Fonds Grothendieck, cote n° 137, pages 21–40

\operatorname{Hom}_{k}(\Lambda^{i}\Psi_{*}, \Lambda^{j}\Psi_{*}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i \\ k & \text{si } j = i \end{cases} de façon précise \operatorname{Hom}_{k}(\Lambda^{i}\Psi_{*}, \Lambda^{i}\Psi_{*}) = k\,\mathrm{id}_{\Lambda^{i}\Psi_{*}} \simeq k , et \operatorname{Hom}_{k}(\Lambda^{i}\Psi_{*}, \Phi_{\bullet}(j,n)) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i+1 \\ k & \text{si } j = i+1 \end{cases} dans la première ligne de l'accolade, un symbole biffé avant « i+1 » en particulier \operatorname{Hom}_{k}(\Lambda^{i}\Psi_{*}, \Lambda^{j}\Phi_{*}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i+1 \\ k & \text{si } j = i+1 \end{cases} l'exposant du second argument est surchargé (j corrigé ?) et \operatorname{Hom}_{k}(\Lambda^{i}\Psi_{*}, \Lambda^{i+1}\Phi_{*}) = k\,\partial \simeq k où \partial : \Lambda^{i}\Psi_{*} \hookrightarrow \Lambda^{i+1}\Phi_{*} est l'inclusion canonique.

NB On a une homom. de suites exactes canoniques

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] 0 \arrow[r] & \Lambda^{i-1}\Psi_{*} \arrow[r] \arrow[d, "n\,\mathrm{id}"] & \Lambda^{i}\Phi_{*} \arrow[r] \arrow[d] & \Lambda^{i}\Psi_{*} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\mathrm{id}"] & 0 \\ 0 \arrow[r] & \Lambda^{i-1}\Psi_{*} \arrow[r] & \Phi_{\bullet}(i,n) \arrow[r] & \Lambda^{i}\Psi_{*} \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

la flèche verticale médiane porte « = » biffé et une flèche ; celle de droite est doublée, marquée « id »

qui montre que \Phi_{\bullet}(i,n) \to cat. se déduit de cat. \Lambda^{i}\Phi_{*} de \Lambda^{i}\Psi_{*} par \Lambda^{i-1}\Psi_{*} par l'hom. n\,\mathrm{id} : \Lambda^{i-1}\Psi_{*} \to \Lambda^{i-1}\Psi_{*}.passage rapide ; « cat. » est peut-être l'abréviation de « extension canonique »

feuillet double, écrit en deux colonnes ; la colonne de gauche est donnée d'abord

En résumé. Dans la catégorie k-lin. \mathcal{C} ~~abélienne~~ de tous les k-modules ½ simpliciaux, ceux qui sont str. \partial-parfaits forment une sous-catégorie additive \mathcal{C}_0 , dans laquelle on a un complexe de cochaînes 0 \to \Phi^{0} \to \Phi^{1} \to \Phi^{2} \to \cdots \to \Phi^{i} \xrightarrow{\ \partial_i\ } \Phi^{i+1} \to \cdots chaque exposant est récrit sur une première lecture, peut-être d'autres indices ; les \Phi^{i} = \Lambda^{i+1}\Phi_{*} du lot 1 satisfaisant à ceci :

(a)Complexe tot. acyclique dans \mathcal{C}, (b)Pour tout i, j \geq 0, on a \operatorname{Hom}(\Phi^{i}, \Phi^{j}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i, i+1 \\ \simeq k \ (\text{engendré par } \mathrm{id}) & \text{si } j = i \\ \simeq k \ (\text{engendré par } \partial_i) & \text{si } j = i+1 \end{cases} (c)Posant \Psi^{i} = Z^{i+1}(\Phi^{\bullet}) = \operatorname{Ker}(\Phi^{i+1} \xrightarrow{\partial_{i+1}} \Phi^{i+2}) \simeq \operatorname{Coker}_{\mathcal{C}}(\Phi^{i-1} \xrightarrow{\partial_{i-1}} \Phi^{i}), ~~on a donc \operatorname{Hom}(\Psi^{i}~~

(a), (b), (c) sont cerclés ; le (c) est surchargé. Les indices de Z et de \operatorname{Ker} sont d'une lecture douteuse. Dans la marge gauche, en regard de (c) : « unicité de (c) » \Psi^{0} \simeq \Phi^{0} (*) \qquad 0 \to \Psi^{i-1} \xrightarrow{\ \partial_i\ } \Phi^{i} \xrightarrow{\ u_i\ } \Psi^{i} \to 0 \qquad \text{ext.\ can.} sous cette suite, un croquis : \Phi^{i-1} \xrightarrow{u} \Psi^{i-1} (flèche montante), des obliques \partial_{i-1} vers \Phi^{i} et \partial_i de \Phi^{i} vers \Phi^{i+1}, et une flèche descendante \Psi^{i} \hookrightarrow \Phi^{i+1} \begin{aligned} &\operatorname{Hom}(\Psi^{i}, \Psi^{j}) \ (\subset \operatorname{Hom}(\Phi^{i}, \Phi^{j+1})) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i \\ k & \text{si } j = i \ (\text{base } \mathrm{id}) \end{cases} \\ &\operatorname{Hom}(\Phi^{i}, \Psi^{j}) \ (\subset \operatorname{Hom}(\Phi^{i}, \Phi^{j+1})) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i \\ k & \text{si } j = i \ (\text{base } u_i) \end{cases} \\ &\operatorname{Hom}(\Psi^{i}, \Phi^{j}) \ (\subset \operatorname{Hom}(\Phi^{i}, \Phi^{j})) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i+1 \ (i \neq 0) \\ k & \text{si } j = i+1 \ (\text{base } \partial_i) \\ k & \text{si } j = i = 0 \ (\text{base } \mathrm{id}) \end{cases} \end{aligned} dans la première accolade, le second membre de « j \neq i » est surchargé ; dans la deuxième, on lit « j = \theta » pour j = i

d) Soit, pour n \in k - 0, et i \geq 1, \Phi(i,n) l'ext. de \Psi^{i} par \Psi^{i-1} déduite de l'ext. \Phi^{i} (*) par n\,\mathrm{id}_{\Psi^{i-1}}, de sorte qu'on a un homom. de suites ex. courtes

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] 0 \arrow[r] & \Psi^{i-1} \arrow[r, "\partial_i"] \arrow[d, "n\,\mathrm{id}"] & \Phi^{i} \arrow[r, "u_i"] \arrow[d] & \Psi^{i} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{id}"] & 0 \\ 0 \arrow[r] & \Psi^{i-1} \arrow[r] & \Phi(i,n) \arrow[r] & \Psi^{i} \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

(NB \Phi(i,1) = \Phi^{i}.)ce diagramme ouvre la colonne de droite on a aussi 0 \to \Psi^{i-1} \to \Phi(i,n) \to \Psi^{i} \to 0 au-dessus de 0 \to \Psi^{i-1} \to \Phi^{i} \to \Psi^{i} \to 0, flèches n\,\mathrm{id}, \rho, \mathrm{id}écrit en petit en haut à droite, relié par un trait oblique au \operatorname{Hom} qui suit ; lecture douteuse Alors on a \operatorname{Hom}(\Phi(i,-), \Phi(j,-)) \to \operatorname{Hom}(\Psi^{i-1}, \Psi^{j}) et si j \neq i+1, ce dernier Hom est nul, donc si j \neq i+1, la structure d'extension est respectée par tout homom. \Phi(i,-) \to \Phi(j,-)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] 0 \arrow[r] & \Psi^{i-1} \arrow[r] \arrow[d] & \Phi(i,-) \arrow[r] \arrow[d] & \Psi^{i} \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\ 0 \arrow[r] & \Psi^{j-1} \arrow[r] & \Phi(j,-) \arrow[r] & \Psi^{j} \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

de plus si j \neq i, les flèches extrêmes étant nulles, donc on trouve \operatorname{Hom}(\Phi(i,n), \Phi(j,m)) \xleftarrow{\ \approx\ } \operatorname{Hom}(\Psi^{i}, \Psi^{j-1}) \simeq \begin{cases} k & \text{cas } j = i+1 \\ 0 & \text{si } j \neq i+1 \end{cases} engendré par le comp. \Phi(i,n) \to \Psi^{i} \to \Phi(i+1,m)note oblique entourée dans la marge gauche de la colonne, reliée au cas j = i+1

Cas j = i. Tout homom. induit un p\,\mathrm{id} sur \Psi^{i-1} et q\,\mathrm{id} sur \Psi^{i},

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] 0 \arrow[r] & \Psi^{i-1} \arrow[r] \arrow[d, "p\,\mathrm{id}"] & \Phi(i,n) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha"] & \Psi^{i} \arrow[r] \arrow[d, "q\,\mathrm{id}"] & 0 \\ 0 \arrow[r] & \Psi^{i-1} \arrow[r] & \Phi(i,m) \arrow[r] & \Psi^{i} \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

déterminés par définition par \alpha. On a alors (puisque par définition \alpha est défini par p et q) que l'élément de \operatorname{Ext}^{1}(\Psi^{i}, \Psi^{i-1}) défini par q^{*}(e_{i,m}) - p_{*}(e_{i,n}) (où e_{i,m}, e_{i,n} définissent resp. les ext. \Phi(i,-), \Phi(i,m)) le bas de la colonne est très serré ; la suite est en page 23

est nul, or q^{*}(e_{i,m}) = m\,e_i , \qquad p_{*}(e_{i,n}) = n\,e_i les deux indices se lisent « m » sous surcharge ; le second est vraisemblablement n, que demande la suite où e_i définit l'extension \Phi^{i}. Donc la condition est que (q\,m - p\,n)\,e_i = 0 . On fait l'hypothèse \text{(c)} \qquad e_i \text{ est une base de } \operatorname{Ext}^{1}_{\mathcal{C}_0}(\Psi^{i}, \Psi^{i-1}) hypothèse encadrée, avec « (c) » cerclé en regard. Il y a donc deux (c) : celui de la page 22 et celui-ci de sorte que la condition devient q\,m = p\,n i.e. \frac{q}{p} = \frac{n}{m} = \frac{n'}{m'} si m' = \dfrac{m}{(m,n)}, n' = \dfrac{n}{(m,n)}, donc on aura p = \struck{\ill{}}\ t\,m' , \qquad q = t\,n' \qquad (t \in k) on lit « q = t\,m' » ; la relation q/p = n'/m' demande t\,n', que nous gardons. Même glissement possible des lettres, sur la page, entre m et n Or pour p, q correspondant à un t (d'ailleurs unique) dès que déterminés par p, q l'hom. \alpha qui leur correspond est déterminé mod. un \operatorname{Hom}(\Psi^{i}, \Psi^{i-1}) = 0, donc est unique. On trouve donc \operatorname{Hom}(\Phi(i,n), \Phi(i,m)) \simeq k .

Car j = i-1le i-1 est récrit sur un autre indice (peut-être i+1) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \Psi^{i-1} \arrow[r] \arrow[d, "u\circ d"] & \Phi^{i} \arrow[r] \arrow[d] & \Psi^{i} \arrow[d, no head, "="] & \\ 0 \arrow[r] & \Psi^{i-1} \arrow[r, "D"] \arrow[d, "\wr"] & \Phi(i,-) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha=?"] & \Psi^{i} \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & 0 \\ 0 \arrow[r] & \Psi^{i-1} \arrow[r] & \Phi(i,m) \arrow[r, "u"] & \Psi^{i} \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

la ligne du bas est surchargée : les exposants de \Psi ont été récrits (on lit sous la correction i+2 à gauche et un indice biffé à droite), et le second argument de \Phi se lit m, le premier peut-être i-1 corrigé en i ; nous donnons la lecture qui s'accorde avec la suite de la page, où m et n interviennent

Le composé \Phi^{i} \to \Phi(i,-) \to \Phi(i-1,-) \to \Psi^{i}lecture de la chaîne incertaine est nul car \underline{\mathrm{Hom}}(\Phi^{i}, \Psi^{i-1}) = 0 ; \theta = u\alpha D : donc l'hom. ~~\Psi^{i} \to \Psi^{i}~~ \Psi^{i-1} \to \Psi^{i-1} composé id est nul, i.e. u\theta = 0, or \underline{\mathrm{Hom}}(\Psi^{i-1}, \Psi^{i-1}) \simeq k, donc \theta = 0, donc \alpha respecte la structure d'extension, et on fait comme plus haut pour conclure \alpha = 0. Donc on retrouve \underline{\mathrm{Hom}}(\Phi(i,-), \Phi(j,-)) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i, i+1 \\ k & \text{si } j = i+1 \\ k & \text{si } j = i \end{cases} en regard des deux dernières lignes de l'accolade : pour j = i+1, « (base en consid. l'hom. can. \Phi(i,-) \to \Psi^{i} \to \Phi(i+1,-)) » ; pour j = i, « (engendré par respectant la struct. d'ext.) »

et étant déterminé par ce qu'il induit sur \Psi^{i} et \Psi^{i-1}, qui sont deux éléments de la forme t\,m'\,\mathrm{id}_{\Psi^{i-1}} et t\,n'\,\mathrm{id}_{\Psi^{i}}), où n' = \frac{n}{(m,n)}, \qquad m' = \frac{m}{(m,n)} (il y a une base can. une fois qu'on a choisi le pgcd (m,n) de m et n).

\underline{\mathrm{Hom}}(\Phi(i,-), \Psi^{j}) \subset \underline{\mathrm{Hom}}(\Phi(i,-), \Phi^{j+1}) sous \Phi^{j+1}, un signe \wr et \Phi(j+1,-) = 0 si j+1 \neq i, i+1, i.e. si j \neq i-1, i ; \underline{\mathrm{Hom}}(\Psi^{i-1}, \Psi^{j}) = 0 \quad \text{si } j \neq i-1 . une flèche verticale descend du premier \underline{\mathrm{Hom}} vers cette ligne

Si donc j = i, \underline{\mathrm{Hom}}(\Phi(i,-), \Psi^{i}) \hookrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\Phi^{i}, \Psi^{i}) \simeq k (base l'hom. can.).

Si j = i-1 :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \Psi^{i-1} \arrow[r] \arrow[d, "u\circ d"] & \Phi^{i}(k) \arrow[r] \arrow[d] & \Psi^{i} \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\ 0 \arrow[r] & \Psi^{i-1} \arrow[r, "i"] & \Phi(i,-) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha=?"] & \Psi^{i} \arrow[r] & 0 \\ & & \Psi^{i-1} & & \end{tikzcd}

l'argument de \Phi^{i} dans la ligne du haut est surchargé ; « (k) » est une lecture douteuse

Le composé de \alpha i avec \Phi^{i} \to \Phi(i,-)sous la flèche, un mot biffé (u\circ d) et \Psi^{i} est dans \underline{\mathrm{Hom}}(\Phi^{i}, \Psi^{i-1}) = 0, donc ~~u\alpha i \in \underline{\mathrm{Hom}}~~ \alpha i \circ u\,\mathrm{id}_{\Psi^{i-1}} = u(\alpha i) \in \underline{\mathrm{Hom}}(\Psi^{i-1}, \Psi^{i-1}) est nul, or comme \underline{\mathrm{Hom}}(\Psi^{i-1}, \Psi^{i-1}) \simeq k, on voit que \alpha i = 0, donc \alpha provient d'une flèche par \Psi^{i} \to \Psi^{i-1}, donc est nul. Donc \underline{\mathrm{Hom}}(\Phi(i,-), \Psi^{j}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i \\ \simeq k & \text{si } j = i \end{cases} en regard de la seconde ligne : « (base l'hom. can. \Phi(i,-) \to \Psi^{i}) »

\underline{\mathrm{Hom}}(\Psi^{i}, \Phi(j,-)) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\Psi^{i}, \Psi^{j}) sous le second membre, « \wr » puis « 0 si j \neq i » ; sous le premier, un mot « » en petits caractères donc si j \neq i, \underline{\mathrm{Hom}}(\Psi^{i}, \Phi(j,-)) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\Psi^{i}, \Psi^{j-1}) qui est nul si i \neq j-1 i.e. j \neq i+1 ; si j = i+1, on trouve \simeq k.

Pour j = i, le composé \Psi^{i} \to \Phi(i,-) \xrightarrow{\text{can}} \Psi^{i} est de la forme d.\mathrm{id}_{\Psi^{i}}, donc l'image inverse de l'extension

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & & & \Psi^{i} \arrow[d, "\alpha"'] \arrow[dr] & \\ 0 \arrow[r] & \Psi^{i-1} \arrow[r] & \Phi(j,-) \arrow[r] & \Psi^{i} \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

le diagramme est à gauche de la page, dessiné plus librement : \Psi^{i} en haut, une flèche \alpha vers le bas et une oblique ; nous le redessinons

\Phi(i,-) est de classe d\,e_{n} = d\,u\,e_{i}indices douteux, qui est nulle, donc d\,e_{i} = 0, donc d = 0, donc \alpha se factorise par \Psi^{i} \to \Psi^{i-1}, donc est nul.

~~Pour j = i+1, … = \underline{\mathrm{Hom}}(~~

Donc \underline{\mathrm{Hom}}(\Psi^{i}, \Phi(j,-)) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i+1 \\ k & \text{si } j = i+1 \end{cases} en regard de la seconde ligne : « (base formée de l'hom. can. \Psi^{i} \to \Phi(i+1,-)) » ; avant la formule, un \underline{\mathrm{Hom}}( biffé. Un trait ondulé sépare ensuite la page

Ensuite supposons …

(d)« d » cerclé en tête de ligne, avec un trait vertical dans la marge gauche sur les lignes qui suivent de C de la forme finie d'objets de la forme \Phi(i,n) (n \geq 1) ou \Psi^{j} (j \geq 0).

En outre on sait que si A est la sous-catégorie pleine de C engendrée par les \Phi(i,-) et les \Psi^{i}, alors C est connue à équivalence près (déf. ) si on connaît A avec sa structure ½ additive. Or c'est elle que nous venons d'étudier (on a omis de décrire la composition des morphismes, qui est évidente…).« elle » est ajouté en interligne On trouve donc que C \simeq groupes ½ simpliciaux abéliens \partial-parfaits….

La chose intéressante : faire d'un la \otimes-structure et les opérations \Gamma^{i}.

Soit C une catégorie, A une sous-catégorie pleine.« pleine » ajouté en interligne Considérons le foncteur composé C \xrightarrow{\text{can}} \widehat{C} \xrightarrow{\text{rest.}} \widehat{A} = \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, \mathrm{Ens}) un arc sous la flèche composée porte \rho si tout objet X de C est \underline{\lim} dans C d'un diagramme de A (ce qui revient au même, X \simeq \varinjlim_{Y \in \mathrm{Ob}(A/X)} Yla limite est soulignée d'un trait simple, sans flèche lisible ; nous la rendons par \varinjlim, la limite canonique sur A/X, et la variable est écrite au-dessous), alors le foncteur \rho est pl. fidèle (mais pas nécess. A). Si C est additive, le diagramme ci-dessus se complète en

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] C \arrow[r, "c_{ab}"] \arrow[dr, "c"'] \arrow[rr, bend left=30, "\rho_{ab}"] & \widehat{C}_{ab} \arrow[r, "\text{rest.}\,\rho_{ab}"] \arrow[d, "\text{oubli}\ \omega_C"] & \widehat{A}_{ab} \arrow[d, "\text{oubli}\ \omega_A"] \\ & \widehat{C} \arrow[r, "\text{rest}\,\rho"] & \widehat{A} \end{tikzcd}

un grand arc passant sous le diagramme, de C à \widehat{A}, porte \rho ; nous l'omettons. Dans la marge gauche, en oblique : « i.e. structure sur C »

avec \omega_A fidèle, d'où il résulte que \rho_{ab} est aussi pl. fidèle. [C'est le cas en particulier si tout X \in C est \simeq somme d'objets de C.]sic, on attendrait « de A »

Supposons de plus que tout X \in C est aussi somme d'une \varprojlim dans C d'objets de C.la \lim porte ici une flèche vers la gauche Alors l'image essentielle de C dans \widehat{A} (resp. \widehat{A}_{ab}) est contenue dans la sous-cat. pleine de \widehat{A} resp. \widehat{A}_{ab} formée des foncteurs

qui sont \varprojlim du type envisagé de foncteurs représentables (dans \widehat{A} ou \widehat{A}_{ab} resp., pour dans \widehat{A}_{ab} — la structure ½ additive de A héritée par son plongement dans C additive). Lorsque de plus C est stable par ce type de \varprojlim (p.ex. des produits finis), alors on a une équivalence entre C et la cat. des foncteurs A^{\circ} \to \mathrm{Ens} (resp. A^{\circ} \to \mathrm{Ab}) qui sont de telles \varprojlim de foncteurs représentables. ~~[Si p.ex. A est réduit à un objet dans C au C additive, resp. si A objet~~ ces lignes sont barrées d'un trait ondulé Si p.ex. C est additive, donc A induit sur A une structure ½ additive, et si tout objet de C est isomorphe à une somme finie directe d'objets de A, alors C \simeq sous-cat. pleine de \widehat{A}_{ab} (foncteurs additifs contravariants de A dans \mathrm{Ab}) formée des foncteurs isom. à une somme directe finie de foncteurs repr.

(Si A est réduit à un objet A seul d'anneau d'endomorphismes k, on trouve une équivalence avec la cat. des k-modules à droite libres de type fini, par X \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}(A, X)).

Transformons par dualité en conséq. : si tout objet de C est \varprojlim d'objets de A, alors le foncteur canonique r^{\circ} : C^{\circ} \longrightarrow \widehat{A^{\circ}} \quad (\text{resp. } \widehat{A^{\circ}}_{ab}) vers les foncteurs \underline{\mathrm{Hom}}(A, \mathrm{Ens}) (resp. \underline{\mathrm{Hom}}(A, \mathrm{Ab})) covariants sur A à valeurs dans \mathrm{Ens} (resp. \mathrm{Ab}) est pl. fidèle. Si de plus tout objet de C est \varprojlim de certain type d'objets de C, alors l'image essentielle est contenue dans la sous-cat. pleine de \widehat{A^{\circ}} (resp. \widehat{A^{\circ}}_{ab}) formée des foncteurs A \to \mathrm{Ens} (resp. A \to \mathrm{Ab}) qui sont \varprojlim des deux types de foncteurs représentables — et l'image essentielle est égale à cette dernière catégorie si

C est stable par les limites projectives du type envisagé.

En particulier, on trouve

Prop. Soient C une cat. (resp. cat. additive), A une sous-cat. pleine, \mathcal{T}, \mathcal{T}' deux sous-ens. ~~catégories pleines~~ de \mathrm{Ob}(\mathrm{Cat}), supposons que C soit stable par \varprojlim de type \mathcal{T} et \varinjlim de type \mathcal{T}', et que tout objet de C soit une \varprojlim dans C de type \mathcal{T} d'objets de A, et une \varinjlim dans C de type \mathcal{T}' d'objets de A. Alors C est équivalente à la fois à la sous-cat. pleine de \widehat{A} (= \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, \mathrm{Ens})) (resp. \widehat{A}_{ab} = \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, \mathrm{Ab})) formée des foncteurs A^{\circ} \to \mathrm{Ens} (resp. A^{\circ} \to \mathrm{Ab}) qui sont \varprojlim ~~de type \mathcal{T}~~ de type \mathcal{T} de foncteurs repr., et à la cat. opposée de la sous-catégorie pleine de \widehat{A^{\circ}} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(A, \mathrm{Ens}) (resp. \widehat{A^{\circ}}_{ab} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(A, \mathrm{Ab})) qui sont ~~objets des~~ \varinjlim de type \mathcal{T}' de foncteurs représentables.sur les pages 28 à 33, les flèches sous les \lim sont celles de la page, là où elles se lisent ; sur cette page les deux sens figurent, \mathcal{T} avec la flèche vers la gauche, \mathcal{T}' avec la flèche double

En fait, on trouve un diagr. ess. commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal] & A \subset C \arrow[dl, "\mathrm{id}"'] \arrow[d, "\rho\ \wr"] \arrow[dr, "\mathrm{id}"] \arrow[drr, "\rho'\ \wr"] & & \\ A \subset \widehat{A}_{\mathcal{T}} \subset \widehat{A} & A \arrow[r, hook] & (\widehat{A^{\circ}}_{\mathcal{T}'})^{\circ} \arrow[r, hook] & (\widehat{A^{\circ}})^{\circ} \end{tikzcd}

nous redessinons : sur la page, les quatre flèches partent de A \subset C vers la ligne du bas ; celle marquée \rho\ \wr aboutit à \widehat{A}_{\mathcal{T}}, celle marquée \rho'\ \wr à (\widehat{A^{\circ}}_{\mathcal{T}'})^{\circ}

(resp. avec \widehat{A}_{ab} et \widehat{A^{\circ}}_{ab}). On trouve en particulier une équivalence remarquable \widehat{A}_{\mathcal{T}} \simeq (\widehat{A^{\circ}}_{\mathcal{T}'})^{\circ} qui exige d'être définie intrinsèquement uniquement en termes de A, \mathcal{T}, \mathcal{T}', i.e. chaque fois qu'on a une sous-cat. D de \widehat{A} (resp. une sous-cat. additive de \widehat{A}_{ab}), stable par les \varprojlim de type \mathcal{T}, et dans \widehat{A} où on construit les \varinjlim de type \mathcal{T}' (pas nécess. les mêmes que dans \widehat{A} !) et telle que tout objet soit à la fois \varprojlim de type \mathcal{T} dans C de foncteurs repr., et \varinjlim de type \mathcal{T}' dans C de tels foncteurs.

Si A est réduit à un seul objet A, et (dans le cas resp. (C additive)) \mathcal{T} = \mathcal{T}' = ens. catégories discrètes finies, on trouve une antiéquivalence entre cat. modules libres de t.f. à gauche

et droite sur k = \mathrm{End}(A), et la dualité antiéquivalence n'est autre que la dualité de tels modules.

Revenons à la condition où tout objet de C est une \varinjlim de C de type \mathcal{T}' d'objets de A. Alors si catégorie C' où les limites existent, si \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{T}'}(C, C') est la sous-catégorie pleine des \underline{\mathrm{Hom}}(C', C')sic formée des foncteurs qui commutent aux \varinjlim, on trouve que \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{T}'}(C, C') \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(A, C') est pl. fidèle ~~une équivalence de cat. si C est \varinjlim~~.à vérifierle passage biffé l'est de deux traits, le second mot sous une rature épaisse ; « à vérifier » est écrit dans la marge gauche, séparé du texte par un trait vertical Supposons C additive, et \mathcal{T} l'ens. des cat. discrètes finies — donc tout objet de C est somme d'objets de A, alors on trouve, si C' additive, \underline{\mathrm{Hom}}_{add}(C, C') \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A, C') . Si on applique ça à l'inclusion C \xrightarrow{\text{incl}} \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A^{\circ}, \mathrm{Ab}) avant \underline{\mathrm{Hom}}, un \widehat{A}_{ab} biffé et désignons par D_Cune lettre surchargée après D_C l'image essentielle, on trouve donc

\underline{\mathrm{Hom}}_{add}(D, C') \xrightarrow{\ \approx\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A, C') d'où un foncteur inverse \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A, C') \xrightarrow{\ \approx\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{add}(D, C') d'où un accouplement \begin{array}{cl} D & \times\ \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A, C') \longrightarrow C' \\ \cap & \\ \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A^{\circ}, \mathrm{Ab}) & \end{array} qu'on note par ex. (F, G) \longmapsto F \otimes_{C} G [dans le cas où A est réduit à un objet, donc avec sa str. ½ add. est défini par un anneau k, F est un k-module à droite libre de t.f., G est un objet de C' où k opère (i.e. un k-C'-module à gauche) et F \otimes G est le produit tensoriel « ordinaire ».]le crochet n'est pas refermé sur la page

Si on considère alors le plongement dual C \xrightarrow{\ \approx\ } D'^{\circ} \subset \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A, \mathrm{Ab})^{\circ} , on trouve \underline{\mathrm{Hom}}_{add}(D'^{\circ}, C') \xrightarrow{\ \approx\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A, C') d'où sous la ligne, une flèche courbe revient de droite à gauche, marquée \approx : le foncteur inverse, comme en tête de page

i.e. \begin{array}{cl} D'^{\circ} & \times\ \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A, C') \longrightarrow C' \\ \cap & \\ \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A, \mathrm{Ab})^{\circ} & \end{array} noté \underline{\mathrm{Hom}}_{C}(F, G) . une ligne de tirets, puis un trait horizontal, séparent la suite

On suppose maintenant qu'on a une catégorie \mathcal{S}, une sous-catégorie pl. C de \mathcal{S}_{ab} stable par sommes directes (donc C est additive) et une sous-catégorie pleine A de C telle que tout objet de C soit isomorphe dans C donc dans \mathcal{S}_{ab} à une somme directe finie d'objets de A.les compléments entre crochets obliques sont des ajouts en interligne

On a alors \mathcal{S}^{\circ} \longrightarrow \struck{\ill{}}\ \underline{\mathrm{Hom}}_{add}(C, \mathrm{Ab}) en associant à X \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{S} le foncteur M \longmapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{S}}(X, M).le « \mathcal{S}^{\circ} » est récrit sur une autre lettre ; devant, un signe « \alpha » Or ce foncteur est connu à équiv. près quand on connaît son image dans \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A, \mathrm{Ab}), donc c'est C est équivalente à celle des

\mathcal{S}^{\circ} \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A, \mathrm{Ab}) Nous ferons cette étude dans le cas où \mathcal{S} = \widehat{\Delta} = \mathrm{Ss}, et dans chacun des 2 cas suivants :

1°)C abéliennela note marginale est reliée par un trait au « 1° » C est formé des groupes ab. ½ simpliciaux ab. \partial-parfaits , A est la sous-catégorie formée des \Phi(i,n) (n \in \mathbf{N}^{*} , i \geq 1) et \Lambda T_{\bullet} (j \geq 0) ;le dernier symbole est surchargé ; lecture douteuse on note X_{\bullet} \in \mathrm{Ob}\,\widehat{\Delta} fixé. On note que la connaissance des \underline{\mathrm{Hom}}_{\widehat{\Delta}}(X_{\bullet}, M_{\bullet}) comme foncteur en M_{\bullet} est réduite covariant en M_{\bullet} à celle de \underline{\mathrm{Hom}}_{\widehat{\Delta}}(X_{\bullet}, \varphi) pour \varphi dans A. On peut même \varphi dans A_0 défini ci-dessous \varphi , et pour \varphi parcourant les \Phi^{i}.

2°)(C_0 est additive mais non abélienne.) C_0 formée des groupes ab. ½ simpliciaux apériodiques (i.e. \in C et les \pi_i(\ldots) sont sans torsion), A_0 \subset C_0 sous-cat. de ceux qui sont de la forme \Phi^{i} = \dot{\Lambda}\Phi_{\bullet} \ (i \geq 1), \qquad \Psi^{j} = \Lambda T_{\bullet} \ (j \geq 0). les deux dernières formules sont très surchargées (un symbole biffé après \dot{\Lambda}\Phi) ; les seconds membres sont des lectures douteuses

Il y a lieu de travailler 1°) au cas où un anneau de base k de Dedekind, (év. ) et 2°) avec la généralité (donc C \subset \widehat{\Delta}_{k\text{-}\mathrm{mod}}). La situation conduisant à retenir, c'est que la connaissance des homs de X_{\bullet} dans les k-modules sh. parfaits M (comme foncteur de M), elle qui connaît le complexe de cochaînes « non dég. » C^{*}(X_{\bullet}, k) et dans k. Notre propos principal est comment reconstituer la structure multiplicative « » sur ce foncteur M_{\bullet} \longmapsto F_{X_\bullet}(M_\bullet) = F(M_\bullet) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\widehat{\Delta}}(X_\bullet, M_\bullet) i.e. les homs \begin{cases} F(M_\bullet) \otimes_{k} F(N_\bullet) \longrightarrow F(M_\bullet \otimes N_\bullet) \\ \Gamma^{i} F(M_\bullet) \longrightarrow F(\Gamma^{i}(M_\bullet)) \end{cases} dans la seconde ligne, un symbole biffé à l'intérieur de la première parenthèse ; le \Gamma^{i} initial se lit sur un trait surchargé en tant que structures de cochaînes sur le complexe C^{*} = C^{*!}(X_\bullet, k). deux traits verticaux dans la marge gauche, en regard de la dernière phrase Il faudrait examiner si pour le cas C^{*} connu structures supplém.

est déterminée par le complexe de De Rham-Sullivan de X_\bullet, et dans le cas k quelconque (et cas 2° disons) — le principe est que 1°) il est déterminé par les complexes de De Rham à p.d. ~~Enfin,~~ ~~il y a~~ (il est clair que C^{*} avec les structures suppl. envisagées rectifiant les complexes de De Rham-Sullivan resp. le complexe de De Rham à p.d.) Enfin, il faut voir dans quelle mesure C^{*} avec ses structures multiplicatives à p.d. permet de reconstituer le type d'homotopie du X_\bullet dont il provient. (Enfin, bien sûr faisceautiser et relativiser… !!!)

le reste du feuillet est blanc, à part deux traits verticaux dans la marge droite

Soit k anneau commutatif \mathbb{K} une catégorie k-additive (i.e. additive, munie de k \to \mathrm{End}(\mathrm{id}_{\mathbb{K}})), \mathbb{C}^{\bullet} un complexe de cochaînes dans \mathbb{K} 0 \to \mathbb{C}^{0} \xrightarrow{d^{0}} \mathbb{C}^{1} \xrightarrow{d^{1}} \cdots \to \mathbb{C}^{i} \xrightarrow{d^{i}} \mathbb{C}^{i+1} \to \cdots On suppose :

a) \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{i}, \mathbb{C}^{j}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i, i+1 \\ k & \text{si } j = i, \text{ base } \mathrm{id}_{\mathbb{C}^{i}} \\ k & \text{si } j = i+1, \text{ base } d^{i} \end{cases}

b) Tout objet de \mathbb{K} est isomorphe à une somme finie d'objets de la forme \mathbb{C}^{i}.

Soit \mathcal{A} la sous-catégorie pleine de \mathbb{K} formée des \mathbb{C}^{i} ; elle n'est pas additive, mais hérite d'une structure k-linéaire, i.e. les \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}} sont des k-modules, la composition est k-bil.

E L'existence de (\mathbb{K}, \mathbb{C}^{\bullet}) satisfaisant a) et b) est immédiate par construction « abstraite ». On peut aussi réaliser \mathbb{K} comme la cat. des complexes de chaînes bornés de k-modules satisfaisant les conditions

1°) L_\bullet est acyclique i.e. H_i(L_\bullet) = 0 \forall\, i \geq 0 2°)L_n et Z_n(L_\bullet) sont libres de t.f. pour tout n 3°)L_n est nul pour n grand.

On prendra alors \mathbb{C}^{i} = C^{i}_{\bullet} = \lbrace \cdots 0 \to 0 \to \underset{\text{degré } i+1}{k} \xrightarrow{\ \mathrm{id}\ } \underset{\text{degré } i}{k} \to 0 \to \cdots \to 0 \rbrace au-dessus du « 0 » de droite, « degré 0 » ; avant C^{i}_{\bullet}, un premier membre \mathbb{K}(\ldots) est biffé i.e. les comp. sont nulles sauf en degré i, i+1 où elles sont k, et l'opér. diff. d_{i+1} est l'identité. On prend d^{i} : \mathbb{C}^{i} \to \mathbb{C}^{i+1} caractérisé par (d^{i})_{i+1} = \mathrm{id}_k. Les conditions a) et b) sont satisfaites trivialement. On pourrait aussi travailler dans des complexes de cochaînes : le plus, dans toute la marge gauche, une colonne de petits complexes dessinés verticalement (flèches d, 0, accolades, un \Sigma), avec les mentions obliques « degré i+1 », « degré i », « degré 0 », qui illustrent les C^{i}_{\bullet} ; une ligne de ce croquis rejoint le bas de la page. Non redessiné

la moitié supérieure de la page est barrée de trois longues diagonales ; elle se lit et est transcrite en entier [\mathcal{C} catégorie] des k-modules ½ simpliciaux L_* qui sont flasques et str. \partial-parfaits, i.e. qui satisfont ~~aux~~ ~~deux~~ conditions équivalentes

a)L_* est isomorphe à une somme directe finie de modules ½ simpliciaux C^{i}_{*} = \Lambda^{i+1}\Phi_{*k} (i \geq 0)sous cette formule, une seconde biffée et surchargée, \Phi(i)_{*} = \Lambda^{i}\Phi_{*} \ldots (i \geq 1), avec « = C^{i-1}_{*} » au-dessous b)Les L_n sont libres de type fini, de rang constant sur \operatorname{Spec} k, la fonction n \mapsto \operatorname{rg}_k L_n est polynomiale pour n grand, L_* est flasque i.e. \pi_i(L_*) = 0 pour i \geq 0.

On suppose k anneau de Dedekind (proj. de type fini sur k libres par le principal)note oblique dans la marge gauche, en regard de a) ; lecture très incertaine

\mathcal{A} \subset \mathcal{C} la sous-catégorie pleine formée des C^{i}_{*}.

NB \mathcal{C} est additive (et k-linéaire), \mathcal{A} n'est pas stable par sommes finies, mais hérite une structure k-linéaire. On a \underline{\mathrm{Hom}}(C^{i}_{*}, C^{j}_{*}) = \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i, i+1 \\ k & \text{si } j = i, \text{ base } \mathrm{id}_{C^{i}_{*}} \\ k & \text{si } j = i+1, \text{ base } d^{i} = T_{*}\wedge \end{cases} Notons que ~~C^{i}_{*} \ldots C^{i}_{*}~~ une ligne entière biffée et surchargée C^{\bullet}_{*} = (C^{i}_{*}, T_{*}\wedge) est un complexe de cochaînes dans \mathcal{A} ou dans \mathcal{C} ou dans \widehat{\Delta}_{k\text{-lin}} — il jouera le rôle du complexe de cochaînes universel.

Prop 1 Soit \mathcal{B} une catégorie k-additive ~~additive~~. Alors \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{C}, \mathcal{B}) \xrightarrow[\ \approx\ ]{\text{rest}} \underline{\mathrm{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{A}, \mathcal{B}) sous le premier \underline{\mathrm{Hom}}, l'indice « k-lin » est biffé et, par F \mapsto F(C^{\bullet}_{*}), le second est \approx à \mathcal{B}^{\bullet}_{k} = cat. des complexes de cochaînes de \mathcal{B}.« complexes de » est entouré

~~Soit K^{\bullet} \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{B}^{*} un complexe de cochaînes de \mathcal{B}~~

Exemple 1 [Faisons \mathcal{B} = \mathit{Ab}_k.] Soit L_\bullet \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}, considérons le foncteur cov. qu'il représente \mathcal{C} \longrightarrow \mathit{Ab}_k, \qquad M_* \longmapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(L_*, M_*) ; on a donc un foncteur pl. fid. (vu sur des foncteurs repr. …) \mathcal{C}^{\circ} \hookrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{C}, \mathit{Ab}_k) \xrightarrow{\ \approx\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{ac}}(\mathcal{A}, \mathit{Ab}_k) \xrightarrow{\ \approx\ } \mathit{Ab}_k^{\bullet} l'indice du dernier \underline{\mathrm{Hom}} se lit « ac » ou « k-lin », lecture douteuse la page 41 (lot 3) reprend : « On trouve donc un foncteur pl. fid. \mathcal{C}^{\circ} \hookrightarrow \mathit{Ab}_k^{\bullet} »