Cote n° 138 · pages 1–132 · Lecture modernisée · Cartes. Etude arithmétique (1976, 77 ?) : bon de commande (s.d.), notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1976-1978]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

1. 1.Dictionnaire galoisien des descentes (pages 3 à 13) : données de descente comme scindages, et l'extension centrale qui mesure la descente d'un revêtement avec ses automorphismes.
2. 2.Sur \(\mathbb{Q}\), la droite projective privée de points (pages 14 à 22) : les cas \(\operatorname{Card} S = 0, 1, 2, 3, \geqslant 4\), la liste des tours à étudier, et des calculs sur \(z \mapsto z^{n}\), la fonction \(S_3\)-invariante \(g\) et la théorie de Kummer sur \(\mathbb{Q}\).
3. 3.La tour de Fermat (pages 24 à 40) : le revêtement abélien universel de la droite privée de \(0, 1, \infty\), ses fibres au-dessus des sept points spéciaux, et leur description comme ensembles à opérateurs.
4. 4.Fermat, suite (pages 41 à 54) : la version fonctorielle en un ensemble à trois éléments, l'octaèdre, la tour diédrale, les endomorphismes de la conique.
5. 5.Automorphismes de groupoïdes (pages 56 à 62), et le graphe \(K(I)\) à deux sommets.
6. 6.La double pyramide (page 63) : les triangles d'une carte et les rotations autour des sommets.
7. 7.Sous-groupes finis de \(PGL_2\), cas modéré (pages 64 à 67).
8. 8.Paradigme « gruppentheoretisch » des surfaces (pages 69 à 74).
9. 9.Quelques problèmes spéciaux (pages 75 à 77) : les drapeaux d'une carte.
10. 10.Groupes profinis spéciaux et action de Galois (pages 79 à 90).
11. 11.Le torseur des clôtures algébriques (pages 92 à 95).
12. 12.Précartes, cartes co-épinglées, leurs schémas de modules, et des exemples (pages 96 à 111).
13. 13.Cartes sphériques en bas degrés (pages 112 à 119).
14. 14.« Opérations » sphériques sur les cartes (pages 120 à 131).

Les stations 1 et 10–11 sont la même idée à deux altitudes : la page 6 décrit les automorphismes d'un revêtement par une suite exacte au-dessus de \(\Gamma\), la page 82 décrit l'action de \(\Gamma\) sur le groupe fondamental tout entier. La tour de Fermat (stations 2–4) est le cas « abélien » du dictionnaire, entièrement calculé. Les stations 6, 9 et 12–14 sont la théorie combinatoire des cartes dont tout le reste parle.

Conventions. \(k\) est un corps, \(\bar{k}\) une clôture séparable, \(\Gamma = \mathrm{Gal}(\bar{k}/k)\) ; à partir de la page 14, \(k = \mathbb{Q}\), \(\bar{\mathbb{Q}}\) est la clôture algébrique de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{C}\) et \(\Gamma = \mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\). On note \[ \mathrm{T} = \varprojlim_{n} \mu_{n}(\bar{\mathbb{Q}}) \;(\simeq \widehat{\mathbb{Z}}(1)), \qquad \chi : \Gamma \to \widehat{\mathbb{Z}}^{*} = \mathrm{Aut}(\mathrm{T}) \] le module de Tate des racines de l'unité et le caractère cyclotomique, et \(\chi_{n} = \chi \bmod n\). Pour \(g \in \bar{\mathbb{Q}}^{*}\), \(K(g)\) est l'ensemble des systèmes compatibles \((\xi_{n})\) de racines \(n\)-ièmes de \(g\), \(\xi_{nm}^{m} = \xi_{n}\) : c'est un \(\mathrm{T}\)-torseur, et, si \(g \in \mathbb{Q}^{*}\), \(\Gamma\) y opère de façon compatible à son action sur \(\mathrm{T}\). On écrit \(A \ltimes B\) un produit semi-direct où \(B\) est distingué.¹

Les lettres sont celles des pages, avec trois exceptions, chacune dite en note au point où elle sert. Les groupes \(\mathcal{E}_{n}\), \(\mathcal{E}_{\infty}\), \(\widetilde{\mathcal{E}}\) de la tour de Fermat sont toujours écrits avec leur indice ou leur tilde : ce sont des groupes \(\mathcal{G}'\) au sens de la page 6, et non le groupe \(\mathcal{E}\) de la page 5. Pour les groupes profinis des pages 79 à 90, on garde les noms de la page 80 (\(\widetilde{\Gamma}_{\nu}\), \(\Gamma_{\nu}\), \(\Gamma^{\circ}_{\nu}\)) là où les pages 83 à 86 écrivent un \(\mathcal{T}\) cursif, et l'on réserve \(\mathcal{T}_{\nu}\) au groupe de Teichmüller discret de la page 89. Enfin trois objets portent la lettre C : une carte \(C\) et une précarte \(C_{0}\) ; le groupe cartographique orienté \(\mathcal{C}_{2}^{+}\) ; et le torseur \(\mathcal{C}\) des pages 92 à 95.

Une carte est un graphe fini \(K\) tracé sur une surface compacte orientée \(X\), de sorte que les composantes de \(X \smallsetminus K\) soient des disques ; ses brins (arêtes orientées issues d'un sommet) sont permutés par la rotation autour des sommets et par le retournement des arêtes. Dans la correspondance avec les revêtements de la droite projective, les sommets sont au-dessus de \(0\), les milieux d'arêtes au-dessus de \(1\), les centres des faces au-dessus de \(\infty\).²

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : les bijections de « transport parallèle » de la page 39, dont une seule sur les deux nécessaires est entamée ; les problèmes de la liste de la page 17 ; les isomorphismes canoniques souhaités à la page 86 ; les questions de la page 89 ; le polynôme \(P(c)\) des pages 105 à 111 ; le « cas exceptionnel » de la page 127 ; l'argument de représentation conforme de la page 130 ; la démonstration du théorème de la page 125 au-delà de son premier pas ; la comparaison des conditions a) à d) de la page 131.

Les feuillets. Les pages 1 et 2 sont un dépliant imprimé et un bon de commande d'une revue, sans rien de sa main ; ils donnent leur « bon de commande » au titre de l'inventaire. Plusieurs feuillets sont écrits au verso de documents dactylographiés de 1977 et 1978 (une lettre, des avis de soutenance), d'où la datation.³ L'inventaire range ce dossier, avec les cotes 136, 137 et 139, sous le titre de groupe « Complexe de De Rham » ; rien dans ces 132 pages ne porte sur un complexe de De Rham.

1. Dictionnaire galoisien des descentes (pages 3 à 13)

4–5

Descente et scindages (pages 4 et 5)

Soit \(\mathfrak{X}\) un schéma connexe sur \(\bar{k}\), et supposons \(\bar{k}\) séparablement clos dans \(H^{0}(\mathfrak{X}, \mathcal{O}_{\mathfrak{X}})\). On considère les automorphismes de \(\mathfrak{X}\) comme \(k\)-schéma, et ceux qui sont \(\bar{k}\)-linéaires : \[ \mathcal{G} = \mathrm{Aut}_{k}(\mathfrak{X}), \qquad \mathfrak{G} = \mathrm{Aut}_{\bar{k}}(\mathfrak{X}). \] Un \(k\)-automorphisme de \(\mathfrak{X}\) agit sur \(H^{0}(\mathfrak{X}, \mathcal{O}_{\mathfrak{X}})\) et y stabilise \(\bar{k}\), la clôture séparable de \(k\) qu'il contient ; d'où une suite exacte \[ 1 \to \mathfrak{G} \to \mathcal{G} \to \Gamma . \] ⁴ Pour \(k \subset k_{1} \subset \bar{k}\), de groupe \(\Gamma_{1} \subset \Gamma\), le groupe \(\mathcal{G}_{1} = \mathrm{Aut}_{k_{1}}(\mathfrak{X})\) est l'image réciproque de \(\Gamma_{1}\) dans \(\mathcal{G}\).

Une donnée de descente de \(\mathfrak{X}\) de \(\bar{k}\) à \(k\) est un scindage continu de \(\mathcal{G} \to \Gamma\), c'est-à-dire un homomorphisme \(s : \Gamma \to \mathcal{G}\) relevant l'identité, et tel que l'action de \(\Gamma\) qu'il définit soit continue ; il permet d'écrire \(\mathcal{G} \simeq \Gamma \ltimes \mathfrak{G}\). Lorsque \(\mathfrak{X}\) est quasi-projectif sur \(\bar{k}\), toute donnée de descente est effective : il revient au même de se donner un \(k\)-schéma \(X\) et un isomorphisme \(X \otimes_{k} \bar{k} \simeq \mathfrak{X}\). De même une descente à \(k_{1}\) est un \(\Gamma_{1}\)-scindage, c'est-à-dire un scindage de \(1 \to \mathfrak{G} \to \mathcal{G}_{1} \to \Gamma_{1}\), et \(\mathcal{G}_{1} \simeq \Gamma_{1} \ltimes \mathfrak{G}\). ⁵

5–7

Le revêtement universel et un revêtement galoisien (pages 5 à 7)

Soit \(\widetilde{\mathfrak{X}} \to \mathfrak{X}\) un revêtement universel profini, et \[ \mathcal{E} = \mathrm{Aut}_{k}(\widetilde{\mathfrak{X}} \to \mathfrak{X}), \qquad \pi_{1} = \mathrm{Aut}(\widetilde{\mathfrak{X}}/\mathfrak{X}), \] le groupe des \(k\)-automorphismes de \(\widetilde{\mathfrak{X}}\) qui relèvent un \(k\)-automorphisme de \(\mathfrak{X}\), et le groupe fondamental profini. Comme tout automorphisme de \(\mathfrak{X}\) se relève au revêtement universel, on a une suite exacte \[ 1 \to \pi_{1} \to \mathcal{E} \to \mathcal{G} \to 1, \] d'où une action extérieure \(\mathcal{G} \to \mathrm{Out}(\pi_{1})\) par automorphismes continus.⁶

Soit \(N \subset \pi_{1}\) un sous-groupe fermé distingué, \(\mathfrak{X}' = \widetilde{\mathfrak{X}}/N\) le revêtement galoisien correspondant, de groupe \(G = \pi_{1}/N = \mathrm{Aut}(\mathfrak{X}'/\mathfrak{X})\). Posons \[ \mathcal{E}' = \mathrm{Norm}_{\mathcal{E}}(N) \supset \pi_{1}, \qquad \mathcal{G}' = \mathcal{E}'/N \xrightarrow{\;\sim\;} \mathrm{Aut}_{k}(\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}), \] le second groupe étant celui des \(k\)-automorphismes du couple \(\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}\). On a une suite exacte \[ 1 \to G \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to \Gamma, \] et l'image de \(\mathcal{G}' \to \mathcal{G}\) est \(\mathcal{E}'/\pi_{1}\), c'est-à-dire le stabilisateur de \(N\) pour l'action de \(\mathcal{G}\) sur l'ensemble des sous-groupes fermés distingués de \(\pi_{1}\). En particulier \(\mathcal{G}' \to \mathcal{G}\) est surjectif si et seulement si \(N\) est distingué dans \(\mathcal{E}\). Si \(\pi_{1}\) est topologiquement de type fini, ses sous-groupes ouverts caractéristiques forment un système fondamental de voisinages de \(1\) (il n'y a qu'un nombre fini de sous-groupes ouverts d'indice donné, et leur intersection est caractéristique) : il y a donc beaucoup de \(N\) distingués dans \(\mathcal{E}\).⁷

Soit \(\mathfrak{G}' = \mathrm{Aut}_{\bar{k}}(\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X})\) ; c'est le noyau de \(\mathcal{G}' \to \Gamma\), et l'image réciproque de \(\mathfrak{G}\), d'où une suite exacte \(1 \to G \to \mathfrak{G}' \to \mathfrak{G}\). Le « cas favorable » où \(\mathcal{G}' \to \mathcal{G}\) est surjectif équivaut à la conjonction de : a) \(\mathfrak{G}' \to \mathfrak{G}\) est surjectif ; b) \(\mathcal{G}'\) et \(\mathcal{G}\) ont même image dans \(\Gamma\). (Si a) et b) sont vrais et \(g \in \mathcal{G}\), on choisit \(g' \in \mathcal{G}'\) de même image dans \(\Gamma\), et l'on relève \(g\,\bar{g'}^{-1} \in \mathfrak{G}\) par a).) Si \(\mathfrak{X}\) est de présentation finie sur \(\bar{k}\), il est défini sur une extension finie de \(k\), et l'image de \(\mathcal{G}\) dans \(\Gamma\) est un sous-groupe ouvert ; de même pour \(\mathcal{G}'\) si \(\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}\) est fini.⁸

8–8

Descente d'un couple (page 8)

Une donnée de descente de \((\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X})\) de \(\bar{k}\) à \(k\) est, de même, un scindage continu de \(\mathcal{G}' \to \Gamma\), qui permet d'écrire \(\mathcal{G}' \simeq \Gamma \ltimes \mathfrak{G}'\) ; une descente à \(k_{1}\) est un scindage partiel au-dessus de \(\Gamma_{1}\), c'est-à-dire un scindage de \(\mathcal{G}'_{1} \to \Gamma_{1}\), où \[ \mathcal{E}_{1} = \mathrm{Aut}_{k_{1}}(\widetilde{\mathfrak{X}} \to \mathfrak{X}), \qquad \mathcal{E}'_{1} = \mathcal{E}' \cap \mathcal{E}_{1}, \qquad \mathcal{G}'_{1} = \mathrm{Aut}_{k_{1}}(\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}) \] sont les images réciproques de \(\Gamma_{1}\) ; on écrit alors \(\mathcal{G}'_{1} \simeq \Gamma_{1} \ltimes \mathfrak{G}'\).⁹

9–13

Descendre avec tous ses automorphismes : une extension centrale (pages 9 à 13)

Plaçons-nous dans le cas où \(N\) est distingué dans \(\mathcal{E}\) et où \(\mathcal{G} \to \Gamma\) est surjectif. Alors \(\mathcal{G}'\) a une suite de composition de quotients successifs \(G\), \(\mathfrak{G}\), \(\Gamma\) : \[ \overbrace{G \quad \mathfrak{G} \quad \Gamma}^{\mathcal{G}'}, \qquad \underbrace{G \quad \mathfrak{G}}_{\mathfrak{G}'}, \qquad \underbrace{\mathfrak{G} \quad \Gamma}_{\mathcal{G}} . \] L'extension \(\mathfrak{G}'\) de \(\mathfrak{G}\) par \(G\) est de nature géométrique ; l'extension \(\mathcal{G}'\) de \(\Gamma\) par \(\mathfrak{G}'\) exprime l'arithmétique de la situation. Le cas qui l'intéresse est celui où \(\mathfrak{G}\) et \(G\) sont finis, \(\Gamma\) infini et \(\mathfrak{X}\) de présentation finie.

On cherche alors une extension finie galoisienne \(k_{i}\) de \(k\), de groupe \(\Gamma_{i}\) (ouvert distingué dans \(\Gamma\)), et une extension \[ 1 \to \mathfrak{G}' \to \mathcal{G}'_{i} \to \Gamma/\Gamma_{i} \to 1 \] dont \(\mathcal{G}'\) se déduise par l'image réciproque le long de \(\Gamma \to \Gamma/\Gamma_{i}\). Se donner cela revient à se donner un scindage partiel continu \(s : \Gamma_{i} \to \mathcal{G}'\) dont l'image soit distinguée dans \(\mathcal{G}'\). Géométriquement : un modèle \(X'_{i} \to X_{i}\) de \(\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}\) sur \(k_{i}\), d'où une extension de \(k_{i}\)-schémas en groupes finis étales \(1 \to G_{i} \to \mathfrak{G}'_{i} \to \mathfrak{G}_{i} \to 1\), avec la condition que \(\mathfrak{G}'_{i}\) soit constant — tous les automorphismes géométriques du couple sont définis sur \(k_{i}\).

Si l'image de \(s\) est distinguée, elle commute à \(\mathfrak{G}'\) : les deux sous-groupes sont distingués et d'intersection triviale. La réciproque n'est pas vraie telle quelle, mais elle l'est après avoir rétréci \(\Gamma_{i}\). ¹⁰ Pour un \(k_{i}\) donné il peut y avoir plusieurs solutions non isomorphes ; l'unicité ne s'obtient qu'en passant à une extension assez grande. Précisément, soit \[ Z = \mathrm{Centr}_{\mathcal{G}'}(\mathfrak{G}'), \qquad \mathfrak{z} = Z \cap \mathfrak{G}' = \text{centre de } \mathfrak{G}' . \] L'image \(\Gamma_{0}\) de \(Z\) dans \(\Gamma\) est ouverte (\(Z\) est d'indice fini, puisque \(\mathfrak{G}'\) est fini), elle correspond à une extension finie \(k_{0}\), et l'on a une extension centrale \[ 1 \to \mathfrak{z} \to Z \to \Gamma_{0} \to 1 . \] Les solutions relatives à \(\Gamma_{i} \subset \Gamma_{0}\) sont les scindages partiels de cette extension au-dessus de \(\Gamma_{i}\).

• Si \(\mathfrak{z} = 1\), alors \(Z \simeq \Gamma_{0}\) : il existe une solution si et seulement si \(\Gamma_{i} \subset \Gamma_{0}\), et elle est unique. Il y a donc un corps de définition canonique \(k_{0}\) du couple avec tous ses automorphismes.
• En général, l'obstruction à l'existence au-dessus de \(\Gamma_{i}\) est la classe de l'extension restreinte dans \(H^{2}(\Gamma_{i}, \mathfrak{z})\) (\(\Gamma_{i}\) opérant trivialement), et les solutions, quand il y en a, forment un torseur sous \(H^{1}(\Gamma_{i}, \mathfrak{z}) = \mathrm{Hom}(\Gamma_{i}, \mathfrak{z})\). L'obstruction meurt sur un \(\Gamma_{i}\) assez petit : \(Z\) étant profini et \(\mathfrak{z}\) fini, un sous-groupe ouvert de \(Z\) rencontre \(\mathfrak{z}\) trivialement, et son image convient.¹¹

14–17

2. Sur \(\mathbb{Q}\) : la droite projective privée de points (pages 14 à 17)

Soit \(\hat{\mathfrak{X}} = \mathbb{P}^{1}_{\bar{\mathbb{Q}}}\), \(S\) une partie finie de ses points, \(\mathfrak{X} = \hat{\mathfrak{X}} \smallsetminus S\), et \(\mathfrak{X}'\) le revêtement abélien maximal de \(\mathfrak{X}\).¹²

A) Si \(\operatorname{Card} S \in \{0, 1\}\), \(\mathfrak{X}\) est simplement connexe et \(\mathfrak{X}' = \mathfrak{X}\).

B) Si \(\operatorname{Card} S = 2\), \(\mathfrak{X}\) est canoniquement un torseur sous une forme de \(\mathbb{G}_{m}\) ; choisir l'un des points de \(S\) comme \(\infty\) et une origine \(1\) le trivialise, et le couple \((\hat{\mathfrak{X}}, \mathfrak{X})\) descend en \((\mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Q}}, \mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}})\). Le groupe des automorphismes fixant \(0\) et \(\infty\) est alors \(\Gamma \ltimes \bar{\mathbb{Q}}^{*}\).¹³ Le revêtement d'indice \(n\) est \(X_{n} = \mathbb{G}_{m} \xrightarrow{t \mapsto t^{n}} \mathbb{G}_{m}\), principal de groupe \(\mu_{n}\) ; l'homomorphisme \(\mathcal{G}_{n} \to \mathcal{G}\) est l'identité sur \(\Gamma\) et l'élévation à la puissance \(n\) sur \(\bar{\mathbb{Q}}^{*}\). À la limite, le groupe des automorphismes du pro-revêtement abélien maximal est \(\Gamma \ltimes \varprojlim_{n} \bar{\mathbb{Q}}^{*}\), la limite étant prise pour les élévations aux puissances, extension de \(\bar{\mathbb{Q}}^{*}\) par \(\mathrm{T}\).¹⁴

C) Si \(\operatorname{Card} S = 3\), \(\mathfrak{G} \simeq \mathfrak{S}_{S} \simeq \mathfrak{S}_{3}\), et il y a une façon canonique de descendre à \(\mathbb{Q}\) en rendant les points de \(S\) rationnels : les envoyer sur \(0, 1, \infty\). On est conduit à la tour de Fermat : \[ \mathcal{G}_{n} = (\Gamma \times \mathfrak{S}_{S}) \ltimes \pi_{n}, \qquad \pi_{n} = \mu_{n}^{S}/\mu_{n} . \] C'est le « cas favorable » de la page 7, et un cas où l'extension est scindée ; la section 3 le développe.

D) Si \(\operatorname{Card} S \geqslant 4\), un triplet \(s = (s_{0}, s_{1}, s_{\infty})\) de points distincts de \(S\) définit un isomorphisme \(\varphi_{s} : \hat{\mathfrak{X}} \simeq \mathbb{P}^{1}_{\bar{\mathbb{Q}}}\) qui les envoie sur \(0, 1, \infty\) ; les autres points deviennent des éléments de \(\bar{\mathbb{Q}} \smallsetminus \{0, 1\}\), qui engendrent un corps de nombres \(K_{s}\). Ce corps ne dépend pas de \(s\) (il est engendré par les birapports des points de \(S\)) : c'est le plus petit sous-corps \(K\) de \(\bar{\mathbb{Q}}\) sur lequel \(\hat{\mathfrak{X}}\) descend en \(\hat{X}_{K}\) de façon que les points de \(S\) deviennent rationnels, et cette descente est unique à isomorphisme unique près. Les automorphismes de \((\hat{\mathfrak{X}}, S)\) forment un groupe fini, qui s'injecte dans \(\mathfrak{S}_{S}\) et opère déjà sur \(\hat{X}_{K}\).¹⁵

Tours à étudier (page 17, feuillet isolé) : la tour des courbes de Fermat \(C_{n}\) ; la tour des revêtements abéliens de l'octaèdre, vu comme carte régulière triangulaire ; les revêtements abéliens de \(\mathbb{P}^{1} \smallsetminus \{0, 1, \infty\}\), diédraux et « paradiédraux ».¹⁶

18–22

3. Calculs : \(z \mapsto z^{n}\), la fonction \(g\), Kummer sur \(\mathbb{Q}\) (pages 18 à 22)

Ces pages sont des feuillets de calcul ; on en dégage ce qui sert ensuite.

Les points spéciaux. Le groupe \(\mathfrak{S}_{3}\) des homographies qui permutent \(\{0, 1, \infty\}\) a, outre ces trois points, des points remarquables : les deux points fixes des 3-cycles, \(-j\) et \(-\bar{j}\) (racines de \(z^{2} - z + 1\)), et les points fixes non triviaux des trois transpositions, \(2\), \(-1\) et \(\tfrac12\). Sur la sphère de Riemann, ces sept points sont les sommets, les milieux de côtés et les centres des deux triangles (demi-plans supérieur et inférieur) de la triangulation de la sphère par la droite réelle — la figure qui reviendra comme « barycentrique ». La fonction rationnelle de degré \(6\) \[ g(z) = \frac{27\, z^{2}(z-1)^{2}}{4\,(z^{2} - z + 1)^{3}} \] est \(\mathfrak{S}_{3}\)-invariante, c'est le quotient de \(\mathbb{P}^{1}\) par \(\mathfrak{S}_{3}\) : elle envoie \(0, 1, \infty\) sur \(0\) (ramification \(2\)), \(\tfrac12, 2, -1\) sur \(1\) (ramification \(2\)), \(-j, -\bar{j}\) sur \(\infty\) (ramification \(3\)), grâce à l'identité \[ 4(z^{2} - z + 1)^{3} - 27 z^{2}(z-1)^{2} = \bigl[(z+1)(2z-1)(z-2)\bigr]^{2}, \] qui est sur la page et que l'on vérifie directement.¹⁷ La page la compose avec \(z \mapsto z^{n}\), \(g_{n}(z) = g(z^{n})\).

Le revêtement de Kummer \(z \mapsto z^{n}\). C'est un revêtement principal de \(\mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Q}}\) de groupe \(\mu_{n}\), et le groupe de ses automorphismes semi-linéaires est \(\mathcal{E}_{n} = \Gamma \ltimes \mu_{n}(\bar{\mathbb{Q}})\). Les images réciproques des points spéciaux sont \[ S_{0} = \{0\}, \quad S_{1} = \mu_{n}, \quad S_{\infty} = \{\infty\}, \quad E^{+} = \{z^{n} = -j\}, \quad E^{-} = \{z^{n} = -\bar{j}\}, \] \[ R = \{z^{n} = -1\}, \quad R' = \{z^{n} = \tfrac12\}, \quad R'' = \{z^{n} = 2\}. \] Le corps engendré par \(E \cup R = \{z^{3n} = -1\}\) est \(\mathbb{Q}(\mu_{6n})\), qui contient \(\mathbb{Q}(S_{0} \cup S_{1} \cup S_{\infty}) = \mathbb{Q}(\mu_{n})\) ; celui qu'engendrent \(R'\) et \(R''\) est \(\mathbb{Q}(\mu_{n}, \sqrt[n]{2})\), de degré \(\nu\) sur \(K_{n} = \mathbb{Q}(\mu_{n})\), où \(\nu\) est l'ordre de \(2\) dans \(K_{n}^{*}/K_{n}^{*n}\).¹⁸ Ces six ensembles \(E^{+}, E^{-}, R, R', R'', S_{1}\) sont, à la limite, des \(\mathrm{T}\)-torseurs \(K(-j), K(-\bar{j}), K(-1), K(\tfrac12), K(2), K(1)\), avec les relations \[ E^{+} \wedge E^{-} = 1, \qquad R' \wedge R'' = 1, \qquad R^{2} = 1, \qquad (E^{+})^{6} = 1 \] dans le groupe des classes de \(\mathrm{T}\)-torseurs, qui viennent de \((-j)(-\bar{j}) = 1\), \(2 \cdot \tfrac12 = 1\), \((-1)^{2} = 1\), \((-j)^{6} = 1\) ; l'inversion \(z \mapsto 1/z\) échange \(E^{+}\) et \(E^{-}\), \(R'\) et \(R''\), \(S_{0}\) et \(S_{\infty}\).¹⁹

Kummer sur \(\mathbb{Q}\). La théorie de Kummer donne \[ \mathbb{Q}^{*}/\mathbb{Q}^{*n} \xrightarrow{\;\sim\;} H^{1}(\Gamma, \mu_{n}), \] \(\xi\) s'envoyant sur la classe du cocycle \(\gamma \mapsto \gamma(\sqrt[n]{\xi})/\sqrt[n]{\xi}\), et \(\sqrt[n]{\xi}\) est rationnel si et seulement si ce cocycle est nul. Les cocycles eux-mêmes, \(Z^{1}(\Gamma, \mu_{n})\), forment une extension de \(H^{1}\) par les cobords \(B^{1} \simeq \mu_{n}/\mu_{n}(\mathbb{Q})\) : choisir la racine, c'est choisir le cocycle dans sa classe. Passant à la limite, \(\varprojlim_{n} \mathbb{Q}^{*}/\mathbb{Q}^{*n} \simeq \{\pm 1\} \times \varprojlim_{n} (\mathbb{Z}/n)^{(P)}\), \(P\) l'ensemble des nombres premiers, et le second facteur s'injecte dans \(\widehat{\mathbb{Z}}^{P}\).²⁰ D'où, pour \(\xi = 2\), un homomorphisme \[ \Gamma \longrightarrow \mathrm{Aff}(1, \widehat{\mathbb{Z}}) = \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \ltimes \widehat{\mathbb{Z}}, \] action de \(\Gamma\) sur le torseur \(K(2) \simeq \widehat{\mathbb{Z}}\), et, pour plusieurs rationnels, \(\Gamma \to \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \ltimes \widehat{\mathbb{Z}}^{n}\). La page demande si l'image est d'indice fini : elle l'est pour des rationnels multiplicativement indépendants, et pour \(\xi = 2\) elle est d'indice \(2\) (voir la page 35).²¹

La page 22 esquisse le même calcul pour le revêtement de Kummer modifié par les points \(R', R''\) : une extension \(1 \to \mu_{n} \to \mathcal{E}'_{n} \to \Gamma' \to 1\), où \(\Gamma'\) est un quotient de \((\mathbb{Z}/6n)^{*} \ltimes \mu_{\nu}\), scindée, le scindage dépendant du choix de \(\sqrt[\nu]{2}\). ²²

4. La tour de Fermat (pages 24 à 40)

24–28

Le revêtement abélien universel de \(\mathbb{P}^{1} \smallsetminus \{0, 1, \infty\}\) (§§ 1.1 à 1.5, pages 24 à 28)

Soit \(C_{n} \subset \mathbb{P}^{2}_{\mathbb{Q}}\) la courbe de Fermat \(x^{n} + y^{n} + z^{n} = 0\). Le groupe \[ \Pi_{n} = \mu_{n}^{3}/\mu_{n} \simeq \mu_{n} \otimes_{\mathbb{Z}} (\mathbb{Z}^{3}/\mathbb{Z}) \] (quotient par la diagonale) opère sur \(C_{n}\) par matrices diagonales, et \((x : y : z) \mapsto (x^{n} : y^{n} : z^{n})\) identifie \(C_{n}/\Pi_{n}\) à la droite \(C_{1} : X + Y + Z = 0\). On identifie \(C_{1}\) à \(\mathbb{P}^{1}\) par la coordonnée \(t = -X/Z\), qui envoie les points où \(X\), \(Y\), \(Z\) s'annulent sur \(0\), \(1\), \(\infty\). Le revêtement \(C_{n} \to C_{1}\) est étale hors de ces trois points, où il a \(n\) points d'indice de ramification \(n\) : c'est un revêtement principal \(C_{n}^{*} \to C_{1}^{*} = \mathbb{P}^{1} \smallsetminus \{0, 1, \infty\}\) de groupe \(\Pi_{n}\). Topologiquement, les deux demi-plans de \(C_{1}\) se relèvent en une triangulation de \(C_{n}\) par \(2n^{2}\) triangles. À la limite, \[ C_{\infty} = \varprojlim C_{n}, \qquad \Pi_{\infty} = \varprojlim \Pi_{n} \simeq \mathrm{T}^{3}/\mathrm{T} \simeq \mathrm{T} \otimes_{\widehat{\mathbb{Z}}} (\widehat{\mathbb{Z}}^{3}/\widehat{\mathbb{Z}}). \]

Le groupe \(\mathfrak{S}_{3}\) permute les coordonnées ; il opère sur chaque \(C_{n}\), sur \(\Pi_{n}\), compatiblement, et sur \(C_{1}\) par son action sur \(\{0, 1, \infty\}\). Après extension à \(\bar{\mathbb{Q}}\), \(\Gamma\) opère sur les \(\bar{C}_{n}\) et sur \(\bar{\Pi}_{n} = \Pi_{n}(\bar{\mathbb{Q}})\) par le caractère \(\chi_{n}\), et ces actions se recollent en \[ \mathcal{E}_{n} = (\mathfrak{S}_{3} \times \Gamma) \ltimes \bar{\Pi}_{n}, \qquad \mathcal{E}_{\infty} = (\mathfrak{S}_{3} \times \Gamma) \ltimes \Pi_{\infty}, \] où \(\mathfrak{S}_{3}\) opère sur \(\mathbb{Z}^{3}/\mathbb{Z}\) par permutation et \(\Gamma\) par l'homothétie \(\chi\). On a \[ \mathfrak{S}_{3} \times \Gamma = \mathrm{Aut}_{\mathbb{Q}}(\bar{C}_{1}, \{0, 1, \infty\}), \qquad \mathcal{E}_{n} = \mathrm{Aut}_{\mathbb{Q}}(\bar{C}_{n} \to \bar{C}_{1}), \] et \(\mathcal{E}_{n}\) est le groupe de tous les \(\mathbb{Q}\)-automorphismes de \(\bar{C}_{n}\) dès que \(n \geqslant 4\).²³ Enfin l'homomorphisme \(\pi_{1}(\mathbb{P}^{1}_{\bar{\mathbb{Q}}} \smallsetminus \{0, 1, \infty\}) \to \Pi_{\infty}\) induit un isomorphisme \[ \pi_{1}(\mathbb{P}^{1}_{\bar{\mathbb{Q}}} \smallsetminus \{0, 1, \infty\})^{\mathrm{ab}} \simeq \Pi_{\infty} : \] la tour de Fermat est le revêtement abélien universel, et « on est en train de faire l'étude arithmétique des revêtements étales abéliens » de la droite privée de trois points.²⁴

28–33

Les fibres au-dessus des sommets et des centres (§§ 1.6 et 1.7, pages 28 à 33)

Au-dessus de \(0\), la fibre de \(\bar{C}_{n}\) est \(\{(0 : \lambda : 1) \mid \lambda^{n} = -1\}\), et à la limite \[ E_{0} \simeq K(-1) = p_{2}^{-1}(-1), \qquad p_{2} : \mathrm{T} \to \mu_{2}, \] le \(\mathrm{T}\)-torseur des systèmes compatibles de racines de \(-1\), classe de \(\mathrm{T}\) modulo \(2\mathrm{T}\). Il en va de même au-dessus de \(1\) et de \(\infty\), par \(\mathfrak{S}_{3}\). Pour une description intrinsèque, compatible à \(\mathfrak{S}_{3}\), \(\Gamma\) et \(\Pi_{\infty}\), considérons la suite exacte de \((\mathfrak{S}_{3} \times \Gamma)\)-modules \[ 0 \to \Pi_{\infty} \xrightarrow{\;2\;} \Pi_{\infty} \xrightarrow{\;p\;} \Pi_{2} \to 0, \] et remarquons que \(\Pi_{2} \smallsetminus \{0\} = (\mathbb{F}_{2}^{3}/\mathbb{F}_{2}) \smallsetminus \{0\}\) a trois éléments, en bijection \(\mathfrak{S}_{3}\)-équivariante avec \(I = \{0, 1, \infty\}\), et que \(\Gamma\) y opère trivialement. Pour \(i \in I\), soit \(Z_{i} \subset \Pi_{\infty}\) le sous-groupe d'inertie, image du facteur \(\mathrm{T}\) d'indice \(i\) de \(\mathrm{T}^{3}\). Alors \[ E_{i} \simeq p^{-1}(i)/2Z_{i}, \] \(\Pi_{\infty}\) opérant sur la classe \(p^{-1}(i)\) par \(y \mapsto y + 2x\) : c'est un \(\Pi_{\infty}/Z_{i}\)-torseur, comme doit l'être la fibre au-dessus d'un point de ramification d'inertie \(Z_{i}\).²⁵

Soient maintenant \(\alpha = -j\) et \(\bar{\alpha} = -\bar{j}\), les deux points de \(\bar{C}_{1}\) fixes sous \(\mathfrak{S}_{3}^{+}\), et \(\alpha_{*} = \{\alpha, \bar{\alpha}\}\). Pour décrire \(E(\alpha_{*})\), la fibre au-dessus de \(\alpha_{*}\), avec ses opérations, on passe aux cônes : soit \[ \widetilde{C}_{1} = \mathrm{Isom}(I, \mu_{3}) \simeq \{(\zeta_{0}, \zeta_{1}, \zeta_{\infty}) \in \mu_{3}^{3} \mid \text{les } \zeta_{i} \text{ distincts}\}, \] l'ensemble à \(6\) éléments des points du cône de \(\bar{C}_{1}\) à coordonnées racines cubiques de l'unité distinctes (leur somme est nulle). Le groupe \(\mu_{3}\) y opère librement par homothéties, et \(\widetilde{C}_{1}/\mu_{3} \xrightarrow{\sim} \alpha_{*}\) : deux éléments, les deux ordres cycliques de \(I\). Le groupe \(\mathcal{E}_{\infty}\) y opère à travers \(\mathfrak{S}_{3} \times \{\pm 1\}\), via \(\chi_{3}\). Soit \(\widetilde{C}_{n}\) l'image réciproque de \(\widetilde{C}_{1}\) dans le cône de \(\bar{C}_{n}\), \[ \widetilde{C}_{n} = \{(x, y, z) \mid x^{3n} = y^{3n} = z^{3n} = 1,\ x^{n}, y^{n}, z^{n} \text{ distincts}\} ; \] \(\widetilde{C}_{n} \to \widetilde{C}_{1}\) est compatible à \(\mu_{3n} \xrightarrow{\zeta \mapsto \zeta^{n}} \mu_{3}\), d'où \(\widetilde{C}_{n}/\mu_{3n} \simeq E_{n}(\alpha_{*}) \to \widetilde{C}_{1}/\mu_{3} \simeq E_{1}(\alpha_{*})\).²⁶ À la limite, avec \(\xi \mapsto \xi_{3}\) la réduction \(\mathrm{T} \to \mathrm{T}/3\mathrm{T} \simeq \mu_{3}\), \[ \widetilde{C}_{\infty} = \{(x, y, z) \in \mathrm{T}^{3} \mid x_{3}, y_{3}, z_{3} \text{ distincts}\}, \qquad E(\alpha_{*}) \simeq \widetilde{C}_{\infty}/\mathrm{T} = p_{3}^{-1}(\omega) \subset \Pi_{\infty}, \] où \(p_{3} : \Pi_{\infty} \to \Pi_{3}\) et \(\omega = \widetilde{C}_{1}/\mu_{3} \subset \Pi_{3}\). Le groupe \(\Pi_{\infty}\) opère librement sur \(p_{3}^{-1}(\omega)\) par \(y \mapsto y + 3x\), et \(\Gamma\), \(\mathfrak{S}_{3}\) par leur action sur \(\Pi_{\infty}\).²⁷ Sur \(\Pi_{3} \simeq \mathbb{F}_{3}^{2}\), le sous-groupe \(\mathfrak{S}_{3}^{+} \simeq \mathbb{Z}/3\) opère par un bloc de Jordan de taille \(2\) : il a une unique droite invariante, et \(\omega\) en est formé des deux éléments non nuls.²⁸

34–36

Les fibres au-dessus des milieux de côtés (§ 1.8, pages 34 à 36)

Soient \(\alpha'(0) = 2\), \(\alpha'(1) = -1\), \(\alpha'(\infty) = \tfrac12\) les points fixes, autres que \(0, 1, \infty\), des transpositions \(\tau_{0}, \tau_{1}, \tau_{\infty}\), et \(\alpha'_{*}\) leur ensemble.²⁹ Un calcul en coordonnées affines donne \[ E_{n}(\alpha'(i)) \simeq \{(\xi_{j})_{j \in I \smallsetminus \{i\}} \mid \xi_{j}^{n} = -\tfrac12\}, \qquad E(\alpha'(i)) \simeq K(-\tfrac12)^{I \smallsetminus \{i\}}, \] et les torseurs \(K(g)\) se composent : \(K(gg') \simeq K(g) \wedge_{\mathrm{T}} K(g')\), d'où \(K(-\tfrac12) \simeq K(-1) \wedge_{\mathrm{T}} K(2)^{-1}\), avec \(K(-1) \subset \mathrm{T}\) comme plus haut. Toute l'arithmétique de ces fibres est donc dans les deux torseurs \(K(-1)\), sur lequel \(\Gamma\) opère à travers \(\chi\), et \(K(2)\).

Soit \(A = \mathrm{Aff}(\mathrm{T}, K(\tfrac12))\) le groupe des automorphismes affines du torseur \(K(\tfrac12)\) ; c'est une extension \[ 1 \to \mathrm{T} \to A \to \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \to 1 . \] Le groupe \(\widetilde{\mathcal{E}} = (\mathfrak{S}_{3} \times A) \ltimes \Pi_{\infty}\), où \(A\) opère sur \(\Pi_{\infty}\) à travers \(\widehat{\mathbb{Z}}^{*}\), opère sur toutes les fibres \(E(\alpha_{*})\), \(E(\{0, 1, \infty\})\), \(E(\alpha'_{*})\) ; sur les deux premières à travers \(\widetilde{\mathcal{E}}/\mathrm{T} \simeq (\mathfrak{S}_{3} \times \widehat{\mathbb{Z}}^{*}) \ltimes \Pi_{\infty}\). L'action de \(\Gamma\) sur \(K(\tfrac12)\) donne \(\Gamma \to A\), dont l'image \(\Gamma'\) est le groupe de Galois de \(\mathbb{Q}(\mu_{\infty}, 2^{1/\infty})\), et \(\mathcal{E}_{\infty} \to \widetilde{\mathcal{E}}\), à travers lequel se font toutes les opérations précédentes. La page demande si \(\Gamma \to A\) est surjectif : il ne l'est pas, son image est d'indice \(2\).³⁰

36–40

Trivialisation en \(\alpha\), et le transport parallèle (§ 1.9, pages 36 à 40)

Rien de ce qui précède n'utilise le plongement \(\bar{\mathbb{Q}} \subset \mathbb{C}\) : tout reste valable sur un corps premier quelconque, pour les \(n\) premiers à la caractéristique, \(\bar{C}_{\infty}\) étant alors le revêtement abélien universel modéré. Le plongement sert à faire le lien « avec les cartes finies abéliennes »,³¹ en trivialisant \(\bar{C}_{\infty}\) au-dessus de \(\alpha\). On pose \[ j = \exp\tfrac{2i\pi}{3}, \qquad \zeta_{n} = \exp\tfrac{2i\pi}{3n}, \qquad \alpha_{n} = (\bar{\zeta}_{n}, \zeta_{n}, 1) \in \widetilde{C}_{n}, \qquad \alpha_{\infty} = (\bar{\zeta}_{\infty}, \zeta_{\infty}, 1), \] où \(\zeta_{\infty} = (\zeta_{n})\) est le générateur de \(\mathrm{T}\) donné par l'exponentielle complexe, d'où \(\varphi : \widehat{\mathbb{Z}} \simeq \mathrm{T}\), et \[ \Pi_{\infty} \simeq \widehat{\mathbb{Z}}^{3}/\widehat{\mathbb{Z}}, \qquad \mathcal{E}_{\infty} \simeq (\mathfrak{S}_{3} \times \Gamma) \ltimes (\widehat{\mathbb{Z}}^{3}/\widehat{\mathbb{Z}}), \] \(\mathfrak{S}_{3}\) permutant les facteurs et \(\Gamma\) opérant par homothétie de rapport \(\chi\). Dans ces coordonnées \(\alpha_{\infty} = (-1, 1, 0)\) et \(\bar{\alpha}_{\infty} = (1, -1, 0)\) modulo \(\widehat{\mathbb{Z}}\), et les générateurs d'inertie \[ \rho_{0} = (1,0,0), \quad \rho_{1} = (0,1,0), \quad \rho_{\infty} = (0,0,1) \pmod{\widehat{\mathbb{Z}}}, \qquad \rho_{0} + \rho_{1} + \rho_{\infty} = 0, \] « donnent l'isomorphisme » de \(\Pi_{\infty}\) avec l'abélianisé du groupe profini engendré par trois lacets de produit \(1\).³² En choisissant l'origine \(\theta_{\infty} = (\sqrt[n]{2})_{n}\) (racines réelles positives), \(K(2) \simeq \widehat{\mathbb{Z}}\) et \(A \simeq \mathrm{Aff}(1, \widehat{\mathbb{Z}}) = \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \ltimes \widehat{\mathbb{Z}}\) opère par \(x \mapsto ax + b\) sur \(K(2)\) et par \(x \mapsto ax - b\) sur \(K(\tfrac12) = K(2)^{-1}\) ; tout est alors explicite.

Reste le transport parallèle : sur \(\mathbb{C}\), un chemin du demi-plan qui contient \(\alpha\) vers chacun des six autres points spéciaux identifie la fibre \(E(\alpha)\) aux fibres \(E_{0}, E_{1}, E_{\infty}\) et \(E'_{0} = E_{2}\), \(E'_{1} = E_{-1}\), \(E'_{\infty} = E_{1/2}\) — dans le langage des cartes, il dit à quels sommets et à quels côtés touche chaque triangle. Ces bijections étant compatibles à \(\Pi_{\infty}\) et à \(\mathfrak{S}_{3} \times \{1, \tau\}\) (\(\tau\) la conjugaison complexe), il suffit d'en connaître deux, par exemple \(E(\alpha) \to E'_{\infty} \to E_{0}\), c'est-à-dire l'image du point marqué \(\alpha_{\infty}\). La page calcule le point de \(\bar{C}_{n}\) au-dessus de \(\tfrac12\), \[ \alpha'_{n}(\infty) = \Bigl(\sqrt[n]{\tfrac12}\, e^{-i\pi/n},\ \sqrt[n]{\tfrac12}\, e^{i\pi/n},\ 1\Bigr), \] et s'arrête.³³

5. Fermat, suite : trois points abstraits, l'octaèdre, la tour diédrale (pages 41 à 54)

41–41

Fonctorialité en un ensemble à trois éléments (page 41)

La page 41 reprend ce qui précède en remplaçant \(\{0, 1, \infty\}\) par un ensemble \(I\) à trois éléments quelconque : \(\pi(I) = \widehat{\mathbb{Z}}^{I}/\widehat{\mathbb{Z}}\), \(\pi_{n}(I) = (\mathbb{Z}/n)^{I}/(\mathbb{Z}/n)\), le groupe \((\mathfrak{S}_{I} \times \widehat{\mathbb{Z}}^{\times}) \ltimes \pi(I)\), les fibres \(E(I, i)\) au-dessus des points de \(I\) et leur réunion \(E(I; I) = \coprod_{i} E(I, i)\), et la fibre \(E(I, \omega) = p_{3}^{-1}(\omega) \subset \pi_{\infty}(I)\) au-dessus des deux « centres », où \(\omega \simeq \mathrm{Or}(I)\) est l'ensemble des deux ordres cycliques de \(I\). C'est la forme intrinsèque de la page 33 : l'ensemble \(\omega\) des deux points fixes des 3-cycles est l'ensemble des deux orientations du triangle.³⁴

43–43

L'octaèdre (page 43)

Le genre de \(C_{n}\), courbe plane lisse de degré \(n\), est \((n-1)(n-2)/2\) : nul pour \(n = 1, 2\), égal à \(1\) pour \(n = 3\), à \(3\), \(10\), \(55\) pour \(n = 4, 6, 12\). Pour \(n = 2\), la conique \(C_{2} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0\), avec sa triangulation, est formée de \(8\) triangles, chaque sommet en touchant \(4\) : c'est l'octaèdre, dont le groupe des rotations est \(\mathfrak{S}_{4} \simeq \mathfrak{S}_{3} \ltimes (\mathbb{Z}/2)^{2}\), c'est-à-dire \(\mathfrak{S}_{3} \ltimes \Pi_{2}\). Les quotients de \(C_{2}\) par les trois sous-groupes d'ordre \(2\) de \(\Pi_{2}\) sont les trois revêtements doubles de \(C_{1}\) ramifiés en deux des trois points, permutés par \(\mathfrak{S}_{3}\). L'octaèdre a le type de ramification \((2, 2), (2, 2), (2, 2)\) au-dessus de \(0, 1, \infty\), qui est celui du revêtement diédral de type \((2, 2, n)\) pour \(n = 2\) ; comme un revêtement galoisien de groupe \((\mathbb{Z}/2)^{2}\) ramifié en trois points avec toutes ses inerties non triviales est unique, les deux coïncident.³⁵

45–46

La tour diédrale (pages 45 et 46)

Sur \(X = C_{2}\), le diviseur de ramification \(D\) est de degré \(6\) et défini sur \(\mathbb{Q}(i)\). Les pages 45–46 construisent une seconde tour, en coordonnées : \[ X_{n} \xrightarrow{\;x_{n} \mapsto x_{n}^{n}\;} X_{1} \xrightarrow{\;z \mapsto x_{0}\;} X_{0}, \qquad x_{0} = \tfrac12 - \tfrac14\bigl(z + z^{-1}\bigr). \] Le revêtement \(X_{1} \to X_{0}\) est de degré \(2\), ramifié en \(z = 1\) (au-dessus de \(x_{0} = 0\)) et en \(z = -1\) (au-dessus de \(x_{0} = 1\)), non ramifié au-dessus de \(\infty\) (\(z = 0, \infty\)) ; \(X_{n} \to X_{1}\) est ramifié d'indice \(n\) en \(0\) et \(\infty\). Le composé \(X_{n} \to X_{0}\), \(x_{0} = \tfrac12 - \tfrac14(x_{n}^{n} + x_{n}^{-n})\), est galoisien de groupe diédral \(D_{n} = (\mathbb{Z}/2) \ltimes \mu_{n}\) et de type de ramification \((2, 2, n)\) ; à la limite, de groupe \(\mathbb{D}_{\infty} = (\mathbb{Z}/2) \ltimes \mu_{\infty}\).³⁶

48–54

Les endomorphismes de la conique (pages 48 à 54)

Sur la conique \(C_{2}\), la fonction \(u = (y - ix)/z\) est une coordonnée définie sur \(\mathbb{Q}(i)\), et l'élévation à la puissance \(n\) dans cette coordonnée est un endomorphisme de degré \(n\). Pour \(n = 3\), la page 54 calcule \[ \Bigl(\frac{y - ix}{z}\Bigr)^{3} = \frac{1}{z^{3}}\Bigl[\,y(y^{2} - 3x^{2}) + i\, x(x^{2} - 3y^{2})\,\Bigr], \] ce qui retrouve l'application de la page 48, \[ (x, y, z) \longmapsto \bigl(-x(x^{2} - 3y^{2}),\ y(y^{2} - 3x^{2}),\ z^{3}\bigr), \] dont la page vérifie qu'elle préserve la conique : la somme des carrés des images vaut \(x^{6} + y^{6} + z^{6} + 3x^{2}y^{2}(x^{2} + y^{2})\), c'est-à-dire, sur \(C_{2}\), \(a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc\) avec \(a, b, c = x^{2}, y^{2}, z^{2}\), qui est divisible par \(a + b + c\).³⁷ À la question de la page 54 — les \(x', y', z'\) de l'endomorphisme d'ordre \(n\) sont-ils des fonctions rationnelles de \(x, y, z\) ? — cette coordonnée répond oui. La page 50 fait le même calcul par la paramétrisation rationnelle \((1 - t^{2}, 2t, 1 + t^{2})\) et l'élévation au carré \((x^{2} - y^{2}, 2xy, x^{2} + y^{2})\), qui préservent la forme \(x^{2} + y^{2} - z^{2}\), équivalente à celle de \(C_{2}\) sur \(\mathbb{Q}(i)\) par \(z \mapsto iz\).³⁸ Les pages 52–53 dessinent, à partir de là, un diagramme de revêtements \(X_{1} \leftarrow X_{2} \leftarrow X_{4} \leftarrow X_{8}\), \(\widetilde{X}_{2} = X_{2}(2, 2, 2)\), de groupes des quotients de \(\mu_{n}^{3}/\mu_{n}\) ; il est trop surchargé pour être restitué flèche par flèche.³⁹

6. Automorphismes de groupoïdes (pages 56 à 62)

57–60

Foncteurs d'un groupoïde au-dessus d'une application des objets (pages 57 à 60)

Soient \(C\) un groupoïde, \(C'\) une catégorie, \(C_{0}, C'_{0}\) leurs ensembles d'objets et \(f_{0} : C_{0} \to C'_{0}\) une application. On cherche les foncteurs \(f : C \to C'\) qui l'induisent.

Proposition. a) Il existe un \(f\) au-dessus de \(f_{0}\) si et seulement si \(f_{0}\) envoie deux objets isomorphes (dans une même composante connexe de \(C\)) sur des objets isomorphes.

b) Choisissons dans chaque composante connexe \(C(i)\) un objet \(a_{i}\), et pour chaque \(x \in C(i)_{0}\) un isomorphisme \(u_{x} : a_{i} \to x\), avec \(u_{a_{i}} = \mathrm{id}\). Alors \(f \mapsto ((f(u_{x}))_{x}, (f_{a_{i}, a_{i}})_{i})\) est une bijection \[ \mathrm{Hom}_{f_{0}}(C, C') \xrightarrow{\;\sim\;} \prod_{x \in C_{0},\, x \neq a_{i(x)}} \mathrm{Isom}\bigl(f_{0}(a_{i(x)}), f_{0}(x)\bigr) \times \prod_{i} \mathrm{Hom}\bigl(\mathrm{Aut}(a_{i}), \mathrm{Aut}(f_{0}(a_{i}))\bigr). \] ⁴⁰ Le foncteur associé à \((\ell_{x}, \varphi_{i})\) est \(g \mapsto \ell_{y}\, \varphi_{i}(u_{y}^{-1} g u_{x})\, \ell_{x}^{-1}\) pour \(g : x \to y\), et a) en résulte.

c) \(f\) est fidèle si et seulement si chaque \(\varphi_{i}\) est injectif ; il est pleinement fidèle si et seulement si 1°) pour \(i \neq j\), \(\mathrm{Hom}(f_{0}(a_{i}), f_{0}(a_{j})) = \emptyset\) ; 2°) pour \(x, y\) dans une même composante, toute flèche \(f_{0}(x) \to f_{0}(y)\) est un isomorphisme ; 3°) chaque \(\varphi_{i}\) est un isomorphisme. C'est une équivalence si de plus 4°) tout objet de \(C'\) est isomorphe à un \(f_{0}(a_{i})\), et un isomorphisme si 1°)–3°) et 4'°) \(f_{0}\) est bijective.

Lorsque \(C'\) est aussi un groupoïde, 2°) est automatique et 1°) dit que \(f\) est injectif sur les composantes, d'où :

Corollaires. Si \(C'\) est un groupoïde, \(f\) est un isomorphisme si et seulement si a) \(\pi_{0}(f)\) est bijectif, b) \(f_{0}\) est bijective, c) chaque \(f_{a_{i}, a_{i}}\) est un isomorphisme ; c'est une équivalence si et seulement si a) et c). Une application \(f_{0}\) provient d'un isomorphisme \(C \simeq C'\) si et seulement si elle est bijective, respecte dans les deux sens la relation « être dans la même composante », et si \(\mathrm{Aut}\, f_{0}(a_{i}) \simeq \mathrm{Aut}(a_{i})\) pour tout \(i\).⁴¹

Soit \(C\) connexe, \(a\) un objet et \(\pi_{a} = \mathrm{Aut}_{C}(a)\). Toute permutation de \(C_{0}\) provient d'un automorphisme de \(C\), d'où des suites exactes \[ 1 \to \mathrm{Aut}^{\circ}(C) \to \mathrm{Aut}(C) \to \mathfrak{S}_{C_{0}} \to 1, \qquad 1 \to \mathrm{Aut}^{\circ}(C, a) \to \mathrm{Aut}^{\circ}(C) \to \mathrm{Aut}(\pi_{a}) \to 1, \] où \(\mathrm{Aut}^{\circ}(C)\) est formé des automorphismes qui sont l'identité sur les objets, et \(\mathrm{Aut}^{\circ}(C, a)\) de ceux qui sont de plus l'identité sur \(\pi_{a}\) ; et l'on trouve (page 61) \[ \mathrm{Aut}^{\circ}(C, a) \simeq \prod_{x \in C_{0} \smallsetminus \{a\}} \pi_{x} . \] ⁴²

61–62

Le graphe \(K(I)\) (pages 61 et 62)

À quoi sert ce calcul apparaît aussitôt. Soit \(I\) un ensemble muni d'une structure de polygone d'ordre \(n \geqslant 2\), \(D \simeq D_{n}\) son groupe d'automorphismes. Soit \(K(I)\) le graphe à deux sommets \(o, o'\) et dont les arêtes \((\ell_{i})_{i \in I}\) joignent toutes \(o\) à \(o'\) — la « carte de l'orange » à \(n\) fuseaux. \(D\) opère sur \(K(I)\), et une involution qui est l'identité sur \(I\) et échange \(o, o'\) commute à \(D\). Soit \(C(I)\) le groupoïde fondamental de \(K(I)\) en ses deux sommets ; \(D\) y opère par automorphismes, transitivement sur les objets. On va regarder le normalisateur de \(D\) dans \(\mathrm{Aut}(C(I))\), qui contient un élément canonique \(\tau\) — et la page 62 s'arrête là.⁴³

63–63

7. La double pyramide (page 63)

Une figure, sans texte, donne le modèle combinatoire d'une carte par ses triangles. Les triangles de la subdivision barycentrique se partagent en positifs \(E^{+}\) et négatifs \(E^{-}\) ; chaque triangle a un côté de chacun des trois types \(D_{01}, D_{12}, D_{20}\) (sommet–milieu d'arête, milieu–centre, centre–sommet), et chaque côté borde un triangle de chaque signe : d'où des bijections \(p^{\pm}_{ij} : E^{\pm} \to D_{ij}\). Les permutations \[ \rho_{0}^{+} = (p_{01}^{+})^{-1}\, p_{01}^{-}\, (p_{20}^{-})^{-1}\, p_{20}^{+}, \quad \rho_{1}^{+} = (p_{12}^{+})^{-1}\, p_{12}^{-}\, (p_{01}^{-})^{-1}\, p_{01}^{+}, \quad \rho_{2}^{+} = (p_{20}^{+})^{-1}\, p_{20}^{-}\, (p_{12}^{-})^{-1}\, p_{12}^{+} \] de \(E^{+}\) — franchir un côté puis un autre, c'est tourner autour du sommet qui leur est commun — satisfont \[ \rho_{2}^{+}\rho_{1}^{+}\rho_{0}^{+} = \mathrm{id}_{E^{+}}, \] identité qui se vérifie par simplification des facteurs adjacents, et l'ensemble \(S_{i}\) des sommets de type \(i\) s'identifie aux orbites : \(S_{i} \simeq E^{+}/\rho_{i}^{+} \simeq E^{-}/\rho_{i}^{-}\). C'est la description d'une carte orientée par trois permutations de produit \(1\).⁴⁴ La même figure revient, redessinée, à la page 77.

65–67

8. Sous-groupes finis de \(PGL_{2}\), cas modéré (pages 64 à 67)

Soit \(X' \to X\) un revêtement galoisien de courbes, de degré \(N\), ramifié modérément au-dessus de points \(i \in I\) d'indices \(d_{i} \geqslant 2\). La formule de Riemann–Hurwitz donne \[ 2 - 2g' = N \Bigl[(2 - 2g) - \sum_{i \in I} \Bigl(1 - \frac{1}{d_{i}}\Bigr)\Bigr] . \] Si \(g' = 0\), alors \(g = 0\) et \[ \frac{2}{N} = 2 - \sum_{i} \Bigl(1 - \frac{1}{d_{i}}\Bigr) > 0 . \] Les solutions sont : \(\operatorname{Card} I = 0\), \(N = 1\) ; \(\operatorname{Card} I = 1\) est impossible ; \(\operatorname{Card} I = 2\), \(d_{1} = d_{2} = N\) quelconque ; \(\operatorname{Card} I = 3\), \(\sum 1/d_{i} > 1\), d'où les types \[ (2, 2, p),\ N = 2p ; \qquad (2, 3, 3),\ N = 12 ; \qquad (2, 3, 4),\ N = 24 ; \qquad (2, 3, 5),\ N = 60 ; \] \(\operatorname{Card} I \geqslant 4\) est impossible, chaque terme \(1 - 1/d_{i}\) valant au moins \(\tfrac12\).⁴⁵ C'est la classification de Klein : groupes cycliques, diédraux, tétraédral, octaédral et icosaédral.⁴⁶

Le cas \((N, N)\). En caractéristique \(0\), ou si \(p \nmid N\), \(G \simeq \mu_{N}(k)\) est cyclique. Si \(p \mid N\), \(N = p^{r}N'\), la ramification n'est plus modérée — on sort du cadre du titre —, \(G\) fixe un point et est contenu dans un sous-groupe de Borel, donc produit semi-direct d'un groupe cyclique d'ordre premier à \(p\) par un \(p\)-groupe abélien élémentaire \((\mathbb{Z}/p)^{r}\), sous-groupe du groupe additif.⁴⁷

Le cas \((N, 2, 2)\), \(|G| = 2N\). En caractéristique \(\neq 2\), une extension kummérienne de degré \(2\) de la base ramène à un revêtement \(X'/Y'\) qui n'a plus que deux points de ramification, donc au cas cyclique : \(G\) a un sous-groupe cyclique d'indice \(2\).

70–74

9. Paradigme « gruppentheoretisch » des surfaces (pages 69 à 74)

Point de vue topologique. On considère des surfaces topologiques sans bord, orientables, paracompactes, et un ensemble \(\omega\) à deux éléments ; on pose \(T = \mathbb{Z} \wedge_{\mathbb{Z}/2} \omega\) (un \(\mathbb{Z}\)-module libre de rang \(1\) dont les deux générateurs sont les éléments de \(\omega\)), et une \(\omega\)-orientation de \(X\) est un isomorphisme du faisceau des entiers tordus sur \(X\) avec le faisceau constant \(T_{X}\). On suppose chaque composante \(X_{i}\) homéomorphe à \(\hat{X}_{i} \smallsetminus S_{i}\), \(\hat{X}_{i}\) compacte et \(S_{i}\) finie ; le couple \((\hat{X}_{i}, S_{i})\) est déterminé à isomorphisme unique près par \(X_{i}\), comme compactification par les bouts.⁴⁸ La catégorie de ces surfaces \(\omega\)-orientées est ainsi équivalente à celle des surfaces compactes \(\omega\)-orientées munies d'une partie discrète \(S\) ; de même, celle des \((X, o, J)\), \(J\) discrète, à celle des \((\hat{X}, o, S, J)\), \(S\) et \(J\) disjointes.

On passe aux catégories isotopiques — mêmes objets, morphismes les classes d'isotopie d'homéomorphismes — et l'on en cherche une description par la théorie des groupes ; on se ramène au cas connexe, et l'on garde \(J\) pour la dissymétrie entre points marqués et trous.

1) Cas \(J = \varnothing\). Hors du cas \(g = 0\), \(\nu \in \{0, 1\}\) (\(g\) le genre de \(\hat{X}\), \(\nu = \operatorname{card} S\)), on associe à \((\hat{X}, o, S)\) le groupe fondamental \(\Pi = \pi_{1}(X)\) comme groupe extérieur, muni de sa \(T\)-structure : pour chaque \(s \in S\), la classe du lacet autour de \(s\), c'est-à-dire une application \[ S \longrightarrow \mathrm{Homext}(T, \Pi). \] Le quotient de \(\Pi\) par le sous-groupe distingué engendré par ces lacets est \(\pi_{1}(\hat{X})\) ; si \(\nu = 0\), la structure à donner est à la place l'orientation \(T \hookrightarrow (\bigwedge^{2} \Pi_{\mathrm{ab}})^{\vee}\). Le foncteur ainsi obtenu, de la catégorie isotopique vers les groupes extérieurs à \(T\)-structure, est une équivalence sur son image, et la description est même « \(\infty\)-isotopique » — les espaces d'homéomorphismes ont des composantes contractiles — sauf si \(g = 0, \nu = 2\) ou \(g = 1, \nu = 0\), où la composante neutre du groupe des automorphismes est un \(K(\mathbb{Z}, 1)\), resp. un \(K(\mathbb{Z}^{2}, 1)\).⁴⁹

2) Cas \(J \neq \varnothing\). Une description « plus jolie » utilise le groupoïde fondamental de \(X\) en les points de \(J\), avec la même \(T\)-structure ; elle est \(\infty\)-isotopique même dans les cas \(g = 0, \nu = 2\) et \(g = 1, \nu = 0\).

76–77

10. Quelques problèmes spéciaux : les drapeaux (pages 75 à 77)

La page 76 code une carte par l'ensemble \(R\) de ses couples incidents \((s, f)\) (sommet, face), avec des applications \(p : R \to S\), \(r : R \to F\), \(q', q'' : R \to A\) (les deux arêtes du coin \((s, f)\)) et des involutions \(\sigma_{0}\), \(\sigma_{2}\) qui changent de face, resp. de sommet, autour d'une arête. Le produit fibré \[ E = (R, q') \times_{A} (R, q'') = \bigl\{\bigl((s, f), (\bar{s}, \bar{f})\bigr) \bigm| q'(s, f) = q''(\bar{s}, \bar{f})\bigr\} \] est l'ensemble des « repères » \((s, a, \bar{f})\), avec trois projections \(\pi_{01}, \pi_{12}, \pi_{02} : E \to R\) ; il se scinde selon l'orientation du repère en \(E^{+}\) et \(E^{-}\) — les triangles positifs et négatifs de la page 63, dont la page 77 redessine la double pyramide, à côté d'un pavage par des pentagones où un triangle barycentrique est marqué \(s_{0}, s_{1}, s_{2}, d_{01}, d_{12}, d_{20}, e^{+}\).⁵⁰

11. Groupes profinis spéciaux et action de Galois (pages 79 à 90)

79–80

Définition (pages 79 et 80)

Un groupe profini spécial est un système \(\Sigma = (T, \Pi, I, (\Phi_{i})_{i \in I})\) — \(T \simeq \widehat{\mathbb{Z}}\), \(\Pi\) profini, \(I\) fini, \(\Phi_{i} \in \mathrm{Homext}(T, \Pi)\) — isomorphe à l'un des systèmes \[ \Sigma_{\nu} : \quad T = \widehat{\mathbb{Z}}, \quad \Pi_{\nu} = \widehat{L}_{\nu}, \quad L_{\nu} = \langle \lambda_{0}, \ldots, \lambda_{\nu} \mid \lambda_{0}\lambda_{1} \cdots \lambda_{\nu} = 1 \rangle, \] \[ I = \{0, \ldots, \nu\}, \qquad \Phi_{i} = [\,1 \mapsto \lambda_{i}\,], \] \(\nu \geqslant 1\) ; \(\Pi_{\nu}\) est profini libre à \(\nu\) générateurs. C'est le modèle profini de la sphère privée de \(\nu + 1\) points, avec ses lacets autour des trous. L'entier \(\nu\) vaut \(\operatorname{card} I - 1\), et c'est le rang de \(\Pi_{\mathrm{ab}}\). Les \(\Sigma\) de \(\nu\) donné forment un groupoïde connexe, équivalent à celui des torseurs sous \[ \widetilde{A}_{\nu} = \mathrm{Aut}(\Sigma_{\nu}), \] qui s'envoie surjectivement sur \(\mathfrak{S}_{\nu+1} \times \widehat{\mathbb{Z}}^{*}\) (permutation de \(I\), action sur \(T\)). On note \(A_{\nu}\) le noyau vers \(\mathfrak{S}_{\nu+1}\) et \(A^{\circ}_{\nu}\) le noyau vers le produit. Les automorphismes intérieurs donnent \(\Pi_{\nu} \hookrightarrow A^{\circ}_{\nu}\), injectif pour \(\nu \geqslant 2\), et l'on note \(\widetilde{\Gamma}_{\nu}\), \(\Gamma_{\nu}\), \(\Gamma^{\circ}_{\nu}\) les quotients de \(\widetilde{A}_{\nu}\), \(A_{\nu}\), \(A^{\circ}_{\nu}\) par \(\Pi_{\nu}\) : ce sont les groupes d'automorphismes extérieurs correspondants. D'où des suites exactes \[ 1 \to \Pi_{\nu} \to A^{\circ}_{\nu} \to \Gamma^{\circ}_{\nu} \to 1, \qquad 1 \to A_{\nu} \to \widetilde{A}_{\nu} \to \mathfrak{S}_{\nu+1} \to 1, \qquad 1 \to A^{\circ}_{\nu} \to A_{\nu} \to \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \to 1, \] et une filtration de \(\widetilde{A}_{\nu}\) de quotients successifs \(\Pi_{\nu}\), \(\Gamma^{\circ}_{\nu}\), \(\widehat{\mathbb{Z}}^{*}\), \(\mathfrak{S}_{\nu+1}\). ⁵¹

Exemple : \(X\) la droite projective sur un corps \(k\) algébriquement clos de caractéristique \(0\), \(I \subset X(k)\) de cardinal \(\nu + 1\), \(T = \varprojlim \mu_{n}(k)\), \(\Pi = \pi_{1}(X \smallsetminus I, x)\), et \(\Phi_{i}\) les classes d'inertie.

81–86

L'action de Galois (pages 81 à 86)

Le système \(\Sigma(X/I/\xi/k) = (T, I, \pi, (\Phi_{i}))\) de l'exemple ne dépend que d'un foncteur fibre \(\xi\) sur les revêtements étales de \(X \smallsetminus I\), et il en dépend fonctoriellement ; quand \(\xi\) varie, il n'est défini qu'à automorphisme intérieur près, et définit un torseur à droite \(P(X/I/k)\) sous \(\widetilde{\Gamma}_{\nu}\), dont le commutant est le groupe des automorphismes extérieurs de \(\Sigma\). Si \(X/I/k\) provient d'une situation \(X_{0}/I_{0}/k_{0}\) par extension de la base à \(k = \bar{k}_{0}\), le groupe \(\Gamma = \mathrm{Gal}(\bar{k}_{0}/k_{0})\) opère par transport de structure, d'où un homomorphisme \[ \Gamma \longrightarrow {}^{P(X/I/k)}\widetilde{\Gamma}_{\nu} \simeq \mathrm{Aut}(\Sigma^{\mathrm{ext}}) \] vers la forme tordue de \(\widetilde{\Gamma}_{\nu}\) par \(P\) : c'est la donnée qui redonne, par image réciproque, l'extension \(1 \to \pi_{1}(X \smallsetminus I) \to \pi_{1}(X_{0} \smallsetminus I_{0}) \to \pi_{1}(k_{0}) \to 1\), et son composé avec \(\widetilde{\Gamma}_{\nu} \to \mathrm{Aut}(T) = \widehat{\mathbb{Z}}^{*}\) est le caractère cyclotomique.⁵²

Sur \(\mathbb{Q}\), avec \(I = \mu_{n}\). Soient \(k_{0} = \mathbb{Q}\), \(X_{0} = \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Q}}\), \(n = \nu + 1\) et \(I_{0} = \mu_{n}\), dont les points géométriques sont les \(\mu_{n}(\bar{\mathbb{Q}}) \subset \mathbb{C}\). Les lacets issus de \(0\) qui contournent les racines \(n\)-ièmes de l'unité dans l'ordre donnent un isomorphisme canonique \(\Sigma^{\mathrm{ext}} \simeq \Sigma_{\nu}^{\mathrm{ext}}\), donc \(P\) est trivial et l'on a \[ i_{\nu} : \Gamma \longrightarrow \widetilde{\Gamma}_{\nu} . \] ⁵³ Son composé \(\varepsilon_{\nu} i_{\nu} : \Gamma \to \mathfrak{S}_{n}\) est l'action de \(\Gamma\) sur \(\mu_{n}\), qui se factorise par \(\chi_{n} : \Gamma \to (\mathbb{Z}/n)^{*} \subset \mathfrak{S}_{n}\).⁵⁴ L'intérêt de ce choix de \(I\) est une symétrie : le groupe diédral \((\mathbb{Z}/2) \ltimes \mu_{n}\), rotations \(z \mapsto \zeta z\) et inversion \(z \mapsto 1/z\), préserve \((X_{0}, I_{0})\) ; avec \(\Gamma\) il donne \[ (\Gamma \times \mathbb{Z}/2) \ltimes \mu_{n}(\bar{\mathbb{Q}}) \longrightarrow \widetilde{\Gamma}_{\nu}. \] La rotation induit l'automorphisme \(\rho_{\nu}\) de \(\widehat{L}_{\nu}\) qui permute circulairement les générateurs, \(\lambda_{i} \mapsto \lambda_{i+1}\) ; l'inversion, qui fixe \(1\) et renverse l'ordre circulaire, induit un automorphisme \(t_{\nu}\) qui envoie \(\lambda_{0}\) sur \(\lambda_{0}\) et chaque \(\lambda_{i}\) sur un conjugué de \(\lambda_{\nu+1-i}\), par exemple \[ t_{\nu}(\lambda_{i}) = h_{i}\, \lambda_{\nu+1-i}\, h_{i}^{-1}, \qquad h_{i} = (\lambda_{\nu+2-i} \cdots \lambda_{\nu})^{-1} \quad (1 \leqslant i \leqslant \nu), \] qui respecte la relation \(\lambda_{0}\lambda_{1} \cdots \lambda_{\nu} = 1\). ⁵⁵ On a alors les relations \[ \varepsilon_{\nu}\, i_{\nu} = \chi_{n} \bmod n, \qquad i_{\nu}(\Gamma) \text{ commute à } t_{\nu}, \qquad i_{\nu}(\gamma)\, \rho_{\nu}(\zeta)\, i_{\nu}(\gamma)^{-1} = \rho_{\nu}(\gamma(\zeta)) , \] la dernière parce que conjuguer une rotation par Galois change la racine de l'unité dont elle est la multiplication. Soit \(\Gamma^{!}_{\nu} \subset \widetilde{\Gamma}_{\nu}\) le sous-groupe des éléments qui satisfont ces relations (pour un caractère \(\chi\) convenable) ; on a \[ 1 \to \Gamma^{!\circ}_{\nu} \to \Gamma^{!}_{\nu} \to \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \to 1, \qquad \Gamma^{!\circ}_{\nu} = \{\gamma \in \Gamma^{\circ}_{\nu} \mid \gamma \text{ commute aux } \rho_{\nu}(\zeta) \text{ et à } t_{\nu}\}, \] et \(i_{\nu}\) prend ses valeurs dans \(\Gamma^{!}_{\nu}\).⁵⁶

Le cas exceptionnel \(\nu = 2\), \(I = \{0, 1, \infty\}\). Les trois points sont alors rationnels et \(\mathfrak{S}_{3}\) opère sur \((X_{0}, I_{0})\) en commutant à \(\Gamma\), d'où \(\Gamma \times \mathfrak{S}_{3} \to \widetilde{\Gamma}_{2}\). Ici, exceptionnellement, \(\widetilde{\Gamma}_{2} \simeq \mathfrak{S}_{3} \ltimes \Gamma_{2}\) ; comme \(\Gamma\) fixe les trois points, son image dans \(\mathfrak{S}_{3}\) est triviale, et \[ \boxed{\ \Gamma \longrightarrow \Gamma_{2}^{\mathfrak{S}_{3}}\ } \] — l'action de Galois sur le groupe fondamental profini de la droite privée de trois points prend ses valeurs dans le centralisateur de \(\mathfrak{S}_{3}\). La page voudrait des isomorphismes canoniques \(\Gamma^{!}_{2} \simeq \Gamma_{2}^{\mathfrak{S}_{3}}\) et \(\Gamma^{!}_{2} \simeq \Gamma^{!}_{\nu}\), avec un point d'interrogation, et s'interrompt.⁵⁷

88–90

Le groupe de Teichmüller discret et son complété (pages 88 à 90)

La page 88 reprend la définition sous forme d'hypothèse \(\mathrm{Hyp}_{\nu}\) (\(\nu \geqslant 2\)) et pose \(A_{\nu} = \mathrm{Aut}(\widehat{L}_{\nu}, T_{0}, (\Phi_{0i}))\), les \(\Phi_{0i}\) étant fixés un à un : \(\chi_{\nu} : A_{\nu} \to \widehat{\mathbb{Z}}^{*}\) est surjectif, \(\widehat{L}_{\nu}\) s'injecte dans \(\mathrm{Ker}\,\chi_{\nu}\) par les automorphismes intérieurs, son image est distinguée (\(u\, \mathrm{int}(g)\, u^{-1} = \mathrm{int}(u(g))\)), et l'on veut élucider \(\Gamma_{\nu} = A_{\nu}/\widehat{L}_{\nu}\).⁵⁸

Le modèle discret : \(B_{\nu} = \mathrm{Aut}(L_{\nu}, \mathbb{Z}, (\Psi_{i}))\), \(\Psi_{i}\) la classe de \(1 \mapsto \lambda_{i}\), s'envoie sur \(\mathbb{Z}^{*} = \{\pm 1\}\), et \[ \mathcal{T}_{\nu} = B_{\nu}/L_{\nu}, \qquad 1 \to \mathcal{T}^{\circ}_{\nu} \to \mathcal{T}_{\nu} \to \mathbb{Z}/2 \to 1, \] est le groupe de Teichmüller discret de la sphère à \(\nu + 1\) trous : par Dehn–Nielsen–Baer, le groupe des classes d'isotopie d'homéomorphismes qui fixent chaque trou, \(\mathcal{T}^{\circ}_{\nu}\) correspondant à ceux qui respectent l'orientation. On a \(\mathcal{T}^{\circ}_{2} = 1\), et pour \(\nu \geqslant 3\), \(\mathcal{T}^{\circ}_{\nu}\) est non trivial : c'est le groupe des tresses sphériques colorées à \(\nu + 1\) brins modulo son centre d'ordre \(2\), et le groupe fondamental de l'espace des configurations de \(\nu + 1\) points distincts de la sphère modulo \(PGL_{2}\).⁵⁹ La complétion donne un diagramme \[ \widehat{L}_{\nu} \hookrightarrow \widehat{B}_{\nu} \to A_{\nu}, \qquad \widehat{\mathcal{T}}_{\nu} = \widehat{B}_{\nu}/\widehat{L}_{\nu} \longrightarrow \Gamma_{\nu} = A_{\nu}/\widehat{L}_{\nu}, \qquad \widehat{\mathcal{T}}^{\circ}_{\nu} \to \Gamma^{\circ}_{\nu}, \] compatible aux flèches vers \(\mathbb{Z}/2 \subset \widehat{\mathbb{Z}}^{*}\), et trois questions : \(\widehat{\mathcal{T}}_{\nu}\) est-il distingué dans \(\Gamma_{\nu}\) ? \(\widehat{\mathcal{T}}^{\circ}_{\nu}\) dans \(\Gamma^{\circ}_{\nu}\) ? Quand a-t-on \(\widehat{\mathcal{T}}^{\circ}_{\nu} = \Gamma^{\circ}_{\nu}\) ? — jamais pour \(\nu = 2\), où le premier est trivial et le second contient l'image de Galois.⁶⁰

Variante (page 90) : pour \(\varepsilon \in [1, \infty]^{\nu+1}\), le groupe \(L_{\nu}^{\varepsilon} = \langle \lambda_{0}, \ldots, \lambda_{\nu} \mid \lambda_{0} \cdots \lambda_{\nu} = \lambda_{0}^{\varepsilon_{0}} = \cdots = \lambda_{\nu}^{\varepsilon_{\nu}} = 1\rangle\) ; la page s'arrête sur sa définition.⁶¹

92–95

12. Le torseur des clôtures algébriques (pages 92 à 95)

Ces pages, d'une autre encre, rendent la construction indépendante du choix de \(\bar{\mathbb{Q}}\). Le cadre abstrait : un groupe \(\Gamma\) et un \(\Gamma\)-torseur à droite \(\mathcal{C}\) ; un \(\Gamma\)-groupe \(\pi\) ; pour \(i \in I\), des \((\pi, \Gamma)\)-torseurs \(T_{i}\), leurs commutants \(\pi_{i}\), et des sous-\(\Gamma\)-groupes \(I_{i} \subset \pi_{i}\). Tout se tord par \(\mathcal{C}\) : \[ \widetilde{\pi} = \mathcal{C} \wedge^{\Gamma} \pi, \qquad (\widetilde{\pi}_{i}, \widetilde{T}_{i}, \widetilde{\pi}) = \mathcal{C} \wedge^{\Gamma} (\pi_{i}, T_{i}, \pi), \qquad \widetilde{I}_{i} = \mathcal{C} \wedge^{\Gamma} I_{i}, \] et un élément \(\varphi \in \mathcal{C}\) donne \(\beta(\varphi) : \pi \xrightarrow{\sim} \widetilde{\pi}\), avec \(\beta(\varphi\gamma) = \beta(\varphi) \circ \gamma_{\pi}\). L'interprétation : \(\Gamma = \mathrm{Aut}(\bar{\mathbb{Q}})\), \(\mathcal{C}\) l'ensemble des isomorphismes de \(\bar{\mathbb{Q}}\) avec une clôture algébrique quelconque, \(\pi = \pi_{1}(\mathbb{P}^{1}_{\bar{\mathbb{Q}}} \smallsetminus I)\) pour \(I \subset \mathbb{P}^{1}(\mathbb{Q})\) fini, \(T_{i}\) le torseur des chemins du point base vers un point base au voisinage de \(i\), \(\pi_{i}\) son groupe, et \(I_{i} \simeq \mathrm{T}\) le sous-groupe d'inertie, procyclique. Le calcul des pages 94–95 vérifie que les \(\alpha'_{i}(\varphi) = \beta(\varphi) \alpha_{i}(\varphi) : I_{i} \to \widetilde{\pi}\) satisfont \(\alpha'_{i}(\varphi\gamma) = \alpha'_{i}(\varphi)\, \gamma_{\pi_{i}}\), donc que les sous-groupes d'inertie de \(\widetilde{\pi}\) ne dépendent pas de \(\varphi\), et que l'action sur \(I_{i}\) se fait par un caractère \(\chi : \Gamma \to \widehat{\mathbb{Z}}^{*}\) indépendant de \(i\), dont le quotient effectif est \(\mathrm{Aut}(I_{i}) \simeq \widehat{\mathbb{Z}}^{*}\).⁶²

13. Précartes et cartes co-épinglées (pages 96 à 111)

97–98

I) Précartes, et la catégorie des cartes co-épinglées (pages 97 et 98)

Une précarte est un système \(C_{0} = (S, A, F ; p, q, r)\) d'ensembles et d'applications \(p : S \to \mathbb{N}^{*}\), \(q : A \to \{1, 2\}\), \(r : F \to \mathbb{N}^{*}\) : la liste des sommets, des arêtes et des faces avec leurs degrés, une arête ayant un ou deux brins. Les isomorphismes de précartes sont les triples de bijections qui respectent les degrés.⁶³ Une carte combinatoire finie connexe \(C\) a sa précarte \(\mathrm{Fac}(C)\), et le foncteur \(\mathrm{Fac}\) est conservatif. Une carte co-épinglée par \(C_{0}\) est une carte \(C\) munie d'un isomorphisme \(u : C_{0} \xrightarrow{\sim} \mathrm{Fac}(C)\) ; les morphismes sont les isomorphismes de cartes compatibles aux \(u\).

Si \(C_{0}\) est fini, cette catégorie est finie, et vide sauf si \(\sum_{s} p(s) = \sum_{a} q(a) = \sum_{f} r(f) = \delta\), le nombre de brins (la « complexité »). Elle est rigide pour les cartes de genre \(0\), mais pas en général.⁶⁴ Lorsqu'elle l'est, le nombre de classes d'isomorphie de cartes co-épinglées de type \(C_{0}\) est \[ \sum_{C} \frac{|\mathrm{Aut}(C_{0})|}{|\mathrm{Aut}(C)|}, \qquad |\mathrm{Aut}(C_{0})| = \prod_{n \in \mathbb{N}^{*}} a_{n}!\, b_{n}!\, c_{n}!, \] la somme portant sur les classes de cartes \(C\) telles que \(\mathrm{Fac}(C) \simeq C_{0}\), et \(a_{n}, b_{n}, c_{n}\) comptant les sommets, arêtes et faces de degré \(n\).⁶⁵ Le groupe \(\gamma_{C_{0}} = \mathrm{Aut}(C_{0})\) opère sur l'ensemble \(\mathcal{C}^{\alpha}_{C_{0}}\) des classes de cartes co-épinglées de type \((C_{0}, \alpha)\), et le quotient est l'ensemble des classes de cartes de ce type.

99–102

II–III) Le schéma de modules, et l'action de Galois (pages 99 à 102)

Soit \(C_{0}\) fini et \(T\) un schéma de base. Un revêtement co-épinglé de \(\mathbb{P}^{1}_{T}\) est un revêtement fini \(f : X \to \mathbb{P}^{1}_{T}\), étale au-dessus de \(\mathbb{P}^{1}_{T} \smallsetminus \{0, 1, \infty\}\), modérément ramifié fibre à fibre, muni d'isomorphismes \[ f^{-1}(0_{T})_{\mathrm{réd}} \simeq S_{T}, \qquad f^{-1}(1_{T})_{\mathrm{réd}} \simeq A_{T}, \qquad f^{-1}(\infty_{T})_{\mathrm{réd}} \simeq F_{T} \] compatibles aux degrés de ramification. Soit \(F_{C_{0}}(T)\) l'ensemble de leurs classes. Là où la catégorie est rigide, la page affirme que le foncteur \(F_{C_{0}}\) est représentable par un schéma \(M_{C_{0}}\) quasi-fini, étale et séparé sur \(\mathbb{Z}\), fini au-dessus de \(\mathbb{Z}[1/\delta!]\). En particulier \((M_{C_{0}})_{\mathbb{Q}}\) est fini étale sur \(\mathbb{Q}\), non ramifié en les \(p > \delta\).⁶⁶ Le groupe \(\gamma_{C_{0}}\) opère sur \(M_{C_{0}}\) ; le stabilisateur d'un point correspond aux automorphismes du revêtement \(f\), indépendamment de l'épinglage, et c'est le groupe de Galois de \(f\) quand \(f\) est galoisien.

Pour une classe \(\alpha\) de groupes finis, \(M^{\alpha}_{C_{0}} \subset M_{C_{0}}\) est le sous-schéma ouvert et fermé, stable par \(\gamma_{C_{0}}\), des \(f\) dont la clôture galoisienne a un groupe de type \(\alpha\). Il est vide sauf si l'ordre \(N\) de ce groupe est un multiple commun des degrés et de \(\delta\), et il est non vide si et seulement s'il existe un groupe \(G\) de type \(\alpha\) engendré par \(\rho_{s}, \rho_{f}, \sigma\) avec \[ \rho_{s}\, \rho_{f}\, \sigma = 1, \qquad \sigma^{2} = 1, \] et un sous-groupe \(H \subset G\) dont l'intersection des conjugués est triviale, tels que \(C_{0}\) soit la précarte de la carte orientée \(G/H\). La page ajoute que, lorsque \(N = \delta\) (\(H = 1\)), le type de carte orientée n'est pas déterminé par le seul revêtement.⁶⁷

L'action de Galois. Par le théorème d'existence de Riemann, \[ M^{\alpha}_{C_{0}}(\bar{\mathbb{Q}}) \simeq M^{\alpha}_{C_{0}}(\mathbb{C}) \simeq \mathrm{Hom}(R^{\alpha}_{C_{0}}, \mathbb{C}) \simeq \mathcal{C}^{\alpha}_{C_{0}}, \] où \(R^{\alpha}_{C_{0}}\) est l'algèbre finie étale sur \(\mathbb{Q}\) qui représente \((M^{\alpha}_{C_{0}})_{\mathbb{Q}}\) : l'ensemble combinatoire des cartes co-épinglées est l'ensemble des points algébriques d'un \(\mathbb{Q}\)-schéma fini. Le groupe \(\Gamma = \mathrm{Aut}(\bar{\mathbb{Q}})\) y opère donc, en commutant à \(\gamma_{C_{0}}\). La conjugaison complexe change une carte en son image miroir, de sorte que l'action de \(\Gamma\) sur \(\mathcal{C}^{\alpha}_{C_{0}}/\gamma_{C_{0}}\) n'est pas triviale dès qu'une carte du type est chirale ; on va déterminer l'action de \(\gamma_{C_{0}} \times \Gamma\) dans des cas élémentaires. ⁶⁸

103–104

Premiers exemples (pages 103 et 104)

On note un type par les degrés des sommets, des arêtes et des faces ; les fonctions \(f\) sont normalisées par \(f^{-1}(0) =\) sommets, \(f^{-1}(1) =\) milieux d'arêtes, \(f^{-1}(\infty) =\) centres des faces.

• Le segment à une extrémité : \(f(z) = z\), \(G = 1\).
• Le segment de \(-1\) à \(1\) par le sommet \(0\) : \(f(z) = z^{2}\), \(G \simeq \mathbb{Z}/2\), une seule carte co-épinglée.
• Le segment à deux sommets \(0\) et \(1\) : \(f(z) = -4z(z-1)\), le milieu d'arête en \(\tfrac12\), \(G \simeq \mathbb{Z}/2\), une seule carte.
• La boucle issue de \(0\) : \(f(z) = \tfrac14\, z^{2}/(z-1)\), le milieu d'arête en \(z = 2\) (où \(f' = 0\) et \(f = 1\)), une seule carte.
• L'étoile à trois branches : \(f(z) = z^{3}\), \(G = \mathbb{Z}/3 \subset \gamma_{C_{0}} \simeq \mathfrak{S}_{3}\) ; deux cartes co-épinglées, permutées transitivement par \(\gamma_{C_{0}}\), et \(\Gamma\) y opère par le caractère cyclotomique \(\chi_{3}\).
• Le segment prolongé d'une boucle, de type \((3 ; 2, 1 ; 2, 1)\) : \(f(z) = \tfrac{4}{27}\, z^{3}/(z-1)\), avec \(f(z) - 1 = (2z-3)^{2}(z+3)/27(z-1)\), milieux d'arêtes en \(\tfrac32\) et \(-3\) ; \(G \simeq \mathfrak{S}_{3}\), \(\gamma_{C_{0}} = 1\), une seule carte. La page 104 décrit la figure barycentrique complète comme réunion de l'axe réel et de la courbe \(2x(x^{2} + y^{2}) + (-3x^{2} + y^{2}) = 0\).
• Son dual : \(f(z) = \tfrac{27}{4}\, z(z-1)^{2}\), milieux d'arêtes en \(\tfrac13\) et \(\tfrac43\) ; \(G = \mathfrak{S}_{3}\), \(\gamma_{C_{0}} = 1\), une seule carte.

105–111

Un arbre de degré 6 (pages 105 à 111)

Les pages 105–111, écrites au dos de documents dactylographiés, traitent un cas où l'action de Galois devrait se voir. Deux arbres plans (I) et (II), à trois sommets \(a, b, c\) de degrés \(3, 2, 1\), deux arêtes complètes \(u, v\) et deux arêtes pendantes \(x, y\), sont codés par les permutations \(\rho_{s}\) (rotation autour des sommets), \(\sigma\) (retournement des arêtes) et \(\rho_{f} = \rho_{s}^{-1}\sigma\) de leurs six brins, que la page écrit en entier. Le polynôme correspondant est \[ f(z) = \lambda\, z^{3}(z-1)^{2}(z - c), \] un polynôme de degré \(6\) (un seul pôle, d'ordre \(6\), en \(\infty\)) avec \(a = 0\), \(b = 1\). On calcule \[ f'(z) = \lambda z^{2}(z-1)\bigl[6z^{2} - (5c+4)z + 3c\bigr] ; \] les milieux d'arêtes complètes \(u, v\) sont les racines du trinôme, et il faut \(f(u) = f(v) = 1\). Réduisant \(u^{3}(u-1)^{2}(u-c)\) modulo \(u^{2} = \alpha u + \beta\), \(\alpha = \tfrac{5c}{6} + \tfrac23\), \(\beta = -\tfrac{c}{2}\), on obtient \(f(u)/\lambda = P(c)\, u + Q(c)\), d'où, puisque \(u \neq v\), \[ P(c) = 0, \qquad \lambda = \frac{1}{Q(c)}, \qquad c \neq 0, 1, \qquad \delta(c) = (5c+4)^{2} - 72c = 25c^{2} - 32c + 16 \neq 0, \] la dernière condition exprimant \(u \neq v\). La page établit des pièces de \(P\) et \(Q\) — par exemple \((\alpha - 2)(\alpha - c) + \beta + 1 = -\tfrac{1}{36}(5c^{2} - 10c - 4)\) et \(\alpha(\alpha^{2} + 2\beta) = \tfrac{1}{6^{3}}(5c+4)(25c^{2} + 4c + 16)\) —, sans écrire \(P\) en entier. Elle montre que les zéros de \(P\) ne sont ni \(0\), ni \(1\), ni des zéros de \(Q\) : \(P(c) = Q(c) = 0\) forcerait \(f(u) = 0\), donc \(u \in \{0, 1, c\}\), et chacun de ces cas donne \(c \in \{0, 1\}\). Elle demande enfin si ces zéros pourraient annuler \(\delta\), dont les racines sont \(\tfrac{16}{25} \pm \tfrac{12}{25}\, i\), et la question reste ouverte.⁶⁹

113–119

14. Cartes sphériques en bas degrés (pages 112 à 119)

Sous ce titre, les pages 113 à 119 recensent à la main les cartes connexes de la sphère par nombre de brins (le « degré » \(n = \sum_{s} q_{s} = \sum_{f} p_{f}\)), de \(1\) à \(6\), classées par la liste des degrés des sommets. Chaque carte est dessinée, avec son groupe d'automorphismes — symétries renversant l'orientation comprises, comme le montrent les valeurs \(\mathbb{Z}/2\) pour un segment et \(D_{n}\) pour l'étoile à \(n\) branches — et son type (degrés des sommets, des arêtes, des faces). Les cartes duales, qui échangent sommets et faces, sont réunies par une accolade.⁷⁰

Les cas impossibles sont relevés : quatre sommets de degrés \(1, 1, 1, 2\) en degré \(5\), et cinq sommets de degrés \(2, 1, 1, 1, 1\) en degré \(6\), car une carte connexe à \(V\) sommets a au moins \(V - 1\) arêtes complètes, soit \(2V - 2\) brins. Le mot « rigide » marque certaines cartes, la première fois en degré \(4\). En degré \(6\), cinq types notés \((\alpha)\) à \((\eta)\), d'une autre encre, renvoient à des cartes de la page 118. Le recensement est celui de la page ; il n'a pas été vérifié ici carte par carte, et la page 116 elle-même relève un type écrit deux fois.⁷¹

15. « Opérations » sphériques sur les cartes (pages 120 à 131)

121–127

Ce qu'est une opération (pages 121 à 127)

Le titre de la couverture (page 120) annonce une « axiomatique provisoire ». Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau sur la catégorie des cartes finies orientées (morphismes : les revêtements ramifiés), qui transforme sommes en produits et tel que \(\mathcal{F}(X/H) = \mathcal{F}(X)^{H}\) pour un groupe fini \(H\) opérant avec ramification isolée. \(\mathrm{Aut}(C)\) opère sur \(\mathcal{F}(X)\), et l'on pose \[ \mathcal{F}^{\natural}(C) = \mathcal{F}(X)/\mathrm{Aut}^{\circ}(C), \] quotient par les automorphismes isotopes à l'identité ; c'est encore un préfaisceau, et il s'étend aux cartes munies d'un groupe fini par \(\mathcal{F}^{\natural}(C, G) = \mathcal{F}(C)^{G}/\mathrm{Aut}(C, G)^{\circ}\).⁷² Le programme : trouver toutes les solutions \(\mathcal{F}^{\natural}\), foncteurs des cartes finies à isomorphisme près vers les ensembles finis. Un argument formel donne \[ \Gamma(\mathcal{F}^{\natural}) \simeq \varinjlim_{H_{\alpha}} \mathcal{F}^{\natural}(C_{\alpha}, G_{\alpha}), \] où \(H_{\alpha}\) parcourt les sous-groupes distingués libres d'indice fini du groupe cartographique orienté \(\mathcal{C}_{2}^{+}\), \(C_{\alpha}\) est la carte régulière associée et \(G_{\alpha} = \mathcal{C}_{2}^{+}/H_{\alpha}\).⁷³

Exemple. Pour \(\mathcal{F} = \mathfrak{P}\) (l'ensemble des parties), \[ \Gamma(\mathcal{F}^{\natural}) \simeq \mathfrak{P}(S)/\mathrm{Aut}^{\circ}(S), \] où \(S\) est la sphère de référence munie du segment \([0, 1]\) et du point \(\infty\) : une « opération » est une partie \(A\) de la sphère de référence, à isotopie près, et elle agit sur une carte \(C = (X, K, S)\) en prenant \(A_{X} = f^{-1}(A)\) pour le revêtement \(f : X \to S\) qui définit \(C\).⁷⁴ Les \(A_{X}\) sont des sous-1-complexes si et seulement si \(A\) en est un ; \(A_{X} \cup K\) en est un si et seulement si \(A \cup [0, 1]\) est un 1-complexe ; et les \(A_{X}\) définissent de nouvelles cartes si et seulement si a) \(A\) est connexe et b) \(A\) contient au plus un des points \(0, 1, \infty\).⁷⁵ On choisit alors sommets, centres des faces et milieux d'arêtes de \(A\) selon trois règles (page 124). À l'exclusion d'un cas exceptionnel, \(A\) avec ces choix est \(\varphi^{-1}([0, 1])\) pour une application \(\varphi : S \to S\) ramifiée au-dessus des seuls points \(0, 1, \infty\), avec ramification \(2\) au-dessus de \(1\), et \(A_{X} = (\varphi f)^{-1}([0, 1])\) : composer avec \(\varphi\) ne fait pas sortir des revêtements ramifiés au-dessus de \(0, 1, \infty\), puisque \(\varphi^{-1}\{0, 1, \infty\} \supset \{0, 1, \infty\}\). « Que se passe-t-il dans le cas exceptionnel ? » — la page 127 s'arrête sur cette question.⁷⁶

125–125

Un théorème de rigidification (page 125)

Théorème. Soient \(C = (X, K, S)\) une carte connexe et \(G\) un groupe opérant fidèlement sur \(X\) par automorphismes de \(C\). Conditions équivalentes : a) \(G \to \mathrm{Aut}_{\mathrm{isot}}(C)\) est injectif : un \(g\) isotope à l'identité est l'identité ; b) les stabilisateurs sont finis ; c) il existe une rigidification de \(X\) invariante par \(G\) ; d) \((C, G)\) est la réalisation topologique d'une action de \(G\) sur une carte combinatoire. De plus l'espace des rigidifications invariantes par \(G\) est contractile.⁷⁷

La page démontre b) \(\Rightarrow\) a) en le ramenant à : un automorphisme d'ordre fini d'une carte, isotope à l'identité, est l'identité ; et cela à un disque fermé : un homéomorphisme d'ordre fini du disque qui est l'identité sur le bord est l'identité. La page s'arrête au milieu de cet argument. ⁷⁸

128–130

Cartes holomorphes (pages 128 à 130)

Soit \(X\) une surface de Riemann et \(C = (K, S)\) une carte sur \(X\). La carte est holomorphe s'il existe \(\varphi : X \to \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}\) holomorphe, étale au-dessus de \(\mathbb{P}^{1} \smallsetminus \{0, 1, \infty\}\), d'indice de ramification \(2\) en tous les points au-dessus de \(1\), avec \((K, S) = \varphi^{-1}([0, 1], 0)\).⁷⁹ Une telle \(\varphi\) est-elle unique ? Deux solutions diffèrent par un automorphisme holomorphe de la carte isotope à l'identité, et la question est de savoir s'il en existe d'autres que l'identité. Il en existe pour la sphère partagée par un équateur portant un ou deux sommets :

• I)un sommet et une arête (le sommet en \(\infty\), l'arête la droite réelle) : le groupe \(z \mapsto az + b\), \(a > 0\), \(b \in \mathbb{R}\), de dimension \(2\) ;
• II)deux sommets et deux arêtes (les sommets \(0\) et \(\infty\)) : le groupe \(z \mapsto az\), \(a > 0\), de dimension \(1\) ;
• III)la carte duale de I), une arête et deux sommets.

⁸⁰

Si l'on exige que chaque face ait au moins trois sommets, gagne-t-on l'unicité ? Grothendieck le croit, « grâce à la théorie de la représentation conforme », au moins pour les cartes finies. Il affirme ensuite que les seuls autres cas à écarter sont les cartes de l'« orange » d'ordre \(n\) (deux pôles, \(n\) méridiens), et que pour \(n \geqslant 2\) celles-ci n'ont pas d'automorphisme holomorphe non trivial. Ce dernier point est faux : \(z \mapsto az\), \(a > 0\), préserve chaque méridien et chaque fuseau de l'orange de pôles \(0\) et \(\infty\), quel que soit \(n\) — le cas II) est l'orange d'ordre \(2\). La conclusion de la page subsiste néanmoins : si l'on se donne de plus \(\varphi^{-1}(\infty)\), les centres des faces, les cas I), II), III) et les oranges sont éliminés ; si l'on se donne seulement \(\varphi^{-1}(1)\), les milieux d'arêtes, II), III) et les oranges le sont, mais non I). Il reste à « tirer au clair entièrement l'argument de représentation conforme, et voir s'il s'applique aux cartes infinies ».

131–131

Opérations holomorphes (page 131)

Une opération orientée \(\Omega\) est définie par une carte \((K', S')\) sur la sphère de référence \(S\), à isotopie relative à \([0, 1] \cup \{\infty\}\) près. La page compare des conditions : a) pour toute carte holomorphe \(C\), \(\Omega(C)\) a un représentant compatible à la structure complexe ; b) les réalisations holomorphes canoniques de \(C\) et de \(\Omega(C)\) sont des surfaces isomorphes ; c) pour toute carte \(C\) il existe une structure complexe compatible à la fois à \(C\) et à \(\Omega(C)\) ; a'), b'), c') les mêmes avec groupe d'automorphismes ; et d) il existe \(\varphi : S \to S\) holomorphe « spéciale » — étale au-dessus de \(S \smallsetminus \{0, 1, \infty\}\), de ramification au plus \(2\) au-dessus de \(1\), envoyant \(\{0, \infty\}\) dans \(\{0, \infty\}\) et fixant \(1\) — telle que \((K', S')\) soit isotope à \((\varphi^{-1}([0, 1]), \varphi^{-1}(0))\) relativement à \([0, 1] \cup \{\infty\}\). La page s'arrête sur cette condition, sans avoir dit lesquelles sont équivalentes ; d) est la forme que prend l'exemple de la page 123, et c'est elle qui rend une opération algébrique : \((\varphi f)^{-1}([0, 1])\) est encore le dessin d'une fonction ramifiée au-dessus des seuls points \(0, 1, \infty\).⁸¹