Cote n° 138 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Cartes. Etude arithmétique (1976, 77 ?) : bon de commande (s.d.), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1976-1978]
Édition de démonstration

dictionnaire galoisien de descentes etc…

titre de sa main, seul, en haut d'un feuillet par ailleurs blanc (p. 3), qui sert de chemise aux pages suivantes

4(1.1)

(1) \(k\) corps, \(\bar{k}\) clôture séparable, \(\Gamma =\) \(\mathrm{Aut}\) \(\mathrm{Gal}(\bar{k}/k)\) (groupe profini)

(2) \(\mathfrak{X}\) schéma connexe sur \(\bar{k}\), \[ \mathcal{G} = \mathrm{Aut}_{k}(\mathfrak{X}), \qquad \mathfrak{G} = \mathrm{Aut}_{\bar{k}}(\mathfrak{X}) \] On suppose que \(\bar{k}\) est séparablement clos dans \(H^0(\mathfrak{X},\mathcal{O}_{\mathfrak{X}})\), donc \(\bar{k}\) est la clôture séparable de \(k\) dans \(H^0(\mathfrak{X},\mathcal{O}_{\mathfrak{X}})\)

(3) encadré \[ 1 \to \mathfrak{G} \to \mathcal{G} \to \Gamma . \]

(1.2) Si \(k \subset k_1 \subset \bar{k}\), alors \(k_1 \longleftrightarrow \Gamma_1\) sous-groupe fermé de \(\Gamma\)

(4) encadré \(\mathcal{G}_1 = \mathrm{Aut}_{k_1}(\mathfrak{X})\) est donc l'image inverse de \(\Gamma_1\) dans \(\mathcal{G}\) un petit signe au-dessus de l'indice de \(\mathcal{G}_1\), ici et en (10), n'est pas reproduit

(5)

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\begin{tikzcd}
  1 \arrow[r] & \mathfrak{G} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel" description] & \mathcal{G} \arrow[r] & \Gamma \\
  1 \arrow[r] & \mathfrak{G} \arrow[r] & \mathcal{G}_1 \arrow[r] \arrow[u, hook, "\mathrm{cart}"'] & \Gamma_1 \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

(1.3) Une donnée de descente de \(\mathfrak{X}\) de \(\bar{k}\) à \(k\) revient à un scindage de (3),

(6)

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\begin{tikzcd}
  1 \arrow[r] & \mathfrak{G} \arrow[r] & \mathcal{G} \arrow[r] & \Gamma \arrow[r, "!"] \arrow[l, bend left=40] & 1
\end{tikzcd}

qui permet d'écrire

(7) \[ \mathcal{G} \simeq \Gamma \underset{1/2}{\cdot} \mathfrak{G} \] Sous réserve ⌜de conditions⌝ (d'effectivité, et vraie OK si \(\mathfrak{X}\) quasi-projectif sur \(\bar{k}\)) il revient au même de se donner un couple \(X/k\) et un iso

(8) \[ X \otimes_k \bar{k} \simeq \mathfrak{X} \]

5(1.3.1) Plus gén., une descente de \(\mathfrak{X}\) au corps de base \(k_1\) revient à : un ⌜\(\Gamma_1\)-⌝scindage

(9)

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\begin{tikzcd}
  \mathcal{G} \arrow[r] & \Gamma \\
  & \Gamma_1 \arrow[u, hook] \arrow[ul, dashed]
\end{tikzcd}

i.e. à un scindage de \[ 1 \to \mathfrak{G} \to \mathcal{G}_1 \to \Gamma_1 \] d'où une écriture correspondante

(10) \[ \mathcal{G}_1 = \Gamma_1 \underset{1/2}{\cdot} \mathfrak{G} . \]

(2.1) Soit \(\widetilde{\mathfrak{X}}\) un rev. universel ⌜(ou profini)⌝ de \(\mathfrak{X}\), […] rev. p.-fini galoisien dans un sens convenable, […]

(11) \[ \mathcal{E} = \mathrm{Aut}_k(\widetilde{\mathfrak{X}} \to \mathfrak{X}) \]

(12) \[ 1 \to \pi_1 \to \mathcal{E} \to \mathcal{G} \to 1 \] où

(13) \[ \pi_1 = \mathrm{Aut}(\widetilde{\mathfrak{X}}/\mathfrak{X}) \] est un groupe fondamental de \(\mathfrak{X}\) (groupe profini).

NB \(\mathcal{G} \to \mathrm{Autext}(\pi_1)\) est au sens des aut. ext. des groupes profinis \(\pi_1\) (i.e. pour \(g \in \mathcal{E}\), \(\mathrm{int}(g)|\pi_1\) est continu)

Ceci vaut aussi

(2.2) Considérons un rev. p.-fini galoisien \(\mathfrak{X}'\) de \(\mathfrak{X}\), correspondant à un s-groupe fermé invariant

(12) le numéro porté ici se lit (12), qui est déjà pris ; la suite reprend à (13) en p. 5 puis p. 6 \[ N \subset \pi_1, \qquad \pi_1/N = G = \mathrm{Aut}(\mathfrak{X}'/\mathfrak{X}), \qquad \mathfrak{X}' = \widetilde{\mathfrak{X}}/N \] devant \(G\), un symbole biffé et illisible

6Soient

(13) \[ \mathcal{E}' = \mathrm{Norm}_{\mathcal{E}}(N) \supset \pi_1 \] \(=\) stabilisateur dans \(\mathcal{E}\) de la relation d'équivalence dans \(\widetilde{\mathfrak{X}}\) définie par \(\widetilde{\mathfrak{X}} \to \mathfrak{X}'\), i.e. par op. de \(N\)…

(14) \[ \mathcal{G}' = \mathcal{E}'/N \] de sorte que

(15) \[ \mathcal{G}' \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Aut}_k(\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}) \] et une suite exacte

(16)

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\begin{tikzcd}
  1 \arrow[r] & G \arrow[r] & \mathcal{G}' \arrow[r] & \mathcal{G} \arrow[r, dashed] & \Gamma
\end{tikzcd}

NB L'hyp. \(\bar{k}\) sép. clos dans \(H^0(\mathfrak{X},\mathcal{O}_{\mathfrak{X}})\) est […] préservée : \(\widetilde{\mathfrak{X}}, \mathfrak{X}'\) et l'extension \(\mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to \Gamma\) est l'hom. déduit de \(\mathrm{Aut}_k(\mathfrak{X}') \to \Gamma = \mathrm{Aut}(\bar{k}/k)\)

Dire que \(\mathcal{G}' \to \mathcal{G}\) est surj. revient à dire que \(\mathcal{E}' = \mathcal{E}\), i.e. \(N\) invariant dans \(\mathcal{E}\), i.e. \(N\) invariant fixe sous l'action de \(\mathcal{G}\) opérant sur l'ens. des s-groupes invariants fermés de \(\pi_1\). NB Si \(\pi_1\) est de type fini, il admet un syst. fond. de voisinages de \(1\) formé de s-groupes (ouverts, i.e. finis d'indice fini) invariants ⌜caractéristiques⌝ par tt automorphisme, et en particulier par les invariants dans \(\mathcal{E}\).

(2.3) Données de descentes de \(\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}\) sur \(k\) […] les deux dernières lignes de la page et les premières de la page 7 sont barrées de traits obliques ; on y lit encore « revient à la donnée d'un scindage » et un diagramme \(\mathcal{G}' \to \Gamma\) muni d'une section recourbée

7(2.3) Soit

(17) \[ \mathfrak{G}' = \mathrm{Aut}_{\bar{k}}(\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}) \] Alors \(\mathfrak{G}'\) est d' dans suite exacte

(18) \[ 1 \to G \to \mathfrak{G}' \to \mathfrak{G} , \] qui se déduit (via l'iso. can.) de (16) comme

(19) \[ \begin{aligned} \mathfrak{G}' &\simeq \text{image inverse de } \mathfrak{G} \subset \mathcal{G} \text{ par } \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \\ &\simeq \mathrm{Ker}(\mathcal{G}' \to \Gamma) \end{aligned} \]

Le cas favorable \(N\) inv. dans \(\mathcal{E}\) i.e. \(\mathcal{G}' \to \mathcal{G}\) surjectif revient à dire : a) \(\mathfrak{G}' \to \mathfrak{G}\) surjectif et b) \(\mathcal{G}' \to \Gamma\) surjectif ⌜a même image⌝ que \(\mathcal{G} \to \Gamma\).

NB

NB Si \(\mathfrak{X}\) de prés. finie sur \(k\), alors l'image \(\Gamma_1\) de \(\mathcal{G}\) dans \(\Gamma\) est un sous-groupe ouvert, et si de plus \(\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}\) fini sur \(\mathfrak{X}\) ie de prés. finie sur \(k\), alors l'image \(\Gamma_1'\) ⌜(\(\subset \Gamma_1\))⌝ de \(\mathcal{G}'\) dans \(\Gamma\) l'est également.

8(2.4) […] Une donnée de descente sur \((\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X})/\bar{k}\) de \(\bar{k}\) vers \(k\), revient à la donnée d'un scindage

(20)

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\begin{tikzcd}
  \mathcal{G}' \arrow[r] & \Gamma \arrow[l, bend left=40]
\end{tikzcd}

permettant d'écrire

(21) \[ \mathcal{G}' \simeq \Gamma \underset{1/2}{\cdot} \mathfrak{G}' . \]

Plus généralement, si \(k \subset k_1 \subset \bar{k}\), correspondant à \(\Gamma_1 \subset \Gamma\) ss-groupe fermé, une ⌜donnée de⌝ descente de \(\bar{k}\) à \(k_1\) revient à : un scindage partiel

(22)

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\begin{tikzcd}
  \mathcal{G}' \arrow[r] & \Gamma \\
  & \Gamma_1 \arrow[u, hook] \arrow[ul]
\end{tikzcd}

et quelles : introduisons les variantes

oubli : à vérifier dans les formules !

(23) \[ \begin{aligned} \mathcal{E}_1 &= \mathrm{Aut}_{k_1}(\widetilde{\mathfrak{X}} \to \mathfrak{X}) = \text{l'image inverse de } \Gamma_1 \subset \Gamma \\ &\qquad \text{par } \mathcal{E} \to \mathcal{G} \to \Gamma \text{ (composé)} \\ \mathcal{E}_1' &= \ldots\ldots = \mathcal{E}' \cap \mathcal{E}_1 \\ \mathcal{G}_1' &= \mathrm{Aut}_{k_1}(\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}) = \text{l'image inverse de } \Gamma_1 \subset \Gamma \\ &\qquad \text{par } \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to \Gamma \end{aligned} \] le trait vertical qui borde ces trois lignes à gauche les groupe sous le numéro (23)

il revient au \(=\) de se donner un iso. compatible avec la structure…, d'écrire \[ \mathcal{G}_1' \simeq \Gamma_1 \underset{1/2}{\cdot} \mathfrak{G}' \]

9(2.5) Situation où \(N\) invariant dans \(\mathcal{E}\) i.e. inv. par \(\mathcal{G}\), et \(\mathcal{G} \to \Gamma\) est surjectif : \(\mathcal{G}'\) devient est muni de suite de composition ayant les quotients successifs (\(\Gamma, \mathfrak{G}, G\))

(24) \[ \overbrace{G \quad \mathfrak{G} \quad \Gamma}^{\mathcal{G}'} \] \[ \underbrace{G \quad \mathfrak{G}}_{\mathfrak{G}'} \qquad \underbrace{\mathfrak{G} \quad \Gamma}_{\mathcal{G}} \] sur la page, une seule rangée \(G\ \mathfrak{G}\ \Gamma\) : une accolade au-dessus embrasse les trois termes (\(\mathcal{G}'\)), deux accolades au-dessous, jointives en \(\mathfrak{G}\), embrassent \(G\,\mathfrak{G}\) (\(\mathfrak{G}'\)) et \(\mathfrak{G}\,\Gamma\) (\(\mathcal{G}\))

L'extension \(\mathfrak{G}'\) de \(\mathfrak{G}\) par \(G = \mathrm{Aut}(\mathfrak{X}'/\mathfrak{X})\) est de nature « géométrique », l'extension \(\mathcal{G}'\) de \(\Gamma\) par \(\mathfrak{G}'\) exprime les conditions arithmétiques de la situation.

Nous nous intéressons surtout au cas où \(\mathfrak{G}\) et \(G\) sont finis, et \(\Gamma\) infini, i.e. \(\bar{k}\) extension infinie de \(k\), Considérons \(\mathfrak{X}\) (donc aussi \(\mathfrak{X}'\)) étant de prés. finie sur \(k\). [On a de plus, \(\mathfrak{X}/\bar{k}/k\) […] définissant \(\mathfrak{X}'\) ⌜par \(N\)⌝ de \(\widetilde{\mathfrak{X}}\) […] […] \(\cap N = 1\).] On voit […] que […] pour […] un groupe quotient fini […] \(\gamma_i\) ⌜\((= \Gamma/\Gamma_i)\)⌝ de \(\Gamma\)

10et une extension

(25) \[ 1 \to \mathfrak{G}' \to \mathcal{G}_i' \to \gamma_i \to 1 \] dont l'extension \(\mathcal{G}'\) provient ⌜(à iso près)⌝ par \(\Gamma \to \gamma_i\). La donnée de […] de \(\gamma_i\) revient, à celle d'un ss-groupe distingué […] ouvert \(\Gamma_i\) de \(\Gamma\) […] d'une ss-ext. galoisienne finie \(k_i\) ⌜[…]⌝ de \(\bar{k}/k\) — ⌜complétée de⌝ l'extension (25) et de l'iso. d'ext. de \(\mathcal{G}'\) avec \(\mathcal{G}_i' \times_{\gamma_i} \Gamma\) revient à la donnée d'un relèvement scindage partiel

(26)

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\begin{tikzcd}
  1 \arrow[r] & \mathfrak{G}' \arrow[r] & \mathcal{G}' \arrow[r] & \Gamma \arrow[r] & 1 \\
  & & & \Gamma_i \arrow[u, hook] \arrow[ul]
\end{tikzcd}

dont l'image dans \(\mathcal{G}'\) soit un ss-groupe invariant de \(\mathcal{G}'\) [le quotient par lui étant précisément \(\mathcal{G}_i'\)…], ce qui revient au \(=\), une […] commute à \(\mathfrak{G}'\), i.e. qu'il centralise (pour act. int.) sur \(\mathfrak{G}'\). Traduisant en termes géom., cela signifie que 1°) une réduction de \(\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}\) du corps de base de \(\bar{k}\) à \(k_i\),

11i.e. la donnée d'une situation \(X_i' \to X_i\) sur \(k_i\), dont et un iso. \[ (\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}) \simeq (X_i' \to X_i) \otimes_{k_i} \bar{k} ; \] de ceci on déduit une extension de schémas en groupes finis étales sur \(k_i\)

(27) \[ 1 \to G_i \to \mathfrak{G}_i' \to \mathfrak{G}_i \to 1 \] et on exige que \(\mathfrak{G}_i'\) soit un groupe constant [i.e. que les automorphismes « géom. » de \(\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}\) (sur \(\bar{k}\)) soient « définis sur \(k_i\) »…]

Il faut bien noter que pour \(k_i\) fixé, il peut y avoir plusieurs données non isomorphes de cette espèce sur \(k_i\), i.e. plusieurs scindages partiels \(\Gamma_i \to \mathcal{E}'\) qui centralisent \(\mathfrak{G}_i'\). La La propriété d'unicité consiste évidente consiste pour la s'ignorer, quelle : prendre une sous-extension finie assez grande…

De façon précise, introduisons

(28) \[ Z = \mathrm{Centr}_{\mathcal{G}'}(\mathfrak{G}') \]

12de sorte que

(29) \[ \mathfrak{z} \overset{\mathrm{df}}{=} Z \cap \mathfrak{G}' = \text{Centre de } \mathfrak{G}' \] la lettre bouclée (un « z » en forme de 3) est rendue \(\mathfrak{z}\) et on a une suite exacte centrale

(30) \[ 1 \to \mathfrak{z} \longrightarrow Z \longrightarrow \Gamma \] Donc les solutions de notre pb ⌜relatifs à \(\Gamma_i \subset \Gamma\)⌝ correspondent aux scindages partiels de cette suite exacte

LaTeX source
\begin{tikzcd}
  Z \arrow[r] & \Gamma \\
  & \Gamma_i \arrow[u, hook] \arrow[ul]
\end{tikzcd}

Soit \(\Gamma_0 \subset \Gamma\) l'image de \(Z\) dans \(\Gamma\) (qui est un ss-groupe ouvert) ⌜(\(\leftrightarrow k_0\) ss-ext. finie de \(\bar{k}/k\))⌝, donc on a une extension centrale

(31) \[ 1 \to \mathfrak{z} \to Z \to \Gamma_0 \to 1 , \qquad \mathfrak{z} = \mathrm{Centre}(\mathfrak{G}') \] et il s'agit des scindages partiels de cette extension. Si \(\mathfrak{z} = 1\) (centre de \(\mathfrak{G}'\) trivial) alors il y a unicité pour tt \(\Gamma_i\), et existence ssi \(\Gamma_i \subset \Gamma_0\) — donc une solution canonique…

13Si \(\mathfrak{z}\) est quelconque, alors l'obstruction pour \(\Gamma_i \subset \Gamma_0\) fixé est dans \(H^2(\Gamma_i, \mathfrak{z})\) (\(\Gamma_i\) opérant trivialement sur \(\mathfrak{z}\)), l'indétermination est dans \[ H^1(\Gamma_i, \mathfrak{z}) = \mathrm{Hom}(\Gamma_i, \mathfrak{z}) \ \ldots\ldots \] la page s'arrête là ; le paragraphe n'est pas repris dans le lot, la page suivante recommence sur un autre plan

\(k = \mathbb{Q}\) : la droite projective privée d'un nombre fini de points

titre de l'éditeur ; la page ne porte pas de titre

14\(k\) = corps premier

\(K\) corps […] \(k\) = corps premier, \(k = \mathbb{Q}\)

\(\hat{\mathfrak{X}}\) droite projective sur \(\bar{K}\) sic : \(\bar{K}\) pour \(\bar{k}\)

\(S \subset \mathfrak{X}(K)\) \(S\) partie finie

\(\mathfrak{X} = \hat{\mathfrak{X}} \setminus S\)

\(\mathfrak{X}'\) rev. abélien [« modéré »] maximal de \(\mathfrak{X}\).

A) Si \(\mathrm{Card}\, S \in \{0,1\}\), alors \(\mathfrak{X}' = \mathfrak{X}\) …

B) Si \(\mathrm{Card}\, S = 2\), alors \(\mathfrak{X}\) est ⌜(canoniquement)⌝ un torseur sous une forme de \(\mathbb{G}_{m\,\bar{\mathbb{Q}}}\) ; choisir un des pts de \(S\) comme \(\infty\) (l'autre devenant \(0\)) revient à choisir une […] du groupe d'op. […] ; choisir choisir une « origine » (soit 1) de \(\mathfrak{X}\) revient à trivialiser ce torseur. Ceci étant fait, […] la situation \((\hat{\mathfrak{X}}, \mathfrak{X})\) se descend de \(\bar{\mathbb{Q}}\) à \(\mathbb{Q}\) en \((\hat{X}, X)\) : \[ \hat{X} = \mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}}, \qquad X = \mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}} \setminus \{0,\infty\} = \mathbb{G}_{m\,\mathbb{Q}} . \] Je […] \[ \mathcal{G} = \Gamma \underset{1/2}{\cdot} \bar{\mathbb{Q}}^{*} \] \(\Gamma\) opérant sur \(\bar{\mathbb{Q}}^{*}\) de la façon évidente. Le rev. ⌜-type⌝ d'indice \(n\) de \(X\) est \(X_n\) ⌜\(= X\)⌝, \[ X_n \xrightarrow{\ t \mapsto t^n\ } X , \] rev. principal de groupe \(\mu_{n\,\mathbb{Q}} = \mu_n\). \(X_n \xrightarrow{\ f_n(t) = t^n\ } X\), écrit en colonne On a, pour \[ \mathcal{G}_n = \mathrm{Aut}_k(\mathfrak{X}_n \to \mathfrak{X}) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Aut}_k(\mathfrak{X}_n) , \qquad \mathcal{G}_n' = \Gamma \underset{1/2}{\cdot} \bar{\mathbb{Q}}^{*} \] la flèche d'isomorphisme est tracée verticalement sous \(\mathrm{Aut}_k(\mathfrak{X}_n \to \mathfrak{X})\) ; la lecture de l'accent sur \(\mathcal{G}_n'\) est incertaine l'homomorphisme canonique \[ \mathcal{G}_n \longrightarrow \mathcal{G} \] étant l'identité sur […] \(\Gamma\), et l'élévation à la \(n\)ième puiss. sur \(\mathfrak{G}\) (i.e. sur \(\bar{\mathbb{Q}}^{*}\)).

15Passant à la limite projective, on trouve \[ \mathcal{G}_\infty = \mathrm{Aut}_k(\mathfrak{X}_\infty \to \mathfrak{X}) \simeq \Gamma \cdot T_\infty(\bar{\mathbb{Q}}^{*}) \] sous \(\mathfrak{X}_\infty\) : « rev. abélien étale maximal de \(\mathfrak{X}\) » …

C) Card \(S = 3\) \(\mathfrak{G} \simeq \mathfrak{S}_S\) (\(\simeq \mathfrak{S}_3\))

il y a une façon canonique de réduire le corps de base à \(k\), de façon que \(S\) devienne rat./\(k\). On est conduit ici à la tour de Fermat : \[ \mathcal{G}_n = \bigl(\Gamma \times \mathfrak{S}_S\bigr) \cdot \pi_n , \qquad \pi_n = \mu_n^{S}/\mu_n \] […] […] \(\mathfrak{G}_{(n)}\) sous la formule, deux mots biffés puis \(\mathfrak{G}_{(n)}\) ; dans le premier facteur, l'indice de \(\mathfrak{S}\) est récrit en \(S\) sur un \(3\)

…

D) Card \(S \geq 4\). Soient […] \(s = (s_0, s_1, s_\infty)\) ⌜un triplet de⌝ trois points distincts de \(S\), on les utilise pour définir un iso \[ \hat{\mathfrak{X}} \underset{\varphi_s}{\simeq} \mathbb{P}^1_{\bar{\mathbb{Q}}} \] transformant \(s_0\) en \(0\), \(s_1\) en \(1\), \(s_\infty\) en \(\infty\). Les autres points ⌜de \(S\) s'identifient⌝ […] à des éléments de \(\bar{\mathbb{Q}} \setminus \{0,1\}\), soit \(K_s \subset \bar{\mathbb{Q}}\)

16le sous-corps (donc corps de nombres) de \(\bar{\mathbb{Q}}\) qu'ils engendrent, ext. finie de \(\mathbb{Q}\). On voit de suite qu'il est indépendant du choix de \(s\), et que c'est le plus petit sous-corps \(K\) de \(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}\) tel que \(\hat{\mathfrak{X}}\) puisse se descendre ⌜en \(\hat{X}_K\)⌝ à \(K\) de façon que les pts. de \(S\) deviennent rat./\(K\). De plus la descente en question est unique, à isom. unique près. Les automor⌜phismes⌝ de \((\hat{\mathfrak{X}}, S)\) (ou encore de \(\mathfrak{X}\)) forment un groupe fini (\(\hookrightarrow \mathfrak{S}_S\)), et ce groupe opère déjà sur \(\hat{X}_K\). la page s'arrête là, aux deux tiers ; le cas D) n'est pas poursuivi dans le lot

17feuillet de couleur, sans autre texte que cette liste, en haut à droite

18

LaTeX source
\begin{tikzcd}
  X' \simeq \mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}} \arrow[r, no head] \arrow[d, "\mu_{n\,\mathbb{Q}}"'] & \bar{X}' \arrow[d, no head] \\
  X = \mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}} \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & \bar{X} \arrow[d, no head] \\
  \mathbb{Q} \arrow[r, no head, "\Gamma"'] & \bar{\mathbb{Q}}
\end{tikzcd}

à droite de \(\bar{X}\) : « \(0, 1, \infty, -j, -\bar{j}\) »

\[ f(z) = z^n \]

LaTeX source
\begin{tikzcd}
  1 \arrow[r] & \mu_n(\bar{\mathbb{Q}}) \arrow[r] & \mathcal{E}_n \arrow[r] & \Gamma \arrow[r] \arrow[l, bend left=40] & 1
\end{tikzcd}

\[ \mathcal{E}_n = \Gamma \cdot \mu_n(\bar{\mathbb{Q}}) \]

\[ \begin{cases} S_0 = \{0\}, \quad S_1 = \mu_n(\bar{\mathbb{Q}}), \quad S_\infty = \{\infty\} \\ E^{+} = \{z \mid z^n = -j\} \\ E^{-} = \{z \mid z^n = -\bar{j}\} \end{cases} \] \(f(z)\) \[ E = \bigl\{z \mid z^{3n} = -1,\ z^n \neq -1\bigr\} \] \[ \begin{aligned} R' &= \{z \mid z^n = \tfrac{1}{2}\} \\ R'' &= \{z \mid z^n = 2\} \\ R &= \{z \mid z^n = -1\} \end{aligned} \] \[ E \cup R = \{z \mid z^{3n} = -1\} \] \[ \mathbb{Q}[E \cup R] = \mathbb{Q}[\mu_{6n}(\bar{\mathbb{Q}})] \supset \mathbb{Q}[S_0 \cup S_1 \cup S_\infty] \] l'inclusion est écrite verticalement, \(\mathbb{Q}[S_0 \cup S_1 \cup S_\infty]\) sous \(\mathbb{Q}[E\cup R]\) \[ \mathbb{Q}[R', R''] = \mathbb{Q}[R'] = \mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}] \] avant le premier \(=\), un signe biffé et illisible

une ovale sur laquelle sont marqués les points \(0\), \(1\), \(\infty\)

\[ 1 \to \mu_{n}(\bar{\mathbb{Q}}) \longrightarrow \Gamma' \longrightarrow (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*} \to 1 \] l'indice de \(\mu\) se lit \(n\), écrit sur une autre lettre ; après \(\Gamma'\) un signe biffé, illisible \(\nu\) = ordre de \(2\) dans […] \(K_n^{*}/K_n^{*n}\), où \(K_n = \mathbb{Q}(\sqrt[n]{1})\).

\[ \begin{aligned} 0, 1, \infty &\longmapsto 0 \quad \text{ordre } 2 \\ \tfrac{1}{2}, 2, -1 &\longmapsto 1 \quad \text{ordre } 2 \\ -j, -\bar{j} &\longmapsto \infty \quad \text{ordre } 3 \end{aligned} \]

\[ g(z) = \frac{27\, z^2 (z-1)^2}{4\,(z^2 - z + 1)^3} \qquad g_n(z) = \frac{27}{4}\,\frac{z^{2n}(z^n - 1)^2}{(z^{2n} - z^n + 1)^3} \] au numérateur de \(g\), le coefficient \(27\) est écrit sur un autre chiffre ; au dénominateur un signe est noirci entre \(z^2\) et \(z\). Le \(n\) de \(g_n\) est écrit sur une autre lettre \[ \lambda \, \frac{4}{27} = 1 \] \[ g(z) = 1 \iff 4(z^2 - z + 1)^3 - 27 z^2 (z-1)^2 = 0 \] \[ \begin{aligned} 4(z^2 - z + 1)^3 - 27 z^2 (z-1)^2 &= 4\bigl[(z+1)(z - \tfrac{1}{2})(z-2)\bigr]^2 \\ &= 4\bigl[(z+1)(z^2 - \tfrac{5}{2} z + 1)\bigr]^2 \\ &= \bigl[(z+1)(2z^2 - 5z + 2)\bigr]^2 \end{aligned} \] la dernière égalité est écrite en petit sous l'avant-dernière

19

LaTeX source
\begin{tikzcd}
  D \subset \mathbb{G}_m \arrow[d, "\text{fini}"'] \\
  \mathbb{Q}
\end{tikzcd}

à gauche de la flèche verticale, un second trait parallèle

\[ \begin{aligned} \underline{\mathrm{Hom}}(D, \mathbb{G}_m) &= \mathcal{U} \\ \downarrow n \qquad & \qquad \downarrow n \\ \underline{\mathrm{Hom}}(D, \mathbb{G}_m) &= \mathcal{U} \end{aligned} \qquad \xi \] à droite, une colonne verticale \(\ldots \to \mathcal{U} \to \mathcal{U} \to \ldots\) prolonge ces flèches \(n\) vers le haut et vers le bas ; le soulignement sous \(\mathrm{Hom}\) est le sien (Hom faisceau)

à gauche, un arc isolé ; plus bas, une ovale traversée par des arcs joignant \(S_0\) (en haut) à \(S_\infty\) (en bas), passant par des points marqués \(R'\), \(S_1\), \(E\), \(E'\), \(R''\) sur l'ovale

\[ T(\mathbb{Q}) \ni \xi \qquad H^1(\mathbb{Q}, T_\infty(\mathcal{U})) \]

LaTeX source
\begin{tikzcd}
  \Gamma \arrow[r] \arrow[dr] & \mathrm{Aff}(T_\infty(\mathcal{U})) \arrow[d] \\
  & \mathrm{Aut}(T_\infty(\mathcal{U}))
\end{tikzcd}

« image de dim. \(n+1\) ? s-groupe d'indice fini dans hom. […] »

\(K\) s-groupe indép. […] premier de 1

LaTeX source
\begin{tikzcd}
  \Gamma \arrow[r] \arrow[dr] & \mathrm{Aff}(n, \hat{\mathbb{Z}}) \arrow[d] \\
  & \hat{\mathbb{Z}}^{*} \cdot \hat{\mathbb{Z}}^{n}
\end{tikzcd}

« image de … » « (\(\supset\) s-groupe d'indice fini ???) »

20\[ \mathbb{Q}^{*} \qquad Z^1(\Gamma, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \] sous \(\mathbb{Q}^{*}\), un indice biffé et illisible \[ \frac{\gamma \cdot \sqrt[n]{\xi}}{\sqrt[n]{\xi}} = , \qquad \gamma(\sqrt[n]{\xi}) = \sqrt[n]{\xi} \quad \forall \gamma \in \Gamma \] \[ \Updownarrow \] \[ \sqrt[n]{\xi} \in \mathbb{Q} \qquad \xi \in \mathbb{Q}^{*n} \] les deux équivalences sont écrites verticalement sous les deux termes de la ligne précédente \[ \varprojlim \mathbb{Q}^{*}/\mathbb{Q}^{*n} \longrightarrow Z^1(\Gamma, \hat{\mathbb{Z}}) \] \[ 0 \to \hat{\mathbb{Z}} \to Z^1(\Gamma, \hat{\mathbb{Z}}) \] écrit en colonne, de bas en haut \[ \begin{aligned} \mathbb{Q}^{*}/\mathbb{Q}^{*n} &\xrightarrow{\ \sim\ } H^1(\Gamma, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \\ \mathbb{Q}^{*}/\mathbb{Q}^{*n} \oplus (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) &\simeq Z^1(\Gamma, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \end{aligned} \] colonne verticale sur la page : \(0 \to (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \to Z^1(\Gamma,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \to H^1(\Gamma,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \to 0\), une flèche oblique allant de \(\mathbb{Q}^{*}/\mathbb{Q}^{*n}\) à \(Z^1\) ; à côté de \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\), trois lignes biffées dont se lit encore « d'indice » et « de groupe »

\(\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}\) \(a = na\) si \(n\) impair, \(2a = 0\)

\[ \boxed{\ \Gamma \longrightarrow \mathrm{Aff}(1, \hat{\mathbb{Z}})\ } \]

\[ Z^1(\Gamma, \hat{\mathbb{Z}}) \simeq \varprojlim \mathbb{Q}^{*}/\mathbb{Q}^{*n} \oplus \hat{\mathbb{Z}} \] la ligne commence par un signe biffé et illisible \[ \varprojlim \mathbb{Q}^{*}/\mathbb{Q}^{*n} = \{\pm 1\} + \varprojlim (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{P} \qquad \varprojlim (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{P} \to \hat{\mathbb{Z}}^{P} \] les deux égalités de la seconde ligne sont des accolades tracées sous la formule précédente ; \(P\) désigne, semble-t-il, l'ensemble des nombres premiers, qui n'est pas nommé sur la page

\(K_{\ell^\infty}\) corps cyclotomiques \(K_{\ell^\infty}^{*}/\mathbb{Q}^{*}\)

le calcul s'arrête en bas de la page ; la théorie de Kummer sur \(\mathbb{Q}\) et l'image de \(\Gamma\) dans \(\mathrm{Aff}(1,\hat{\mathbb{Z}})\), amorcées pp. 18–20, se poursuivent au-delà de ce lot