Cote n° 137 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Dévissage des complexes ½ simpliciaux ∂ - parfaits et structures multiplicatives… (1975 ou 1976) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1975-1976]
Édition de démonstration

21\[ \operatorname{Hom}_{k}(\Lambda^{i}\Psi_{*}, \Lambda^{j}\Psi_{*}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i \\ k & \text{si } j = i \end{cases} \] de façon précise \[ \operatorname{Hom}_{k}(\Lambda^{i}\Psi_{*}, \Lambda^{i}\Psi_{*}) = k\,\mathrm{id}_{\Lambda^{i}\Psi_{*}} \simeq k , \] et \[ \operatorname{Hom}_{k}(\Lambda^{i}\Psi_{*}, \Phi_{\bullet}(j,n)) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i+1 \\ k & \text{si } j = i+1 \end{cases} \] dans la première ligne de l'accolade, un symbole biffé avant « \(i+1\) » en particulier \[ \operatorname{Hom}_{k}(\Lambda^{i}\Psi_{*}, \Lambda^{j}\Phi_{*}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i+1 \\ k & \text{si } j = i+1 \end{cases} \] l'exposant du second argument est surchargé (\(j\) corrigé ?) et \[ \operatorname{Hom}_{k}(\Lambda^{i}\Psi_{*}, \Lambda^{i+1}\Phi_{*}) = k\,\partial \simeq k \] où \(\partial : \Lambda^{i}\Psi_{*} \hookrightarrow \Lambda^{i+1}\Phi_{*}\) est l'inclusion canonique.

NB On a une [homom. de] suites exactes canoniques

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
0 \arrow[r] & \Lambda^{i-1}\Psi_{*} \arrow[r] \arrow[d, "n\,\mathrm{id}"] & \Lambda^{i}\Phi_{*} \arrow[r] \arrow[d] & \Lambda^{i}\Psi_{*} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\mathrm{id}"] & 0 \\
0 \arrow[r] & \Lambda^{i-1}\Psi_{*} \arrow[r] & \Phi_{\bullet}(i,n) \arrow[r] & \Lambda^{i}\Psi_{*} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

la flèche verticale médiane porte « \(=\) » biffé et une flèche ; celle de droite est doublée, marquée « id »

qui montre que \(\Phi_{\bullet}(i,n) \to\) […] cat. se déduit de [[…] cat.] \(\Lambda^{i}\Phi_{*}\) de \(\Lambda^{i}\Psi_{*}\) par \(\Lambda^{i-1}\Psi_{*}\) par l'hom. \(n\,\mathrm{id} : \Lambda^{i-1}\Psi_{*} \to \Lambda^{i-1}\Psi_{*}\).passage rapide ; « cat. » est peut-être l'abréviation de « extension canonique »

22feuillet double, écrit en deux colonnes ; la colonne de gauche est donnée d'abord

En résumé. Dans la catégorie [\(k\)-lin. \(\mathcal{C}\)] abélienne de tous les \(k\)-modules ½ simpliciaux, ceux qui sont [str. \(\partial\)-]parfaits forment une sous-catégorie additive \(\mathcal{C}_0\) […], dans laquelle on a un complexe de cochaînes \[ 0 \to \Phi^{0} \to \Phi^{1} \to \Phi^{2} \to \cdots \to \Phi^{i} \xrightarrow{\ \partial_i\ } \Phi^{i+1} \to \cdots \] chaque exposant est récrit sur une première lecture, peut-être d'autres indices ; les \(\Phi^{i} = \Lambda^{i+1}\Phi_{*}\) du lot 1 satisfaisant à ceci :

1. (a)Complexe tot. acyclique dans \(\mathcal{C}\), […]
2. (b)Pour tout \(i, j \geq 0\), on a \[ \operatorname{Hom}(\Phi^{i}, \Phi^{j}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i, i+1 \\ \simeq k \ (\text{engendré par } \mathrm{id}) & \text{si } j = i \\ \simeq k \ (\text{engendré par } \partial_i) & \text{si } j = i+1 \end{cases} \]
3. (c)Posant \(\Psi^{i} = Z^{i+1}(\Phi^{\bullet}) = \operatorname{Ker}(\Phi^{i+1} \xrightarrow{\partial_{i+1}} \Phi^{i+2}) \simeq \operatorname{Coker}_{\mathcal{C}}(\Phi^{i-1} \xrightarrow{\partial_{i-1}} \Phi^{i})\), on a donc \(\operatorname{Hom}(\Psi^{i}\)

(a), (b), (c) sont cerclés ; le (c) est surchargé. Les indices de \(Z\) et de \(\operatorname{Ker}\) sont d'une lecture douteuse. Dans la marge gauche, en regard de (c) : « unicité de (c) » \[ \Psi^{0} \simeq \Phi^{0} \] \[ (*) \qquad 0 \to \Psi^{i-1} \xrightarrow{\ \partial_i\ } \Phi^{i} \xrightarrow{\ u_i\ } \Psi^{i} \to 0 \qquad \text{ext.\ can.} \] sous cette suite, un croquis : \(\Phi^{i-1} \xrightarrow{u} \Psi^{i-1}\) (flèche montante), des obliques \(\partial_{i-1}\) vers \(\Phi^{i}\) et \(\partial_i\) de \(\Phi^{i}\) vers \(\Phi^{i+1}\), et une flèche descendante \(\Psi^{i} \hookrightarrow \Phi^{i+1}\) \[ \begin{aligned} &\operatorname{Hom}(\Psi^{i}, \Psi^{j}) \ (\subset \operatorname{Hom}(\Phi^{i}, \Phi^{j+1})) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i \\ k & \text{si } j = i \ (\text{base } \mathrm{id}) \end{cases} \\ &\operatorname{Hom}(\Phi^{i}, \Psi^{j}) \ (\subset \operatorname{Hom}(\Phi^{i}, \Phi^{j+1})) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i \\ k & \text{si } j = i \ (\text{base } u_i) \end{cases} \\ &\operatorname{Hom}(\Psi^{i}, \Phi^{j}) \ (\subset \operatorname{Hom}(\Phi^{i}, \Phi^{j})) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i+1 \ (i \neq 0) \\ k & \text{si } j = i+1 \ (\text{base } \partial_i) \\ k & \text{si } j = i = 0 \ (\text{base } \mathrm{id}) \end{cases} \end{aligned} \] dans la première accolade, le second membre de « \(j \neq i\) » est surchargé ; dans la deuxième, on lit « \(j = \theta\) » pour \(j = i\)

d) Soit, […] pour \(n \in k - 0\), [et \(i \geq 1\)], \(\Phi(i,n)\) l'ext. de \(\Psi^{i}\) par \(\Psi^{i-1}\) déduite de l'ext. \(\Phi^{i}\) \((*)\) par \(n\,\mathrm{id}_{\Psi^{i-1}}\), de sorte qu'on a un homom. de suites ex. courtes

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
0 \arrow[r] & \Psi^{i-1} \arrow[r, "\partial_i"] \arrow[d, "n\,\mathrm{id}"] & \Phi^{i} \arrow[r, "u_i"] \arrow[d] & \Psi^{i} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{id}"] & 0 \\
0 \arrow[r] & \Psi^{i-1} \arrow[r] & \Phi(i,n) \arrow[r] & \Psi^{i} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

(NB \(\Phi(i,1) = \Phi^{i}\).)ce diagramme ouvre la colonne de droite on a aussi \(0 \to \Psi^{i-1} \to \Phi(i,n) \to \Psi^{i} \to 0\) au-dessus de \(0 \to \Psi^{i-1} \to \Phi^{i} \to \Psi^{i} \to 0\), flèches \(n\,\mathrm{id}\), \(\rho\), \(\mathrm{id}\)écrit en petit en haut à droite, relié par un trait oblique au \(\operatorname{Hom}\) qui suit ; lecture douteuse Alors on a \[ \operatorname{Hom}(\Phi(i,-), \Phi(j,-)) \to \operatorname{Hom}(\Psi^{i-1}, \Psi^{j}) \] et si \(j \neq i+1\), ce dernier Hom est nul, donc si \(j \neq i+1\), la structure d'extension est respectée par tout homom. \(\Phi(i,-) \to \Phi(j,-)\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
0 \arrow[r] & \Psi^{i-1} \arrow[r] \arrow[d] & \Phi(i,-) \arrow[r] \arrow[d] & \Psi^{i} \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
0 \arrow[r] & \Psi^{j-1} \arrow[r] & \Phi(j,-) \arrow[r] & \Psi^{j} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

de plus si \(j \neq i\), les flèches extrêmes étant nulles, donc on trouve \[ \operatorname{Hom}(\Phi(i,n), \Phi(j,m)) \xleftarrow{\ \approx\ } \operatorname{Hom}(\Psi^{i}, \Psi^{j-1}) \simeq \begin{cases} k & \text{cas } j = i+1 \\ 0 & \text{si } j \neq i+1 \end{cases} \] engendré par le comp. \(\Phi(i,n) \to \Psi^{i} \to \Phi(i+1,m)\)note oblique entourée dans la marge gauche de la colonne, reliée au cas \(j = i+1\)

Cas \(j = i\). Tout homom. induit un \(p\,\mathrm{id}\) sur \(\Psi^{i-1}\) et \(q\,\mathrm{id}\) sur \(\Psi^{i}\),

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
0 \arrow[r] & \Psi^{i-1} \arrow[r] \arrow[d, "p\,\mathrm{id}"] & \Phi(i,n) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha"] & \Psi^{i} \arrow[r] \arrow[d, "q\,\mathrm{id}"] & 0 \\
0 \arrow[r] & \Psi^{i-1} \arrow[r] & \Phi(i,m) \arrow[r] & \Psi^{i} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

déterminés par définition par \(\alpha\). On a alors (puisque par définition \(\alpha\) est défini par \(p\) et \(q\)) que l'élément de \(\operatorname{Ext}^{1}(\Psi^{i}, \Psi^{i-1})\) défini par \(q^{*}(e_{i,m}) - p_{*}(e_{i,n})\) (où \(e_{i,m}\), \(e_{i,n}\) définissent resp. les ext. \(\Phi(i,-)\), \(\Phi(i,m)\)) le bas de la colonne est très serré ; la suite est en page 23

23est nul, or \[ q^{*}(e_{i,m}) = m\,e_i , \qquad p_{*}(e_{i,n}) = n\,e_i \] les deux indices se lisent « \(m\) » sous surcharge ; le second est vraisemblablement \(n\), que demande la suite où \(e_i\) définit l'extension \(\Phi^{i}\). Donc la condition est que \[ (q\,m - p\,n)\,e_i = 0 . \] On fait l'hypothèse \[ \text{(c)} \qquad e_i \text{ est une base de } \operatorname{Ext}^{1}_{\mathcal{C}_0}(\Psi^{i}, \Psi^{i-1}) \] hypothèse encadrée, avec « (c) » cerclé en regard. Il y a donc deux (c) : celui de la page 22 et celui-ci de sorte que la condition devient \[ q\,m = p\,n \] i.e. \[ \frac{q}{p} = \frac{n}{m} = \frac{n'}{m'} \] si \(m' = \dfrac{m}{(m,n)}\), \(n' = \dfrac{n}{(m,n)}\), donc on aura \[ p = \struck{\ill{}}\ t\,m' , \qquad q = t\,n' \qquad (t \in k) \] on lit « \(q = t\,m'\) » ; la relation \(q/p = n'/m'\) demande \(t\,n'\), que nous gardons. Même glissement possible des lettres, sur la page, entre \(m\) et \(n\) Or pour \(p, q\) correspondant à un \(t\) (d'ailleurs unique) dès que déterminés par \(p, q\) l'hom. \(\alpha\) qui leur correspond est déterminé mod. un \(\operatorname{Hom}(\Psi^{i}, \Psi^{i-1}) = 0\), donc est unique. On trouve donc \[ \operatorname{Hom}(\Phi(i,n), \Phi(i,m)) \simeq k . \]

24Car \(j = i-1\)le \(i-1\) est récrit sur un autre indice (peut-être \(i+1\)) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \Psi^{i-1} \arrow[r] \arrow[d, "u\circ d"] & \Phi^{i} \arrow[r] \arrow[d] & \Psi^{i} \arrow[d, no head, "="] & \\
0 \arrow[r] & \Psi^{i-1} \arrow[r, "D"] \arrow[d, "\wr"] & \Phi(i,-) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha=?"] & \Psi^{i} \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & 0 \\
0 \arrow[r] & \Psi^{i-1} \arrow[r] & \Phi(i,m) \arrow[r, "u"] & \Psi^{i} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

la ligne du bas est surchargée : les exposants de \(\Psi\) ont été récrits (on lit sous la correction \(i+2\) à gauche et un indice biffé à droite), et le second argument de \(\Phi\) se lit \(m\), le premier peut-être \(i-1\) corrigé en \(i\) ; nous donnons la lecture qui s'accorde avec la suite de la page, où \(m\) et \(n\) interviennent

Le composé \(\Phi^{i} \to \Phi(i,-) \to \Phi(i-1,-) \to \Psi^{i}\)lecture de la chaîne incertaine est nul car \(\underline{\mathrm{Hom}}(\Phi^{i}, \Psi^{i-1}) = 0\) ; \(\theta = u\alpha D\) : donc l'hom. \(\Psi^{i} \to \Psi^{i}\) \(\Psi^{i-1} \to \Psi^{i-1}\) composé […] […] id est nul, i.e. \(u\theta = 0\), or \(\underline{\mathrm{Hom}}(\Psi^{i-1}, \Psi^{i-1}) \simeq k\), donc \(\theta = 0\), donc \(\alpha\) respecte la structure d'extension, et on fait comme plus haut pour conclure \(\alpha = 0\). Donc on retrouve \[ \underline{\mathrm{Hom}}(\Phi(i,-), \Phi(j,-)) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i, i+1 \\ k & \text{si } j = i+1 \\ k & \text{si } j = i \end{cases} \] en regard des deux dernières lignes de l'accolade : pour \(j = i+1\), « (base en consid. l'hom. can. \(\Phi(i,-) \to \Psi^{i} \to \Phi(i+1,-)\)) » ; pour \(j = i\), « (engendré par […] respectant la struct. d'ext.) »

et étant déterminé par ce qu'il induit sur \(\Psi^{i}\) et \(\Psi^{i-1}\), qui sont deux éléments de la forme \(t\,m'\,\mathrm{id}_{\Psi^{i-1}}\) et \(t\,n'\,\mathrm{id}_{\Psi^{i}}\)), où \[ n' = \frac{n}{(m,n)}, \qquad m' = \frac{m}{(m,n)} \] (il y a une base can. une fois qu'on a choisi le pgcd \((m,n)\) de \(m\) et \(n\)).

25\[ \underline{\mathrm{Hom}}(\Phi(i,-), \Psi^{j}) \subset \underline{\mathrm{Hom}}(\Phi(i,-), \Phi^{j+1}) \] sous \(\Phi^{j+1}\), un signe \(\wr\) et \(\Phi(j+1,-)\) \(= 0\) si \(j+1 \neq i, i+1\), i.e. si \(j \neq i-1, i\) ; \[ \underline{\mathrm{Hom}}(\Psi^{i-1}, \Psi^{j}) = 0 \quad \text{si } j \neq i-1 . \] une flèche verticale descend du premier \(\underline{\mathrm{Hom}}\) vers cette ligne

Si donc \(j = i\), \(\underline{\mathrm{Hom}}(\Phi(i,-), \Psi^{i}) \hookrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\Phi^{i}, \Psi^{i}) \simeq k\) (base l'hom. can.).

Si \(j = i-1\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \Psi^{i-1} \arrow[r] \arrow[d, "u\circ d"] & \Phi^{i}(k) \arrow[r] \arrow[d] & \Psi^{i} \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
0 \arrow[r] & \Psi^{i-1} \arrow[r, "i"] & \Phi(i,-) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha=?"] & \Psi^{i} \arrow[r] & 0 \\
 & & \Psi^{i-1} & &
\end{tikzcd}

l'argument de \(\Phi^{i}\) dans la ligne du haut est surchargé ; « \((k)\) » est une lecture douteuse

Le composé de \(\alpha i\) avec \(\Phi^{i} \to \Phi(i,-)\)sous la flèche, un mot biffé (\(u\circ d\)) et \(\Psi^{i}\) est dans \(\underline{\mathrm{Hom}}(\Phi^{i}, \Psi^{i-1}) = 0\), donc \(u\alpha i \in \underline{\mathrm{Hom}}\) \(\alpha i \circ u\,\mathrm{id}_{\Psi^{i-1}} = u(\alpha i)\) \(\in \underline{\mathrm{Hom}}(\Psi^{i-1}, \Psi^{i-1})\) est nul, or comme \(\underline{\mathrm{Hom}}(\Psi^{i-1}, \Psi^{i-1}) \simeq k\), on voit que \(\alpha i = 0\), donc \(\alpha\) provient d'une flèche […] par \(\Psi^{i} \to \Psi^{i-1}\), donc est nul. Donc \[ \underline{\mathrm{Hom}}(\Phi(i,-), \Psi^{j}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i \\ \simeq k & \text{si } j = i \end{cases} \] en regard de la seconde ligne : « (base l'hom. can. \(\Phi(i,-) \to \Psi^{i}\)) »

26\[ \underline{\mathrm{Hom}}(\Psi^{i}, \Phi(j,-)) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\Psi^{i}, \Psi^{j}) \] sous le second membre, « \(\wr\) » puis « 0 si \(j \neq i\) » ; sous le premier, un mot « […] » en petits caractères donc si \(j \neq i\), \(\underline{\mathrm{Hom}}(\Psi^{i}, \Phi(j,-)) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\Psi^{i}, \Psi^{j-1})\) […] qui est nul si \(i \neq j-1\) i.e. \(j \neq i+1\) ; si \(j = i+1\), on trouve \(\simeq k\).

Pour \(j = i\), le composé \(\Psi^{i} \to \Phi(i,-) \xrightarrow{\text{can}} \Psi^{i}\) est de la forme \(d.\mathrm{id}_{\Psi^{i}}\), donc l'image inverse de l'extension

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & & & \Psi^{i} \arrow[d, "\alpha"'] \arrow[dr] & \\
0 \arrow[r] & \Psi^{i-1} \arrow[r] & \Phi(j,-) \arrow[r] & \Psi^{i} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

le diagramme est à gauche de la page, dessiné plus librement : \(\Psi^{i}\) en haut, une flèche \(\alpha\) vers le bas et une oblique ; nous le redessinons

\(\Phi(i,-)\) est de classe \(d\,e_{n} = d\,u\,e_{i}\)indices douteux, qui est nulle, donc \(d\,e_{i} = 0\), donc \(d = 0\), donc […] \(\alpha\) se factorise par \(\Psi^{i} \to \Psi^{i-1}\), donc est nul.

Pour \(j = i+1\), … \(= \underline{\mathrm{Hom}}(\)

Donc \[ \underline{\mathrm{Hom}}(\Psi^{i}, \Phi(j,-)) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i+1 \\ k & \text{si } j = i+1 \end{cases} \] en regard de la seconde ligne : « (base formée de l'hom. can. \(\Psi^{i} \to \Phi(i+1,-)\)) » ; avant la formule, un \(\underline{\mathrm{Hom}}(\) biffé. Un trait ondulé sépare ensuite la page

Ensuite […] supposons …

(d)« d » cerclé en tête de ligne, avec un trait vertical dans la marge gauche sur les lignes qui suivent […] de \(C\) […] […] […] de la forme finie d'objets de la forme \(\Phi(i,n)\) \((n \geq 1)\) ou \(\Psi^{j}\) \((j \geq 0)\).

27En outre on sait que si \(A\) est la sous-catégorie pleine de \(C\) engendrée par les \(\Phi(i,-)\) et les \(\Psi^{i}\), alors \(C\) est connue à équivalence près (déf. […] […] […]) si on connaît \(A\) avec sa structure ½ additive. Or c'est [elle] que nous venons d'étudier (on a omis de décrire la composition des morphismes, qui est évidente…).« elle » est ajouté en interligne On trouve donc que \(C \simeq\) groupes ½ simpliciaux abéliens […] […] \(\partial\)-parfaits….

La chose intéressante : faire […] d'un […] la \(\otimes\)-structure et les opérations \(\Gamma^{i}\).

28Soit \(C\) une catégorie, \(A\) une sous-catégorie [pleine].« pleine » ajouté en interligne Considérons le foncteur composé \[ C \xrightarrow{\text{can}} \widehat{C} \xrightarrow{\text{rest.}} \widehat{A} = \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, \mathrm{Ens}) \] un arc sous la flèche composée porte \(\rho\) si […] tout objet \(X\) de \(C\) est \(\underline{\lim}\) [dans \(C\)] […] d'un diagramme de \(A\) (ce qui revient au même, \(X \simeq \varinjlim_{Y \in \mathrm{Ob}(A/X)} Y\)la limite est soulignée d'un trait simple, sans flèche lisible ; nous la rendons par \(\varinjlim\), la limite canonique sur \(A/X\), et la variable est écrite au-dessous), alors le foncteur \(\rho\) est pl. fidèle (mais pas nécess. \(A\)). Si \(C\) est additive, le diagramme [ci-dessus] se complète en

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
C \arrow[r, "c_{ab}"] \arrow[dr, "c"'] \arrow[rr, bend left=30, "\rho_{ab}"] & \widehat{C}_{ab} \arrow[r, "\text{rest.}\,\rho_{ab}"] \arrow[d, "\text{oubli}\ \omega_C"] & \widehat{A}_{ab} \arrow[d, "\text{oubli}\ \omega_A"] \\
 & \widehat{C} \arrow[r, "\text{rest}\,\rho"] & \widehat{A}
\end{tikzcd}

un grand arc passant sous le diagramme, de \(C\) à \(\widehat{A}\), porte \(\rho\) ; nous l'omettons. Dans la marge gauche, en oblique : « i.e. […] structure […] […] sur \(C\) »

avec \(\omega_A\) fidèle, d'où il résulte que \(\rho_{ab}\) est aussi pl. fidèle. [C'est le cas en particulier si tout \(X \in C\) est \(\simeq\) somme d'objets de \(C\).]sic, on attendrait « de \(A\) »

Supposons de plus que tout \(X \in C\) est aussi somme d'une \(\varprojlim\) [dans \(C\)] d'objets de \(C\).la \(\lim\) porte ici une flèche vers la gauche Alors l'image essentielle de \(C\) dans \(\widehat{A}\) (resp. \(\widehat{A}_{ab}\)) est contenue dans la sous-cat. pleine de \(\widehat{A}\) resp. \(\widehat{A}_{ab}\) formée des foncteurs

29qui sont \(\varprojlim\) du type envisagé de foncteurs représentables (dans \(\widehat{A}\) ou \(\widehat{A}_{ab}\) resp., pour […] dans \(\widehat{A}_{ab}\) — la structure ½ additive de \(A\) héritée par son plongement dans \(C\) additive). Lorsque de plus \(C\) est stable par ce type de \(\varprojlim\) (p.ex. des produits finis), alors on a une équivalence entre \(C\) et la cat. des foncteurs \(A^{\circ} \to \mathrm{Ens}\) (resp. \(A^{\circ} \to \mathrm{Ab}\)) qui sont de telles \(\varprojlim\) de foncteurs représentables. [Si p.ex. \(A\) est réduit à un objet […] dans \(C\) au \(C\) additive, resp. si \(A\) objet ces lignes sont barrées d'un trait ondulé Si p.ex. \(C\) est additive, donc \(A\) induit sur \(A\) une structure ½ additive, et si tout objet de \(C\) est isomorphe à une somme [finie] directe d'objets de \(A\), alors \(C \simeq\) sous-cat. pleine de \(\widehat{A}_{ab}\) (foncteurs additifs contravariants de \(A\) dans \(\mathrm{Ab}\)) formée des foncteurs isom. à une somme directe finie de foncteurs repr.

30(Si \(A\) est réduit à un objet [\(A\) seul] d'anneau d'endomorphismes \(k\), on trouve une équivalence avec la cat. des \(k\)-modules à droite libres de type fini, par \(X \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}(A, X)\)).

Transformons par dualité en conséq. : si tout objet de \(C\) est \(\varprojlim\) d'objets de \(A\), alors le foncteur canonique \[ r^{\circ} : C^{\circ} \longrightarrow \widehat{A^{\circ}} \quad (\text{resp. } \widehat{A^{\circ}}_{ab}) \] vers les foncteurs \(\underline{\mathrm{Hom}}(A, \mathrm{Ens})\) (resp. \(\underline{\mathrm{Hom}}(A, \mathrm{Ab})\)) covariants sur \(A\) à valeurs dans \(\mathrm{Ens}\) (resp. \(\mathrm{Ab}\)) est pl. fidèle. Si de plus tout objet de \(C\) est \(\varprojlim\) de certain type d'objets de \(C\), alors l'image essentielle est contenue dans la sous-cat. pleine de \(\widehat{A^{\circ}}\) (resp. \(\widehat{A^{\circ}}_{ab}\)) formée des foncteurs \(A \to \mathrm{Ens}\) (resp. \(A \to \mathrm{Ab}\)) qui sont \(\varprojlim\) des deux types de foncteurs représentables — et l'image essentielle est égale à cette dernière catégorie si

31\(C\) est stable par les limites projectives du type envisagé.

En particulier, on trouve

Prop. Soient \(C\) une cat. (resp. cat. additive), \(A\) une sous-cat. pleine, \(\mathcal{T}\), \(\mathcal{T}'\) deux sous-[ens.] catégories pleines de \(\mathrm{Ob}(\mathrm{Cat})\), supposons que \(C\) soit stable par \(\varprojlim\) de type \(\mathcal{T}\) et \(\varinjlim\) de type \(\mathcal{T}'\), et que tout objet de \(C\) soit une \(\varprojlim\) [dans \(C\)] de type \(\mathcal{T}\) d'objets de \(A\), et une \(\varinjlim\) [dans \(C\)] de type \(\mathcal{T}'\) d'objets de \(A\). Alors \(C\) est équivalente à la fois à la sous-cat. pleine de \(\widehat{A}\) (\(= \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, \mathrm{Ens})\)) (resp. \(\widehat{A}_{ab}\) \(= \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, \mathrm{Ab})\)) formée des foncteurs \(A^{\circ} \to \mathrm{Ens}\) (resp. \(A^{\circ} \to \mathrm{Ab}\)) qui sont \(\varprojlim\) de type \(\mathcal{T}\) de type \(\mathcal{T}\) de foncteurs repr., et à la [cat. opposée de la] sous-catégorie pleine de \(\widehat{A^{\circ}} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(A, \mathrm{Ens})\) (resp. \(\widehat{A^{\circ}}_{ab} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(A, \mathrm{Ab})\)) qui sont objets des \(\varinjlim\) de type \(\mathcal{T}'\) de foncteurs représentables.sur les pages 28 à 33, les flèches sous les \(\lim\) sont celles de la page, là où elles se lisent ; sur cette page les deux sens figurent, \(\mathcal{T}\) avec la flèche vers la gauche, \(\mathcal{T}'\) avec la flèche double

32En fait, on trouve un diagr. ess. commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal]
 & A \subset C \arrow[dl, "\mathrm{id}"'] \arrow[d, "\rho\ \wr"] \arrow[dr, "\mathrm{id}"] \arrow[drr, "\rho'\ \wr"] & & \\
A \subset \widehat{A}_{\mathcal{T}} \subset \widehat{A} & A \arrow[r, hook] & (\widehat{A^{\circ}}_{\mathcal{T}'})^{\circ} \arrow[r, hook] & (\widehat{A^{\circ}})^{\circ}
\end{tikzcd}

nous redessinons : sur la page, les quatre flèches partent de \(A \subset C\) vers la ligne du bas ; celle marquée \(\rho\ \wr\) aboutit à \(\widehat{A}_{\mathcal{T}}\), celle marquée \(\rho'\ \wr\) à \((\widehat{A^{\circ}}_{\mathcal{T}'})^{\circ}\)

(resp. avec \(\widehat{A}_{ab}\) et \(\widehat{A^{\circ}}_{ab}\)). On trouve en particulier une équivalence remarquable \[ \widehat{A}_{\mathcal{T}} \simeq (\widehat{A^{\circ}}_{\mathcal{T}'})^{\circ} \] qui exige d'être définie intrinsèquement uniquement en termes de \(A\), \(\mathcal{T}\), \(\mathcal{T}'\), i.e. chaque fois qu'on a une sous-cat. \(D\) de \(\widehat{A}\) (resp. une sous-cat. additive de \(\widehat{A}_{ab}\)), stable par les \(\varprojlim\) de type \(\mathcal{T}\), et [dans \(\widehat{A}\)] où [on construit] les \(\varinjlim\) de type \(\mathcal{T}'\) (pas nécess. les mêmes que dans \(\widehat{A}\) !) et telle que tout objet soit à la fois \(\varprojlim\) [de type \(\mathcal{T}\)] [dans \(C\)] de foncteurs repr., et \(\varinjlim\) [de type \(\mathcal{T}'\)] [dans \(C\)] de tels foncteurs.

Si \(A\) est réduit à un seul objet \(A\), et (dans le cas resp. (\(C\) additive)) \(\mathcal{T} = \mathcal{T}' =\) ens. catégories discrètes finies, on trouve une antiéquivalence entre […] cat. modules libres de t.f. à gauche

33et droite sur \(k = \mathrm{End}(A)\), et la dualité antiéquivalence n'est autre que la dualité de tels modules.

Revenons à la condition où tout objet de \(C\) est une \(\varinjlim\) de \(C\) de type \(\mathcal{T}'\) d'objets de \(A\). Alors si […] catégorie \(C'\) où les limites existent, si \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{T}'}(C, C')\) est la sous-catégorie pleine des \(\underline{\mathrm{Hom}}(C', C')\)sic formée des foncteurs qui commutent aux \(\varinjlim\), on trouve que \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{T}'}(C, C') \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(A, C') \] est pl. fidèle […] […] une équivalence de cat. si […] \(C\) est \(\varinjlim\).à vérifierle passage biffé l'est de deux traits, le second mot sous une rature épaisse ; « à vérifier » est écrit dans la marge gauche, séparé du texte par un trait vertical Supposons \(C\) additive, et \(\mathcal{T}\) l'ens. des cat. discrètes finies — donc tout objet de \(C\) est somme d'objets de \(A\), alors on trouve, si \(C'\) additive, \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{add}(C, C') \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A, C') . \] Si on applique ça à l'inclusion \[ C \xrightarrow{\text{incl}} \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A^{\circ}, \mathrm{Ab}) \] avant \(\underline{\mathrm{Hom}}\), un \(\widehat{A}_{ab}\) biffé et désignons par \(D_C\)une lettre surchargée après \(D_C\) l'image essentielle, on trouve donc

34\[ \underline{\mathrm{Hom}}_{add}(D, C') \xrightarrow{\ \approx\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A, C') \] d'où un foncteur inverse \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A, C') \xrightarrow{\ \approx\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{add}(D, C') \] d'où un accouplement \[ \begin{array}{cl} D & \times\ \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A, C') \longrightarrow C' \\ \cap & \\ \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A^{\circ}, \mathrm{Ab}) & \end{array} \] qu'on note par ex. \[ (F, G) \longmapsto F \otimes_{C} G \] [dans le cas où \(A\) est réduit à un objet, donc avec sa str. ½ add. est défini par un anneau \(k\), \(F\) est un [\(k\)-]module à droite libre de t.f., \(G\) est un objet de \(C'\) où \(k\) opère (i.e. un \(k\)-\(C'\)-module à gauche) et \(F \otimes G\) est le produit tensoriel « ordinaire ».]le crochet n'est pas refermé sur la page

Si on considère alors le plongement dual \[ C \xrightarrow{\ \approx\ } D'^{\circ} \subset \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A, \mathrm{Ab})^{\circ} , \] on trouve \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{add}(D'^{\circ}, C') \xrightarrow{\ \approx\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A, C') \] d'où sous la ligne, une flèche courbe revient de droite à gauche, marquée \(\approx\) : le foncteur inverse, comme en tête de page

35i.e. \[ \begin{array}{cl} D'^{\circ} & \times\ \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A, C') \longrightarrow C' \\ \cap & \\ \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A, \mathrm{Ab})^{\circ} & \end{array} \] noté \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{C}(F, G) . \] une ligne de tirets, puis un trait horizontal, séparent la suite

On suppose maintenant qu'on a une catégorie \(\mathcal{S}\), une sous-catégorie pl. \(C\) [de \(\mathcal{S}_{ab}\) stable par sommes directes] (donc \(C\) est additive) et une sous-catégorie pleine \(A\) de \(C\) telle que tout objet de \(C\) soit isomorphe [dans \(C\) donc dans \(\mathcal{S}_{ab}\)] à une somme directe [finie] d'objets de \(A\).les compléments entre crochets obliques sont des ajouts en interligne

On a alors […] \[ \mathcal{S}^{\circ} \longrightarrow \struck{\ill{}}\ \underline{\mathrm{Hom}}_{add}(C, \mathrm{Ab}) \] […] en associant à \(X \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{S}\) le foncteur \(M \longmapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{S}}(X, M)\).le « \(\mathcal{S}^{\circ}\) » est récrit sur une autre lettre ; devant, un signe « \(\alpha\) » Or ce foncteur est connu à équiv. près quand on connaît son image dans \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A, \mathrm{Ab})\), donc c'est […] \(C\) est équivalente à celle des

36\[ \mathcal{S}^{\circ} \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{\frac{1}{2}add}(A, \mathrm{Ab}) \] Nous ferons cette étude dans le cas où \(\mathcal{S} = \widehat{\Delta} = \mathrm{Ss}\), et dans chacun des 2 cas suivants […] […] :

1°)\(C\) abéliennela note marginale est reliée par un trait au « 1° » \(C\) est formé des groupes ab. ½ simpliciaux [ab. \(\partial\)-parfaits] […], \(A\) est la sous-catégorie formée des \(\Phi(i,n)\) (\(n \in \mathbf{N}^{*}\) […], \(i \geq 1\)) et \(\Lambda T_{\bullet}\) \((j \geq 0)\) ;le dernier symbole est surchargé ; lecture douteuse on note \(X_{\bullet} \in \mathrm{Ob}\,\widehat{\Delta}\) fixé. On note que la connaissance des \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\widehat{\Delta}}(X_{\bullet}, M_{\bullet})\) comme foncteur en \(M_{\bullet}\) est réduite […] covariant en \(M_{\bullet}\) […] à celle de \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\widehat{\Delta}}(X_{\bullet}, \varphi)\) pour \(\varphi\) dans \(A\). On peut même […] \(\varphi\) dans \(A_0\) défini ci-dessous […] \(\varphi\) […] […] […], et […] pour \(\varphi\) parcourant les \(\Phi^{i}\).

2°)(\(C_0\) est additive mais non abélienne.) \(C_0\) […] formée des groupes ab. ½ simpliciaux […] apériodiques ([i.e.] […] \(\in C\) et les \(\pi_i(\ldots)\) sont sans torsion), \(A_0 \subset C_0\) sous-cat. de ceux qui sont de la forme \[ \Phi^{i} = \dot{\Lambda}\Phi_{\bullet} \ (i \geq 1), \qquad \Psi^{j} = \Lambda T_{\bullet} \ (j \geq 0). \] les deux dernières formules sont très surchargées (un symbole biffé après \(\dot{\Lambda}\Phi\)) ; les seconds membres sont des lectures douteuses

37Il y a lieu de travailler 1°) au cas où […] […] un anneau de base \(k\) de Dedekind, [(év. […])] et 2°) avec la généralité […] (donc \(C \subset \widehat{\Delta}_{k\text{-}\mathrm{mod}}\)). La situation conduisant à retenir, c'est que la connaissance des homs de \(X_{\bullet}\) dans les \(k\)-modules sh. [parfaits] […] \(M\) (comme foncteur de \(M\)), elle qui connaît le complexe [de cochaînes « non dég. »] \(C^{*}(X_{\bullet}, k)\) et […] dans \(k\). Notre propos principal est […] comment reconstituer la structure multiplicative […] « […] […] » sur ce foncteur \[ M_{\bullet} \longmapsto F_{X_\bullet}(M_\bullet) = F(M_\bullet) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\widehat{\Delta}}(X_\bullet, M_\bullet) \] i.e. les homs \[ \begin{cases} F(M_\bullet) \otimes_{k} F(N_\bullet) \longrightarrow F(M_\bullet \otimes N_\bullet) \\ \Gamma^{i} F(M_\bullet) \longrightarrow F(\Gamma^{i}(M_\bullet)) \end{cases} \] dans la seconde ligne, un symbole biffé à l'intérieur de la première parenthèse ; le \(\Gamma^{i}\) initial se lit sur un trait surchargé en tant que […] structures [de cochaînes] sur le complexe \(C^{*} = C^{*!}(X_\bullet, k)\). deux traits verticaux dans la marge gauche, en regard de la dernière phrase Il faudrait examiner si pour le cas [\(C^{*}\) connu] […] structures supplém.

38est déterminée par le complexe de De Rham-Sullivan de \(X_\bullet\), et dans le cas \(k\) quelconque (et cas 2° disons) — le principe est que 1°) il est déterminé par les complexes de De Rham à p.d. Enfin, il y a (il est clair que \(C^{*}\) avec les structures suppl. envisagées [rectifiant] […] les complexes de De Rham-Sullivan resp. le complexe de De Rham à p.d.) Enfin, il faut voir dans quelle mesure \(C^{*}\) avec ses structures multiplicatives à p.d. permet de reconstituer le type d'homotopie du \(X_\bullet\) dont il provient. (Enfin, bien sûr faisceautiser et relativiser… !!!)

le reste du feuillet est blanc, à part deux traits verticaux dans la marge droite

39Soit [\(k\) anneau commutatif] \(\mathbb{K}\) une catégorie [\(k\)-]additive (i.e. additive, munie de \(k \to \mathrm{End}(\mathrm{id}_{\mathbb{K}})\)), \(\mathbb{C}^{\bullet}\) un complexe [de cochaînes] dans \(\mathbb{K}\) \[ 0 \to \mathbb{C}^{0} \xrightarrow{d^{0}} \mathbb{C}^{1} \xrightarrow{d^{1}} \cdots \to \mathbb{C}^{i} \xrightarrow{d^{i}} \mathbb{C}^{i+1} \to \cdots \] On suppose :

a) \[ \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{i}, \mathbb{C}^{j}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i, i+1 \\ k & \text{si } j = i, \text{ base } \mathrm{id}_{\mathbb{C}^{i}} \\ k & \text{si } j = i+1, \text{ base } d^{i} \end{cases} \]

b) Tout objet de \(\mathbb{K}\) est isomorphe à une somme [finie] d'objets de la forme \(\mathbb{C}^{i}\).

Soit \(\mathcal{A}\) la sous-catégorie pleine de \(\mathbb{K}\) formée des […] \(\mathbb{C}^{i}\) ; elle n'est pas additive, mais hérite d'une structure \(k\)-linéaire, i.e. […] les \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\) sont des \(k\)-modules, la composition est \(k\)-bil.

E L'existence de \((\mathbb{K}, \mathbb{C}^{\bullet})\) satisfaisant a) et b) est immédiate par construction « abstraite ». On peut aussi réaliser \(\mathbb{K}\) comme [la] cat. [des] complexes de chaînes [bornés] de \(k\)-modules satisfaisant les conditions

1. 1°)[…] \(L_\bullet\) est acyclique i.e. \(H_i(L_\bullet) = 0\) \(\forall\, i \geq 0\)
2. 2°)\(L_n\) et \(Z_n(L_\bullet)\) sont libres de t.f. pour tout \(n\)
3. 3°)\(L_n\) est nul pour \(n\) grand.

On prendra alors \[ \mathbb{C}^{i} = C^{i}_{\bullet} = \lbrace \cdots 0 \to 0 \to \underset{\text{degré } i+1}{k} \xrightarrow{\ \mathrm{id}\ } \underset{\text{degré } i}{k} \to 0 \to \cdots \to 0 \rbrace \] au-dessus du « 0 » de droite, « degré 0 » ; avant \(C^{i}_{\bullet}\), un premier membre \(\mathbb{K}(\ldots)\) est biffé i.e. les comp. sont nulles sauf en degré \(i\), \(i+1\) où elles sont \(k\), et l'opér. diff. [\(d_{i+1}\)] […] est l'identité. On prend \(d^{i} : \mathbb{C}^{i} \to \mathbb{C}^{i+1}\) […] caractérisé par \((d^{i})_{i+1} = \mathrm{id}_k\). Les conditions a) et b) sont satisfaites trivialement. On pourrait aussi travailler [dans] des complexes de cochaînes : le plus, dans toute la marge gauche, une colonne de petits complexes dessinés verticalement (flèches \(d\), \(0\), accolades, un \(\Sigma\)), avec les mentions obliques « degré \(i+1\) », « degré \(i\) », « degré 0 », qui illustrent les \(C^{i}_{\bullet}\) ; une ligne de ce croquis rejoint le bas de la page. Non redessiné

40la moitié supérieure de la page est barrée de trois longues diagonales ; elle se lit et est transcrite en entier [\(\mathcal{C}\) catégorie] des \(k\)-modules ½ simpliciaux [\(L_*\)] […] qui sont flasques et str. \(\partial\)-parfaits, i.e. qui satisfont aux deux conditions équivalentes

1. a)\(L_*\) est […] [isomorphe] à une somme directe finie de modules ½ simpliciaux \(C^{i}_{*} = \Lambda^{i+1}\Phi_{*k}\) \((i \geq 0)\)sous cette formule, une seconde biffée et surchargée, \(\Phi(i)_{*} = \Lambda^{i}\Phi_{*} \ldots\) \((i \geq 1)\), avec « \(= C^{i-1}_{*}\) » au-dessous
2. b)Les \(L_n\) sont libres de type fini, de rang constant sur \(\operatorname{Spec} k\), la fonction \(n \mapsto \operatorname{rg}_k L_n\) est polynomiale pour \(n\) grand, \(L_*\) est flasque i.e. \(\pi_i(L_*) = 0\) pour \(i \geq 0\).

On suppose \(k\) anneau de Dedekind (proj. de type fini sur \(k\) libres par le principal)note oblique dans la marge gauche, en regard de a) ; lecture très incertaine

\(\mathcal{A} \subset \mathcal{C}\) la sous-catégorie pleine formée des […] \(C^{i}_{*}\).

NB \(\mathcal{C}\) est additive (et \(k\)-linéaire), \(\mathcal{A}\) n'est pas stable par sommes finies, mais hérite une structure \(k\)-linéaire. On a \[ \underline{\mathrm{Hom}}(C^{i}_{*}, C^{j}_{*}) = \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i, i+1 \\ k & \text{si } j = i, \text{ base } \mathrm{id}_{C^{i}_{*}} \\ k & \text{si } j = i+1, \text{ base } d^{i} = T_{*}\wedge \end{cases} \] Notons que […] \(C^{i}_{*} \ldots C^{i}_{*}\) […]une ligne entière biffée et surchargée \(C^{\bullet}_{*} = (C^{i}_{*}, T_{*}\wedge)\) est un complexe de cochaînes dans \(\mathcal{A}\) ou dans \(\mathcal{C}\) ou dans \(\widehat{\Delta}_{k\text{-lin}}\) — il jouera le rôle du complexe de cochaînes universel.

[…]

Prop 1 Soit \(\mathcal{B}\) une catégorie [\(k\)-additive] additive. Alors \[ \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{C}, \mathcal{B}) \xrightarrow[\ \approx\ ]{\text{rest}} \underline{\mathrm{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{A}, \mathcal{B}) \] sous le premier \(\underline{\mathrm{Hom}}\), l'indice « \(k\)-lin » est biffé et, par \(F \mapsto F(C^{\bullet}_{*})\), le second est \(\approx\) à \(\mathcal{B}^{\bullet}_{k}\) = cat. des [complexes de] cochaînes [de \(\mathcal{B}\)].« complexes de » est entouré

[…] Soit \(K^{\bullet} \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{B}^{*}\) un complexe de cochaînes de \(\mathcal{B}\)

Exemple 1 [[Faisons \(\mathcal{B} = \mathit{Ab}_k\).]] Soit \(L_\bullet \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}\), considérons le foncteur cov. qu'il représente \[ \mathcal{C} \longrightarrow \mathit{Ab}_k, \qquad M_* \longmapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(L_*, M_*) ; \] on a donc un foncteur pl. fid. (vu [sur des foncteurs repr.] …) \[ \mathcal{C}^{\circ} \hookrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{C}, \mathit{Ab}_k) \xrightarrow{\ \approx\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{ac}}(\mathcal{A}, \mathit{Ab}_k) \xrightarrow{\ \approx\ } \mathit{Ab}_k^{\bullet} \] l'indice du dernier \(\underline{\mathrm{Hom}}\) se lit « ac » ou « \(k\)-lin », lecture douteuse la page 41 (lot 3) reprend : « On trouve donc un foncteur pl. fid. \(\mathcal{C}^{\circ} \hookrightarrow \mathit{Ab}_k^{\bullet}\) »