la page est barrée de grands traits obliques ; elle se lit néanmoins en grande partie. Elle poursuit le cas \operatorname{Card} I \geqslant 4 de la p. 65. (p, q, r) dans cet ordre, parmi les syst. admissibles :

a) p, 2, 2 : \frac{1}{p} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > 1 + \bigl(1 - \frac{1}{s}\bigr) i.e. \frac{1}{p} + \frac{1}{s} > 1 impossible car \frac{1}{p}, \frac{1}{s} \leqslant \frac{1}{2}.

b) (p, 3, 2) (p = 3, 4, 5 ; s \geqslant p) ~~\frac{1}{p} + \frac{1}{s} + \frac{1}{2} \ldots~~ \frac{1}{s} + \frac{1}{p} + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}_{5/6} > 2 \qquad \frac{1}{s} + \frac{1}{p} > \frac{7}{6} impossible car \frac{1}{s}, \frac{1}{p} \leqslant \frac{1}{3}. \frac{1}{p} + \frac{1}{q} > 2 - \underbrace{\Bigl(\frac{1}{r} + \frac{1}{s}\Bigr)}_{\leqslant 1} \geqslant 1 \quad\text{donc}\quad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \geqslant 1 le premier p se lit aussi bien r ; sous l'accolade : « car \frac{1}{r} \leqslant \frac{1}{2}, \frac{1}{s} \leqslant \frac{1}{2} ». impossible car \frac{1}{p}, \frac{1}{q} \leqslant \frac{1}{2}.

Impossible !

Cas où \operatorname{Card} I \geqslant 4, … \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} + \frac{1}{d_3} + \frac{1}{d_4} > 2 + \sum_{i \geqslant 5} \Bigl(1 - \frac{1}{d_i}\Bigr) après \frac{1}{d_4}, un terme biffé ; la borne supérieure de la somme est illisible. et on voit de même que c'est impossible ! v. 2

Étude du cas (N, N) : En caractéristique 0, ou si , on trouve G \simeq \mu_N(k) \simeq \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \ldots ~~Plus~~ , il p premier à N (cas de car. p, séparable), si p \mid N, on trouve une p-extension (d'un N'-cyclique) (N = p^{r} N', (p, N') = 1). C'est donc une extension ~~est~~ résoluble, mais mieux : les ~~p-extensions~~ H/ sous-groupes de GP(1, k) abéliens et contenus dans conjugués entre eux, et isomorphes à (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{r}. ~~abéliens unipotents~~ sous-groupes unipotents de dim 1, on trouve donc G \subset \text{Borel}, et par suite G produit semi-direct d'un groupe cyclique premier à p , par un (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{r}. En fait ( dans G premier à p premier : ), on . En tout cas extension résoluble (d'ordre premier à p) par un (\mathbb{Z}/p^{r}\mathbb{Z}) marge gauche, cinq lignes accolées au passage précédent ; l'exposant final est douteux.

Étude du cas (N, 2, 2), |G| = 2N. En car. \neq 2, l'extension de ramification 2 est à ramification modérée, et faisons une extension kummérienne de degré 2, on trouve un X'/Y' qui n'a plus que 2 pts de ramification , donc X'/Y' est justiciable de l'étude précédente ( X' de genre 0 ).

\begin{tikzcd} X \arrow[d] & X' \arrow[l] \arrow[d] \\ Y & Y' \arrow[l] \end{tikzcd}

Paradigme « gruppentheoretisch » des surfaces compactes à opérateurs

titre de sa main sur un feuillet par ailleurs blanc (p. 69) ; « gruppentheoretisch » est écrit au-dessus d'un mot biffé, peut-être « topologique ».

Paradigme des courbes algébriques

I Point de vue topologique.

On considère des surfaces topologiques (sans bord) orientables paracompactes X – on se donne aussi un ensemble \omega de cardinal 2, et on pose T = \mathbb{Z} \wedge_{\mathbb{Z}/2} \omega , et on suppose donnée pour X une \omega-orientation, i.e. une \mathbb{Z}/2-application dans l'ens. des orientations de X, ou ce qui revient au même, un isomorphisme du faisceau des entiers tordus sur X avec le faisceau constant T_X. On suppose que les composantes connexes X_i de X ~~sont~~ est homéomorphes à un \hat{X}_i \smallsetminus S_i, où \hat{X}_i est une surface compacte, et S_i une partie finie de \hat{X}_i. On sait que (\hat{X}_i, S_i) est déterminé à isom. unique près par X_i (comme le décompactifié de Čech

de X_i rajoutant son point à l'infini…). Ainsi \hat{X}_i est automatiquement \omega-orienté, donc aussi \hat{X} = \coprod \hat{X}_i . De cette façon, la catégorie envisagée (des surfaces topologiques « spéciales » munies d'une \omega-orientation ~~\omega-orientation~~) devient équivalente à \omega-orientées celle des surfaces topologiques à comp. conn. compactes munies d'une partie S discrète, les isom. de couples (\hat{X}, S).

De même, la catégorie des couples ~~(X, )~~ (X, o, J) où (X, o) comme dessus (o la \omega-orientation) et J partie discrète de X, est équivalente à celle des systèmes (\hat{X}, o, S, J), où (\hat{X}, o) est une surface \omega-orientée à comp. conn. compactes,

et S, J sont deux parties discrètes disjointes de \hat{X}.

On va passer aux catégories isotopiques correspondantes, et en donner des interprétations en termes de théorie des groupes. Bien entendu, pour cette description, on est ramené au cas connexe. On peut ~~aussi~~ noter tt de suite que pour ce pb, on est ramené au cas où J = \varnothing [en ~~remplaçant~~ donnant dans le cas général comme autre donnée celle d'un (\hat{X}, I) plus la donnée d'une partie J de I]. Mais on gardera le pb sous sa forme générale, en gardant également la dissymétrie dans le rôle de S, J – mais

on devra expliciter dans le paradigme le passage d'une description à l'autre.

~~La description~~ S \neq \varnothing,

1) Cas J = \varnothing. On va supposer, pour notre description, qu'on n'est pas dans le cas g = 0, \nu = 0, 1 (g = genre de \hat{X}, \nu = \operatorname{card} S). On associe à (\hat{X}, \hat{o}, S) (\simeq (X, o)) le groupe fondamental \Pi = \pi_1(X), considéré comme groupe extérieur, mais muni de sa T-structure : les lacets indexés par S, i.e. une ~~famille~~ application S \longrightarrow \operatorname{Homext}(T, \Pi) \quad (4^{\circ}) « 4° » est cerclé au-dessus de la flèche ; une première écriture de la flèche, biffée, est dessous. Ceci permet (s \in S) de définir \Pi_{\wedge} (\simeq \pi_1(\hat{X})) comme quotient de \Pi par le sous-groupe invariant engendré par les images des T \to \Pi … si \nu = 0 i.e. S = \varnothing . Ceci donne une -isotopique, et -isotopique, sauf si g = 0, \nu = 2 et g = 1, \nu = 0, où la composante ~~neutre~~ plus haut T \to [\ (\Pi_{\mathrm{ab}})^{2}\ ] T identifiant \Pi_{\wedge} … la marge gauche est écrite en travers, en plusieurs couches ; on n'en donne que les fragments sûrs.

du groupe des autom. de (X, o) n'est pas contractile (mais un K(\mathbb{Z}, 1) resp. un K(\mathbb{Z}^{2}, 1)…).

2°) J \neq \varnothing. On a une description plus jolie (tous exception faite du cas g = 0, \nu = 0, 1) par le groupoïde fondamental de X en J, mais avec T-structure : lacets sur le groupe extérieur \Pi associé – et si \nu = 0, à la place de cette structure, il faut se donner T \hookrightarrow \Bigl( \bigwedge\nolimits^{2} \Pi_{\wedge\,\mathrm{ab}} \Bigr)^{\vee} comme dans 1°…. Ceci on trouve une description \infty-isotopique, même dans le cas g = 0, \nu = 2, ou g = 1, \nu = 0. exception

Quelques problèmes spéciaux

mots de sa main, en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (p. 75).

deux diagrammes en éventail. À gauche : R au sommet, quatre flèches p\colon R \to S, q'\colon R \to A, q''\colon R \to A, r\colon R \to F. À droite, le même avec R^{\circ} = R, p^{\circ} = p, q'^{\circ}, q''^{\circ} et q^{\circ} = q \circ \sigma_2 ; sous A, « q' \circ \sigma_2 » ; les indications sur les flèches du milieu sont surchargées.

en dessous à gauche, un croquis de triangles accolés portant les sommets s, s', s'', s_1, \bar{s} et les faces f, f', f'', f_1, \bar{f}, \bar{f}_1, a, b ; une flèche courbe renvoie au texte. E = (R, q') \times_A (R, q'') = \bigl\{ \bigl((s, f), (\bar{s}, \bar{f})\bigr) \bigm| q'(s, f) = q''(\bar{s}, \bar{f}) \bigr\} au-dessus des deux couples, une accolade : « repère (s, a, \bar{f}) ».

\begin{tikzcd} & E \arrow[dl, "\pi_{01}"'] \arrow[d, "\pi_{02}"] \arrow[dr, "\pi_{12}"] & \\ R & R & R \end{tikzcd}

\begin{aligned} \pi_{01}^{+}(s, f, \bar{s}, \bar{f}) &= (s, f) \\ \pi_{12}^{+}(s, f, \bar{s}, \bar{f}) &= (\bar{s}, \bar{f}) \\ \pi_{02}^{+}(s, f, \bar{s}, \bar{f}) &= (s, \bar{f}) \end{aligned} \begin{aligned} p(s, f) &= s &\qquad \sigma_0(s, f) &= (s', f') \\ r(s, f) &= f & \sigma_2(s, f) &= (s'', f'') \\ q'(s, f) &= a & & \\ q''(s, f) &= b & \sigma_0 \sigma_2(s, f) &= \sigma_2 \sigma_0(s, f) = (s'', f'') \end{aligned} dans la dernière égalité, les primes des arguments sont incertains. E^{+} = \bigl\{ (s, f, \bar{s}, \bar{f}) \in E \bigm| (s, a, \bar{f}) \ \text{direct} \bigr\} a = q'(s, f) = q''(\bar{s}, \bar{f}) \begin{cases} \sigma_0(s, f, \bar{s}, \bar{f}) = (s, f_1, \bar{s}, \bar{f}) \\ \sigma_1(s, f, \bar{s}, \bar{f}) = (s, f_1, \bar{s}', \bar{f}) \\ \sigma_2(s, f, \bar{s}, \bar{f}) = (s, f, \bar{s}_1, f_1) \end{cases} ces trois lignes sont surchargées ; les indices f_1, \bar{s}', \bar{s}_1 sont des lectures douteuses.

\begin{tikzcd} & E^{+} \arrow[dl, "\pi_{01}^{+}"'] \arrow[d, "\pi_{02}^{+}"] \arrow[dr, "\pi_{12}^{+}"] & \\ R & R & R \\ & E^{-} \arrow[ul, "\pi_{01}^{-}"] \arrow[u, "\pi_{02}^{-}"'] \arrow[ur, "\pi_{12}^{-}"'] & \end{tikzcd}

à droite de ce diagramme, E^{+} et E^{-} sont écrits une seconde fois, sans flèches.

page de figures au crayon, sans texte suivi. la double pyramide de la p. 63, redessinée : E^{+} en haut (avec, à côté, « \rho_0 = » laissé en suspens), E^{-} en bas, l'équateur D_{20}, D_{01}, D_{12}, les points S_0, S_1, S_2 et les flèches \pi_0^{\pm}, \pi_1^{\pm}, \pi_2^{\pm}. à droite, un pavage par des pentagones ; dans l'un d'eux, un petit triangle subdivisé aux sommets s_0, s_1, s_2, milieux d_{01}, d_{12}, d_{20} et centre e^{+} ; une flèche courbe y renvoie. en bas, une sphère avec un parallèle, puis un cercle coupant une droite graduée -1, 0, \frac{1}{2}, 1, 2, les arcs passant par un point marqué j au-dessus et \bar{j} au-dessous de l'axe (signes douteux) ; à gauche, \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Q}} \xleftarrow{\ \varphi\ } \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Q}}.

Groupe profini spécial

C'est un système \Sigma = \bigl(T, \Pi, I, (\Phi_i)_{i \in I} \in (\operatorname{Homext}(T, \Pi))^{I}\bigr) avec \Sigma \begin{cases} T \text{ groupe profini} \simeq \hat{\mathbb{Z}} \\ \Pi \text{ groupe profini} \\ I \text{ ensemble fini} \\ \Phi_i \in \operatorname{Homext}(T, \Pi) \quad \text{pour } i \in I \end{cases} avec l'axiome que ce système est isomorphe à l'un des systèmes \Sigma_\nu (\nu \in \mathbb{N}, \nu \geqslant 1) suivants : \Sigma_\nu \begin{cases} T = \hat{\mathbb{Z}} \\ \Pi = \text{groupe profini } \Pi_\nu = \widehat{L_\nu}, \text{ où } L_\nu = \{\lambda_0, \ldots, \lambda_\nu \mid \lambda_0 \lambda_1 \cdots \lambda_\nu = 1\} \\ \qquad \text{(donc $\Pi$ profini libre : $\nu$ générateurs)} \\ I = [0, \nu]_{\mathbb{N}} \\ \Phi_i = \text{classe de l'hom. } \hat{\mathbb{Z}} \xrightarrow{\varphi_i} \Pi \text{ tel que } \varphi_i(1) = \lambda_i \end{cases} la relation de L_\nu est coupée par le bord de la feuille ; « = 1 » est suppléé par le sens.

N.B. I peut être interprété comme une partie de \operatorname{Homext}(T, \Pi). Si \Sigma \simeq \Sigma_\nu, \nu est uniquement déterminé comme \operatorname{card} I - 1, ou aussi comme rang profini de \Pi_{\mathrm{ab}}. Pour \nu fixé, la catégorie des \Sigma correspondants est équivalente à la catégorie des torseurs sous \widetilde{A}_\nu = \operatorname{Aut}(\Sigma_\nu) . On a des homomorphismes \widetilde{A}_\nu \longrightarrow \mathfrak{S}_{\nu+1} \quad (= \operatorname{Aut}(I_\nu)), \qquad \widetilde{A}_\nu \xrightarrow{\ \chi\ } \operatorname{Aut} \hat{\mathbb{Z}} \simeq \hat{\mathbb{Z}}^{*} sous \mathfrak{S}, un indice surchargé ; on lit \nu + 1 comme à la page suivante.

donnant naissance : \widetilde{A}_\nu \longrightarrow \mathfrak{S}_{\nu+1} \times \hat{\mathbb{Z}}^{*} qui est surjectif. Le noyau de \widetilde{A}_\nu \to \mathfrak{S}_{\nu+1} se note A_\nu, celui de \widetilde{A}_\nu \to \mathfrak{S}_{\nu+1} \times \hat{\mathbb{Z}}^{*} se note A_\nu^{\circ}. J'affirme un homomorphisme injectif \Pi \longrightarrow A_\nu^{\circ} \subset A_\nu via automorphismes intérieurs. Le conoyau de \Pi \to A_\nu^{\circ} (\Pi \to A_\nu, ~~\Pi \to \widetilde{A}_\nu~~) \bigl(\Gamma_\nu, \widetilde{\Gamma}_\nu\bigr) se note \Gamma_\nu^{\circ}, d'où des suites exactes \begin{cases} 1 \to \Pi \to A_\nu^{\circ} \to \Gamma_\nu \to 1 \\ 1 \to A_\nu \to \widetilde{A}_\nu \to \mathfrak{S}_{\nu+1} \to 1 \\ 1 \to A_\nu^{\circ} \to A_\nu \to \hat{\mathbb{Z}}^{*} \to 1 \end{cases} entre la première et la deuxième ligne, une ligne biffée, illisible ; dans la première, \Gamma_\nu sans l'exposant \circ annoncé plus haut. \overbrace{\Pi \quad \Gamma_\nu^{\circ} \quad \hat{\mathbb{Z}}^{*} \quad \mathfrak{S}_{\nu+1}}^{\widetilde{A}_\nu} \qquad \text{filtration}

Exemples (1) Soit X droite projective sur k alg. clos de car. 0, I \subset X(k), \operatorname{card} I = \nu + 1, T = T(k) = \varprojlim_n \mu_n(k), \Pi = \pi_1(X \smallsetminus I, x) où x \in X(k) - I. Il y a … l'exemple se poursuit au-delà de ce lot.