p. 1 de l'auteur ; les feuillets 361 à 365 portent sa numérotation 1 à 5.

Formule de Decalage (Quillen – Bousfield) [cf Thèse Illusie].

L_{\ast}F(M,n) L_{\ast}F(M[n])

L_i\,\mathrm{Sym}^i(M,n) \simeq L_{i+n}\,\Lambda^i(M, \text{\struck{$n+1$}}) L_i\,\Lambda^i(M,n) \simeq L_{i+n}\,\Gamma^i(M,n+1) ces deux lignes sont traversées par de longs traits obliques, qui peuvent valoir rature ; la ligne suivante est entièrement biffée : .

M \to M \qquad K(M,n) \longrightarrow E(M,n+1) \longrightarrow K(M,n+1) la flèche E(M,n+1) \to K(M,n+1) est verticale sur la page.

\mathrm{Sym}\,K(M,n) \otimes \Lambda E(M,n+1) \Lambda^{n+1}\Psi \otimes_{\mathbb{Z}} M la lecture \Lambda^{n+1}\Psi est douteuse ; elle est écrite sous \Lambda E(M,n+1).

0 \to \mathrm{Sym}^i K(M,n) \to \mathrm{Sym}^{i-1}K(M,n)\otimes\Lambda^1E(M,n+1) \to \mathrm{Sym}^{i-2}K(M,n)\otimes\Lambda^2E(M,n+1) \to \cdots \to \Lambda^iE(M,n+1) \to \Lambda^iK(M,n+1) \to 0 0 \to \Lambda^iK(M,n) \to \Lambda^{i-1}K(M,n)\otimes\mathrm{Sym}^1E(M,n+1) \to \cdots \cdots \to \mathrm{Sym}^iE(M,n+1) \to \mathrm{Sym}^iK(M,n+1) \to 0 0 \to \Gamma^iK(M,n) \to \Gamma^{i-1}K(M,n)\otimes\Lambda^1E(\ \cdots)

Encadré : L_r\,\mathrm{Sym}^i K(M,n+1) \simeq L_{r-i}\,\Lambda^iK(M,n)

\begin{align*} L_{\ast}\,\mathrm{Sym}^iX[1] &\simeq L_{\ast}\,\Lambda^iX[-i] \\ L_{\ast}\,\Lambda^i(X[1]) &\simeq L_{\ast}\,\Gamma^iX[-i] \\ L_{\ast}\,\mathrm{Sym}^iX[2] &\simeq L_{\ast}\,\Gamma^iX[-2i] \end{align*} dans la première ligne, l'indice de L à droite est surchargé (\ast - i corrigé en \ast).

p. 3 de l'auteur.

H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p)^{\ast} \simeq H^{n+r}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p) K(\mathbb{Z},n) \to K(\mathbb{Z},n) \to K(\mathbb{F}_p,n)

Puisque K(\mathbb{F}_p,n) représente la \mathbb{F}_p-coh une flèche descend de H^{n+r}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p) vers « opérations coh de type ». opérations coh de type (\mathbb{F}_p,n\,;\,\mathbb{F}_p,n+r), r<n.

Opérations stables de deg r \{P_r\} Une collection \forall n H^n(X,\mathbb{F}_p) \longrightarrow H^{n+r}(X,\mathbb{F}_p) commute

les deux isomorphismes verticaux sont notés « \wr » sans pointe de flèche ; leur sens est ajouté par nous.

r<n H^{n+r}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p) \simeq H^{n+r+1}(K(\mathbb{F}_p,n+1),\mathbb{F}_p) P_n \qquad\qquad P_{n+1} H^{n+r-1}(K(\mathbb{F}_p,n-1),\mathbb{F}_p) ce dernier groupe est écrit à gauche, relié au premier par une flèche.

Opérations stables : Les op stables sont données par l'algèbre de Steenrod p \neq 2 \qquad \mathbb{F}_p[P^0, P^1, \ldots, P^n, \ldots, \beta]\,/\,\text{Relations d'Adem} P^0 = 1 \qquad \deg P^i = 2i(p-1) \qquad \deg\beta = 1

Cohomology operations, Steenrod + Epstein, Ann of Math Studies N° 50, Princeton, p 77

feuille à portées, écrite en largeur ; la colonne de droite est transcrite d'abord, puis celle de gauche.

Comult naturelle sur A

P opération coh (\mu^{\ast}P)(xy) = \sum_i P_i x \cdot P'_i y

Par la formule de Cartan \Delta P^i = \sum_{j+k=i} P^j \otimes P^k . la lecture \sum_i P_i x\cdot P'_i y est incertaine.

Milnor : j \geq 1 \xi_j dual de P^{p^{j-1}} \cdots P^{p^2}P^{p}P^{p^0} (monôme adm)

j \geq 0 \tau_j P^{p^j} \cdots P^pP\beta exposants de la seconde ligne P^{p^j} ; le début est en partie illisible.

A_{\ast} = \mathrm{Sym}(\xi_i) \otimes \Lambda(\tau_j) \qquad \text{dual de } A devant A_{\ast}, un mot biffé ; l'indice de \tau est surchargé (k corrigé en j). \Delta\xi_k = \sum_i \xi_{k-i}^{p^i}\otimes\xi_i \qquad \Delta\tau_k = \tau_k\otimes 1 + \sum_{i=0}^{k} \xi_{k-i}^{p^i}\otimes\tau_i p 85

A \otimes B \longrightarrow C \qquad \mathbb{F}_p\text{-modules} K(A,i) \wedge K(B,j) \longrightarrow K(C,i+j) cup-products pairings K(\mathbb{F}_p,n)\wedge K(\mathbb{F}_p,m) \longrightarrow K(\mathbb{F}_p,m+n) H^{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n))\otimes H^{\ast}(K(\mathbb{F}_p,m)) \longleftarrow H^{\ast}(K(\mathbb{F}_p,m+n),\mathbb{F}_p) A \otimes A \longleftarrow A Le cup produit induit en coh la comultiplication sur l'alg de Steenrod A correspondant à la multiplication dans la duale

L\,\mathrm{Sym}^r = 0 \qquad r \neq p^s \qquad s \geq 0 L\,\mathrm{Sym}^{p^s}K(\mathbb{F}_p,n) L_{n+i}\,\mathrm{Sym}\,K(\mathbb{F}_p,n) \xrightarrow[+1]{S} L_{n+i+1}\,\mathrm{Sym}\,K(\mathbb{F}_p,n+1) L^{\mathrm{st}}_{\ast}\mathrm{Sym}\,\mathbb{F}_p = A_{\ast} L^{\mathrm{st}}_{\ast}\,\text{\struck{$\mathbb{F}_p$}}\,[\mathbb{F}_p] = les indices de L dans la troisième ligne sont n+i et n+i+1 ; le premier indice de la ligne L^{\mathrm{st}}_{\ast} est surchargé.

1 \in \mathrm{Sym}^{p^0} \xi_1,\ \tau_0 \in \mathrm{Sym}^p \xi

A \xrightarrow{\ \varepsilon\ } \mathbb{F}_p A \mathbb{F}_p-alg diff graduée aug sur \mathbb{F}_p B(A) \qquad \overline{B}(A) A\otimes A\otimes A \rightrightarrows A\otimes A \underset{1\otimes\varepsilon}{\overset{\mu}{\rightrightarrows}} A \qquad \to \mathbb{Z}EG A\otimes A \rightrightarrows A \rightrightarrows \mathbb{F}_p \qquad \mathbb{Z}BG les flèches multiples sont tracées à trois ou deux traits selon le degré ; une petite flèche courbe revient de A vers A\otimes A au-dessus de \mu.

a\otimes\cdots\otimes a, n fois (sous A : a)

A commutative \cdots\ \mathbb{Z}G^3 \rightrightarrows \mathbb{Z}G^2 \rightrightarrows \mathbb{Z}G \qquad \mathbb{Z}G^2 = \mathbb{Z}G\otimes\mathbb{Z}G Bar consts sur l'alg \mathbb{Z}G des flèches parallèles partent de \mathbb{Z}G\otimes\mathbb{Z}G vers \mathbb{Z}G et vers le bas à gauche ; le dessin n'est pas achevé.

A\otimes A A \to \mathbb{Z} \mathbb{Z} surchargé. A = \mathbb{Z}K(G,n) \qquad \overline{B}(A) \sim \mathbb{Z}BK(G,n) Structure d'algèbre de \overline{B}(A)

E Zilber \overline{B}(A)\otimes\overline{B}(A) \rightleftarrows \overline{B}(A\otimes A) \longrightarrow \overline{B}(A) A comm \Longrightarrow A\otimes A \to A hom d'alg devant A\otimes A, un signe I\otimes ; « E Zilber » est sans doute Eilenberg-Zilber.

Def de K_2(R) de Milnor E(R) \subset GL(R) \longrightarrow K_1(R) \to 0 Th E(R) = [E(R),E(R)] le signe d'égalité est repassé ; =.

R local E(R) = SL(R) (Whitehead) E(R) \hookrightarrow GL(R) \xrightarrow{\ \det\ } R^{\ast} \to 0 0 \to K_2(R) \to St(R) \to E(R) \hookrightarrow Gl(R) \longrightarrow K_1(R) \to 0 une longue flèche va aussi directement de St(R) à Gl(R). \pi_1(E(R)) = K_2(R) l'indice de \pi est 1. BGl(R)^{+} \mathrm{Ext}^2(\mathbb{Z},G_m) le premier argument de \mathrm{Ext}^2 est surchargé ; \mathbb{Z}.

Suite spectrale X un schéma H^i_{\mathrm{Zar}}(X,\underline{K}_j) \Longrightarrow K_{j-i}(X) H^i(X,\underline{K}_i) = i\text{-cycles}/\text{équiv rat}. 0 \to G_m \to i_{\ast}G_{m,K} \to \bigoplus_{\text{pts de codim } 1}\mathbb{Z} \to 0 0 \to \underline{K}_1 \to i_{\ast}\underline{K}_1 \to \bigoplus_{\text{pts } 1}\underline{K}_0 \to 0 0 \to \underline{K}_i \to i_{\ast}\underline{K}_i \to \bigoplus_{\text{codim } 1} i_{x\ast}K_{i-1} \to \cdots \to \bigoplus_{\text{pts fermés}} i_{x\ast}\mathbb{Z} \to 0 H^0(X,\ \cdots)\,/\,H^0(\quad) au bas de la page, un quotient H^0(X,\ldots)/H^0(\quad) dont le second argument du numérateur est et le dénominateur laissé en blanc.

titre en haut à droite : « Coh d'E-M I » ; la page suivante porte « Coh d'E-M II ».

H^{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p) = {} Algèbre anti com libre engendrée par monômes admissibles d'excès <n p=2 (alg sym)

ou « » « » <n + « » « » d'excès = n qui se terminent par \beta p\neq 2

A = \mathbb{F}_p[P^i,\beta]\,/\,P^0 = 1,\ \text{Adem} \qquad \deg P^i = 2i(p-1) \qquad \deg\beta = 1 A = \mathbb{F}_2[\mathrm{Sq}^i]\,/\,\mathrm{Sq}^0 = 1,\ \text{Adem en car } 2 \qquad \deg\mathrm{Sq}^i = i \mathrm{Sq}^a\mathrm{Sq}^b = \sum_{j=0}^{a<2b} (\quad)\,\mathrm{Sq}^{a+b-j}\mathrm{Sq}^j les coefficients binomiaux de la relation d'Adem sont laissés en blanc.

i>0, j\geq 0 : \deg\xi_i = 2p^i-2, \deg\tau_i = 2p^i-1 ; \mathrm{Sym}(\xi_i)\otimes\Lambda(\tau_j) A_{\ast} l'algèbre duale. \mathrm{Sym}(\xi_i), i>0, p=2 : \deg\xi_i = 2^i-1.

les numéros 1 et 2 sont cerclés sur la page.

K(M\times N,n) \sim K(M,n)\times K(N,n)

: H_{\ast}(K(G,n),\mathbb{Z}) = \bigoplus G/pG \oplus {}_pG, G abélien quelconque. Ex : H_{n+2}(K(G,n),\mathbb{Z}) = G/2G ; H_{n+3}(K(G,n),\mathbb{Z}) = {}_2G ; n+4 : = G/2G\oplus G/3G ; n+5 : = {}_2G + {}_3G, dans la partie stable H_{n+i}(K(G,n)), 0\leq i<n. Deprime

G \in \mathcal{R} \text{ des car } p \qquad H^{\ast}(K(G,n),\mathcal{R}) alg anticom libre sur le module \mathrm{Hom}(G,\mathcal{R})\otimes_{\mathbb{F}_p} (partie de A d'excès <n) « une \mathbb{F}_p-algèbre » est ajouté au-dessus de \mathcal{R}, au-dessus du mot biffé groupes ; après « module » un mot biffé .

l'homologie est entièrement de torsion première.

Bockstein \mathbb{Z} \xrightarrow{\ p\ } \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p \xrightarrow{0 = p} H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{Z}) \to H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p),\mathbb{F}_p) \to H_{\ast-1}(K(\mathbb{F}_p),\mathbb{Z}) \xrightarrow{\ p=0\ } 0 une flèche oblique étiquetée \beta_1 va de H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p),\mathbb{F}_p) vers H_{\ast-1}(K(\mathbb{F}_p),\mathbb{F}_p), qui est écrit sous H_{\ast-1}(K(\mathbb{F}_p),\mathbb{Z}) et relié à lui par une flèche verticale.

Puisque mult par p = 0, il suffit de expliciter \beta_1 sur l'algèbre A_{\ast} K(\mathbb{Z},n) \to K(\mathbb{Z},n) \to K(\mathbb{F}_p,n) induit en deg <2n une suite exacte (à partir de suite de Leray) qui est exacte pour la même raison que ci-dessus : 0 \to H_{\ast}(K(\mathbb{Z},n),\mathbb{F}_p) \to H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p) \to H_{\ast-1}(K(\mathbb{Z},n),\mathbb{F}_p) \to 0 une flèche oblique étiquetée \beta_2 va de H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p) vers H_{\ast-1}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p), écrit sous le troisième terme.

les 2 \beta_i est une sont des dérivation sur l'algèbre graduée A_{\ast} \mathrm{Sym}(\xi_i)\otimes\Lambda(\tau_i) l'un des 2 \beta_i : \tau_0 \to 1 \qquad \begin{cases} \tau_i \to 0 & i\neq 0 \\ \xi_j \to 0 & j>0 \end{cases}

Conclusion H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{Z}) = {} l'autre l'alg à puiss div libre eng par la partie d'excès <n de \{\mathrm{Sym}(\xi_i)\otimes\Lambda(\tau_j)\}, i>0, j\geq 0. dans cette ligne et la suivante, le coefficient \mathbb{Z} est repassé ou biffé ; lecture \mathbb{Z}.

H_{\ast}(K(\mathbb{Z},n),\mathbb{Z}) \beta_2 : \begin{cases} \tau_j \to \xi_j \\ \xi_j \to 0 \end{cases}

\beta_2 agit sur H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{Z}) \xrightarrow{\ \beta_2\ } H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{Z}). C'est une dérivation (anti com) : \tau_j \longmapsto \xi_j \qquad \xi_j \longmapsto 0 \mathrm{Im}\,\beta_2 = \ker\beta_2 = H_{\ast}(K(\mathbb{Z},n),\mathbb{Z})_{(p)} .

La conjugaison c : A \to A, : A_{\ast} \to A_{\ast} est explicitée dans Steenrod. Elle transforme l'un des \beta dans l'autre et transporte la sous algèbre (partie stable de) : H_{\ast}(K(\mathbb{Z},n),\mathbb{F}_p) \xrightarrow{\ \sim\ } H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{Z}) (\ast) \qquad H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p) = A_{\ast} \longleftarrow H_{\ast}(K(\mathbb{Z},n),\mathbb{F}_p) est relié par une inclusion à A_{\ast} ; une flèche courbe revient de la droite vers A_{\ast}. Le repère « (\ast) » est repris p. 371.

X_{\ast}(G) \longrightarrow G \qquad X_n(G) = \mathbb{Z}(G^n\times\mathbb{Z}^{+}) lecture de X_n(G) incertaine. \mathbb{Z}^{\mathbb{Z}^G} \rightrightarrows \mathbb{Z}^G \qquad G \qquad\qquad G \to G\,! \qquad H \mathbb{Z}^{\mathbb{Z}K(G,n)} \rightrightarrows \mathbb{Z}^{K(G,n)} \qquad K(G,n) = G\otimes_{\mathbb{Z}}\Lambda^n\Psi Pour tout n on a une résolution simpliciale de K(G,n). n large grand

r-qis r < f(n,p) K(\mathbb{Z},n)\wedge K(G,p) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{Z}(S^n\wedge K(G,p)) \longrightarrow \mathbb{Z}K(G,n+p) S^n\wedge K(G,p) \to K(G,n+p) K(\mathbb{Z},p_1)\wedge K(\mathbb{Z},p_2)\wedge\cdots\wedge K(\mathbb{Z},p_r)\wedge K(G,p_{r+1}) \to \mathbb{Z}^{r}K(G,\ p) \sum_{i=1}^{r+1} p_i = p dans \mathbb{Z}^rK(G,p), une lettre biffée devant p.

Encadré : r\text{ qis} \qquad K(\mathbb{Z},n)\wedge K(G,p) \longrightarrow \mathbb{Z}K(G,n+p) r = \min(n+2p-1,\ 2n+p-1) K(\mathbb{Z},n)\wedge X \to \mathbb{Z}[S^n\wedge X] K(\mathbb{Z},n)\wedge K(\mathbb{Z},m)\wedge K(G,p) \to \mathbb{Z}[S^n\wedge K(\mathbb{Z},m)\wedge K(G,p)] \downarrow \mathbb{Z}[K(\mathbb{Z},n+m)\wedge K(G,p)] \downarrow \mathbb{Z}[\mathbb{Z}[S^{n+m}\wedge K(G,p)]] \downarrow \mathbb{Z}[\mathbb{Z}K(G,n+m+p)] dans la troisième ligne de la colonne, une lettre biffée après le second \mathbb{Z} ; le G de K(G,p) en tête de ligne surcharge un \mathbb{Z}.

titre en haut à droite, souligné deux fois : « Foncteurs dérivés de Sym ». La lettre que nous rendons par \mathcal{O} dans la seconde moitié de la page est un O cerclé ou barré, écrite en surcharge sur G_a ; lecture \mathcal{O}.

H^q(X,R) \simeq H^q(X,\mathbb{F}_p)\otimes_{\mathbb{F}_p} R \Theta\in\mathcal{A} = {} algèbre de Steenrod P^i_R = P^i\otimes 1 \qquad i>0 \qquad 2i(p-1) P^0_R = P^0\otimes F \qquad (P^0 = 1) sous P^i_R : construit par Steenrod. F est sans doute le Frobenius ; P^0_R est cerclé au crayon.

G_a = {} Fais structural de (\mathrm{Sch}/\mathbb{F}_p) G_a\otimes(\Lambda^n\Psi) H^{\ast}(K(G_a,n),G_a) = \mathcal{A}\cdot\text{les op} \mathbb{H}^{\ast}(\mathbb{Z}[K(G_a,n)]^{\sim},G_a) Illusie X\in\mathrm{ob}\,D_\bullet(T) cat dérivée des fais simpl F objet abélien \mathbb{H}^{\ast}(X,F) = [X,K(F,n)] \qquad X' \to K(F,n),\ X' \to X une flèche monte de H^j(X_i,F) vers \mathbb{H}^{\ast}(X,F) ; le croquis hachuré en haut à droite de la page n'est pas reproduit.

Epstein \mathcal{L}. Operations in homological algebra, Invent. Math. 1 (1966)

Illusie p 69 3.2.1.19 – 3.2.1.18 \mathcal{E}xt^p(\Lambda(X),F) = \varinjlim_{\substack{X'\to X\\ \text{qis}\\ \text{fibrant}}} [X',K(F,p)] \overset{\text{déf}}{=} \mathbb{H}^p(X,F) \mathcal{E}xt^p(\Lambda(-),F) \to \mathrm{Ext}^q(\Lambda(\ ),G) Op coh de type (F,p,G,q) sont class par \mathbb{H}^q(K(F,p),G) \mathbb{Z}X \xrightarrow{\ f\ } K(A,q)

\mathbb{H}^n(K(G_a,m),G_a) = R^n\,\mathrm{Sym}(\mathbb{F}_p[m]) = \text{dual de } L^n\Gamma\,(\mathbb{F}_p[m]) devant (\mathbb{F}_p[m]), un mot biffé Sym ; la lecture L^n\Gamma est incertaine.

Théorème : Soit \mathcal{A} l'algèbre sur \mathbb{F}_p eng par P^i, \deg P^i = 2i(p-1), i\geq 0, sat aux relations d'Adem (mais non à P^0 = 1).

\mathbb{H}^{\ast}(K(\mathcal{O},m),\mathcal{O}) est l'alg anticomm libre engendrée par les monômes admissibles de \mathcal{A} d'excès <n.

Dém : Comme dans le cas classique, il suffit de calculer H^{\ast}(K(G_a,1),G_a) et de grimper en utilisant le th de Borel et la suite sp de Leray associée à K(G_a,n-1) \to \ast \to K(G_a,n) \ast est écrit au-dessus de K(G_a,n), avec une flèche verticale.

Lazard : Coh de l'analyseur classique dans « Lois de groupes formels et analyseurs » Ann ENS une flèche relie H^{\ast}(K(G_a,1),G_a) à la référence de Lazard.

G_a^3 \qquad G_a\times G_a \qquad G_a \qquad\qquad k[x,y,z] \leftleftarrows k[x,y] \leftleftarrows k[x] au-dessus de k[x] : \mathrm{Sym}\,\mathbb{F}_p ; les flèches sont à plusieurs traits. \iota_1 \in H^1(K(G_a,1),G_a) \text{Witt} \leftarrow \beta \in H^2(K(G_a,1),G_a) 0 \to G_a \to W_2 \to G_a \to 0 \qquad 0 \to \mathbb{Z}/p \to \mathbb{Z}/p^2 \to \mathbb{Z}/p \to 0

\Bigl|\ H^{\ast}(K(\mathbb{F}_{p^h},m),\mathbb{F}_{p^h}) R anneau de car p\neq 0 H^{\ast}(K(R,n),R) = {} Alg anticomm libre /R eng par \mathrm{Hom}(R,R)-module libre de eng par les monômes admissibles \bigoplus P^If\ \ i_n \qquad f\in\mathrm{Hom}(R,R) H^{\ast}(X,\mathcal{O}) \to H^{\ast}(X,\mathcal{O}) \qquad x \mapsto P^Ix \mathrm{Hom}

On se ramène au calcul de H^{\ast}(K(\mathbb{F}_{p^h},1),\mathbb{F}_{p^h}) x\in H^{\ast}(K(\mathcal{O},m),\mathcal{O}) \qquad K(\mathcal{O},m) \longrightarrow K(\mathcal{O},n) \qquad \forall\, R/\mathbb{F}_p K(R,m) \longrightarrow K(R,n) x\in H^{\ast}(K(\mathcal{O},n),\mathcal{O})_h \xrightarrow{\ \text{injective}\ } \mathbb{H}^{\ast}(K(\mathbb{F}_{p^h},n),\mathbb{F}_{p^h}) représenté par des polynômes de deg <p^h en chaque var

Prop : Le k[F]-module \mathrm{Ext}^i(G_a,G_a) (pour l'action de \mathrm{Hom}(G_a,G_a) à droite) est de F torsion (i>1). la borne i>1 surcharge un autre chiffre.

Cor : (Milne) G_a^{\mathrm{parf}} = {} restriction de G_a au site parfait/k G_a^{\mathrm{parf}} = \varinjlim_{F} G_a \mathrm{Ext}^i(G_a^{\mathrm{parf}},G_a^{\mathrm{parf}}) = 0 \qquad i>1. la flèche sous « lim » a deux pointes ; nous la lisons comme une limite inductive. Une longue flèche courbe relie la Prop à la Dém.

Dém : On considère la suite spectrale du coefficient universel \forall \text{ fais simpl } X : \quad E_2^{i,j} = \mathrm{Ext}^i_{\mathbb{F}_p}(\underline{H}_j(X),F) \Longrightarrow \mathbb{H}^{i+j}(X,F) En fait on va travailler dans la catégorie des fais de \mathbb{F}_p-modules

On travaille mod F (au sens mod \mathcal{C}) \mathrm{Hom}(G_a,G_a) = k[F] \qquad \mathrm{Ext}^1(G_a,G_a) = 0 à droite, biffé : E^{\ast i} = 0, j<n.

Dém par récurrence : On va considérer la s. spectrale précédente avec X = K(G_a,n) \mathrm{Ext}^i n grand. E \qquad \mathrm{Ext}^i(H_j(K(G_a,n)),G_a) \Longrightarrow \mathbb{H}^{\ast}(K(G_a,n),G_a) E_2^{i,n} = \mathrm{Ext}^i(H_n(K(G_a,n)),G_a) = \mathrm{Ext}^i(G_a,G_a) à droite, un petit diagramme du plan (i,j) : la ligne j=n porte des 0, et la région au-dessus est hachurée. \underline{H}_j(K(G_a,n)) = \bigoplus G_a \qquad G_a \xrightarrow{\ p=0\ } G_a