Cote n° 137 · pages 1–85 · Lecture modernisée · Dévissage des complexes ½ simpliciaux ∂ - parfaits et structures multiplicatives… (1975 ou 1976) : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1975-1976]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

• 1.Pages 1 à 21 : le dévissage. Classification des modules simpliciaux \(L_{*}\) dont le complexe normalisé \(N(L_{*})\) est « parfait », sur un anneau quelconque d'abord (pages 1 à 12), puis, après une seconde rédaction qui reprend la numérotation (page 13), sur un anneau principal, où apparaissent des briques nouvelles \(\Phi(i,n)\) et où l'on calcule tous les morphismes entre briques (pages 15 à 21).
• 2.Pages 22 à 27 : l'axiomatisation. Les calculs de morphismes sont refaits en ne supposant qu'un complexe \(\mathbb{C}^{\bullet}\) dans une catégorie additive satisfaisant trois axiomes ; on conclut que la catégorie est connue dès qu'on connaît la sous-catégorie pleine des briques.
• 3.Pages 28 à 35 : reconstruction d'une catégorie. Théorie générale : une catégorie est déterminée par une sous-catégorie pleine dense ; équivalences avec des catégories de préfaisceaux et de copréfaisceaux ; produit tensoriel de foncteurs.
• 4.Pages 35 à 38 : le programme. Les cochaînes d'un ensemble simplicial \(X\) comme foncteur \(M \mapsto \operatorname{Hom}(X, M)\) ; retrouver leur structure multiplicative et leurs puissances divisées ; complexes de De Rham–Sullivan et de De Rham à puissances divisées ; type d'homotopie.
• 5.Pages 39 à 64 : le complexe universel. La catégorie \(\mathbb{K}\) engendrée par un complexe universel \(\mathbb{C}^{\bullet}\) (pages 39 à 46) ; les classes de suites exactes et la propriété universelle de la catégorie \(\mathcal{P}\) des complexes parfaits (pages 48 à 56) ; une caractérisation intrinsèque de \(\mathcal{P}\) et l'algèbre homologique relative qui s'y fait (pages 57 à 64).
• 6.Pages 64 à 73 : structures multiplicatives. Foncteurs monoïdaux ; structures multiplicatives « demi-simpliciales » sur un complexe ; le cup-produit à homotopie près ; le complexe de De Rham à puissances divisées comme résolution tronquée.
• 7.Pages 74 à 85 : catégories polynomiales. Axiomes, produits tensoriels stricts, foncteurs \(\Gamma^{n}\), et la notion équivalente de \(\otimes\)-catégorie à puissances divisées ; questions ouvertes.

Les feuillets ne sont pas tous dans l'ordre où ils furent écrits : le lemme de la page 6 cite des corollaires de la page 8. Les pages 2 et 4 sont deux feuillets dactylographiés en anglais, sur les modèles minimaux et les formes de De Rham, qui ne portent rien de sa main ; les pages 5 et 47 sont blanches ; elles ne sont pas lues ici.

Conventions, valables pour tout le dossier

\(k\) est un anneau commutatif. Ce que Grothendieck appelle module « ½simplicial » est ce qu'on appelle aujourd'hui un module simplicial¹ : un foncteur \(\Delta^{\circ} \to \operatorname{Mod}_{k}\), noté \(L_{*}\), de composantes \(L_{n}\). Son complexe normalisé (le « complexe de chaînes associé par Dold-Puppe », que les pages notent \(L^{!}\)) est noté \(N(L_{*})\) ; la correspondance de Dold–Kan (que Grothendieck appelle de Dold–Puppe) est l'équivalence \(N\) entre modules simpliciaux et complexes de chaînes en degrés \(\geqslant 0\), d'inverse \(\mathrm{DP}\) ; elle respecte les suites exactes, et \(\pi_{n}(L_{*}) = H_{n}(N(L_{*}))\). On a \(L_{n} \simeq \bigoplus_{m \leqslant n} N_{m}(L_{*})^{\binom{n}{m}}\), de sorte que \(L_{n}\) est projectif (resp. de type fini) pour tout \(n\) si et seulement si \(N_{n}\) l'est. Un module simplicial est dit flasque si tous ses \(\pi_{n}\), \(n \geqslant 0\), sont nuls ; nous dirons aussi acyclique² .

Les deux briques \(\Phi_{*}\) et \(\Psi_{*}\). Le dossier ne les définit nulle part³ ; nous les fixons ainsi. \(\Phi_{*}\) est un module simplicial à composantes libres, \(\Phi_{n}\) de rang \(n+1\), dont le complexe normalisé est \(k \xrightarrow{\mathrm{id}} k\) en degrés \(1\) et \(0\) ; il contient un sous-module constant \(k \cdot T \simeq k_{*}\), et \(\Psi_{*} = \Phi_{*}/kT\) a pour complexe normalisé \(k\) placé en degré \(1\). On en prend les puissances extérieures degré par degré :

• \(\Lambda^{j}\Psi_{*}\) (\(j \geqslant 0\)) a pour complexe normalisé \(k\) placé en degré \(j\) : c'est l'objet d'Eilenberg–MacLane \(K(k, j)\), de rangs \(\operatorname{rg} \Lambda^{j}\Psi_{n} = \binom{n}{j}\) ;
• \(\Lambda^{i}\Phi_{*}\) (\(i \geqslant 1\)) a pour complexe normalisé \(k \xrightarrow{\mathrm{id}} k\) en degrés \(i\) et \(i-1\) : il est contractile, de rangs \(\binom{n+1}{i}\) ;
• le produit extérieur par \(T\) donne des suites exactes \(0 \to \Lambda^{i-1}\Psi_{*} \xrightarrow{\wedge T} \Lambda^{i}\Phi_{*} \to \Lambda^{i}\Psi_{*} \to 0\), et des morphismes \(\wedge T : \Lambda^{i}\Phi_{*} \to \Lambda^{i+1}\Phi_{*}\) de carré nul.

Que \(N(\Lambda^{j}\Psi_{*})\) soit exactement \(k[j]\), et non seulement quasi-isomorphe, se voit sur les rangs⁴ .

Le complexe universel et les sphères. Nous posons, pour tout le dossier, \[ \mathbb{C}^{i} := \Lambda^{i+1}\Phi_{*} \quad (i \geqslant 0), \qquad \Psi^{j} := \Lambda^{j}\Psi_{*} = K(k, j) \quad (j \geqslant 0), \] de sorte que \(\mathbb{C}^{0} \xrightarrow{\wedge T} \mathbb{C}^{1} \xrightarrow{\wedge T} \cdots\) est un complexe de cochaînes de modules simpliciaux, augmenté par \(\Psi^{0} = k_{*} \hookrightarrow \mathbb{C}^{0}\), et qu'on a les suites exactes \[ 0 \to \Psi^{i} \to \mathbb{C}^{i} \to \Psi^{i+1} \to 0 \qquad (i \geqslant 0). \] C'est la convention des pages elles-mêmes à partir de la page 51 ; la page 22 décale les indices d'une unité, et la page 40 écrit \(C^{i}_{*}\) pour notre \(\mathbb{C}^{i}\). Côté complexes de chaînes, \(N(\mathbb{C}^{i})\) est le « disque » \(k \xrightarrow{\mathrm{id}} k\) en degrés \(i+1\), \(i\), et \(N(\Psi^{i}) = k[i]\) la « sphère ». Pour \(n \in k\) non nul et \(i \geqslant 1\), \(\Phi(i,n)\) est le module simplicial de complexe normalisé \(k \xrightarrow{\,n\,} k\) en degrés \(i\) et \(i-1\) ; ainsi \(\Phi(i,1) = \Lambda^{i}\Phi_{*} = \mathbb{C}^{i-1}\).

Le complexe augmenté \(\Psi^{0} \to \mathbb{C}^{0} \to \mathbb{C}^{1} \to \cdots\), que les pages 57 à 64 notent \(\Phi^{\bullet}\), est noté ici \(\widetilde{\mathbb{C}}^{\bullet}\), pour garder la lettre \(\Phi\) à la brique \(\Phi_{*}\).

Deux homonymies. La lettre \(\mathcal{P}\) désigne aux pages 48 à 73 une catégorie de complexes parfaits, et aux pages 74 à 85 une « catégorie polynomiale » abstraite ; la seconde est écrite ici \(\mathbf{P}\), et sa sous-catégorie des morphismes de degré \(1\), \(\mathbf{P}_{1}\). De même, la catégorie que la page 62 note \(\mathcal{P}_{1}\) est toujours écrite ici \(\mathcal{Q}\), comme il le fait lui-même aussitôt. Enfin, pour une catégorie additive \(\mathcal{B}\), \(\mathcal{B}^{\bullet}\) et \(\mathcal{B}_{\bullet}\) sont les catégories de complexes de cochaînes et de chaînes (en degrés \(\geqslant 0\)), \(\mathcal{B}^{*}\) et \(\mathcal{B}_{*}\) celles d'objets cosimpliciaux et simpliciaux.

Ce que le dossier annonce sans l'établir

L'isomorphisme \(u_{n}\) du théorème de la page 3 est énoncé sans démonstration ; la « Proposition 4 » de la page 45 est illisible ; la page 46 s'interrompt sur un énoncé commencé ; à la page 70, la factorisation qui étend une structure multiplicative est suivie d'un point d'interrogation ; l'équivalence entre catégories polynomiales strictes et \(\otimes\)-catégories à puissances divisées (page 83) est affirmée ; la « structure p.d. » sur un foncteur, dont la page 72 a besoin, n'est jamais définie ; la reconstruction du type d'homotopie (page 38) reste un programme.

1–3

Préliminaires : projectivité, annulation, et une comparaison (pages 1 et 3)

Ces deux feuillets, au crayon très pâle, ouvrent le dossier ; leurs formules se lisent, une bonne part de la prose qui les relie non⁵ .

Lemme 1. Soit \(L_{*}\) un module simplicial sur \(k\) dont toutes les composantes \(L_{n}\) sont des \(k\)-modules projectifs. Si \(\pi_{n}(L_{*}) = 0\) pour \(n > 0\) et si \(\pi_{0}(L_{*})\) est projectif — en particulier si \(L_{*}\) est flasque —, alors \(L_{*}\) est un objet projectif de la catégorie des modules simpliciaux.

Par Dold–Kan, il s'agit de voir que \(N = N(L_{*})\) est projectif dans la catégorie des complexes de chaînes en degrés \(\geqslant 0\). Or \(N\) est un complexe de projectifs, acyclique en degrés \(> 0\), à \(H_{0}\) projectif : il est somme directe de « disques » \(P \xrightarrow{\mathrm{id}} P\) et du module \(H_{0}\) placé en degré \(0\), et chacun de ces complexes est projectif — \(\operatorname{Hom}\) d'un disque en degrés \(n, n-1\) vers \(C\) est \(\operatorname{Hom}(P, C_{n})\), et \(\operatorname{Hom}(H_{0}[0], C)\) est \(\operatorname{Hom}(H_{0}, C_{0})\), deux foncteurs exacts en \(C\)⁶ .

Corollaire. Pour \(i \geqslant 1\) et \(j \geqslant 0\), les modules simpliciaux \(\Gamma^{i}\Phi_{*} \otimes_{k} \Lambda^{j}\Psi_{*}\) et \(\Lambda^{i}\Phi_{*} \otimes_{k} \Lambda^{j}\Psi_{*}\) sont projectifs. En effet \(\Phi_{*}\) est contractile, donc aussi \(\Gamma^{i}\Phi_{*}\) et \(\Lambda^{i}\Phi_{*}\) pour \(i \geqslant 1\) (un foncteur appliqué degré par degré préserve les homotopies simpliciales), donc aussi leur produit tensoriel par n'importe quoi⁷ .

Lemme 2. Soient \(L_{*}\) un module simplicial, \(M\) un \(k\)-module et \(q > q' \geqslant 0\). Alors \[ \operatorname{Hom}\bigl(L_{*} \otimes_{k} \Lambda^{q}\Psi_{*},\ \Lambda^{q'}\Psi_{*} \otimes_{k} M\bigr) = 0 . \] Si de plus \(\pi_{0}(L_{*}) = 0\), le même \(\operatorname{Hom}\) est nul pour \(q' = q\).

Le but a pour complexe normalisé \(M[q']\), de sorte qu'un morphisme \(X \to \Lambda^{q'}\Psi_{*} \otimes M\) est une application \(N_{q'}(X) \to M\) nulle sur les bords. Or \(\Lambda^{q}\Psi_{n} = 0\) pour \(n < q\), donc \(X = L_{*} \otimes \Lambda^{q}\Psi_{*}\) est nul en degrés \(< q\) : cela règle le cas \(q' < q\), sans hypothèse sur \(L_{*}\). Pour \(q' = q\), il faut que \(N_{q}(X) \to M\) s'annule sur les bords, donc se factorise par \(H_{q}(N(X)) = \pi_{q}(X)\), qui vaut \(\pi_{0}(L_{*})\) par Eilenberg–Zilber et Künneth ; c'est nul si \(\pi_{0}(L_{*}) = 0\)⁸ .

Théorème (énoncé). Soit \(n \geqslant 0\), et \(K_{n}^{i} = \Gamma^{n-i}\Phi_{*} \otimes \Lambda^{i}\Psi_{*}\) (\(0 \leqslant i \leqslant n\)). Il existe un morphisme de complexes de cochaînes \(u : K_{n}^{\bullet} \to \mathbb{C}^{\bullet}\) en degrés \(0, \ldots, n\), soit \(u_{i} : \Gamma^{n-i}\Phi_{*} \otimes \Lambda^{i}\Psi_{*} \to \Lambda^{i+1}\Phi_{*}\), tel que \(u_{n}\) soit un isomorphisme de \(\Lambda^{n}\Psi_{*} = \Psi^{n}\) sur \(\operatorname{Ker}(\mathbb{C}^{n} \to \mathbb{C}^{n+1})\).

La différentielle de \(K_{n}^{\bullet}\) n'est pas écrite sur la page⁹ . Nous la lisons comme celle du complexe de Koszul à puissances divisées de la surjection \(\Phi_{*} \to \Psi_{*}\), de noyau \(kT\) ; ce complexe est exact sauf en degré \(0\), où sa cohomologie est \(\Gamma^{n}(kT) \simeq k\), de sorte que \(K_{n}^{\bullet}\) est une résolution de \(k_{*}\) de longueur \(n\), dont tous les termes sont contractiles sauf le dernier, \(\Psi^{n}\). C'est exactement l'objet que la page 72 appelle le complexe de De Rham à puissances divisées tronqué, et le morphisme \(u\) est celui dont la page 72 affirme l'existence et l'unicité à homotopie près : voir plus bas, « Le complexe de De Rham à puissances divisées ». Que \(u_{n}\) soit un isomorphisme, et non seulement un multiple d'un isomorphisme, est affirmé sans démonstration¹⁰ .

6–12

Le théorème de structure sur un anneau quelconque (pages 6 à 12)

Décomposition

Proposition (page 7). Pour un module simplicial \(L_{*}\) sur \(k\), les conditions suivantes sont équivalentes :

• a)les \(L_{n}\) et les \(\pi_{n}(L_{*})\) sont projectifs ;
• a')les \(N_{n}(L_{*})\) et les \(H_{n}(N(L_{*}))\) sont projectifs ;
• b)\(L_{*}\) est isomorphe à un produit \[ \prod_{i \geqslant 1} \Lambda^{i}\Phi_{*} \otimes_{k} M_{i} \ \times\ \prod_{j \geqslant 0} \Lambda^{j}\Psi_{*} \otimes_{k} N_{j} \] où les \(M_{i}\), \(N_{j}\) sont des \(k\)-modules projectifs ;
• b')\(N(L_{*})\) est isomorphe au produit des complexes \(M_{i} \xrightarrow{\mathrm{id}} M_{i}\) (en degrés \(i\), \(i-1\)) et \(N_{j}\) (en degré \(j\)).

Les \(M_{i}\) et \(N_{j}\) sont alors déterminés à isomorphisme près : \(N_{j} \simeq \pi_{j}(L_{*})\) et \(M_{i} \simeq N_{i}/Z_{i} \simeq B_{i-1}\).

Le produit est fini en chaque degré, puisque \(\Lambda^{i}\Phi_{n} = 0\) pour \(i > n+1\) et \(\Lambda^{j}\Psi_{n} = 0\) pour \(j > n\) : c'est donc aussi une somme directe. L'équivalence a) \(\Leftrightarrow\) a') vient de ce que \(L_{n}\) et \(N_{n}\) sont simultanément projectifs ; a') \(\Leftrightarrow\) b') est le scindage d'un complexe de projectifs à homologie projective, borné à droite (on montre de proche en proche que \(B_{n}\) et \(Z_{n}\) sont facteurs directs) ; b') \(\Leftrightarrow\) b) est Dold–Kan, avec \(N(\Lambda^{i}\Phi_{*} \otimes M) = (M \to M)\) et \(N(\Lambda^{j}\Psi_{*} \otimes N) = N[j]\).

Corollaire 1 (page 8). On obtient des conditions équivalentes en exigeant de plus que les \(L_{n}\), les \(N_{n}\), les \(M_{i}\) et \(N_{j}\) soient de type fini, et alors \[ L_{n} \simeq \prod_{1 \leqslant i \leqslant n+1} \Lambda^{i}\Phi_{n} \otimes M_{i} \ \times \prod_{0 \leqslant j \leqslant n} \Lambda^{j}\Psi_{n} \otimes N_{j} . \]

Définition (page 8). \(L_{*}\) est spécial si \(N(L_{*})\) est borné, à composantes et homologie projectives de type fini — autrement dit (Corollaire 2) si \(L_{*}\) est une somme finie de \(\Lambda^{i}\Phi_{*} \otimes M_{i}\) (\(i \geqslant 1\)) et \(\Lambda^{j}\Psi_{*} \otimes N_{j}\) (\(j \geqslant 0\)), à \(M_{i}\), \(N_{j}\) projectifs de type fini ; strictement spécial si de plus les \(M_{i}\) et \(N_{j}\) sont libres¹¹ . Dans ce second cas, \(L_{*}\) provient par extension des scalaires d'un module simplicial spécial sur \(\mathbb{Z}\).

La fonction de rang

Lemme (page 6). Supposons \(k\) connexe, de sorte que le rang d'un projectif de type fini est un entier, et les \(L_{n}\), \(\pi_{n}(L_{*})\) projectifs de type fini ; posons \(\mu_{i} = \operatorname{rg} M_{i}\), \(\nu_{j} = \operatorname{rg} N_{j}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

• a)\(N(L_{*})\) est borné ;
• b)les \(M_{i}\), \(N_{j}\) sont nuls sauf un nombre fini, i.e. \(L_{*}\) est spécial ;
• b')(si tout projectif de type fini sur \(k\) est libre, par exemple si \(k\) est principal) \(L_{*}\) est somme finie de \(\Lambda^{i}\Phi_{*}\) (\(i \geqslant 1\)) et de \(\Lambda^{j}\Psi_{*}\) (\(j \geqslant 0\)) ;
• c)\(\operatorname{rg} L_{n}\) est une fonction polynomiale de \(n\) pour \(n\) grand ;
• d)il existe \(N\) et \(c > 0\) tels que \(\operatorname{rg} L_{n} \leqslant c\, n^{N}\) pour \(n\) grand.

De plus, \(\operatorname{rg} L_{n} = O(n^{N})\) si et seulement si \(M_{i} = N_{i} = 0\) pour \(i > N\), et le coefficient de \(n^{N}/N!\) est alors \(\mu_{N} + \nu_{N}\).¹²

Un lemme barré de la page 9, interrompu, en commençait une autre rédaction. Tout repose sur la formule \[ \rho(n) := \operatorname{rg}_{k} L_{n} = \sum_{1 \leqslant i \leqslant n+1} \mu_{i} \binom{n+1}{i} + \sum_{0 \leqslant j \leqslant n} \nu_{j} \binom{n}{j}, \] où chaque terme est un polynôme de degré \(i\) (resp. \(j\)) en \(n\) : si une infinité de \(\mu_{i}\) ou de \(\nu_{j}\) sont non nuls, \(\rho(n)\) est minoré par des polynômes de degré arbitrairement grand.

Stabilité par produits tensoriels et puissances

Proposition 2 (pages 9 à 11), sous la forme où elle est vraie. Les modules simpliciaux spéciaux (resp. strictement spéciaux) sont stables par produit tensoriel. Les puissances \(\Lambda^{m}\), \(\Gamma^{m}\), \(\operatorname{Sym}^{m}\) d'un module spécial flasque sont spéciales ; si \(k\) contient \(\mathbb{Q}\), celles de tout module spécial le sont.

Pour le produit tensoriel on se ramène aux produits de deux briques, à composantes libres de type fini ; par Eilenberg–Zilber et Künneth, leurs \(\pi_{n}\) sont libres de type fini ; leur fonction de rang, produit de deux polynômes, est polynomiale, et le lemme de la page 6 donne la finitude. Pour \(\Lambda^{m}\) (et de même \(\Gamma^{m}\), \(\operatorname{Sym}^{m}\)), la formule de la puissance d'une somme directe, et le fait que \(\Lambda^{i}\Phi_{*} \otimes M\) est facteur direct de \(\Lambda^{i}\Phi_{*} \otimes P\) avec \(P\) libre, ramènent à \(\Lambda^{m}(\Lambda^{i}\Phi_{*})\), contractile puisque \(\Lambda^{i}\Phi_{*}\) l'est, et aux termes mixtes, contractiles pour la même raison.

La page énonce davantage : stabilité de tous les modules spéciaux par \(\Lambda^{m}\), \(\Gamma^{m}\) et (lecture incertaine) \(\operatorname{Sym}^{m}\)¹³ . C'est faux en général : sur \(\mathbb{Z}\), le décalage donne \(\pi_{3}\Lambda^{2}(\Lambda^{2}\Psi_{*}) = \pi_{3}\Lambda^{2}K(\mathbb{Z},2) \simeq \pi_{1}\Gamma^{2}K(\mathbb{Z},1) \simeq \mathbb{Z}/2\), et déjà \(\Gamma^{2}\Psi_{*} = \Gamma^{2}K(\mathbb{Z},1)\) a \(\pi_{1} = \mathbb{Z}/2\)¹⁴ . En revanche, si \(\mathbb{Q} \subset k\), les dérivés de \(\Lambda^{m}\), \(\Gamma^{m} = \operatorname{Sym}^{m}\) en \(k[j]\) sont libres (nuls ou égaux à \(k\) placé en degré \(mj\)), et l'énoncé de la page est correct.

Les invariants numériques

Remarque (pages 11 et 12). Un module simplicial spécial sur \(k\) connexe est déterminé à isomorphisme près par sa fonction de rang \(f_{L}(n) = \operatorname{rg} L_{n}\) et les rangs \(\nu_{j} = \operatorname{rg} \pi_{j}(L_{*})\), du moins lorsque les projectifs de type fini sont libres. En effet \[ \sum_{i \geqslant 1} \mu_{i} \binom{n+1}{i} = f_{L}(n) - \sum_{j \geqslant 0} \nu_{j} \binom{n}{j} \qquad (n \geqslant -1), \] et les polynômes \(P_{i}(n) = \binom{n}{i}\) forment une base du \(\mathbb{Z}\)-module des polynômes à valeurs entières sur les entiers. Inversement, étant donnés des entiers \(\nu_{j} \geqslant 0\) presque tous nuls et une fonction polynomiale \(f\) à valeurs entières, écrivons \(g = f - \sum_{j} \nu_{j} \binom{n}{j} = \sum_{i \geqslant 0} \mu_{i} \binom{n+1}{i}\), les \(\mu_{i} \in \mathbb{Z}\) étant uniques. Il existe un \(L_{*}\) strictement spécial de rangs \(\nu_{j}\) et de fonction de rang \(f\) si et seulement si \(\mu_{0} = 0\) et \(\mu_{i} \geqslant 0\) pour \(i \geqslant 1\). Comme \(\binom{-1}{j} = (-1)^{j}\) et \(\binom{0}{i} = \delta_{i0}\), on a \(\mu_{0} = g(-1)\), et \[ \mu_{0} = 0 \iff f(-1) = \sum_{j} (-1)^{j} \nu_{j} , \] le second membre étant la caractéristique d'Euler — une jolie forme de l'égalité entre caractéristique d'Euler des composantes et de l'homologie.

13–21

Seconde rédaction : la \(\partial\)-perfection, et le cas principal (pages 13 à 21)

Définitions

La page 13 reprend tout sur un papier différent, en recommençant la numérotation. Les notions sont celles de SGA 6 (complexes pseudo-cohérents, parfaits, strictement parfaits) transportées par Dold–Kan.

Définition 1. \(L_{*}\) est \(\partial\)-pseudo-cohérent (resp. strictement \(\partial\)-pseudo-cohérent, \(\partial\)-parfait, strictement \(\partial\)-parfait) si \(N(L_{*})\) est pseudo-cohérent (resp. un complexe de projectifs de type fini, parfait, un complexe borné de projectifs de type fini).

Proposition 1 (page 13).

• a), b)\(L_{*}\) est strictement \(\partial\)-pseudo-cohérent si et seulement si les \(L_{n}\) (ou les \(N_{n}\)) sont projectifs de type fini ; strictement \(\partial\)-parfait si de plus \(N_{n} = 0\) sauf pour un nombre fini de \(n\).
• c)\(L_{*}\) est strictement \(\partial\)-parfait si et seulement s'il est extension successive finie de modules \(\Lambda^{i}\Psi_{*} \otimes_{k} M_{i}\), à \(M_{i}\) projectifs de type fini, et l'on peut ranger ces extensions par \(i\) croissant : c'est la filtration bête de \(N(L_{*})\) par les degrés \(\leqslant i\), de gradués \(N_{i}[i]\)¹⁵ . Si \(k\) est connexe, il revient au même de demander que les \(L_{n}\) soient projectifs de type fini et que \(n \mapsto \operatorname{rg} L_{n}\) soit polynomiale pour \(n\) grand¹⁶ .
• d)Si \(k\) est noethérien, \(L_{*}\) est \(\partial\)-pseudo-cohérent si et seulement si les \(\pi_{n}(L_{*})\) sont de type fini ; c'est le cas en particulier si les \(L_{n}\) sont de type fini.
• e)Si \(k\) est noethérien régulier de dimension finie, et si les \(L_{n}\) sont de type fini et la fonction \(n \mapsto \operatorname{rg}_{K} (L_{n} \otimes_{k} K)\) est polynomiale pour tout corps résiduel \(K\), de degré borné, alors \(L_{*}\) est \(\partial\)-parfait. Le degré du polynôme est alors le plus grand \(N\) tel que \(N_{N}(L_{*}) \otimes K \neq 0\) ; ses coefficients dans la base des \(\binom{n}{i}\) sont les \(\operatorname{rg}_{K} N_{i}(L_{*}) \otimes K\), fonctions constructibles sur \(\operatorname{Spec} k\).¹⁷

NB (page 14). Sur un anneau noethérien non régulier, la condition de e) ne suffit plus : sur \(k = k_{0}[\varepsilon]/(\varepsilon^{2})\), le module simplicial constant de valeur \(k_{0}\) satisfait la condition de rangs mais \(k_{0}\) n'est pas un \(k\)-module parfait¹⁸ . La condition nécessaire et suffisante, plus subtile, est l'existence d'un quasi-isomorphisme \(L'_{*} \to L_{*}\) de source strictement \(\partial\)-parfaite ; on peut le prendre surjectif lorsque \(N(L_{*})\) est borné à composantes de type fini¹⁹ .

En marge, verticalement : « Stabilité des notions par extensions, produits … ».

Le cas d'un anneau principal

Une théorie de dévissage des \(L_{*}\) strictement \(\partial\)-pseudo-cohérents n'est possible que si l'on en a une pour les complexes de chaînes, « ce qui n'est guère le cas que si \(k\) est principal (ou Dedekind à la rigueur…) ». Supposons donc \(k\) principal ; notons \(\mathfrak{B}\) l'ensemble des diviseurs non nuls de \(k\), i.e. des idéaux propres non nuls.

Théorème (pages 15 et 16). Tout \(L_{*}\) strictement \(\partial\)-pseudo-cohérent sur \(k\) principal est isomorphe à un produit \[ L_{*} \simeq \prod_{i \geqslant 1} (\Lambda^{i}\Phi_{*})^{\mu_{i}} \times \prod_{j \geqslant 0} (\Lambda^{j}\Psi_{*})^{\nu_{j}} \times \prod_{\substack{i \geqslant 1 \\ \ell \in \mathfrak{B}}} \Phi(i,\ell)^{\rho_{i,\ell}}, \] où, pour chaque \(i\), les \(\rho_{i,\ell}\) sont presque tous nuls, et \(\Phi(i,\ell) = \Phi(i,n)\) pour un générateur \(n\) de \(\ell\). Si l'on exige que, pour chaque \(i\), les \(\ell\) tels que \(\rho_{i,\ell} \neq 0\) forment une chaîne pour la divisibilité, les entiers sont uniquement déterminés :

• a)les \(\ell\) avec leurs multiplicités \(\rho_{i,\ell}\) sont les facteurs invariants de la torsion de \(\pi_{i-1}(L_{*})\) ;
• b)\(\nu_{i} = \operatorname{rg} \pi_{i}(L_{*})\) ;
• c)\(\mu_{i} = \operatorname{rg} B_{i-1} - \rho_{i}\), où \(\rho_{i} = \sum_{\ell} \rho_{i,\ell}\) ;
• d)\(\operatorname{rg} Z_{i} = \mu_{i+1} + \rho_{i+1} + \nu_{i}\) et \(\operatorname{rg} N_{i} = \mu_{i+1} + \rho_{i+1} + \nu_{i} + \mu_{i} + \rho_{i}\) (\(B\), \(Z\), \(N\) désignant ceux de \(N(L_{*})\))²⁰ .

\(L_{*}\) est strictement \(\partial\)-parfait si et seulement si le nombre total de facteurs est fini ; il est \(\partial\)-parfait si et seulement si les facteurs \(\Lambda^{j}\Psi_{*}\) et \(\Phi(i,\ell)\) sont en nombre fini²¹ .

Démonstration. Par Dold–Kan, c'est un énoncé sur un complexe de chaînes \(N\) à composantes libres de type fini. Les \(B_{i-1}\), sous-modules de libres, sont libres, donc \(N_{i} \simeq Z_{i} \oplus B_{i-1}\) et \(N\) est produit de complexes \(K_{i} : B_{i-1} \hookrightarrow Z_{i-1}\) en degrés \(i\), \(i-1\). Soit \(\overline{B}_{i-1} \subset Z_{i-1}\) l'image réciproque de la torsion de \(H_{i-1}\) ; \(Z_{i-1}/\overline{B}_{i-1}\) est sans torsion de type fini, donc libre, d'où \(K_{i} \simeq (B_{i-1} \hookrightarrow \overline{B}_{i-1}) \oplus (\text{libre de rang } \nu_{i-1} \text{ en degré } i-1)\). Enfin l'inclusion \(B_{i-1} \hookrightarrow \overline{B}_{i-1}\), de même rang et de conoyau \(\operatorname{Tors} H_{i-1}\), se met sous forme de Smith : somme de complexes \(k \xrightarrow{m_{\alpha}} k\), les \(m_{\alpha}\) définis à une unité près et pris croissants pour la divisibilité ; ceux qui sont des unités donnent les \((\Lambda^{i}\Phi_{*})^{\mu_{i}}\), les autres les \(\Phi(i,\ell)\)²² .

Les briques de torsion. \(\Phi(i,n)\) est une extension \[ 0 \to \Lambda^{i-1}\Psi_{*} \to \Phi(i,n) \to \Lambda^{i}\Psi_{*} \to 0, \] déduite de l'extension \(\Lambda^{i}\Phi_{*}\) par la multiplication par \(n\) sur \(\Lambda^{i-1}\Psi_{*}\) (page 21) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
0 \arrow[r] & \Lambda^{i-1}\Psi_{*} \arrow[r] \arrow[d, "n"] & \Lambda^{i}\Phi_{*} \arrow[r] \arrow[d] & \Lambda^{i}\Psi_{*} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{id}"] & 0 \\
0 \arrow[r] & \Lambda^{i-1}\Psi_{*} \arrow[r] & \Phi(i,n) \arrow[r] & \Lambda^{i}\Psi_{*} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

et \(\pi_{j}(\Phi(i,n))\) est \(k/(n)\) pour \(j = i-1\), nul sinon.

Remarques (pages 18 et 19). 1) La fonction de rang de \(\Phi(i,n)\) est celle de \(\Lambda^{i}\Phi_{*}\), \(\binom{n+1}{i}\). Donc, si \(L_{*}\) est strictement \(\partial\)-parfait, \[ \operatorname{rg} L_{n} = \sum_{i \leqslant n+1} (\mu_{i} + \rho_{i}) \binom{n+1}{i} + \sum_{0 \leqslant j \leqslant n} \nu_{j} \binom{n}{j} . \] 2) \(L_{*}\) est donc connu, à isomorphisme non unique près, quand on connaît les \(\pi_{i}(L_{*})\) à isomorphisme près — c'est-à-dire les \(\nu_{i}\) et les \(\rho_{i+1,\ell}\) — et la fonction \(f_{L}\) pour \(n\) grand, qui donne les \(\mu_{i} + \rho_{i}\)²³ . 2 bis) \(L_{*}\) est projectif (dans la catégorie des modules simpliciaux) si et seulement s'il n'a que des facteurs \((\Lambda^{i}\Phi_{*})^{\mu_{i}}\) et \((\Lambda^{0}\Psi_{*})^{\nu_{0}} = k^{\nu_{0}}\) — c'est le lemme 1 ; et \(L_{*} \otimes_{k} K\) (\(K\) corps des fractions) est flasque, i.e. les \(\pi_{n}(L_{*})\) sont de torsion, si et seulement s'il n'a aucun facteur \(\Lambda^{j}\Psi_{*}\)²⁴ .

3) La catégorie additive des \(L_{*}\) strictement \(\partial\)-parfaits est donc déterminée par les morphismes entre indécomposables, qu'on peut réduire à deux types en admettant \(n\) unité : \(\Phi(i,n)\) (\(i \geqslant 1\)) et \(\Lambda^{j}\Psi_{*}\) (\(j \geqslant 0\)).

Les morphismes entre briques

En repassant aux complexes de chaînes : un morphisme \(\Phi(i,n) \to L_{*}\) est un couple \((x, y) \in N_{i} \times N_{i-1}\) avec \(dx = ny\) ; si \(N_{i-1}\) est sans torsion, \(y\) est déterminé par \(x\), et \[ \operatorname{Hom}(\Phi(i,n), L_{*}) \simeq \{ x \in N_{i}(L_{*}) \mid dx \in n\, N_{i-1}(L_{*}) \}, \qquad \operatorname{Hom}(\Lambda^{i}\Psi_{*}, L_{*}) \simeq Z_{i}(N(L_{*})) . \] D'où le tableau (pages 20 et 21), pour \(n\), \(m\) non nuls : \[ \begin{aligned} \operatorname{Hom}(\Phi(i,n), \Phi(j,m)) &\simeq \begin{cases} n'k \simeq k, \ n' = n/(m,n) & \text{si } j = i, \\ k & \text{si } j = i+1, \\ 0 & \text{sinon} ; \end{cases} \\ \operatorname{Hom}(\Phi(i,n), \Lambda^{j}\Psi_{*}) &\simeq k \text{ si } j = i, \ 0 \text{ sinon} ; \\ \operatorname{Hom}(\Lambda^{i}\Psi_{*}, \Phi(j,n)) &\simeq k \text{ si } j = i+1, \ 0 \text{ sinon} ; \\ \operatorname{Hom}(\Lambda^{i}\Psi_{*}, \Lambda^{j}\Psi_{*}) &\simeq k \text{ si } j = i, \ 0 \text{ sinon}. \end{aligned} \] Pour \(j = i+1\), le générateur est le composé \(\Phi(i,n) \to \Lambda^{i}\Psi_{*} \to \Phi(i+1,m)\) ; \(\operatorname{End}(\Phi(i,n)) = k \cdot \mathrm{id}\) ; \(\operatorname{Hom}(\Lambda^{i}\Phi_{*}, \Lambda^{i+1}\Phi_{*}) = k \cdot (\wedge T)\) ; \(\operatorname{Hom}(\Lambda^{i}\Phi_{*}, \Lambda^{i}\Psi_{*})\) est engendré par la projection canonique, et \(\operatorname{Hom}(\Lambda^{i}\Psi_{*}, \Lambda^{i+1}\Phi_{*})\) par l'inclusion canonique. Pour \(L_{*}\) strictement \(\partial\)-parfait, \(\operatorname{Hom}(\Lambda^{i}\Psi_{*}, L_{*}) \simeq k^{\mu_{i+1} + \rho_{i+1} + \nu_{i}}\)²⁵ .

22–27

L'axiomatisation (pages 22 à 27)

« En résumé », la page 22 refait ces calculs sans modules : dans la catégorie \(k\)-linéaire de tous les modules simpliciaux, les strictement \(\partial\)-parfaits forment une sous-catégorie additive \(\mathcal{C}_{0}\), qui contient le complexe \(\mathbb{C}^{\bullet}\) et satisfait :

• (a)\(\mathbb{C}^{\bullet}\), augmenté par \(\Psi^{0}\), est acyclique dans la catégorie abélienne ambiante ;
• (b)\(\operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{i}, \mathbb{C}^{j})\) est libre de rang \(1\), de base \(\mathrm{id}\), si \(j = i\), de base \(d^{i}\) si \(j = i+1\), et nul sinon ;
• (c)la classe \(e_{i}\) de l'extension \(0 \to \Psi^{i-1} \to \mathbb{C}^{i-1} \to \Psi^{i} \to 0\) est une base de \(\operatorname{Ext}^{1}_{\mathcal{C}_{0}}(\Psi^{i}, \Psi^{i-1})\).

Ici \(\Psi^{i} = \operatorname{Ker}(\mathbb{C}^{i} \to \mathbb{C}^{i+1}) \simeq \operatorname{Coker}(\mathbb{C}^{i-2} \to \mathbb{C}^{i-1})\) pour \(i \geqslant 1\)²⁶ . On en tire \(\operatorname{Hom}(\Psi^{i}, \Psi^{j}) = k\,\mathrm{id}\) ou \(0\), \(\operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{i}, \Psi^{j}) = k\) si \(j = i+1\) (la projection) et \(0\) sinon, \(\operatorname{Hom}(\Psi^{i}, \mathbb{C}^{j}) = k\) si \(j = i\) (l'inclusion) et \(0\) sinon.

On définit alors \(\Phi(i,n)\), pour \(n \in k\) non nul et \(i \geqslant 1\), comme l'extension de \(\Psi^{i}\) par \(\Psi^{i-1}\) déduite de \(\mathbb{C}^{i-1}\) par \(n \cdot \mathrm{id}_{\Psi^{i-1}}\), de classe \(e_{i,n} = n e_{i}\) ; \(\Phi(i,1) = \mathbb{C}^{i-1}\). Le calcul de \(\operatorname{Hom}(\Phi(i,n), \Phi(i,m))\) (pages 22 et 23) est le plus instructif. Un morphisme \(\alpha\) induit des homothéties \(p\) sur le sous-objet \(\Psi^{i-1}\) et \(q\) sur le quotient \(\Psi^{i}\), puisque tout morphisme \(\Psi^{i-1} \to \Psi^{i}\) est nul ; un couple \((p, q)\) provient d'un \(\alpha\) si et seulement si \(p_{*}(e_{i,n}) = q^{*}(e_{i,m})\) dans \(\operatorname{Ext}^{1}(\Psi^{i}, \Psi^{i-1})\), i.e. \((pn - qm)\, e_{i} = 0\), i.e., par (c), \(pn = qm\). Si \(k\) est principal et \(m' = m/(m,n)\), \(n' = n/(m,n)\), les solutions sont \(p = t m'\), \(q = t n'\), \(t \in k\), et \(\alpha\) est unique puisque \(\operatorname{Hom}(\Psi^{i}, \Psi^{i-1}) = 0\) : \[ \operatorname{Hom}(\Phi(i,n), \Phi(i,m)) \simeq k , \] ce qui redonne le \(n'k\) de la page 20, la composante de degré \(i\) étant \(q = tn'\)²⁷ . Les pages 24 à 26 établissent de même, à partir de (a) à (c) seuls, \(\operatorname{Hom}(\Phi(i,n), \Phi(i-1,m)) = 0\), \(\operatorname{Hom}(\Phi(i,n), \Psi^{j}) = k\) si \(j = i\) et \(0\) sinon, \(\operatorname{Hom}(\Psi^{i}, \Phi(j,n)) = k\) si \(j = i+1\) et \(0\) sinon — le tableau des pages 20 et 21²⁸ . Enfin (d), page 26 : si \(k\) est principal, tout objet est somme finie de \(\Phi(i,n)\) et de \(\Psi^{j}\).

La conclusion, page 27 : si \(\mathcal{A}\) est la sous-catégorie pleine des \(\Phi(i,n)\) et des \(\Psi^{j}\), la catégorie \(\mathcal{C}_{0}\) est connue à équivalence près dès qu'on connaît \(\mathcal{A}\) avec sa structure « ½ additive » — c'est-à-dire préadditive, enrichie en groupes abéliens : \(\mathcal{C}_{0}\) en est l'enveloppe additive, la catégorie des sommes formelles finies avec des matrices pour morphismes. « La chose intéressante : faire … la \(\otimes\)-structure et les opérations \(\Gamma^{i}\) » — c'est le programme du reste du dossier.

28–35

Reconstruire une catégorie à partir d'une sous-catégorie pleine (pages 28 à 35)

Soient \(\mathcal{C}\) une catégorie, \(\mathcal{A}\) une sous-catégorie pleine, et \(\rho : \mathcal{C} \to \widehat{\mathcal{A}} = \operatorname{Fonct}(\mathcal{A}^{\circ}, \mathrm{Ens})\) le foncteur \(X \mapsto \operatorname{Hom}(-, X)|_{\mathcal{A}}\) (Yoneda restreint).

Densité. Si tout objet \(X\) de \(\mathcal{C}\) est la colimite canonique \(\varinjlim_{(Y \to X) \in \mathcal{A}/X} Y\) — si \(\mathcal{A}\) est dense dans \(\mathcal{C}\) —, \(\rho\) est pleinement fidèle (et réciproquement). Si \(\mathcal{C}\) est additive, \(\rho\) se factorise par la catégorie \(\widehat{\mathcal{A}}_{ab}\) des foncteurs additifs \(\mathcal{A}^{\circ} \to \mathrm{Ab}\), et comme l'oubli \(\widehat{\mathcal{A}}_{ab} \to \widehat{\mathcal{A}}\) est fidèle, \(\rho_{ab}\) est encore pleinement fidèle. C'est le cas en particulier si tout objet de \(\mathcal{C}\) est somme finie d'objets de \(\mathcal{A}\) : c'est alors le lemme de Yoneda additif²⁹ .

Image essentielle. \(\rho\) préserve toutes les limites existantes. Si \(\mathcal{A}\) est dense, si tout objet de \(\mathcal{C}\) est une limite d'un type donné \(\mathcal{T}\) d'objets de \(\mathcal{A}\), et si \(\mathcal{C}\) a les limites de ce type, alors \(\rho\) est une équivalence de \(\mathcal{C}\) sur la sous-catégorie pleine de \(\widehat{\mathcal{A}}\) (resp. \(\widehat{\mathcal{A}}_{ab}\)) formée des limites de type \(\mathcal{T}\) de représentables. Exemple : \(\mathcal{C}\) additive, tout objet somme finie d'objets de \(\mathcal{A}\) ; alors \(\mathcal{C}\) est équivalente à la catégorie des foncteurs additifs \(\mathcal{A}^{\circ} \to \mathrm{Ab}\) isomorphes à une somme finie de représentables. Si \(\mathcal{A}\) n'a qu'un objet \(A\), d'anneau d'endomorphismes \(k\), on retrouve, par \(X \mapsto \operatorname{Hom}(A, X)\), les \(k\)-modules à droite libres de type fini (pages 29 et 30).

Le cas dual, et une équivalence remarquable. Dualement, \(r : \mathcal{C}^{\circ} \to \operatorname{Fonct}(\mathcal{A}, \mathrm{Ens})\), \(X \mapsto \operatorname{Hom}(X, -)|_{\mathcal{A}}\), est pleinement fidèle si \(\mathcal{A}\) est codense, et transforme colimites en limites. D'où la

Proposition (page 31). Soient \(\mathcal{C}\) une catégorie (resp. additive), \(\mathcal{A}\) une sous-catégorie pleine dense et codense, \(\mathcal{T}\), \(\mathcal{T}'\) deux ensembles de petites catégories. On suppose \(\mathcal{C}\) stable par limites de type \(\mathcal{T}\) et colimites de type \(\mathcal{T}'\), et tout objet de \(\mathcal{C}\) à la fois limite de type \(\mathcal{T}\) et colimite de type \(\mathcal{T}'\) d'objets de \(\mathcal{A}\). Alors \(\mathcal{C}\) est équivalente à la sous-catégorie pleine \(\widehat{\mathcal{A}}_{\mathcal{T}}\) de \(\widehat{\mathcal{A}}\) (resp. \(\widehat{\mathcal{A}}_{ab}\)) des limites de type \(\mathcal{T}\) de représentables, et \(\mathcal{C}^{\circ}\) à la sous-catégorie pleine de \(\operatorname{Fonct}(\mathcal{A}, \mathrm{Ens})\) (resp. des foncteurs additifs vers \(\mathrm{Ab}\)) des limites indexées par les \(\tau^{\circ}\), \(\tau \in \mathcal{T}'\), de coreprésentables.³⁰

On obtient en particulier une équivalence \(\widehat{\mathcal{A}}_{\mathcal{T}} \simeq (\widehat{\mathcal{A}^{\circ}}_{\mathcal{T}'})^{\circ}\) qui « exige d'être définie intrinsèquement » en termes de \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{T}\), \(\mathcal{T}'\). Quand \(\mathcal{A}\) n'a qu'un objet, d'anneau \(k\), et que \(\mathcal{T} = \mathcal{T}'\) est l'ensemble des catégories discrètes finies, c'est l'antiéquivalence entre \(k\)-modules libres de type fini à gauche et à droite, \(M \mapsto M^{\vee}\) : la dualité des modules libres comme cas d'une dualité générale entre préfaisceaux et copréfaisceaux. On reconnaît la dualité d'Isbell³¹ .

Foncteurs sur \(\mathcal{C}\). Si \(\mathcal{C}\) est additive et tout objet somme finie d'objets de \(\mathcal{A}\), alors pour toute catégorie additive \(\mathcal{C}'\) \[ \operatorname{Fonct}_{add}(\mathcal{C}, \mathcal{C}') \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Fonct}_{\frac{1}{2}add}(\mathcal{A}, \mathcal{C}') \] (propriété universelle de l'enveloppe additive)³² . Appliquée au plongement de \(\mathcal{C}\) dans les foncteurs additifs \(\mathcal{A}^{\circ} \to \mathrm{Ab}\), d'image essentielle \(D\), elle donne un accouplement \[ D \times \operatorname{Fonct}_{\frac{1}{2}add}(\mathcal{A}, \mathcal{C}') \to \mathcal{C}', \qquad (F, G) \mapsto F \otimes_{\mathcal{A}} G , \] le produit tensoriel de foncteurs (la cofin \(\int^{a} F(a) \otimes G(a)\)) : si \(\mathcal{A}\) n'a qu'un objet, \(F\) est un \(k\)-module à droite libre de type fini, \(G\) un objet de \(\mathcal{C}'\) muni d'une action de \(k\), et \(F \otimes G\) le produit tensoriel ordinaire. Le plongement dual dans les foncteurs additifs \(\mathcal{A} \to \mathrm{Ab}\), d'image \(D'\), donne de même \(D'^{\circ} \times \operatorname{Fonct}_{\frac{1}{2}add}(\mathcal{A}, \mathcal{C}') \to \mathcal{C}'\), noté \(\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}(F, G)\) — la fin \(\int_{a} \underline{\operatorname{Hom}}(F(a), G(a))\)³³ .

35–38

Le programme : les cochaînes comme foncteur (pages 35 à 38)

Soit \(\mathcal{S}\) une catégorie, \(\mathcal{C}\) une sous-catégorie pleine de la catégorie des groupes abéliens de \(\mathcal{S}\), stable par sommes directes, et \(\mathcal{A} \subset \mathcal{C}\) telle que tout objet de \(\mathcal{C}\) soit somme finie d'objets de \(\mathcal{A}\). À un objet \(X\) de \(\mathcal{S}\) on associe le foncteur additif \[ F_{X} : \mathcal{C} \to \mathrm{Ab}, \qquad M \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{S}}(X, M), \] d'où \(\mathcal{S}^{\circ} \to \operatorname{Fonct}_{add}(\mathcal{C}, \mathrm{Ab}) \simeq \operatorname{Fonct}_{\frac{1}{2}add}(\mathcal{A}, \mathrm{Ab})\) : \(F_{X}\) est connu dès qu'on connaît sa restriction à \(\mathcal{A}\).

Le cas visé est \(\mathcal{S} = \widehat{\Delta}\), les ensembles simpliciaux, avec deux choix (page 36) : 1°) \(\mathcal{C}\) formée des modules simpliciaux \(\partial\)-parfaits, \(\mathcal{A}\) des \(\Phi(i,n)\) et des \(\Psi^{j}\)³⁴ ; 2°) \(\mathcal{C}_{0}\), additive mais non abélienne, formée de ceux dont les \(\pi_{n}\) sont sans torsion (« apériodiques », lecture incertaine), et \(\mathcal{A}_{0}\) des \(\mathbb{C}^{i}\) et des \(\Psi^{j}\). Le cadre doit être étudié sur un anneau de Dedekind, puis sur un anneau \(k\) quelconque (page 37).

Pour un ensemble simplicial \(X\), on a \(F_{X}(M) = \operatorname{Hom}(k[X], M)\), et par Dold–Kan \[ F_{X}(\mathbb{C}^{i}) \simeq C^{i}(X; k), \qquad F_{X}(\Psi^{i}) \simeq Z^{i}(X; k), \] cochaînes et cocycles normalisés ; \(F_{X}(\mathbb{C}^{\bullet})\) est le complexe de cochaînes normalisées \(C^{\bullet}(X; k)\)³⁵ . Le propos principal est de reconstituer sur ce foncteur la structure multiplicative, c'est-à-dire les homomorphismes \[ F(M) \otimes_{k} F(N) \to F(M \otimes N), \qquad \Gamma^{i}F(M) \to F(\Gamma^{i}M), \] en tant que structures sur le complexe \(C^{\bullet}(X; k)\). Les premiers viennent de la diagonale de \(X\) et du produit tensoriel degré par degré ; les seconds de ce que \(f \mapsto (x \mapsto f(x)^{[i]})\) est une application polynomiale de degré \(i\) de \(F(M)\) dans \(F(\Gamma^{i}M)\), donc une application linéaire de \(\Gamma^{i}F(M)\)³⁶ .

Il faudrait voir, poursuit la page 38, si en caractéristique \(0\) cette structure est déterminée par le complexe de De Rham–Sullivan de \(X\), et dans le cas d'un \(k\) quelconque par les complexes de De Rham à puissances divisées ; « il est clair » que \(C^{\bullet}\) muni des structures envisagées « rectifie » ces complexes. « Enfin, il faut voir dans quelle mesure \(C^{*}\) avec ses structures multiplicatives à p.d. permet de reconstituer le type d'homotopie du \(X_{\bullet}\) dont il provient. (Enfin, bien sûr, faisceautiser et relativiser… !!!) »³⁷

39–46

Le complexe universel (pages 39 à 46)

La catégorie engendrée par un complexe

Soient \(\mathbb{K}\) une catégorie \(k\)-additive (additive, avec \(k \to \operatorname{End}(\mathrm{id}_{\mathbb{K}})\)) et \(\mathbb{C}^{0} \xrightarrow{d^{0}} \mathbb{C}^{1} \xrightarrow{d^{1}} \cdots\) un complexe de cochaînes de \(\mathbb{K}\). On suppose :

• a)\(\operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{i}, \mathbb{C}^{j})\) est libre de rang \(1\) de base \(\mathrm{id}\) si \(j = i\), de base \(d^{i}\) si \(j = i+1\), et nul sinon ;
• b)tout objet de \(\mathbb{K}\) est somme finie de \(\mathbb{C}^{i}\).

La sous-catégorie pleine \(\mathcal{A}\) des \(\mathbb{C}^{i}\) n'est pas additive mais est \(k\)-linéaire ; \(\mathbb{K}\) en est l'enveloppe additive. Un tel couple existe « par construction abstraite », et se réalise de deux façons (pages 39 et 40) :

• comme la catégorie des complexes de chaînes bornés de \(k\)-modules, acycliques, dont les \(L_{n}\) et \(Z_{n}\) sont libres de type fini, avec pour \(\mathbb{C}^{i}\) le disque \(k \xrightarrow{\mathrm{id}} k\) en degrés \(i+1\), \(i\) ; \(d^{i}\) est caractérisé par sa composante de degré \(i+1\), \(\mathrm{id}_{k}\) ;
• comme la catégorie \(\mathcal{C}\) des modules simpliciaux flasques et strictement \(\partial\)-parfaits, sommes finies des \(\mathbb{C}^{i} = \Lambda^{i+1}\Phi_{*}\), avec \(d^{i} = \wedge T\) ; il revient au même de demander que les \(L_{n}\) soient libres de type fini de rang constant, de fonction de rang polynomiale, et \(L_{*}\) flasque, du moins si les projectifs de type fini sont libres³⁸ .

Le complexe \(\mathbb{C}^{\bullet}\) « jouera le rôle du complexe de cochaînes universel ».

Proposition 1 (page 40). Pour toute catégorie \(k\)-additive \(\mathcal{B}\), la restriction et l'évaluation en \(\mathbb{C}^{\bullet}\) donnent des équivalences \[ \operatorname{Fonct}_{k}(\mathbb{K}, \mathcal{B}) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Fonct}_{k}(\mathcal{A}, \mathcal{B}) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{B}^{\bullet}, \qquad F \mapsto F(\mathbb{C}^{\bullet}). \] La première est la propriété de l'enveloppe additive ; la seconde dit qu'un foncteur \(k\)-linéaire sur \(\mathcal{A}\) est une suite d'objets \(B^{i}\) et de flèches \(B^{i} \to B^{i+1}\), de composés nuls puisque \(\operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{i}, \mathbb{C}^{i+2}) = 0\). Autrement dit, \(\mathbb{K}\) est la catégorie \(k\)-additive librement engendrée par un complexe de cochaînes.

Les réalisations de \(\mathbb{K}\)

Exemple 1 (pages 40 et 41). Pour \(\mathcal{B} = \operatorname{Mod}_{k}\), les foncteurs représentables donnent un foncteur pleinement fidèle contravariant \[ \alpha^{\bullet} : \mathbb{K}^{\circ} \hookrightarrow \operatorname{Mod}_{k}^{\bullet}, \qquad x \mapsto \operatorname{Hom}(x, \mathbb{C}^{\bullet}), \] avec \(\alpha^{\bullet}(\mathbb{C}^{i}) = (k \xrightarrow{\mathrm{id}} k)\) en degrés \(i\), \(i+1\) ; son image essentielle est formée de complexes de cochaînes bornés, libres de type fini en chaque degré, acycliques, à cocycles libres de type fini³⁹ .

Exemple 2, et sa correction (pages 41 et 42). Le foncteur covariant \(x \mapsto (\operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{i}, x))_{i}\) ne donne pas un complexe de chaînes acyclique : \(\operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{i}, \mathbb{C}^{0})\) n'est non nul que pour \(i = 0\), et l'image de \(\mathbb{C}^{0}\) est \(k\) en degré \(0\) seul. « Ceci n'est pas bon … l'irrégularité \(i \geqslant 0\) », note la marge⁴⁰ . La correction est dans une autre note marginale : on pose \[ \alpha_{n}(x) = \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{n-1}, x) \quad (n \geqslant 1), \qquad \alpha_{0}(x) = \operatorname{Hom}(x, \mathbb{C}^{0})^{\vee}, \] ce qui fait de \(\alpha_{\bullet}(x)\) un complexe de chaînes, avec \(\alpha_{\bullet}(\mathbb{C}^{i})\) le disque en degrés \(i+1\), \(i\) pour tout \(i \geqslant 0\). La justification est la

Proposition 2 (page 42). Pour \(n \geqslant 0\), l'accouplement \[ \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{n}, x) \times \operatorname{Hom}(x, \mathbb{C}^{n+1}) \to \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{n}, \mathbb{C}^{n+1}) \simeq k, \qquad (u, v) \mapsto vu, \] est une dualité parfaite, fonctorielle en \(x \in \mathbb{K}\). Par additivité il suffit de le voir pour \(x = \mathbb{C}^{j}\), où les deux membres sont nuls sauf pour \(j \in \{n, n+1\}\), et où l'accouplement envoie \((\mathrm{id}, d^{n})\), resp. \((d^{n}, \mathrm{id})\), sur \(d^{n}\). Ainsi \(\alpha_{\bullet}(x) \simeq \alpha^{\bullet}(x)^{\vee}\), et la dualité \(M \mapsto M^{\vee}\) des modules libres de type fini échange les deux réalisations : \(\alpha_{\bullet}\) est une équivalence de \(\mathbb{K}\) sur une catégorie \(\mathbb{K}_{\bullet}\) de complexes de chaînes, et \(\mathbb{K}_{\bullet} \simeq (\mathbb{K}^{\bullet})^{\circ}\) par \(\vee\)⁴¹ .

Proposition 3 (pages 43 et 44) : la formule de reconstruction. Pour un complexe de cochaînes \(K^{\bullet}\) de \(k\)-modules libres de type fini et \(C^{\bullet} \in \mathcal{B}^{\bullet}\), notons \(\underline{\operatorname{Hom}}^{\bullet}_{k}(K^{\bullet}, C^{\bullet})\) l'objet de \(\mathcal{B}\) (s'il existe) qui représente \(b \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{B}^{\bullet}}(b \otimes_{k} K^{\bullet}, C^{\bullet})\) ; c'est le noyau de \(\delta : \prod_{i} \operatorname{Hom}_{k}(K^{i}, C^{i}) \to \prod_{i} \operatorname{Hom}_{k}(K^{i}, C^{i+1})\), \(\delta(u) = du - ud\). Pour tout foncteur \(k\)-linéaire \(F : \mathbb{K} \to \mathcal{B}\) et tout \(x \in \mathbb{K}\), cet objet existe pour \(K^{\bullet} = \alpha^{\bullet}(x)\) et l'on a un isomorphisme bifonctoriel \[ F(x) \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\operatorname{Hom}}^{\bullet}_{k} \bigl(\alpha^{\bullet}(x),\, F(\mathbb{C}^{\bullet})\bigr). \] La flèche provient de l'évaluation \(F(x) \otimes \operatorname{Hom}(x, \mathbb{C}^{\bullet}) \to F(\mathbb{C}^{\bullet})\) ; les deux membres sont additifs en \(x\), et pour \(x = \mathbb{C}^{i}\) un morphisme \(b \otimes \alpha^{\bullet}(\mathbb{C}^{i}) \to C^{\bullet}\) est une flèche \(b \to C^{i}\), la composante de degré \(i+1\) s'en déduisant ; d'où \(\underline{\operatorname{Hom}}^{\bullet}_{k}(\alpha^{\bullet}(\mathbb{C}^{i}), C^{\bullet}) = C^{i} = F(\mathbb{C}^{i})\). C'est l'inverse explicite de l'équivalence de la proposition 1 — une formule de Yoneda, ou d'extension de Kan, pour la catégorie librement engendrée par un complexe⁴² .

Exemple 3 et proposition 5 (pages 45 et 46) : la version cosimpliciale. La correspondance de Dold–Kan vaut dans toute catégorie additive karoubienne \(\mathcal{B}\) : \(\mathcal{B}_{\bullet} \simeq \mathcal{B}_{*}\) et, dualement, \(\mathcal{B}^{\bullet} \simeq \mathcal{B}^{*}\) (objets cosimpliciaux)⁴³ . On a donc quatre réalisations de \(\mathbb{K}\), reliées par \(\mathrm{DP}\), sa quasi-inverse \(\mathrm{ND}\) (normalisation) et la dualité :

\begin{tikzcd}[column sep=large]
\mathbb{K}_{\bullet} \arrow[rr, "\mathrm{DP}"] \arrow[dd, leftrightarrow, "\vee"'] & & \mathbb{K}_{*} \arrow[dd, leftrightarrow, "\vee"] \\
& \mathbb{K} \arrow[ul, "\alpha_{\bullet}"] \arrow[ur, "\alpha_{*}"'] \arrow[dl, "\alpha^{\bullet}"] \arrow[dr, "\alpha^{*}"'] & \\
\mathbb{K}^{\bullet} \arrow[rr, "\mathrm{DP}"'] & & \mathbb{K}^{*}
\end{tikzcd}

où \(\alpha^{\bullet}\), \(\alpha^{*}\) et les dualités sont contravariantes⁴⁴ . Ainsi \(\alpha_{*}(\mathbb{C}^{i}) = \mathrm{DP}(\mathbb{C}^{i}_{\bullet}) \simeq \Lambda^{i+1}\Phi_{*}\) — c'est la réalisation simpliciale de la page 40 — et \(\alpha^{*}(\mathbb{C}^{i}) \simeq \Lambda^{i+1}\check{\Phi}^{*}\), son dual cosimplicial. Appliquant \(\mathrm{DP}\) à \(\mathbb{C}^{\bullet}\) dans \(\mathbb{K}\) lui-même, on obtient un objet cosimplicial universel \(\mathbb{C}^{*} = \mathrm{DP}(\mathbb{C}^{\bullet})\) de \(\mathbb{K}\), et :

Proposition 5. Si \(\mathcal{B}\) est \(k\)-additive karoubienne, \(F \mapsto F(\mathbb{C}^{*})\) est une équivalence \(\operatorname{Fonct}_{k}(\mathbb{K}, \mathcal{B}) \xrightarrow{\sim} \mathcal{B}^{*}\) ; sans l'hypothèse karoubienne, c'est encore un foncteur pleinement fidèle.

La page 46 s'arrête sur « On a un isom. canonique bifonctoriel en \(F\) et \(x\) », sans suite, et la « Proposition 4 » de la page 45 est illisible au-delà de son numéro⁴⁵ .

48–56

Classes de suites exactes et propriété universelle (pages 48 à 56)

Les définitions

Soit \(\mathcal{P}\) la catégorie des complexes de chaînes \(L_{\bullet}\) de \(k\)-modules libres de type fini en chaque degré, nuls sauf en un nombre fini de degrés⁴⁶ , et \(\Sigma\) la classe des suites \(0 \to L' \to L \to L'' \to 0\) exactes en chaque degré — donc scindées en chaque degré, puisque les \(L''_{n}\) sont libres. \(\mathcal{P}\) est muni du complexe \(\mathbb{C}^{\bullet}\) (les disques) et de \(\Sigma\), et l'on va voir qu'il résout un problème universel.

Sur une catégorie additive \(\mathcal{B}\), une classe de suites exactes est un ensemble \(\Sigma\) de suites \(0 \to A' \xrightarrow{q} A \xrightarrow{p} A'' \to 0\) telles que :

• Sex 1)\(q\) est un noyau de \(p\) et \(p\) un conoyau de \(q\) ;
• Sex 2)\(\Sigma\) est stable par isomorphismes et sommes finies, et contient les suites \(0 \to A \xrightarrow{\mathrm{id}} A \to 0 \to 0\) et \(0 \to 0 \to A \xrightarrow{\mathrm{id}} A \to 0\), donc les suites scindées.

D'où les \(\Sigma\)-monomorphismes et \(\Sigma\)-épimorphismes (ceux qui s'insèrent dans une suite de \(\Sigma\)), les morphismes \(\Sigma\)-stricts (composés d'un \(\Sigma\)-épi et d'un \(\Sigma\)-mono), les objets \(\Sigma\)-projectifs et \(\Sigma\)-injectifs, les complexes \(\Sigma\)-spéciaux (dont chaque segment \(A \xrightarrow{u} B \xrightarrow{v} C\) se découpe en suites de \(\Sigma\) par noyaux, images et cohomologie), \(\Sigma\)-acycliques, et les \(\Sigma\)-résolutions : complexes de cochaînes \(\Sigma\)-spéciaux en degrés \(\geqslant 0\), à \(H^{i} = 0\) pour \(i > 0\)⁴⁷ . Ce sont, à deux axiomes près, les catégories exactes de Quillen : manquent la stabilité des \(\Sigma\)-monos par composition — « il faut peut-être exiger qu'un composé de \(\Sigma\)-monos (resp. \(\Sigma\)-épis) en soit itou », note la page 49 — et la stabilité par images directes et réciproques, que la page 59 ajoutera comme axiome d)⁴⁸ .

Le théorème

Théorème (page 50). Soient \(\mathcal{B}\) une catégorie \(k\)-additive karoubienne et \(\Sigma\) une classe de suites exactes sur \(\mathcal{B}\).

• a)Le foncteur \(F \mapsto F(\mathbb{C}^{\bullet})\), de la catégorie des foncteurs \(k\)-linéaires \(\mathcal{P} \to \mathcal{B}\) qui transforment les suites de \(\Sigma\) en suites exactes à gauche (« \(\Sigma\)-exacts à gauche ») vers \(\mathcal{B}^{\bullet}\), est pleinement fidèle ; si tout morphisme de \(\mathcal{B}\) a un \(\Sigma\)-noyau, c'est une équivalence.
• b)Il induit une équivalence entre les foncteurs qui transforment \(\Sigma\) en \(\Sigma\) et les \(\Sigma\)-résolutions.

« Il faudrait prouver le Th », écrit-il ; les pages 51 à 55 le font⁴⁹ . Trois faits sur \(\mathcal{P}\) :

• \(\mathbb{C}^{\bullet}\) est une \(\Sigma\)-résolution de \(\Psi^{0} = k[0]\), découpée par les suites \(0 \to \Psi^{i} \to \mathbb{C}^{i} \to \Psi^{i+1} \to 0\), \(\Psi^{i} = k[i]\) ;
• tout \(L \in \mathcal{P}\) est extension successive, par des suites de \(\Sigma\), d'objets \((\Psi^{i})^{f_{i}}\) : la filtration bête \(\operatorname{Fil}_{i}(L)_{j} = L_{j}\) pour \(j \leqslant i\), \(0\) sinon, a pour gradués \(L_{i}[i] \simeq \Psi^{i} \otimes L_{i}\) ;
• les \(\mathbb{C}^{i}\) sont \(\Sigma\)-projectifs (et \(\Sigma\)-injectifs).

On définit \(\rho(F) = F(\mathbb{C}^{\bullet})\) et, pour \(C^{\bullet} \in \mathcal{B}^{\bullet}\), \[ \sigma(C^{\bullet})(L) = \underline{\operatorname{Hom}}^{\bullet}_{k}(L^{\bullet}, C^{\bullet}), \qquad L^{\bullet} := \operatorname{Hom}(L, \mathbb{C}^{\bullet}) = \alpha^{\bullet}(L), \] où \(L^{i} = \operatorname{Hom}(L, \mathbb{C}^{i}) = L_{i}^{\vee}\) : c'est la formule de la proposition 3, définie grâce aux noyaux de \(\mathcal{B}\). Le foncteur \(\sigma(C^{\bullet})\) est exact à gauche sur les suites de \(\Sigma\), et l'on a une adjonction \[ \operatorname{Hom}(\rho F, C^{\bullet}) \simeq \operatorname{Hom}(F, \sigma C^{\bullet}), \] puisqu'un morphisme \(F(\mathbb{C}^{\bullet}) \to C^{\bullet}\) s'étend de façon unique en des morphismes \(L^{\bullet} \otimes F(L) \to C^{\bullet}\) fonctoriels en \(L\). La coünité \(\rho\sigma C^{\bullet} \to C^{\bullet}\) est un isomorphisme, car \(\sigma(C^{\bullet})(\mathbb{C}^{i}) = C^{i}\) : \(\sigma\) est pleinement fidèle (page 53). L'image essentielle de \(\sigma\) est formée des \(F\) pour lesquels l'unité \(u : F \to \sigma\rho F\) est un isomorphisme. C'est vrai pour \(L = \mathbb{C}^{i}\) ; pour \(L = \Psi^{i}\), noyau dans \(\Sigma\) de \(\mathbb{C}^{i} \to \mathbb{C}^{i+1}\), l'exactitude à gauche de \(F\) donne \(F(\Psi^{i}) \simeq Z^{i}(F(\mathbb{C}^{\bullet})) \simeq \sigma\rho F(\Psi^{i})\) (page 54). Pour \(L\) général, on raisonne par récurrence sur la longueur : si \(L\) est concentré en degrés \([p, p+n]\) et \(L_{p} \simeq k^{r}\), il y a un diagramme de suites de \(\Sigma\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
0 \arrow[r] & (\Psi^{p})^{r} \arrow[r] \arrow[d, no head, "="] & L \arrow[r] \arrow[d] & L' \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
0 \arrow[r] & (\Psi^{p})^{r} \arrow[r] & (\mathbb{C}^{p})^{r} \arrow[r] & (\Psi^{p+1})^{r} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

qui exprime \(L\) comme produit fibré de \(L'\) (le tronqué, plus court) et de \((\mathbb{C}^{p})^{r}\) au-dessus de \((\Psi^{p+1})^{r}\), c'est-à-dire comme noyau d'un \(\Sigma\)-épi \((\mathbb{C}^{p})^{r} \oplus L' \to (\Psi^{p+1})^{r}\) ; l'exactitude à gauche de \(F\) et de \(\sigma\rho F\) et l'hypothèse de récurrence concluent. D'où (page 55) \[ \operatorname{Fonct}_{k, \Sigma\text{-sex}}(\mathcal{P}, \mathcal{B}) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{B}^{\bullet} \] si tout morphisme de \(\mathcal{B}\) admet un \(\Sigma\)-noyau. Si l'on suppose seulement les noyaux dans \(\mathcal{B}^{\bullet}\), l'argument donne encore que \(\rho\) est pleinement fidèle, \(\sigma\) prenant ses valeurs dans les foncteurs vers \(\widehat{\mathcal{B}}\), et l'on a toujours \(F(L) \simeq \underline{\operatorname{Hom}}^{\bullet}_{k}(L^{\bullet}, F(\mathbb{C}^{\bullet}))\). On vérifie enfin que \(F\) est \(\Sigma\)-exact si et seulement si \(F(\mathbb{C}^{\bullet})\) est une \(\Sigma\)-résolution : c'est b). Exemple : pour \(\lambda_{\bullet}\) un complexe de \(k\)-modules, \(L \mapsto \operatorname{Hom}(\lambda_{\bullet}, L)\) est exact à gauche, et la formule se réduit à l'isomorphisme évident \(\operatorname{Hom}(\lambda_{\bullet}, L) \simeq \operatorname{Hom}(L^{\bullet}, \check{\lambda}_{\bullet})\) (pages 55 et 56).

57–64

Caractérisation intrinsèque, et algèbre homologique relative (pages 57 à 64)

Les conditions a) à e)

La page 57 recommence : « Construction canonique de \(\mathcal{P}\) (\(k\)-lin.) ». On part d'une catégorie \(k\)-additive \(\mathcal{P} \supset \mathbb{K}\), et l'on cherche des conditions qui la déterminent.

• a)Le foncteur covariant \(L \mapsto \operatorname{Hom}(L, \mathbb{C}^{0})^{\vee}\) est représentable, par un objet \(\Psi^{0}\). Le morphisme \(\varepsilon : \Psi^{0} \to \mathbb{C}^{0}\) transposé de l'accouplement \(\operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{0}, L) \times \operatorname{Hom}(L, \mathbb{C}^{0}) \to k\) vérifie \(d^{0}\varepsilon = 0\) (car pour \(u = u' \circ d^{0}\), \(vu = (vu')d^{0}\), et \(vu' \in \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{1}, \mathbb{C}^{0}) = 0\)) : \(\mathbb{C}^{\bullet}\) est augmenté, et l'on note \(\widetilde{\mathbb{C}}^{\bullet} = (\Psi^{0} \to \mathbb{C}^{0} \to \mathbb{C}^{1} \to \cdots)\) le complexe augmenté⁵⁰ . \(\mathcal{P}_{0}\) est la sous-catégorie des sommes \(L \oplus (\Psi^{0})^{r}\), \(L \in \mathbb{K}\).
• b)\(\Sigma\) est la classe des suites \(0 \to L' \to L \to L'' \to 0\) qui deviennent exactes par \(\operatorname{Hom}(P, -)\) pour \(P \in \mathcal{P}_{0}\)⁵¹ .
• c)\(\widetilde{\mathbb{C}}^{\bullet}\) est \(\Sigma\)-acyclique, i.e. \(\mathbb{C}^{\bullet}\) est une \(\Sigma\)-résolution de \(\Psi^{0}\).

Cela donne la « kyrielle » de suites \(\Sigma\)-exactes \(0 \to \Psi^{i} \to \mathbb{C}^{i} \to \Psi^{i+1} \to 0\), et tous les morphismes entre \(\Psi^{j}\) et \(\mathbb{C}^{i}\) ; si \(\mathcal{P}_{1}\) est la sous-catégorie pleine des sommes de \(\mathbb{C}^{i}\) et de \(\Psi^{j}\), le foncteur \(L \mapsto L_{\bullet} = \operatorname{Hom}(\widetilde{\mathbb{C}}^{\bullet}, L)\) — un complexe de chaînes, puisque \(\operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{n-1}, L) = L_{n}\) et \(\operatorname{Hom}(\Psi^{0}, L) = L_{0}\) dans le modèle — en est un plongement pleinement fidèle (page 59). On suppose de plus :

• d)l'image directe d'une suite de \(\Sigma\) par un morphisme de son premier terme, et son image réciproque par un morphisme vers son dernier terme, existent et sont dans \(\Sigma\) ; variante : un \(\Sigma\)-épi, i.e. un \(u\) tel que les \(\operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{i}, u)\) soient surjectifs, a un noyau ;
• e)tout objet de \(\mathcal{P}\) est extension successive d'objets \(\Psi^{i}\), la filtration devant être canonique.

Avec d) on construit par extensions successives assez d'objets pour que \(L \mapsto L_{\bullet}\) soit essentiellement surjectif, et avec e) on conclut que \(L \mapsto \operatorname{Hom}(\widetilde{\mathbb{C}}^{\bullet}, L)\) est une équivalence de \(\mathcal{P}\) sur la catégorie des complexes bornés de modules libres de type fini⁵² . Les notes éparses de la page 58 résument le but : \(\operatorname{Fonct}_{\Sigma\text{-ex}}(\mathcal{P}, \mathcal{B}) \simeq \operatorname{Fonct}_{\Sigma\text{-ex}}(\mathcal{P}_{0}, \mathcal{B})\) si \(\mathcal{B}\) a des \(\Sigma\)-noyaux, et ces foncteurs correspondent aux \(\Sigma\)-résolutions de \(\mathcal{B}\).

Remarque (page 61). Si \(k\) est principal, \(\mathcal{P}\) a des noyaux et des conoyaux, et le noyau \(N \to A\) de tout \(A \to B\) est un \(\Sigma\)-mono ; mais un monomorphisme n'est pas en général un \(\Sigma\)-mono, et un bimorphisme n'est pas un isomorphisme. Le noyau degré par degré est un complexe de libres de type fini, et \(A_{n}/N_{n}\), sous-module de \(B_{n}\), est libre, d'où le scindage⁵³ . Aussi \((\mathcal{P}, \mathbb{C}^{\bullet}, \Sigma)\) n'est pas universel tel quel ; il l'est parmi les catégories \(k\)-additives munies d'un complexe \(C^{\bullet}\) et d'une classe \(\Sigma_{C}\) de suites exactes telle que tout morphisme \(u : A \to B\) ait un noyau \(K\) avec \(K \to A\) un \(\Sigma_{C}\)-mono, les morphismes de tels systèmes étant les foncteurs \(\Sigma\)-exacts qui envoient un complexe sur l'autre.

Algèbre homologique relative

On travaille désormais dans \(\mathcal{Q}\) (pages 62 à 64) : la catégorie des complexes de chaînes finis de \(k\)-modules dont les \(L_{i}\), \(Z_{i}\), \(B_{i}\), \(H_{i}\) sont libres de type fini — les sommes de disques et de sphères —, munie de \(\Sigma \cap \mathcal{Q}\). Ses \(\Sigma\)-projectifs sont les objets de \(\mathcal{P}_{0}\) (sommes de \(\mathbb{C}^{i}\) et de \(\Psi^{0}\)), ses \(\Sigma\)-injectifs ceux de \(\mathbb{K}\) (sommes de \(\mathbb{C}^{i}\)), et il y en a assez des deux sortes⁵⁴ . L'algèbre homologique relative s'y applique : deux résolutions droites \(\Sigma\)-injectives d'un objet sont homotopes, par une unique classe d'homotopie. Les résolutions \(\Sigma\)-injectives de \(\Psi^{0}\) — en termes simpliciaux, les résolutions flasques de \(k_{*}\) — « donneront, dans un topos algébrique, des méthodes de calcul remarquables de la cohomologie à coefficients dans \(k\) ». Les \(\operatorname{Ext}^{i}_{\Sigma}\) calculés par résolutions injectives ou projectives coïncident ; pour \(i \geqslant 1\) ce sont les hyperext usuels, et pour \(i = 0\) les morphismes de complexes, i.e. les \(Z^{0}\) du complexe des \(\operatorname{Hom}\)⁵⁵ .

Pour \(F : \mathcal{Q} \to \mathcal{B}\) \(k\)-additif, on note \(\mathcal{H}^{i}(F) = \mathrm{R}^{i}F(\Psi^{0})\) ; comme \(\mathbb{C}^{\bullet}\) est une résolution \(\Sigma\)-injective de \(\Psi^{0}\), \[ \mathcal{H}^{i}(F) = H^{i}(F(\mathbb{C}^{\bullet})), \qquad \mathrm{R}F(\Psi^{0}) \simeq F(\mathbb{C}^{\bullet}) \quad \text{(dans la catégorie dérivée)}. \] Sur les foncteurs \(\Sigma\)-exacts à gauche, qui correspondent aux complexes de \(\mathcal{B}^{\bullet}\) par le théorème de la page 50, \(F \mapsto F(\Psi^{0})\) devient \(C^{\bullet} \mapsto Z^{0}(C^{\bullet}) = H^{0}(C^{\bullet})\), dont les dérivés « sauf erreur » sont les \(H^{i}(C^{\bullet})\) : le calcul ci-dessus le confirme.

64–73

Structures multiplicatives (pages 64 à 73)

Le produit tensoriel des modèles

Sur les réalisations simpliciales \(\mathcal{P}_{*} \supset \mathcal{Q}_{*} \supset \mathcal{P}_{0*} \supset \mathbb{K}_{*}\) il y a le produit tensoriel degré par degré, \((L_{*} \otimes M_{*})_{n} = L_{n} \otimes M_{n}\), avec ses contraintes d'associativité, de commutativité, et l'unité \(\Psi^{0}_{*} = k_{*}\). \(\mathbb{K}_{*}\) en est un idéal : le produit d'un module flasque par un autre est flasque. \(\mathcal{P}_{0*}\) et \(\mathcal{Q}_{*}\) sont stables, car \(\Psi^{0} \otimes \Psi^{0} \simeq \Psi^{0}\) et \[ \Psi^{i} \otimes \Psi^{j} \simeq \Psi^{i+j} \oplus (\text{un objet de } \mathbb{K}) , \] puisque \(K(k,i) \otimes K(k,j)\) est spécial, à homotopie \(k\) en degré \(i+j\) seulement (Eilenberg–Zilber)⁵⁶ . On transporte ces structures aux autres réalisations ; sur les complexes de chaînes on note \(*\) le produit transporté, \(\mathbb{C}^{i}_{\bullet} * \mathbb{C}^{j}_{\bullet} = N(\mathbb{C}^{i}_{*} \otimes \mathbb{C}^{j}_{*})\), « pour éviter des confusions » : ce n'est pas le produit tensoriel usuel des complexes, auquel il n'est relié que par les applications d'Eilenberg–Zilber et d'Alexander–Whitney⁵⁷ .

Foncteurs multiplicatifs

Soient \(\mathcal{B}\), \(\mathcal{B}'\) deux catégories \(k\)-additives munies d'un produit tensoriel \(k\)-bilinéaire avec contraintes d'associativité, d'unité et de commutativité. Une structure multiplicative sur un foncteur \(k\)-additif \(F : \mathcal{B}' \to \mathcal{B}\) est la donnée de morphismes fonctoriels \(u_{X,Y} : F(X) \otimes F(Y) \to F(X \otimes Y)\) et d'un isomorphisme \(\mathbf{1}_{\mathcal{B}} \to F(\mathbf{1}_{\mathcal{B}'})\), compatibles aux trois contraintes (page 65, trois diagrammes) : c'est un foncteur monoïdal symétrique lax, à unité forte⁵⁸ . \(F(\mathbf{1})\) devient une \(k\)-algèbre commutative de \(\mathcal{B}\), et \(F\) transforme anneaux en anneaux ; les \(\otimes\)-catégories \(k\)-additives forment une 2-catégorie.

Prenons \(\mathcal{B}' = \mathbb{K}\). Un foncteur \(k\)-linéaire \(F : \mathbb{K} \to \mathcal{B}\) « s'identifie à » un complexe \(C^{\bullet} = F(\mathbb{C}^{\bullet})\) de \(\mathcal{B}\) (proposition 1 de la page 40) ; une structure multiplicative sur \(F\) est donc ce qu'il faut entendre par structure multiplicative sur \(C^{\bullet}\) — on dira « demi-simpliciale », pour ne pas prêter à confusion. Par bilinéarité, il suffit de la donner sur les \(\mathbb{C}^{i}\) : par la proposition 3, ce sont des morphismes \[ C^{i} \otimes_{\mathcal{B}} C^{j} \longrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}^{\bullet}_{k}\bigl(\alpha^{\bullet}(\mathbb{C}^{i} * \mathbb{C}^{j}),\, C^{\bullet}\bigr), \quad \text{i.e.} \quad (C^{i} \otimes_{\mathcal{B}} C^{j}) \otimes_{k} \alpha^{\bullet}(\mathbb{C}^{i} * \mathbb{C}^{j}) \longrightarrow C^{\bullet} \] dans \(\mathcal{B}^{\bullet}\), compatibles aux différentielles quand \(i\) et \(j\) varient ; sous forme cosimpliciale, des morphismes \((C^{i} \otimes C^{j}) \otimes (\Lambda^{i+1}\check{\Phi}^{*} \otimes \Lambda^{j+1}\check{\Phi}^{*}) \to \mathrm{DP}(C^{\bullet})\) compatibles aux opérations cosimpliciales pour \(i\), \(j\) fixés et aux différentielles quand \(i\), \(j\) varient (pages 67 et 68), plus les compatibilités d'unité, d'associativité et de commutativité, qui « devraient s'expliciter de façon particulièrement triviale »⁵⁹ . Pour \(\mathcal{B} = \operatorname{Mod}_{k}\) et \(F = F_{X}\), c'est le produit des cochaînes de \(X\) avant toute formule d'Alexander–Whitney⁶⁰ .

L'unité, et l'extension aux foncteurs exacts à gauche

Remarque (page 68) : \(\mathbb{K}\) n'a pas d'unité pour \(*\) ! On ne peut donc exprimer, en restant dans \(\mathbb{K}\), la compatibilité aux unités. On passe à \(\mathcal{P}_{0}\) ou \(\mathcal{Q}\), dont les foncteurs \(k\)-additifs \(\Sigma\)-exacts à gauche vers \(\mathcal{B}\) correspondent, par \(F \mapsto F(\mathbb{C}^{\bullet})\), aux complexes de \(\mathcal{B}\) dont les \(d^{i}\) ont des noyaux. Tout \(L\) de \(\mathcal{Q}\) (ou \(\mathcal{P}_{0}\)) se plonge par des suites de \(\Sigma\) dans des objets de \(\mathbb{K}\), \(0 \to L \to I \to J\), et \(F(L) \simeq \mathrm{R}^{0}F(L) \simeq \operatorname{Ker}(F(I) \to F(J))\). Pour étendre la structure multiplicative de \(\mathbb{K}\), on veut factoriser \[ F(X) \otimes_{\mathcal{B}} F(Y) \to F(I) \otimes F(J') \to F(I * J') \] par \(F(X * Y) \hookrightarrow F(I * J')\) — c'est un monomorphisme, car \(*\) transforme un couple de \(\Sigma\)-monos en un \(\Sigma\)-mono, et \(F\) les \(\Sigma\)-monos en monos. La page met un « ? » sur cette factorisation, et avec raison : il faut que le composé s'annule après \(F(I * J') \to F(\cdot)\), ce qui demande que \(\otimes_{\mathcal{B}}\) préserve les noyaux en jeu, une condition de platitude sur \(\mathcal{B}\)⁶¹ . Reste la donnée d'unité, \(\mathbf{1}_{\mathcal{B}} \to F(\Psi^{0}) \simeq Z^{0}(C^{\bullet})\) : une augmentation \(\mathbf{1}_{\mathcal{B}} \to C^{0}\) de composé nul avec \(d^{0}\), qui fait de \(F(\Psi^{0})\) une \(k\)-\(\otimes\)-algèbre commutative ; une note verticale de la marge ajoute qu'on peut se passer de l'existence de \(\operatorname{Ker}(d^{0})\) en le disant ainsi.

Le cup-produit

Applications (page 71). Toute construction universelle dans \(\mathcal{P}_{*}\) qui n'utilise que la structure \(k\)-linéaire et les produits tensoriels se transporte à un complexe \(C^{\bullet}\) muni d'une structure multiplicative. Ainsi : \(\operatorname{Tot}(\mathbb{C}^{\bullet} * \mathbb{C}^{\bullet})\) est, comme \(\mathbb{C}^{\bullet}\), une résolution \(\Sigma\)-injective de \(\Psi^{0}\) dans \(\mathcal{P}_{0}\), d'où un morphisme \(\operatorname{Tot}(\mathbb{C}^{\bullet} * \mathbb{C}^{\bullet}) \to \mathbb{C}^{\bullet}\) unique à homotopie près, et en composant \[ C^{\bullet} \otimes_{\mathcal{B}} C^{\bullet} = F(\mathbb{C}^{\bullet}) \otimes F(\mathbb{C}^{\bullet}) \to F(\operatorname{Tot}(\mathbb{C}^{\bullet} * \mathbb{C}^{\bullet})) \to F(\mathbb{C}^{\bullet}) = C^{\bullet} \] un produit défini à homotopie près, associatif, commutatif (« attention aux signes ! ») et unitaire à homotopie près. Si \(\mathcal{B}\) est abélienne, \(H^{*}(C^{\bullet})\) devient une \(\otimes\)-algèbre graduée commutative au sens gradué⁶² : pour \(C^{\bullet} = C^{\bullet}(X; k)\), c'est l'anneau de cohomologie et son cup-produit, retrouvés par l'argument des modèles acycliques — à ceci près que les « modèles » sont ici les \(\mathbb{C}^{i}\).

Le complexe de De Rham à puissances divisées

Ex 2 (pages 72 et 73). Le complexe de De Rham à puissances divisées est un objet bigradué de \(\mathcal{Q}_{*}\), avec une structure d'algèbre bigraduée ; \(F\) le transforme en un objet de \(\mathcal{B}\), mais on ne peut dire encore que le complexe de De Rham associé à \(F\) est stable par les opérations « sans introduire la structure p.d. sur \(F\) ». Sa composante de poids \(n\), \(\mathrm{DR}^{n}_{*}\) — en degré \(i\), \(\Gamma^{n-i}\Phi_{*} \otimes \Lambda^{i}\Psi_{*}\) —, est une résolution de \(k_{*} = \Psi^{0}_{*}\), flasque (i.e. \(\Sigma\)-injective) sauf en son degré maximum \(n\), où l'on trouve \(\Psi^{n}_{*} = \Lambda^{n}\Psi_{*}\) : une résolution \(\Sigma\)-injective tronquée. Il y a un unique morphisme à homotopie près \(\mathrm{DR}^{n}_{*} \to \mathbb{C}^{\bullet}_{*}\) en degrés \(\leqslant n\) — c'est le théorème de la page 3 —, et le transformé de \(\mathrm{DR}^{n}_{*}\) par \(F\) est homotope, par une homotopie canonique, au tronqué naïf de \(C^{\bullet}\) en degrés \(\leqslant n\)⁶³ . « Il y a donc un complexe de De Rham-Sullivan si \(k\) de car. \(0\) » : c'est la dernière ligne de la page 73, dont le reste est blanc.

74–85

Catégories polynomiales (pages 74 à 85)

Axiomes

Une catégorie polynomiale est une catégorie \(\mathbf{P}\) munie d'une sous-catégorie \(\mathbf{P}_{1}\), non pleine en général, ayant les mêmes objets — ses flèches sont dites « de degré \(1\) » —, avec :

• a)\(\mathbf{P}\) a des produits finis ;
• b)les produits de \(\mathbf{P}\) sont des produits dans \(\mathbf{P}_{1}\) : \((v, w) : Z \to X \times Y\) est de degré \(1\) si et seulement si \(v\) et \(w\) le sont ; l'objet final \(0\) de \(\mathbf{P}\) est dans \(\mathbf{P}_{1}\), et \(X \to 0\) est de degré \(1\) ;
• c)\(\mathbf{P}_{1}\) est additive.

Alors chaque objet est un objet groupe abélien de \(\mathbf{P}\), et \(\mathbf{P}(X, Y) = \operatorname{Hom}_{\mathbf{P}}(X, Y)\) est un groupe abélien, fonctoriel en \(X\) par des homomorphismes, mais pas en \(Y\) : \[ (f + g) \circ h = f \circ h + g \circ h, \qquad \text{mais en général} \qquad f \circ (g + h) \neq f \circ g + f \circ h . \] Le monoïde multiplicatif \((\mathbb{Z}, \cdot)\) opère sur \(\mathbf{P}(X, Y)\) par \(\mu_{n}(f) = f \circ (n\, \mathrm{id}_{X})\)⁶⁴ .

• d)Il y a une décomposition \(\mathbf{P}(X, Y) = \bigoplus_{n \geqslant 0} \mathbf{P}_{n}(X, Y)\) telle que \(f \circ (\lambda\, \mathrm{id}_{X}) = \lambda^{n} f\) pour \(f \in \mathbf{P}_{n}\), \(\lambda \in \mathbb{Z}\) ; plus généralement, des décompositions \[ \mathbf{P}(X_{1} \times \cdots \times X_{r}, Y) = \bigoplus_{\nu \in \mathbb{N}^{r}} \mathbf{P}_{\nu}(X_{1}, \ldots, X_{r}; Y), \qquad f \circ (\lambda_{1}\mathrm{id}, \ldots, \lambda_{r}\mathrm{id}) = \lambda_{1}^{\nu_{1}} \cdots \lambda_{r}^{\nu_{r}} f . \]

« Cette décomposition est unique, en vertu de considérations “arithmétiques” — il le faudrait ! » Le lemme qui devait l'établir — sur un groupe abélien muni d'une action de \((\mathbb{Z}, \cdot)^{r}\), les composantes de poids \(\nu\) sont les \(\{f \mid u(\lambda)f = \lambda^{\nu} f \text{ pour tout } \lambda\}\), parce que les \(\lambda^{\nu} - \lambda^{\nu'}\) engendrent l'idéal unité — est écrit, démontré jusqu'au dernier pas, puis barré : la marge porte le contre-exemple, un groupe annulé par un nombre premier \(p\), où \(\lambda \mapsto \lambda^{p}\) et \(\lambda \mapsto \lambda\) coïncident⁶⁵ . D'où la décision (page 76) : on pourrait exiger la décomposition après tout changement de base \(k\), pour \(\lambda \in (k^{\times})^{r}\), mais on prend plutôt la décomposition d) comme structure, avec :

• e)le degré se multiplie par composition : si \(f\) est de multidegré \((\nu_{1}, \ldots, \nu_{r})\) et chaque \(g_{i}\) de multidegré \((m^{i}_{1}, \ldots, m^{i}_{s_{i}})\), \(f \circ (g_{1}, \ldots, g_{r})\) est de degré \(\nu_{i} m^{i}_{j}\) en la variable \(Z^{i}_{j}\) ;
• f)compatibilité aux permutations des facteurs ;
• g)l'application \(\mathbf{P}_{0}(0, Y) \to \mathbf{P}_{0}(X, Y)\) déduite de \(X \to 0\) est bijective : « les applications constantes ne dépendent pas de \(X\) ».

Si \(k \to \operatorname{End}(\mathrm{id}_{\mathbf{P}_{1}})\) rend \(\mathbf{P}_{1}\) \(k\)-linéaire et que d) vaut pour \(\lambda \in k^{r}\), on dit que \(\mathbf{P}\) est \(k\)-polynomiale⁶⁶ .

Produits tensoriels et puissances divisées

Dans une catégorie polynomiale (pages 77 à 80), le foncteur \((X, Y; Z) \mapsto \mathbf{P}_{(1,1)}(X, Y; Z)\) des applications « bilinéaires », s'il est représentable en \(Z\), définit \(X \otimes Y\), fonctoriel en \(X\), \(Y\) dans \(\mathbf{P}_{1}\) seulement ; et \(Y \mapsto \mathbf{P}_{n}(X, Y)\) sur \(\mathbf{P}_{1}\), s'il est représentable, définit \(\Gamma^{n}X\), avec l'application universelle \(\gamma_{n} : X \to \Gamma^{n}X\) de degré \(n\). Par g), \(\Gamma^{0}X\) existe si et seulement si \(\Gamma^{0}(0)\) existe ; on le note \(\mathbf{1}\).

Pour avoir associativité et unité, on renforce la propriété universelle : un morphisme \(X \times Y \to T\) de bidegré \((1,1)\) est un produit tensoriel strict si les applications \(\mathbf{P}_{1,n}(T, Z; M) \to \mathbf{P}_{1,1,n}(X, Y, Z; M)\) sont bijectives pour tous \(n\), \(Z\), \(M\) ; en faisant \(n = 0\), \(Z = 0\), c'est un produit tensoriel. De même on suppose que, pour \(X = X_{1} \times \cdots \times X_{r}\), la composition avec les \(\gamma_{\nu_{i}}\) donne des bijections \(\mathbf{P}_{1, \ldots, 1}(\Gamma^{\nu_{1}}X_{1}, \ldots, \Gamma^{\nu_{r}}X_{r}; M) \simeq \mathbf{P}_{\nu}(X_{1}, \ldots, X_{r}; M)\). Il en résulte la formule exponentielle \[ \Gamma^{n}(X_{1} \times \cdots \times X_{r}) \simeq \bigoplus_{\nu_{1} + \cdots + \nu_{r} = n} \Gamma^{\nu_{1}}X_{1} \otimes \cdots \otimes \Gamma^{\nu_{r}}X_{r}, \] et, avec \(X \times 0\), \(X \otimes \mathbf{1} \simeq X\)⁶⁷ . Ainsi \(X \mapsto \Gamma^{*}(X) = (\Gamma^{i}X)_{i}\) est un foncteur non additif \(\mathbf{P}_{1} \to \operatorname{Grad}(\mathbf{P}_{1})\) qui transforme sommes en produits tensoriels ; chaque \(X\) étant un groupe commutatif pour \(\oplus\), chaque \(\Gamma^{*}(X)\) est une \(\otimes\)-algèbre graduée commutative.

Enfin, le composé \(X \xrightarrow{\gamma_{q}} \Gamma^{q}X \xrightarrow{\gamma_{p}} \Gamma^{p}\Gamma^{q}X\), de degré \(pq\) par e), se factorise par \(\Gamma^{pq}X\) : d'où des morphismes canoniques \(\alpha_{p,q}^{X} : \Gamma^{pq}X \to \Gamma^{p}(\Gamma^{q}X)\), qui satisfont la condition d'associativité (page 80)

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=large]
\Gamma^{pqr}X \arrow[r, "\alpha^{X}_{p,qr}"] \arrow[d, "\alpha^{X}_{pq,r}"'] & \Gamma^{p}\Gamma^{qr}X \arrow[d, "\Gamma^{p}(\alpha^{X}_{q,r})"] \\
\Gamma^{pq}\Gamma^{r}X \arrow[r, "\alpha^{\Gamma^{r}X}_{p,q}"'] & \Gamma^{p}\Gamma^{q}\Gamma^{r}X
\end{tikzcd}

et des conditions d'unité pour \(\Gamma^{1} = \mathrm{id}\), \(\Gamma^{0} = \mathbf{1}\)⁶⁸ .

La réciproque : les \(\otimes\)-catégories à puissances divisées

Inversement (pages 81 à 83), soit \(\mathbf{P}_{1}\) une catégorie additive munie d'un produit tensoriel avec contraintes d'associativité, de commutativité et d'unité (« ACU »), et d'un \(\otimes\)-foncteur \[ \Gamma^{*} : (\mathbf{P}_{1}, \oplus) \to (\operatorname{Grad} \mathbf{P}_{1}, \otimes), \qquad \Gamma^{*}(X \oplus Y) \simeq \Gamma^{*}X \otimes \Gamma^{*}Y, \] avec \(\Gamma^{0} = \mathbf{1}\), \(\Gamma^{1} = \mathrm{id}\), \(\Gamma^{i} = 0\) pour \(i < 0\), \(\Gamma^{i}(0) = 0\) pour \(i > 0\), et de morphismes \(\alpha_{p,q} : \Gamma^{pq} \to \Gamma^{p} \circ \Gamma^{q}\) satisfaisant l'associativité ci-dessus et les conditions d'unité \[ (**)\quad \alpha_{1,q} = \alpha_{q,1} = \mathrm{id}_{\Gamma^{q}}, \qquad (***)\quad \alpha_{0,q} = \mathrm{id}_{\mathbf{1}}, \quad \alpha_{q,0} : \mathbf{1} \xrightarrow{\ \sim\ } \Gamma^{q}(\mathbf{1}). \] On définit \[ \mathbf{P}_{p}(X, Y) = \operatorname{Hom}(\Gamma^{p}X, Y), \qquad \mathbf{P}(X, Y) = \bigoplus_{p} \mathbf{P}_{p}(X, Y), \] de sorte que \(\mathbf{P}_{1}(X, Y) = \operatorname{Hom}(X, Y)\) et \(\mathbf{P}_{0}(X, Y) = \operatorname{Hom}(\mathbf{1}, Y)\), et la composition \(\mathbf{P}_{p}(X, Y) \times \mathbf{P}_{q}(Y, Z) \to \mathbf{P}_{pq}(X, Z)\) par \[ g \circ f = g \circ \Gamma^{q}(f) \circ \alpha^{X}_{q,p} : \ \Gamma^{pq}X \to \Gamma^{q}\Gamma^{p}X \to \Gamma^{q}Y \to Z . \] Elle est additive en \(g\), non en \(f\), comme l'exige la page 74⁶⁹ . L'associativité vient de (*), (**) dit que pour \(p = 1\) ou \(q = 1\) la composition est la bifonctorialité de \(\operatorname{Hom}\), et (***) que \(g \circ f = g\) si \(g\) est de degré \(0\) — et la seconde moitié de (***), \(\mathbf{1} \simeq \Gamma^{q}(\mathbf{1})\), « je l'avais oublié dans les axiomes préliminaires, il me semble ». Pour \(X = \bigoplus X_{i}\), la décomposition de \(\Gamma^{n}X\) en \(\bigotimes \Gamma^{\nu_{i}}X_{i}\) donne celle de \(\mathbf{P}_{n}(\prod X_{i}, Y)\) en \(\mathbf{P}_{\nu}\), et « on vérifie alors les axiomes a) à f) », que les produits tensoriels sont stricts et que les \(\Gamma^{\nu}\) satisfont la condition voulue.

Définition (page 83). Une catégorie polynomiale est stricte si elle satisfait aux conditions permettant de définir \(\otimes\) et \(\Gamma^{*}\) avec toutes les propriétés envisagées ; une catégorie additive \(\mathbf{P}_{1}\) munie de \(\otimes\) et \(\Gamma^{*}\) avec les structures décrites est une \(\otimes\)-pd-catégorie. « Les deux notions sont donc équivalentes » — c'est affirmé, à partir des deux constructions ci-dessus, non démontré en détail. Les versions \(k\)-linéaires demandent \(k \to \operatorname{End}(\mathrm{id}_{\mathbf{P}_{1}})\) et l'homogénéité \(f \circ (\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r}) = \lambda_{1}^{\nu_{1}} \cdots \lambda_{r}^{\nu_{r}} f\) pour \(f \in \mathbf{P}_{\nu}\), \(\lambda \in k^{r}\) (page 84).

Exemple. Les \(k\)-modules forment une \(\otimes\)-pd-catégorie, avec les puissances divisées usuelles ; \(\mathbf{P}_{p}(X, Y) = \operatorname{Hom}(\Gamma^{p}X, Y)\) est alors l'ensemble des lois polynomes homogènes de degré \(p\) de \(X\) dans \(Y\) (théorème de Roby), et \(\mathbf{P}(X, Y)\) celui des sommes finies de telles lois⁷⁰ . De même (« (D) \(\Rightarrow\) ») pour les \(K\)-Modules sur un topos muni d'une \(k\)-algèbre \(K\), et pour les \(K\)-Modules gradués, \(\Gamma^{n}(M^{i})\) étant placé en degré \(ni\)⁷¹ .

Questions ouvertes

Le dossier finit sur des questions (pages 84 et 85). Quand peut-on munir \(\Gamma^{*}(M)\), pour un objet \(M\) d'une \(\otimes\)-pd-catégorie, d'une structure « à puissances divisées », i.e. de morphismes \(\Gamma^{p}(\Gamma^{q}M) \to \Gamma^{pq}M\) satisfaisant les axiomes des p.d. ? Y en a-t-il une canonique, dans l'exemple ou dans le cas abstrait ?⁷² Quand peut-on voir la composition \(\mathbf{P}(X, Y) \times \mathbf{P}(Y, Z) \to \mathbf{P}(X, Z)\), linéaire en la seconde variable, comme une application linéaire \[ \mathbf{P}(Y, Z) \to (\text{applications } k\text{-polynomiales}) (\mathbf{P}(X, Y), \mathbf{P}(X, Z)) \ ? \] C'est acquis dans l'exemple principal, et la construction devrait se ramener à définir sur les foncteurs \(\Gamma^{p}\) une structure supplémentaire : \[ f \mapsto \Gamma^{p}(f) : \operatorname{Hom}_{1}(X, Y) \to \operatorname{Hom}_{1}(\Gamma^{p}X, \Gamma^{p}Y) \] doit être une « application polynomiale de degré \(p\) » entre \(k\)-modules, « et non seulement comme application ensembliste ». C'est mot pour mot la définition qu'adopteront Friedlander et Suslin pour un foncteur polynomial strict. La page s'arrête au premier tiers ; c'est la dernière du dossier.