Fonds Grothendieck, cote n° 136, pages 321–340

la page continue un calcul commencé avant le lot : la notation F_A, u_p, \Gamma^p est celle des pages précédentes.

~~\Gamma^p(f)\circ u_p~~ ~~\Gamma^p(g)~~

\Gamma^p(F_A(X))\otimes\Gamma^q(F_A(X)) \longrightarrow F_A\Gamma^p(X)\otimes F_A\Gamma^q(X) \Gamma^{p+q}F_A(X) \longrightarrow F_A\Gamma^{p+q}F(X) les deux lignes sont reliées par des flèches verticales ; le second membre de la seconde est surchargé et peu sûr.

f, g : A \rightrightarrows X, (\Gamma^p f\circ u_p)\otimes(\Gamma^q g\circ u_q), \qquad \bigl[((\Gamma^p f)\circ u_p)\otimes(\Gamma^q g\circ u_q)\bigr]\circ\Delta A\to\Gamma^pX, A\to\Gamma^qX, f^{(p)}\otimes g^{(p)}sic, g^{(p)} pour g^{(q)}.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] A \arrow[r, "\Delta"] \arrow[d] & A\otimes A \arrow[r, "{(\Gamma^p f\circ u_p)\otimes(\Gamma^q g\circ u_q)}"] & \Gamma^p(X)\otimes\Gamma^q(X) \arrow[d] \\ {} & {} & \Gamma^{p+q}(X) \end{tikzcd}

Une flèche courbe de A vers \Gamma^{p+q}(X) porte : « définit f^{(p)}g^{(q)} \in \Gamma^{p+q}F_A(X) ».

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \Gamma^p(F_A(X))\otimes\Gamma^q(F_A(X)) \arrow[r] \arrow[d] & F_A\Gamma^p(X)\otimes F_A\Gamma^q(X) \arrow[d] \\ \Gamma^{p+q}F_A(X) \arrow[dr] & F_A(\Gamma^p(X)\otimes\Gamma^q(X)) \arrow[d] \\ {} & F_A(\Gamma^{p+q}(X)) \end{tikzcd}

avec f^{(p)}\otimes g^{(q)} \mapsto \Gamma^p(f)\circ u_p\otimes\Gamma^q(g)\circ u_q, et à gauche f^{(p)}g^{(q)}.

Il suffit de le voir X = Y = A, f = g = \mathrm{id} :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] A \arrow[r, "\Delta"] & A\otimes A \arrow[r, "u_p\otimes u_q"] & \Gamma^p(A)\otimes\Gamma^q(A) \arrow[d] \\ {} & {} & \Gamma^{p+q}(A) \end{tikzcd}

la flèche courbe de A vers \Gamma^{p+q}(A) « définit (\mathrm{id}_A)^{(p)}(\mathrm{id}_A)^{(q)} \in \Gamma^{p+q}F_A(A) » ~~i.e. \beta_{pq}(\mathrm{id}_A^{(p+q)}), donc c_{p,q}\,u_{p+q}~~. 1^{(p)}1^{(q)} = c_{pq}\,1^{(p+q)} double trait vertical dans la marge gauche, en regard de la ligne suivante \underbrace{\Gamma^*F(A)}_{\otimes\text{-anneau}} \longrightarrow \underbrace{F(\Gamma^*(X))}_{\otimes\text{-anneau}} car F commute à \otimes.

(1) \Longleftrightarrow (3) déjà vu.

(2) \Longleftrightarrow (3). La donnée d'homomorphismes fonctoriels F_A \xrightarrow{u_p} G = F_A\circ\Gamma^p équivaut à la donnée d'un élément u_p \in G(A) = \mathrm{Hom}(A,\Gamma^p(A)). Je laisse la compatibilité de (2). Les conditions f^{(0)} = 1, f^{(1)} = f correspondent à u_0 = 1, u_1 = \mathrm{id}. La relation (f+g)^{(p)} = \sum f^{(i)}g^{(j)} : il suffit de voir le cas universel M = A\times A, \quad f = \mathrm{pr}_1, \quad g = \mathrm{pr}_2, f+g = \Delta : A \to A\times A = M, (f+g)^{(p)} = \Gamma^p(\Delta)\circ u_p \;:\; \Gamma^p(A) \longrightarrow \Gamma^p(M) des surcharges barrées dans les trois dernières formules ne sont pas lisibles.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] A \arrow[r, "u_p"] \arrow[d, "\Delta_A^{(p)}"'] & \Gamma^p(A) \arrow[r, "\Gamma^p(\Delta)"] & \Gamma^p(A\times A) \arrow[d, "\simeq"] \\ A\times\cdots\times A \arrow[rr] & {} & \sum_{i+j=p}\Gamma^iA\otimes\Gamma^jA \end{tikzcd}

le produit A\times\cdots\times A porte « p » sous une accolade ; une flèche oblique entre parenthèses est marquée \Delta_{\Gamma^*A} ; sous la ligne du bas : « \mathrm{Gr}\; A \to \Gamma^i(A)\otimes\Gamma^j(A) ».

On trouve \Gamma^p(\Delta)(u_p) = \sum_{i+j=p} u_i\otimes u_j .

Deux questions de p.d. (anneaux commutatifs).

(1) Soient A une cogèbre associative commutative, (B,J) une algèbre à idéal à p.d. (p.ex. (\Gamma^*M,\Gamma^+M)). On sait que \mathrm{Hom}_k(A,M) a une structure d'anneau — même de k-algèbre, et \mathrm{Hom}_k(A,J) en est un idéal. (Si A est libre de type fini, on trouve l'anneau \check A\otimes B avec l'idéal \check A\otimes J, qui a des p.d.) Cet idéal a-t-il des p.d. ?

(2) Prenons B = \Gamma^*A, J = \Gamma^+A, et soit u_1 \in \mathrm{Hom}_k(A,B) l'application identique A\to A. Considérons les u_n = u_1^{(n)}. Satisfont-ils \gamma^A_{pq}\circ u_{pq} = \Gamma^p(u_q)\circ u_p \;? Sont-ils (pour n, p\ge0) les seuls éléments satisfaisant cette relation, plus u_pu_q = c_{pq}u_{p+q}, et pour lesquels u_1 est comme dessus ?

(3) Soit A une algèbre augmentée (ass., comm.), B une cogèbre à coproduits divisés pour la coloi de B'\to B (noyau de coaugm.), p.ex. B = \mathrm{Sym}^*M, prenons \mathrm{Sym}^*(0) = k … Donc sur \mathrm{Hom}_k(B,A) il y a une structure ~~de p.d. relativement~~ d'algèbre, à p.d. sur \mathrm{Ker}\,\bigl(\mathrm{Hom}_k(B,A)\to\mathrm{Hom}_k(B',A)\bigr).

3) Donnée d'une application (pour tt p\ge0) \mathrm{Hom}_k(A,M) \xrightarrow{u_p} \mathrm{Hom}_k(A,\Gamma^pM) (non linéaire) fonctorielle en M, notée aussi ~~faisons~~ f \longmapsto f^{(p)} et satisfaisant les relations f^{(0)} = 1, f^{(1)} = f, et \begin{cases} (f+g)^{(p)} = \sum_{i+j=p} f^{(i)}g^{(j)} \\ (\lambda f)^{(p)} = \lambda^p f^{(p)} \quad (\text{automatique~!}) \end{cases} et …

4) Donnée d'une loi de p.d. sur \mathrm{Hom}_k(A,\Gamma^+M) \subset \mathrm{Hom}_k(A,M) \forall M, fonctorielle en M, et telle que …

5) Loi à p.d. sur ~~(A\otimes\Gamma^+A)~~ \mathrm{Hom}(A,\Gamma^+A) \subset \mathrm{Hom}(A,\Gamma^*A) (ann. commutatif).

6) Donnée, pour toute k-algèbre B (avec idéal J à p.d.), d'une loi de p.d. sur \mathrm{Hom}_k(A,J) \subset \mathrm{Hom}_k(A,B), fonctorielle en (B,J) …… double trait vertical dans la marge droite, en bas de page

feuillet à l'encre bleue, écrit en travers, fait de calculs épars ; on transcrit les formules dans l'ordre approximatif de la page. Le sujet change : groupes Sl(2), classes d'Euler, connexions sur une courbe.

~~GL(2,\mathbb{R}) \to GP(\ldots)~~ \begin{array}{ccccccccc} 1 & \to & \mu_2 & \to & Sl(2,\mathbb{C}) & \to & GP(1,\mathbb{C}) & \to & 1 \\ & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \\ 1 & \to & \mu_2 & \to & Sl(2,\mathbb{R}) & \to & GP(1,\mathbb{R}) & \to & 1 \end{array} T_{\mathbb{C}}, c_1 ; E_1, T^0_{\mathbb{R}} \simeq S^1 = SO(2,\mathbb{R}), c_1 ; \tfrac12 E_1 = E'_1, \tfrac12 c_2 = c'_2. \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}, \quad a^2+b^2 = 1, \qquad (a+ib)(a-ib) = 1, \quad \lambda\mu = 1, a = \frac{\lambda+\mu}{2} = \frac12(\lambda+\lambda^{-1}), \qquad b = \frac{\lambda-\mu}{2i} = \frac1{2i}(\lambda-\lambda^{-1}). \Omega\otimes\Omega, \qquad \mathbb{P}(\Omega+\Omega^{-1}), \qquad \Omega^{-1}\;\;\Omega^{-2} \,/\, \Omega,\;\mathcal{O}, \qquad \mathbb{P}^3, \qquad H^1(X,\Omega) \simeq \mathbb{C} \cdots \to \Omega^{\otimes n} \to P^n_{X/k} \to P^{n-1}_{X/k} \to 0 Gl \to GP, P \to P', \check E, \mathcal{O}_X ; (n) épi E \to \mathcal{O}_X ; E \longrightarrow E\otimes\Omega^1_{X/S}, \qquad E \to \mathcal{O}_X, \qquad \mathrm{Sym}^n\Omega^1 \to P^n_{X/k} \xrightarrow{D} L, a_nf^{(n)} + \cdots + a_1 f^{(n-1)} \ldots, \qquad Df + \alpha f = 0, \qquad \mathcal{O}_X + P^{n+}_{X/k} plusieurs indices et la ligne a_nf^{(n)}+\cdots sont incertains ; le haut de la page est barré de deux traits obliques.

X courbe alg. /\mathbb{C} projective lisse connexe de genre g\ge2. Il y a sur X un ~~fibré principal~~ torseur canonique P de groupe GP(1)_{\mathbb{C}} = G'_{\mathbb{C}} à connexion intégrable (équivalente à structure de torseur), obtenu ainsi : \forall x\in X, \tilde X(x) rev. universel de X en x, \tilde X(x) \Longleftrightarrow demi-plan de Poincaré D ; l'ensemble des isos \mathrm{Iso}(D_0,(\tilde X(x),\tilde x)) est un torseur à droite sous \mathrm{Aut}(D_0) \simeq ~~GP(1)_{\mathbb{R}}~~ G'_{\mathbb{R}}, d'où par ext. un torseur à droite sous G', soit P_x . On voit que les P_x (x\in X(\mathbb{C})) sont les fibres d'un fibré principal torsoriel à structure plate (celui associé : \pi_1 \to G'_{\mathbb{R}} \subset G'_{\mathbb{C}}).

un disque hachuré marqué d'un point \tilde x, dans un carré, avec une boucle qui en sort

N.B. \forall x\in X, \exists une et une seule application analytique de \tilde X(x) dans T_x(X) dont a) l'image soit un disque, b) l'application tangente en \tilde x soit l'identité.

\pi_1(X,x) \subset G' \subset G'_{\mathbb{C}}, \qquad \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}.z = , \qquad \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} ~~\deg~~ T(x,q), P(x,\rho q) = P(x,q)\wedge^{i_x(\rho)} G'_{\mathbb{C}}, \qquad \rho \in S^1_{\mathbb{C}} \subset G'_{\mathbb{C}}, \begin{array}{ccc} S_{\mathbb{R}} & \subset & G'_{\mathbb{R}} \\ \cap & & \cap \\ S_{\mathbb{C}} & \subset & G'_{\mathbb{C}} \end{array} \qquad Q_{\mathbb{R}},\; P_{\mathbb{R}},\; Q_{\mathbb{C}},\; P_{\mathbb{C}}, \qquad \mathbb{C}^* \subset Gl(2,\mathbb{R}) \to Gl(2,\mathbb{C}) la dernière inclusion est mal lue ; le texte porte aussi P(x,q) \simeq P(x,x') et une flèche G'_{\mathbb{C}} \to G'_{\mathbb{C}} marquée i(\ldots).

E \to E\otimes\Omega (deux fois).

a) fibré inversible : \Omega^{-1} G_m \to GP_{\mathbb{C}}

b) fibré \mathbb{P}(\Omega^{-1}+\Omega) avec connexion intégrable.

\begin{pmatrix} \Omega & 0 \\ \Omega^3 & \Omega \end{pmatrix} Encadré : Trouver une connexion intégrable (alg.) canonique sur \mathbb{P}(\Omega^{-1}+\Omega) = \overline{V(\Omega^2)} \Omega^{-1}\oplus\Omega \longrightarrow (\Omega^{-1}\oplus\Omega)\otimes\Omega = \Omega^0_X + \Omega^2 (D,\omega) = (\varpi,\Delta)

\begin{array}{ccc} \tilde G_d & \to & \tilde G \\ \vdots & & \vdots \\ \mathfrak{z}_d & \to & \mathfrak{z} \quad \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \\ G_d & \to & G = Sl(2,\mathbb{R}) \\ \downarrow & & \downarrow \\ G'_d & \to & G' = GP(1,\mathbb{R}) \\ \downarrow & & \downarrow \\ 1 & & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{c} \mathbb{Z} \\ \downarrow \\ \mathfrak{z} = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{array} lecture incertaine de G' = GP(1,\mathbb{R}). \mathfrak{z} rend la lettre bouclée en forme de 3 par laquelle il note le noyau \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}. H^4(B_G,\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z} \ni W, \qquad \uparrow \qquad \uparrow 2, \qquad H^2(B_{G'},\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z} \ni \tfrac12 W ~~H^2(B_G,\mathbb{T})~~ H^4(B_G,\mathfrak{z}), \mathbb{Z}/2.2 = 0 H^2(B_{G'},\mathfrak{z}) \simeq \mathfrak{z} \ni \xi \begin{array}{ccc} H^2(B_{G'},\mathfrak{z}) & & \\ \downarrow & & \\ H^2(B_{G'_d},\mathfrak{z}) & \xleftarrow{\;\sim\;} & H^2(B_{G'_d},\mathfrak{z}_d) \\ \downarrow & & \\ H^2(\pi,\mathfrak{z}) & & H^2(X,\mathfrak{z}) \end{array} ~~\tfrac12 W = 2g-2~~

\begin{array}{ccccc} \mathbb{Z} \simeq H^2(X,\mathbb{Z}) & \leftarrow & H^2(B_{G'},\mathbb{Z}) & \ni & W' \\ \downarrow & & \downarrow & & \\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \quad H^2(X,\mathfrak{z}) & \leftarrow & H^2(B_{G'},\mathfrak{z}) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \ni & y \\ \updownarrow 2 & & \downarrow & & \\ H^2(\pi,\mathfrak{z}) & \leftarrow & H^2(B_{G'_d},\mathfrak{z}) & & \end{array} le carré du haut porte « comm. » ; la flèche \updownarrow 2 est telle qu'écrite.

À l'encre bleue : 1 \to \mathfrak{z} \to G \to G' \to 1, \qquad H^2(B_{G'},\mathfrak{z}) X \to B_{G'_d} \to B_{G'}, \qquad H^2(B_{G'}) \ni E' \simeq H^2(B_{T'}) X \to B_\pi \to B_{G'} \leftarrow B_{T'}, \qquad \pi \hookrightarrow GP = G' \to S^1 = T' \uparrow \qquad \uparrow \qquad Sl = G \to S^1 = T, \qquad E' \mapsto 2g-2 \sim g-1 \mathbb{Z} \simeq H^2(X,\mathbb{Z}) \leftarrow H^2(\pi,\mathbb{Z}) \leftarrow H^2(B_{G'},\mathbb{Z}) \ni E' \begin{array}{ccccccc} X & \to & B_\pi & \to & B_{G'} & \leftarrow & B_{T'} \\ & & & & \uparrow & & \uparrow \\ & & & & B_G & \leftarrow & B_T \end{array} \qquad \begin{array}{c} H^2(B_{T'},\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z} \ni E' = \tfrac12 E \\ \downarrow \\ H^2(B_T,\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z} \ni E \end{array} en marge à gauche : 2g-2 \sim g-1.

retour au sujet des pp. 321–324, à l'encre noire.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] A \arrow[r, "u_{pq}"] \arrow[d, "u_p"'] & \Gamma^{pq}(A) \arrow[d, "\gamma^A_{pq}"] \\ \Gamma^p(A) \arrow[r, "\Gamma^p(u_q)"'] & \Gamma^p(\Gamma^q(A)) \end{tikzcd}

À droite : \Gamma^p\mathrm{Hom}(A,M) \to \mathrm{Hom}(A,\Gamma^pM).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] A \arrow[r, "f"] \arrow[d, "u_p"'] & \Gamma^*M & {} \\ \Gamma^pA \arrow[r, "\Gamma^pf"'] & \Gamma^p(\Gamma^*M) \arrow[r] & \Gamma^*M \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] A \arrow[r, "f"] \arrow[d, "u_p"'] & J & {} \\ \Gamma^p(A) \arrow[r, "\Gamma^p(f)"'] & \Gamma^p(J) \arrow[r] & J \end{tikzcd}

Les A munis de cocommutative, par le foncteur F_A(M) = \mathrm{Hom}_k(A,M), \mathrm{Ab}_k \xrightarrow{\;F\;} \mathrm{Ab}_k d'une structure de quasi-commutation compatible avec , comm.).

~~Conditions~~ Données équivalentes.

(1) Donnée d'une quasi-commutation de F aux foncteurs \Gamma^p, avec compatibilité aux \beta_{pq} (structure multiplicative de \Gamma) et aux \gamma_{pq} (structure ), enfin avec condition de comp. en degré 0, 1.

(2) Donnée d'une famille d'éléments u_p \in F_A(\Gamma^p(A)) \;:\; A \to \Gamma^p(A) satisfaisant \begin{cases} u_pu_q = c_{pq}\,u_{p+q} \\ \Gamma^p(u_q)\circ u_p = \gamma^A_{pq}\circ u_{pq} \end{cases} d'un homomorphisme de k-alg. gr. divisées k\{T\} \xrightarrow{\;u\;} \mathrm{Hom}(A,\Gamma^*(A)) sous \mathrm{Hom}(A,\Gamma^*(A)), une accolade : « algèbre quasi-commutative de la cogèbre A et gradué de \Gamma^*(A) ». satisfaisant \Gamma^p\bigl(u(T^{(q)})\bigr)\circ u(T^{(p)}) = \gamma^A_{pq}\,u(T^{(pq)}).

\begin{array}{c} \Gamma^p(\Gamma^q(X)) \\ \uparrow{\scriptstyle\gamma^X_{p,q}} \\ \Gamma^{pq}(X) \end{array} \qquad \begin{aligned} \Delta &: A \to A\otimes A \\ u_p &: A \to \Gamma^pA \end{aligned} \beta^X_{p,q} : \Gamma^p(X)\otimes\Gamma^q(X) \longrightarrow \Gamma^{p+q}(X) \alpha^{X,Y}_{pq} : \Gamma^p(X)\otimes\Gamma^q(Y) \xrightarrow{\;\sim\;} \Gamma^{2}(X\times Y) l'exposant du but est surchargé ; on lit, sous réserve, un 2. F(X\otimes Y) \xleftarrow{\;\tau_{X,Y}\;} F(X)\otimes F(Y), \qquad F(\Gamma^p(X)) \xleftarrow{\;\sigma^X_p\;} \Gamma^pF(X) « ok ok »

la moitié inférieure de la page est traversée de quatre longs traits obliques et d'un trait presque vertical, qui semblent l'annuler ; elle est transcrite telle quelle.

Soit A algèbre sur un anneau k , on définit une flèche can. \mathrm{Sym}^*A \longrightarrow A restriction \mathrm{Sym}^n(A) \xrightarrow{\;u_n\;} A \qquad (n\ge0) et on prendra u_n(x_1\cdot x_2\cdots x_n) = \frac{1}{n!}\,x_1x_2\cdots x_n sous x_1\cdot x_2\cdots x_n : « produit dans \mathrm{Sym}^n(A) ». je dis que le diagramme \begin{array}{ccc} \mathrm{Sym}^{p+q}A & \xrightarrow{\;c_{pq}u_{p+q}\;} & A \\ \downarrow{\scriptstyle\Delta} & & \uparrow{\scriptstyle\text{mult.\ de }A} \\ \mathrm{Sym}^p A\otimes\mathrm{Sym}^q A & \xrightarrow{\;u_p\otimes u_q\;} & A\otimes A \end{array} une can. de ~~(\Gamma^\alpha(A)\otimes A)^\wedge~~ ~~\Gamma^\alpha(V(A))~~ \mathrm{Hom}(\mathrm{Sym}^*A, B) = \Gamma^*(\check A)\otimes_k B \check A\otimes_k B ; \Gamma^\alpha(\check A)\otimes B, p. ex. de A \xrightarrow{h} B k-lin. \mathrm{Sym}^*A, \mathrm{Sym}^*( … la page s'arrête sur ce début de formule.

~~Il suffit de , fonctorielle en M : \mathrm{Hom}(A,M) \xrightarrow{u}~~ seule ligne de la page, barrée par un trait ondulé ; le reste du feuillet est blanc.

\Gamma^\alpha F(X) \xrightarrow{\;u_\alpha\;} F\Gamma^\alpha X, \qquad \Gamma^pF(X) \xrightarrow{\;u_p\;} F\Gamma^p(X) ~~x\in~~ F(X) \to F\Gamma^p(X) (flèche marquée ), x\in F(X), degré p u_p\bigl(\gamma^p_{F(X)}(x)\bigr) = F(\gamma^p_X)(x), \qquad X \longrightarrow \Gamma^p(X) \;\; \text{degré } p u_\alpha\bigl(\gamma^p_{F(X)}(x)\bigr) = F(\gamma^p_X)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \Gamma^pF(X) \arrow[r, "u_p"] \arrow[d, "\xi\mapsto\xi^{(q)}"'] & F(\Gamma^p(X)) \arrow[d, "F(\eta\mapsto\eta^{(q)})"] \\ \Gamma^{pq}(F(X)) \arrow[r, "u_{pq}"'] & F(\Gamma^{pq}(X)) \end{tikzcd}

à gauche, une accolade relie \Gamma^pF(X) à \Gamma^q(\Gamma^pF(X)), avec \xi\mapsto\gamma^q(\xi) ; un « & » suit le u_p en tête de ligne.

u_p(\gamma^p(x)) = F(\gamma^p_x)(x) F(\gamma^{q,p}_X)\bigl(F(\gamma^p_X)(x)\bigr) F(\gamma^{q,p}_X\gamma^p_X)(x) \begin{aligned} F(\alpha_{pq}\gamma^{pq}_X)(x) &= \alpha_{pq}F(\gamma^{pq}_X)(x) \\ &= \alpha_{pq}\,\ldots \\ &= u_{pq}(\alpha_{pq}\gamma^{pq}(x)) \\ &= u_{pq}\bigl(\gamma^{q,p}_{F(X)}(\gamma^p_{F(X)}(x))\bigr) \end{aligned} avec \alpha_{pq} = \frac{(pq)!}{(p!)^q\,q!} = u_\alpha\bigl(\gamma^{\alpha_1}(x_1)\cdots\gamma^{\alpha_n}(x_n)\bigr) u(\lambda)^{pq}\,u\bigl(\alpha_{pq}x^{(pq)}\bigr), \qquad \lambda^{pq}\alpha_{pq}\,u(\ldots)^{(pq)}, \qquad u(x)^{\ldots}\,\alpha_{pq}\,u(x)^{[pq]} dans la deuxième expression, un argument barré illisible ; l'exposant de u(x) dans la troisième est illisible. Ces trois dernières expressions, au bas de la page, sont reliées par des signes = verticaux ; leur lecture est très incertaine.

u_\alpha\Bigl(\bigl(\textstyle\sum\xi_i\bigr)^{(q)}\Bigr) \overset{?}{=} \Bigl(\textstyle\sum u_\alpha(\xi_i)\Bigr)^{(q)} u\Bigl(\textstyle\sum \xi_1^{(q_1)}\cdots\xi_r^{(q_r)}\Bigr) = \textstyle\sum u(\xi_1)^{(q_1)}\cdots u(\xi_r)^{(q_r)} On se ramène à prouver que u_\alpha\bigl(\xi_i^{(q_i)}\bigr) = u_\alpha(\xi_i)^{(q_i)} pour les monômes, q ; tels monômes \xi_i = x_1^{(p_1)}\cdots x_r^{(p_r)} u_\alpha\Bigl(\bigl(x_1^{(p_1)}\cdots x_r^{(p_r)}\bigr)^{(q)}\Bigr) \overset{?}{=} u_\alpha\bigl(x_1^{(p_1)}\cdots x_r^{(p_r)}\bigr)^{(q)} où \bigl(x_1^{(p_1)}\cdots x_r^{(p_r)}\bigr)^{(q)} = \bigl(x_1^{(p_1)}\cdots x_{r-1}^{(p_{r-1})}\bigr)^{q}\bigl(x_r^{(p_r)}\bigr)^{q} u_\alpha\Bigl(\bigl(x_p^{(p)}\bigr)^{(q)}\Bigr) = u\bigl(\alpha_{pq}x^{(pq)}\bigr) ~~u(\ldots)=~~ u\bigl((x^{(p)})^{(q)}\bigr) = u(x^{(p)})^{(q)}, \qquad F(\gamma^p_\alpha)(x) = x^{(p)}

A \xrightarrow{u} B, u compatible avec ? \check J \to \check K, u(\ldots) (x_i)_{i\in I} engendrant par les x_i comme idéal à p.d., i.e. comme module engendré par les x_i^{(p)} \qquad (p\ge1) Si u(x_i^{(p)}) = u(x_i)^{(p)} ok. u\Bigl(\bigl(\textstyle\sum\lambda_ix_i^{(p_i)}\bigr)^{(q)}\Bigr) \overset{?}{=} \Bigl(u\bigl(\textstyle\sum\lambda_ix_i^{(p_i)}\bigr)\Bigr)^{(q)} \qquad (\xi_i = \lambda_ix_i^{(p_i)}) u\Bigl(\textstyle\sum\xi_1^{(q_1)}\cdots\xi_r^{(q_r)}\Bigr) = \textstyle\sum u(\xi_1)^{(q_1)}\cdots u(\xi_r)^{(q_r)}, il suffit u(\xi_i^{(q_i)}) = u(\xi_i)^{(q_i)}.

OPS. x = \lambda x_i^{(p)}, u\bigl(x^{(q)}\bigr) = u(x)^{(q)}, \qquad u\bigl(\lambda^q(x_i^{(p)})^{(q)}\bigr) = u(\lambda)^q\bigl(u(x_i)^{(p)}\bigr)^{(q)}

Plus généralement, si A \supset J est un idéal, revient à se donner F(J) \to F(A) injectif dans F(J), à p.d. dans F(A) ? F(J) \xrightarrow{\deg p} F(J) oui, en transformant J \xrightarrow{\gamma^p} J. Il faut donner la valeur ~~(x+y)~~ x,y\in F(J) \Longrightarrow (x+y)^{(p)} = \textstyle\sum x^{(i)}y^{(j)}\;? \quad (\deg p) x,y\in u \mathcal{P} \xrightarrow{\;F\;} \mathcal{P}' commutant aux produits tensoriels, commutant aux produits et aux degrés partiels, bidegrés 1,1.

~~Lemme~~ il : A, J, J \to A, A\times A \to A, A\otimes J \to J ;

A k-algèbre assoc. commutative avec 1,

J module assoc. comm. sans 1,

A opérant sur J, et (\lambda x)y = x(\lambda y) = \lambda xy,

J \xrightarrow{\;i\;} A hom. de A-modules (i(xy) = i(x)i(y), i(\lambda x) = \lambda i(x)),

k \to \mathrm{Hom}(\mathcal{O},A) hom. d'anneaux. \gamma^p : J \to J \quad (p\ge1) \;\; \text{de degré } p, \qquad \gamma^0 : J \to A \begin{aligned} \gamma^0 &= 1 \\ \gamma^1 &= \mathrm{id}_J \\ \gamma^p(x+y) &= \textstyle\sum \gamma^ix\,\gamma^jy \\ \gamma^p(\lambda x) &= \lambda^p\gamma^p(x) \\ \gamma^p(x)\gamma^q(x) &= c_{pq}\gamma^{p+q}(x) \\ \gamma^p(\gamma^q(x)) &= \frac{(pq)!}{(p!)^q\,q!}\,\gamma^{pq}(x) \end{aligned} après \gamma^p : J\to J, un mot barré illisible. Transformation naturelle \Gamma^*F(X) \longrightarrow F\,\Gamma^*(X)

\Gamma^pF(X) \xrightarrow{\;u^X_p\;} F(\Gamma^p(X)) x\in F(X) \longmapsto x^{(p)} = u^X_p(\gamma^p(x)) u^X_* : \Gamma^*F(X) \longrightarrow F(\Gamma^*(X)) hom. d'algèbres sous \Gamma^*(X) : « algèbre car F compatible à \otimes donc transforme alg. en alg. ». \begin{array}{c} F(P)\otimes F(Q) \\ \downarrow \\ F(P\otimes Q) \to F(R) \end{array} calcul implique pour (x+y)^{(p)} = \sum_{i+j=p} x^{(i)}y^{(j)} u_*\bigl(\gamma_p(x+y)\bigr) = \sum_i u_*\bigl(\gamma_i(x)\gamma_j(y)\bigr) = \sum u(\gamma_i(x))\,u(\gamma_j(y)) = \sum x^{(i)}y^{(j)} (\lambda x)^{(p)} = \lambda^px^{(p)} : u^X_p\gamma^p(\lambda x) = u^X_p\bigl(\lambda^p\gamma^p(x)\bigr) = \lambda^pu^X_p(\gamma^p(x)) = \lambda^px^{(p)} x^{(p)}x^{(q)} = c_{pq}\,x^{(p+q)}\;? : u_*\gamma^p(x)\,u_*\gamma^q(x) = u_*\bigl(\gamma^p(x)\gamma^q(x)\bigr) = c_{pq}\,u\gamma^{p+q}(x) = c_{pq}\,x^{(p+q)}

À l'encre bleue : \mathbb{1} \longrightarrow F(\mathbb{1}), \qquad \Gamma^*F(X) \longrightarrow F\,\Gamma^*(X), \qquad F(X) \xrightarrow{\;\mathrm{id}\;} F(X) multiplicatif, foncteur p.d. ?

F\,\Gamma^*(X) est-il à p.d. ?

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \Gamma^pF(X) \arrow[r, "u^{F(X)}_p"] \arrow[d, "\gamma^q_{\Gamma^pF(X)}"'] & F\Gamma^p(X) \arrow[d, "F(\gamma^q_{\Gamma^p(X)})"] \\ \Gamma^q\Gamma^pF(X) \arrow[d] & F(\Gamma^q\Gamma^p(X)) \\ \Gamma^{qp}F(X) & {} \end{tikzcd}

Gribouillis

le mot « Gribouillis », souligné, est seul sur la p. 335, de sa main ; il sert de titre aux feuillets suivants.

\begin{array}{ccccc} & & \Lambda^n\Psi_* & \longrightarrow & \Lambda^{n+1}\Phi_* = C^n_* \\ & & \uparrow & & \uparrow \\ \Lambda^{n-1}\Psi_* & \xrightarrow{\;T_\wedge\;} & \Phi_*\otimes\Lambda^{n-1}\Psi_* & \longrightarrow & \Lambda^n\Phi_* = C^{n-1}_* \\ \uparrow & & \uparrow & & \uparrow \\ \Phi_*\otimes\Lambda^{n-2}\Psi_* & \longrightarrow & \Gamma^2\Phi_*\otimes\Lambda^{n-2}\Psi_* & \longrightarrow & \Lambda^{n-1}\Phi_* = C^{n-2}_* \end{array} la flèche T_\wedge porte en dessous « mono » ; sous la deuxième ligne on lit (\Lambda^n\Phi_*)^{\binom n2}, sous la troisième une expression (\Lambda^n\Phi_*+\Phi\Lambda^{\ldots}\Phi_*)^{\ldots} dont les exposants sont illisibles. (N+1)\binom{N}{n-1} = \frac{(N+1)N\cdots(N-n+2)}{(n-1)!} = n\binom{N+1}{n} \frac{(N+1)(N+2)}{2}\binom{N}{n-2} = \frac{(N+2)(N+1)N\cdots(N-n+3)}{n!}\,\frac{n(n-1)}{2} = \binom{N+2}{n}\frac{n(n-1)}{2} au-dessus du numérateur : « n facteurs ». \mathrm{rg}\bigl(\Gamma^p\Phi_{(N)}\otimes\Lambda^q\Psi_{(N)}\bigr) = \frac{(N+1)(N+2)\cdots(N+p)}{p!}\cdot\frac{N(N-1)\cdots(N-q+1)}{q!} = \frac{(N+p)\cdots(N-q+1)}{(p+q)!}\,\frac{(p+q)!}{p!\,q!} = c_{pq}\binom{N+p}{p+q} (\tau P)(N) = P(N+1) \begin{aligned} \tau\varphi_r &= \varphi_r + \varphi_{r-1} \\ \tau^2\varphi_r &= \tau\varphi_r + \tau\varphi_{r-1} = \varphi_r + \varphi_{r-1} + \varphi_{r-1} + \varphi_{r-2} = \varphi_r + 2\varphi_{r-1} + \varphi_{r-2} \\ \tau^3\varphi_r &= \varphi_r + \varphi_{r-1} + 2\varphi_{r-1} + 2\varphi_{r-2} + \varphi_{r-2} + \varphi_{r-3} \\ &= \varphi_r + 3\varphi_{r-1} + 3\varphi_{r-2} + \varphi_{r-3} \\ \tau^p\varphi_r &= \varphi_r + p\,\varphi_{r-1} + \binom p2\varphi_{r-2} + \cdots + \varphi_{r-p} \\ \tau^{p-1}\varphi_{p+q} &= \varphi_{p+q} + \binom{p-1}{1}\varphi_{p+q-1} + \cdots + \varphi_{q+1} \end{aligned} c_{p,q}\Bigl(\Lambda^{p+q}\Phi_* + (p-1)\Lambda^{p+q-1}\Phi_* + \binom{p-1}{2}\Lambda^{p+q-2}\Phi_* + \cdots + \Lambda^{q+1}\Phi_*\Bigr) À droite : Mais \varphi_{p+q}(N+p) = \varphi_{p+q}(N+p-1) + \varphi_{p+q-1}(N+p-1) = \varphi_{p+q}(N+p-1) + 2\varphi\ldots = c_{pq}\,\tau^{p-1}\varphi_{p+q}(N+1) la deuxième ligne est inachevée ; quelques essais barrés à côté ne sont pas lisibles.

feuillet écrit en travers, à l'encre bleue ; formules disposées autour de deux hexagones de flèches. On les transcrit dans l'ordre de lecture.

\mathrm{Hom}^!(\Delta^m,\Delta^n) = ens. des applications croissantes \Delta^m \to \Delta^n ~~[0,n]~~ dont l'image ne soit pas contenue \Delta^n () ou [0,n-1].

hexagone de flèches reliant \mathbb{C}^*_*, \mathbb{C}^\bullet_*, \mathbb{C}^*_\bullet et \mathbb{C}^\bullet_\bullet \begin{cases} \mathbb{C}^*_{[n]} = \mathbb{C}^*(\Delta^n_*) = k_*(\Delta^n_*) = k^{\Delta^n_*} \\ \mathbb{C}^{[m]}_* = p_{m*}(k) = \bigl(n\mapsto k^{\mathrm{Hom}_\Delta(\Delta^m,\Delta^n)}\bigr) \end{cases} \mathbb{C}^\bullet_* = \Lambda^{\bullet+1}\Phi_* \quad \begin{cases} \mathbb{C}^\bullet_{[n]} = \mathbb{C}^\bullet(\Delta^n) = \Lambda^{\bullet+1}k^{\Delta^n} \\ \mathbb{C}^m_* = \Lambda^{m+1}\Phi_* \end{cases} \mathbb{C}^{(m)}_{[n]} = k^{\mathrm{Hom}_\Delta(\Delta^m,\Delta^n)}, \qquad \mathbb{C}^{[m]}_n = k^{\mathrm{Hom}^!(\Delta^m,\Delta^n)} \mathbb{C}^m_{[n]} = \Lambda^{m+1}k^{\Delta^n} = k^{\mathrm{Inj}_\Delta(\Delta^m,\Delta^n)} \quad (\text{nul si } m>n,\; = k \text{ si } m=n) des flèches entre ces objets portent « isomorphisme si m=0 », « fact. dir. can. », « nul si n>m+1 ; = k si n=m+1 », « iso si n\le m+1 », « iso si m\ge n » (ce dernier barré). \mathbb{C}^m_n = \begin{cases} 0 & \text{si } n\neq m, m+1 \\ k & \text{si } n = m \text{ ou } n = m+1 \end{cases} alors \mathbb{C}^m_{[m]} = \Lambda^{m+1}k^{m+1} \simeq k, \mathbb{C}^m_{[m+1]} = \Lambda^{m+1}k^{m+2} \simeq k^{m+2} et l'injection diagonale . \mathbb{C}^m_\bullet \simeq k \text{ en degrés } m, m+1 \quad (\text{dans } (K_\bullet) ;\; \text{complexe de cochaînes } C^\bullet_\bullet) \mathbb{C}^\bullet_m \simeq \begin{cases} k \text{ en degrés } m, m-1 & (m\ge1) \\ k \text{ en degré } 0 & \text{si } m = 0 \end{cases} \mathrm{Hom}_*(X_*,\mathbb{C}^{[i]}_*) \simeq \mathbb{C}^{[i]}(X_*) \simeq k^{X_{[i]}} = \mathrm{Hom}_{\mathrm{ens}}(X_{[i]},k) \mathrm{Hom}_*(X_*,\mathbb{C}^i_*) \simeq \mathrm{Hom}(X_*,\Lambda^{i+1}\Phi_*) = \mathbb{C}^i(X_*) sous-module de \mathbb{C}^{[i]} \mathbb{C}_*(X_*) \overset{\mathrm{def}}{=} k(X_*) = k^{(X_*)} = \bigl(n\mapsto k(X_{[n]})\bigr) = k^{(X_{[n]})} \mathbb{C}^*(X_*) \simeq \mathbb{C}_*(X_*)^\vee = \bigl(n\mapsto (k^{(X_{[n]})})^\vee = k^{X_{[n]}}\bigr) donc \mathbb{C}_\bullet(X_*) \subset \mathbb{C}_*(X_*),\;\ldots \qquad \mathbb{C}^\bullet(X_*) \simeq \mathbb{C}_\bullet(X_*)^\vee, \qquad \mathbb{C}_\bullet(X_*) \simeq \mathrm{ND}(\mathbb{C}_*(X_*)) sous la dernière inclusion : « fact. dir. can. ».

second hexagone, dual du premier \mathbb{C}_*{}^* = \mathbb{C}^*_*{}^\vee, \qquad \mathbb{C}_\bullet{}^* = \mathbb{C}^\bullet_*{}^\vee = (\Lambda^{\bullet+1}\Phi_*)^\vee, \qquad \mathbb{C}_*{}^\bullet = \mathbb{C}^*_\bullet{}^\vee, \qquad \mathbb{C}_\bullet{}^\bullet = \mathbb{C}^\bullet_\bullet{}^\vee (\mathbb{C}_m^\bullet = k en deg. m, m+1) (dans (K_\bullet) ; \mathbb{C}_\bullet complexe de chaînes ) \mathbb{C}_\bullet{}^n = \begin{cases} k \text{ en degrés } n, n-1 & (n\ge1) \\ k \text{ en degré } 0 & (n=0) \end{cases}

À tout X_* \in \mathrm{Ob}\,\hat\Delta = \mathrm{Ob}\,\mathrm{Ss}, on associe le foncteur F_{X_*} : M_* \longmapsto \mathrm{Hom}_{\hat\Delta}(X_*,M_*) \simeq \mathrm{Hom}_{\hat\Delta_{k\text{-}\mathrm{lin}}}(k[X_*],M_*) \in \mathrm{Ab}_k k[X_*] = \lambda_* = C_*(X_*), \qquad n \longmapsto C_{[n]}(X_*) = k[X_{[n]}] = k^{(X_n)} \Bigl(F_{X_*} \in \underline{\mathrm{Hom}}_{k\text{-}\mathrm{lin}}(\mathrm{Ab}_*,\mathrm{Ab}_k)\Bigr) \simeq G_{(\lambda_*)}(M_*), \qquad G_{\lambda_\bullet}(M_\bullet) La donnée d'un tel foncteur F k-lin. exact à gauche, on a F(\mathbb{C}^\bullet_*) \in \mathrm{Ab}^\bullet_k, \qquad F(\mathbb{C}^\bullet_*) = \bigl(i\mapsto F(\mathbb{C}^i_*)\bigr) \in \mathrm{Ab}_k On a F_{X_*}(\mathbb{C}^i_*) \simeq \mathbb{C}^i(X_*) = k^{X_{[i]}} \;\simeq\; \mathbb{C}_i(X_*)^\vee (cochaînes non dég.) entouré : plus gén., G_{\lambda_*}(\mathbb{C}^i_*) \simeq \lambda_i^\vee, = G_{\lambda_\bullet}(\mathbb{C}^\bullet) F_{X_*}(\mathbb{C}^\bullet_*) \simeq \mathbb{C}^\bullet(X_*) = complexe des cochaînes non dégénérées sur X_* Ex. X_* = \Delta^n_*, F_{\Delta^n_*}(M_*) \simeq M_{[n]}, \mathbb{C}^\bullet(\Delta^n) \simeq (\mathbb{C}^i_{[n]})_i = \Lambda^{*+1}k^{\Delta^n} = \bigl(m\mapsto k^{\mathrm{Hom}^!(\Delta^m,\Delta^n)}\bigr) On s'intéressera, pour X_* fixe, à \mathrm{Hom}(F_{X_*},F_{\Delta^n_*}) \simeq \mathrm{Hom}_\bullet\bigl(\mathbb{C}^\bullet(X_*),\mathbb{C}^\bullet(\Delta^n)\bigr), \qquad \lambda^\vee_\bullet, \quad \Lambda^{*+1}k^{\Delta^n} = \mathbb{C}^\bullet_{[n]} \simeq \mathrm{Hom}(\mathbb{C}^\bullet_{[n]},\lambda^{\vee\vee}_\bullet) \;\overset{!}{\simeq}\; (\lambda^{\vee\vee}_\bullet)_{[n]} = \lambda_{[n]}^{\vee\vee} = k[X_{[n]}]^{\vee\vee} ~~\mathrm{Hom}(G_{\lambda_*},G_{\mathbb{C}_*(\Delta^n)})~~ u \mapsto F(u), \lambda_* = \mathbb{C}_*[X] k[X_n] \longleftarrow \mathrm{Hom}(\Delta^n,X_*) \simeq X_n ~~K = \mathrm{Ab}_{k*}~~ Avons diagramme commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] X_{[n]} \simeq \mathrm{Hom}(\Delta^n_*,X_*) \arrow[d] \arrow[drr] & {} & {} \\ k[X_{[n]}] \arrow[d, "\text{iso si } X_n \text{ fini}"'] & {} & {} \\ k[X_{[n]}]^{\vee\vee} & {} & \mathrm{Hom}(F_{X_*},F_{\Delta^n_*}) \arrow[ll, "\sim"'] \end{tikzcd}

\mathrm{Hom}(F_{X_*},F_{\Delta^n_*}) \simeq \mathrm{Hom}_\bullet\bigl(\mathbb{C}^\bullet(X_*),\mathbb{C}^\bullet(\Delta^n_*)\bigr) (~~\mathrm{Hom}(\ldots)~~) \Bigl(\mathrm{Hom}_\bullet\bigl(\Lambda^{*+1}k^{\Delta^n},\mathbb{C}^\bullet(X_*)^\vee\bigr) \simeq \mathrm{Hom}\bigl(\mathbb{C}^\bullet(X_*),\Lambda^{*+1}k^{\Delta^n}\bigr)\Bigr) Faisons en particulier X_* = \Delta^m_*, on trouve donc \begin{array}{ccc} \Delta^m_{[n]} = \mathrm{Hom}(\Delta^n,\Delta^m) & \simeq & \mathrm{Hom}(\Delta^n_*,\Delta^m_*) \\ \downarrow & & \downarrow \\ k(\Delta^m_{[n]}) & \xrightarrow{\;\sim\;} & \mathrm{Hom}(F_{\Delta^m_*},F_{\Delta^n_*}) \simeq \end{array} la formule s'interrompt au bas de la page ; elle reprend p. 339.

k^{\mathrm{Hom}(\Delta^m,\Delta^n)} \longleftarrow k^{\mathrm{Hom}(\Delta^m,\Delta^{n-1})} C^\bullet_{[n]} = \Lambda^{\bullet+1}\Phi_{[n]} = \Lambda^{\bullet+1}k^{\Delta^n} \longleftrightarrow \lambda^\bullet C_\bullet^{[n]} = \Lambda^{\bullet+1}\check\Phi_{[n]} = \Lambda^{\bullet+1}k^{\Delta^n} \longrightarrow \lambda_\bullet C_*^{[n]} \longrightarrow \lambda_*, \qquad \mathbb{C}^*_{[n]} = \mathbb{C}^*(\Delta^n_*) C_*^{[n]} = \mathbb{C}^*(\Delta^n_*)^\vee = \mathbb{C}_*(\Delta^n_*) = k[\Delta^n_*], \qquad \mathbb{C}^\bullet_{[n]} \to K^\bullet, \quad \mathbb{C}^*_{[n]} \to K^* \mathrm{Hom}_k(k[\Delta^n_*],\lambda_*) = \mathrm{Hom}(\Delta^n_*,\lambda_*) = \lambda_{[n]} prenons \lambda^\bullet = \mathbb{C}^\bullet(\Delta^m_*) \simeq \Lambda^{1+\bullet}k^{\Delta^m}. \mathrm{Hom}^\bullet\bigl(\Lambda^{1+\bullet}k^{\Delta^m},\Lambda^{1+\bullet}k^{\Delta^n}\bigr) = \mathrm{Hom}^\bullet(C^\bullet_{[m]},\lambda^\bullet) sous les deux arguments : « avec produit ext. ». \mathrm{Hom}_\bullet\bigl(\Lambda^{1+\bullet}k^{\Delta^m},\Lambda^{1+\bullet}k^{\Delta^n}\bigr) \simeq \mathrm{Hom}_\bullet(C_\bullet^{[m]},\lambda_\bullet) sous les deux arguments : « avec prod. int. ». \simeq \quad \lambda_{[n]} = \mathbb{C}_{[n]}(\Delta^m_*) = \mathbb{C}^{[n]}(\Delta^m_*)^\vee ~~= \bigl(k^{\mathrm{Hom}(\Delta_n,\Delta_m)}\bigr)^\vee~~ \simeq k^{(\mathrm{Hom}(\Delta_n,\Delta_m))} k^{\mathrm{Hom}(\Delta_n,\Delta_m)} \longrightarrow \mathrm{Hom}_k\bigl((k^{\Delta_m},T_m),(k^{\Delta_n},T_n)\bigr) pas bijectif ! \searrow\;?\quad \mathrm{Hom}\bigl(\Lambda^{\bullet\bullet}k^{\Delta_m},\Lambda^{\bullet\bullet}k^{\Delta_n}\bigr) une longue flèche relie l'expression \simeq k^{(\ldots)} au \mathrm{Hom}_\bullet avec produit intérieur.

L_\bullet \longmapsto \mathrm{Hom}(\lambda_\bullet,L_\bullet) \mathrm{Hom}(\lambda_\bullet,\mathbb{C}^i_\bullet) \simeq \lambda_i^\vee, \qquad \mathrm{Hom}(\lambda_\bullet,\mathbb{C}^\bullet_\bullet) \simeq \lambda^\vee_\bullet \mathrm{Hom}\bigl(\lambda^\vee_\bullet,\Lambda^{*+1}k^{\Delta_n}\bigr) \simeq \mathrm{Hom}_\bullet\bigl(\mathbb{C}^{\bullet\vee}_{[n]},\lambda^{\vee\vee}_\bullet\bigr), \qquad \Lambda^{*+1}k^{\Delta_n} = \mathbb{C}^\bullet_n, \quad \mathbb{C}^{\bullet\vee}_{[n]} = C_\bullet^{[n]}, \quad \lambda^{\vee\vee}_\bullet = \lambda_\bullet k-module à simplicial pour une variable

\begin{array}{ccc} C_i{}^n = \Lambda^{n+1}k^n & & \\ \downarrow{\scriptstyle\partial^*_*} & & \\ C_i{}^n & \longrightarrow & \tilde\lambda_i \\ \| & & \downarrow{\scriptstyle d_i} \\ \Lambda^{i+1}k^{n+1} & & \\ \downarrow & & \\ C_{i-1}{}^n & \longrightarrow & \tilde\lambda_{i-1} \end{array} la seconde flèche verticale de gauche est marquée « produit intérieur par T_n » ; entre les colonnes : « comm. ».

~~\mathrm{Hom}(\lambda_\bullet,\mathbb{C}^i_n)~~ ~~\mathrm{Hom}_\bullet(\lambda_\bullet,\mathbb{C}^i_\bullet) i variable~~ ~~i \mapsto \mathbb{C}^i_\bullet cosimplicial~~

K_{n-1} \underset{k^*}{\overset{\partial^*}{\rightleftarrows}} K_n \;\longmapsto\; \bigl(n\mapsto \mathrm{Hom}_\bullet(\mathbb{C}_\bullet^{[n]},\tilde\lambda_\bullet)\bigr) = \mathrm{Hom}_\bullet(C_\bullet{}^*,\tilde\lambda_\bullet), \qquad K^{n-1} \underset{k_*}{\overset{\partial_*}{\rightleftarrows}} K^n ~~\mathrm{Hom}(\lambda_\bullet,\ldots)~~

n \mapsto C_\bullet^{[n]} est un objet cosimplicial de \mathrm{Ab}_{k\bullet}, qui transformé par le foncteur contravariant \mathrm{Hom}_\bullet(-,\tilde\lambda_\bullet) à valeurs dans \mathrm{Ab}_k^\bullet, donne un objet simplicial de \mathrm{Ab}^\bullet_k (ou complexe de \mathrm{Ab}_k) dont le complexe associé est AD, on peut revenir que formule le AD en partant de \mathbb{C}_\bullet{}^* i.e. C_\bullet{}^\bullet.

(\mathbb{C}^i{}_*)_i \simeq C^\bullet_*, \qquad C^i_{[n]} = \Lambda^{i+1}k^{n+1} à côté : « produit ext. par les vecteurs de base de k^{n+1} » et, au-dessus, « pour degré i ». (\mathbb{C}_i{}^*)_i = \mathbb{C}_\bullet{}^* = (\mathbb{C}^\bullet_*)^\vee, \qquad \mathbb{C}_i{}^{[n]} \simeq C^i_{[n]}{}^\vee \simeq \Lambda^{i+1}k^{n+1} (produit int. par les pour ) (\mathbb{C}^i_\bullet)_i = C^\bullet_\bullet, \qquad C^i_j = \begin{cases} 0 & \text{si } j\neq i, i+1 \\ k & \text{si } j = i, i+1 \end{cases} (\mathbb{C}_i{}^\bullet)_i = C_\bullet{}^\bullet = C^\bullet_\bullet{}^\vee, \qquad C_i{}^j = C^i_j{}^\vee \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j\neq i, i+1 \\ k & \text{si } j\neq i, i+1 \end{cases} sic : la seconde condition répète « j\neq i,i+1 » pour « j = i,i+1 ». Rien n'indique que l'argument se poursuive au-delà du lot.