Fonds Grothendieck, cote n° 138, pages 41–60 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-30)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-30
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)138
Cartes. Etude arithmétique (1976, 77 ?) : bon de commande (s.d.), notes manuscrites (s.d.).
Pages 41 à 60 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 3 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[vers 1976-1978]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/138.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \supplied devient
supplied (restitué par le transcripteur) ;
\add devient add
(ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ;
\struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \drawing devient
note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le
transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils
ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le
fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète
est une restitution (supplied), un ajout
isolé est de l'auteur (add). Certains
add sont donc encore des restitutions du
transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurExport TEI depuis la source LaTeX.Première passe de transcription.
la page s'ouvre sur des formules sans phrase d'introduction ; ce qui les précède se trouve avant ce lot.
à droite, séparé par un trait vertical : \mathfrak{S}_I \times \hat{\mathbb{Z}}^{\times}, avec deux flèches vers « structurel » (sur \mathfrak{S}_I) et « hom. » (sur \hat{\mathbb{Z}}^{\times}), et « y opère »
\mathcal{E}''_{1}(I) \simeq \bigl(\mathfrak{S}_I \times \hat{\mathbb{Z}}^{\times}\bigr) \cdot_{1/2} \pi(I)l'indice \tfrac12 sous le point est celui qu'il met aussi p. 46 (\mathbb{D}_\infty = (\mathbb{Z}/2)\cdot_{1/2}\mu_\infty) ; il semble noter un produit semi-direct (« \tfrac12 direct », p. 43).
\omega \simeq \mathrm{Or}(I) \wedge \{1, \bar{\jmath}\} \simeq \mathrm{Or}(I) \subset \pi_3 = (\mathbb{Z}/3)^{I}/(\mathbb{Z}/3) = \mathbb{F}_3^{I}/\mathbb{F}_3le second élément de l'accolade, lu \bar{\jmath}, est douteux.
E(I, \omega) = p_3^{-1}(\omega) \subset \pi_\infty(I)0 \to \pi_\infty(I) \to \pi_\infty(I) \to \pi_3(I) \to 0,
\qquad \omega \in \pi_3(I)le premier terme de la suite, lu \pi_\infty(I), est surchargé et peut-être biffé : lecture douteuse.
Une flèche descend de vers E(I, i).
Genre de la courbe de Fermat C_n (qui est une courbe lisse de degré n)
g_n = \frac{(n-1)(n-2)}{2}.
Le genre est 0 ssi n = 1, 2, il est 1 ssi n = 3. Pour n = 4 il est 3, pour n = 6 il est 10, pour n = 12 il est 55 …
Considérons le cas n = 2C_2 : x^2 + y^2 + z^2 = 0
comme une triangulation pondérée. Elle est formée des 4 \cdot 2 = 8 triangles, chaque type intervenant2 fois, avec degré 4(p. 2.2) pour les . Sauf erreur, c'est l'octaèdresphérique, dont le groupe des automorphismes orientés est bien \simeq \mathfrak{S}_4 d'ordre 24, et peut s'écrire comme produit \tfrac12 direct de \mathfrak{S}_3 par (\mathbb{Z}_2)^2 !
Divisant par les trois s-groupes \mathbb{F}_2 de \pi_2 \simeq \mu_2^3/\mu_2, on trouve les 3 revêtements d'ordre 2 de C_1 \simeq \mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}} qui correspondent au dièdremonoèdre (cardinal) et à ses transformés par \mathfrak{S}_3.
à gauche, une sphère parcourue de trois grands cercles, les points d'intersection marqués 0, 1, \infty (chacun deux fois) ; au-dessous, une seconde figure : une courbe fermée contenant un ovale, avec les points \infty, 0, 1, 0, \infty et deux traits marqués 1.
la note suivante est encadrée, en bas à gauche de la page, à côté de la seconde figure ; sa prose se lit mal.NB L'octaèdre ou subdivision barycentrique du biédre (qui est autodual) et a le type de ramification
\begin{matrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{matrix}en particulier de celle du dièdre\left(\begin{matrix} 2 & 2 & n \\ 2 & 2 & n \end{matrix} \;\text{pour } n = 2\right),
ce qui confirme, via la unicité de la rev.-théorieà conjugaisonprès par 2 …
Posons pour abréger X = C_2, soit D le diviseur de ramification sur X (de degré 6) — son corps de définition est \mathbb{Q}(i) ; posons X^{*} = X \setminus Dposons X^{*} = X \setminus D,
et soit \widetilde{X^{*}} le rev. universel abélien de X^{*}
Soit X_\infty le pro-revêtement abélienprincipal de X défini par la famille des X_n (n pair), il a comme groupe (\pi_\infty)_{\struck{X}\,2}l'indice de (\pi_\infty) est surchargé : un X barré, puis un chiffre, peut-être 2. La phrase s'arrête là ; le reste de la page est blanc.
\begin{array}{ll}
X_n = \widehat{\mathrm{Spec}}\, k[x_n] & x_n^{\,n} = x_1 \\
\downarrow & \\
X_1 = \widehat{\mathrm{Spec}}\, k[x_1 = z] & \\
\downarrow & \\
X_0 = \widehat{\mathrm{Spec}}\, k[x_0] &
x_0 = \frac12 - \frac14\bigl(z + z^{-1}\bigr)
\end{array}en marge gauche de la première flèche, une étoile à branches (le revêtement x_n^n = x_1) ; en marge de la seconde, un cercle marqué -1 et 1.
Pour X_n \to X_1 (encadré : n \{ \vdots\; n) : ramifications en dessus des pts 0, \infty (où la ramification est n) ;
ligne ajoutée au-dessous :pts de ramification en haut : 0, \infty
Pour X_1 \to X_0 (encadré : 2\;2 \mid 1\;1) : ramification au dessus de
0(z = 1, ramifié 2)\infty (pts dessus) ;1 (z = -1, ramifié 2) idem ;\infty (0 et \infty, ramification 1).
au milieu de la page, un schéma des fibres : au-dessus de 0 et de \infty en bas, deux flèches venant de « 0\,(1) » et « \infty\,(1) », elles-mêmes images de « 0\,(n) » et « \infty\,(n) » ; à côté, « 1\,(1) » (entouré : « n fois ») \to « 1\,(2) » \to 0, et, en partie biffé, « -1\,(2) » \to 1 ; à droite, « n pair ». À gauche, deux lignes de points : 0\,(2), 1\,(2), \infty_1\,(1), \infty_2\,(1), puis 0, 1, \infty.
en bas, un ovale portant alternativement des traits marqués 0 et des points marqués 1 (quatre de chaque), avec \infty au-dessus et au-dessous de l'ovale.
z' = z^3, \qquad
y' = y\,(y^2 - 3x^2), \qquad
x' = -x\,(x^2 - 3y^2)\begin{align*}
& z^6 + y^2\,(y^4 + 9x^4 - 6x^2y^2) + x^2\,(x^4 + 9y^4 - 6x^2y^2) \\
&\quad = x^6 + y^6 + z^6 + 3\,x^2y^2\,(x^2 + y^2) = \text{\struck{$(x^2 + y^2 + z^2)^3$}} \\
&\quad = x^6 + y^6 + z^6 - 3\,x^2y^2z^2
\end{align*}à côté de la dernière ligne, un début non achevé : x^6 + y^6 + z^6 + \cdots. Les signes de la seconde ligne sont écrits vite ; le premier + entre x^6 et y^6 pourrait être un -.
deux copies de la droite, X et X', avec les points 0, 1, -1, 2, \infty sur X et 0, 1, \infty sur X' ; des flèches courbes envoient 0 \mapsto 0, 1 et -1 \mapsto 1, \infty \mapsto \infty ; deux traits verticaux, le second marqué n.
\begin{gather*}
\frac{p(x)}{q(x)} = \lambda, \qquad p(x) - \lambda\, q(x) = 0, \qquad p'(x) - \lambda\, q'(x) = 0 \\
\lambda = \frac{p'}{q'}, \qquad p - \frac{p'}{q'}\, q = 0, \qquad \text{\struck{$q'p -$}}\; p'q - q'p = 0
\end{gather*}(x^2)^2 = (\pm x \cdots)^2\dfrac{az^2 + bz + c}{z^2}2z\,(az^2 + bz + c) - \cdotsdans cette dernière ligne, le \pm x et le coefficient a (surchargé) sont des lectures douteuses.
\cos 2u = \frac{1 - \mathrm{tg}^2 u}{1 + \mathrm{tg}^2 u},
\qquad
\sin 2u = \frac{2\,\mathrm{tg}\, u}{1 + \mathrm{tg}^2 u}2 \sin u \cos u = 2 \cos^2 u \;\mathrm{tg}\, u =\left\{
\begin{aligned}
x &= \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\
y &= \frac{2t}{1 + t^2}
\end{aligned}
\right.
\qquad t = y/x \quad \text{quand } z = 1« quand » est une lecture douteuse.sous t = y/x, une expression biffée et surchargée, commençant par 1 + t + \cdots.x = 1 - t^2, \qquad y = 2t, \qquad z = 1 + t^2y \quad t = \pm it = 0
z = 0 \text{ i.e. } t = \mp i \;\Longrightarrow\; x = 2,\ y = \mp 2i \;\sim\; x = 1,\ y = \mp i\sim\; x = \pm i,\ y = 1y = 0 \text{ i.e. } t = 0 \qquad (1, 0, 1)
x^2 + y^2 + z^2 = 0 \qquad C_2 = X \longrightarrow \mathbb{P}^1 = \widehat{\mathrm{Spec}}\,(k[t])le « \widehat{\mathrm{Spec}} » est douteux : le mot sous le chapeau est à peine formé.(\pm i, 1, 0) \longrightarrow t = \mp i, \qquad
(\pm i, 0, 1) \longmapsto t = 0, \qquad
t = \frac{y}{x}x' = 1 - t^2 = 1 - \frac{y^2}{x^2} = \frac{x^2 - y^2}{x^2}, \qquad
y' = 2t = \frac{2y}{x}, \qquad
z' = 1 + t^2 = \frac{x^2 + y^2}{x^2}\sim\; (x', y', z') = (x^2 - y^2,\ 2xy,\ x^2 + y^2)
\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "2"] \arrow[dr, bend right=20, "f_n"'] & X' \arrow[r, "?"] & X' \\
& X \arrow[ur, "2"'] &
\end{tikzcd}le label de la flèche X' \to X', noté « ? », est : il se lit « n- », peut-être « n-ifian » ; la flèche courbe est marquée f_n.
s = -\frac{t + i}{t - i} = -\frac{(t + i)^2}{t^2 + 1}
= -\frac{t^2 - 1}{t^2 + 1} - \frac{2it}{t^2 + 1}\Bigl(\frac{t + i}{t - 1}\Bigr)^{n} =au dénominateur de la dernière formule il écrit t - 1, là où la ligne précédente a t - i. Un signe précède s dans la marge.
\pi_n = \mu_n^{3} / \mu_n\widetilde{X}_2(p, q, r) = X_2(2p, q, 2r)en haut à droite : 0' \mapsto{}\infty'', 1' \mapsto 1'', \infty' \mapsto{}0'' ; au-dessous, soulignés deux à deux : 0' \mapsto 1', 1' \mapsto \infty' ?
un diagramme de revêtements, trop surchargé pour être mis en tikz-cd sans choisir entre des flèches biffées. On y lit :
X_2(p,q,r) \to X_2 (étiquette \mu_p \times \mu_q \times \mu_r) ;
\widetilde{X}_2(p,q,r) \to \widetilde{X}_2 (étiquette biffée, puis \mu_{2p} \times \mu_{2q} \times \mu_{2r} \times \pi_n ?) ;
X_2(2,2,2) = \widetilde{X}_2 \to X_2 (étiquette \mu_2^{3}) et \widetilde{X}_2 \to X_4 (étiquette \mu_2) ;
\widetilde{X}_2(n) \to \widetilde{X}_2 (étiquette \pi_n) et \widetilde{X}_2(n) \to X_{4n} (étiquette \mu_{2n} ?) ;
X_{4n} \to X_4 (étiquette \pi_4) ;
X_4 \to X_2 (étiquette \pi_2), X_4 \to X_1 (étiquette \pi_4) ;
X_2 \to X_1 (étiquette \pi_2) ;
une longue flèche de la droite vers X_2 sous une étiquette très biffée (\mu_2^{3} ?), et une flèche courbe de X_1 vers la droite, étiquetée \pi_{2n} ;
un grand arc part du bas et remonte vers \widetilde{X}_2(p,q,r).
\mu_{2p} \times \mu_{2q} \times \mu_{2r} \times \pi_n
si p = q = r = 1, n = 2, on trouve
\mu_2 \times \mu_2 \times \mu_2 \times \pi_2 \twoheadrightarrow \mu_2^{3}/\mu_2la flèche finale est un trait souligné sous \pi_2 ; le sens « \twoheadrightarrow » est une lecture.
TSVP
\begin{tikzcd}
\widetilde{X}_2 \arrow[d] & \cdot \arrow[l] \\
X_4 & X_8 \arrow[l]
\end{tikzcd}c'est le seul contenu de la page ; il reprend le diagramme de la p. 52. La source de la flèche horizontale du haut n'est pas écrite. Le X de X_8 est écrit sur une première lettre .
X = \frac{y^2 - x^2}{z^2}, \qquad Y = -\frac{2xy}{z^2}X + iY = \frac{1}{z^2}\bigl(y^2 - x^2 - 2ixy\bigr) = \frac{1}{z^2}\,(y - ix)^2(X + iY)^{n} = \frac{1}{z^{2n}}\,(y - ix)^{2n}
= \frac{1}{z^{2n}}\bigl(P_n(x, y) + i\,Q_n(x, y)\bigr)\overset{?}{=}\; \frac{y'^2 - x'^2}{z'^2} \mp 2i\,\frac{x'y'}{z'^2}il écrit (y + ix)^2 à la fin de la deuxième ligne, où le calcul donne (y - ix)^2 ; le signe est surchargé.
x', y', z' fonctions rat. des x, y, z ?! P.ex. z' = z^nP_n(x, y) =\dfrac{B_n(x, y, z)}{Z^{n}} et B_nle Z du dénominateur est lui-même biffé.\begin{align*}
B_n(x, y)^2 - A_n(x, y)^2 &= P_n(x, y) \\
-2\, A_n(x, y)\, B_n(x, y) &= Q_n(x, y)
\end{align*}X + iY = \Bigl(\frac{y - ix}{z}\Bigr)^2 = \Bigl(\frac{y}{z} - i\,\frac{x}{z}\Bigr)^2\Bigl(\frac{y}{z} - i\,\frac{x}{z}\Bigr)
\qquad
\Bigl(\frac{y}{z} - i\,\frac{x}{z}\Bigr)^{2n+1}
\qquad
(-i)^3 = -i\,(i^2) = i\Bigl(\frac{y}{z} - i\,\frac{x}{z}\Bigr)^3
= \frac{1}{z^3}\,\bigl[\,y^3 - 3iy^2x - 3yx^2 + ix^3\,\bigr]= y^3 - 3yx^2 + i\,(x^3 - 3y^2x)= y\,(y^2 - 3x^2) + i\,x\,(x^2 - 3y^2)les deux dernières lignes, sous une accolade, omettent le facteur 1/z^3. Elles redonnent les y' et x' de la p. 48.
Automorphismes de groupoïdes
la p. 56, feuille rose, ne porte que les mots « autom. des groupoïdes », de sa main, en haut à droite : c'est une chemise pour les pp. 57–60.
Automorphismes de groupoïdes.
1) Soient C un groupoïde, C' une catégorie, :
\mathrm{Hom}(C, C') = \mathrm{Ob}\, \underline{\mathrm{Hom}}(C, C').
On a
\mathrm{Hom}(C, C') \longrightarrow \mathrm{Hom}\bigl(\underbrace{\mathrm{Ob}\,C}_{C_0},\, \underbrace{\mathrm{Ob}\,C'}_{C'_0}\bigr)
Soit
f_0 : C_0 \to C'_0 ,
on cherche les f : C \to C' qui lui donnent naissance. On trouve :
Proposition a) Pour qu'il existe un f au-dessus de f_0, il faut et il suffit que pour x, y \in C_0isomorphes : c'est-à-dire dans la même comp. connexe de C (i.e. tels que \mathrm{Hom}_C(x, y) \neq \emptyset) on ait f_0(x) \simeq f_0(y).
b) , cette condition
b) Pour toute composante connexe C(i) de C, soit a_i \in C(i)_0, et pour tout x \in C(i)_0, soit
u_x : a_i \xrightarrow{\ \sim\ } x. Alors
\mathrm{Hom}_{f_0}(C, C') \xrightarrow{\ \sim\ }
\prod_{x \in C_0} \mathrm{Isom}\bigl(f_0(a_{i(x)}), f_0(x)\bigr)\times \prod_{i} \mathrm{Hom}\bigl(\mathrm{Aut}(a_i), \mathrm{Aut}(f_0(a_i))\bigr)sous le premier produit, un indice surchargé : \struck{x \in C_0} puis .
c) Pour que f soit fidèle, il faut et il suffit que \forall i \in I, \varphi_i soit injectif.
Pour que f soit pleinement fidèle, il faut et il suffit que
1°) pour i \neq j, on ait \mathrm{Hom}\bigl(f_0(a_i), f_0(a_j)\bigr) = \emptyset ;
2°) pour \forall x, y \in C(i)_0,
\mathrm{Isom}\bigl(f_0(x), f_0(y)\bigr) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}\bigl(f_0(x), f_0(y)\bigr) ;le premier « Isom » est douteux, surchargé sur une première écriture.
3°) \forall i \in I, \varphi_i est un iso.
détermineC
Pour que f soit une équivalence, il faut et il suffit qu'il soit pl. fidèle et qu'on ait de plus
4°) Tout x' \in C'_0 est isomorphe à un des f_0(a_i).
Pour que f soit un iso, il faut et il suffit qu'on ait 1°, 2°, 3°) et de plus
4'°) f_0 bijective.
le haut de la page, jusqu'à « C_0 \xrightarrow{u_0} C'_0 », est barré de quatre longs traits obliques ; il se lit néanmoins.C = (C_0, C_1) groupoïde connexe
G = \mathrm{Aut}(C) groupe des automorphismes
G^0 s-groupe des de G induisant l'identité sur C_01 \to G^0 \to G \to \mathfrak{S}_{C_0} \to 1 (sous G : surj)
[Pour qu'une autoéquivalence u soit un iso, il faut et il suffit qu'elle soit bijective sur l'ensemble des objets de C, et induise un iso.sur les\mathrm{Aut}(a) \to \mathrm{Aut}(u(a)) pour unx \in C_0 ; d'autre part, toute application C_0 \xrightarrow{u_0} C'_0
1 \to \mathrm{Aut}^0(C) \to \mathrm{Aut}\,C \to \mathfrak{S}_{C} \to 1\mathrm{Aut}^0(C) \simeq1 \to \mathrm{Aut}^0(C, a) \to \mathrm{Aut}^0(C) \to \mathrm{Aut}(\pi_a) \to 1,
\qquad \pi_a = \mathrm{Aut}_C(a)A Par définition \mathrm{Aut}^0(C, a) =\mathrm{Aut}^0(C, a) = \bigl\{ f \in \mathrm{Aut}(C) \bigm| \mathrm{Ob} f = \mathrm{id},\
\bigl(f_a : \mathrm{Aut}(a) \to \mathrm{Aut}(\underbrace{f(a)}_{=a})\bigr) = \mathrm{id} \bigr\}
On considère, pour tout x \in C_0,
T_x = \mathrm{Isom}(a, x), \quad \pi_a\text{-torseur à droite}
et son commutant \mathrm{Aut}(x)
Corollaire. Pour que f soit un iso, il faut et il suffit que
a) f induise \pi_0(f) : \pi_0(C) \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_0(C')b) f induise \mathrm{Ob} f = f_0 : \mathrm{Ob}(C) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Ob}(C')c) \forall i \in I, f_{a_i, a_i} : \mathrm{Aut}(a_i) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Aut}(f(a_i))
NBf équivalence \Longleftrightarrow a) et c) sont vrais.
Corollaire Pour qu'une application f_0 : C_0 \to C'_0 provienne d'un iso f : C \simeq C', il faut et il suffit que
a) f_0est bijectiveb) f_0 transforme la relation d'équivalence de C_0 (par comp. connexes) en celle de C'_0 (condition vide si C, C' connexes).c) \forall i \in I, \mathrm{Aut}\, f_0(a_i) est isomorphe à \mathrm{Aut}(a_i).
Supposons C = C'. Alors on trouve
\mathrm{Aut}(C) \longrightarrow \mathfrak{S}_{C_0} \quad \text{\textit{surjective}}
si \mathrm{Aut}^0(C) est le noyau, on trouve dans
la phrase se poursuit au-delà de ce lot.