Cote n° 138, pages 41–60

Cote n° 138 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Cartes. Etude arithmétique (1976, 77 ?) : bon de commande (s.d.), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1976-1978]
Édition de démonstration

41la page s'ouvre sur des formules sans phrase d'introduction ; ce qui les précède se trouve avant ce lot.

$I \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Ens}_3$

\[ \pi(I) = \hat{\mathbb{Z}}^{I} / \hat{\mathbb{Z}}, \qquad \pi_n(I) = (\mathbb{Z}/n)^{I} / (\mathbb{Z}/n) \]

à droite, séparé par un trait vertical : $\mathfrak{S}_I \times \hat{\mathbb{Z}}^{\times}$, avec deux flèches vers « structurel » (sur $\mathfrak{S}_I$) et « hom. » (sur $\hat{\mathbb{Z}}^{\times}$), et « y opère »

\[ \mathcal{E}''_{1}(I) \simeq \bigl(\mathfrak{S}_I \times \hat{\mathbb{Z}}^{\times}\bigr) \cdot_{1/2} \pi(I) \] l'indice $\tfrac12$ sous le point est celui qu'il met aussi p. 46 ($\mathbb{D}_\infty = (\mathbb{Z}/2)\cdot_{1/2}\mu_\infty$) ; il semble noter un produit semi-direct (« $\tfrac12$ direct », p. 43).

\[ E(I, i) \simeq \hat{\mathbb{Z}}^{(\pm 1)}_{\wedge}\bigl(I \setminus \{i\}\bigr) \qquad (i \in I) \] \[ E(I; I) \simeq \coprod_{i \in I} E(I, i) \]

[…] $\omega \simeq \mathrm{Or}(I) \wedge \{1, \bar{\jmath}\} \simeq \mathrm{Or}(I) \subset \pi_3 = (\mathbb{Z}/3)^{I}/(\mathbb{Z}/3) = \mathbb{F}_3^{I}/\mathbb{F}_3$ le second élément de l'accolade, lu $\bar{\jmath}$, est douteux.

\[ E(I, \omega) = p_3^{-1}(\omega) \subset \pi_\infty(I) \] \[ 0 \to \pi_\infty(I) \to \pi_\infty(I) \to \pi_3(I) \to 0, \qquad \omega \in \pi_3(I) \] le premier terme de la suite, lu $\pi_\infty(I)$, est surchargé et peut-être biffé : lecture douteuse.

Une flèche descend de […] vers $E(I, i)$.

43Genre de la courbe de Fermat $C_n$ (qui est une courbe […] ⌜[…]⌝ lisse de degré $n$) \[ g_n = \frac{(n-1)(n-2)}{2}. \] Le genre est $0$ ssi $n = 1, 2$, il est $1$ ssi $n = 3$. Pour $n = 4$ il est $3$, pour $n = 6$ il est $10$, pour $n = 12$ il est $55$ …

Considérons le cas $n = 2$ \[ C_2 : x^2 + y^2 + z^2 = 0 \] comme une triangulation pondérée. Elle est formée des $4 \cdot 2 = 8$ triangles, chaque type […] intervenant $2$ fois, avec degré […] $4$ (p. 2.2) […] pour les […] […]. Sauf erreur, c'est l'octaèdre ⌜sphérique⌝, dont le groupe des automorphismes orientés est bien $\simeq \mathfrak{S}_4$ d'ordre $24$, et peut s'écrire comme produit $\tfrac12$ direct de $\mathfrak{S}_3$ par $(\mathbb{Z}_2)^2$ !

Divisant par les trois s-groupes $\mathbb{F}_2$ de $\pi_2 \simeq \mu_2^3/\mu_2$, on trouve les $3$ revêtements d'ordre $2$ de $C_1 \simeq \mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}}$ qui correspondent au dièdre ⌜monoèdre⌝ […] (cardinal) et à ses transformés par $\mathfrak{S}_3$.

à gauche, une sphère parcourue de trois grands cercles, les points d'intersection marqués $0$, $1$, $\infty$ (chacun deux fois) ; au-dessous, une seconde figure : une courbe fermée contenant un ovale, avec les points $\infty$, $0$, $1$, $0$, $\infty$ et deux traits marqués $1$.

la note suivante est encadrée, en bas à gauche de la page, à côté de la seconde figure ; sa prose se lit mal. NB L'octaèdre ou subdivision barycentrique du […] biédre (qui est autodual) […] et a le type de ramification \[ \begin{matrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{matrix} \] en particulier de celle du […] dièdre \[ \left(\begin{matrix} 2 & 2 & n \\ 2 & 2 & n \end{matrix} \;\text{pour } n = 2\right), \] ce qui confirme, via la unicité de la […] rev.-théorie […] à conjugaison près par $2$ …

45Posons pour abréger $X = C_2$, soit $D$ le diviseur de ramification sur $X$ (de degré $6$) — son corps de définition est $\mathbb{Q}(i)$ ; ⌜posons $X^{*} = X \setminus D$⌝ posons $X^{*} = X \setminus D$, et soit $\widetilde{X^{*}}$ le rev. universel abélien de $X^{*}$

Soit $X_\infty$ le ⌜pro-⌝revêtement abélien ⌜principal⌝ de $X$ défini par la famille des $X_n$ ($n$ pair), il a comme groupe $(\pi_\infty)_{\struck{X}\,2}$ l'indice de $(\pi_\infty)$ est surchargé : un $X$ barré, puis un chiffre, peut-être $2$. La phrase s'arrête là ; le reste de la page est blanc.

46\[ \begin{array}{ll} X_n = \widehat{\mathrm{Spec}}\, k[x_n] & x_n^{\,n} = x_1 \\ \downarrow & \\ X_1 = \widehat{\mathrm{Spec}}\, k[x_1 = z] & \\ \downarrow & \\ X_0 = \widehat{\mathrm{Spec}}\, k[x_0] & x_0 = \frac12 - \frac14\bigl(z + z^{-1}\bigr) \end{array} \] en marge gauche de la première flèche, une étoile à branches (le revêtement $x_n^n = x_1$) ; en marge de la seconde, un cercle marqué $-1$ et $1$.

Pour $X_n \to X_1$ (encadré : $n \{ \vdots\; n$) : ramifications en dessus des pts $0, \infty$ (où la ramification est $n$) ; ligne ajoutée au-dessous : ⌜pts de ramification en haut : $0, \infty$⌝

Pour $X_1 \to X_0$ (encadré : $2\;2 \mid 1\;1$) : ramification au dessus de

$0$ ⌜($z = 1$, ramifié $2$)⌝ $\infty$ […] (pts […] dessus) ;
$1$ ($z = -1$, ramifié $2$) idem ;
$\infty$ ($0$ et $\infty$, ramification $1$).

\[ \mathbb{D}_\infty = (\mathbb{Z}/2) \cdot_{1/2} \mu_\infty \]

au milieu de la page, un schéma des fibres : au-dessus de $0$ et de $\infty$ en bas, deux flèches venant de « $0\,(1)$ » et « $\infty\,(1)$ », elles-mêmes images de « $0\,(n)$ » et « $\infty\,(n)$ » ; à côté, « $1\,(1)$ » (entouré : « $n$ fois ») $\to$ « $1\,(2)$ » $\to 0$, et, en partie biffé, « $-1\,(2)$ » $\to 1$ ; à droite, « $n$ pair ». À gauche, deux lignes de points : $0\,(2)$, $1\,(2)$, $\infty_1\,(1)$, $\infty_2\,(1)$, puis $0$, $1$, $\infty$.

en bas, un ovale portant alternativement des traits marqués $0$ et des points marqués $1$ (quatre de chaque), avec $\infty$ au-dessus et au-dessous de l'ovale.

48\[ z' = z^3, \qquad y' = y\,(y^2 - 3x^2), \qquad x' = -x\,(x^2 - 3y^2) \] \[\begin{align*} & z^6 + y^2\,(y^4 + 9x^4 - 6x^2y^2) + x^2\,(x^4 + 9y^4 - 6x^2y^2) \\ &\quad = x^6 + y^6 + z^6 + 3\,x^2y^2\,(x^2 + y^2) = \text{\struck{$(x^2 + y^2 + z^2)^3$}} \\ &\quad = x^6 + y^6 + z^6 - 3\,x^2y^2z^2 \end{align*}\] à côté de la dernière ligne, un début non achevé : $x^6 + y^6 + z^6 + \cdots$. Les signes de la seconde ligne sont écrits vite ; le premier $+$ entre $x^6$ et $y^6$ pourrait être un $-$.

\[ \Bigl(\frac{y}{z}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{x}{z}\Bigr)^2 = -1 \qquad a + ib \qquad \text{\struck{$a^2 + b^2 = -1$}} \] $x^2 + y^2 + z^2$

deux copies de la droite, $X$ et $X'$, avec les points $0$, $1$, $-1$, $2$, $\infty$ sur $X$ et $0$, $1$, $\infty$ sur $X'$ ; des flèches courbes envoient $0 \mapsto 0$, $1$ et $-1 \mapsto 1$, $\infty \mapsto \infty$ ; deux traits verticaux, le second marqué $n$.

\[\begin{gather*} \frac{p(x)}{q(x)} = \lambda, \qquad p(x) - \lambda\, q(x) = 0, \qquad p'(x) - \lambda\, q'(x) = 0 \\ \lambda = \frac{p'}{q'}, \qquad p - \frac{p'}{q'}\, q = 0, \qquad \text{\struck{$q'p -$}}\; p'q - q'p = 0 \end{gather*}\] $(x^2)^2 = (\pm x \cdots)^2$ […] $\dfrac{az^2 + bz + c}{z^2}$ […] $2z\,(az^2 + bz + c) - \cdots$ dans cette dernière ligne, le $\pm x$ et le coefficient $a$ (surchargé) sont des lectures douteuses.

50\[ \cos 2u = \frac{1 - \mathrm{tg}^2 u}{1 + \mathrm{tg}^2 u}, \qquad \sin 2u = \frac{2\,\mathrm{tg}\, u}{1 + \mathrm{tg}^2 u} \] \[ 2 \sin u \cos u = 2 \cos^2 u \;\mathrm{tg}\, u = \] \[ \left\{ \begin{aligned} x &= \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\ y &= \frac{2t}{1 + t^2} \end{aligned} \right. \qquad t = y/x \quad \text{quand } z = 1 \] « quand » est une lecture douteuse. sous $t = y/x$, une expression biffée et surchargée, commençant par $1 + t + \cdots$. \[ x = 1 - t^2, \qquad y = 2t, \qquad z = 1 + t^2 \] $y \quad t = \pm i$ $t = 0$

\[ z = 0 \text{ i.e. } t = \mp i \;\Longrightarrow\; x = 2,\ y = \mp 2i \;\sim\; x = 1,\ y = \mp i \] \[ \sim\; x = \pm i,\ y = 1 \] \[ y = 0 \text{ i.e. } t = 0 \qquad (1, 0, 1) \]

\[ x^2 + y^2 + z^2 = 0 \qquad C_2 = X \longrightarrow \mathbb{P}^1 = \widehat{\mathrm{Spec}}\,(k[t]) \] le « $\widehat{\mathrm{Spec}}$ » est douteux : le mot sous le chapeau est à peine formé. \[ (\pm i, 1, 0) \longrightarrow t = \mp i, \qquad (\pm i, 0, 1) \longmapsto t = 0, \qquad t = \frac{y}{x} \] \[ x' = 1 - t^2 = 1 - \frac{y^2}{x^2} = \frac{x^2 - y^2}{x^2}, \qquad y' = 2t = \frac{2y}{x}, \qquad z' = 1 + t^2 = \frac{x^2 + y^2}{x^2} \] \[ \sim\; (x', y', z') = (x^2 - y^2,\ 2xy,\ x^2 + y^2) \]

\[ \left\{ \begin{aligned} x' &= x^2 - y^2 \\ y' &= 2xy \\ z' &= x^2 + y^2 \end{aligned} \right. \qquad \begin{aligned} x'^2 + y'^2 - z'^2 &= x^4 + y^4 - 2x^2y^2 + 4x^2y^2 \\ &\quad - (x^2 + y^2)^2 = 0 \end{aligned} \]

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  X \arrow[r, "2"] \arrow[dr, bend right=20, "f_n"'] & X' \arrow[r, "?"] & X' \\
  & X \arrow[ur, "2"'] &
\end{tikzcd}

le label de la flèche $X' \to X'$, noté « ? », est […] : il se lit « $n$-[…] », peut-être « $n$-ifian » ; la flèche courbe est marquée $f_n$.

\[ s = -\frac{t + i}{t - i} = -\frac{(t + i)^2}{t^2 + 1} = -\frac{t^2 - 1}{t^2 + 1} - \frac{2it}{t^2 + 1} \] \[ \Bigl(\frac{t + i}{t - 1}\Bigr)^{n} = \] au dénominateur de la dernière formule il écrit $t - 1$, là où la ligne précédente a $t - i$. Un signe […] précède $s$ dans la marge.

52\[ \pi_n = \mu_n^{3} / \mu_n \] \[ \widetilde{X}_2(p, q, r) = X_2(2p, q, 2r) \] en haut à droite : $0' \mapsto{}$ $\infty''$, $1' \mapsto 1''$, $\infty' \mapsto{}$ $0''$ ; au-dessous, soulignés deux à deux : $0' \mapsto 1'$, $1' \mapsto \infty'$ ?

un diagramme de revêtements, trop surchargé pour être mis en tikz-cd sans choisir entre des flèches biffées. On y lit : $X_2(p,q,r) \to X_2$ (étiquette $\mu_p \times \mu_q \times \mu_r$) ; $\widetilde{X}_2(p,q,r) \to \widetilde{X}_2$ (étiquette biffée, puis $\mu_{2p} \times \mu_{2q} \times \mu_{2r} \times \pi_n$ ?) ; $X_2(2,2,2) = \widetilde{X}_2 \to X_2$ (étiquette $\mu_2^{3}$) et $\widetilde{X}_2 \to X_4$ (étiquette $\mu_2$) ; $\widetilde{X}_2(n) \to \widetilde{X}_2$ (étiquette $\pi_n$) et $\widetilde{X}_2(n) \to X_{4n}$ (étiquette $\mu_{2n}$ ?) ; $X_{4n} \to X_4$ (étiquette $\pi_4$) ; $X_4 \to X_2$ (étiquette $\pi_2$), $X_4 \to X_1$ (étiquette $\pi_4$) ; $X_2 \to X_1$ (étiquette $\pi_2$) ; une longue flèche de la droite vers $X_2$ sous une étiquette très biffée ($\mu_2^{3}$ ?), et une flèche courbe de $X_1$ vers la droite, étiquetée $\pi_{2n}$ ; un grand arc part du bas et remonte vers $\widetilde{X}_2(p,q,r)$.

\[ \mu_{2p} \times \mu_{2q} \times \mu_{2r} \times \pi_n \] si $p = q = r = 1$, $n = 2$, on trouve \[ \mu_2 \times \mu_2 \times \mu_2 \times \pi_2 \twoheadrightarrow \mu_2^{3}/\mu_2 \] la flèche finale est un trait souligné sous $\pi_2$ ; le sens « $\twoheadrightarrow$ » est une lecture.

TSVP

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  \widetilde{X}_2 \arrow[d] & \cdot \arrow[l] \\
  X_4 & X_8 \arrow[l]
\end{tikzcd}

c'est le seul contenu de la page ; il reprend le diagramme de la p. 52. La source de la flèche horizontale du haut n'est pas écrite. Le $X$ de $X_8$ est écrit sur une première lettre […].

54\[ X = \frac{y^2 - x^2}{z^2}, \qquad Y = -\frac{2xy}{z^2} \] \[ X + iY = \frac{1}{z^2}\bigl(y^2 - x^2 - 2ixy\bigr) = \frac{1}{z^2}\,(y - ix)^2 \] \[ (X + iY)^{n} = \frac{1}{z^{2n}}\,(y - ix)^{2n} = \frac{1}{z^{2n}}\bigl(P_n(x, y) + i\,Q_n(x, y)\bigr) \] \[ \overset{?}{=}\; \frac{y'^2 - x'^2}{z'^2} \mp 2i\,\frac{x'y'}{z'^2} \] il écrit $(y + ix)^2$ à la fin de la deuxième ligne, où le calcul donne $(y - ix)^2$ ; le signe est surchargé.

$x', y', z'$ fonctions rat. des $x, y, z$ ?! P.ex. $z' = z^n$ $P_n(x, y) =$ $\dfrac{B_n(x, y, z)}{Z^{n}}$ et $B_n$ le $Z$ du dénominateur est lui-même biffé. \[\begin{align*} B_n(x, y)^2 - A_n(x, y)^2 &= P_n(x, y) \\ -2\, A_n(x, y)\, B_n(x, y) &= Q_n(x, y) \end{align*}\] \[ X + iY = \Bigl(\frac{y - ix}{z}\Bigr)^2 = \Bigl(\frac{y}{z} - i\,\frac{x}{z}\Bigr)^2 \] \[ \Bigl(\frac{y}{z} - i\,\frac{x}{z}\Bigr) \qquad \Bigl(\frac{y}{z} - i\,\frac{x}{z}\Bigr)^{2n+1} \qquad (-i)^3 = -i\,(i^2) = i \] \[ \Bigl(\frac{y}{z} - i\,\frac{x}{z}\Bigr)^3 = \frac{1}{z^3}\,\bigl[\,y^3 - 3iy^2x - 3yx^2 + ix^3\,\bigr] \] \[ = y^3 - 3yx^2 + i\,(x^3 - 3y^2x) \] \[ = y\,(y^2 - 3x^2) + i\,x\,(x^2 - 3y^2) \] les deux dernières lignes, sous une accolade, omettent le facteur $1/z^3$. Elles redonnent les $y'$ et $x'$ de la p. 48.

Automorphismes de groupoïdes

la p. 56, feuille rose, ne porte que les mots « autom. des groupoïdes », de sa main, en haut à droite : c'est une chemise pour les pp. 57–60.

57Automorphismes de groupoïdes.

1) Soient $C$ […] un groupoïde, $C'$ une catégorie, […] […] : \[ \mathrm{Hom}(C, C') = \mathrm{Ob}\, \underline{\mathrm{Hom}}(C, C'). \] On a \[ \mathrm{Hom}(C, C') \longrightarrow \mathrm{Hom}\bigl(\underbrace{\mathrm{Ob}\,C}_{C_0},\, \underbrace{\mathrm{Ob}\,C'}_{C'_0}\bigr) \] Soit \[ f_0 : C_0 \to C'_0 , \] on cherche les $f : C \to C'$ qui lui donnent naissance. On trouve :

Proposition a) Pour qu'il existe un $f$ au-dessus de $f_0$, il faut et il suffit que pour $x, y \in C_0$ isomorphes : c'est-à-dire dans la même comp. connexe de $C$ (i.e. tels que $\mathrm{Hom}_C(x, y) \neq \emptyset$) on ait $f_0(x) \simeq f_0(y)$. b) […], cette condition […] […] b) Pour toute composante connexe $C(i)$ de $C$, soit $a_i \in C(i)_0$, et pour tout $x \in C(i)_0$, soit $u_x : a_i \xrightarrow{\ \sim\ } x$. Alors \[ \mathrm{Hom}_{f_0}(C, C') \xrightarrow{\ \sim\ } \prod_{x \in C_0} \mathrm{Isom}\bigl(f_0(a_{i(x)}), f_0(x)\bigr) \] \[ \times \prod_{i} \mathrm{Hom}\bigl(\mathrm{Aut}(a_i), \mathrm{Aut}(f_0(a_i))\bigr) \] sous le premier produit, un indice surchargé : $\struck{x \in C_0}$ puis […].

58\[ f \longmapsto \Bigl(\bigl(\underbrace{f(u_x)}_{\ell_x}\bigr)_{x \in C_0},\ \bigl(\underbrace{f_{a_i, a_i} : \mathrm{Aut}(a_i) \to \mathrm{Aut}(f_0(a_i))}_{\varphi_i}\bigr)\Bigr). \]

c) Pour que $f$ soit fidèle, il faut et il suffit que $\forall i \in I$, $\varphi_i$ soit injectif.

Pour que $f$ soit pleinement fidèle, il faut et il suffit que 1°) pour $i \neq j$, on ait $\mathrm{Hom}\bigl(f_0(a_i), f_0(a_j)\bigr) = \emptyset$ ; 2°) pour $\forall x, y \in C(i)_0$, \[ \mathrm{Isom}\bigl(f_0(x), f_0(y)\bigr) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}\bigl(f_0(x), f_0(y)\bigr) ; \] le premier « Isom » est douteux, surchargé sur une première écriture. 3°) $\forall i \in I$, $\varphi_i$ est un iso.

détermine $C$ Pour que $f$ soit une équivalence, il faut et il suffit qu'il soit pl. fidèle et qu'on ait de plus 4°) Tout $x' \in C'_0$ est isomorphe à un des $f_0(a_i)$.

Pour que $f$ soit un iso, il faut et il suffit qu'on ait 1°, 2°, 3°) et de plus 4'°) $f_0$ bijective.

59le haut de la page, jusqu'à « $C_0 \xrightarrow{u_0} C'_0$ », est barré de quatre longs traits obliques ; il se lit néanmoins. $C = (C_0, C_1)$ groupoïde connexe

$G = \mathrm{Aut}(C)$ groupe des automorphismes

$G^0$ s-groupe des […] de $G$ induisant l'identité sur $C_0$ $1 \to G^0 \to G \to \mathfrak{S}_{C_0} \to 1$ (sous $G$ : surj)

[Pour qu'une autoéquivalence ⌜$u$⌝ soit un iso, il faut et il suffit qu'elle soit bijective sur l'ensemble des objets de $C$, et induise un iso. sur les $\mathrm{Aut}(a) \to \mathrm{Aut}(u(a))$ pour un $x \in C_0$ ; d'autre part, toute application $C_0 \xrightarrow{u_0} C'_0$

\[ 1 \to \mathrm{Aut}^0(C) \to \mathrm{Aut}\,C \to \mathfrak{S}_{C} \to 1 \] $\mathrm{Aut}^0(C) \simeq$ \[ 1 \to \mathrm{Aut}^0(C, a) \to \mathrm{Aut}^0(C) \to \mathrm{Aut}(\pi_a) \to 1, \qquad \pi_a = \mathrm{Aut}_C(a) \] A Par définition $\mathrm{Aut}^0(C, a) =$ \[ \mathrm{Aut}^0(C, a) = \bigl\{ f \in \mathrm{Aut}(C) \bigm| \mathrm{Ob} f = \mathrm{id},\ \bigl(f_a : \mathrm{Aut}(a) \to \mathrm{Aut}(\underbrace{f(a)}_{=a})\bigr) = \mathrm{id} \bigr\} \] On considère, pour tout $x \in C_0$, \[ T_x = \mathrm{Isom}(a, x), \quad \pi_a\text{-torseur à droite} \] et son commutant […] $\mathrm{Aut}(x)$

60Corollaire. Pour que $f$ soit un iso, il faut et il suffit que

a) $f$ induise $\pi_0(f) : \pi_0(C) \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_0(C')$
b) $f$ induise $\mathrm{Ob} f = f_0 : \mathrm{Ob}(C) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Ob}(C')$
c) $\forall i \in I$, $f_{a_i, a_i} : \mathrm{Aut}(a_i) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Aut}(f(a_i))$

NB $f$ équivalence $\Longleftrightarrow$ a) et c) sont vrais.

Corollaire Pour qu'une application $f_0 : C_0 \to C'_0$ provienne d'un iso $f : C \simeq C'$, il faut et il suffit que

a) $f_0$ est bijective
b) $f_0$ transforme la relation d'équivalence de $C_0$ (par comp. connexes) en celle de $C'_0$ (condition vide si $C, C'$ connexes).
c) $\forall i \in I$, $\mathrm{Aut}\, f_0(a_i)$ est isomorphe à $\mathrm{Aut}(a_i)$.

[…] Supposons $C = C'$. Alors on trouve \[ \mathrm{Aut}(C) \longrightarrow \mathfrak{S}_{C_0} \quad \text{\textit{surjective}} \] si $\mathrm{Aut}^0(C)$ est le noyau, on trouve dans la phrase se poursuit au-delà de ce lot.