Cote n° 137 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Dévissage des complexes ½ simpliciaux ∂ - parfaits et structures multiplicatives… (1975 ou 1976) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1975-1976]
Édition de démonstration

61Remarque. Supposons \(k\) principal. Alors la catégorie \(\mathcal{P} \simeq \mathcal{P}\) […] […] admet des \(\Sigma\) noyaux (et des conoyaux, \(\Sigma\) mais un bimorphisme n'est pas nécessairement un iso). Il On peut […] que les […] est-il vrai que si \(N\) est le noyau de \(A \to B\), alors \(N \to A\) est un \(\Sigma\)-mono, et s'insère donc dans une suite \(\Sigma\)-exacte \[ 0 \to N \to A \to A' \to 0 , \] mais le mono. \(A' \to B\) n'est pas en général un \(\Sigma\)-mono. Aussi On ne peut interpréter \((\mathcal{P},\) […] \(\mathbb{C}^{\bullet},\) […]\()\) comme sol. d'un pb universel en […] […] les données précédentes : Mais […] […] de façon naturelle, pour une \(\mathcal{B}\) \(k\)-linéaire, la notion d'objet plat, et dont le syst. ci-dessus est universel pour les \(\mathcal{B}\) [\(k\)-additives] munis d'un complexe de cochaînes plats, […] d'une […] \(\Sigma\) de […] exactes, telle que […] tt \(A \to B\) de \(\mathcal{B}\) ait un noyau tel que \(\mathrm{Ker}\, u \to A\) soit […] \(\Sigma\)) \(C^{\bullet}\) et d'une classe \(\Sigma_C\) de suites exactes, telle que tt morphisme \(u : A \to B\) de \(\mathcal{B}\) admette un noyau \(K\) tel que \(K \to A\) soit un \(\Sigma_C\)-mono (on prend comme morphismes entre tels syst. ceux qui transforment \(C^{\bullet}\) en \(C'^{\bullet}\) et qui sont \(\Sigma\)-exacts […]). la page porte de longs passages biffés, encadrés et barrés de traits ondulés ; on a donné ce qui s'en lit. « \(k\)-additives » est interlinéaire, au-dessus de « munis ». Le premier « \(\simeq\) » de la deuxième ligne est d'une lecture douteuse.

62On travaillera désormais dans la catégorie \(\mathcal{P}_1 = \mathcal{Q}\) (équivalente à la catégorie \(\mathcal{Q}\) des complexes de chaînes finis de \(k\)-modules tels que les \(L_i, Z_i, B_i, H_i\) sont libres de type fini ; munie de \(\Sigma_1 = \Sigma \cap \mathcal{P}_1\)), dans laquelle la sous-catégorie des \(\Sigma\)-projectifs est additive, la sous-catégorie [additive] \(\mathcal{P}_0\) engendrée par les \(\mathbb{C}^i\) et \(\Psi^0\) (i.e. par les \(\Phi^i\)), et celle des \(\Sigma\)-injectifs est la sous-cat. additive \(\mathbb{K}\) des […] engendrée par les \(\mathbb{C}^{\bullet}\) (les \(L_\bullet\) flasques acycliques, i.e. les \(L_\bullet\) flasques …). « additive » et « engendrée » sont écrits au-dessus de la ligne ; la parenthèse « tels que … \(\Sigma_1 = \Sigma \cap \mathcal{P}_1\) » est interlinéaire On s'intéressera aux résolutions droites \(K^{\bullet}\) \(\Sigma\)-injectives de \(\Psi^0\) (i.e. des résolutions flasques \(K^{\bullet}_{*}\) de \(k_{*}\) […] (qui donneront, dans un topos algébrique, des méthodes de calcul remarquables de la cohomologie à coeff. dans \(k\)). On a l'algèbre homologique « relative » qui donne des suites exactes, qui nous disent que si (comme c'est le cas ici) tout objet […] se plonge dans un \(\Sigma\)-injectif, de façon par un \(\Sigma\)-mono, alors les les deux résolutions […] canoniquement […] deux résolutions sont homotopes, et il y a une seule classe d'homotopie d'hom. de l'une dans l'autre (NB Il y a aussi assez de projectifs, et on a l'énoncé analogue pour les résolutions projectives ; un fera attention que la cat. \(\mathbb{K}\) des sommes de \(\mathbb{C}^{\bullet}\) est

63contenue par assez de \(\Sigma\)-projectifs ; il faut y rajouter \(\Psi^0 \ldots\)) […] […] Les constructions sont d'ailleurs valables aussi dans la plus grande catégorie \(\mathcal{P}\) [définissant les \(\Sigma\)-proj. et les \(\Sigma\)-inj., et le fait qu'il y en a assez.] Les \(\mathrm{Ext}^{i}\) calculés par les résolutions injectives ou projectives sont (à gauche …) ou les deux simultanément, sont les \(\mathrm{Ext}\) pour \(i \geq 1\) ce sont les hyperext habituels de \(L_\bullet\) et de \(M_\bullet\), (pour \(i = 0\) ce sont par contre les \(Z^{i}\). au-dessus de « injectives ou projectives », un mot interlinéaire, peut-être « identiques », et « i.g. » au-dessus du « sont » biffé ; la lecture de la phrase reste incertaine

Si \(F : \mathcal{Q} = \mathcal{P}_1 \subset \mathcal{P} \longrightarrow \mathcal{B}\) (\(k\)-add.) est un foncteur, on peut construire les foncteurs dérivés [droits ou gauches] (en utilisant des résolutions injectives ou projectives). Nous sommes intéressés notamment aux \(\mathrm{R}^{i}F(\Psi^0)\), qu'on note aussi \(\mathcal{H}^{i}(F)\) [on doit pouvoir montrer que ce sont les dérivés [droits] de \(F \mapsto F(\Psi^0) = \Gamma(F)\) [sur les \(\mathcal{P}\)], quand \(F\) varie dans la cat. des foncteurs [(\(k\)-add.)] \(\mathcal{P} \to \mathcal{B}\) [\(\Sigma\)]-exacts à gauche, (si on se restreint à de tels \(F\)) ; que cette catégorie est équivalente à […] \(\mathcal{B}^{\bullet}\), \(F \mapsto F(\Psi^0)\) est identifié au foncteur \[ C^{\bullet} \longmapsto Z^{0}(C^{\bullet}) = H^{0}(C^{\bullet}) \quad \text{sur } \mathcal{B}^{\bullet}, \] dont les dérivés sauf erreur sont les \(H^{i}(C^{\bullet})\) pour \(i \geq 1\). On a aussi \[ \mathrm{R}F(\Psi^0) \simeq F(\mathbb{C}^{\bullet}) \] les mots marqués comme ajouts sont interlinéaires, de sa main. Le complexe universel est écrit tantôt avec un \(C\) ordinaire, tantôt avec un \(C\) à double trait ; on l'a écrit \(\mathbb{C}^{\bullet}\), comme aux pages 57 à 60, et \(C^{\bullet}\) pour un complexe quelconque de \(\mathcal{B}\).

64(iso. dans cat. dérivée) puisque \(\mathbb{C}^{\bullet}\) est une résolution \(\Sigma\)-injective de \(\Psi^0\). un trait de séparation, au milieu de la page

Nous considérons maintenant les réalisations ½ simpliciales \[ \mathcal{P}_{*} \supset \mathcal{Q}_{*} \supset \mathcal{P}_{0*} \supset \mathbb{K}_{*} \] de \(\mathcal{P} \supset \mathcal{Q} \supset \mathcal{P}_0 \supset \mathbb{K}\). Or sur \(\mathcal{P}_{*}\) il y a la structure \(\otimes_{*}\) ou \(\overset{*}{\otimes}\) (\(L_{*} \otimes_{*} M_{*}\) défini composante par composante \[ (L_{*} \otimes M_{*})_{[n]} = L_{[n]} \otimes M_{[n]} \ ) \] avec contraintes d'ass., unité (\(\Psi^0\)), et de commutation, [\(\otimes\)-bilin.] On note que \(\mathbb{K}_{*}\) est un […] la réalisation ([…]) \(\mathcal{P}^{*}, \mathcal{Q}^{*}\) « idéal » (i.e. si un des facteurs \(L_{*}, M_{*}\) est dans \(\mathbb{K}_{*}\), l'autre aussi), \(\mathcal{P}_0\) et \(\mathcal{Q}\) sont stables par \(\otimes\), car \[ \underset{\mathbf{1}_{*}}{\Psi^{0}_{*}} \otimes \underset{\mathbf{1}_{*}}{\Psi^{0}_{*}} \simeq \underset{\mathbf{1}_{*}}{\Psi^{0}_{*}} \quad (\Rightarrow \text{stabilité de } \mathcal{P}_0) \] et \[ \Psi^{i}_{*} \otimes \Psi^{j}_{*} \simeq \Psi^{i+j}_{*} + \text{élément de } \mathbb{K} \quad (\Rightarrow \text{stabilité de } \mathcal{P}_{1*} = \mathcal{Q}) \] […] \(\mathcal{P}_0\) […] […] ([…]) sous chacun des trois \(\Psi^{0}_{*}\), un signe \(=\) vertical et \(\mathbf{1}_{*}\). La note marginale, écrite de biais dans la marge gauche en face des lignes biffées, est en partie barrée et presque entièrement illisible.

On transporte ces structures multiplicatives sur \(\mathcal{P}\) et ses sous-catégories (notation \(*\), pour éviter des confusions) et ses autres réalisations \(\mathcal{P}_{\bullet}\) et \(\mathcal{P}^{*}\), \(\mathcal{P}^{\bullet}\) (au sens des […] contravariantes). On note \(*\) sur \(\mathcal{P}_{\bullet}\) et \(\mathcal{P}^{\bullet}\) et \(\overset{*}{\otimes}\) sur \(\mathcal{P}^{*}\), car l'équivalence […] de

65\(\mathcal{P}_{*}\) avec \(\mathcal{P}^{*}\) est compatible avec \(\otimes\).

Soit \(\mathcal{B}\) une cat. (\(k\)-)additive avec op. (\(k\)-)bil. \(\otimes\) [(propriété dans chaque facteur \(\otimes\))] munie d'une contrainte [(données)] d'ass., d'unité, et de comm. […] satisfaisant aux compatibilités habituelles (propriétés), soit \(\mathcal{B}'\) une autre telle. Si on a un foncteur (\(k\)-)additif (propriété) \[ F : \mathcal{B}' \longrightarrow \mathcal{B} \] une structure multiplicative sur \(F\) […] homs de foncteurs \[ F(X) \otimes F(Y) \xrightarrow{\ u_{X,Y}\ } F(X \otimes Y) \] et iso […] \(\mathbf{1}_{\mathcal{B}} \xrightarrow{\ \alpha_F\ } F(\mathbf{1}_{\mathcal{B}'})\) qui soient compatibles aux données d'ass., d'unité et comm. :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal, nodes={font=\small}]
(F(X) \otimes F(Y)) \otimes F(Z) \arrow[r, "{u_{X,Y} \otimes F(Z)}"] \arrow[d, "\wr\ a^{\otimes}_{F(X),F(Y),F(Z)}"'] & F(X \otimes Y) \otimes F(Z) \arrow[d, "u_{X \otimes Y,Z}"] \\
F(X) \otimes (F(Y) \otimes F(Z)) \arrow[d, "F(X) \otimes u_{Y,Z}"'] & F((X \otimes Y) \otimes Z) \arrow[d, "\wr\ F(a^{\mathcal{B}'}_{X,Y,Z})"] \\
F(X) \otimes F(Y \otimes Z) \arrow[r, "u_{X,Y \otimes Z}"'] & F(X \otimes (Y \otimes Z))
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=normal, nodes={font=\small}]
F(X) \otimes \mathbf{1}_{\mathcal{B}} \arrow[r, "F(X) \otimes \alpha"] \arrow[ddr, "\wr\ \delta^{\mathcal{B}}_{F(X)}"'] & F(X) \otimes F(\mathbf{1}_{\mathcal{B}'}) \arrow[d, "u_{X,\mathbf{1}_{\mathcal{B}'}}"] \\
 & F(X \otimes \mathbf{1}_{\mathcal{B}'}) \arrow[d, "\wr\ F(\delta^{\mathcal{B}'}_{X})"] \\
 & F(X)
\end{tikzcd}

et symétrique

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=normal, nodes={font=\small}]
F(X) \otimes F(Y) \arrow[r, "u_{X,Y}"] \arrow[d, "\sigma^{\mathcal{B}}_{F(X),F(Y)}"'] & F(X \otimes Y) \arrow[d, "F(\sigma^{\mathcal{B}'}_{X,Y})"] \\
F(Y) \otimes F(X) \arrow[r, "u_{Y,X}"'] & F(Y \otimes X)
\end{tikzcd}

dans chacun des trois diagrammes, l'auteur écrit « comm. » au centre. Au premier, le but de la flèche horizontale supérieure est corrigé sur la page.

66NB \(F(\mathbf{1}_{\mathcal{B}'})\) devient donc un « objet-[…]anneau » de \(\mathcal{B}\) (« \(k\)-Algèbre » quand il y a un \(k\)). \(F\) transforme « anneaux » de \(\mathcal{B}'\) en « anneaux » de \(\mathcal{B}\), en respectant les propriétés d'unité, associativité et commutativité.

Les \(F\) en question forment une catégorie. Si on a \(\mathcal{B}''\), \(\mathcal{B}'\), \(\mathcal{B}\), ils se composent, d'où 2-catégorie des \(\otimes\)-catégories \(k\)-additives.

Supposons maintenant que \(\mathcal{B}' = \mathbb{K}\) (catégorie des coquilles de Chaînes des résolutions injectives …). Un foncteur \(k\)-lin. \[ \mathbb{K} \xrightarrow{\ F\ } \mathcal{B} \] s'identifie donc à un \(\mathbb{C} \in \mathcal{B}^{\bullet}\). Donc un sens à ce qu'il faudrait entendre par « structure multiplicative » sur le complexe de cochaînes \(\mathbb{C}^{\bullet}\) de \(\mathcal{B}\) (on dira : str. mult. « demi-simpliciale » pour ne pas prêter à confusion). « coquilles » : lecture d'après la page ; la fin de la parenthèse est illisible en partie

67comme donnée, c'est-à-dire la donnée des hom. fonctoriels \[ F(X) \otimes F(Y) \longrightarrow F(X \otimes Y) \] où il suffit de se donner sur la […] catégorie [\(k\)-lin.] \(\mathbb{K} \times \mathbb{K}\) [de \(\mathbb{K} \times \mathbb{K}\)] (dans \(\mathbb{C} \times \mathbb{C}\), avec sa structure \(k\)-lin.) […], donc de se donner des homs de bicomplexes de cochaînes \[ F(\mathbb{C}^{\bullet}) \otimes F(\mathbb{C}^{\bullet}) \longrightarrow F(\mathbb{C}^{\bullet} * \mathbb{C}^{\bullet}) \quad \text{dans } \mathcal{B}^{\bullet\bullet} \] sous les deux premiers \(F(\mathbb{C}^{\bullet})\), un signe \(=\) vertical, \(\mathbb{C}^{\bullet}\), et un \(\mathcal{B}\) entre eux, sous le \(\otimes\) ce qui peut s'expliciter, si \(\mathbb{C}^{\bullet}\) \(\otimes\) \(\mathbb{C}^{\bullet}\) correspond au [bi]complexe de chaînes [défini par] \[ \mathbb{C}^{i}_{\bullet} * \mathbb{C}^{j}_{\bullet} = \mathrm{N}_{\bullet}(\mathbb{C}^{i}_{*} \otimes \mathbb{C}^{j}_{*}) \] après le signe \(=\), un symbole biffé, illisible ; sous les deux derniers facteurs, \(= \overset{i}{\Lambda}\Phi_{*} \otimes \overset{j}{\Lambda}\Phi_{*}\) (lecture incertaine des exposants) \[ \mathbb{F}^{ij} \qquad F(\mathbb{C}^{i}) \otimes_{\mathcal{B}} F(\mathbb{C}^{j}) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{k}\bigl((\mathbb{C}^{i}_{\bullet} * \mathbb{C}^{j}_{\bullet})^{\vee}, C^{\bullet}\bigr) \] sous le membre de gauche, \(= C^{i}\) et \(= C^{j}\) ; sous \((\mathbb{C}^{i}_{\bullet} * \mathbb{C}^{j}_{\bullet})\), « \(= C_i * C_j\) » (lecture incertaine) […] […] […] dans la marge gauche, une note de biais de quatre ou cinq mots, illisible i.e. \[ \mathbb{F}^{ij} \qquad (C^{i} \underset{\mathcal{B}}{\otimes} C^{j}) \underset{k}{\otimes} \underbrace{(C^{\bullet}_{i} * C^{\bullet}_{j})}_{\in\, \mathbb{K}^{\bullet}} \longrightarrow C^{\bullet} \] au-dessus de \((C^{\bullet}_{i} * C^{\bullet}_{j})\), une accolade avec « \(C^{\bullet}_{ij}\) » et un mot abrégé, peut-être « défini » ; le préfixe écrit devant les deux formules, lu \(\mathbb{F}^{ij}\), est d'une lecture douteuse avec compatibilité avec les diff. […] […] variable.

On peut aussi l'écrire \((C^{i} \otimes_{\mathcal{B}} C^{j}) \otimes_{k}\) \[\begin{align*} (1^{*}) \qquad & C^{i} \underset{\mathcal{B}}{\otimes} C^{j} \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}^{*}_{k}(C^{*}_{i} \otimes C^{*}_{j},\ C^{*}) \\ \text{ou encore} \qquad (2^{*}) \qquad & (C^{i} \otimes_{\mathcal{B}} C^{j}) \otimes_{k} \underbrace{(\overset{i}{\Lambda}\Phi^{*} \otimes \overset{j}{\Lambda}\Phi^{*})}_{C^{*}_{ij}} \xrightarrow{\ u^{ij}\ } C^{*} \end{align*}\] sous \(C^{*}_{i} \otimes C^{*}_{j}\) dans \((1^{*})\) : \(= \overset{i}{\Lambda}\Phi^{*} \otimes \overset{j}{\Lambda}\Phi^{*}\) ; sous \(C^{*}\) : \(= \mathrm{DP}^{*}(C^{\bullet})\). Un double trait vertical dans la marge gauche, en face de \((1^{*})\) et \((2^{*})\).

68homs compatibles avec op. ½ simpliciales (\(i, j\) fixés) et avec op. diff. (pour \(i, j\) variables)

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=normal, nodes={font=\small}]
(C^{i} \otimes_{\mathcal{B}} C^{j}) \otimes C^{*}_{ij} \arrow[d] & (C^{i} \otimes_{\mathcal{B}} C^{j}) \otimes C^{*}_{i+1,j} \arrow[l, "d^{*}_{i+1,j}"'] \arrow[d, "d^{i} \otimes -\,\otimes -"] \\
C^{*} & (C^{i+1} \otimes_{\mathcal{B}} C^{j}) \otimes C^{*}_{i+1,j} \arrow[l, "d"]
\end{tikzcd}

sur la page, la flèche verticale de droite n'est indiquée que par son étiquette ; au début de la ligne inférieure, une écriture raturée et illisible précède \(C^{*}\) plus des données de compatibilités avec unité, ass., comm. (Elles devraient s'expliciter de façon particulièrement triviale).

Remarque \(\mathbb{K}\) n'a pas d'unité pour \(*\) ! donc on ne peut exprimer directement, en restant dans \(\mathbb{K}\), une compatibilité avec les unités ! Comment s'en tirer ? Si on passe à \(\mathcal{P}_0\) ou \(\mathcal{Q} = \mathcal{P}_1\), […] \(\mathcal{B}\) […] […] […] \(\Sigma\) […] on trouve que les foncteurs \(k\)-additifs de \(\mathcal{Q}\) (resp. \(\mathcal{P}_0\)) dans \(\mathcal{B}\) qui sont \(\Sigma\)-exacts à gauche (i.e. transforment des \(\Sigma\)-suites exactes courtes \(0 \to A' \to A \to A'' \to 0\) en suites exactes \(0 \to F(A') \to F(A) \to F(A'')\) ) […] \(F(A') \to F(A) \ldots \Sigma\) […] correspondent par \(F \mapsto F(\mathbb{C}^{\bullet})\) aux complexes de cochaînes dans \(\mathcal{B}\) tels que \(\forall i\) Coker un double trait vertical dans la marge droite, en face des dernières lignes

69(\(i \geq 0\) seulement) \(C^{i} \xrightarrow{\ d^{i}\ } C^{i+1}\) ait un noyau qui soit tel que \(Z^{i} \to C^{i}\) soit un \(\Sigma\)-mono (\(\mathcal{B}\) […] de \(\Sigma\) dans \(\mathcal{B}\) […]) de la catégorie ambiante, il n'y a […] […] \(\ldots\) (ceci dit, on a bien ce passage est encadré et barré de plusieurs traits obliques à de tels complexes, qui correspondent [(\(\Sigma\)-ex. à g.)] […] \(k\)-add. donc à des foncteurs […] \(\mathcal{P}_0 \to \mathcal{B}\) resp. \(\mathcal{Q} \to \mathcal{B}\). On a […] [[…]] donner une structure multiplicative sur un […], ce qui nous oblige à donner de plus \(F(\Psi^0) \otimes_{\mathcal{B}} F(\mathbb{C}^{i}) \to F(\Psi^0 * \mathbb{C}^{i})\) et […] […] \(\mathcal{B}\) bifonctoriels \(F(X) \otimes_{\mathcal{B}} F(Y) \longrightarrow F(X * Y)\) sur \(\mathcal{P}_0 \times \mathcal{P}_0\) resp. \(\mathcal{Q} \times \mathcal{Q}\). On une longue accolade dans la marge gauche embrasse ces lignes, que barrent aussi trois longs traits obliques ; en face, dans la marge, « \(*\) » et un point d'exclamation [Or] si tout dans \(\mathcal{B}\) a des facteurs […] […] conoyaux, alors on a trouvé les foncteurs \(\Sigma\)-ex. à g. de \(\mathcal{P}\) dans \(\mathcal{B}\) […] interviennent aussi comme […] générales des foncteurs \(k\)-additifs associés à \(C^{\bullet} \in \mathcal{B}^{\bullet}\). On peut les ré[…] explicitement ainsi : \(\forall\, L \in \mathcal{P}\) […] [(\(\in \mathcal{Q}\), \(\in \mathcal{P}_0\))] s'insère dans deux \(\Sigma\)-suites de \(\mathcal{P}\) (\(\mathcal{Q}\), \(\mathcal{P}_0\)) \[ \begin{array}{l} 0 \to L \to I' \to L'' \to 0 \\ \qquad\qquad 0 \to L' \to J'' \to L'' \to 0 \end{array} \] avec \(I, J \in \mathbb{K}\), et par suite on […] la page est d'une écriture rapide, et le texte non biffé est d'une lecture très incertaine ; le second terme de la deuxième suite est surchargé

70Calcul \(F\) : l'avoir […] […] […] \(\mathbb{K}\) comme \[ F(X) \simeq \mathrm{R}^{0}F(L) \simeq \mathrm{Ker}\bigl(F(I) \to F(J)\bigr) \] Ceci dit, […] on a

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
F(X) \otimes_{\mathcal{B}} F(Y) \arrow[r, "?"] \arrow[d] & F(X * Y) \arrow[d] \\
F(I) \otimes_{\mathcal{B}} F(J) \arrow[r] & F(I * J)
\end{tikzcd}

sous la flèche horizontale inférieure : « comme […] par \(F \mid \mathbb{K}\) et la structure multi. » Or on sait que si \(*\) transforme des couples de \(\Sigma\)-monos en un \(\Sigma\)-mono (résulte immédiatement du théorème de Dold-Puppe) donc la 2^e flèche verticale est un mono, unique donc ? […] la dite factorisation […] […] ([…] fait qu'il soit naturel et aussi deux faits […] immédiats, et aussi qu'il satisfait aux compatibilités d'ass. et de comm. si la restriction à \(\mathbb{K}\) y satisfait. Il reste donc l'ex. unité ; […] donné qu'il suffit que \[ \underline{\mathbf{1}}_{\mathcal{B}'} \longrightarrow F(\Psi_0) \simeq Z^{0}(C^{\bullet}) \] dans la formule, un \(F(\Psi_0)\) biffé après \(\underline{\mathbf{1}}_{\mathcal{B}'}\), et un symbole biffé, illisible, avant \(Z^{0}\) et on sait que \(C^{\bullet}\) a une augmentation […] […] […] unité […] que […] […] […] « \(k\)-\(\otimes\)-alg » de \(F(\Psi^0)\) ; la structure de « \(k\)-\(\otimes\)-alg. commutative » (sur […] […] […] \(\mathbb{K}\)) les dernières lignes, au bas du feuillet, sont d'une écriture serrée et en partie illisible NB On […] […] que […] besoin de l'existence de \(\mathrm{Ker}(d^0 : C^0 \to C^1)\), donc […] […] « il suffit de dire que \(\mathbf{1}_{\mathcal{B}} \to C^0\) […] […] \(C^0 \to C^1\) […] […] […] […] et qui […] […] […] […] […] […] \(C^{0}\) […] […] » cette note, écrite verticalement dans la marge gauche sur toute la hauteur de la page, est reliée par un trait à la dernière ligne ; la lecture en est très fragmentaire

71Applications Toutes les constructions (« universelles ») dans \(\mathcal{P}_{*}\) qui (ou \(\mathcal{Q}_{*}\), \(\mathcal{P}_{0*}\), \(\mathbb{K}_{*}\)) qui ne font intervenir que la structure \(k\)-lin. et [les] multiples [[…]] \(\otimes\)-structures, donnent donnent des constructions analogues sur un \(C^{\bullet}\) (\(\in \mathcal{B}^{\bullet}\) muni de structure multiplicative). un double trait vertical dans la marge gauche, en face des premières lignes

Ex. \(\Psi^{0}\) […] […] […] Comme \(\mathbb{C}^{\bullet}_{*} \otimes \mathbb{C}^{\bullet}_{*}\) est une résolution \(\Sigma_{*}\)-inj. de \(\Psi^{0}_{*}\) dans \(\mathcal{P}_{0*}\), et comme \(\mathbb{C}^{\bullet}_{*}\) l'est aussi, on trouve \[ \mathrm{Tot}^{\bullet}(\mathbb{C}^{\bullet}_{*} * \mathbb{C}^{\bullet}_{*}) \longrightarrow \mathbb{C}^{\bullet}_{*} \] défini à homotopie près, d'où un hom \[ \begin{array}{ccc} F_{C^{\bullet}}(\mathbb{C}^{\bullet}_{*} * \mathbb{C}^{\bullet}_{*}) & \longrightarrow & F(\mathbb{C}^{\bullet}_{*}) \\ \uparrow & & \Vert \\ F_{C^{\bullet}}(\mathbb{C}^{\bullet}) \otimes_{\mathcal{B}} F_{C^{\bullet}}(\mathbb{C}^{\bullet}) & & C^{\bullet} \\ \Vert & & \\ C^{\bullet} \otimes C^{\bullet} & & \end{array} \] défini à homotopie près, d'où en composant un hom défini à homotopie près \[ C^{\bullet} \otimes_{\mathcal{B}} C^{\bullet} \longrightarrow C^{\bullet} \] avec conditions d'associativité, de commutation (attention aux signes !) et d'unité — le tout à homotopie près. Il en résulte une structure de « \(\otimes\)-\(\mathcal{B}\)-alg. » graduée sur \(H^{*}(C^{\bullet})\), avec les propriétés habituelles. la note marginale, écrite sous la flèche \(\mathrm{Tot}^{\bullet}(\ldots) \to \mathbb{C}^{\bullet}_{*}\), y est reliée par une flèche

72Ex 2 Le « complexe de De Rham à p.d. » est défini comme comme objet […] (avec […] les p.d.) comme un objet objet bigradué de […] \(\mathcal{Q}_{*}\), avec structure d'algèbre bigraduée standard […]. Donc \(F_{C^{\bullet}}\) le transforme en objet de […] […]. On ne peut affirmer encore (sans introduire la « structure p.d. » sur \(F\)) que le complexe de De Rham associé à \(F\) est stable ([…] […] […], etc.). Le fait que […] […] […] […] […] […] […] ), on trouve une résolution de \(k_{*} = \Psi^{0}_{*}\), flasques (resp. \(\Sigma\)-injectives) sauf en degré maximum \(n\) (où on trouve \(\Psi^{n}_{*} = \overset{n}{\Lambda}\Psi_{*}\)) — donc qui […] une résolution \(\Sigma\)-injective tronquée, montre que le […] de sa transformée par \(F\) proprement dite, et coïncide avec celle de \(C^{\bullet}\) […] […] […] […] […], le complexe est homotopes (dans classe d'homotopie donnée) au complexe tronqué naïf de \(C^{\bullet}\) — en fait […] un choix canonique (car \(\mathrm{DR}^{n}_{*} \xrightarrow{\ \deg \leq n\ } \mathbb{C}^{\bullet}_{*}\) hom. unique […]). un double trait vertical dans la marge droite, en face des premières lignes. La page est d'une écriture rapide, et la syntaxe de la longue phrase qui suit « Le fait que » ne se laisse pas établir ; les mots biffés au début de la neuvième ligne sont soulignés.

73Il y a donc un complexe de De Rham-Sullivan […] si \(k\) de car. \(0\). « si \(k\) de » est écrit au-dessus du mot biffé ; le reste du feuillet est blanc

74

Catégories polynomiales

le titre est souligné sur la page ; il ouvre une nouvelle suite, dont les axiomes a), b), c), … sont ceux que cite la page 83 (« les axiomes a) à f) »)

Une catégorie polynomiale est une catégorie \(\mathcal{P}\), munie d'une sous-catégorie (non pleine en général) \(\mathcal{P}_1\), avec les axiomes suivants notation \(\mathcal{P}(X, Y)\) pour \(\mathrm{Hom}_{\mathcal{P}}(X, Y)\)

a) \(\mathcal{P}\) admet des produits finis, et l'objet final […]

b) \(\mathrm{Ob}\,\mathcal{P}_1 = \mathrm{Ob}\,\mathcal{P}\), les produits et pour deux objets dans \(\mathcal{P}_1\), leur produit dans \(\mathcal{P}\) est un produit dans \(\mathcal{P}_1\) (i.e. si \(X, Y, Z \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{P}_1\), […] […] […] \(Z \to X \times Y\) de \(\mathcal{P}\) est dans \(\mathcal{P}_1\) ssi \(u = (v, w) : X \to Y \times Z\) est dans \(\mathcal{P}_1\) […] ce passage, surchargé d'ajouts interlinéaires (« i.e. si \(X, Y, Z \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{P}_1\) », « \(\mathcal{P}\)-flèches »), est encadré et barré de traits obliques (donc \(\mathcal{P}_1\) est décrite par un […] ensemble \(\mathrm{Fl}_1 \subset \mathrm{Fl}(\mathcal{P}) = \mathrm{Fl}\) contenant les identités, et stable par composition) On veut de plus que \(\mathrm{Fl}_1\) contienne les iso, et que pour \(X, Y \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{P}\), leur produit \(X \times Y\) soit un produit dans \(\mathcal{P}_1\) (i.e. une flèche \(u = (v, w) : Z \to X \times Y\) est « de degré \(1\) » ssi ses composantes \(v\), \(w\) le sont), enfin que \(0\) est objet final [de \(\mathcal{P}\)] et \(X \to 0\) est de degré \(1\).

c) \(\mathcal{P}_1\) est une catégorie [(donc) additive] […] de \(\mathcal{P}_1\).)

Cela implique que […] objet […] […] […] […] [les \(\mathrm{Hom}_{\mathcal{P}}(X, Y)\)] \(\mathbb{Z} \to \mathrm{End}(\mathrm{id}_{\mathcal{P}_1}) \to \mathrm{End}(\mathrm{id}_{\mathcal{P}})\) […] […] […] \(X, Y \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{P}\), […] […] \(X\) sont des groupes abéliens (car les objets \(X\) [de \(\mathcal{P}\)] sont […] des objets groupes abéliens de \(\mathcal{P}\)), dépendant fonctoriellement de \(X\), mais pas de \(Y\) (i.e. on a \[ \boxed{(f + g) \circ h = f \circ h + g \circ h} \] « i.e. pour \(X\) » est écrit sous la ligne biffée ; le passage biffé, où figure la ligne \(\mathbb{Z} \to \mathrm{End}(\mathrm{id}\,\mathcal{P}_1) \leftarrow \mathrm{End}(\mathrm{id}\,\mathcal{P})\), est entouré d'une grande courbe qui le relie au reste de la page mais […] […] on n'aura pas éventuellement \[ f \circ (g + h) \neq f \circ g + f \circ h \ ! \] Il en résulte aussi que \(\mathbb{Z}^{\times}\) opère sur \(\mathcal{P}\) i.e. on a un […] hom multiplicatif \[ \mathbb{Z}^{\times} \longrightarrow \mathrm{End}(\mathcal{P}_1) \longleftarrow \mathrm{End}(\mathcal{P}) \] pour \(n \in \mathbb{Z}\) et \(X \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{P}_1 = \mathrm{Ob}\,\mathcal{P}\) associe \(n\,\mathrm{id}_X\). Ainsi \(\mathbb{Z}\) opère dans […] \(\mathcal{P}(X, Y)\) par \(\mu_n(f) = f \circ (n\,\mathrm{id}_Y)\) sic : \(\mathrm{id}_Y\) sur la page, où l'on attendrait \(\mathrm{id}_X\) ; les deux \(\mathrm{End}\) portent sur \(\mathrm{id}_{\mathcal{P}_1}\), \(\mathrm{id}_{\mathcal{P}}\) dans la ligne biffée plus haut

75d) Il existe une décomposition de \(\mathrm{Hom}\) \(\mathcal{P}(X, Y)\), en \[ \mathcal{P}(X, Y) = \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{P}_n(X, Y) \] telle que pour \(f_n \in \mathcal{P}_n(X, Y)\), et \(\lambda \in \mathbb{Z}\), on ait \[ f_n \circ (\lambda\,\mathrm{id}_X) = \lambda^{n} f_n \] Plus généralement, si \(X_1, \ldots, X_r, Y\) sont des objets de \(\mathcal{P}\), on a une décomposition \[ (*) \qquad \mathcal{P}(X_1 \times \cdots \times X_r, Y) = \bigoplus_{n = (n_1, \ldots, n_r) \in \mathbb{N}^{r}} \mathcal{P}_n(X_1, \ldots, X_r; Y) \] avec, pour \(f \in \mathcal{P}_{n_1, \ldots, n_r}(X_1, \ldots, X_r; Y)\) et \(\lambda = (\lambda_i)_{1 \leq i \leq r} \in \mathbb{Z}^{r}\), on ait \[ f \circ (\lambda_1 \mathrm{id}_{X_1}, \ldots, \lambda_r \mathrm{id}_{X_r}) = \lambda_1^{n_1} \cdots \lambda_r^{n_r} f \] un double trait vertical dans la marge gauche, en face de d). Le \(\mathcal{P}\) de \((*)\) est récrit sur un premier signe.

Remarque Cette décomposition est unique, en vertu de considérations « arithmétiques » — il le faudrait !

Lemme Soit \(P\) un groupe abélien, et \(u : (\mathbb{Z}^{\times})^{r} \to \mathrm{End}(P)\) un hom de monoïdes. \(P \ldots \mathbb{A}\) … \(n = (n_1, \ldots, n_r) \in \mathbb{Z}\) Supposons qu'il existe une décomposition en somme directe \[ P = \sum_{n = (n_1, \ldots, n_r) \in \mathbb{N}^{r}} P_n \] telles que pour \(f \in P_n\), et \(\lambda = (\lambda_1, \ldots, \lambda_r) \in \mathbb{Z}^{r}\), on ait \[ u(\lambda) \cdot f = \lambda_1^{n_1} \cdots \lambda_r^{n_r} f \] Alors cette décomposition est unique, plus précisément on a pour tout \(n \in \mathbb{N}^{r}\) \[ P_n = \lbrace f \in P \mid u(\lambda) f = \lambda_1^{n_1} \cdots \lambda_r^{n_r} f \quad \forall \lambda \in \mathbb{Z}^{r} \rbrace \] Il suffit de voir que si \(n' \neq n\) et si \(g_{n'} \in P_{n'}\) est tel que \(u(\lambda) g_{n'} = \lambda_1^{n_1} \cdots \lambda_r^{n_r} g_{n'}\) \(\forall \lambda \in \mathbb{Z}^{r}\), alors \(g_{n'} = 0\). Or on a aussi \(u(\lambda) g_{n'} = \lambda_1^{n'_1} \cdots \lambda_r^{n'_r} g_{n'}\) du « Lemme » jusqu'ici, tout est barré de quatre longs traits obliques ; on le donne tel qu'il se lit, sans le marquer comme biffé Ex Si \(P\) est un groupe annulé par un nombre premier \(p\), […] \(\lambda \mapsto \lambda^{p}\,\mathrm{id}_{\mathbb{Z}}\) et \(\lambda \mapsto \lambda\,\mathrm{id}\) coïncident ; […] […] […] \(1\), et \(p\) ! la note, écrite verticalement dans la marge gauche, est donnée ici ; à côté, dans la même marge, une colonne de signes épars (accolades, \(\Sigma\), \(\mathbb{N}\)) sans suite lisible

76donc \[ (\lambda^{n} - \lambda^{n'})\, g_{n'} = 0 \qquad \forall \lambda \in \mathbb{Z}^{r} \] et il suffit de voir que les \(\lambda^{n} - \lambda^{n'}\) engendrent l'idéal \(1\), ce qui […] ces premières lignes, qui achèvent le lemme de la page 75, sont barrées comme lui Si on exigeait que, pour tout \(\mathbb{Z}\)-algèbre \(k\), les composantes entre les \(\mathcal{P}_k(X, Y) = \mathcal{P}(X, Y) \otimes_{\mathbb{Z}} k\), et on exigeait la décomposition plus haut valable pour dans tt \(\mathcal{P}_k(\prod X_i, Y)\), pour \(\lambda \in (k^{\times})^{r}\). On va mettre comme structure supplémentaire la donnée de la décomposition \((*)\), avec

e) Condition de degré pour la composition de \[ \begin{array}{ccccc} X_1 & \times \cdots \times & X_r & \xrightarrow{\ (n_1, \ldots, n_r)\ } & Y \\ \uparrow {\scriptstyle m^{1}_{1}, \ldots, m^{1}_{s_1}} & & \uparrow {\scriptstyle m^{r}_{1}, \ldots, m^{r}_{s_r}} & & \\ Z^{1}_{1} \times \cdots \times Z^{1}_{s_1} & & Z^{r}_{1}, \ldots, Z^{r}_{s_r} & & \end{array} \] le composé est de degré \((n_i m^{i}_{1}, n_i m^{i}_{2}, \ldots, n_i m^{i}_{s_i})\) sur \(Z^{i}_{1}, \ldots, Z^{i}_{s_i}\) ; donc

f) condition [de symétrie] […] de permutation des facteurs

g) \(\forall\, X \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{P}\), l'application canonique déduite de \(X \to 0\) \[ \mathcal{P}_0(0, Y) \longrightarrow \mathcal{P}_0(X, Y) \] est bijective (les « applications constantes » de \(X\) dans \(Y\) « ne dépendent pas de \(X\) ») Oublié : […] […] […] […] […] \(\mathcal{P}(X, Y) = \bigoplus \mathcal{P}_i(X, Y)\) […] Soit […] […] \(\mathcal{P}(\)[…]\()\) […] […] (\(n_i m_j \neq 0\)) […] […] deux notes de biais : la première à droite, en face de e), la seconde dans le coin inférieur gauche, en face de f) ; l'une et l'autre presque entièrement illisibles. Les axiomes vont ici jusqu'à g), alors que la page 83 cite « les axiomes a) à f) ».

Si \(k\) est un anneau commutatif et si \(\mathcal{P}_1\) est munie d'une structure \(k\)-linéaire par \[ k \longrightarrow \mathrm{End}(\mathcal{P}_1) \longleftarrow \mathrm{End}(\mathcal{P}) \] […] […] que telle que les relations plus haut sont vraies pour \(\lambda \in k^{r}\) (non seulement \(\lambda \in \mathbb{Z}^{r}\)), on dit que \(\mathcal{P}\) est \(k\)-polynomiale.

77

Relations avec produits \(\otimes\) et \(\Gamma^{p}\)

titre souligné sur la page

La donnée d'une cat. polynomiale \(\mathcal{P}\) permet de définir un foncteur trimultiplicatif \[ \mathcal{P}_1^{\circ} \times \mathcal{P}_1^{\circ} \times \mathcal{P}_1 \longrightarrow \mathit{Ab}, \qquad (X, Y; Z) \longmapsto \mathcal{P}_{(1,1)}(X, Y; Z) \] (et de même pour plus d'arguments \(2\) facteurs) Si, pour \(X, Y\) fixés, \(Z\) variable, ce foncteur est représentable, l'objet qui le représente est noté \(X \otimes Y\). Il dépend fonctoriellement de \(X, Y\) dans \(\mathcal{P}_1\) (mais non pour \(X, Y\) […] considérés comme dans \(\mathcal{P}\) !). […] On voit que \(X \otimes Y\) existe ssi \(Y \otimes X\) existe, et ils sont canon. isomorphes (par \(s_{X,Y}\)), avec \(s_{X \otimes Y} \circ s_{Y \otimes X} = \mathrm{id}_{Y \otimes X}\).

Soit \(X\), \(n \in \mathbb{N}\) fixés, si le foncteur \[ Y \longmapsto \mathcal{P}_n(X, Y) \] sur \(\mathcal{P}_1\) est représentable, l'objet qui le représente est noté \(\Gamma^{n} X\) ; il dépend encore fonctoriellement de \(X\) dans \(\mathcal{P}_1\). L'objet \(\Gamma^{0}(X)\) existe ssi \(\Gamma^{0}(0)\) existe, il est noté \(\mathbf{1}\).

Prouvons que […] si \(\mathbf{1}\) existe, alors \(\forall\, X \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{P}\), \[ \mathbf{1} \otimes X \simeq X \quad \text{i.e.} \quad \mathcal{P}_{(1,1)}(\mathbf{1}, X; Y) \simeq \mathcal{P}_1(X, Y) \; (= \mathrm{Hom}_{\mathcal{P}_1}(X, Y)) \ ? \] sous le signe \(\simeq\), « iso bifonctoriel » et plus particulièrement \(\mathbf{1} \otimes \mathbf{1} \simeq \mathbf{1}\) i.e. \(\forall\, Y\) \[ \mathcal{P}_{1,1}(\mathbf{1}, \mathbf{1}; Y) \simeq \mathcal{P}_1(\mathbf{1}, Y) \ ? \]

78On est obligé de renforcer la propriété universelle de \(\otimes\) et \(\Gamma^{p}\), pour avoir les propriétés d'assoc. etc. qu'on souhaite.

Soit \(X \times Y \to\) […] \(T\) un morphisme de bidegré \((1,1)\), alors pour tt \(Z\) on a \[ X \times Y \times Z \longrightarrow T \times Z \] d'où pour tt \(M\) \[ \underset{1,n}{\mathcal{P}}(T, Z; M) \longrightarrow \mathcal{P}_{1,1,n}(X, Y, Z; M) \] On dit que \(T\) est un produit tensoriel strict de \(X\) et \(Y\) si c'est un bijection […] \(X \otimes Y\) […] pour tt \(n\) et tout \(M\). Faisant \(n = 0\), \(Z = 0\), on trouve \[ \mathcal{P}_{1}(T; M) \simeq \mathcal{P}_{1,1}(X, Y; M) \] l'indice de \(\mathcal{P}\) dans le membre de gauche est surchargé ; « \(Z = 0\) » est écrit au-dessus de la ligne donc \(T\) est un produit tensoriel. C'est dire qu'on exigera que […] des \(\otimes\) strict […] […] […] […] la définition précédente […] […] […] […] […] soit associative […] compatible avec \[ \mathcal{P}_1(X_1 \otimes \cdots \otimes X_r; M) \simeq \mathcal{P}_{1, \ldots, 1}(X_1, \ldots, X_r; M) \] un \(\mathrm{Hom}_{\mathcal{P}_1}\) biffé en tête de la formule les deux lignes qui précèdent la formule sont surchargées d'interlignes, en partie biffés ; on n'en donne que ce qui se lit On sait qu'un objet unité (sans référence d'une donnée d'associativité) s'il existe, est unique. Il faut examiner pourquoi ce devrait être \(\Gamma^{0}(0)\). un point d'interrogation dans la marge gauche, en face de cette phrase

Revenons aux \(\Gamma^{n}\), soit \(X = X_1 \times \cdots \times X_r\), tel que \(\Gamma^{n}(X)\) existe. Considérons les […] foncteurs \(\mathcal{P}_{\nu = (\nu_1, \ldots, \nu_r)}(X_1, \ldots, X_r; M)\) [\(\mathcal{P}_1 \to (\mathit{Ab})\)], les foncteurs (cov.) représentés par \(\Gamma^{n}(X)\), supposons qu'ils soient aussi repr. (automatiques si \(\mathcal{P}_1\) est karoubienne) par \(\Gamma^{\nu_1, \ldots, \nu_r}(X_1, \ldots, X_r) = \Gamma^{\nu}(X_1, \ldots, X_r)\) l'[objet] […] qui le représente. […] On va définir (sans réserve d'existence des \(\Gamma^{\nu_i} X_i\) [et des] produits tensoriels, … ou dans \(\check{\mathcal{P}}_1 = \widehat{\mathcal{P}_1^{\circ}}^{\circ}\) si … la page s'arrête sur « si » ; la suite est à la page 79

79on veut faire abstraction des questions de représentabilité sauf pour les \(\Gamma^{\nu_i}(X_i)\)) \[ \Gamma^{\nu_1}(X_1) \otimes \cdots \otimes \Gamma^{\nu_r}(X_r) \longleftarrow \Gamma^{\nu}(X_1, \ldots, X_r) \] le dernier argument est écrit \(\alpha_r\) (ou \(\mathcal{X}_r\)) sur la page en donnant un hom fonctoriel en \(M\) dans \(\mathcal{P}_1\) \[ \mathcal{P}^{\mathfrak{g}}_{\nu}(X_1, \ldots, X_r; M) \longleftarrow \mathcal{P}_{1, \ldots, 1}(\Gamma^{\nu_1} X_1, \ldots, \Gamma^{\nu_r} X_r; M) \] l'exposant de \(\mathcal{P}\), lu \(\mathfrak{g}\), est d'une lecture douteuse par composition avec les morphismes canoniques de \(\mathcal{P}\) \[ X_1 \xrightarrow{\ \gamma_{\nu_1}\ } \Gamma^{\nu_1} X_1, \quad \ldots, \quad X_r \xrightarrow{\ \gamma_{\nu_r}\ } \Gamma^{\nu_r}(X_r) \] et on suppose que c'est [toujours] un iso. Moyennant quoi, on a \[ \Gamma^{n}(X_1 \times \cdots \times X_r) \xrightarrow{\ \sim\ } \sum_{\substack{\nu = (\nu_i) \in \mathbb{N}^{r} \\ \sum \nu_i = n}} \underbrace{\Gamma^{\nu_1}(X_1) \otimes \cdots \otimes \Gamma^{\nu_r}(X_r)}_{\Gamma^{\nu_1 \ldots \nu_r}(X_1, \ldots, X_r)} \] [NB Il suffirait de l'établir … avec les hypothèses réduites \(r = 2\) — puis \(r = 2\) d'abord et la déduire ensuite pour \(r\) quelc.

En particulier, on trouve, pour si […] considère le produit \(X \times 0\), pour \(\mathbf{1} = \Gamma^{0}(0)\) \[ X \otimes \mathbf{1} = \Gamma^{1}(X) \otimes \Gamma^{0}(0) \simeq \Gamma^{1,0}(X, 0) \simeq X \] car \(\mathcal{P}^{\mathfrak{g}}_{1,0}(X, 0; M) \simeq \mathcal{P}_1(X, M)\), et de même \(\mathbf{1} \otimes X \simeq X\) […]. au-dessus de la formule, une première écriture biffée, « \(\Gamma^{1}(X \times 0) \simeq\) » ; sous la formule, un « \(X \otimes \mathbf{1}\) » biffé

On suppose qu'il y a des produits tensoriels stricts dans les objets de \(\mathcal{P}_1\), et que les \(\Gamma^{n} X\) satisfont à la condition plus haut. […] […] […] […] un trait vertical dans la marge gauche, en face de cette phrase, et une note de biais de quelques mots, illisible ; le bas du feuillet est blanc

80Ainsi \[ X \longmapsto \Gamma^{*}(X) = (\Gamma^{i}(X))_{i \geq 0} \] est un foncteur (pas additif !) \[ \mathcal{P}_1 \longrightarrow \mathrm{Grad}(\mathcal{P}_1) \] qui est en fait un foncteur « transformant sommes en \(\otimes\) ». Comme tout objet de \(\mathcal{P}_1\) est un [objet] groupe commutatif pour l'opération \(\oplus\), il s'ensuit que sur chaque \(\Gamma^{*}(X)\) il y a une structure de \(\otimes\)-algèbre [graduée] commutative, fonctorielle en \(X\). Pour […] […] […] […] […] \(\otimes\)-algèbres […] […] […] […] note de biais dans la marge gauche, en face de ce passage et du suivant, presque entièrement illisible ; un « 2 » au-dessous

Explicitation des \(\mathcal{P}_1\) « des \(\mathcal{P}_1\) » est écrit au-dessus du mot biffé On se donne des homs, fonctoriels en \(X\) \[ (*) \qquad \Gamma^{p}(\Gamma^{q}(X)) \longleftarrow \Gamma^{pq}(X) \] le signe devant la formule, lu \((*)\), est surchargé ou, ce qui revient au même, un hom de degré \(pq\) \[ X \longrightarrow \Gamma^{p}(\Gamma^{q}(X)) \] en prenant donc le composé \[ X \xrightarrow[\text{hom.\ univ.\ de degré } q]{\ e^{X}_{q}\ } \Gamma^{q}(X) \xrightarrow[\text{hom.\ univ.\ de degré } p]{\ e^{\Gamma^{q}(X)}_{p}\ } \Gamma^{p}(\Gamma^{q}(X)) \] On a la condition « d'associativité »

\begin{tikzcd}[column sep=huge, row sep=large]
\Gamma^{pqr}(X) \arrow[r, "\alpha^{X}_{p,qr}"] \arrow[d, "\alpha^{X}_{pq,r}"'] & \Gamma^{p}(\Gamma^{qr}(X)) \arrow[d, "{\Gamma^{p}(\alpha^{\Gamma^{r}(X)}_{q,r})}"] \\
\Gamma^{pq}(\Gamma^{r}(X)) \arrow[r, "\alpha^{\Gamma^{r}(X)}_{p,q}"'] & \Gamma^{p}(\Gamma^{q}(\Gamma^{r}(X)))
\end{tikzcd}

le diagramme est marqué \((*)\) à gauche et « comm. » au centre. Les indices et exposants des \(\alpha\) sont retouchés ; on les donne comme ils se lisent, en particulier l'exposant \(\Gamma^{r}(X)\) de la flèche verticale de droite, où le contexte attendrait \(\alpha^{X}_{q,r}\). et d'unité : l'isom. […] […] ([…] […]) […] pour \[ \Gamma^{1} X = X, \qquad \Gamma^{0} X = \mathbf{1} \] les conditions d'unité sont énoncées en détail, comme (**) et (***), en tête de la page 81