Fonds Grothendieck, cote n° 137, pages 61–80

Remarque. Supposons k principal. Alors la catégorie \mathcal{P} \simeq \mathcal{P} admet des ~~\Sigma~~ noyaux (et des conoyaux, \Sigma mais un bimorphisme n'est pas nécessairement un iso). Il ~~On peut que les~~ est-il vrai que si N est le noyau de A \to B, alors N \to A est un \Sigma-mono, et s'insère donc dans une suite \Sigma-exacte 0 \to N \to A \to A' \to 0 , mais le mono. A' \to B n'est pas en général un \Sigma-mono. ~~Aussi~~ On ne peut interpréter (\mathcal{P}, \mathbb{C}^{\bullet}, ) comme sol. d'un pb universel en les données précédentes : ~~Mais de façon naturelle, pour une \mathcal{B} k-linéaire, la notion d'objet plat, et dont~~ le syst. ci-dessus est universel pour les \mathcal{B} k-additives munis d'un complexe ~~de cochaînes plats, d'une \Sigma de exactes, telle que tt A \to B de \mathcal{B} ait un noyau tel que \mathrm{Ker}\, u \to A soit \Sigma)~~ C^{\bullet} et d'une classe \Sigma_C de suites exactes, telle que tt morphisme u : A \to B de \mathcal{B} admette un noyau K tel que K \to A soit un \Sigma_C-mono (on prend comme morphismes entre tels syst. ceux qui transforment C^{\bullet} en C'^{\bullet} et qui sont \Sigma-exacts ). la page porte de longs passages biffés, encadrés et barrés de traits ondulés ; on a donné ce qui s'en lit. « k-additives » est interlinéaire, au-dessus de « munis ». Le premier « \simeq » de la deuxième ligne est d'une lecture douteuse.

On travaillera désormais dans la catégorie \mathcal{P}_1 = \mathcal{Q} (équivalente à la catégorie \mathcal{Q} des complexes de chaînes finis de k-modules tels que les L_i, Z_i, B_i, H_i sont libres de type fini ; munie de \Sigma_1 = \Sigma \cap \mathcal{P}_1), dans laquelle la sous-catégorie des \Sigma-projectifs est additive, la sous-catégorie additive \mathcal{P}_0 engendrée par les \mathbb{C}^i et \Psi^0 (i.e. par les \Phi^i), et celle des \Sigma-injectifs est la sous-cat. additive \mathbb{K} ~~des~~ engendrée par les \mathbb{C}^{\bullet} (les L_\bullet ~~flasques~~ acycliques, i.e. les L_\bullet flasques …). « additive » et « engendrée » sont écrits au-dessus de la ligne ; la parenthèse « tels que … \Sigma_1 = \Sigma \cap \mathcal{P}_1 » est interlinéaire On s'intéressera aux résolutions droites K^{\bullet} \Sigma-injectives de \Psi^0 (i.e. des résolutions flasques K^{\bullet}_{*} de k_{*} (qui donneront, dans un topos algébrique, des méthodes de calcul remarquables de la cohomologie à coeff. dans k). On a l'algèbre homologique « relative » qui donne des suites exactes, qui nous disent que si (comme c'est le cas ici) tout objet se plonge dans un \Sigma-injectif, ~~de façon~~ par un \Sigma-mono, alors ~~les~~ ~~les deux résolutions canoniquement~~ deux résolutions sont homotopes, et il y a une seule classe d'homotopie d'hom. de l'une dans l'autre (NB Il y a aussi assez de projectifs, et on a l'énoncé analogue pour les résolutions projectives ; un fera attention que la cat. \mathbb{K} des sommes de \mathbb{C}^{\bullet} est

contenue par assez de \Sigma-projectifs ; il faut y rajouter \Psi^0 \ldots) Les constructions sont d'ailleurs valables aussi dans la plus grande catégorie \mathcal{P} [définissant les \Sigma-proj. et les \Sigma-inj., et le fait qu'il y en a assez.] Les \mathrm{Ext}^{i} calculés par les résolutions injectives ou projectives ~~sont~~ (à gauche …) ou les deux simultanément, sont les \mathrm{Ext} pour i \geq 1 ce sont les hyperext habituels de L_\bullet et de M_\bullet, (pour i = 0 ce sont par contre les Z^{i}. au-dessus de « injectives ou projectives », un mot interlinéaire, peut-être « identiques », et « i.g. » au-dessus du « sont » biffé ; la lecture de la phrase reste incertaine

Si F : \mathcal{Q} = \mathcal{P}_1 \subset \mathcal{P} \longrightarrow \mathcal{B} (k-add.) est un foncteur, on peut construire les foncteurs dérivés droits ou gauches (en utilisant des résolutions injectives ou projectives). Nous sommes intéressés notamment aux \mathrm{R}^{i}F(\Psi^0), qu'on note aussi \mathcal{H}^{i}(F) [on doit pouvoir montrer que ce sont les dérivés droits de F \mapsto F(\Psi^0) = \Gamma(F) sur les \mathcal{P}, quand F varie dans la cat. des foncteurs (k-add.) \mathcal{P} \to \mathcal{B} \Sigma-exacts à gauche, (si on se restreint à de tels F) ; que cette catégorie est équivalente à \mathcal{B}^{\bullet}, F \mapsto F(\Psi^0) est identifié au foncteur C^{\bullet} \longmapsto Z^{0}(C^{\bullet}) = H^{0}(C^{\bullet}) \quad \text{sur } \mathcal{B}^{\bullet}, dont les dérivés sauf erreur sont les H^{i}(C^{\bullet}) pour i \geq 1. On a aussi \mathrm{R}F(\Psi^0) \simeq F(\mathbb{C}^{\bullet}) les mots marqués comme ajouts sont interlinéaires, de sa main. Le complexe universel est écrit tantôt avec un C ordinaire, tantôt avec un C à double trait ; on l'a écrit \mathbb{C}^{\bullet}, comme aux pages 57 à 60, et C^{\bullet} pour un complexe quelconque de \mathcal{B}.

(iso. dans cat. dérivée) puisque \mathbb{C}^{\bullet} est une résolution \Sigma-injective de \Psi^0. un trait de séparation, au milieu de la page

Nous considérons maintenant les réalisations ½ simpliciales \mathcal{P}_{*} \supset \mathcal{Q}_{*} \supset \mathcal{P}_{0*} \supset \mathbb{K}_{*} de \mathcal{P} \supset \mathcal{Q} \supset \mathcal{P}_0 \supset \mathbb{K}. Or sur \mathcal{P}_{*} il y a la structure \otimes_{*} ou \overset{*}{\otimes} (L_{*} \otimes_{*} M_{*} défini composante par composante (L_{*} \otimes M_{*})_{[n]} = L_{[n]} \otimes M_{[n]} \ ) avec contraintes d'ass., unité (\Psi^0), et de commutation, \otimes-bilin. On note que \mathbb{K}_{*} est un ~~la réalisation () \mathcal{P}^{*}, \mathcal{Q}^{*}~~ « idéal » (i.e. si un des facteurs L_{*}, M_{*} est dans \mathbb{K}_{*}, l'autre aussi), \mathcal{P}_0 et \mathcal{Q} sont stables par \otimes, car \underset{\mathbf{1}_{*}}{\Psi^{0}_{*}} \otimes \underset{\mathbf{1}_{*}}{\Psi^{0}_{*}} \simeq \underset{\mathbf{1}_{*}}{\Psi^{0}_{*}} \quad (\Rightarrow \text{stabilité de } \mathcal{P}_0) et \Psi^{i}_{*} \otimes \Psi^{j}_{*} \simeq \Psi^{i+j}_{*} + \text{élément de } \mathbb{K} \quad (\Rightarrow \text{stabilité de } \mathcal{P}_{1*} = \mathcal{Q}) \mathcal{P}_0 () sous chacun des trois \Psi^{0}_{*}, un signe = vertical et \mathbf{1}_{*}. La note marginale, écrite de biais dans la marge gauche en face des lignes biffées, est en partie barrée et presque entièrement illisible.

On transporte ces structures multiplicatives sur \mathcal{P} et ses sous-catégories (notation *, pour éviter des confusions) et ses autres réalisations \mathcal{P}_{\bullet} et \mathcal{P}^{*}, \mathcal{P}^{\bullet} (au sens des contravariantes). On note * sur \mathcal{P}_{\bullet} et \mathcal{P}^{\bullet} et \overset{*}{\otimes} sur \mathcal{P}^{*}, car l'équivalence de

\mathcal{P}_{*} avec \mathcal{P}^{*} est compatible avec \otimes.

Soit \mathcal{B} une cat. (k-)additive avec op. (k-)bil. \otimes (propriété dans chaque facteur \otimes) munie d'une contrainte (données) d'ass., d'unité, et de comm. satisfaisant aux compatibilités habituelles (propriétés), soit \mathcal{B}' une autre telle. Si on a un foncteur (k-)additif (propriété) F : \mathcal{B}' \longrightarrow \mathcal{B} une structure multiplicative sur F homs de foncteurs F(X) \otimes F(Y) \xrightarrow{\ u_{X,Y}\ } F(X \otimes Y) et iso \mathbf{1}_{\mathcal{B}} \xrightarrow{\ \alpha_F\ } F(\mathbf{1}_{\mathcal{B}'}) qui soient compatibles aux données d'ass., d'unité et comm. :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal, nodes={font=\small}] (F(X) \otimes F(Y)) \otimes F(Z) \arrow[r, "{u_{X,Y} \otimes F(Z)}"] \arrow[d, "\wr\ a^{\otimes}_{F(X),F(Y),F(Z)}"'] & F(X \otimes Y) \otimes F(Z) \arrow[d, "u_{X \otimes Y,Z}"] \\ F(X) \otimes (F(Y) \otimes F(Z)) \arrow[d, "F(X) \otimes u_{Y,Z}"'] & F((X \otimes Y) \otimes Z) \arrow[d, "\wr\ F(a^{\mathcal{B}'}_{X,Y,Z})"] \\ F(X) \otimes F(Y \otimes Z) \arrow[r, "u_{X,Y \otimes Z}"'] & F(X \otimes (Y \otimes Z)) \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=normal, nodes={font=\small}] F(X) \otimes \mathbf{1}_{\mathcal{B}} \arrow[r, "F(X) \otimes \alpha"] \arrow[ddr, "\wr\ \delta^{\mathcal{B}}_{F(X)}"'] & F(X) \otimes F(\mathbf{1}_{\mathcal{B}'}) \arrow[d, "u_{X,\mathbf{1}_{\mathcal{B}'}}"] \\ & F(X \otimes \mathbf{1}_{\mathcal{B}'}) \arrow[d, "\wr\ F(\delta^{\mathcal{B}'}_{X})"] \\ & F(X) \end{tikzcd}

et symétrique

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=normal, nodes={font=\small}] F(X) \otimes F(Y) \arrow[r, "u_{X,Y}"] \arrow[d, "\sigma^{\mathcal{B}}_{F(X),F(Y)}"'] & F(X \otimes Y) \arrow[d, "F(\sigma^{\mathcal{B}'}_{X,Y})"] \\ F(Y) \otimes F(X) \arrow[r, "u_{Y,X}"'] & F(Y \otimes X) \end{tikzcd}

dans chacun des trois diagrammes, l'auteur écrit « comm. » au centre. Au premier, le but de la flèche horizontale supérieure est corrigé sur la page.

NB F(\mathbf{1}_{\mathcal{B}'}) devient donc un « objet-anneau » de \mathcal{B} (« k-Algèbre » quand il y a un k). F transforme « anneaux » de \mathcal{B}' en « anneaux » de \mathcal{B}, en respectant les propriétés d'unité, associativité et commutativité.

Les F en question forment une catégorie. Si on a \mathcal{B}'', \mathcal{B}', \mathcal{B}, ils se composent, d'où 2-catégorie des \otimes-catégories k-additives.

Supposons maintenant que \mathcal{B}' = \mathbb{K} (catégorie des coquilles de Chaînes des résolutions injectives …). Un foncteur k-lin. \mathbb{K} \xrightarrow{\ F\ } \mathcal{B} s'identifie donc à un \mathbb{C} \in \mathcal{B}^{\bullet}. Donc un sens à ce qu'il faudrait entendre par « structure multiplicative » sur le complexe de cochaînes \mathbb{C}^{\bullet} de \mathcal{B} (on dira : str. mult. « demi-simpliciale » pour ne pas prêter à confusion). « coquilles » : lecture d'après la page ; la fin de la parenthèse est illisible en partie

comme donnée, c'est-à-dire la donnée des hom. fonctoriels F(X) \otimes F(Y) \longrightarrow F(X \otimes Y) où il suffit de se donner sur la catégorie k-lin. \mathbb{K} \times \mathbb{K} de \mathbb{K} \times \mathbb{K} (dans \mathbb{C} \times \mathbb{C}, avec sa structure k-lin.) , donc de se donner des homs de bicomplexes de cochaînes F(\mathbb{C}^{\bullet}) \otimes F(\mathbb{C}^{\bullet}) \longrightarrow F(\mathbb{C}^{\bullet} * \mathbb{C}^{\bullet}) \quad \text{dans } \mathcal{B}^{\bullet\bullet} sous les deux premiers F(\mathbb{C}^{\bullet}), un signe = vertical, \mathbb{C}^{\bullet}, et un \mathcal{B} entre eux, sous le \otimes ce qui peut s'expliciter, si \mathbb{C}^{\bullet} ~~\otimes~~ \mathbb{C}^{\bullet} correspond au bicomplexe de chaînes défini par \mathbb{C}^{i}_{\bullet} * \mathbb{C}^{j}_{\bullet} = \mathrm{N}_{\bullet}(\mathbb{C}^{i}_{*} \otimes \mathbb{C}^{j}_{*}) après le signe =, un symbole biffé, illisible ; sous les deux derniers facteurs, = \overset{i}{\Lambda}\Phi_{*} \otimes \overset{j}{\Lambda}\Phi_{*} (lecture incertaine des exposants) \mathbb{F}^{ij} \qquad F(\mathbb{C}^{i}) \otimes_{\mathcal{B}} F(\mathbb{C}^{j}) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{k}\bigl((\mathbb{C}^{i}_{\bullet} * \mathbb{C}^{j}_{\bullet})^{\vee}, C^{\bullet}\bigr) sous le membre de gauche, = C^{i} et = C^{j} ; sous (\mathbb{C}^{i}_{\bullet} * \mathbb{C}^{j}_{\bullet}), « = C_i * C_j » (lecture incertaine) dans la marge gauche, une note de biais de quatre ou cinq mots, illisible i.e. \mathbb{F}^{ij} \qquad (C^{i} \underset{\mathcal{B}}{\otimes} C^{j}) \underset{k}{\otimes} \underbrace{(C^{\bullet}_{i} * C^{\bullet}_{j})}_{\in\, \mathbb{K}^{\bullet}} \longrightarrow C^{\bullet} au-dessus de (C^{\bullet}_{i} * C^{\bullet}_{j}), une accolade avec « C^{\bullet}_{ij} » et un mot abrégé, peut-être « défini » ; le préfixe écrit devant les deux formules, lu \mathbb{F}^{ij}, est d'une lecture douteuse avec compatibilité avec les diff. variable.

On peut aussi l'écrire ~~(C^{i} \otimes_{\mathcal{B}} C^{j}) \otimes_{k}~~ \begin{align*} (1^{*}) \qquad & C^{i} \underset{\mathcal{B}}{\otimes} C^{j} \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}^{*}_{k}(C^{*}_{i} \otimes C^{*}_{j},\ C^{*}) \\ \text{ou encore} \qquad (2^{*}) \qquad & (C^{i} \otimes_{\mathcal{B}} C^{j}) \otimes_{k} \underbrace{(\overset{i}{\Lambda}\Phi^{*} \otimes \overset{j}{\Lambda}\Phi^{*})}_{C^{*}_{ij}} \xrightarrow{\ u^{ij}\ } C^{*} \end{align*} sous C^{*}_{i} \otimes C^{*}_{j} dans (1^{*}) : = \overset{i}{\Lambda}\Phi^{*} \otimes \overset{j}{\Lambda}\Phi^{*} ; sous C^{*} : = \mathrm{DP}^{*}(C^{\bullet}). Un double trait vertical dans la marge gauche, en face de (1^{*}) et (2^{*}).

homs compatibles avec op. ½ simpliciales (i, j fixés) et avec op. diff. (pour i, j variables)

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=normal, nodes={font=\small}] (C^{i} \otimes_{\mathcal{B}} C^{j}) \otimes C^{*}_{ij} \arrow[d] & (C^{i} \otimes_{\mathcal{B}} C^{j}) \otimes C^{*}_{i+1,j} \arrow[l, "d^{*}_{i+1,j}"'] \arrow[d, "d^{i} \otimes -\,\otimes -"] \\ C^{*} & (C^{i+1} \otimes_{\mathcal{B}} C^{j}) \otimes C^{*}_{i+1,j} \arrow[l, "d"] \end{tikzcd}

sur la page, la flèche verticale de droite n'est indiquée que par son étiquette ; au début de la ligne inférieure, une écriture raturée et illisible précède C^{*} plus des données de compatibilités avec unité, ass., comm. (Elles devraient s'expliciter de façon particulièrement triviale).

Remarque \mathbb{K} n'a pas d'unité pour * ! donc on ne peut exprimer directement, en restant dans \mathbb{K}, une compatibilité avec les ~~unités~~ ! Comment s'en tirer ? Si on passe à \mathcal{P}_0 ou \mathcal{Q} = \mathcal{P}_1, ~~\mathcal{B} \Sigma~~ on trouve que les foncteurs k-additifs de \mathcal{Q} (resp. \mathcal{P}_0) dans \mathcal{B} qui sont \Sigma-exacts à gauche (i.e. transforment ~~des~~ \Sigma-suites exactes courtes 0 \to A' \to A \to A'' \to 0 en suites exactes 0 \to F(A') \to F(A) \to F(A'') ) ~~F(A') \to F(A) \ldots \Sigma~~ correspondent par F \mapsto F(\mathbb{C}^{\bullet}) aux complexes de cochaînes dans \mathcal{B} tels que \forall i Coker un double trait vertical dans la marge droite, en face des dernières lignes

(i \geq 0 seulement) C^{i} \xrightarrow{\ d^{i}\ } C^{i+1} ait un noyau ~~qui soit tel que Z^{i} \to C^{i} soit un \Sigma-mono (\mathcal{B} de \Sigma dans \mathcal{B} ) de la catégorie ambiante, il n'y a \ldots~~ (ceci dit, on a bien ce passage est encadré et barré de plusieurs traits obliques à de tels complexes, qui correspondent (\Sigma-ex. à g.) k-add. donc à des foncteurs \mathcal{P}_0 \to \mathcal{B} resp. \mathcal{Q} \to \mathcal{B}. On a donner une structure multiplicative sur un , ce qui nous oblige à donner de plus F(\Psi^0) \otimes_{\mathcal{B}} F(\mathbb{C}^{i}) \to F(\Psi^0 * \mathbb{C}^{i}) et ~~\mathcal{B} bifonctoriels F(X) \otimes_{\mathcal{B}} F(Y) \longrightarrow F(X * Y) sur \mathcal{P}_0 \times \mathcal{P}_0 resp. \mathcal{Q} \times \mathcal{Q}. On~~ une longue accolade dans la marge gauche embrasse ces lignes, que barrent aussi trois longs traits obliques ; en face, dans la marge, « * » et un point d'exclamation Or si tout dans \mathcal{B} a des facteurs conoyaux, alors on a trouvé les foncteurs \Sigma-ex. à g. de \mathcal{P} dans \mathcal{B} interviennent aussi comme générales des foncteurs k-additifs associés à C^{\bullet} \in \mathcal{B}^{\bullet}. On peut les ré explicitement ainsi : \forall\, L \in \mathcal{P} (\in \mathcal{Q}, \in \mathcal{P}_0) s'insère dans deux \Sigma-suites de \mathcal{P} (\mathcal{Q}, \mathcal{P}_0) \begin{array}{l} 0 \to L \to I' \to L'' \to 0 \\ \qquad\qquad 0 \to L' \to J'' \to L'' \to 0 \end{array} avec I, J \in \mathbb{K}, et par suite on la page est d'une écriture rapide, et le texte non biffé est d'une lecture très incertaine ; le second terme de la deuxième suite est surchargé

Calcul F : l'avoir \mathbb{K} comme F(X) \simeq \mathrm{R}^{0}F(L) \simeq \mathrm{Ker}\bigl(F(I) \to F(J)\bigr) Ceci dit, on a

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small] F(X) \otimes_{\mathcal{B}} F(Y) \arrow[r, "?"] \arrow[d] & F(X * Y) \arrow[d] \\ F(I) \otimes_{\mathcal{B}} F(J) \arrow[r] & F(I * J) \end{tikzcd}

sous la flèche horizontale inférieure : « comme par F \mid \mathbb{K} et la structure multi. » Or on sait que si * transforme des couples de \Sigma-monos en un \Sigma-mono (résulte immédiatement du théorème de Dold-Puppe) donc la 2e flèche verticale est un mono, unique donc ? la dite factorisation ( fait qu'il soit naturel et aussi deux faits immédiats, et aussi qu'il satisfait aux compatibilités d'ass. et de comm. si la restriction à \mathbb{K} y satisfait. Il reste donc l'ex. unité ; donné ~~qu'il suffit que~~ \underline{\mathbf{1}}_{\mathcal{B}'} \longrightarrow F(\Psi_0) \simeq Z^{0}(C^{\bullet}) dans la formule, un F(\Psi_0) biffé après \underline{\mathbf{1}}_{\mathcal{B}'}, et un symbole biffé, illisible, avant Z^{0} et on sait que C^{\bullet} a une augmentation unité que « k-\otimes-alg » de F(\Psi^0) ; la structure de « k-\otimes-alg. commutative » (sur \mathbb{K}) les dernières lignes, au bas du feuillet, sont d'une écriture serrée et en partie illisible NB On que besoin de l'existence de \mathrm{Ker}(d^0 : C^0 \to C^1), donc « il suffit de dire que \mathbf{1}_{\mathcal{B}} \to C^0 C^0 \to C^1 et qui C^{0} » cette note, écrite verticalement dans la marge gauche sur toute la hauteur de la page, est reliée par un trait à la dernière ligne ; la lecture en est très fragmentaire

Applications Toutes les constructions (« universelles ») dans \mathcal{P}_{*} ~~qui~~ (ou \mathcal{Q}_{*}, \mathcal{P}_{0*}, \mathbb{K}_{*}) qui ne font intervenir que la structure k-lin. et les multiples \otimes-structures, ~~donnent~~ donnent des constructions analogues sur un C^{\bullet} (\in \mathcal{B}^{\bullet} muni de structure multiplicative). un double trait vertical dans la marge gauche, en face des premières lignes

Ex. ~~\Psi^{0}~~ Comme \mathbb{C}^{\bullet}_{*} \otimes \mathbb{C}^{\bullet}_{*} est une résolution \Sigma_{*}-inj. de \Psi^{0}_{*} dans \mathcal{P}_{0*}, et comme \mathbb{C}^{\bullet}_{*} l'est aussi, on trouve \mathrm{Tot}^{\bullet}(\mathbb{C}^{\bullet}_{*} * \mathbb{C}^{\bullet}_{*}) \longrightarrow \mathbb{C}^{\bullet}_{*} défini à homotopie près, d'où un hom \begin{array}{ccc} F_{C^{\bullet}}(\mathbb{C}^{\bullet}_{*} * \mathbb{C}^{\bullet}_{*}) & \longrightarrow & F(\mathbb{C}^{\bullet}_{*}) \\ \uparrow & & \Vert \\ F_{C^{\bullet}}(\mathbb{C}^{\bullet}) \otimes_{\mathcal{B}} F_{C^{\bullet}}(\mathbb{C}^{\bullet}) & & C^{\bullet} \\ \Vert & & \\ C^{\bullet} \otimes C^{\bullet} & & \end{array} défini à homotopie près, d'où en composant un hom défini à homotopie près C^{\bullet} \otimes_{\mathcal{B}} C^{\bullet} \longrightarrow C^{\bullet} avec conditions d'associativité, de commutation (attention aux signes !) et d'unité — le tout à homotopie près. Il en résulte une structure de « \otimes-\mathcal{B}-alg. » graduée sur H^{*}(C^{\bullet}), avec les propriétés habituelles. la note marginale, écrite sous la flèche \mathrm{Tot}^{\bullet}(\ldots) \to \mathbb{C}^{\bullet}_{*}, y est reliée par une flèche

Ex 2 Le « complexe de De Rham à p.d. » est défini ~~comme~~ comme objet (avec les p.d.) ~~comme un objet~~ objet bigradué de \mathcal{Q}_{*}, avec structure d'algèbre bigraduée standard . Donc F_{C^{\bullet}} le transforme en objet de . On ne peut affirmer encore (sans introduire la « structure p.d. » sur F) que le complexe de De Rham associé à F est stable ( , etc.). Le ~~fait~~ que ), on trouve une résolution de k_{*} = \Psi^{0}_{*}, flasques (resp. \Sigma-injectives) sauf en degré maximum n (où on trouve \Psi^{n}_{*} = \overset{n}{\Lambda}\Psi_{*}) — donc qui une résolution \Sigma-injective tronquée, montre que le de sa transformée par F proprement dite, et coïncide avec celle de C^{\bullet} , le complexe est homotopes (dans classe d'homotopie donnée) au complexe tronqué naïf de C^{\bullet} — en fait un choix canonique (car \mathrm{DR}^{n}_{*} \xrightarrow{\ \deg \leq n\ } \mathbb{C}^{\bullet}_{*} hom. unique ). un double trait vertical dans la marge droite, en face des premières lignes. La page est d'une écriture rapide, et la syntaxe de la longue phrase qui suit « Le fait que » ne se laisse pas établir ; les mots biffés au début de la neuvième ligne sont soulignés.

Il y a donc un complexe de De Rham-Sullivan si k de car. 0. « si k de » est écrit au-dessus du mot biffé ; le reste du feuillet est blanc

Catégories polynomiales

le titre est souligné sur la page ; il ouvre une nouvelle suite, dont les axiomes a), b), c), … sont ceux que cite la page 83 (« les axiomes a) à f) »)

Une catégorie polynomiale est une catégorie \mathcal{P}, munie d'une sous-catégorie (non pleine en général) \mathcal{P}_1, avec les axiomes suivants notation \mathcal{P}(X, Y) pour \mathrm{Hom}_{\mathcal{P}}(X, Y)

a) \mathcal{P} admet des produits finis, ~~et l'objet final~~

b) \mathrm{Ob}\,\mathcal{P}_1 = \mathrm{Ob}\,\mathcal{P}, les produits et pour deux objets dans \mathcal{P}_1, leur produit dans \mathcal{P} est un produit dans \mathcal{P}_1 (i.e. si X, Y, Z \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{P}_1, Z \to X \times Y de \mathcal{P} est dans \mathcal{P}_1 ssi u = (v, w) : X \to Y \times Z est dans \mathcal{P}_1 ce passage, surchargé d'ajouts interlinéaires (« i.e. si X, Y, Z \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{P}_1 », « \mathcal{P}-flèches »), est encadré et barré de traits obliques (donc \mathcal{P}_1 est décrite par un ensemble \mathrm{Fl}_1 \subset \mathrm{Fl}(\mathcal{P}) = \mathrm{Fl} contenant les identités, et stable par composition) On veut de plus que ~~\mathrm{Fl}_1 contienne les iso, et que~~ pour X, Y \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{P}, leur produit X \times Y soit un produit dans \mathcal{P}_1 (i.e. une flèche u = (v, w) : Z \to X \times Y est « de degré 1 » ssi ses composantes v, w le sont), enfin que 0 est objet final de \mathcal{P} et X \to 0 est de degré 1.

c) \mathcal{P}_1 est une catégorie (donc) additive de \mathcal{P}_1.)

Cela implique que ~~objet~~ les \mathrm{Hom}_{\mathcal{P}}(X, Y) ~~\mathbb{Z} \to \mathrm{End}(\mathrm{id}_{\mathcal{P}_1}) \to \mathrm{End}(\mathrm{id}_{\mathcal{P}})~~ ~~X, Y \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{P}, X~~ sont des groupes abéliens (car les objets X de \mathcal{P} sont des objets groupes abéliens de \mathcal{P}), dépendant fonctoriellement de X, mais pas de Y (i.e. on a \boxed{(f + g) \circ h = f \circ h + g \circ h} « i.e. pour X » est écrit sous la ligne biffée ; le passage biffé, où figure la ligne \mathbb{Z} \to \mathrm{End}(\mathrm{id}\,\mathcal{P}_1) \leftarrow \mathrm{End}(\mathrm{id}\,\mathcal{P}), est entouré d'une grande courbe qui le relie au reste de la page mais on n'aura pas éventuellement f \circ (g + h) \neq f \circ g + f \circ h \ ! Il en résulte aussi que \mathbb{Z}^{\times} opère sur \mathcal{P} i.e. on a un hom multiplicatif \mathbb{Z}^{\times} \longrightarrow \mathrm{End}(\mathcal{P}_1) \longleftarrow \mathrm{End}(\mathcal{P}) pour n \in \mathbb{Z} et X \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{P}_1 = \mathrm{Ob}\,\mathcal{P} associe n\,\mathrm{id}_X. Ainsi \mathbb{Z} opère dans \mathcal{P}(X, Y) par \mu_n(f) = f \circ (n\,\mathrm{id}_Y) sic : \mathrm{id}_Y sur la page, où l'on attendrait \mathrm{id}_X ; les deux \mathrm{End} portent sur \mathrm{id}_{\mathcal{P}_1}, \mathrm{id}_{\mathcal{P}} dans la ligne biffée plus haut

d) Il existe une décomposition de ~~\mathrm{Hom}~~ \mathcal{P}(X, Y), en \mathcal{P}(X, Y) = \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{P}_n(X, Y) telle que pour f_n \in \mathcal{P}_n(X, Y), et \lambda \in \mathbb{Z}, on ait f_n \circ (\lambda\,\mathrm{id}_X) = \lambda^{n} f_n Plus généralement, si X_1, \ldots, X_r, Y sont des objets de \mathcal{P}, on a une décomposition (*) \qquad \mathcal{P}(X_1 \times \cdots \times X_r, Y) = \bigoplus_{n = (n_1, \ldots, n_r) \in \mathbb{N}^{r}} \mathcal{P}_n(X_1, \ldots, X_r; Y) avec, pour f \in \mathcal{P}_{n_1, \ldots, n_r}(X_1, \ldots, X_r; Y) et \lambda = (\lambda_i)_{1 \leq i \leq r} \in \mathbb{Z}^{r}, on ait f \circ (\lambda_1 \mathrm{id}_{X_1}, \ldots, \lambda_r \mathrm{id}_{X_r}) = \lambda_1^{n_1} \cdots \lambda_r^{n_r} f un double trait vertical dans la marge gauche, en face de d). Le \mathcal{P} de (*) est récrit sur un premier signe.

Remarque Cette décomposition est unique, en vertu de considérations « arithmétiques » — il le faudrait !

Lemme Soit P un groupe abélien, et u : (\mathbb{Z}^{\times})^{r} \to \mathrm{End}(P) un hom de monoïdes. ~~P \ldots \mathbb{A} … n = (n_1, \ldots, n_r) \in \mathbb{Z}~~ Supposons qu'il existe une décomposition en somme directe P = \sum_{n = (n_1, \ldots, n_r) \in \mathbb{N}^{r}} P_n telles que pour f \in P_n, et \lambda = (\lambda_1, \ldots, \lambda_r) \in \mathbb{Z}^{r}, on ait u(\lambda) \cdot f = \lambda_1^{n_1} \cdots \lambda_r^{n_r} f Alors cette décomposition est unique, plus précisément on a pour tout n \in \mathbb{N}^{r} P_n = \lbrace f \in P \mid u(\lambda) f = \lambda_1^{n_1} \cdots \lambda_r^{n_r} f \quad \forall \lambda \in \mathbb{Z}^{r} \rbrace Il suffit de voir que si n' \neq n et si g_{n'} \in P_{n'} est tel que u(\lambda) g_{n'} = \lambda_1^{n_1} \cdots \lambda_r^{n_r} g_{n'} \forall \lambda \in \mathbb{Z}^{r}, alors g_{n'} = 0. Or on a aussi u(\lambda) g_{n'} = \lambda_1^{n'_1} \cdots \lambda_r^{n'_r} g_{n'} du « Lemme » jusqu'ici, tout est barré de quatre longs traits obliques ; on le donne tel qu'il se lit, sans le marquer comme biffé Ex Si P est un groupe annulé par un nombre premier p, \lambda \mapsto \lambda^{p}\,\mathrm{id}_{\mathbb{Z}} et \lambda \mapsto \lambda\,\mathrm{id} coïncident ; 1, et p ! la note, écrite verticalement dans la marge gauche, est donnée ici ; à côté, dans la même marge, une colonne de signes épars (accolades, \Sigma, \mathbb{N}) sans suite lisible

donc (\lambda^{n} - \lambda^{n'})\, g_{n'} = 0 \qquad \forall \lambda \in \mathbb{Z}^{r} et il suffit de voir que les \lambda^{n} - \lambda^{n'} engendrent l'idéal 1, ce qui ces premières lignes, qui achèvent le lemme de la page 75, sont barrées comme lui Si on exigeait que, pour tout \mathbb{Z}-algèbre k, les composantes entre les \mathcal{P}_k(X, Y) = \mathcal{P}(X, Y) \otimes_{\mathbb{Z}} k, et on exigeait la décomposition plus haut valable ~~pour~~ dans tt \mathcal{P}_k(\prod X_i, Y), pour \lambda \in (k^{\times})^{r}. On va mettre comme structure supplémentaire la donnée de la décomposition (*), avec

e) Condition de degré pour la composition de \begin{array}{ccccc} X_1 & \times \cdots \times & X_r & \xrightarrow{\ (n_1, \ldots, n_r)\ } & Y \\ \uparrow {\scriptstyle m^{1}_{1}, \ldots, m^{1}_{s_1}} & & \uparrow {\scriptstyle m^{r}_{1}, \ldots, m^{r}_{s_r}} & & \\ Z^{1}_{1} \times \cdots \times Z^{1}_{s_1} & & Z^{r}_{1}, \ldots, Z^{r}_{s_r} & & \end{array} le composé est de degré (n_i m^{i}_{1}, n_i m^{i}_{2}, \ldots, n_i m^{i}_{s_i}) sur Z^{i}_{1}, \ldots, Z^{i}_{s_i} ; donc

f) condition de symétrie de permutation des facteurs

g) \forall\, X \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{P}, l'application canonique déduite de X \to 0 \mathcal{P}_0(0, Y) \longrightarrow \mathcal{P}_0(X, Y) est bijective (les « applications constantes » de X dans Y « ne dépendent pas de X ») Oublié : \mathcal{P}(X, Y) = \bigoplus \mathcal{P}_i(X, Y) Soit \mathcal{P}() (n_i m_j \neq 0) deux notes de biais : la première à droite, en face de e), la seconde dans le coin inférieur gauche, en face de f) ; l'une et l'autre presque entièrement illisibles. Les axiomes vont ici jusqu'à g), alors que la page 83 cite « les axiomes a) à f) ».

Si k est un anneau commutatif et si \mathcal{P}_1 est munie d'une structure k-linéaire par k \longrightarrow \mathrm{End}(\mathcal{P}_1) \longleftarrow \mathrm{End}(\mathcal{P}) ~~que~~ telle que les relations plus haut sont vraies pour \lambda \in k^{r} (non seulement \lambda \in \mathbb{Z}^{r}), on dit que \mathcal{P} est k-polynomiale.

Relations avec produits \otimes et \Gamma^{p}

titre souligné sur la page

La donnée d'une cat. polynomiale \mathcal{P} permet de définir un foncteur trimultiplicatif \mathcal{P}_1^{\circ} \times \mathcal{P}_1^{\circ} \times \mathcal{P}_1 \longrightarrow \mathit{Ab}, \qquad (X, Y; Z) \longmapsto \mathcal{P}_{(1,1)}(X, Y; Z) (et de même pour plus d'arguments 2 facteurs) Si, pour X, Y fixés, Z variable, ce foncteur est représentable, l'objet qui le représente est noté X \otimes Y. Il dépend fonctoriellement de X, Y dans \mathcal{P}_1 (mais non pour X, Y considérés comme dans \mathcal{P} !). On voit que X \otimes Y existe ssi Y \otimes X existe, et ils sont canon. isomorphes (par s_{X,Y}), avec s_{X \otimes Y} \circ s_{Y \otimes X} = \mathrm{id}_{Y \otimes X}.

Soit X, n \in \mathbb{N} fixés, si le foncteur Y \longmapsto \mathcal{P}_n(X, Y) sur \mathcal{P}_1 est représentable, l'objet qui le représente est noté \Gamma^{n} X ; il dépend encore fonctoriellement de X dans \mathcal{P}_1. L'objet \Gamma^{0}(X) existe ssi \Gamma^{0}(0) existe, il est noté \mathbf{1}.

Prouvons que si \mathbf{1} existe, alors \forall\, X \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{P}, \mathbf{1} \otimes X \simeq X \quad \text{i.e.} \quad \mathcal{P}_{(1,1)}(\mathbf{1}, X; Y) \simeq \mathcal{P}_1(X, Y) \; (= \mathrm{Hom}_{\mathcal{P}_1}(X, Y)) \ ? sous le signe \simeq, « iso bifonctoriel » et plus particulièrement \mathbf{1} \otimes \mathbf{1} \simeq \mathbf{1} i.e. \forall\, Y \mathcal{P}_{1,1}(\mathbf{1}, \mathbf{1}; Y) \simeq \mathcal{P}_1(\mathbf{1}, Y) \ ?

On est obligé de renforcer la propriété universelle de \otimes et \Gamma^{p}, pour avoir les propriétés d'assoc. etc. qu'on souhaite.

Soit X \times Y \to T un morphisme de bidegré (1,1), alors pour tt Z on a X \times Y \times Z \longrightarrow T \times Z d'où pour tt M \underset{1,n}{\mathcal{P}}(T, Z; M) \longrightarrow \mathcal{P}_{1,1,n}(X, Y, Z; M) On dit que T est un produit tensoriel strict de X et Y si c'est un bijection ~~X \otimes Y~~ pour tt n et tout M. Faisant n = 0, Z = 0, on trouve \mathcal{P}_{1}(T; M) \simeq \mathcal{P}_{1,1}(X, Y; M) l'indice de \mathcal{P} dans le membre de gauche est surchargé ; « Z = 0 » est écrit au-dessus de la ligne donc T est un produit tensoriel. C'est dire qu'on exigera que des \otimes strict la définition précédente soit associative compatible avec \mathcal{P}_1(X_1 \otimes \cdots \otimes X_r; M) \simeq \mathcal{P}_{1, \ldots, 1}(X_1, \ldots, X_r; M) un \mathrm{Hom}_{\mathcal{P}_1} biffé en tête de la formule les deux lignes qui précèdent la formule sont surchargées d'interlignes, en partie biffés ; on n'en donne que ce qui se lit On sait qu'un objet unité (sans référence d'une donnée d'associativité) s'il existe, est unique. Il faut examiner pourquoi ce devrait être \Gamma^{0}(0). un point d'interrogation dans la marge gauche, en face de cette phrase

Revenons aux \Gamma^{n}, soit X = X_1 \times \cdots \times X_r, tel que \Gamma^{n}(X) existe. Considérons les foncteurs \mathcal{P}_{\nu = (\nu_1, \ldots, \nu_r)}(X_1, \ldots, X_r; M) \mathcal{P}_1 \to (\mathit{Ab}), les foncteurs (cov.) représentés par \Gamma^{n}(X), supposons qu'ils soient aussi repr. (automatiques si \mathcal{P}_1 est karoubienne) par \Gamma^{\nu_1, \ldots, \nu_r}(X_1, \ldots, X_r) = \Gamma^{\nu}(X_1, \ldots, X_r) l'objet qui le représente. On va définir (sans réserve d'existence des \Gamma^{\nu_i} X_i et des produits tensoriels, … ou dans \check{\mathcal{P}}_1 = \widehat{\mathcal{P}_1^{\circ}}^{\circ} si … la page s'arrête sur « si » ; la suite est à la page 79

on veut faire abstraction des questions de représentabilité sauf pour les \Gamma^{\nu_i}(X_i)) \Gamma^{\nu_1}(X_1) \otimes \cdots \otimes \Gamma^{\nu_r}(X_r) \longleftarrow \Gamma^{\nu}(X_1, \ldots, X_r) le dernier argument est écrit \alpha_r (ou \mathcal{X}_r) sur la page en donnant un hom fonctoriel en M dans \mathcal{P}_1 \mathcal{P}^{\mathfrak{g}}_{\nu}(X_1, \ldots, X_r; M) \longleftarrow \mathcal{P}_{1, \ldots, 1}(\Gamma^{\nu_1} X_1, \ldots, \Gamma^{\nu_r} X_r; M) l'exposant de \mathcal{P}, lu \mathfrak{g}, est d'une lecture douteuse par composition avec les morphismes canoniques de \mathcal{P} X_1 \xrightarrow{\ \gamma_{\nu_1}\ } \Gamma^{\nu_1} X_1, \quad \ldots, \quad X_r \xrightarrow{\ \gamma_{\nu_r}\ } \Gamma^{\nu_r}(X_r) et on suppose que c'est toujours un iso. Moyennant quoi, on a \Gamma^{n}(X_1 \times \cdots \times X_r) \xrightarrow{\ \sim\ } \sum_{\substack{\nu = (\nu_i) \in \mathbb{N}^{r} \\ \sum \nu_i = n}} \underbrace{\Gamma^{\nu_1}(X_1) \otimes \cdots \otimes \Gamma^{\nu_r}(X_r)}_{\Gamma^{\nu_1 \ldots \nu_r}(X_1, \ldots, X_r)} [NB Il suffirait de l'établir … avec les hypothèses réduites r = 2 — puis r = 2 d'abord et la déduire ensuite pour r quelc.

En particulier, on trouve, ~~pour~~ si considère le produit X \times 0, pour \mathbf{1} = \Gamma^{0}(0) X \otimes \mathbf{1} = \Gamma^{1}(X) \otimes \Gamma^{0}(0) \simeq \Gamma^{1,0}(X, 0) \simeq X car \mathcal{P}^{\mathfrak{g}}_{1,0}(X, 0; M) \simeq \mathcal{P}_1(X, M), et de même \mathbf{1} \otimes X \simeq X . au-dessus de la formule, une première écriture biffée, « \Gamma^{1}(X \times 0) \simeq » ; sous la formule, un « X \otimes \mathbf{1} » biffé

On suppose qu'il y a des produits tensoriels stricts dans les objets de \mathcal{P}_1, et que les \Gamma^{n} X satisfont à la condition plus haut. un trait vertical dans la marge gauche, en face de cette phrase, et une note de biais de quelques mots, illisible ; le bas du feuillet est blanc

Ainsi X \longmapsto \Gamma^{*}(X) = (\Gamma^{i}(X))_{i \geq 0} est un foncteur (pas additif !) \mathcal{P}_1 \longrightarrow \mathrm{Grad}(\mathcal{P}_1) qui est en fait un foncteur « transformant sommes en \otimes ». Comme tout objet de \mathcal{P}_1 est un objet groupe commutatif pour l'opération \oplus, il s'ensuit que sur chaque \Gamma^{*}(X) il y a une structure de \otimes-algèbre graduée commutative, fonctorielle en X. Pour \otimes-algèbres note de biais dans la marge gauche, en face de ce passage et du suivant, presque entièrement illisible ; un « 2 » au-dessous

~~Explicitation~~ des \mathcal{P}_1 « des \mathcal{P}_1 » est écrit au-dessus du mot biffé On se donne des homs, fonctoriels en X (*) \qquad \Gamma^{p}(\Gamma^{q}(X)) \longleftarrow \Gamma^{pq}(X) le signe devant la formule, lu (*), est surchargé ou, ce qui revient au même, un hom de degré pq X \longrightarrow \Gamma^{p}(\Gamma^{q}(X)) en prenant donc le composé X \xrightarrow[\text{hom.\ univ.\ de degré } q]{\ e^{X}_{q}\ } \Gamma^{q}(X) \xrightarrow[\text{hom.\ univ.\ de degré } p]{\ e^{\Gamma^{q}(X)}_{p}\ } \Gamma^{p}(\Gamma^{q}(X)) On a la condition « d'associativité »

\begin{tikzcd}[column sep=huge, row sep=large] \Gamma^{pqr}(X) \arrow[r, "\alpha^{X}_{p,qr}"] \arrow[d, "\alpha^{X}_{pq,r}"'] & \Gamma^{p}(\Gamma^{qr}(X)) \arrow[d, "{\Gamma^{p}(\alpha^{\Gamma^{r}(X)}_{q,r})}"] \\ \Gamma^{pq}(\Gamma^{r}(X)) \arrow[r, "\alpha^{\Gamma^{r}(X)}_{p,q}"'] & \Gamma^{p}(\Gamma^{q}(\Gamma^{r}(X))) \end{tikzcd}

le diagramme est marqué (*) à gauche et « comm. » au centre. Les indices et exposants des \alpha sont retouchés ; on les donne comme ils se lisent, en particulier l'exposant \Gamma^{r}(X) de la flèche verticale de droite, où le contexte attendrait \alpha^{X}_{q,r}. et d'unité : l'isom. ( ) pour \Gamma^{1} X = X, \qquad \Gamma^{0} X = \mathbf{1} les conditions d'unité sont énoncées en détail, comme (**) et (***), en tête de la page 81