Cote n° 138 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Cartes. Etude arithmétique (1976, 77 ?) : bon de commande (s.d.), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1976-1978]
Édition de démonstration

61la page s'ouvre sur la fin d'un calcul commencé avant le lot : \(C\), \(a\), \(C_0\) et les \(\pi_x\) n'y sont pas définis. On trouve \[ \operatorname{Aut}^{\circ}(C, a) \simeq \prod_{x \in C_0 \smallsetminus \{a\}} \pi_x \] avant \(\pi_x\), un symbole biffé, illisible.

un petit croquis : deux traits horizontaux coupés par quatre traits verticaux.

Soit […] \(K\) des graphes

Soit \(I\) un ensemble muni d'une structure polygonale d'ordre \(n \geqslant 2\) i.e. […] [pour \(n = 2\), il faut se donner l'un des ⌜de cardinal 2⌝ orientés \(\Delta^{*}\), […] […] 2, et ce qui revient au même, \(\Omega(\Pi) \simeq I \wedge I^{*}\) … ]), \(D\) \((\simeq D_n)\) le groupe des automorphismes de \(I\).

Soit \(K = K(I)\) le graphe défini par

• sommets : \(\Omega(\Pi) = C_0 = \{o, o'\}\)
• arêtes : \(I\) (indexation \((\ell_i)_{i \in I}\))

[…] est incidente

Incidence : \(C_0 \times I\) (tt arête incidente à tt sommet).

le graphe \(K(I)\) : un cercle, le sommet \(o\) en haut, \(o'\) en bas ; entre eux plusieurs arêtes parallèles marquées \(\ell_0\), \(\ell_1\), \(\ell_2\).

\(G\) opère sur \(K(I)\), et on a aussi […] ⌜[…]⌝ qui est l'identité sur \(I\), et échange \(o, o'\), commutant à \(G\). Soit \(C(I)\) le groupe fondamental ⌜[…]⌝ de \(K(I)\). \(G\) y opère par automorphismes, en opérant transitivement sur \(C_0 = \{o, o'\}\). On va regarder le commutant ⌜normalisateur de \(G\)⌝ dans

62\(G\) dans \(\operatorname{Aut}(C(I))\). On a un élément canonique \(\tau\) la page s'arrête là ; le reste du feuillet est vide.

63feuillet de papier teinté, sans texte : une figure et des formules. une double pyramide : sommet \(E^{+}\) en haut, \(E^{-}\) en bas ; à l'équateur le triangle \(D_{20}\), \(D_{01}\), \(D_{12}\) (ce dernier en arrière). Les arêtes sont les applications \(p^{\pm}_{20}\), \(p^{\pm}_{01}\), \(p^{\pm}_{12}\) de \(E^{\pm}\) vers les \(D_{ij}\). Sur les faces sont placés \(S_0\), \(S_1\), \(S_2\), atteints par des flèches \(\pi^{\pm}_0\), \(\pi^{\pm}_1\), \(\pi^{\pm}_2\) issues de \(E^{\pm}\), et par des flèches \(q_{02}\colon D_{20} \to S_0\), \(q_{01}\colon D_{01} \to S_0\), \(q_{20}\), \(q_{10}\), \(q_{12}\), \(q_{21}\) issues des sommets de l'équateur.

\[ \begin{cases} \rho_0^{+} = (p_{01}^{+})^{-1}\, p_{01}^{-}\, (p_{20}^{-})^{-1}\, p_{20}^{+} \\ \rho_1^{+} = (p_{12}^{+})^{-1}\, p_{12}^{-}\, (p_{01}^{-})^{-1}\, p_{01}^{+} \\ \rho_2^{+} = (p_{20}^{+})^{-1}\, p_{20}^{-}\, (p_{12}^{-})^{-1}\, p_{12}^{+} \end{cases} \] \[ \rho_2^{+} \rho_1^{+} \rho_0^{+} = \mathrm{id}_{E^{+}} \] dans la première ligne, les indices du premier facteur sont surchargés ; on les rétablit sur le modèle des deux lignes suivantes. \[ \begin{aligned} S_0 &\simeq E^{+}/\rho_0^{+} \simeq E^{-}/\rho_0^{-} \\ S_1 &\simeq E^{+}/\rho_1^{+} \simeq E^{-}/\rho_1^{-} \\ S_2 &\simeq E^{+}/\rho_2^{+} \simeq E^{-}/\rho_2^{-} \end{aligned} \] \[ \begin{cases} \rho_0^{-} = (p_{01}^{-})^{-1}\, p_{01}^{+}\, (p_{20}^{+})^{-1}\, p_{20}^{-} \\ \rho_1^{-} = (p_{12}^{-})^{-1}\, p_{12}^{+}\, (p_{01}^{+})^{-1}\, p_{01}^{-} \\ \rho_2^{-} = (p_{20}^{-})^{-1}\, p_{20}^{+}\, (p_{12}^{+})^{-1}\, p_{12}^{-} \end{cases} \]

Sous-groupes finis de \(GP(1)\) (cas tame)

titre de sa main sur un feuillet par ailleurs blanc (p. 64), qui porte aussi, à gauche, un « S. » isolé.

65en général \(d_{ij} =\) \(d_i = N/\nu_i\) \[ 2 - 2g' = N(2 - 2g) - \underbrace{(N\nu - \nu')}_{\sum_{i,j} (d_{ij} - 1)} \] \[ \phantom{2 - 2g'} = N(2 - 2g) - \sum_i \underbrace{\nu_i (N/\nu_i - 1)}_{N - \nu_i \,=\, N(1 - \frac{\nu_i}{N})} \] deux mots biffés sous le membre de gauche, illisibles. \[ \boxed{\,2 - 2g' = N \Bigl[ (2 - 2g) - \sum_i \Bigl(1 - \frac{1}{d_i}\Bigr) \Bigr]\,} \] Si \(g' = 0\), on trouve \(g = 0\) et \[ \boxed{\,\frac{2}{N} = 2 - \sum_i \Bigl(1 - \frac{1}{d_i}\Bigr) > 0\,} \] d'où \[ \sum_i \Bigl(1 - \frac{1}{d_i}\Bigr) < 2 . \]

Obs. Tous les \(d_i \geqslant 2\) […] car \(I\) contient l'ens. de ramification.

1) \(\operatorname{Card} I = 0\) : \(\frac{2}{N} = 2\), \(N = 1\) : pour \(G = 1\).

2) \(\operatorname{Card} I = 1\) : \[ \frac{2}{N} = 2 - \Bigl(1 - \frac{1}{d}\Bigr) = 1 + \frac{1}{d}, \qquad 2 = N + \frac{N}{d} = N + \nu \] \[ N \geqslant 1,\ \nu \geqslant 1 \quad\text{donc}\quad N = 1,\ \nu = 1,\ I = \varnothing \] impossible.

3) \(\operatorname{Card} I = 2\) : \[ \frac{2}{N} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2}, \qquad 2 = \frac{N}{d_1} + \frac{N}{d_2} = \nu_1 + \nu_2, \qquad \nu_1, \nu_2 \geqslant 1, \quad \nu_1 = \nu_2 = 1 \] \(d_1 = d_2 = N\), \(N\) quelconque.

4) \(\operatorname{Card} I = 3\) : \(\frac{2}{N} = \ldots\) \[ \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} + \frac{1}{d_3} > 1 \qquad \Bigl( \frac{2}{N} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} - 1 \Bigr) \] Obs. \(d_1 \geqslant d_2 \geqslant d_3\)

a) \(r = 2\) : \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2}\) i.e., posant \(p = \alpha + 2\), \(q = \beta + 2\) \((\alpha \geqslant \beta \geqslant 0)\), \[ 2p + 2q - pq > 0 \] […] \[ \underbrace{2(\alpha + 2) + 2(\beta + 2) - (\alpha + 2)(\beta + 2)}_{4 - \alpha\beta} > 0 \] \(\alpha\beta < 4\) : \(\beta = 0\), \(\alpha\) quelc. ; \(\beta = 1\), \(\alpha = 1, 2, 3\) ; \(\beta = 2\) […] \[ \begin{cases} (2, 2, p) & p \geqslant 2 \text{ quelc.} \qquad N = 2p \\ (2, 3, 3) & N = 12 \\ (2, 3, 4) & N = 24 \\ (2, 3, 5) & N = 60 \end{cases} \]

b) \(r \geqslant 3\) : \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} > 1 - \frac{1}{r} \geqslant \frac{2}{3}\) impossible car \(\frac{1}{p}, \frac{1}{q} \leqslant \frac{1}{3}\).

5) \(\operatorname{Card} I \geqslant 4\). Faisons d'abord \(\operatorname{Card} I = 4\) \[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} > 2 \qquad p \geqslant q \geqslant r \geqslant s \] devant \(p \geqslant q\) un signe biffé ; après \(r\) une surcharge. \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} > 2 - \frac{1}{s} = 1 + \bigl(1 - \frac{1}{s}\bigr)\) \(\geqslant 1 + \bigl(1 - \frac{1}{p}\bigr) > 1\) ligne biffée d'un trait ; une première formule, biffée, précède aussi \(\frac{1}{p}\) dans la ligne du dessus.

67toute la page est barrée de grands traits obliques ; elle se lit néanmoins en grande partie. Elle poursuit le cas \(\operatorname{Card} I \geqslant 4\) de la p. 65. \((p, q, r)\) dans cet ordre, parmi les […] syst. admissibles :

a) \(p, 2, 2\) : \(\frac{1}{p} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > 1 + \bigl(1 - \frac{1}{s}\bigr)\) i.e. \(\frac{1}{p} + \frac{1}{s} > 1\) impossible car \(\frac{1}{p}, \frac{1}{s} \leqslant \frac{1}{2}\).

b) \((p, 3, 2)\) \((p = 3, 4, 5\) ; \(s \geqslant p)\) \(\frac{1}{p} + \frac{1}{s} + \frac{1}{2} \ldots\) \[ \frac{1}{s} + \frac{1}{p} + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}_{5/6} > 2 \qquad \frac{1}{s} + \frac{1}{p} > \frac{7}{6} \] impossible car \(\frac{1}{s}, \frac{1}{p} \leqslant \frac{1}{3}\). \[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} > 2 - \underbrace{\Bigl(\frac{1}{r} + \frac{1}{s}\Bigr)}_{\leqslant 1} \geqslant 1 \quad\text{donc}\quad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \geqslant 1 \] le premier \(p\) se lit aussi bien \(r\) ; sous l'accolade : « car \(\frac{1}{r} \leqslant \frac{1}{2}\), \(\frac{1}{s} \leqslant \frac{1}{2}\) ». impossible car \(\frac{1}{p}, \frac{1}{q} \leqslant \frac{1}{2}\).

Impossible !

Cas où \(\operatorname{Card} I \geqslant 4\), … \[ \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} + \frac{1}{d_3} + \frac{1}{d_4} > 2 + \sum_{i \geqslant 5} \Bigl(1 - \frac{1}{d_i}\Bigr) \] après \(\frac{1}{d_4}\), un terme biffé ; la borne supérieure de la somme est illisible. et on voit de même que c'est impossible ! v. 2

Étude du cas […] ⌜\((N, N)\)⌝ : En caractéristique \(0\), ou si […], on trouve \[ G \simeq \mu_N(k) \simeq \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \ldots \] Plus […], il […] \(p\) premier à \(N\) (cas de car. \(p\), […] séparable), si \(p \mid N\), on trouve une ⌜\(p\)-⌝extension (d'un \(N'\)-cyclique) […] \((N = p^{r} N'\), \((p, N') = 1)\). C'est donc une extension est résoluble, ⌜mais mieux :⌝ […] ⌜les⌝ \(p\)-extensions […] […] \(H/\)[…] […] ⌜[…]⌝ sous-groupes de \(GP(1, k)\) […] abéliens et contenus dans […] conjugués entre eux, et isomorphes à \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{r}\). abéliens unipotents sous-groupes unipotents de dim \(1\), on trouve donc \[ G \subset \text{Borel}, \] et par suite \(G\) produit semi-direct d'un groupe cyclique premier à \(p\) […], par un \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{r}\). En fait […] […] ([…] dans \(G\) premier à \(p\) […] premier : […]), on […] […]. En tout cas […] extension résoluble (d'ordre premier à \(p\)) par un \((\mathbb{Z}/p^{r}\mathbb{Z})\) marge gauche, cinq lignes accolées au passage précédent ; l'exposant final est douteux.

Étude du cas \((N, 2, 2)\), \(|G| = 2N\). En car. \(\neq 2\), l'extension ⌜[…]⌝ de ramification \(2\) est à ramification modérée, et faisons une extension kummérienne de degré \(2\), on trouve un \(X'/Y'\) qui n'a plus que \(2\) pts de ramification […], donc \(X'/Y'\) est justiciable de l'étude précédente […] […] ([…] \(X'\) de genre \(0\) […]).

\begin{tikzcd}
  X \arrow[d] & X' \arrow[l] \arrow[d] \\
  Y & Y' \arrow[l]
\end{tikzcd}

Paradigme « gruppentheoretisch » des surfaces compactes à opérateurs

titre de sa main sur un feuillet par ailleurs blanc (p. 69) ; « gruppentheoretisch » est écrit au-dessus d'un mot biffé, peut-être « topologique ».

70Paradigme des courbes algébriques

I Point de vue topologique.

On considère des surfaces topologiques (sans bord) orientables paracompactes \(X\) – on se donne aussi un ensemble \(\omega\) de cardinal \(2\), et on pose \[ T = \mathbb{Z} \wedge_{\mathbb{Z}/2} \omega , \] et on suppose donnée pour \(X\) une \(\omega\)-orientation, i.e. une ⌜\(\mathbb{Z}/2\)-⌝application […] ⌜dans⌝ l'ens. des orientations de \(X\), ou ce qui revient au même, un isomorphisme du faisceau des entiers tordus sur \(X\) avec le faisceau constant \(T_X\). On suppose que les composantes connexes \(X_i\) de \(X\) sont ⌜est⌝ homéomorphes à un \(\hat{X}_i \smallsetminus S_i\), où \(\hat{X}_i\) est une surface compacte, et \(S_i\) une partie finie de \(\hat{X}_i\). On sait que \((\hat{X}_i, S_i)\) est déterminé à isom. unique près par \(X_i\) (comme le décompactifié de Čech

71de \(X_i\) rajoutant son point à l'infini…). Ainsi \(\hat{X}_i\) est automatiquement \(\omega\)-orienté, donc aussi \[ \hat{X} = \coprod \hat{X}_i . \] De cette façon, la catégorie envisagée (des surfaces topologiques « spéciales » ⌜[…] munies d'une \(\omega\)-orientation⌝ \(\omega\)-orientation) devient équivalente à ⌜\(\omega\)-orientées⌝ celle des surfaces topologiques à comp. conn. compactes munies d'une partie […] \(S\) discrète, […] les isom. de couples \((\hat{X}, S)\).

De même, la catégorie des couples \((X,\) […]\()\) \((X, o, J)\) où \((X, o)\) comme dessus (\(o\) la \(\omega\)-orientation) et \(J\) partie discrète de \(X\), est équivalente à celle des systèmes \[ (\hat{X}, o, S, J), \] où \((\hat{X}, o)\) est une surface \(\omega\)-orientée à comp. conn. compactes,

72et \(S\), \(J\) sont deux parties discrètes disjointes de \(\hat{X}\).

On va passer aux catégories isotopiques correspondantes, et en donner des interprétations en termes de théorie des groupes. Bien entendu, pour cette description, on est ramené au cas connexe. On peut aussi noter tt de suite que pour ce pb, on est ramené au cas où \(J = \varnothing\) [en remplaçant ⌜donnant⌝ dans le cas général comme autre donnée celle d'un \((\hat{X}, I)\) plus la donnée d'une partie \(J\) de \(I\)]. Mais on gardera le pb sous sa forme générale, en gardant également la dissymétrie dans le rôle de \(S\), \(J\) – mais

73on devra expliciter dans le paradigme le passage d'une description à l'autre.

La description ⌜\(S \neq \varnothing\),⌝

1) Cas \(J = \varnothing\). On va supposer, pour notre description, qu'on n'est pas dans le cas \(g = 0\), \(\nu = 0, 1\) (\(g\) = genre de \(\hat{X}\), \(\nu = \operatorname{card} S\)). On associe à \((\hat{X}, \hat{o}, S)\) ⌜\((\simeq (X, o))\)⌝ le groupe fondamental \(\Pi = \pi_1(X)\), considéré comme groupe extérieur, mais muni de sa \(T\)-structure : les lacets indexés par \(S\), i.e. une famille ⌜application⌝ \[ S \longrightarrow \operatorname{Homext}(T, \Pi) \quad (4^{\circ}) \] « 4° » est cerclé au-dessus de la flèche ; une première écriture de la flèche, biffée, est dessous. Ceci permet […] \((s \in S)\) de définir \(\Pi_{\wedge}\) \((\simeq \pi_1(\hat{X}))\) comme quotient de \(\Pi\) par le sous-groupe invariant engendré par les images des \(T \to \Pi\) […] … si \(\nu = 0\) i.e. \(S = \varnothing\) […]. Ceci donne une […] […] -isotopique, et […] -isotopique, sauf si \(g = 0\), \(\nu = 2\) et \(g = 1\), \(\nu = 0\), où la composante neutre […] plus haut […] \(T \to [\ (\Pi_{\mathrm{ab}})^{2}\ ]\) […] T identifiant […] \(\Pi_{\wedge}\) … la marge gauche est écrite en travers, en plusieurs couches ; on n'en donne que les fragments sûrs.

74du groupe des autom. de \((X, o)\) n'est pas contractile (mais un \(K(\mathbb{Z}, 1)\) resp. un \(K(\mathbb{Z}^{2}, 1)\)…).

2°) \(J \neq \varnothing\). On a une description plus jolie (tous exception faite du cas \(g = 0\), \(\nu = 0, 1\)) par le groupoïde fondamental de \(X\) en \(J\), mais avec \(T\)-structure : lacets sur le groupe extérieur \(\Pi\) associé – et si \(\nu = 0\), à la place de cette structure, il faut se donner \[ T \hookrightarrow \Bigl( \bigwedge\nolimits^{2} \Pi_{\wedge\,\mathrm{ab}} \Bigr)^{\vee} \] comme dans 1°…. Ceci on trouve une description \(\infty\)-isotopique, même dans le cas \(g = 0\), \(\nu = 2\), ou \(g = 1\), \(\nu = 0\). exception

Quelques problèmes spéciaux

mots de sa main, en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (p. 75).

76deux diagrammes en éventail. À gauche : \(R\) au sommet, quatre flèches \(p\colon R \to S\), \(q'\colon R \to A\), \(q''\colon R \to A\), \(r\colon R \to F\). À droite, le même avec \(R^{\circ} = R\), \(p^{\circ} = p\), \(q'^{\circ}\), \(q''^{\circ}\) et \(q^{\circ} = q \circ \sigma_2\) ; sous \(A\), « \(q' \circ \sigma_2\) » ; les indications sur les flèches du milieu sont surchargées.

en dessous à gauche, un croquis de triangles accolés portant les sommets \(s\), \(s'\), \(s''\), \(s_1\), \(\bar{s}\) et les faces \(f\), \(f'\), \(f''\), \(f_1\), \(\bar{f}\), \(\bar{f}_1\), \(a\), \(b\) ; une flèche courbe renvoie au texte. \[ E = (R, q') \times_A (R, q'') = \bigl\{ \bigl((s, f), (\bar{s}, \bar{f})\bigr) \bigm| q'(s, f) = q''(\bar{s}, \bar{f}) \bigr\} \] au-dessus des deux couples, une accolade : « repère \((s, a, \bar{f})\) ».

\begin{tikzcd}
  & E \arrow[dl, "\pi_{01}"'] \arrow[d, "\pi_{02}"] \arrow[dr, "\pi_{12}"] & \\
  R & R & R
\end{tikzcd}

\[ \begin{aligned} \pi_{01}^{+}(s, f, \bar{s}, \bar{f}) &= (s, f) \\ \pi_{12}^{+}(s, f, \bar{s}, \bar{f}) &= (\bar{s}, \bar{f}) \\ \pi_{02}^{+}(s, f, \bar{s}, \bar{f}) &= (s, \bar{f}) \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} p(s, f) &= s &\qquad \sigma_0(s, f) &= (s', f') \\ r(s, f) &= f & \sigma_2(s, f) &= (s'', f'') \\ q'(s, f) &= a & & \\ q''(s, f) &= b & \sigma_0 \sigma_2(s, f) &= \sigma_2 \sigma_0(s, f) = (s'', f'') \end{aligned} \] dans la dernière égalité, les primes des arguments sont incertains. \[ E^{+} = \bigl\{ (s, f, \bar{s}, \bar{f}) \in E \bigm| (s, a, \bar{f}) \ \text{direct} \bigr\} \] \[ a = q'(s, f) = q''(\bar{s}, \bar{f}) \] \[ \begin{cases} \sigma_0(s, f, \bar{s}, \bar{f}) = (s, f_1, \bar{s}, \bar{f}) \\ \sigma_1(s, f, \bar{s}, \bar{f}) = (s, f_1, \bar{s}', \bar{f}) \\ \sigma_2(s, f, \bar{s}, \bar{f}) = (s, f, \bar{s}_1, f_1) \end{cases} \] ces trois lignes sont surchargées ; les indices \(f_1\), \(\bar{s}'\), \(\bar{s}_1\) sont des lectures douteuses.

\begin{tikzcd}
  & E^{+} \arrow[dl, "\pi_{01}^{+}"'] \arrow[d, "\pi_{02}^{+}"] \arrow[dr, "\pi_{12}^{+}"] & \\
  R & R & R \\
  & E^{-} \arrow[ul, "\pi_{01}^{-}"] \arrow[u, "\pi_{02}^{-}"'] \arrow[ur, "\pi_{12}^{-}"'] &
\end{tikzcd}

à droite de ce diagramme, \(E^{+}\) et \(E^{-}\) sont écrits une seconde fois, sans flèches.

77page de figures au crayon, sans texte suivi. la double pyramide de la p. 63, redessinée : \(E^{+}\) en haut (avec, à côté, « \(\rho_0 =\) » laissé en suspens), \(E^{-}\) en bas, l'équateur \(D_{20}\), \(D_{01}\), \(D_{12}\), les points \(S_0\), \(S_1\), \(S_2\) et les flèches \(\pi_0^{\pm}\), \(\pi_1^{\pm}\), \(\pi_2^{\pm}\). à droite, un pavage par des pentagones ; dans l'un d'eux, un petit triangle subdivisé aux sommets \(s_0\), \(s_1\), \(s_2\), milieux \(d_{01}\), \(d_{12}\), \(d_{20}\) et centre \(e^{+}\) ; une flèche courbe y renvoie. en bas, une sphère avec un parallèle, puis un cercle coupant une droite graduée \(-1\), \(0\), \(\frac{1}{2}\), \(1\), \(2\), les arcs passant par un point marqué \(j\) au-dessus et \(\bar{j}\) au-dessous de l'axe (signes douteux) ; à gauche, \(\mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Q}} \xleftarrow{\ \varphi\ } \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Q}}\).

79Groupe profini spécial

C'est un système \(\Sigma = \bigl(T, \Pi, I, (\Phi_i)_{i \in I} \in (\operatorname{Homext}(T, \Pi))^{I}\bigr)\) avec \[ \Sigma \begin{cases} T \text{ groupe profini} \simeq \hat{\mathbb{Z}} \\ \Pi \text{ groupe profini} \\ I \text{ ensemble fini} \\ \Phi_i \in \operatorname{Homext}(T, \Pi) \quad \text{pour } i \in I \end{cases} \] avec l'axiome que ce système est […] ⌜isomorphe⌝ à l'un des systèmes \(\Sigma_\nu\) \((\nu \in \mathbb{N}, \nu \geqslant 1)\) suivants : \[ \Sigma_\nu \begin{cases} T = \hat{\mathbb{Z}} \\ \Pi = \text{groupe profini } \Pi_\nu = \widehat{L_\nu}, \text{ où } L_\nu = \{\lambda_0, \ldots, \lambda_\nu \mid \lambda_0 \lambda_1 \cdots \lambda_\nu = 1\} \\ \qquad \text{(donc $\Pi$ profini libre : $\nu$ générateurs)} \\ I = [0, \nu]_{\mathbb{N}} \\ \Phi_i = \text{classe de l'hom. } \hat{\mathbb{Z}} \xrightarrow{\varphi_i} \Pi \text{ tel que } \varphi_i(1) = \lambda_i \end{cases} \] la relation de \(L_\nu\) est coupée par le bord de la feuille ; « \(= 1\) » est suppléé par le sens.

N.B. \(I\) peut être interprété comme une partie de \(\operatorname{Homext}(T, \Pi)\). Si \(\Sigma \simeq \Sigma_\nu\), \(\nu\) est uniquement déterminé comme \(\operatorname{card} I - 1\), ou […] aussi comme rang profini de \(\Pi_{\mathrm{ab}}\). Pour \(\nu\) fixé, la catégorie des \(\Sigma\) correspondants est équivalente à la catégorie des torseurs sous \[ \widetilde{A}_\nu = \operatorname{Aut}(\Sigma_\nu) . \] On a des homomorphismes \[ \widetilde{A}_\nu \longrightarrow \mathfrak{S}_{\nu+1} \quad (= \operatorname{Aut}(I_\nu)), \qquad \widetilde{A}_\nu \xrightarrow{\ \chi\ } \operatorname{Aut} \hat{\mathbb{Z}} \simeq \hat{\mathbb{Z}}^{*} \] sous \(\mathfrak{S}\), un indice surchargé ; on lit \(\nu + 1\) comme à la page suivante.

80donnant naissance : \[ \widetilde{A}_\nu \longrightarrow \mathfrak{S}_{\nu+1} \times \hat{\mathbb{Z}}^{*} \] qui est surjectif. Le noyau de \(\widetilde{A}_\nu \to \mathfrak{S}_{\nu+1}\) se note \(A_\nu\), celui de \(\widetilde{A}_\nu \to \mathfrak{S}_{\nu+1} \times \hat{\mathbb{Z}}^{*}\) se note \(A_\nu^{\circ}\). J'affirme un homomorphisme injectif \[ \Pi \longrightarrow A_\nu^{\circ} \subset A_\nu \] via automorphismes intérieurs. Le conoyau de \(\Pi \to A_\nu^{\circ}\) (\(\Pi \to A_\nu\), \(\Pi \to \widetilde{A}_\nu\)) \(\bigl(\Gamma_\nu, \widetilde{\Gamma}_\nu\bigr)\) se note \(\Gamma_\nu^{\circ}\), d'où […] des suites exactes \[ \begin{cases} 1 \to \Pi \to A_\nu^{\circ} \to \Gamma_\nu \to 1 \\ 1 \to A_\nu \to \widetilde{A}_\nu \to \mathfrak{S}_{\nu+1} \to 1 \\ 1 \to A_\nu^{\circ} \to A_\nu \to \hat{\mathbb{Z}}^{*} \to 1 \end{cases} \] entre la première et la deuxième ligne, une ligne biffée, illisible ; dans la première, \(\Gamma_\nu\) sans l'exposant \(\circ\) annoncé plus haut. \[ \overbrace{\Pi \quad \Gamma_\nu^{\circ} \quad \hat{\mathbb{Z}}^{*} \quad \mathfrak{S}_{\nu+1}}^{\widetilde{A}_\nu} \qquad \text{filtration} \]

Exemples (1) Soit \(X\) droite projective sur \(k\) alg. clos de car. \(0\), \(I \subset X(k)\), \(\operatorname{card} I = \nu + 1\), \(T = T(k) = \varprojlim_n \mu_n(k)\), \(\Pi = \pi_1(X \smallsetminus I, x)\) où \(x \in X(k) - I\). Il y a […] … l'exemple se poursuit au-delà de ce lot.