Fonds Grothendieck, cote n° 136, pages 341–360

Le foncteur K et les complexes \Phi_*, \Psi_*

la numérotation au crayon des archivistes, sur les feuillets de ce lot, est supérieure de deux à celle qu’emploie cette édition (ce feuillet porte « 343 ») ; les renvois de Grothendieck, s’il y en a, sont à lire avec ce décalage. Le calcul de la page reprend des notations (F, F', K, M_*, \Phi_*, \Psi_*) fixées avant ce lot.

K \longrightarrow F \rightrightarrows F' , \qquad F \nearrow G \qquad (G = F_{\Delta^n_*}) K(M_*) \longrightarrow F(M_*) \rightrightarrows F'(M_*) ~~C(M_*)~~

\Delta^0_* \rightrightarrows \Delta^1_* \xrightarrow{\;S\;} \cdots K(M_*) \longrightarrow M_{[1]} \overset{\alpha^*_{M_*}}{\underset{\beta^*_{M_*}}{\rightrightarrows}} M_{[0]} , \qquad K(M_*) = F_S(K) fonctoriel ? — la flèche u_M \colon K(M_*) \to M_{[n]}. sous K(M_*) on lit un « F''_S(K) » rattaché par un signe d’égalité vertical ; la lecture de l’accent est douteuse.

F_S \longrightarrow F_{\Delta^1_*} \rightrightarrows F_{\Delta^0_*} , \qquad k \rightrightarrows \Lambda^2 k^2 \simeq k \longrightarrow 0 \uparrow \wedge T_2 , \qquad \uparrow i_0 , \qquad k \longrightarrow k^2 \rightrightarrows k \quad (\alpha \mapsto 0) \alpha T_n \wedge \beta \in \Lambda^2 \Phi_{[n]} \quad \uparrow \quad \alpha T_{[n]} \in k^{\Delta^n} \simeq \Phi_{[n]} , \qquad \alpha \in k , \ \beta \in \Psi_{[n]} ~~\mathrm{Hom}(\alpha^*_M , \beta^*_M)~~

K(M_*) \otimes K(N_*) \longrightarrow M_{[1]} \otimes N_{[1]} \rightrightarrows M_{[0]} \otimes N_{[0]} u_{M_*} \otimes u_{N_*} \colon K(M_*) \otimes K(N_*) \longrightarrow M_{[n]} \otimes N_{[n]} K(M_* \otimes N_*) \longleftarrow [M \otimes N]_1 \rightrightarrows [M \otimes N]_0 , \qquad u_{M_* \otimes N_*} \colon K(M_* \otimes N_*) \longrightarrow (M_* \otimes N_*)_{[n]} les flèches verticales qui relient la ligne des M_{[i]} \otimes N_{[i]} à celle des [M \otimes N]_i portent un signe lu « 2 », peut-être un \wr ; après (M_* \otimes N_*)_{[n]} un « = M_{[n]} \otimes N » est biffé.

À droite : \begin{aligned} K(M_*) &\simeq Z^0(M_\bullet \otimes K^\bullet) \simeq \mathrm{Hom}^\bullet(M_\bullet^\vee , K^\bullet) \\ &\simeq \mathrm{Hom}_*(M_*^\vee , K^*) \simeq \mathrm{Hom}_*(K_* , M_*) \end{aligned} K^*_* \simeq \Psi_* \oplus \Lambda^2 \Psi_* =

Prenons \Phi_* = C^0_*. K(\Phi_*) \simeq k \longrightarrow F_{\Delta^n_*}(\Phi_*) \simeq \Phi_{[n]} = k^{\Delta^n_*} l’indice de l’exposant \Delta^n_* est peu lisible. ~~\mathrm{Hom}(~~ ~~K(M_*)~~ ~~\mathrm{Hom}(~~ \mathrm{Hom}_*(M_* , K_*) K_M(K) = \mathrm{Hom}(M , K) \mathrm{Hom}(M , K) \otimes \mathrm{Hom}(M , L) \longrightarrow \mathrm{Hom}(M , K \otimes L) , \qquad M \longrightarrow M \otimes M

page de calculs dispersés ; l’ordre de lecture adopté va de l’encadré du haut vers le bas, puis la colonne de droite.

Encadré : A \xrightarrow{\;u_i\;} B, injectif . \textstyle\bigoplus k[T] \xrightarrow{\;u_i\;} B , \qquad T \mapsto b_i , \quad T^n \mapsto b_i^n , \qquad \sum \lambda_i b_i^n = 0 \textstyle\sum \lambda_i u_i = 0 \;\Rightarrow\; \sum \lambda_i u_i(x)^n = 0 \quad \forall n \mathrm{Ker}\, u_i = \mathfrak{p}_i idéaux premiers ; t \in \bigcup \mathfrak{p}_i = \bigcap \mathfrak{p}_i. ~~u_i = u_j \to u_i(x) - u_j(y)~~

\mathrm{Hom}(\Delta^m_* , \Delta^n_*) \xrightarrow{\;\sim\;} \mathrm{Hom}_{\mathrm{mult}}(F(\Delta^n_*) , F(\Delta^m_*)) X_* \longmapsto \widetilde{X}_* = \bigl( n \mapsto \mathrm{Hom}(F_{X_*} , F_{\Delta^n_*}) \bigr) \qquad \text{\struck{$n \mapsto X_n$}} \begin{aligned} \widetilde{X}_n &\simeq \mathrm{Hom}\bigl( \varprojlim_{\Delta^m_*/X_*} F_{\Delta^m_*} , F_{\Delta^n} \bigr) \\ &\uparrow \text{ iso ?} \\ &\varinjlim_{\Delta^m_*/X_*} \mathrm{Hom}(F_{\Delta^m_*} , F_{\Delta^n}) \simeq \varinjlim \mathrm{Hom}(\Delta^n_* , \Delta^m_*) \simeq \varinjlim \Delta^m_{[n]} \simeq X_{[n]} \end{aligned} le « iso ? » est entouré sur la page ; la première ligne n’a pas de membre de gauche écrit, \widetilde{X}_n est suppléé d’après la ligne précédente.

Soient ~~donc~~ \prod F_i \to F_{\Delta^n}, avec m_i \colon F_i \to et les u_i en diagonale ; \textstyle\prod G_i \longrightarrow C^\bullet_{[n]} \qquad \text{\struck{$\sum \lambda_i u_i$}} \forall M_*, ~~(M_*) \to F(M_*)~~ \mathrm{Sym}\, G(M_*) \xrightarrow{\;u_i\;} \mathrm{Sym}\, F(M_*)

~~F(X_*) =~~

C^\bullet(X_*) muni d’une structure multiplicative et d’une dérivation . F_*(X_*) = \bigl[ n \mapsto \mathrm{Hom}(C^\bullet(X_*) , C^\bullet(\Delta^n_*)) \bigr] F_*(\Delta^m_*) = P^m_* \qquad \text{torseur sous } \Psi^\vee_m \otimes \Phi_* = \Phi^m_* après « torseur sous » une parenthèse, dont le groupe des sections est k^{m+1}, se lit mal. 0 \longrightarrow \Psi^\vee_m \otimes \Phi_* \longrightarrow \Phi^\vee_m \otimes \Phi_* \longrightarrow \Phi_* \longrightarrow 0 , \qquad \mathrm{Hom}(\Phi_m , \Phi_*) , \quad T_m \mapsto T_* \Delta^m_* \longrightarrow P^m_* , \quad y \in P^m_n ; \qquad \Delta^m_n = \mathrm{Hom}_{\mathrm{ens}}(\Delta^n , \Delta^m) \longrightarrow P^m_n \longrightarrow \mathrm{Hom}(P^m_* , P^n_*) \longrightarrow \mathrm{Hom}(P^n

\begin{aligned} F_*(X_*) &= \mathrm{Hom}\bigl( \varprojlim_{\Delta^m_* \in \mathrm{Ob}\, \Delta/X_*} \Box(C^\bullet(\Delta^m_*)) , C^\bullet(\Delta^n_*) \bigr) \\ &\uparrow \text{ est-ce une équiv.\ d’homotopie ?} \\ &\varinjlim_{\Delta^m \in \mathrm{Ob}\, \Delta/X_*} \mathrm{Hom}\bigl( \Box(C^\bullet(\Delta^m_*)) , C^\bullet(\Delta^n_*) \bigr) = \varinjlim P^m_* \end{aligned} le signe noté \Box dans ces deux lignes est ; c’est un foncteur appliqué à C^\bullet(\Delta^m_*). \uparrow \ \varinjlim \Delta^m_* \quad (\Delta^m \in \mathrm{Ob}\, \Delta) \Phi_m \longrightarrow \Phi_n , \quad T_m \mapsto T_n , \qquad \alpha \in k , \ \beta \in T_m T_0 , \quad T_1 \circ T_1 ; \qquad y , \quad T_1 \circ y , \quad y \circ T_1 , \quad y \circ y

X_* = \mathrm{Coker}\bigl( \Delta^0_* \overset{\partial_0}{\underset{\partial_1}{\rightrightarrows}} \Delta^1_* \bigr) , \qquad C^\bullet(X_*) = \mathrm{Ker}\bigl( C^\bullet(\Delta^1_*) \overset{C(\partial_0)}{\underset{C(\partial_1)}{\rightrightarrows}} C^\bullet(\Delta^0_*) \bigr) k \xrightarrow{\;\alpha \mapsto 0\;} \Phi_1 = k^2 \overset{\partial_0 = \mathrm{pr}_0}{\underset{\partial_1 = \mathrm{pr}_1}{\rightrightarrows}} \Phi_0 = k , \qquad k \xrightarrow{\;\mathrm{id}\;} \Lambda^2 \Phi_1 = k 1 = T_1 \longmapsto \alpha T_m \in \Phi_m ; \qquad 1 \longmapsto T_m \wedge \beta \in \Lambda^2 \Phi_m \quad (\beta \in \Phi_m) F_*(X_*) = \mathrm{Hom}\bigl( [\, 0 \to k \xrightarrow{0} k \to 0 \to \cdots ] , C^\bullet(\Delta^n_*) \bigr) (structure mult. induite par C^\bullet(\Delta^1_*)) = \bigl\{ n \mapsto \mathrm{Hom}\bigl( [\cdots] , [\, \Phi_n \to \Lambda^2 \Phi_n \to \cdots ] \bigr) \bigr\}

feuillet en largeur, couvert de calculs serrés ; les relations de commutation sont transcrites dans l’ordre où elles se lisent, colonne de gauche puis colonne de droite. Les astérisques sont de lui et semblent marquer les relations vérifiées.

Opérateurs d, \lambda = \bar{T}\cdot (lecture de la barre), \delta, \mu_i = T^{(i)}\cdot, \Theta(x) = \deg(x)\, x ; éléments 1, T, \bar{T}. ~~\Lambda\Phi \otimes \Lambda\Psi~~ \begin{aligned} & d\lambda + \lambda d = 0 \ (*) \\ & d\delta + \delta d = \Theta \\ & \delta\lambda + \lambda\delta = \mu \\ & d\mu_i - \mu_i d = \mu_{i-1} \lambda \\ & \lambda\mu_i - \mu_i\lambda = 0 \ (*) \\ & \delta\mu_i - \mu_i\delta = 0 \ (*) \end{aligned} \qquad \begin{aligned} & d(T^{(i)} x) = d(T^{(i)})\, x + T^{(i)}\, dx \\ & \delta(T x) = \delta(T)\, x + T\, \delta x \\ & d\Theta - \Theta d = 0 \ (*) , \quad \delta\Theta - \Theta\delta = 0 \ (*) \\ & \Theta\lambda - \lambda\Theta = \lambda \\ & \Theta\mu_i - \mu_i\Theta = i\mu_i \end{aligned} la deuxième relation est suivie d’une précision « en degré » ; des fragments biffés accompagnent la relation d\mu_i - \mu_i d = \mu_{i-1}\lambda.

Entouré : \Theta\mu_f - \mu_f\Theta = \mu_{\Theta f} , \qquad d\mu_f - \mu_f d = \mu_{f'} \lambda d^2 = \delta^2 = \lambda^2 = 0 , \qquad \mu_f \mu_g = \mu_{fg} \ ? \Theta(\lambda x) = (\deg x + 1)\, \lambda x , \qquad \lambda(\Theta x) = \deg x \; \lambda x , \qquad \Theta\lambda - \lambda\Theta = \lambda plusieurs petits schémas reliant d, \delta, \lambda, \mu_i, \Theta et un décompte \frac{n(n-1)}{2} ne sont pas transcrits.

Tout élément de l’algèbre engendrée s’écrit \sum \mu_{f_{\alpha\beta\sigma n}} \, \lambda^\alpha d^\beta \delta^\sigma \Theta^n , \qquad \alpha, \beta, \sigma \in \mathbb{F}_2 , \ n \in \mathbb{N} \mu_f \lambda^\alpha d^\beta \delta^\sigma \Theta^n \cdot \mu_g \lambda^{\alpha'} d^{\beta'} \delta^{\sigma'} \Theta^{n'} , \qquad d^\beta \mu_g = \mu_g d^\beta + \beta\, \mu_{g'} \lambda Encadré, la liste des relations : \begin{aligned} & d\delta + \delta d = \Theta , \qquad \delta\lambda + \lambda\delta = \mu_T , \\ & d\mu_f - \mu_f d = \mu_{f'}\lambda , \qquad \Theta\lambda - \lambda\Theta = \lambda , \\ & \Theta\mu_f - \mu_f\Theta = \mu_{\Theta f} \end{aligned} ~~\delta(T^{(i)}) = 0~~ \delta(\bar{T}) = 1

Colonne de droite : Cas p quelconque, q = 1. 0 \longrightarrow \Gamma^p \Phi_* \longrightarrow \Gamma^{p-1}\Phi_* \otimes \Phi_* \longrightarrow \Gamma^{p-1}\Phi_* \otimes \Psi_* \longrightarrow 0 \Phi_* \times \Psi_* \longrightarrow \ \cdot\ , \qquad (\varphi , \psi) \longmapsto s(\varphi \otimes \psi)\, \varphi^{(p-1)} \Gamma^{*+1}\Phi_* \otimes \Lambda^* \Psi_* \ \downarrow \ \Gamma^{*+1}\Phi_* \otimes \Lambda^{*}\Psi_* le dernier facteur de la suite exacte (\Psi_*) et la ligne \Gamma^{*+1}\Phi_* \otimes \Lambda^* \Psi_* sont de lecture douteuse. \varphi_1^{(p_1)} \cdots \varphi_r^{(p_r)} \longmapsto \cdots , \qquad \sum p_i = p f\Bigl( \sum^r \lambda_i \varphi_i \Bigr) = s\Bigl( \sum \lambda_i \varphi_i \otimes \psi \Bigr) \Bigl( \sum \lambda_i \varphi_i \Bigr)^{(p-1)} ~~\sum \lambda_i \varphi_i~~

Algèbres différentielles sur un topos

crayon très pâle ; seuls les mots et formules lisibles sont donnés, le reste est marqué .

k-Algèbres différentielles C^* sur Topos \mathcal{X}.

Anneau de base k (). résolution C^* de k : \cdots \longrightarrow C^0 \longrightarrow C^1 \longrightarrow C^2 \longrightarrow \cdots , \qquad k \longrightarrow C^0 augmentation ( correspond à une section T de C^0).

Accouplements (notés x, y \mapsto x \circ y) \begin{cases} Z^i \times C^j \longrightarrow C^{i+j} & (a_{ij}) \\ C^i \times Z^j \longrightarrow C^{i+j} & (b_{ij}) \end{cases} \qquad i, j \ge 0 satisfaisant aux conditions :

1°) a_{ij} et b_{ij} coïncident sur Z^i \times Z^j y prennent leurs valeurs dans Z^{i+j}. ( la notation x \circ y non ambiguë, dx \circ dy .)

2°) Associativité : (x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z) des trois sections locales x, y, z ( C^i, C^j, C^k) des cocycles ; 1 \circ x = x \circ 1 = x.

3°) \begin{cases} x \circ y = y \circ x \, (-1)^{\deg y \deg x} \\ x \circ x = 0 \quad \text{si } x \text{ section locale de } Z^i \end{cases} (condition sur i) bilinéaires .

4°) Pour tout i, j \ge 1, existe ~~C^{i-1} \times Z^j \xrightarrow{\;a_{ij}\;} C^{i+j-1}~~ \begin{array}{ccc} Z^{i} \times Z^j & \longrightarrow & Z^{i+j} \\ \uparrow{\scriptstyle d \times \mathrm{id}} & & \uparrow{\scriptstyle d} \\ C^{i-1} \times Z^j & \xrightarrow{\;b_{ij}\;} & C^{i+j-1} \end{array} la lecture du carré est incertaine : les exposants et l’étiquette de la flèche du bas sont pâles ; une ligne biffée suit, où se lit d(x^{(i)}) \times Z^j = d(). (N.B. \mathrm{Hom}_k(\otimes Z^j , Z^{i+j-1}) ) le bas de la page, barré de longs traits obliques, n’est pas lisible.

crayon très pâle, comme p. 347 ; lecture fragmentaire.

Sous ces conditions, pour tout U \in \mathrm{Ob}\, \mathcal{X}, \Gamma\bigl( \mathcal{H}om(U , C^*) \bigr) = \Gamma(U , C^*_U) est une k(U)-algèbre au-dessus de la ligne : « C^*(U) = ». k(U) = \struck{\Gamma(\ill{})} compatible = De même \mathrm{H}^* = \mathrm{H}^*(C^*(U)) \mathrm{H}^*(U , C^*_U) est muni d’une structure graduée d’algèbre . C^* résolution (*) \qquad \mathrm{H}^*(C^*(U)) \longrightarrow \mathrm{H}^*(U , k_U) En fait — E.1, E.2 suivent une douzaine de lignes illisibles, puis un diagramme : \begin{array}{ccccccc} \cdots \to & C^0 & \to & C^1 & \to \cdots \to & C^i & \to \cdots \\ & \| & & & & \| & \\ 0 \to & \Phi & \to & \Lambda^2 \Phi & \to \cdots \to & \Lambda^i \Phi & \to \cdots \end{array} les flèches de la ligne du bas sont étiquetées T_\wedge. résolution Z^i \simeq \Lambda^i \Psi () () \cdots \longrightarrow \Lambda^{i} \longrightarrow \Lambda^{i+1}

crayon très pâle ; seules quelques formules sont lisibles.

~~Z(C^*) = \Lambda\Psi \otimes \Lambda^{i+1}~~ C^{i+1} = \Lambda^{i+1} \Phi

Z^i(C^*) = \Lambda^i \Psi \begin{array}{ccc} Z^{i+1} \otimes C^j & \xrightarrow{\;\text{donné}\;} & Z^{i+j+1} \\ \uparrow & & \uparrow \\ C^i \otimes Z^j & \xrightarrow{\;\sigma_{ij}\;} & C^{i+j} \\ \uparrow & & \\ Z^i \otimes Z^j & \xrightarrow{\;\text{donné}\;} & Z^{i+j} \end{array} trouver \sigma_{ij} donné \mathrm{Hom}_k\bigl( C^{i} \otimes Z^j , C^{i+j} \bigr) \simeq \Lambda^i \Psi \otimes \Lambda^j \Psi \simeq \Lambda^{i+j} \Psi \oplus ( \cdots ) (quelques termes d’homotopie )

Catégories de foncteurs et complexes de chaînes

la moitié supérieure du feuillet est écrite droite, la moitié inférieure tournée d’un quart de tour ; on transcrit le haut, puis le bas.

\mathcal{L} : \quad \begin{cases} \underline{\mathrm{Hom}}^!_{\mathcal{L}}((Ss)^\circ , \mathcal{B}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}^!_{\mathcal{L}}(\mathcal{B}_0 , \mathcal{B}) \\ \underline{\mathrm{Hom}}^!_{\mathcal{L}}((Ss) , \mathcal{A}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}^!_{\mathcal{L}}(\mathcal{A}_0 , \mathcal{A}) \end{cases} \qquad \text{\struck{$\underline{\mathrm{Hom}}($}} (Ss)^\circ \xrightarrow{\;F_0\;} \mathcal{B}_0 \simeq (\mathcal{A}b_*)^\circ \simeq (Ab^*)^\circ , \qquad (Ss) \xrightarrow{\;G_0\;} \mathcal{B} \mathbb{C}_* \in \quad \begin{cases} \mathcal{A}_0 = \mathcal{B}_0^\circ \simeq \mathcal{A}b_* , \quad \mathcal{B}_0 = \mathcal{A}_0^\circ \simeq (\mathcal{A}b^*)^\circ \\ G_0 = (F_0)^\circ , \quad F_0 = (G_0)^\circ \end{cases} \qquad F_0 \in \mathcal{A}b^*_* \text{\struck{$\Omega_{\mathcal{L}}$}} \quad \begin{cases} \Omega_{\mathcal{L}} \simeq \mathcal{B}_0 \longrightarrow \mathcal{A}b_*^\circ \simeq \mathcal{A}b_\bullet^\circ \\ \Omega'_{\mathcal{L}} \simeq \mathcal{A}_0 \longrightarrow \mathcal{A}b_* \simeq \mathcal{A}b_\bullet \end{cases} les deux flèches portent une étiquette ; la seconde est à peine tracée. \mathbb{C}^{*\vee} \qquad \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta^\circ , \mathcal{A}b_*^\circ) \simeq (Ab^*_*)^\circ devant (Ab^*_*)^\circ, un mot biffé, illisible. \Omega, F, L_*, L_\bullet. — Cas \mathcal{A} = \mathcal{A}b, contravariants dans \mathcal{A}b. des traits relient \Omega, F, L_*, L_\bullet à un symbole surchargé et entouré au-dessus d’eux ; un sigle est biffé à cet endroit. \boxed{\, F(X_*) = \Omega_*(\mathbb{C}_*(X)) = \Omega_\bullet(\mathbb{C}_\bullet(X)) \,} L_\bullet \quad L_* \begin{aligned} \underline{\mathrm{Hom}}_{\hat{\Delta}}(X_* , L_*) &\simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\mathbb{C}_*(X_*) , L_*) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Ens}}(\mathbb{C}_\bullet(X) , L_\bullet) \\ &\simeq \underline{\mathrm{Hom}}^*(L^*_* , \mathbb{C}^*(X)) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}^\bullet(L^\bullet , \mathbb{C}^\bullet(X)) \end{aligned} dans ce cas L_* . l’indice « Ens » du troisième \underline{\mathrm{Hom}} est douteux.

Partie tournée : \mathcal{A} \subset \hat{\mathcal{A}} \underline{\mathrm{Hom}}(\hat{\Delta}_{ss} \times \mathcal{A}^\circ , \mathcal{A}b) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{A}^\circ , \ldots rep. . \varphi \in \underline{\mathrm{Hom}}_!(\hat{\Delta}_{ss} , \hat{\mathcal{A}}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\hat{\Delta}_{ss} \times \mathcal{A}^\circ , \mathcal{A}b) \mathrm{Hom}(X , \varphi(M)) = \Phi(M , X) rep. en X M ~~= \mathrm{Hom}(M ,~~ \Phi \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{A}^\circ , \underline{\mathrm{Hom}}_!( \hat{\Delta} \longrightarrow \mathcal{A}b \underline{\mathrm{Hom}}_!(\hat{\Delta}_{ss} , \mathcal{A}) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_!(\hat{\Delta} , \mathcal{A}) \ \overset{\wr}{\longrightarrow} \ \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta , \mathcal{A}) le signe \wr sur la dernière flèche est douteux. une flèche courbe revient de \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta , \mathcal{A}) vers \underline{\mathrm{Hom}}_!(\hat{\Delta}_{ss} , \mathcal{A}) ; une formule « X = \varinjlim \ldots » est biffée en dessous. \mathrm{Hom}(\varphi(X) , M) = \Phi(X , M) : \hat{\Delta}_{ss}^\circ \times \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}b (rep. en M dès que rep. en X) \simeq \mathrm{Hom}_{\hat{\Delta}_{ss}}(X , \psi(M)) , \qquad \hat{\Delta}_{ss} \overset{\varphi}{\underset{\psi}{\rightleftarrows}} \mathcal{A} \mathcal{A} \longrightarrow \ ; \qquad \mathcal{A} \times \Delta \longrightarrow \mathcal{A}b

Théorème d’Eilenberg–Zilber–Cartier

en haut à gauche « EZ 1 » ; en haut à droite un « EZ 2 » biffé. Feuillet en largeur, en deux colonnes.

Th. Eilenberg–Zilber–Cartier

X_{**} un ~~groupe~~ objet abélien bisimplicial (). une ligne biffée suit. N \colon A_{**} \xrightarrow[\;\sim\;]{\text{éq.\ de cat}} A_{\bullet\bullet} , \qquad N \colon A_* \to A_\bullet , \quad {}^\sim \colon A_* \to A_\bullet (complexe associé) \ {}^\sim \colon A_{**} \longrightarrow A_{\bullet\bullet} N \hookrightarrow (\,)^\sim \quad \text{q-iso} , \qquad D(\,) \ \text{dégén.\ homot.\ triv.} « dégén. homot. triv. » : lecture douteuse. \Delta \colon A_{**} \longrightarrow A_* , \qquad \int \colon A_{\bullet\bullet} \longrightarrow A_\bullet \exists des ~~quasi-iso~~ morphismes « naturels » fonctoriels, \int N \ \overset{\psi}{\underset{\varphi}{\rightleftarrows}} \ N \Delta qui coïncident avec les flèches évidentes en degré 0. au-dessus de « qui » un sigle, X_{0,0}.

\begin{tikzcd} A_{**} \arrow[r, "N"] \arrow[d, "\Delta"'] & A_{\bullet\bullet} \arrow[d, "\int"] \\ A_* \arrow[r, "N"] & A_\bullet \end{tikzcd}

\varphi\psi \sim 1_{\int N} , \qquad \psi\varphi \sim 1_{N\Delta} une flèche barrée prolonge la ligne du haut ; au carré, une petite flèche courbe marque la non-commutation stricte. \psi\varphi \colon \int (N X_{**}) \longrightarrow \int N X_{**} , \qquad \varphi\psi \colon N\Delta X_{**} \longrightarrow N\Delta X_{**} 1 - \psi\varphi = dk + kd , \qquad k \colon \int N X_{**} \xrightarrow{\;+1\;} \int N X_{**} 1 - \varphi\psi = dh + hd , \qquad h \colon N\Delta X_{**} \xrightarrow{\;+1\;} N\Delta X_{**} les deux premières lignes de ce bloc écrivent \psi\varphi et \varphi\psi là où les homotopies placent \varphi\psi et \psi\varphi ; transcrit tel quel.

suit un carré où \int N \leftrightarrows N\Delta et \int {}^\sim \leftrightarrows {}^\sim\Delta sont reliés par des flèches verticales. \int N \ \overset{\psi}{\underset{\varphi}{\leftrightarrows}} \ N\Delta , \qquad \int {}^\sim \ \overset{\tilde{\psi}}{\underset{\tilde{\varphi}}{\rightleftarrows}} \ {}^\sim\Delta , \qquad \int {}^\sim \ \overset{\tilde{\psi}}{\underset{\tilde{\varphi}}{\leftrightarrows}} \ {}^\sim(\Delta) Si \varphi et \psi sont choisis, pour un autre choix de h', k' k' - k = dl + ld , \qquad h' - h = dm + md , \quad \text{etc.}\ \ldots \quad \text{$l$ et $m$ fonct.} ~~k - h'~~

Colonne de droite.

\exists des choix traditionnels : « application d’Alexander–Whitney », « shuffles ». — cf. MacLane, Homology.

Shuffles. \Bigl( \int \widetilde{X}_{**} \Bigr)_n = \bigoplus_{i+j=n} X_{(i,j)} \xrightarrow{\;\text{shuffles}\;} \widetilde{X}_{(n,n)} x_{ij} \longmapsto x_{i+j,\,i+j} entre les deux membres, une somme biffée, illisible. (i,j)-shuffle : (1 , \ldots , i+j = n) \mapsto s(1) \ldots s(i) \ \ s(i+j) x_{i1} \qquad x_{i+1,\,i+1} \sum_{\substack{0 \le \alpha \le i \\ \mathrm{sgn}(\sigma)}} (\pm)\, s'_0 s'_1 \cdots \widehat{s_\alpha} \cdots s'_i \, x_{i1} \qquad \sum_{\text{sur tout } \sigma \in \Sigma_n} s_{\sigma(i+1)} \cdots s_{\sigma(i+j)} \, s'_{\sigma(1)} \cdots s'_{\sigma(i)} le coefficient noté (\pm) est illisible ; seul « sgn(\sigma) » se lit dessous. t.q. \sigma(\alpha) < \sigma(\beta) si \alpha < \beta \le i ou i < \alpha < \beta \le n. sous deux crochets illisibles, un faisceau de segments reliant deux colonnes de points : l’image d’un shuffle.

A \qquad \overline{B}(A)

Alexander–Whitney \widehat{X}_{n,n} \longrightarrow \bigoplus X_{ij} , \qquad x_{n,n} \longmapsto \sum_{i=0}^{n} (-1)^{i} \, d_0^{\,n-i} \, \tilde{d}^{\,i} x_{n,n} le signe (-1)^i est de lecture douteuse. \tilde{d} signifie le dernier op. face, d' seconde op. simpl. \tilde{d}^{\,i} = d^{\prime n} d^{\prime n-1} \cdots d^{\prime n-i+1} C^i(X , A) \otimes C^j(X , B) \longrightarrow C^{i+j}(X \times X , A \otimes B) \longrightarrow C^{i+j}(X , A \otimes B) f , \ g ; \qquad \mathbb{Z}X \otimes \mathbb{Z}X \longleftarrow \mathbb{Z}(X \times X) E–Z–C \Rightarrow E–Z.

Cup-produit : h(x_1 , \ldots , x_{n+1}) = \sum (-1)^{\cdots} f(x_1 , \ldots , x_i)\, g(x_{i+1} , \ldots , x_n) l’exposant du signe est illisible. associatif (non commutatif, mais comm. à homotopie près) \Rightarrow \mathrm{H}^*(X , R) est anticomm.

K(\mathbb{Z} , i) \times K(\mathbb{Z} , j) \longrightarrow K(\mathbb{Z} , i+j) \searrow \quad K(\mathbb{Z} , i) \otimes K(\mathbb{Z} , j) \xrightarrow{\;f\;} K(\mathbb{Z} , i+j) Il suffit de construire Nf N\bigl( K(\mathbb{Z} , i) \otimes K(\mathbb{Z} , j) \bigr) \xrightarrow{\;\mathrm{E\text{-}Z}\;} N K(\mathbb{Z} , i) \otimes N K(\mathbb{Z} , j) \longrightarrow N K(\mathbb{Z} , i+j) = \mathbb{Z}[i+j] N K(\mathbb{Z} , i) \otimes N K(\mathbb{Z} , j) = \mathbb{Z}[i] \otimes \mathbb{Z}[j] ~~\bigl( \mathrm{Inv}^G(S\mathfrak{g}^*) , \ \mathrm{H}^*(G , \mathrm{L}\,\mathrm{Sym}\, \mathfrak{g}^*) \bigr) \Rightarrow \mathrm{H}^*(BG)~~ ces trois termes, mis entre parenthèses, sont barrés d’une grande croix.

en haut à droite « EZ 2 ». Feuillet en largeur, en deux colonnes.

Cor. \Sigma_n \to E\Sigma_n = \Sigma_n \times \Sigma_n = \Sigma_n \downarrow \qquad K(\Sigma_n , 1) W_n = \mathbb{Z} E\Sigma_n \xrightarrow{\;\sim\;} \mathbb{Z} résol. de \mathbb{Z} par des \Sigma_n-modules plats libres. Cor. du th. W_n \xrightarrow{\;\sim\;} \mathrm{Hom}^\bullet\bigl( \mathbb{Z}(X \times X \times \cdots) , \mathbb{Z}X \otimes \cdots \otimes \mathbb{Z}X \bigr) devant \mathbb{Z}(X \times X \times \cdots), un premier essai est biffé. D’où par adjonction une flèche W_n \otimes \mathbb{Z}(X \times \cdots \times X) \xrightarrow{\;\lambda\;} \mathbb{Z}X \otimes \mathbb{Z}X \otimes \cdots \otimes \mathbb{Z}X (\text{resp.\ } W_n \otimes \mathbb{Z}X \otimes \cdots \otimes \mathbb{Z}X \longrightarrow \mathbb{Z}(X \times \cdots \times X)) Ceci exprime l’homotopie-commutativité annoncée plus haut.

Ex. n = 2, 1) exemple topologique : X \times X \xrightarrow{\;m\;} X \quad \text{homotopiquement comm.} \Sigma_2\text{-équiv.} \quad I \times X \times X \longrightarrow X \quad \cdots la ligne I \times X \times X \to X est entourée, et une flèche pointillée en part vers la droite. plus fort : E\Sigma_2 \times X^2 \longrightarrow X \qquad \Sigma_2\text{-équiv.} Classiquement E\Sigma_n \times X^n \longrightarrow X \qquad \text{relevant la mult.\ itérée} \Sigma_2 agit sur S^n par action antipodale, S^n \to \mathbb{P}^n(\mathbb{R}) ; E\Sigma_2 = \varinjlim S^n S^1 \times X^2 \longrightarrow X \qquad x , y \qquad \text{\struck{$xy = yx$}} \quad x y x^{-1} y^{-1} S^2 \times X^2 \xrightarrow{\;\Sigma_2\text{-équiv.}\;} X , \qquad \text{etc.}\ \ldots une petite sphère hachurée, cerclée d’un équateur épais.

Colonne de droite. E(\Sigma_n \wr \Sigma_j) \times (X_1^0 \cdots X_j^0) \times X_1^1 \cdots X_j^1 \times \cdots \times X_1^n \times \cdots \times X_j^n \downarrow \qquad ? X \longleftarrow E\Sigma_n \times X^n à gauche de la première ligne, une flèche vient d’un E\Sigma_n \times (E\Sigma_j \times X)^n biffé, d’où descend une flèche vers X^n.

Cor. : les énoncés précédents impliquent que lorsque X est un H-esp. satisfaisant à ce genre de cdn de commutativité à homotopie près, alors les chaînes \mathbb{Z}X sont des W_n \otimes \mathbb{Z}X^{\otimes n} \xrightarrow{\;\Sigma_n\text{-équiv.}\;} \mathbb{Z}X^{\otimes} \longrightarrow l’exposant de \mathbb{Z}X au but est mal formé. t.q. induise la mult. des chaînes \mathbb{Z}X^{\otimes n} \xrightarrow[\;\text{shuffle}\;]{\;\mathrm{EZ}\;} \mathbb{Z}(X^n) \xrightarrow{\;\mathbb{Z}(m)\;} \mathbb{Z}X

Constr. des opérations de Steenrod : A un anneau de car. p. ~~\mathbb{Z}X \longrightarrow~~ f \in \mathrm{H}^n(X , A) , \qquad \widetilde{\mathbb{Z}X} \xrightarrow{\;f\;} A[n] W_p \otimes \mathbb{Z}(X^p) \xrightarrow{\;\lambda\;} \widetilde{\mathbb{Z}X}^{\otimes p} \xrightarrow{\;f^{\otimes p}\;} A[n]^{\otimes p} \xrightarrow{\;\mu\;} A[pn] \nearrow \Delta \qquad W_p \otimes \mathbb{Z}X \quad \Sigma_n\text{-équiv.}\ (\text{avec action triv.\ sur } \mathbb{Z}X) encadré : cf. Steenrod, Coh. ops, p. 99 Pf = \mu \circ f^{\otimes p} \circ \lambda \in {}_{\Sigma_n}\mathrm{H}^{pn}(\mathbb{Z}(X^p) , A) \downarrow (W_n \otimes \mathbb{Z}X)/\Sigma_n = \mathbb{Z}X \otimes \mathbb{Z}K(\Sigma_n , 1) , \qquad {}_{\Sigma_n}\mathrm{H}^{pn}(X , A) \| \qquad \mathrm{H}^*(K(\Sigma_p) \times X , A) \text{Künneth} \quad \| \qquad \mathrm{H}^*(\Sigma_p) \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathrm{H}^*(X , A)

en haut à droite « EZ 3 ».

Les applications shuffles et A-W sont associatives

et shuffles est (anti-)commutative A-W est seulement comm. à homotopie près.

On peut exprimer ceci avec des diagrammes d’objets trisimpliciaux. Réf. Illusie, Thèse.

\begin{tikzcd} X_{***} \arrow[r, "N_{**}"] \arrow[d, "\Delta_{12}"'] & X_{\bullet\bullet\bullet} \arrow[r, "\int_{12}"] & X_{\bullet\bullet} \arrow[d, "\int"] \\ X_{**} \arrow[r, "N"] & X_{\bullet\bullet} & X_\bullet \end{tikzcd}

Clair pour \mathbb{Z}X.

L’énoncé de commutativité s’énonce comme suit. X ens. simpl. ~~\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}X \otimes \mathbb{Z}X , \mathbb{Z}(X \times X))~~ \mathrm{Hom}^\bullet\bigl( \mathbb{Z}(X \times X)^\sim , \mathbb{Z}\widetilde{X} \otimes \mathbb{Z}\widetilde{X} \bigr) \longrightarrow \mathbb{Z} \mathrm{Hom}\bigl( \mathbb{Z}(X_0 \times X_0) \xrightarrow{\;\sim\;} \mathbb{Z}X_0 \otimes \mathbb{Z}X_0 \bigr) \longrightarrow \mathbb{Z} \Sigma_2 agit sur ce complexe X \longrightarrow \mathrm{pt} \mathrm{Hom}\bigl( \mathbb{Z}(\ ,\ ) , \widetilde{\mathbb{Z}}(\ ) \otimes \widetilde{\mathbb{Z}}(\ ) \bigr) \longrightarrow \mathbb{Z}

Théorème (Dold) : « Über Steenrodsche Operationen … »

Pour tout X, ce complexe \mathrm{Hom}^\bullet\bigl( \mathbb{Z}(X \times \cdots \times X) , \mathbb{Z}(X) \otimes \cdots \otimes \mathbb{Z}X \bigr) \mathrm{Hom}^\bullet\bigl( \mathbb{Z}X \otimes \cdots \otimes \mathbb{Z}X , \mathbb{Z}(X \times \cdots \times X) \bigr) est une résolution libre de \mathbb{Z} dans la cat. des \Sigma_n-modules pour X variable.

On bricole pour avoir un complexe de chaînes

en haut à droite « EZ 3 », le chiffre repassé, peut-être sur un autre. f \in \mathrm{H}^n(X , A) \Longrightarrow Pf \in {}_{\Sigma_n}\mathrm{H}^{pn}(E\Sigma_n \times X^p , A) \Longrightarrow \Delta Pf \in \mathrm{H}^{pn}(K(\Sigma_p , 1) \times X , A) \mathrm{H}^{pn}(K(\Sigma_p , 1) \times X , A) = \mathrm{H}^*(K(\Sigma_p , 1)) \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathrm{H}^*(X , A) e_\alpha \in \mathrm{H}_\alpha(K(\Sigma_p , 1)) \qquad \searrow \qquad D_i x \in \mathrm{H}^{pn-i}(X , A) P^i x = (-1)^{\cdots} \, D_{f(i)} l’exposant du signe est illisible. Ce reindexage est ce qui donne la formule de Cartan.

En fait on considère \mathbb{Z}_p \subset \Sigma_p et on travaille avec la coh. du groupe cyclique. l’argument s’interrompt ici ; il se poursuit, s’il se poursuit, au lot suivant.