Fonds Grothendieck, cote n° 138, pages 1–20

dictionnaire galoisien de descentes etc…

titre de sa main, seul, en haut d'un feuillet par ailleurs blanc (p. 3), qui sert de chemise aux pages suivantes

(1.1)

(1) k corps, \bar{k} clôture séparable, \Gamma = ~~\mathrm{Aut}~~ \mathrm{Gal}(\bar{k}/k) (groupe profini)

(2) \mathfrak{X} schéma connexe sur \bar{k}, \mathcal{G} = \mathrm{Aut}_{k}(\mathfrak{X}), \qquad \mathfrak{G} = \mathrm{Aut}_{\bar{k}}(\mathfrak{X}) On suppose que \bar{k} est séparablement clos dans H^0(\mathfrak{X},\mathcal{O}_{\mathfrak{X}}), donc \bar{k} est la clôture séparable de k dans H^0(\mathfrak{X},\mathcal{O}_{\mathfrak{X}})

(3) encadré 1 \to \mathfrak{G} \to \mathcal{G} \to \Gamma .

(1.2) Si k \subset k_1 \subset \bar{k}, alors k_1 \longleftrightarrow \Gamma_1 sous-groupe fermé de \Gamma

(4) encadré \mathcal{G}_1 = \mathrm{Aut}_{k_1}(\mathfrak{X}) est donc l'image inverse de \Gamma_1 dans \mathcal{G} un petit signe au-dessus de l'indice de \mathcal{G}_1, ici et en (10), n'est pas reproduit

(5)

\begin{tikzcd} 1 \arrow[r] & \mathfrak{G} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel" description] & \mathcal{G} \arrow[r] & \Gamma \\ 1 \arrow[r] & \mathfrak{G} \arrow[r] & \mathcal{G}_1 \arrow[r] \arrow[u, hook, "\mathrm{cart}"'] & \Gamma_1 \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

(1.3) Une donnée de descente de \mathfrak{X} de \bar{k} à k revient à un scindage de (3),

(6)

\begin{tikzcd} 1 \arrow[r] & \mathfrak{G} \arrow[r] & \mathcal{G} \arrow[r] & \Gamma \arrow[r, "!"] \arrow[l, bend left=40] & 1 \end{tikzcd}

qui permet d'écrire

(7) \mathcal{G} \simeq \Gamma \underset{1/2}{\cdot} \mathfrak{G} Sous réserve de conditions (d'effectivité, ~~et vraie~~ OK si \mathfrak{X} quasi-projectif sur \bar{k}) il revient au même de se donner un couple X/k et un iso

(8) X \otimes_k \bar{k} \simeq \mathfrak{X}

(1.3.1) Plus gén., une descente de \mathfrak{X} au corps de base k_1 revient à : un \Gamma_1-scindage

(9)

\begin{tikzcd} \mathcal{G} \arrow[r] & \Gamma \\ & \Gamma_1 \arrow[u, hook] \arrow[ul, dashed] \end{tikzcd}

i.e. à un scindage de 1 \to \mathfrak{G} \to \mathcal{G}_1 \to \Gamma_1 d'où une écriture correspondante

(10) \mathcal{G}_1 = \Gamma_1 \underset{1/2}{\cdot} \mathfrak{G} .

(2.1) Soit \widetilde{\mathfrak{X}} un rev. universel (ou profini) de \mathfrak{X}, ~~rev. p.-fini galoisien~~ dans un sens convenable,

(11) \mathcal{E} = \mathrm{Aut}_k(\widetilde{\mathfrak{X}} \to \mathfrak{X})

(12) 1 \to \pi_1 \to \mathcal{E} \to \mathcal{G} \to 1 où

(13) \pi_1 = \mathrm{Aut}(\widetilde{\mathfrak{X}}/\mathfrak{X}) est un groupe fondamental de \mathfrak{X} (groupe profini).

NB \mathcal{G} \to \mathrm{Autext}(\pi_1) est au sens des aut. ext. des groupes profinis \pi_1 (i.e. pour g \in \mathcal{E}, \mathrm{int}(g)|\pi_1 est continu)

~~Ceci vaut aussi~~

(2.2) Considérons un rev. p.-fini galoisien \mathfrak{X}' de \mathfrak{X}, correspondant à un s-groupe fermé invariant

(12) le numéro porté ici se lit (12), qui est déjà pris ; la suite reprend à (13) en p. 5 puis p. 6 N \subset \pi_1, \qquad \pi_1/N = G = \mathrm{Aut}(\mathfrak{X}'/\mathfrak{X}), \qquad \mathfrak{X}' = \widetilde{\mathfrak{X}}/N devant G, un symbole biffé et illisible

Soient

(13) \mathcal{E}' = \mathrm{Norm}_{\mathcal{E}}(N) \supset \pi_1 = stabilisateur dans \mathcal{E} de la relation d'équivalence dans \widetilde{\mathfrak{X}} définie par \widetilde{\mathfrak{X}} \to \mathfrak{X}', i.e. par op. de N…

(14) \mathcal{G}' = \mathcal{E}'/N de sorte que

(15) \mathcal{G}' \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Aut}_k(\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}) et une suite exacte

(16)

\begin{tikzcd} 1 \arrow[r] & G \arrow[r] & \mathcal{G}' \arrow[r] & \mathcal{G} \arrow[r, dashed] & \Gamma \end{tikzcd}

NB L'hyp. \bar{k} sép. clos dans H^0(\mathfrak{X},\mathcal{O}_{\mathfrak{X}}) est préservée : \widetilde{\mathfrak{X}}, \mathfrak{X}' et l'extension \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to \Gamma est l'hom. déduit de \mathrm{Aut}_k(\mathfrak{X}') \to \Gamma = \mathrm{Aut}(\bar{k}/k)

Dire que \mathcal{G}' \to \mathcal{G} est surj. revient à dire que \mathcal{E}' = \mathcal{E}, i.e. N invariant dans \mathcal{E}, i.e. N ~~invariant~~ fixe sous l'action de \mathcal{G} opérant sur l'ens. des s-groupes invariants fermés de \pi_1. NB Si \pi_1 est de type fini, il admet un syst. fond. de voisinages de 1 formé de s-groupes (ouverts, i.e. finis d'indice fini) invariants caractéristiques par tt automorphisme, et en particulier par les invariants dans \mathcal{E}.

~~(2.3) Données de descentes de \mathfrak{X}' \to \mathfrak{X} sur k~~ les deux dernières lignes de la page et les premières de la page 7 sont barrées de traits obliques ; on y lit encore « revient à la donnée d'un scindage » et un diagramme \mathcal{G}' \to \Gamma muni d'une section recourbée

(2.3) Soit

(17) \mathfrak{G}' = \mathrm{Aut}_{\bar{k}}(\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}) ~~Alors \mathfrak{G}' est d'~~ dans suite exacte

(18) 1 \to G \to \mathfrak{G}' \to \mathfrak{G} , qui se déduit (via l'iso. can.) de (16) comme

(19) \begin{aligned} \mathfrak{G}' &\simeq \text{image inverse de } \mathfrak{G} \subset \mathcal{G} \text{ par } \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \\ &\simeq \mathrm{Ker}(\mathcal{G}' \to \Gamma) \end{aligned}

Le cas favorable N inv. dans \mathcal{E} i.e. \mathcal{G}' \to \mathcal{G} surjectif revient à dire : a) \mathfrak{G}' \to \mathfrak{G} surjectif et b) \mathcal{G}' \to \Gamma ~~surjectif~~ a même image que \mathcal{G} \to \Gamma.

NB Si \mathfrak{X} de prés. finie sur k, alors l'image \Gamma_1 de \mathcal{G} dans \Gamma est un sous-groupe ouvert, et si de plus \mathfrak{X}' \to \mathfrak{X} fini sur \mathfrak{X} ie de prés. finie sur k, alors l'image \Gamma_1' (\subset \Gamma_1) de \mathcal{G}' dans \Gamma l'est également.

(2.4) Une donnée de descente sur (\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X})/\bar{k} de \bar{k} vers k, revient à la donnée d'un scindage

(20)

\begin{tikzcd} \mathcal{G}' \arrow[r] & \Gamma \arrow[l, bend left=40] \end{tikzcd}

permettant d'écrire

(21) \mathcal{G}' \simeq \Gamma \underset{1/2}{\cdot} \mathfrak{G}' .

Plus généralement, si k \subset k_1 \subset \bar{k}, correspondant à \Gamma_1 \subset \Gamma ss-groupe fermé, une donnée de descente de \bar{k} à k_1 revient à : un scindage partiel

(22)

\begin{tikzcd} \mathcal{G}' \arrow[r] & \Gamma \\ & \Gamma_1 \arrow[u, hook] \arrow[ul] \end{tikzcd}

et quelles : introduisons les variantes

oubli : à vérifier dans les formules !

(23) \begin{aligned} \mathcal{E}_1 &= \mathrm{Aut}_{k_1}(\widetilde{\mathfrak{X}} \to \mathfrak{X}) = \text{l'image inverse de } \Gamma_1 \subset \Gamma \\ &\qquad \text{par } \mathcal{E} \to \mathcal{G} \to \Gamma \text{ (composé)} \\ \mathcal{E}_1' &= \ldots\ldots = \mathcal{E}' \cap \mathcal{E}_1 \\ \mathcal{G}_1' &= \mathrm{Aut}_{k_1}(\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}) = \text{l'image inverse de } \Gamma_1 \subset \Gamma \\ &\qquad \text{par } \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to \Gamma \end{aligned} le trait vertical qui borde ces trois lignes à gauche les groupe sous le numéro (23)

il revient au = de se donner un iso. compatible avec la structure…, d'écrire \mathcal{G}_1' \simeq \Gamma_1 \underset{1/2}{\cdot} \mathfrak{G}'

(2.5) Situation où N invariant dans \mathcal{E} i.e. inv. par \mathcal{G}, et \mathcal{G} \to \Gamma est surjectif : \mathcal{G}' ~~devient~~ est muni de suite de composition ayant les quotients successifs (\Gamma, \mathfrak{G}, G)

(24) \overbrace{G \quad \mathfrak{G} \quad \Gamma}^{\mathcal{G}'} \underbrace{G \quad \mathfrak{G}}_{\mathfrak{G}'} \qquad \underbrace{\mathfrak{G} \quad \Gamma}_{\mathcal{G}} sur la page, une seule rangée G\ \mathfrak{G}\ \Gamma : une accolade au-dessus embrasse les trois termes (\mathcal{G}'), deux accolades au-dessous, jointives en \mathfrak{G}, embrassent G\,\mathfrak{G} (\mathfrak{G}') et \mathfrak{G}\,\Gamma (\mathcal{G})

L'extension \mathfrak{G}' de \mathfrak{G} par G = \mathrm{Aut}(\mathfrak{X}'/\mathfrak{X}) est de nature « géométrique », l'extension \mathcal{G}' de \Gamma par \mathfrak{G}' exprime les conditions arithmétiques de la situation.

Nous nous intéressons surtout au cas où \mathfrak{G} et G sont finis, et \Gamma infini, i.e. \bar{k} extension infinie de k, ~~Considérons~~ \mathfrak{X} (donc aussi \mathfrak{X}') étant de prés. finie sur k. [On a de plus, \mathfrak{X}/\bar{k}/k définissant \mathfrak{X}' par N de \widetilde{\mathfrak{X}} \cap N = 1.] On voit que pour un groupe quotient fini \gamma_i (= \Gamma/\Gamma_i) de \Gamma

et une extension

(25) 1 \to \mathfrak{G}' \to \mathcal{G}_i' \to \gamma_i \to 1 dont l'extension \mathcal{G}' provient (à iso près) par \Gamma \to \gamma_i. La donnée de de \gamma_i revient, à celle d'un ss-groupe distingué ouvert \Gamma_i de \Gamma d'une ss-ext. ~~galoisienne~~ finie k_i de \bar{k}/k — complétée de l'extension (25) et de l'iso. d'ext. de \mathcal{G}' avec \mathcal{G}_i' \times_{\gamma_i} \Gamma revient à la donnée d'un ~~relèvement~~ scindage partiel

(26)

\begin{tikzcd} 1 \arrow[r] & \mathfrak{G}' \arrow[r] & \mathcal{G}' \arrow[r] & \Gamma \arrow[r] & 1 \\ & & & \Gamma_i \arrow[u, hook] \arrow[ul] \end{tikzcd}

dont l'image dans \mathcal{G}' soit un ss-groupe invariant de \mathcal{G}' [le quotient par lui étant précisément \mathcal{G}_i'…], ce qui revient au =, une commute à \mathfrak{G}', i.e. qu'il centralise (pour act. int.) sur \mathfrak{G}'. Traduisant en termes géom., cela signifie que 1°) une réduction de \mathfrak{X}' \to \mathfrak{X} du corps de base de \bar{k} à k_i,

i.e. la donnée d'une situation X_i' \to X_i sur k_i, ~~dont~~ et un iso. (\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}) \simeq (X_i' \to X_i) \otimes_{k_i} \bar{k} ; de ceci on déduit une extension de schémas en groupes finis étales sur k_i

(27) 1 \to G_i \to \mathfrak{G}_i' \to \mathfrak{G}_i \to 1 et on exige que \mathfrak{G}_i' soit un groupe constant [i.e. que les automorphismes « géom. » de \mathfrak{X}' \to \mathfrak{X} (sur \bar{k}) ~~soient~~ « définis sur k_i »…]

Il faut bien noter que pour k_i fixé, il peut y avoir plusieurs données non isomorphes de cette espèce sur k_i, i.e. plusieurs scindages partiels \Gamma_i \to \mathcal{E}' qui centralisent \mathfrak{G}_i'. La La propriété d'unicité ~~consiste~~ évidente consiste pour la s'ignorer, quelle : prendre une sous-extension finie assez grande…

De façon précise, introduisons

(28) Z = \mathrm{Centr}_{\mathcal{G}'}(\mathfrak{G}')

de sorte que

(29) \mathfrak{z} \overset{\mathrm{df}}{=} Z \cap \mathfrak{G}' = \text{Centre de } \mathfrak{G}' la lettre bouclée (un « z » en forme de 3) est rendue \mathfrak{z} et on a une suite exacte centrale

(30) 1 \to \mathfrak{z} \longrightarrow Z \longrightarrow \Gamma Donc les solutions de notre pb relatifs à \Gamma_i \subset \Gamma correspondent aux scindages partiels de cette suite exacte

\begin{tikzcd} Z \arrow[r] & \Gamma \\ & \Gamma_i \arrow[u, hook] \arrow[ul] \end{tikzcd}

Soit \Gamma_0 \subset \Gamma l'image de Z dans \Gamma (qui est un ss-groupe ouvert) (\leftrightarrow k_0 ss-ext. finie de \bar{k}/k), donc on a une extension centrale

(31) 1 \to \mathfrak{z} \to Z \to \Gamma_0 \to 1 , \qquad \mathfrak{z} = \mathrm{Centre}(\mathfrak{G}') et il s'agit des scindages partiels de cette extension. Si \mathfrak{z} = 1 (centre de \mathfrak{G}' trivial) alors il y a unicité pour tt \Gamma_i, et existence ssi \Gamma_i \subset \Gamma_0 — donc une solution canonique…

Si \mathfrak{z} est quelconque, alors l'obstruction pour \Gamma_i \subset \Gamma_0 fixé est dans H^2(\Gamma_i, \mathfrak{z}) (\Gamma_i opérant trivialement sur \mathfrak{z}), l'indétermination est dans H^1(\Gamma_i, \mathfrak{z}) = \mathrm{Hom}(\Gamma_i, \mathfrak{z}) \ \ldots\ldots la page s'arrête là ; le paragraphe n'est pas repris dans le lot, la page suivante recommence sur un autre plan

k = \mathbb{Q} : la droite projective privée d'un nombre fini de points

titre de l'éditeur ; la page ne porte pas de titre

~~k = corps premier~~

~~K corps k = corps premier~~, k = \mathbb{Q}

\hat{\mathfrak{X}} droite projective sur \bar{K} sic : \bar{K} pour \bar{k}

S \subset \mathfrak{X}(K) S partie finie

\mathfrak{X} = \hat{\mathfrak{X}} \setminus S

\mathfrak{X}' rev. abélien [« modéré »] maximal de \mathfrak{X}.

A) Si \mathrm{Card}\, S \in \{0,1\}, alors \mathfrak{X}' = \mathfrak{X} …

B) Si \mathrm{Card}\, S = 2, alors \mathfrak{X} est (canoniquement) un torseur sous une forme de \mathbb{G}_{m\,\bar{\mathbb{Q}}} ; choisir un des pts de S comme \infty (l'autre devenant 0) revient à choisir une du groupe d'op. ; ~~choisir~~ choisir une « origine » (soit 1) de \mathfrak{X} revient à trivialiser ce torseur. Ceci étant fait, la situation (\hat{\mathfrak{X}}, \mathfrak{X}) se descend de \bar{\mathbb{Q}} à \mathbb{Q} en (\hat{X}, X) : \hat{X} = \mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}}, \qquad X = \mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}} \setminus \{0,\infty\} = \mathbb{G}_{m\,\mathbb{Q}} . Je \mathcal{G} = \Gamma \underset{1/2}{\cdot} \bar{\mathbb{Q}}^{*} \Gamma opérant sur \bar{\mathbb{Q}}^{*} de la façon évidente. Le rev. -type d'indice n de X est X_n = X, X_n \xrightarrow{\ t \mapsto t^n\ } X , rev. principal de groupe \mu_{n\,\mathbb{Q}} = \mu_n. X_n \xrightarrow{\ f_n(t) = t^n\ } X, écrit en colonne On a, pour \mathcal{G}_n = \mathrm{Aut}_k(\mathfrak{X}_n \to \mathfrak{X}) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Aut}_k(\mathfrak{X}_n) , \qquad \mathcal{G}_n' = \Gamma \underset{1/2}{\cdot} \bar{\mathbb{Q}}^{*} la flèche d'isomorphisme est tracée verticalement sous \mathrm{Aut}_k(\mathfrak{X}_n \to \mathfrak{X}) ; la lecture de l'accent sur \mathcal{G}_n' est incertaine l'homomorphisme canonique \mathcal{G}_n \longrightarrow \mathcal{G} étant l'identité sur \Gamma, et l'élévation à la nième puiss. sur \mathfrak{G} (i.e. sur \bar{\mathbb{Q}}^{*}).

Passant à la limite projective, on trouve \mathcal{G}_\infty = \mathrm{Aut}_k(\mathfrak{X}_\infty \to \mathfrak{X}) \simeq \Gamma \cdot T_\infty(\bar{\mathbb{Q}}^{*}) sous \mathfrak{X}_\infty : « rev. abélien étale maximal de \mathfrak{X} » …

C) Card S = 3 \mathfrak{G} \simeq \mathfrak{S}_S (\simeq \mathfrak{S}_3)

il y a une façon canonique de réduire le corps de base à k, de façon que S devienne rat./k. On est conduit ici à la tour de Fermat : \mathcal{G}_n = \bigl(\Gamma \times \mathfrak{S}_S\bigr) \cdot \pi_n , \qquad \pi_n = \mu_n^{S}/\mu_n \mathfrak{G}_{(n)} sous la formule, deux mots biffés puis \mathfrak{G}_{(n)} ; dans le premier facteur, l'indice de \mathfrak{S} est récrit en S sur un 3

…

D) Card S \geq 4. Soient s = (s_0, s_1, s_\infty) un triplet de trois points distincts de S, on les utilise pour définir un iso \hat{\mathfrak{X}} \underset{\varphi_s}{\simeq} \mathbb{P}^1_{\bar{\mathbb{Q}}} transformant s_0 en 0, s_1 en 1, s_\infty en \infty. Les autres points de S s'identifient à des éléments de \bar{\mathbb{Q}} \setminus \{0,1\}, soit K_s \subset \bar{\mathbb{Q}}

le sous-corps (donc corps de nombres) de \bar{\mathbb{Q}} qu'ils engendrent, ext. finie de \mathbb{Q}. On voit de suite qu'il est indépendant du choix de s, et que c'est le plus petit sous-corps K de \bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q} tel que \hat{\mathfrak{X}} puisse se descendre en \hat{X}_K à K de façon que les pts. de S deviennent rat./K. De plus la descente en question est unique, à isom. unique près. Les automorphismes de (\hat{\mathfrak{X}}, S) (ou encore de \mathfrak{X}) forment un groupe fini (\hookrightarrow \mathfrak{S}_S), et ce groupe opère déjà sur \hat{X}_K. la page s'arrête là, aux deux tiers ; le cas D) n'est pas poursuivi dans le lot

feuillet de couleur, sans autre texte que cette liste, en haut à droite

Tour des rev. de Fermat C_n Tour des revêtements abéliens de l'octaèdre ( considéré comme carte régulière 3-gonale(2)) (revêtements abéliens de \mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\}, revêtements diédraux et paradiédraux …)

\begin{tikzcd} X' \simeq \mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}} \arrow[r, no head] \arrow[d, "\mu_{n\,\mathbb{Q}}"'] & \bar{X}' \arrow[d, no head] \\ X = \mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}} \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & \bar{X} \arrow[d, no head] \\ \mathbb{Q} \arrow[r, no head, "\Gamma"'] & \bar{\mathbb{Q}} \end{tikzcd}

à droite de \bar{X} : « 0, 1, \infty, -j, -\bar{j} »

f(z) = z^n

\begin{tikzcd} 1 \arrow[r] & \mu_n(\bar{\mathbb{Q}}) \arrow[r] & \mathcal{E}_n \arrow[r] & \Gamma \arrow[r] \arrow[l, bend left=40] & 1 \end{tikzcd}

\mathcal{E}_n = \Gamma \cdot \mu_n(\bar{\mathbb{Q}})

\begin{cases} S_0 = \{0\}, \quad S_1 = \mu_n(\bar{\mathbb{Q}}), \quad S_\infty = \{\infty\} \\ E^{+} = \{z \mid z^n = -j\} \\ E^{-} = \{z \mid z^n = -\bar{j}\} \end{cases} ~~f(z)~~ E = \bigl\{z \mid z^{3n} = -1,\ z^n \neq -1\bigr\} \begin{aligned} R' &= \{z \mid z^n = \tfrac{1}{2}\} \\ R'' &= \{z \mid z^n = 2\} \\ R &= \{z \mid z^n = -1\} \end{aligned} E \cup R = \{z \mid z^{3n} = -1\} \mathbb{Q}[E \cup R] = \mathbb{Q}[\mu_{6n}(\bar{\mathbb{Q}})] \supset \mathbb{Q}[S_0 \cup S_1 \cup S_\infty] l'inclusion est écrite verticalement, \mathbb{Q}[S_0 \cup S_1 \cup S_\infty] sous \mathbb{Q}[E\cup R] \mathbb{Q}[R', R''] = \mathbb{Q}[R'] = \mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}] avant le premier =, un signe biffé et illisible

une ovale sur laquelle sont marqués les points 0, 1, \infty

1 \to \mu_{n}(\bar{\mathbb{Q}}) \longrightarrow \Gamma' \longrightarrow (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*} \to 1 l'indice de \mu se lit n, écrit sur une autre lettre ; après \Gamma' un signe biffé, illisible \nu = ordre de 2 dans K_n^{*}/K_n^{*n}, où K_n = \mathbb{Q}(\sqrt[n]{1}).

\begin{aligned} 0, 1, \infty &\longmapsto 0 \quad \text{ordre } 2 \\ \tfrac{1}{2}, 2, -1 &\longmapsto 1 \quad \text{ordre } 2 \\ -j, -\bar{j} &\longmapsto \infty \quad \text{ordre } 3 \end{aligned}

g(z) = \frac{27\, z^2 (z-1)^2}{4\,(z^2 - z + 1)^3} \qquad g_n(z) = \frac{27}{4}\,\frac{z^{2n}(z^n - 1)^2}{(z^{2n} - z^n + 1)^3} au numérateur de g, le coefficient 27 est écrit sur un autre chiffre ; au dénominateur un signe est noirci entre z^2 et z. Le n de g_n est écrit sur une autre lettre \lambda \, \frac{4}{27} = 1 g(z) = 1 \iff 4(z^2 - z + 1)^3 - 27 z^2 (z-1)^2 = 0 \begin{aligned} 4(z^2 - z + 1)^3 - 27 z^2 (z-1)^2 &= 4\bigl[(z+1)(z - \tfrac{1}{2})(z-2)\bigr]^2 \\ &= 4\bigl[(z+1)(z^2 - \tfrac{5}{2} z + 1)\bigr]^2 \\ &= \bigl[(z+1)(2z^2 - 5z + 2)\bigr]^2 \end{aligned} la dernière égalité est écrite en petit sous l'avant-dernière

\begin{tikzcd} D \subset \mathbb{G}_m \arrow[d, "\text{fini}"'] \\ \mathbb{Q} \end{tikzcd}

à gauche de la flèche verticale, un second trait parallèle

\begin{aligned} \underline{\mathrm{Hom}}(D, \mathbb{G}_m) &= \mathcal{U} \\ \downarrow n \qquad & \qquad \downarrow n \\ \underline{\mathrm{Hom}}(D, \mathbb{G}_m) &= \mathcal{U} \end{aligned} \qquad \xi à droite, une colonne verticale \ldots \to \mathcal{U} \to \mathcal{U} \to \ldots prolonge ces flèches n vers le haut et vers le bas ; le soulignement sous \mathrm{Hom} est le sien (Hom faisceau)

à gauche, un arc isolé ; plus bas, une ovale traversée par des arcs joignant S_0 (en haut) à S_\infty (en bas), passant par des points marqués R', S_1, E, E', R'' sur l'ovale

T(\mathbb{Q}) \ni \xi \qquad H^1(\mathbb{Q}, T_\infty(\mathcal{U}))

\begin{tikzcd} \Gamma \arrow[r] \arrow[dr] & \mathrm{Aff}(T_\infty(\mathcal{U})) \arrow[d] \\ & \mathrm{Aut}(T_\infty(\mathcal{U})) \end{tikzcd}

« image de dim. n+1 ? s-groupe d'indice fini dans hom. »

K s-groupe indép. premier de 1

\begin{tikzcd} \Gamma \arrow[r] \arrow[dr] & \mathrm{Aff}(n, \hat{\mathbb{Z}}) \arrow[d] \\ & \hat{\mathbb{Z}}^{*} \cdot \hat{\mathbb{Z}}^{n} \end{tikzcd}

« image de … » « (\supset s-groupe d'indice fini ???) »

\mathbb{Q}^{*} \qquad Z^1(\Gamma, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) sous \mathbb{Q}^{*}, un indice biffé et illisible \frac{\gamma \cdot \sqrt[n]{\xi}}{\sqrt[n]{\xi}} = , \qquad \gamma(\sqrt[n]{\xi}) = \sqrt[n]{\xi} \quad \forall \gamma \in \Gamma \Updownarrow \sqrt[n]{\xi} \in \mathbb{Q} \qquad \xi \in \mathbb{Q}^{*n} les deux équivalences sont écrites verticalement sous les deux termes de la ligne précédente \varprojlim \mathbb{Q}^{*}/\mathbb{Q}^{*n} \longrightarrow Z^1(\Gamma, \hat{\mathbb{Z}}) 0 \to \hat{\mathbb{Z}} \to Z^1(\Gamma, \hat{\mathbb{Z}}) écrit en colonne, de bas en haut \begin{aligned} \mathbb{Q}^{*}/\mathbb{Q}^{*n} &\xrightarrow{\ \sim\ } H^1(\Gamma, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \\ \mathbb{Q}^{*}/\mathbb{Q}^{*n} \oplus (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) &\simeq Z^1(\Gamma, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \end{aligned} colonne verticale sur la page : 0 \to (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \to Z^1(\Gamma,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \to H^1(\Gamma,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \to 0, une flèche oblique allant de \mathbb{Q}^{*}/\mathbb{Q}^{*n} à Z^1 ; à côté de (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}), trois lignes biffées dont se lit encore « d'indice » et « de groupe »

\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z} a = na si n impair, 2a = 0

\boxed{\ \Gamma \longrightarrow \mathrm{Aff}(1, \hat{\mathbb{Z}})\ }

Z^1(\Gamma, \hat{\mathbb{Z}}) \simeq \varprojlim \mathbb{Q}^{*}/\mathbb{Q}^{*n} \oplus \hat{\mathbb{Z}} la ligne commence par un signe biffé et illisible \varprojlim \mathbb{Q}^{*}/\mathbb{Q}^{*n} = \{\pm 1\} + \varprojlim (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{P} \qquad \varprojlim (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{P} \to \hat{\mathbb{Z}}^{P} les deux égalités de la seconde ligne sont des accolades tracées sous la formule précédente ; P désigne, semble-t-il, l'ensemble des nombres premiers, qui n'est pas nommé sur la page

K_{\ell^\infty} corps cyclotomiques K_{\ell^\infty}^{*}/\mathbb{Q}^{*}

le calcul s'arrête en bas de la page ; la théorie de Kummer sur \mathbb{Q} et l'image de \Gamma dans \mathrm{Aff}(1,\hat{\mathbb{Z}}), amorcées pp. 18–20, se poursuivent au-delà de ce lot