Cote n° 136, pages 361–375

Cote n° 136 · batch 19 · pages 361–375 · Transcription · Complexe de De Rham à puissance divisée [conférence de 1976 à l’IHÉS] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1975-1976]
Édition de démonstration

Formule de décalage (Quillen–Bousfield)

361p. 1 de l'auteur ; les feuillets 361 à 365 portent sa numérotation 1 à 5.

Formule de Decalage (Quillen – Bousfield) [cf […] Thèse Illusie].

$L_{\ast}F(M,n)$ $L_{\ast}F(M[n])$

\[ L_i\,\mathrm{Sym}^i(M,n) \simeq L_{i+n}\,\Lambda^i(M, \text{\struck{$n+1$}}) \] \[ L_i\,\Lambda^i(M,n) \simeq L_{i+n}\,\Gamma^i(M,n+1) \] ces deux lignes sont traversées par de longs traits obliques, qui peuvent valoir rature ; la ligne suivante est entièrement biffée : […].

\[ M \to M \qquad K(M,n) \longrightarrow E(M,n+1) \longrightarrow K(M,n+1) \] la flèche $E(M,n+1) \to K(M,n+1)$ est verticale sur la page.

\[ \mathrm{Sym}\,K(M,n) \otimes \Lambda E(M,n+1) \] \[ \Lambda^{n+1}\Psi \otimes_{\mathbb{Z}} M \] la lecture $\Lambda^{n+1}\Psi$ est douteuse ; elle est écrite sous $\Lambda E(M,n+1)$.

\[ 0 \to \mathrm{Sym}^i K(M,n) \to \mathrm{Sym}^{i-1}K(M,n)\otimes\Lambda^1E(M,n+1) \to \mathrm{Sym}^{i-2}K(M,n)\otimes\Lambda^2E(M,n+1) \] \[ \to \cdots \to \Lambda^iE(M,n+1) \to \Lambda^iK(M,n+1) \to 0 \] \[ 0 \to \Lambda^iK(M,n) \to \Lambda^{i-1}K(M,n)\otimes\mathrm{Sym}^1E(M,n+1) \to \cdots \] \[ \cdots \to \mathrm{Sym}^iE(M,n+1) \to \mathrm{Sym}^iK(M,n+1) \to 0 \] \[ 0 \to \Gamma^iK(M,n) \to \Gamma^{i-1}K(M,n)\otimes\Lambda^1E(\ \cdots) \]

Encadré : \[ L_r\,\mathrm{Sym}^i K(M,n+1) \simeq L_{r-i}\,\Lambda^iK(M,n) \]

\[\begin{align*} L_{\ast}\,\mathrm{Sym}^iX[1] &\simeq L_{\ast}\,\Lambda^iX[-i] \\ L_{\ast}\,\Lambda^i(X[1]) &\simeq L_{\ast}\,\Gamma^iX[-i] \\ L_{\ast}\,\mathrm{Sym}^iX[2] &\simeq L_{\ast}\,\Gamma^iX[-2i] \end{align*}\] dans la première ligne, l'indice de $L$ à droite est surchargé ($\ast - i$ corrigé en $\ast$).

362p. 2 de l'auteur.

(Th) Dold Puppe Ann Inst Fourier. \[ L_r\,\mathrm{Sym}^{\ast}_{\uncertain{e}} \simeq L_r\,\mathbb{Z}[\quad] \] l'indice de $\mathrm{Sym}^{\ast}$ est un $e$ ou un $\mathbb{Z}$ minuscule.

$\Gamma$ $M_{\bullet}$ un ⌜complexe de chaînes de⌝ $A$-modules, du moins pour $M$ concentré en un seul degré.

$K(M_{\bullet})$

Def \[ L_i\,\mathbb{Z}M_{\ast} = H_i(M_{\ast}) \] \[ L_i(\mathrm{Sym})M_{\ast} \] entre les deux lignes, un signe d'inclusion vertical, ouvert vers le haut ($\supseteq$).

D'où une graduation (dite la graduation par le poids sur l'homologie des esp d'E.M).

Pt clef : Th de Dold-Thom :

$X$ un espace $\mathrm{SYM}^{\infty}X = {} \cup X \cup X^{(2)} \cup X^{(3)} \cdots$ \[ X \mapsto \pi_i\,\mathrm{SYM}^{\infty}X \simeq H_iX \qquad \mathbb{Z}X \qquad \pi_i\,\mathbb{Z}X \] satisfait aux axiomes d'Eilenberg-Steenrod « axiomes » est écrit sous la ligne, à l'endroit d'un mot biffé […].

\[ G = \mathbb{Z}^{k} \times \mathbb{Z} \] lecture $\mathbb{Z}^k\times\mathbb{Z}$, isolée à droite.

$X$ un espace de Moore $\mathbb{Z}M(G,n)$ $G$ \[ K(G,n) \sim \mathrm{Sym}^{\infty}M(G,n) \qquad G \to M(G) \] $M(G),\ M(\ill{})\ \ldots\ \mathrm{Hom}(G,\ill{})$, $\mathrm{Ext}(G,\ill{})$ passage biffé à droite, relié par un trait ; illisible pour l'essentiel.

\[ H_i(G,n) = \pi_i\,\mathbb{Z}K(G,n) \overset{\text{Dold-Thom}}{=} \pi_i\,\mathbb{Z}\,\mathrm{Sym}^{\infty}M(G,n) \] Théorème de Dold. $\mathbb{Z}\,\mathrm{Sym}^{\infty}X \xleftarrow{\ \sim\ } \mathrm{Sym}\,\mathbb{Z}X$ \[ \pi_i\,\mathrm{Sym}(\mathbb{Z}M(G,n)) = L_i\,\mathrm{Sym}(G) \] une flèche verticale à double pointe relie $\pi_i\,\mathbb{Z}\,\mathrm{Sym}^{\infty}M(G,n)$ et $\pi_i\,\mathrm{Sym}(\mathbb{Z}M(G,n))$ ; sous $\mathbb{Z}M(G,n)$ un « $\Vert$ » renvoie à $K(G,n)$.

Free Par def $\mathbb{Z}M(G,n) \sim K(G,n)$ \[ H_{n+r}\,K(M,n) \overset{S}{\simeq} H_{n+r+1}\,K(M,n+1) \qquad \text{\struck{$n \leq r \leq 2n$}}\ \ r < n. \]

Opérations cohomologiques stables

363p. 3 de l'auteur.

\[ H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p)^{\ast} \simeq H^{n+r}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p) \] \[ K(\mathbb{Z},n) \to K(\mathbb{Z},n) \to K(\mathbb{F}_p,n) \]

Puisque $K(\mathbb{F}_p,n)$ représente la $\mathbb{F}_p$-coh une flèche descend de $H^{n+r}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p)$ vers « opérations coh de type ». opérations coh de type $(\mathbb{F}_p,n\,;\,\mathbb{F}_p,n+r)$, $r<n$.

Opérations stables de deg $r$ $\{P_r\}$ Une collection $\forall n$ \[ H^n(X,\mathbb{F}_p) \longrightarrow H^{n+r}(X,\mathbb{F}_p) \] commute

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\begin{tikzcd}
  \widetilde{H}^{n+1}(SX,\mathbb{F}_p) \arrow[r, "P_{n+1}"] &
  \widetilde{H}^{n+1+r}(SX,\mathbb{F}_p) \\
  \widetilde{H}^{n}(X,\mathbb{F}_p) \arrow[r, "P_n"] \arrow[u, "\wr"] &
  \widetilde{H}^{n+r}(X,\mathbb{F}_p) \arrow[u, "\wr"']
\end{tikzcd}

les deux isomorphismes verticaux sont notés « $\wr$ » sans pointe de flèche ; leur sens est ajouté par nous.

$r<n$ \[ H^{n+r}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p) \simeq H^{n+r+1}(K(\mathbb{F}_p,n+1),\mathbb{F}_p) \] \[ P_n \qquad\qquad P_{n+1} \] \[ H^{n+r-1}(K(\mathbb{F}_p,n-1),\mathbb{F}_p) \] ce dernier groupe est écrit à gauche, relié au premier par une flèche.

Opérations stables : Les op stables sont […] données par l'algèbre de Steenrod \[ p \neq 2 \qquad \mathbb{F}_p[P^0, P^1, \ldots, P^n, \ldots, \beta]\,/\,\text{Relations d'Adem} \] \[ P^0 = 1 \qquad \deg P^i = 2i(p-1) \qquad \deg\beta = 1 \]

Cohomology operations, Steenrod + Epstein, Ann of Math Studies N° 50, Princeton, p 77

364p. 4 de l'auteur.

$P^i$ op stables construite par Steenrod.

$p=2$ \[ \mathbb{F}_2[\mathrm{Sq}^i]\,/\,\mathrm{Sq}^0 = 1 \quad (\mathrm{Sq}^1 = \beta) \quad \text{rel d'Adem} \qquad i \geq 0 \qquad \deg \mathrm{Sq}^i = i \]

$p\ 2$ $\mathrm{Sq}^1\mathrm{Sq}^2 = \mathrm{Sq}$ $\mathrm{Sq}^1\mathrm{Sq}^2 = \mathrm{Sq}^3 + \mathrm{Sq}^2\mathrm{Sq}^1$ (?) etc … la relation écrite est fausse telle quelle (Adem donne $\mathrm{Sq}^1\mathrm{Sq}^2 = \mathrm{Sq}^3$) ; le « (?) » est de lui.

Formule de Cartan : \[ P^i(x \times y) = \sum_{j \geq 0} P^j(x)\,P^{i-j}(y) \] \[ P^I = \beta^{\varepsilon_0}P^{\eta_1}\beta^{\varepsilon_1}P^{\eta_2}\cdots \qquad I = (\varepsilon_0,\eta_1,\varepsilon_1,\eta_2,\ldots) \qquad \varepsilon_i = 0, 1 \qquad \eta_i \geq 0 \] $\deg I$ de manière évidente ; excès $e(I) = {}$ « $\eta_1 - \sum_{i>1}\eta_i$ ».

admissible \[ \eta_i \geq p\,\eta_{i+1} + \varepsilon_i \] Les $P^I$ admissibles forment une $\mathbb{F}_p$-base. \[ A \longrightarrow H^{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p) \qquad x \mapsto x\,\iota_n \]

Théorème Serre ($p=2$) : $H^{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p) = {}$ Algèbre anticommutative libre sur $\mathbb{F}_p$ engendrée par les monômes admissibles d'excès $<n$.

$H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p) = {}$ Alg anticom à puiss divisée universelle engendrée par les éléments duaux.

365p. 5 de l'auteur.

Dém 1) Séminaire Cartan

On regarde la suite spectrale du classifiant \[ E_2 = \mathrm{Tor}^{H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p)}(\mathbb{F}_p,\mathbb{F}_p) \Longrightarrow H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n+1),\mathbb{F}_p) \] \[ K(\mathbb{F}_p,n+1) = B_{K(\mathbb{F}_p,n)} \] Suite sp d'Eilenberg-Moore, Steenrod - Rothenberg, etc … \[ \cdots\ \mathbb{Z}(G\times G) \rightrightarrows \mathbb{Z}G \longrightarrow \mathbb{Z} \qquad \mathbb{Z}(G\times G) = \mathbb{Z}G\otimes\mathbb{Z}G \] $\otimes\,\mathbb{Z}K(\mathbb{F}_p,n)$ $\mathbb{Z}K(\mathbb{F}_p,n) = M$ alg diff graduée augmentée. Bar Constr. \[ \cdots\ H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n))^{\otimes 2} \rightrightarrows H_{\ast}K(\mathbb{F}_p,n) \to M \] \[ A = \mathbb{Z}(G) \qquad \mathbb{Z}(EG) = {\ast} \qquad \mathbb{Z}(BG) \]

2) Méthode de Serre Comm Helv 1954 \[ H^{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n+1),\mathbb{F}_p)\otimes H^{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p) \Longrightarrow H^{\ast}(\ast) \]

Springer : Symposium en l'honneur de Steenrod, Article de May.

L'algèbre de Steenrod et sa duale

366feuille à portées, écrite en largeur ; la colonne de droite est transcrite d'abord, puis celle de gauche.

Comult naturelle sur $A$

$P$ opération coh $(\mu^{\ast}P)(xy) = \sum_i P_i x \cdot P'_i y$

Par la formule de Cartan \[ \Delta P^i = \sum_{j+k=i} P^j \otimes P^k . \] la lecture $\sum_i P_i x\cdot P'_i y$ est incertaine.

Milnor : $j \geq 1$ $\xi_j$ dual de $P^{p^{j-1}} \cdots P^{p^2}P^{p}P^{p^0}$ (monôme adm)

$j \geq 0$ $\tau_j$ $P^{p^j} \cdots P^pP\beta$ exposants de la seconde ligne $P^{p^j}$ ; le début est en partie illisible.

\[ A_{\ast} = \mathrm{Sym}(\xi_i) \otimes \Lambda(\tau_j) \qquad \text{dual de } A \] devant $A_{\ast}$, un mot biffé […] ; l'indice de $\tau$ est surchargé ($k$ corrigé en $j$). \[ \Delta\xi_k = \sum_i \xi_{k-i}^{p^i}\otimes\xi_i \qquad \Delta\tau_k = \tau_k\otimes 1 + \sum_{i=0}^{k} \xi_{k-i}^{p^i}\otimes\tau_i \] p 85

\[ A \otimes B \longrightarrow C \qquad \mathbb{F}_p\text{-modules} \] \[ K(A,i) \wedge K(B,j) \longrightarrow K(C,i+j) \] cup-products pairings \[ K(\mathbb{F}_p,n)\wedge K(\mathbb{F}_p,m) \longrightarrow K(\mathbb{F}_p,m+n) \] \[ H^{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n))\otimes H^{\ast}(K(\mathbb{F}_p,m)) \longleftarrow H^{\ast}(K(\mathbb{F}_p,m+n),\mathbb{F}_p) \] \[ A \otimes A \longleftarrow A \] Le cup produit induit en coh la comultiplication sur l'alg de Steenrod $A$ correspondant à la multiplication dans la duale

\[ L\,\mathrm{Sym}^r = 0 \qquad r \neq p^s \qquad s \geq 0 \] \[ L\,\mathrm{Sym}^{p^s}K(\mathbb{F}_p,n) \] \[ L_{n+i}\,\mathrm{Sym}\,K(\mathbb{F}_p,n) \xrightarrow[+1]{S} L_{n+i+1}\,\mathrm{Sym}\,K(\mathbb{F}_p,n+1) \] \[ L^{\mathrm{st}}_{\ast}\mathrm{Sym}\,\mathbb{F}_p = A_{\ast} \] \[ L^{\mathrm{st}}_{\ast}\,\text{\struck{$\mathbb{F}_p$}}\,[\mathbb{F}_p] = \] les indices de $L$ dans la troisième ligne sont $n+i$ et $n+i+1$ ; le premier indice de la ligne $L^{\mathrm{st}}_{\ast}$ est surchargé.

$1 \in$ $\mathrm{Sym}^{p^0}$ $\xi_1,\ \tau_0 \in \mathrm{Sym}^p$ $\xi$

Construction bar

367

\[ A \xrightarrow{\ \varepsilon\ } \mathbb{F}_p \] $A$ $\mathbb{F}_p$-alg diff graduée aug sur $\mathbb{F}_p$ \[ B(A) \qquad \overline{B}(A) \] \[ A\otimes A\otimes A \rightrightarrows A\otimes A \underset{1\otimes\varepsilon}{\overset{\mu}{\rightrightarrows}} A \qquad \to \mathbb{Z}EG \] \[ A\otimes A \rightrightarrows A \rightrightarrows \mathbb{F}_p \qquad \mathbb{Z}BG \] les flèches multiples sont tracées à trois ou deux traits selon le degré ; une petite flèche courbe revient de $A$ vers $A\otimes A$ au-dessus de $\mu$.

$a\otimes\cdots\otimes a$, $n$ fois (sous $A$ : $a$)

$A$ commutative \[ \cdots\ \mathbb{Z}G^3 \rightrightarrows \mathbb{Z}G^2 \rightrightarrows \mathbb{Z}G \qquad \mathbb{Z}G^2 = \mathbb{Z}G\otimes\mathbb{Z}G \] Bar consts sur l'alg $\mathbb{Z}G$ des flèches parallèles partent de $\mathbb{Z}G\otimes\mathbb{Z}G$ vers $\mathbb{Z}G$ et vers le bas à gauche ; le dessin n'est pas achevé.

$A\otimes A$ $A \to \mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$ surchargé. \[ A = \mathbb{Z}K(G,n) \qquad \overline{B}(A) \sim \mathbb{Z}BK(G,n) \] Structure d'algèbre de $\overline{B}(A)$

E Zilber \[ \overline{B}(A)\otimes\overline{B}(A) \rightleftarrows \overline{B}(A\otimes A) \longrightarrow \overline{B}(A) \] $A$ comm $\Longrightarrow$ $A\otimes A \to A$ hom d'alg devant $A\otimes A$, un signe $I\otimes$ ; « E Zilber » est sans doute Eilenberg-Zilber.

Le $K_2$ de Milnor

369

Def de $K_2(R)$ de Milnor \[ E(R) \subset GL(R) \longrightarrow K_1(R) \to 0 \] Th $E(R) = [E(R),E(R)]$ le signe d'égalité est repassé ; $=$.

$R$ local $E(R) = SL(R)$ (Whitehead) \[ E(R) \hookrightarrow GL(R) \xrightarrow{\ \det\ } R^{\ast} \to 0 \] \[ 0 \to K_2(R) \to St(R) \to E(R) \hookrightarrow Gl(R) \longrightarrow K_1(R) \to 0 \] une longue flèche va aussi directement de $St(R)$ à $Gl(R)$. \[ \pi_1(E(R)) = K_2(R) \] l'indice de $\pi$ est $1$. \[ BGl(R)^{+} \] \[ \mathrm{Ext}^2(\mathbb{Z},G_m) \] le premier argument de $\mathrm{Ext}^2$ est surchargé ; $\mathbb{Z}$.

Suite spectrale $X$ un schéma \[ H^i_{\mathrm{Zar}}(X,\underline{K}_j) \Longrightarrow K_{j-i}(X) \] \[ H^i(X,\underline{K}_i) = i\text{-cycles}/\text{équiv rat}. \] \[ 0 \to G_m \to i_{\ast}G_{m,K} \to \bigoplus_{\text{pts de codim } 1}\mathbb{Z} \to 0 \] \[ 0 \to \underline{K}_1 \to i_{\ast}\underline{K}_1 \to \bigoplus_{\text{pts } 1}\underline{K}_0 \to 0 \] \[ 0 \to \underline{K}_i \to i_{\ast}\underline{K}_i \to \bigoplus_{\text{codim } 1} i_{x\ast}K_{i-1} \to \cdots \to \bigoplus_{\text{pts fermés}} i_{x\ast}\mathbb{Z} \to 0 \] \[ H^0(X,\ \cdots)\,/\,H^0(\quad) \] au bas de la page, un quotient $H^0(X,\ldots)/H^0(\quad)$ dont le second argument du numérateur est […] et le dénominateur laissé en blanc.

Cohomologie des espaces d'Eilenberg-MacLane

370titre en haut à droite : « Coh […] d'E-M I » ; la page suivante porte « Coh d'E-M II ».

$H^{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p) = {}$ Algèbre anti com libre engendrée par monômes admissibles d'excès $<n$ $p=2$ (alg sym)

[ou] « » « » $<n$ $+$ « » « » d'excès $= n$ qui se terminent par $\beta$ $p\neq 2$

\[ A = \mathbb{F}_p[P^i,\beta]\,/\,P^0 = 1,\ \text{Adem} \qquad \deg P^i = 2i(p-1) \qquad \deg\beta = 1 \] \[ A = \mathbb{F}_2[\mathrm{Sq}^i]\,/\,\mathrm{Sq}^0 = 1,\ \text{Adem en car } 2 \qquad \deg\mathrm{Sq}^i = i \] \[ \mathrm{Sq}^a\mathrm{Sq}^b = \sum_{j=0}^{a<2b} (\quad)\,\mathrm{Sq}^{a+b-j}\mathrm{Sq}^j \] les coefficients binomiaux de la relation d'Adem sont laissés en blanc.

$i>0$, $j\geq 0$ : $\deg\xi_i = 2p^i-2$, $\deg\tau_i = 2p^i-1$ ; $\mathrm{Sym}(\xi_i)\otimes\Lambda(\tau_j)$ $A_{\ast}$ l'algèbre duale. $\mathrm{Sym}(\xi_i)$, $i>0$, $p=2$ : $\deg\xi_i = 2^i-1$.

$H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p)$
$H_{\ast}(K(\mathbb{Z},n),\mathbb{F}_p)$
$H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{Z})$
$H_{\ast}(K(\mathbb{Z},n),\mathbb{Z})$

les numéros 1 et 2 sont cerclés sur la page.

\[ K(M\times N,n) \sim K(M,n)\times K(N,n) \]

[…] : $H_{\ast}(K(G,n),\mathbb{Z}) = \bigoplus G/pG \oplus {}_pG$, $G$ abélien quelconque. Ex : $H_{n+2}(K(G,n),\mathbb{Z}) = G/2G$ ; $H_{n+3}(K(G,n),\mathbb{Z}) = {}_2G$ ; $n+4$ : $= G/2G\oplus G/3G$ ; $n+5$ : $= {}_2G + {}_3G$, dans la partie stable $H_{n+i}(K(G,n))$, $0\leq i<n$. Deprime

\[ G \in \mathcal{R} \text{ des car } p \qquad H^{\ast}(K(G,n),\mathcal{R}) \] alg anticom libre sur le module $\mathrm{Hom}(G,\mathcal{R})\otimes_{\mathbb{F}_p}$ (partie de $A$ d'excès $<n$) « une $\mathbb{F}_p$-algèbre » est ajouté au-dessus de $\mathcal{R}$, au-dessus du mot biffé groupes ; après « module » un mot biffé […].

l'homologie est entièrement de torsion première.

Bockstein \[ \mathbb{Z} \xrightarrow{\ p\ } \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p \] \[ \xrightarrow{0 = p} H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{Z}) \to H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p),\mathbb{F}_p) \to H_{\ast-1}(K(\mathbb{F}_p),\mathbb{Z}) \xrightarrow{\ p=0\ } 0 \] une flèche oblique étiquetée $\beta_1$ va de $H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p),\mathbb{F}_p)$ vers $H_{\ast-1}(K(\mathbb{F}_p),\mathbb{F}_p)$, qui est écrit sous $H_{\ast-1}(K(\mathbb{F}_p),\mathbb{Z})$ et relié à lui par une flèche verticale.

Puisque mult par $p = 0$, il suffit de […] expliciter $\beta_1$ sur l'algèbre $A_{\ast}$ \[ K(\mathbb{Z},n) \to K(\mathbb{Z},n) \to K(\mathbb{F}_p,n) \] induit en deg $<2n$ une suite exacte (à partir de suite de Leray) qui est exacte pour la même raison que ci-dessus : \[ 0 \to H_{\ast}(K(\mathbb{Z},n),\mathbb{F}_p) \to H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p) \to H_{\ast-1}(K(\mathbb{Z},n),\mathbb{F}_p) \to 0 \] une flèche oblique étiquetée $\beta_2$ va de $H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p)$ vers $H_{\ast-1}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p)$, écrit sous le troisième terme.

les 2 $\beta_i$ est une ⌜sont des⌝ dérivation sur l'algèbre graduée $A_{\ast}$ \[ \mathrm{Sym}(\xi_i)\otimes\Lambda(\tau_i) \] l'un des 2 $\beta_i$ : \[ \tau_0 \to 1 \qquad \begin{cases} \tau_i \to 0 & i\neq 0 \\ \xi_j \to 0 & j>0 \end{cases} \]

Conclusion $H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{Z}) = {}$ l'autre l'alg à puiss div libre eng par la partie d'excès $<n$ de $\{\mathrm{Sym}(\xi_i)\otimes\Lambda(\tau_j)\}$, $i>0$, $j\geq 0$. dans cette ligne et la suivante, le coefficient $\mathbb{Z}$ est repassé ou biffé ; lecture $\mathbb{Z}$.

$H_{\ast}(K(\mathbb{Z},n),\mathbb{Z})$ $\beta_2$ : \[ \begin{cases} \tau_j \to \xi_j \\ \xi_j \to 0 \end{cases} \]

$\beta_2$ agit sur $H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{Z}) \xrightarrow{\ \beta_2\ } H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{Z})$. C'est une dérivation (anti com) : \[ \tau_j \longmapsto \xi_j \qquad \xi_j \longmapsto 0 \] \[ \mathrm{Im}\,\beta_2 = \ker\beta_2 = H_{\ast}(K(\mathbb{Z},n),\mathbb{Z})_{(p)} . \]

La conjugaison $c : A \to A$, $: A_{\ast} \to A_{\ast}$ est explicitée dans Steenrod. Elle transforme l'un des $\beta$ dans l'autre et transporte la sous algèbre (partie stable de) : \[ H_{\ast}(K(\mathbb{Z},n),\mathbb{F}_p) \xrightarrow{\ \sim\ } H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{Z}) \] \[ (\ast) \qquad H_{\ast}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p) = A_{\ast} \longleftarrow \] $H_{\ast}(K(\mathbb{Z},n),\mathbb{F}_p)$ est relié par une inclusion à $A_{\ast}$ ; une flèche courbe revient de la droite vers $A_{\ast}$. Le repère « $(\ast)$ » est repris p. 371.

371titre en haut à droite : « Coh d'EM II ».

Th (Cartan) : $G$, $H$ deux anneaux ⌜groupes⌝ […] $\mathbb{F}_p$-modules (il fait des hyp sur $G$ et $H$). \[ H_{\ast}(K(G,n),H) \simeq H_{\ast}(K(H,n),G) \quad \text{additif.} \] Dém : Calcul.

$X$ un ensemble simplicial pointé. \[ \pi_i(\mathbb{Z}X) \simeq H_i(X) \] \[ K(\mathbb{Z},n)\wedge X \xrightarrow{\ A(X)\ } \mathbb{Z}^{+}(S^nX) \qquad \mathbb{Z}^{+}(X,x) = \mathbb{Z}X/\mathbb{Z}x \] devant $\mathbb{Z}^{+}(S^nX)$, un mot biffé […]. $2n-1$ quasi isomorphisme. \[ K(\mathbb{Z},n) = \mathbb{Z}^{+}[S^n] \] \[ \left.\begin{aligned} \mathbb{Z}(X\times Y) &\simeq \mathbb{Z}X\otimes\mathbb{Z}Y \\ \mathbb{Z}^{+}(X\wedge Y) &\simeq \mathbb{Z}^{+}X\otimes\mathbb{Z}^{+}Y \end{aligned}\right\} \ \begin{array}{l} \text{EZ} \\ \text{EZ pointé.} \end{array} \] \[ K(\mathbb{Z},n)\wedge X \to K(\mathbb{Z},n)\wedge\mathbb{Z}^{+}X \] \[ \mathbb{Z}^{+}(S^n)\wedge X \to \mathbb{Z}^{+}(S^n)\wedge\mathbb{Z}^{+}X \to \mathbb{Z}^{+}(S^n)\otimes\mathbb{Z}^{+}X \xrightarrow{\ \mathrm{EZ}\ } \mathbb{Z}^{+}(S^nX) \] \[ \pi_{n+r}(K(\mathbb{Z},n)\wedge X) = \pi_{n+r}(\mathbb{Z}^{+}(S^nX)) = \widetilde{H}_{n+r}(S^nX) = \widetilde{H}_r(X) \] Dém : $A(S^n)$ \[ \pi_i(K(\mathbb{Z},n)\wedge S^m) \qquad \mathbb{Z}^{+}(S^n\wedge S^m) = \mathbb{Z}^{+}(S^{n+m}) \] \[ S^m\wedge K(\mathbb{Z},n) \xrightarrow{\ \mathrm{qis}\ } K(\mathbb{Z},n+m) \] \[ S^m \to \mathbb{Z}^{+}(S^m) = K(\mathbb{Z},m) \] \[ S^m\wedge K(\mathbb{Z},n) \to K(\mathbb{Z},m)\wedge K(\mathbb{Z},n) \xrightarrow{\ \cup\ } K(\mathbb{Z},n+m). \] Pt clef : $X \xrightarrow{\ h_r(\ )\ } \pi_{n+r}(K(\mathbb{Z},n)\wedge X)$ est une th d'homologie partielle \[ Y \hookrightarrow X \to X/Y \] induit \[ h_r(Y) \to h_r(X) \to h_r(X/Y) \to h_{r-1}(Y) \to \cdots \] $r$ assez petit.

encadré, en bas à gauche : Ex de la dém 2 : interprétation du diagramme $(\ast)$ en bas de la page I. \[ \begin{array}{ccc} K(\mathbb{Z},n)\wedge K(\mathbb{F}_p,m) & \longrightarrow & K(\mathbb{F}_p,m)\wedge K(\mathbb{Z},n) \\ \big\downarrow & & \big\downarrow \\ K(\mathbb{F}_p,n)\wedge K(\mathbb{F}_p,m) & \longrightarrow & K(\mathbb{F}_p,n)\wedge K(\mathbb{F}_p,m) \end{array} \] dans l'encadré, les indices $n$, $m$ sont surchargés à la ligne du bas, et la flèche verticale de gauche est un crochet d'inclusion ; « Pt clef » est écrit au bord de l'encadré.

Dém 2 du th de Cartan \[ \pi_{i+m}(K(H,m)\wedge K(G,n)) \simeq \pi_{i+n}(K(G,n)\wedge K(H,m)) \] s'obtient par permutation des facteurs le second terme est écrit $\pi_{i+n}(K(G,n)\wedge K(H,n))$.

Résolutions canoniques d'un groupe abélien

372

\[ X_{\ast}(G) \longrightarrow G \qquad X_n(G) = \mathbb{Z}(G^n\times\mathbb{Z}^{+}) \] lecture de $X_n(G)$ incertaine. \[ \mathbb{Z}^{\mathbb{Z}^G} \rightrightarrows \mathbb{Z}^G \qquad G \qquad\qquad G \to G\,! \qquad H \] \[ \mathbb{Z}^{\mathbb{Z}K(G,n)} \rightrightarrows \mathbb{Z}^{K(G,n)} \qquad K(G,n) = G\otimes_{\mathbb{Z}}\Lambda^n\Psi \] Pour tout $n$ on a une résolution simpliciale de $K(G,n)$. $n$ large grand

$r$-qis $r < f(n,p)$ \[ K(\mathbb{Z},n)\wedge K(G,p) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{Z}(S^n\wedge K(G,p)) \longrightarrow \mathbb{Z}K(G,n+p) \] \[ S^n\wedge K(G,p) \to K(G,n+p) \] \[ K(\mathbb{Z},p_1)\wedge K(\mathbb{Z},p_2)\wedge\cdots\wedge K(\mathbb{Z},p_r)\wedge K(G,p_{r+1}) \to \mathbb{Z}^{r}K(G,\ p) \] \[ \sum_{i=1}^{r+1} p_i = p \] dans $\mathbb{Z}^rK(G,p)$, une lettre biffée devant $p$.

Encadré : \[ r\text{ qis} \qquad K(\mathbb{Z},n)\wedge K(G,p) \longrightarrow \mathbb{Z}K(G,n+p) \] \[ r = \min(n+2p-1,\ 2n+p-1) \] \[ K(\mathbb{Z},n)\wedge X \to \mathbb{Z}[S^n\wedge X] \] […] \[ K(\mathbb{Z},n)\wedge K(\mathbb{Z},m)\wedge K(G,p) \to \mathbb{Z}[S^n\wedge K(\mathbb{Z},m)\wedge K(G,p)] \] \[ \downarrow \] \[ \mathbb{Z}[K(\mathbb{Z},n+m)\wedge K(G,p)] \] \[ \downarrow \] \[ \mathbb{Z}[\mathbb{Z}[S^{n+m}\wedge K(G,p)]] \] \[ \downarrow \] \[ \mathbb{Z}[\mathbb{Z}K(G,n+m+p)] \] dans la troisième ligne de la colonne, une lettre biffée après le second $\mathbb{Z}$ ; le $G$ de $K(G,p)$ en tête de ligne surcharge un $\mathbb{Z}$.

Foncteurs dérivés de Sym

373titre en haut à droite, souligné deux fois : « Foncteurs dérivés de Sym ». La lettre que nous rendons par $\mathcal{O}$ dans la seconde moitié de la page est un O cerclé ou barré, écrite en surcharge sur $G_a$ ; lecture $\mathcal{O}$.

\[ H^q(X,R) \simeq H^q(X,\mathbb{F}_p)\otimes_{\mathbb{F}_p} R \] $\Theta\in\mathcal{A} = {}$ algèbre de Steenrod \[ P^i_R = P^i\otimes 1 \qquad i>0 \qquad 2i(p-1) \] \[ P^0_R = P^0\otimes F \qquad (P^0 = 1) \] sous $P^i_R$ : construit par Steenrod. $F$ est sans doute le Frobenius ; $P^0_R$ est cerclé au crayon.

$G_a = {}$ Fais structural de $(\mathrm{Sch}/\mathbb{F}_p)$ $G_a\otimes(\Lambda^n\Psi)$ \[ H^{\ast}(K(G_a,n),G_a) = \mathcal{A}\cdot\text{les op} \] \[ \mathbb{H}^{\ast}(\mathbb{Z}[K(G_a,n)]^{\sim},G_a) \] Illusie $X\in\mathrm{ob}\,D_\bullet(T)$ cat dérivée des fais simpl $F$ objet abélien \[ \mathbb{H}^{\ast}(X,F) = [X,K(F,n)] \qquad X' \to K(F,n),\ X' \to X \] une flèche monte de $H^j(X_i,F)$ vers $\mathbb{H}^{\ast}(X,F)$ ; le croquis hachuré en haut à droite de la page n'est pas reproduit.

Epstein $\mathcal{L}$. Operations in homological algebra, Invent. Math. 1 (1966)

Illusie p 69 3.2.1.19 – 3.2.1.18 \[ \mathcal{E}xt^p(\Lambda(X),F) = \varinjlim_{\substack{X'\to X\\ \text{qis}\\ \text{fibrant}}} [X',K(F,p)] \] \[ \overset{\text{déf}}{=} \mathbb{H}^p(X,F) \] \[ \mathcal{E}xt^p(\Lambda(-),F) \to \mathrm{Ext}^q(\Lambda(\ ),G) \] Op coh de type $(F,p,G,q)$ sont class par $\mathbb{H}^q(K(F,p),G)$ \[ \mathbb{Z}X \xrightarrow{\ f\ } K(A,q) \]

\[ \mathbb{H}^n(K(G_a,m),G_a) = R^n\,\mathrm{Sym}(\mathbb{F}_p[m]) = \text{dual de } L^n\Gamma\,(\mathbb{F}_p[m]) \] devant $(\mathbb{F}_p[m])$, un mot biffé Sym ; la lecture $L^n\Gamma$ est incertaine.

Théorème : Soit $\mathcal{A}$ l'algèbre sur $\mathbb{F}_p$ eng par $P^i$, $\deg P^i = 2i(p-1)$, $i\geq 0$, sat aux relations d'Adem (mais non à $P^0 = 1$).

$\mathbb{H}^{\ast}(K(\mathcal{O},m),\mathcal{O})$ est l'alg anticomm libre engendrée par les monômes admissibles de $\mathcal{A}$ d'excès $<n$.

Dém : Comme dans le cas classique, il suffit de calculer $H^{\ast}(K(G_a,1),G_a)$ et de grimper en utilisant le th de Borel et la suite sp de Leray associée à \[ K(G_a,n-1) \to \ast \to K(G_a,n) \] $\ast$ est écrit au-dessus de $K(G_a,n)$, avec une flèche verticale.

Lazard : Coh de l'analyseur classique dans « Lois de groupes formels et analyseurs » Ann ENS une flèche relie $H^{\ast}(K(G_a,1),G_a)$ à la référence de Lazard.

\[ G_a^3 \qquad G_a\times G_a \qquad G_a \qquad\qquad k[x,y,z] \leftleftarrows k[x,y] \leftleftarrows k[x] \] au-dessus de $k[x]$ : $\mathrm{Sym}\,\mathbb{F}_p$ ; les flèches sont à plusieurs traits. \[ \iota_1 \in H^1(K(G_a,1),G_a) \] \[ \text{Witt} \leftarrow \beta \in H^2(K(G_a,1),G_a) \] \[ 0 \to G_a \to W_2 \to G_a \to 0 \qquad 0 \to \mathbb{Z}/p \to \mathbb{Z}/p^2 \to \mathbb{Z}/p \to 0 \]

\[ \Bigl|\ H^{\ast}(K(\mathbb{F}_{p^h},m),\mathbb{F}_{p^h}) \] $R$ anneau de car $p\neq 0$ \[ H^{\ast}(K(R,n),R) = {} \] Alg anticomm libre $/R$ eng par $\mathrm{Hom}(R,R)$-module libre de eng par les monômes admissibles \[ \bigoplus P^If\ \ i_n \qquad f\in\mathrm{Hom}(R,R) \] \[ H^{\ast}(X,\mathcal{O}) \to H^{\ast}(X,\mathcal{O}) \qquad x \mapsto P^Ix \] $\mathrm{Hom}$

On se ramène au calcul de $H^{\ast}(K(\mathbb{F}_{p^h},1),\mathbb{F}_{p^h})$ \[ x\in H^{\ast}(K(\mathcal{O},m),\mathcal{O}) \qquad K(\mathcal{O},m) \longrightarrow K(\mathcal{O},n) \qquad \forall\, R/\mathbb{F}_p \] \[ K(R,m) \longrightarrow K(R,n) \] \[ x\in H^{\ast}(K(\mathcal{O},n),\mathcal{O})_h \xrightarrow{\ \text{injective}\ } \mathbb{H}^{\ast}(K(\mathbb{F}_{p^h},n),\mathbb{F}_{p^h}) \] représenté par des polynômes de deg $<p^h$ en chaque var

Calcul des $\mathrm{Ext}^i(G_a,G_a)$

374

Prop : Le $k[F]$-module $\mathrm{Ext}^i(G_a,G_a)$ (pour l'action de $\mathrm{Hom}(G_a,G_a)$ à droite) est de $F$ torsion ($i>1$). la borne $i>1$ surcharge un autre chiffre.

Cor : (Milne) $G_a^{\mathrm{parf}} = {}$ restriction de $G_a$ au site parfait$/k$ \[ G_a^{\mathrm{parf}} = \varinjlim_{F} G_a \] \[ \mathrm{Ext}^i(G_a^{\mathrm{parf}},G_a^{\mathrm{parf}}) = 0 \qquad i>1. \] la flèche sous « lim » a deux pointes ; nous la lisons comme une limite inductive. Une longue flèche courbe relie la Prop à la Dém.

Dém : On considère la suite spectrale du coefficient universel \[ \forall \text{ fais simpl } X : \quad E_2^{i,j} = \mathrm{Ext}^i_{\mathbb{F}_p}(\underline{H}_j(X),F) \Longrightarrow \mathbb{H}^{i+j}(X,F) \] En fait on va travailler dans la catégorie des fais de $\mathbb{F}_p$-modules

On travaille mod $F$ (au sens mod $\mathcal{C}$) \[ \mathrm{Hom}(G_a,G_a) = k[F] \qquad \mathrm{Ext}^1(G_a,G_a) = 0 \] à droite, biffé : $E^{\ast i} = 0$, $j<n$.

Dém par récurrence : On va considérer la s. spectrale précédente avec $X = K(G_a,n)$ $\mathrm{Ext}^i$ $n$ grand. \[ E \qquad \mathrm{Ext}^i(H_j(K(G_a,n)),G_a) \Longrightarrow \mathbb{H}^{\ast}(K(G_a,n),G_a) \] \[ E_2^{i,n} = \mathrm{Ext}^i(H_n(K(G_a,n)),G_a) = \mathrm{Ext}^i(G_a,G_a) \] à droite, un petit diagramme du plan $(i,j)$ : la ligne $j=n$ porte des $0$, et la région au-dessus est hachurée. \[ \underline{H}_j(K(G_a,n)) = \bigoplus G_a \qquad G_a \xrightarrow{\ p=0\ } G_a \]

375feuille à portées, écrite en largeur ; suite directe de la p. 374.

\[ \mathrm{Ext}^i(H_j(K(G_a,n)),G_a) \Longrightarrow \mathbb{H}^{i+j}(K(G_a,n),G_a) \] On raisonne par récurrence, mod $F$ \[ \mathrm{Ext}^i(H_n(K(G_a,n)),G_a) \to H^{n+i}(K(G_a,n),G_a) \to \mathrm{Hom}(H_{n+i}(K(G_a,n)),G_a) \] \[ \to \mathrm{Ext}^{i+1}(G_a,G_a) \xrightarrow{\ \partial\ } H^{n+i+1}(K(G_a,n),G_a) \] sous $\mathrm{Hom}(H_{n+i}(K(G_a,n)),G_a)$ : « $= \bigoplus\mathrm{Hom}(G_a,G_a)$ » ; un $0$ avec une flèche oblique vers $H^{n+i}$. Sous la seconde ligne, une flèche verticale descend de $\mathrm{Ext}^{i+1}(G_a,G_a)$ et une flèche montante relie les deux groupes de droite : \[ \mathrm{Ext}^{i+1}(\mathbb{F}_{p^h},\mathbb{F}_{p^h}) \xrightarrow{\ \partial\ } H^{n+i+1}(K(\mathbb{F}_{p^h},n),\mathbb{F}_{p^h}) \qquad \mathrm{Ext}^{i+1}(\mathbb{F}_{p^h},\mathbb{F}_{p^h}) = 0 \]

Lemme 1 le edge homomorphism $\partial$ est nul.

Lemme 2 $x$ un générateur de $H^{n+i}(K(G_a,n),G_a) \to \mathrm{Hom}(H_{n+i}(K(G_a,n)),G_a)$ \[ \simeq \mathrm{Hom}(G_a\otimes H_{n+i}(K(\mathbb{F}_p,n)),G_a) = H^{n+i}(K(\mathbb{F}_p,n),\mathbb{F}_p)\otimes\mathrm{Hom}(G_a,G_a) \] \[ P^I\iota_n \qquad \beta P^{i_1}\beta\cdots P^{i_k}\iota_n \qquad \text{longueur } n+1 \] \[ P^d\iota_n \longrightarrow P^d\iota_n\otimes F \] les exposants de $\beta P^{i_1}\beta\cdots P^{i_k}$ sont incertains, et une accolade souligne une partie du monôme.

Dém on le démontre pour $P^0\iota_n$

\[ \mathrm{Ext}^{\ast}_{\mathbb{F}_p}(G_a,G_a) \qquad \mathrm{Ext}^{2i+1}(G_a,G_a) = 0 \quad \forall i \quad i>0 \] \[ \mathrm{Ext}^{2i}(G_a,G_a) = k[F]/(F^d) \qquad d = v_p(i). \] \[ \mathcal{A} \to A \qquad P^i \mapsto P^i \qquad P^0 \mapsto 1 \] \[ \mathcal{A} \to \mathcal{A}\otimes\mathcal{A} \qquad P^i \mapsto \sum_{j+k=i} P^j\otimes P^k \] \[ \mathbb{Z}^iK(G_a,n) \cdots \mathbb{Z}\mathbb{Z}K(G_a,n) \rightrightarrows \mathbb{Z}K(G_a,n) \] les flèches multiples du complexe sont tracées à deux ou trois traits. \[ E_1 \qquad \cdots\ \mathcal{A}^{\otimes 2}\otimes\mathcal{A} \leftleftarrows \mathcal{A}\otimes\mathcal{A} \leftleftarrows \mathcal{A} \] Dualement \[ \cdots\ \mathcal{A}_{\ast}^{\otimes 2}\otimes\mathcal{A}_{\ast} \rightrightarrows \mathcal{A}_{\ast}\otimes\mathcal{A}_{\ast} \rightrightarrows \mathcal{A}_{\ast} \] \[ E^2 = \mathrm{Tor}^{A_{\ast}}(\mathcal{A}_{\ast},\mathbb{F}_p) \Longrightarrow E^2 \text{ par Koszul} \] la ligne $E^2 = \mathrm{Tor}\ldots$ est incertaine à gauche (« $E^2$ » ou « $E^1$ »).

\[ \mathrm{Ext}^i(\mathbb{Z}^jK(G_a,n),G_a) \Longrightarrow \mathrm{Ext}^{i+j}(G_a,G_a) \] $K(\mathbb{Z}) = K(\mathbb{Z},m)$ $n$ grand \[ \mathbb{Z}[\mathbb{Z}^{j-1}K(G_a,n)] \sim \mathbb{Z}[K(\mathbb{Z})\wedge K(\mathbb{Z})\wedge\cdots\wedge K(G_a,n)] \] \[ E_2^{i,j} = \widetilde{\mathbb{H}}^{i}(K(\mathbb{Z})^{\wedge j-1}\wedge K(G_a),G_a) \overset{\text{Künneth}}{\sim} \widetilde{\mathbb{H}}^{\ast}(K(\mathbb{Z}))^{\otimes j-1}\otimes\widetilde{\mathbb{H}}^{\ast}(K(G_a),G_a) \] \[ \mathbb{H}^{\ast}(K(\mathbb{F}_p),\mathbb{F}_p) = A \qquad \mathbb{H}^{\ast}(K(G_a),G_a) = \mathcal{A} \] l'argument se poursuit au-delà de cette page, hors du lot.