Cote n° 136 · batch 17 · pages 321–340 · Transcription · Complexe de De Rham à puissance divisée [conférence de 1976 à l’IHÉS] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1975-1976]
Édition de démonstration

321la page continue un calcul commencé avant le lot : la notation \(F_A\), \(u_p\), \(\Gamma^p\) est celle des pages précédentes.

\(\Gamma^p(f)\circ u_p\) \(\Gamma^p(g)\)

\[ \Gamma^p(F_A(X))\otimes\Gamma^q(F_A(X)) \longrightarrow F_A\Gamma^p(X)\otimes F_A\Gamma^q(X) \] \[ \Gamma^{p+q}F_A(X) \longrightarrow F_A\Gamma^{p+q}F(X) \] les deux lignes sont reliées par des flèches verticales ; le second membre de la seconde est surchargé et peu sûr.

\(f, g : A \rightrightarrows X\), \[ (\Gamma^p f\circ u_p)\otimes(\Gamma^q g\circ u_q), \qquad \bigl[((\Gamma^p f)\circ u_p)\otimes(\Gamma^q g\circ u_q)\bigr]\circ\Delta \] \(A\to\Gamma^pX\), \(A\to\Gamma^qX\), \(f^{(p)}\otimes g^{(p)}\)sic, \(g^{(p)}\) pour \(g^{(q)}\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
A \arrow[r, "\Delta"] \arrow[d] & A\otimes A \arrow[r, "{(\Gamma^p f\circ u_p)\otimes(\Gamma^q g\circ u_q)}"] & \Gamma^p(X)\otimes\Gamma^q(X) \arrow[d] \\
{} & {} & \Gamma^{p+q}(X)
\end{tikzcd}

Une flèche courbe de \(A\) vers \(\Gamma^{p+q}(X)\) porte : « définit \(f^{(p)}g^{(q)} \in \Gamma^{p+q}F_A(X)\) ».

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\Gamma^p(F_A(X))\otimes\Gamma^q(F_A(X)) \arrow[r] \arrow[d] & F_A\Gamma^p(X)\otimes F_A\Gamma^q(X) \arrow[d] \\
\Gamma^{p+q}F_A(X) \arrow[dr] & F_A(\Gamma^p(X)\otimes\Gamma^q(X)) \arrow[d] \\
{} & F_A(\Gamma^{p+q}(X))
\end{tikzcd}

avec \(f^{(p)}\otimes g^{(q)} \mapsto \Gamma^p(f)\circ u_p\otimes\Gamma^q(g)\circ u_q\), et à gauche \(f^{(p)}g^{(q)}\).

Il suffit de le voir […] \(X = Y = A\), \(f = g = \mathrm{id}\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
A \arrow[r, "\Delta"] & A\otimes A \arrow[r, "u_p\otimes u_q"] & \Gamma^p(A)\otimes\Gamma^q(A) \arrow[d] \\
{} & {} & \Gamma^{p+q}(A)
\end{tikzcd}

la flèche courbe de \(A\) vers \(\Gamma^{p+q}(A)\) « définit \((\mathrm{id}_A)^{(p)}(\mathrm{id}_A)^{(q)} \in \Gamma^{p+q}F_A(A)\) » i.e. \(\beta_{pq}(\mathrm{id}_A^{(p+q)})\), donc \(c_{p,q}\,u_{p+q}\). \[ 1^{(p)}1^{(q)} = c_{pq}\,1^{(p+q)} \] double trait vertical dans la marge gauche, en regard de la ligne suivante \[ \underbrace{\Gamma^*F(A)}_{\otimes\text{-anneau}} \longrightarrow \underbrace{F(\Gamma^*(X))}_{\otimes\text{-anneau}} \] car \(F\) commute à \(\otimes\).

322(1) \(\Longleftrightarrow\) (3) déjà vu.

(2) \(\Longleftrightarrow\) (3). La donnée d'homomorphismes fonctoriels \[ F_A \xrightarrow{u_p} G = F_A\circ\Gamma^p \] équivaut à la donnée d'un élément \[ u_p \in G(A) = \mathrm{Hom}(A,\Gamma^p(A)). \] Je laisse […] la compatibilité […] de (2). Les conditions \(f^{(0)} = 1\), \(f^{(1)} = f\) correspondent à \(u_0 = 1\), \(u_1 = \mathrm{id}\). La relation \((f+g)^{(p)} = \sum f^{(i)}g^{(j)}\) : il suffit de voir le cas universel \[ M = A\times A, \quad f = \mathrm{pr}_1, \quad g = \mathrm{pr}_2, \] \(f+g = \Delta : A \to A\times A = M\), \[ (f+g)^{(p)} = \Gamma^p(\Delta)\circ u_p \;:\; \Gamma^p(A) \longrightarrow \Gamma^p(M) \] des surcharges barrées dans les trois dernières formules ne sont pas lisibles.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
A \arrow[r, "u_p"] \arrow[d, "\Delta_A^{(p)}"'] & \Gamma^p(A) \arrow[r, "\Gamma^p(\Delta)"] & \Gamma^p(A\times A) \arrow[d, "\simeq"] \\
A\times\cdots\times A \arrow[rr] & {} & \sum_{i+j=p}\Gamma^iA\otimes\Gamma^jA
\end{tikzcd}

le produit \(A\times\cdots\times A\) porte « \(p\) » sous une accolade ; une flèche oblique entre parenthèses est marquée \(\Delta_{\Gamma^*A}\) ; sous la ligne du bas : « \(\mathrm{Gr}\; A \to \Gamma^i(A)\otimes\Gamma^j(A)\) ».

On trouve \[ \Gamma^p(\Delta)(u_p) = \sum_{i+j=p} u_i\otimes u_j . \]

323Deux questions de p.d. (anneaux commutatifs).

(1) Soient \(A\) une cogèbre associative commutative, \((B,J)\) une algèbre à idéal à p.d. (p.ex. \((\Gamma^*M,\Gamma^+M)\)). On sait que \(\mathrm{Hom}_k(A,M)\) a une structure d'anneau — même de \(k\)-algèbre, et \(\mathrm{Hom}_k(A,J)\) en est un idéal. (Si \(A\) est libre de type fini, on trouve l'anneau \(\check A\otimes B\) avec l'idéal \(\check A\otimes J\), qui a des p.d.) Cet idéal a-t-il des p.d. ?

(2) Prenons \(B = \Gamma^*A\), \(J = \Gamma^+A\), et soit \(u_1 \in \mathrm{Hom}_k(A,B)\) l'application identique \(A\to A\). Considérons les \(u_n = u_1^{(n)}\). Satisfont-ils \[ \gamma^A_{pq}\circ u_{pq} = \Gamma^p(u_q)\circ u_p \;? \] Sont-ils (pour \(n\), \(p\ge0\)) les seuls éléments satisfaisant cette relation, plus \(u_pu_q = c_{pq}u_{p+q}\), et pour lesquels \(u_1\) est comme dessus ?

(3) Soit \(A\) une algèbre augmentée (ass., comm.), \(B\) une cogèbre à coproduits divisés pour la coloi de \(B'\to B\) (noyau de coaugm.), p.ex. \(B = \mathrm{Sym}^*M\), prenons \(\mathrm{Sym}^*(0) = k\) … Donc sur \(\mathrm{Hom}_k(B,A)\) il y a une structure de p.d. relativement d'algèbre, à p.d. sur \[ \mathrm{Ker}\,\bigl(\mathrm{Hom}_k(B,A)\to\mathrm{Hom}_k(B',A)\bigr). \]

3243) Donnée d'une application (pour tt \(p\ge0\)) \[ \mathrm{Hom}_k(A,M) \xrightarrow{u_p} \mathrm{Hom}_k(A,\Gamma^pM) \] (⌜non⌝ linéaire) fonctorielle en \(M\), notée aussi faisons […] \[ f \longmapsto f^{(p)} \] et satisfaisant les relations \(f^{(0)} = 1\), \(f^{(1)} = f\), et \[ \begin{cases} (f+g)^{(p)} = \sum_{i+j=p} f^{(i)}g^{(j)} \\ (\lambda f)^{(p)} = \lambda^p f^{(p)} \quad (\text{automatique~!}) \end{cases} \] et …

4) Donnée d'une loi de p.d. sur \[ \mathrm{Hom}_k(A,\Gamma^+M) \subset \mathrm{Hom}_k(A,M) \] \(\forall M\), fonctorielle en \(M\), et telle que …

5) Loi à p.d. sur \((A\otimes\Gamma^+A)\) ⌜\(\mathrm{Hom}(A,\Gamma^+A)\)⌝ \(\subset \mathrm{Hom}(A,\Gamma^*A)\) (ann. commutatif).

6) Donnée, pour toute \(k\)-algèbre \(B\) (avec idéal \(J\) à p.d.), d'une loi de p.d. sur \[ \mathrm{Hom}_k(A,J) \subset \mathrm{Hom}_k(A,B), \] fonctorielle en \((B,J)\) …… double trait vertical dans la marge droite, en bas de page

325feuillet à l'encre bleue, écrit en travers, fait de calculs épars ; on transcrit les formules dans l'ordre approximatif de la page. Le sujet change : groupes \(Sl(2)\), classes d'Euler, connexions sur une courbe.

\(GL(2,\mathbb{R}) \to GP(\ldots)\) \[ \begin{array}{ccccccccc} 1 & \to & \mu_2 & \to & Sl(2,\mathbb{C}) & \to & GP(1,\mathbb{C}) & \to & 1 \\ & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \\ 1 & \to & \mu_2 & \to & Sl(2,\mathbb{R}) & \to & GP(1,\mathbb{R}) & \to & 1 \end{array} \] \(T_{\mathbb{C}}\), \(c_1\) ; \(E_1\), \(T^0_{\mathbb{R}} \simeq S^1 = SO(2,\mathbb{R})\), \(c_1\) ; \(\tfrac12 E_1 = E'_1\), \(\tfrac12 c_2 = c'_2\). \[ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}, \quad a^2+b^2 = 1, \qquad (a+ib)(a-ib) = 1, \quad \lambda\mu = 1, \] \[ a = \frac{\lambda+\mu}{2} = \frac12(\lambda+\lambda^{-1}), \qquad b = \frac{\lambda-\mu}{2i} = \frac1{2i}(\lambda-\lambda^{-1}). \] \[ \Omega\otimes\Omega, \qquad \mathbb{P}(\Omega+\Omega^{-1}), \qquad \Omega^{-1}\;\;\Omega^{-2} \,/\, \Omega,\;\mathcal{O}, \qquad \mathbb{P}^3, \qquad H^1(X,\Omega) \simeq \mathbb{C} \] \[ \cdots \to \Omega^{\otimes n} \to P^n_{X/k} \to P^{n-1}_{X/k} \to 0 \] \(Gl \to GP\), \(P \to P'\), \(\check E\), \(\mathcal{O}_X\) ; (n) épi \(E \to \mathcal{O}_X\) ; \[ E \longrightarrow E\otimes\Omega^1_{X/S}, \qquad E \to \mathcal{O}_X, \qquad \mathrm{Sym}^n\Omega^1 \to P^n_{X/k} \xrightarrow{D} L, \] \[ a_nf^{(n)} + \cdots + a_1 f^{(n-1)} \ldots, \qquad Df + \alpha f = 0, \qquad \mathcal{O}_X + P^{n+}_{X/k} \] […] plusieurs indices et la ligne \(a_nf^{(n)}+\cdots\) sont incertains ; le haut de la page est barré de deux traits obliques.

326\(X\) courbe alg. /\(\mathbb{C}\) projective lisse connexe de genre \(g\ge2\). Il y a sur \(X\) un fibré principal ⌜torseur⌝ canonique \(P\) de groupe \(GP(1)_{\mathbb{C}} = G'_{\mathbb{C}}\) à connexion intégrable (équivalente à structure de torseur), obtenu ainsi : \(\forall x\in X\), \(\tilde X(x)\) rev. universel de \(X\) en \(x\), \(\tilde X(x) \Longleftrightarrow\) […] ⌜demi-plan de⌝ Poincaré \(D\) ; l'ensemble des isos \(\mathrm{Iso}(D_0,(\tilde X(x),\tilde x))\) est un torseur à droite sous \(\mathrm{Aut}(D_0) \simeq\) \(GP(1)_{\mathbb{R}}\) \(G'_{\mathbb{R}}\), d'où par ext. un torseur à droite sous \(G'\), ⌜soit \(P_x\)⌝ […]. On voit que les \(P_x\) (\(x\in X(\mathbb{C})\)) sont les fibres d'un fibré principal […] ⌜torsoriel⌝ à structure plate (celui associé : \(\pi_1 \to G'_{\mathbb{R}} \subset G'_{\mathbb{C}}\)).

un disque hachuré marqué d'un point \(\tilde x\), dans un carré, avec une boucle qui en sort

N.B. \(\forall x\in X\), \(\exists\) une et une seule […] application analytique de \(\tilde X(x)\) dans \(T_x(X)\) dont a) l'image soit un disque, b) l'application tangente en \(\tilde x\) soit l'identité.

\[ \pi_1(X,x) \subset G' \subset G'_{\mathbb{C}}, \qquad \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}.z = , \qquad \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \] \(\deg\) \(T(x,q)\), \[ P(x,\rho q) = P(x,q)\wedge^{i_x(\rho)} G'_{\mathbb{C}}, \qquad \rho \in S^1_{\mathbb{C}} \subset G'_{\mathbb{C}}, \] \[ \begin{array}{ccc} S_{\mathbb{R}} & \subset & G'_{\mathbb{R}} \\ \cap & & \cap \\ S_{\mathbb{C}} & \subset & G'_{\mathbb{C}} \end{array} \qquad Q_{\mathbb{R}},\; P_{\mathbb{R}},\; Q_{\mathbb{C}},\; P_{\mathbb{C}}, \qquad \mathbb{C}^* \subset Gl(2,\mathbb{R}) \to Gl(2,\mathbb{C}) \] la dernière inclusion est mal lue ; le texte porte aussi \(P(x,q) \simeq P(x,x')\) et une flèche \(G'_{\mathbb{C}} \to G'_{\mathbb{C}}\) marquée \(i(\ldots)\).

\(E \to E\otimes\Omega\) (deux fois).

a) fibré inversible : \(\Omega^{-1}\) \(G_m \to GP_{\mathbb{C}}\)

b) fibré \(\mathbb{P}(\Omega^{-1}+\Omega)\) avec connexion intégrable.

\[ \begin{pmatrix} \Omega & 0 \\ \Omega^3 & \Omega \end{pmatrix} \] Encadré : Trouver une connexion intégrable (alg.) canonique sur \[ \mathbb{P}(\Omega^{-1}+\Omega) = \overline{V(\Omega^2)} \] \[ \Omega^{-1}\oplus\Omega \longrightarrow (\Omega^{-1}\oplus\Omega)\otimes\Omega = \Omega^0_X + \Omega^2 \] \((D,\omega) =\) […] \((\varpi,\Delta)\)

327\[ \begin{array}{ccc} \tilde G_d & \to & \tilde G \\ \vdots & & \vdots \\ \mathfrak{z}_d & \to & \mathfrak{z} \quad \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \\ G_d & \to & G = Sl(2,\mathbb{R}) \\ \downarrow & & \downarrow \\ G'_d & \to & G' = GP(1,\mathbb{R}) \\ \downarrow & & \downarrow \\ 1 & & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{c} \mathbb{Z} \\ \downarrow \\ \mathfrak{z} = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{array} \] lecture incertaine de \(G' = GP(1,\mathbb{R})\). \(\mathfrak{z}\) rend la lettre bouclée en forme de 3 par laquelle il note le noyau \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\). \[ H^4(B_G,\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z} \ni W, \qquad \uparrow \qquad \uparrow 2, \qquad H^2(B_{G'},\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z} \ni \tfrac12 W \] \(H^2(B_G,\mathbb{T})\) \(H^4(B_G,\mathfrak{z})\), \(\mathbb{Z}/2.2 = 0\) \[ H^2(B_{G'},\mathfrak{z}) \simeq \mathfrak{z} \ni \xi \] \[ \begin{array}{ccc} H^2(B_{G'},\mathfrak{z}) & & \\ \downarrow & & \\ H^2(B_{G'_d},\mathfrak{z}) & \xleftarrow{\;\sim\;} & H^2(B_{G'_d},\mathfrak{z}_d) \\ \downarrow & & \\ H^2(\pi,\mathfrak{z}) & & H^2(X,\mathfrak{z}) \end{array} \] \(\tfrac12 W = 2g-2\)

\[ \begin{array}{ccccc} \mathbb{Z} \simeq H^2(X,\mathbb{Z}) & \leftarrow & H^2(B_{G'},\mathbb{Z}) & \ni & W' \\ \downarrow & & \downarrow & & \\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \quad H^2(X,\mathfrak{z}) & \leftarrow & H^2(B_{G'},\mathfrak{z}) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \ni & y \\ \updownarrow 2 & & \downarrow & & \\ H^2(\pi,\mathfrak{z}) & \leftarrow & H^2(B_{G'_d},\mathfrak{z}) & & \end{array} \] le carré du haut porte « comm. » ; la flèche \(\updownarrow 2\) est telle qu'écrite.

À l'encre bleue : \[ 1 \to \mathfrak{z} \to G \to G' \to 1, \qquad H^2(B_{G'},\mathfrak{z}) \] \[ X \to B_{G'_d} \to B_{G'}, \qquad H^2(B_{G'}) \ni E' \simeq H^2(B_{T'}) \] \[ X \to B_\pi \to B_{G'} \leftarrow B_{T'}, \qquad \pi \hookrightarrow GP = G' \to S^1 = T' \] \[ \uparrow \qquad \uparrow \qquad Sl = G \to S^1 = T, \qquad E' \mapsto 2g-2 \sim g-1 \] \[ \mathbb{Z} \simeq H^2(X,\mathbb{Z}) \leftarrow H^2(\pi,\mathbb{Z}) \leftarrow H^2(B_{G'},\mathbb{Z}) \ni E' \] \[ \begin{array}{ccccccc} X & \to & B_\pi & \to & B_{G'} & \leftarrow & B_{T'} \\ & & & & \uparrow & & \uparrow \\ & & & & B_G & \leftarrow & B_T \end{array} \qquad \begin{array}{c} H^2(B_{T'},\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z} \ni E' = \tfrac12 E \\ \downarrow \\ H^2(B_T,\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z} \ni E \end{array} \] en marge à gauche : \(2g-2 \sim g-1\).

328retour au sujet des pp. 321–324, à l'encre noire.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
A \arrow[r, "u_{pq}"] \arrow[d, "u_p"'] & \Gamma^{pq}(A) \arrow[d, "\gamma^A_{pq}"] \\
\Gamma^p(A) \arrow[r, "\Gamma^p(u_q)"'] & \Gamma^p(\Gamma^q(A))
\end{tikzcd}

À droite : \(\Gamma^p\mathrm{Hom}(A,M) \to \mathrm{Hom}(A,\Gamma^pM)\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
A \arrow[r, "f"] \arrow[d, "u_p"'] & \Gamma^*M & {} \\
\Gamma^pA \arrow[r, "\Gamma^pf"'] & \Gamma^p(\Gamma^*M) \arrow[r] & \Gamma^*M
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
A \arrow[r, "f"] \arrow[d, "u_p"'] & J & {} \\
\Gamma^p(A) \arrow[r, "\Gamma^p(f)"'] & \Gamma^p(J) \arrow[r] & J
\end{tikzcd}

Les \(A\) munis de […] cocommutative, […] par le foncteur \(F_A(M) = \mathrm{Hom}_k(A,M)\), \[ \mathrm{Ab}_k \xrightarrow{\;F\;} \mathrm{Ab}_k \] […] d'une structure de quasi-commutation […] compatible avec […], comm.).

Conditions ⌜Données⌝ équivalentes.

(1) Donnée d'une quasi-commutation de \(F\) aux foncteurs \(\Gamma^p\), avec compatibilité aux \(\beta_{pq}\) (structure multiplicative de \(\Gamma\)) et aux \(\gamma_{pq}\) (structure […]), enfin avec condition de comp. en degré 0, 1.

(2) Donnée d'une famille d'éléments \[ u_p \in F_A(\Gamma^p(A)) \;:\; A \to \Gamma^p(A) \] satisfaisant \[ \begin{cases} u_pu_q = c_{pq}\,u_{p+q} \\ \Gamma^p(u_q)\circ u_p = \gamma^A_{pq}\circ u_{pq} \end{cases} \] […] d'un homomorphisme […] de \(k\)-alg. gr. divisées \[ k\{T\} \xrightarrow{\;u\;} \mathrm{Hom}(A,\Gamma^*(A)) \] sous \(\mathrm{Hom}(A,\Gamma^*(A))\), une accolade : « algèbre quasi-commutative […] de la cogèbre \(A\) et […] gradué de \(\Gamma^*(A)\) ». satisfaisant \[ \Gamma^p\bigl(u(T^{(q)})\bigr)\circ u(T^{(p)}) = \gamma^A_{pq}\,u(T^{(pq)}). \]

329\[ \begin{array}{c} \Gamma^p(\Gamma^q(X)) \\ \uparrow{\scriptstyle\gamma^X_{p,q}} \\ \Gamma^{pq}(X) \end{array} \qquad \begin{aligned} \Delta &: A \to A\otimes A \\ u_p &: A \to \Gamma^pA \end{aligned} \] \[ \beta^X_{p,q} : \Gamma^p(X)\otimes\Gamma^q(X) \longrightarrow \Gamma^{p+q}(X) \] \[ \alpha^{X,Y}_{pq} : \Gamma^p(X)\otimes\Gamma^q(Y) \xrightarrow{\;\sim\;} \Gamma^{2}(X\times Y) \] l'exposant du but est surchargé ; on lit, sous réserve, un \(2\). \[ F(X\otimes Y) \xleftarrow{\;\tau_{X,Y}\;} F(X)\otimes F(Y), \qquad F(\Gamma^p(X)) \xleftarrow{\;\sigma^X_p\;} \Gamma^pF(X) \] « ok ok »

la moitié inférieure de la page est traversée de quatre longs traits obliques et d'un trait presque vertical, qui semblent l'annuler ; elle est transcrite telle quelle.

Soit \(A\) algèbre sur un anneau \(k\) […], on définit une flèche can. […] \[ \mathrm{Sym}^*A \longrightarrow A \] […] restriction \[ \mathrm{Sym}^n(A) \xrightarrow{\;u_n\;} A \qquad (n\ge0) \] et on prendra \[ u_n(x_1\cdot x_2\cdots x_n) = \frac{1}{n!}\,x_1x_2\cdots x_n \] sous \(x_1\cdot x_2\cdots x_n\) : « produit dans \(\mathrm{Sym}^n(A)\) ». je dis que […] le diagramme \[ \begin{array}{ccc} \mathrm{Sym}^{p+q}A & \xrightarrow{\;c_{pq}u_{p+q}\;} & A \\ \downarrow{\scriptstyle\Delta} & & \uparrow{\scriptstyle\text{mult.\ de }A} \\ \mathrm{Sym}^p A\otimes\mathrm{Sym}^q A & \xrightarrow{\;u_p\otimes u_q\;} & A\otimes A \end{array} \] […] une […] can. de \((\Gamma^\alpha(A)\otimes A)^\wedge\) \(\Gamma^\alpha(V(A))\) \(\mathrm{Hom}(\mathrm{Sym}^*A, B)\) […] \[ = \Gamma^*(\check A)\otimes_k B \] […] \(\check A\otimes_k B\) ; \(\Gamma^\alpha(\check A)\otimes B\), p. ex. de \(A \xrightarrow{h} B\) \(k\)-lin. \(\mathrm{Sym}^*A\), \(\mathrm{Sym}^*(\) … la page s'arrête sur ce début de formule.

330Il suffit de […], […] […] […] fonctorielle en \(M\) : \(\mathrm{Hom}(A,M) \xrightarrow{u}\) seule ligne de la page, barrée par un trait ondulé ; le reste du feuillet est blanc.

331\[ \Gamma^\alpha F(X) \xrightarrow{\;u_\alpha\;} F\Gamma^\alpha X, \qquad \Gamma^pF(X) \xrightarrow{\;u_p\;} F\Gamma^p(X) \] \(x\in\) \(F(X) \to F\Gamma^p(X)\) (flèche marquée […]), \(x\in F(X)\), degré \(p\) \[ u_p\bigl(\gamma^p_{F(X)}(x)\bigr) = F(\gamma^p_X)(x), \qquad X \longrightarrow \Gamma^p(X) \;\; \text{degré } p \] \[ u_\alpha\bigl(\gamma^p_{F(X)}(x)\bigr) = F(\gamma^p_X) \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\Gamma^pF(X) \arrow[r, "u_p"] \arrow[d, "\xi\mapsto\xi^{(q)}"'] & F(\Gamma^p(X)) \arrow[d, "F(\eta\mapsto\eta^{(q)})"] \\
\Gamma^{pq}(F(X)) \arrow[r, "u_{pq}"'] & F(\Gamma^{pq}(X))
\end{tikzcd}

à gauche, une accolade relie \(\Gamma^pF(X)\) à \(\Gamma^q(\Gamma^pF(X))\), avec \(\xi\mapsto\gamma^q(\xi)\) ; un « & » suit le \(u_p\) en tête de ligne.

\[ u_p(\gamma^p(x)) = F(\gamma^p_x)(x) \] \[ F(\gamma^{q,p}_X)\bigl(F(\gamma^p_X)(x)\bigr) \] \[ F(\gamma^{q,p}_X\gamma^p_X)(x) \] \[ \begin{aligned} F(\alpha_{pq}\gamma^{pq}_X)(x) &= \alpha_{pq}F(\gamma^{pq}_X)(x) \\ &= \alpha_{pq}\,\ldots \\ &= u_{pq}(\alpha_{pq}\gamma^{pq}(x)) \\ &= u_{pq}\bigl(\gamma^{q,p}_{F(X)}(\gamma^p_{F(X)}(x))\bigr) \end{aligned} \] avec \[ \alpha_{pq} = \frac{(pq)!}{(p!)^q\,q!} \] […] \(=\) […] \[ u_\alpha\bigl(\gamma^{\alpha_1}(x_1)\cdots\gamma^{\alpha_n}(x_n)\bigr) \] \[ u(\lambda)^{pq}\,u\bigl(\alpha_{pq}x^{(pq)}\bigr), \qquad \lambda^{pq}\alpha_{pq}\,u(\ldots)^{(pq)}, \qquad u(x)^{\ldots}\,\alpha_{pq}\,u(x)^{[pq]} \] dans la deuxième expression, un argument barré illisible ; l'exposant de \(u(x)\) dans la troisième est illisible. Ces trois dernières expressions, au bas de la page, sont reliées par des signes \(=\) verticaux ; leur lecture est très incertaine.

332\[ u_\alpha\Bigl(\bigl(\textstyle\sum\xi_i\bigr)^{(q)}\Bigr) \overset{?}{=} \Bigl(\textstyle\sum u_\alpha(\xi_i)\Bigr)^{(q)} \] \[ u\Bigl(\textstyle\sum \xi_1^{(q_1)}\cdots\xi_r^{(q_r)}\Bigr) = \textstyle\sum u(\xi_1)^{(q_1)}\cdots u(\xi_r)^{(q_r)} \] On se ramène à prouver que \[ u_\alpha\bigl(\xi_i^{(q_i)}\bigr) = u_\alpha(\xi_i)^{(q_i)} \] pour les monômes, […] \(q\) ; tels monômes […] \[ \xi_i = x_1^{(p_1)}\cdots x_r^{(p_r)} \] \[ u_\alpha\Bigl(\bigl(x_1^{(p_1)}\cdots x_r^{(p_r)}\bigr)^{(q)}\Bigr) \overset{?}{=} u_\alpha\bigl(x_1^{(p_1)}\cdots x_r^{(p_r)}\bigr)^{(q)} \] où \[ \bigl(x_1^{(p_1)}\cdots x_r^{(p_r)}\bigr)^{(q)} = \bigl(x_1^{(p_1)}\cdots x_{r-1}^{(p_{r-1})}\bigr)^{q}\bigl(x_r^{(p_r)}\bigr)^{q} \] \[ u_\alpha\Bigl(\bigl(x_p^{(p)}\bigr)^{(q)}\Bigr) = u\bigl(\alpha_{pq}x^{(pq)}\bigr) \] \(u(\ldots)=\) \[ u\bigl((x^{(p)})^{(q)}\bigr) = u(x^{(p)})^{(q)}, \qquad F(\gamma^p_\alpha)(x) = x^{(p)} \]

\(A \xrightarrow{u} B\), \(u\) compatible avec […] ? \(\check J \to \check K\), \(u(\ldots)\) \((x_i)_{i\in I}\) engendrant par les \(x_i\) comme idéal à p.d., i.e. comme module engendré par les \[ x_i^{(p)} \qquad (p\ge1) \] Si \(u(x_i^{(p)}) = u(x_i)^{(p)}\) ok. \[ u\Bigl(\bigl(\textstyle\sum\lambda_ix_i^{(p_i)}\bigr)^{(q)}\Bigr) \overset{?}{=} \Bigl(u\bigl(\textstyle\sum\lambda_ix_i^{(p_i)}\bigr)\Bigr)^{(q)} \qquad (\xi_i = \lambda_ix_i^{(p_i)}) \] \[ u\Bigl(\textstyle\sum\xi_1^{(q_1)}\cdots\xi_r^{(q_r)}\Bigr) = \textstyle\sum u(\xi_1)^{(q_1)}\cdots u(\xi_r)^{(q_r)}, \] il suffit \(u(\xi_i^{(q_i)}) = u(\xi_i)^{(q_i)}\).

OPS. \(x = \lambda x_i^{(p)}\), \[ u\bigl(x^{(q)}\bigr) = u(x)^{(q)}, \qquad u\bigl(\lambda^q(x_i^{(p)})^{(q)}\bigr) = u(\lambda)^q\bigl(u(x_i)^{(p)}\bigr)^{(q)} \]

333Plus généralement, si \(A \supset J\) est un idéal, revient à se donner […] \(F(J) \to F(A)\) injectif dans \(F(J)\), à p.d. dans \(F(A)\) ? \(F(J) \xrightarrow{\deg p} F(J)\) oui, en transformant \(J \xrightarrow{\gamma^p} J\). […] Il faut donner la valeur \((x+y)\) \[ x,y\in F(J) \Longrightarrow (x+y)^{(p)} = \textstyle\sum x^{(i)}y^{(j)}\;? \quad (\deg p) \] \(x,y\in\) \(u\) \[ \mathcal{P} \xrightarrow{\;F\;} \mathcal{P}' \] commutant aux produits tensoriels, commutant aux produits et aux degrés partiels, bidegrés 1,1.

Lemme ⌜il⌝ : \(A\), \(J\), \(J \to A\), \(A\times A \to A\), \(A\otimes J \to J\) ;

\(A\) \(k\)-algèbre assoc. commutative avec 1,

\(J\) module assoc. comm. sans 1,

\(A\) opérant sur \(J\), et \((\lambda x)y = x(\lambda y) = \lambda xy\),

\(J \xrightarrow{\;i\;} A\) hom. de \(A\)-modules (\(i(xy) = i(x)i(y)\), \(i(\lambda x) = \lambda i(x)\)),

\(k \to \mathrm{Hom}(\mathcal{O},A)\) hom. d'anneaux. \[ \gamma^p : J \to J \quad (p\ge1) \;\; \text{de degré } p, \qquad \gamma^0 : J \to A \] \[ \begin{aligned} \gamma^0 &= 1 \\ \gamma^1 &= \mathrm{id}_J \\ \gamma^p(x+y) &= \textstyle\sum \gamma^ix\,\gamma^jy \\ \gamma^p(\lambda x) &= \lambda^p\gamma^p(x) \\ \gamma^p(x)\gamma^q(x) &= c_{pq}\gamma^{p+q}(x) \\ \gamma^p(\gamma^q(x)) &= \frac{(pq)!}{(p!)^q\,q!}\,\gamma^{pq}(x) \end{aligned} \] après \(\gamma^p : J\to J\), un mot barré illisible. Transformation naturelle \[ \Gamma^*F(X) \longrightarrow F\,\Gamma^*(X) \]

334\[ \Gamma^pF(X) \xrightarrow{\;u^X_p\;} F(\Gamma^p(X)) \] \[ x\in F(X) \longmapsto x^{(p)} = u^X_p(\gamma^p(x)) \] \[ u^X_* : \Gamma^*F(X) \longrightarrow F(\Gamma^*(X)) \] hom. d'algèbres sous \(\Gamma^*(X)\) : « algèbre car \(F\) compatible à \(\otimes\) donc transforme alg. en alg. ». \[ \begin{array}{c} F(P)\otimes F(Q) \\ \downarrow \\ F(P\otimes Q) \to F(R) \end{array} \] calcul […] ⌜implique⌝ pour \[ (x+y)^{(p)} = \sum_{i+j=p} x^{(i)}y^{(j)} \] \[ u_*\bigl(\gamma_p(x+y)\bigr) = \sum_i u_*\bigl(\gamma_i(x)\gamma_j(y)\bigr) = \sum u(\gamma_i(x))\,u(\gamma_j(y)) = \sum x^{(i)}y^{(j)} \] \[ (\lambda x)^{(p)} = \lambda^px^{(p)} : \] \[ u^X_p\gamma^p(\lambda x) = u^X_p\bigl(\lambda^p\gamma^p(x)\bigr) = \lambda^pu^X_p(\gamma^p(x)) = \lambda^px^{(p)} \] \[ x^{(p)}x^{(q)} = c_{pq}\,x^{(p+q)}\;? : \] \[ u_*\gamma^p(x)\,u_*\gamma^q(x) = u_*\bigl(\gamma^p(x)\gamma^q(x)\bigr) = c_{pq}\,u\gamma^{p+q}(x) = c_{pq}\,x^{(p+q)} \]

À l'encre bleue : \[ \mathbb{1} \longrightarrow F(\mathbb{1}), \qquad \Gamma^*F(X) \longrightarrow F\,\Gamma^*(X), \qquad F(X) \xrightarrow{\;\mathrm{id}\;} F(X) \] multiplicatif, […] foncteur […] p.d. ?

\(F\,\Gamma^*(X)\) est-il à p.d. ?

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\Gamma^pF(X) \arrow[r, "u^{F(X)}_p"] \arrow[d, "\gamma^q_{\Gamma^pF(X)}"'] & F\Gamma^p(X) \arrow[d, "F(\gamma^q_{\Gamma^p(X)})"] \\
\Gamma^q\Gamma^pF(X) \arrow[d] & F(\Gamma^q\Gamma^p(X)) \\
\Gamma^{qp}F(X) & {}
\end{tikzcd}

Gribouillis

le mot « Gribouillis », souligné, est seul sur la p. 335, de sa main ; il sert de titre aux feuillets suivants.

336\[ \begin{array}{ccccc} & & \Lambda^n\Psi_* & \longrightarrow & \Lambda^{n+1}\Phi_* = C^n_* \\ & & \uparrow & & \uparrow \\ \Lambda^{n-1}\Psi_* & \xrightarrow{\;T_\wedge\;} & \Phi_*\otimes\Lambda^{n-1}\Psi_* & \longrightarrow & \Lambda^n\Phi_* = C^{n-1}_* \\ \uparrow & & \uparrow & & \uparrow \\ \Phi_*\otimes\Lambda^{n-2}\Psi_* & \longrightarrow & \Gamma^2\Phi_*\otimes\Lambda^{n-2}\Psi_* & \longrightarrow & \Lambda^{n-1}\Phi_* = C^{n-2}_* \end{array} \] la flèche \(T_\wedge\) porte en dessous « mono » ; sous la deuxième ligne on lit \((\Lambda^n\Phi_*)^{\binom n2}\), sous la troisième une expression \((\Lambda^n\Phi_*+\Phi\Lambda^{\ldots}\Phi_*)^{\ldots}\) dont les exposants sont illisibles. \[ (N+1)\binom{N}{n-1} = \frac{(N+1)N\cdots(N-n+2)}{(n-1)!} = n\binom{N+1}{n} \] \[ \frac{(N+1)(N+2)}{2}\binom{N}{n-2} = \frac{(N+2)(N+1)N\cdots(N-n+3)}{n!}\,\frac{n(n-1)}{2} = \binom{N+2}{n}\frac{n(n-1)}{2} \] au-dessus du numérateur : « \(n\) facteurs ». \[ \mathrm{rg}\bigl(\Gamma^p\Phi_{(N)}\otimes\Lambda^q\Psi_{(N)}\bigr) = \frac{(N+1)(N+2)\cdots(N+p)}{p!}\cdot\frac{N(N-1)\cdots(N-q+1)}{q!} \] \[ = \frac{(N+p)\cdots(N-q+1)}{(p+q)!}\,\frac{(p+q)!}{p!\,q!} = c_{pq}\binom{N+p}{p+q} \] \[ (\tau P)(N) = P(N+1) \] \[ \begin{aligned} \tau\varphi_r &= \varphi_r + \varphi_{r-1} \\ \tau^2\varphi_r &= \tau\varphi_r + \tau\varphi_{r-1} = \varphi_r + \varphi_{r-1} + \varphi_{r-1} + \varphi_{r-2} = \varphi_r + 2\varphi_{r-1} + \varphi_{r-2} \\ \tau^3\varphi_r &= \varphi_r + \varphi_{r-1} + 2\varphi_{r-1} + 2\varphi_{r-2} + \varphi_{r-2} + \varphi_{r-3} \\ &= \varphi_r + 3\varphi_{r-1} + 3\varphi_{r-2} + \varphi_{r-3} \\ \tau^p\varphi_r &= \varphi_r + p\,\varphi_{r-1} + \binom p2\varphi_{r-2} + \cdots + \varphi_{r-p} \\ \tau^{p-1}\varphi_{p+q} &= \varphi_{p+q} + \binom{p-1}{1}\varphi_{p+q-1} + \cdots + \varphi_{q+1} \end{aligned} \] \[ c_{p,q}\Bigl(\Lambda^{p+q}\Phi_* + (p-1)\Lambda^{p+q-1}\Phi_* + \binom{p-1}{2}\Lambda^{p+q-2}\Phi_* + \cdots + \Lambda^{q+1}\Phi_*\Bigr) \] À droite : Mais \[ \varphi_{p+q}(N+p) = \varphi_{p+q}(N+p-1) + \varphi_{p+q-1}(N+p-1) \] \[ = \varphi_{p+q}(N+p-1) + 2\varphi\ldots \] \[ = c_{pq}\,\tau^{p-1}\varphi_{p+q}(N+1) \] la deuxième ligne est inachevée ; quelques essais barrés à côté ne sont pas lisibles.

337feuillet écrit en travers, à l'encre bleue ; formules disposées autour de deux hexagones de flèches. On les transcrit dans l'ordre de lecture.

\(\mathrm{Hom}^!(\Delta^m,\Delta^n) =\) ens. des applications croissantes \(\Delta^m \to \Delta^n\) \([0,n]\) dont l'image ne soit pas contenue […] \(\Delta^n\) ([…]) ou \([0,n-1]\).

hexagone de flèches reliant \(\mathbb{C}^*_*\), \(\mathbb{C}^\bullet_*\), \(\mathbb{C}^*_\bullet\) et \(\mathbb{C}^\bullet_\bullet\) \[ \begin{cases} \mathbb{C}^*_{[n]} = \mathbb{C}^*(\Delta^n_*) = k_*(\Delta^n_*) = k^{\Delta^n_*} \\ \mathbb{C}^{[m]}_* = p_{m*}(k) = \bigl(n\mapsto k^{\mathrm{Hom}_\Delta(\Delta^m,\Delta^n)}\bigr) \end{cases} \] \[ \mathbb{C}^\bullet_* = \Lambda^{\bullet+1}\Phi_* \quad \begin{cases} \mathbb{C}^\bullet_{[n]} = \mathbb{C}^\bullet(\Delta^n) = \Lambda^{\bullet+1}k^{\Delta^n} \\ \mathbb{C}^m_* = \Lambda^{m+1}\Phi_* \end{cases} \] \[ \mathbb{C}^{(m)}_{[n]} = k^{\mathrm{Hom}_\Delta(\Delta^m,\Delta^n)}, \qquad \mathbb{C}^{[m]}_n = k^{\mathrm{Hom}^!(\Delta^m,\Delta^n)} \] \[ \mathbb{C}^m_{[n]} = \Lambda^{m+1}k^{\Delta^n} = k^{\mathrm{Inj}_\Delta(\Delta^m,\Delta^n)} \quad (\text{nul si } m>n,\; = k \text{ si } m=n) \] des flèches entre ces objets portent « isomorphisme si \(m=0\) », « fact. dir. can. », « nul si \(n>m+1\) ; \(= k\) si \(n=m+1\) », « iso si \(n\le m+1\) », « iso si \(m\ge n\) » (ce dernier barré). \[ \mathbb{C}^m_n = \begin{cases} 0 & \text{si } n\neq m, m+1 \\ k & \text{si } n = m \text{ ou } n = m+1 \end{cases} \] alors \(\mathbb{C}^m_{[m]} = \Lambda^{m+1}k^{m+1} \simeq k\), \(\mathbb{C}^m_{[m+1]} = \Lambda^{m+1}k^{m+2} \simeq k^{m+2}\) et […] l'injection diagonale […]. \[ \mathbb{C}^m_\bullet \simeq k \text{ en degrés } m, m+1 \quad (\text{dans } (K_\bullet) ;\; \text{complexe de cochaînes } C^\bullet_\bullet) \] \[ \mathbb{C}^\bullet_m \simeq \begin{cases} k \text{ en degrés } m, m-1 & (m\ge1) \\ k \text{ en degré } 0 & \text{si } m = 0 \end{cases} \] \[ \mathrm{Hom}_*(X_*,\mathbb{C}^{[i]}_*) \simeq \mathbb{C}^{[i]}(X_*) \simeq k^{X_{[i]}} = \mathrm{Hom}_{\mathrm{ens}}(X_{[i]},k) \] \[ \mathrm{Hom}_*(X_*,\mathbb{C}^i_*) \simeq \mathrm{Hom}(X_*,\Lambda^{i+1}\Phi_*) = \mathbb{C}^i(X_*) \] sous-module de \(\mathbb{C}^{[i]}\) \[ \mathbb{C}_*(X_*) \overset{\mathrm{def}}{=} k(X_*) = k^{(X_*)} = \bigl(n\mapsto k(X_{[n]})\bigr) = k^{(X_{[n]})} \] \[ \mathbb{C}^*(X_*) \simeq \mathbb{C}_*(X_*)^\vee = \bigl(n\mapsto (k^{(X_{[n]})})^\vee = k^{X_{[n]}}\bigr) \] donc \[ \mathbb{C}_\bullet(X_*) \subset \mathbb{C}_*(X_*),\;\ldots \qquad \mathbb{C}^\bullet(X_*) \simeq \mathbb{C}_\bullet(X_*)^\vee, \qquad \mathbb{C}_\bullet(X_*) \simeq \mathrm{ND}(\mathbb{C}_*(X_*)) \] sous la dernière inclusion : « fact. dir. can. ».

second hexagone, dual du premier \[ \mathbb{C}_*{}^* = \mathbb{C}^*_*{}^\vee, \qquad \mathbb{C}_\bullet{}^* = \mathbb{C}^\bullet_*{}^\vee = (\Lambda^{\bullet+1}\Phi_*)^\vee, \qquad \mathbb{C}_*{}^\bullet = \mathbb{C}^*_\bullet{}^\vee, \qquad \mathbb{C}_\bullet{}^\bullet = \mathbb{C}^\bullet_\bullet{}^\vee \] (\(\mathbb{C}_m^\bullet = k\) en deg. \(m, m+1\)) (dans \((K_\bullet)\) ; \(\mathbb{C}_\bullet\) complexe de chaînes […]) \[ \mathbb{C}_\bullet{}^n = \begin{cases} k \text{ en degrés } n, n-1 & (n\ge1) \\ k \text{ en degré } 0 & (n=0) \end{cases} \]

338À tout \(X_* \in \mathrm{Ob}\,\hat\Delta = \mathrm{Ob}\,\mathrm{Ss}\), on associe le foncteur \[ F_{X_*} : M_* \longmapsto \mathrm{Hom}_{\hat\Delta}(X_*,M_*) \simeq \mathrm{Hom}_{\hat\Delta_{k\text{-}\mathrm{lin}}}(k[X_*],M_*) \in \mathrm{Ab}_k \] \[ k[X_*] = \lambda_* = C_*(X_*), \qquad n \longmapsto C_{[n]}(X_*) = k[X_{[n]}] = k^{(X_n)} \] \[ \Bigl(F_{X_*} \in \underline{\mathrm{Hom}}_{k\text{-}\mathrm{lin}}(\mathrm{Ab}_*,\mathrm{Ab}_k)\Bigr) \simeq G_{(\lambda_*)}(M_*), \qquad G_{\lambda_\bullet}(M_\bullet) \] La donnée d'un tel foncteur \(F\) \(k\)-lin. exact à gauche, […] on a \[ F(\mathbb{C}^\bullet_*) \in \mathrm{Ab}^\bullet_k, \qquad F(\mathbb{C}^\bullet_*) = \bigl(i\mapsto F(\mathbb{C}^i_*)\bigr) \in \mathrm{Ab}_k \] On a \[ F_{X_*}(\mathbb{C}^i_*) \simeq \mathbb{C}^i(X_*) = k^{X_{[i]}} \;\simeq\; \mathbb{C}_i(X_*)^\vee \] (cochaînes non dég.) entouré : plus gén., \(G_{\lambda_*}(\mathbb{C}^i_*) \simeq \lambda_i^\vee\), \(= G_{\lambda_\bullet}(\mathbb{C}^\bullet)\) \[ F_{X_*}(\mathbb{C}^\bullet_*) \simeq \mathbb{C}^\bullet(X_*) \] \(=\) complexe des cochaînes non dégénérées sur \(X_*\) Ex. \(X_* = \Delta^n_*\), \(F_{\Delta^n_*}(M_*) \simeq M_{[n]}\), \[ \mathbb{C}^\bullet(\Delta^n) \simeq (\mathbb{C}^i_{[n]})_i = \Lambda^{*+1}k^{\Delta^n} = \bigl(m\mapsto k^{\mathrm{Hom}^!(\Delta^m,\Delta^n)}\bigr) \] On s'intéressera, pour \(X_*\) fixe, à \[ \mathrm{Hom}(F_{X_*},F_{\Delta^n_*}) \simeq \mathrm{Hom}_\bullet\bigl(\mathbb{C}^\bullet(X_*),\mathbb{C}^\bullet(\Delta^n)\bigr), \qquad \lambda^\vee_\bullet, \quad \Lambda^{*+1}k^{\Delta^n} = \mathbb{C}^\bullet_{[n]} \] \[ \simeq \mathrm{Hom}(\mathbb{C}^\bullet_{[n]},\lambda^{\vee\vee}_\bullet) \;\overset{!}{\simeq}\; (\lambda^{\vee\vee}_\bullet)_{[n]} = \lambda_{[n]}^{\vee\vee} = k[X_{[n]}]^{\vee\vee} \] \(\mathrm{Hom}(G_{\lambda_*},G_{\mathbb{C}_*(\Delta^n)})\) \(u \mapsto F(u)\), \(\lambda_* = \mathbb{C}_*[X]\) \[ k[X_n] \longleftarrow \mathrm{Hom}(\Delta^n,X_*) \simeq X_n \] \(K = \mathrm{Ab}_{k*}\) Avons […] […] diagramme commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X_{[n]} \simeq \mathrm{Hom}(\Delta^n_*,X_*) \arrow[d] \arrow[drr] & {} & {} \\
k[X_{[n]}] \arrow[d, "\text{iso si } X_n \text{ fini}"'] & {} & {} \\
k[X_{[n]}]^{\vee\vee} & {} & \mathrm{Hom}(F_{X_*},F_{\Delta^n_*}) \arrow[ll, "\sim"']
\end{tikzcd}

\[ \mathrm{Hom}(F_{X_*},F_{\Delta^n_*}) \simeq \mathrm{Hom}_\bullet\bigl(\mathbb{C}^\bullet(X_*),\mathbb{C}^\bullet(\Delta^n_*)\bigr) \] (\(\mathrm{Hom}(\ldots)\)) \[ \Bigl(\mathrm{Hom}_\bullet\bigl(\Lambda^{*+1}k^{\Delta^n},\mathbb{C}^\bullet(X_*)^\vee\bigr) \simeq \mathrm{Hom}\bigl(\mathbb{C}^\bullet(X_*),\Lambda^{*+1}k^{\Delta^n}\bigr)\Bigr) \] Faisons en particulier \(X_* = \Delta^m_*\), on trouve donc \[ \begin{array}{ccc} \Delta^m_{[n]} = \mathrm{Hom}(\Delta^n,\Delta^m) & \simeq & \mathrm{Hom}(\Delta^n_*,\Delta^m_*) \\ \downarrow & & \downarrow \\ k(\Delta^m_{[n]}) & \xrightarrow{\;\sim\;} & \mathrm{Hom}(F_{\Delta^m_*},F_{\Delta^n_*}) \simeq \end{array} \] la formule s'interrompt au bas de la page ; elle reprend p. 339.

339\[ k^{\mathrm{Hom}(\Delta^m,\Delta^n)} \longleftarrow k^{\mathrm{Hom}(\Delta^m,\Delta^{n-1})} \] \[ C^\bullet_{[n]} = \Lambda^{\bullet+1}\Phi_{[n]} = \Lambda^{\bullet+1}k^{\Delta^n} \longleftrightarrow \lambda^\bullet \] \[ C_\bullet^{[n]} = \Lambda^{\bullet+1}\check\Phi_{[n]} = \Lambda^{\bullet+1}k^{\Delta^n} \longrightarrow \lambda_\bullet \] \[ C_*^{[n]} \longrightarrow \lambda_*, \qquad \mathbb{C}^*_{[n]} = \mathbb{C}^*(\Delta^n_*) \] \[ C_*^{[n]} = \mathbb{C}^*(\Delta^n_*)^\vee = \mathbb{C}_*(\Delta^n_*) = k[\Delta^n_*], \qquad \mathbb{C}^\bullet_{[n]} \to K^\bullet, \quad \mathbb{C}^*_{[n]} \to K^* \] \[ \mathrm{Hom}_k(k[\Delta^n_*],\lambda_*) = \mathrm{Hom}(\Delta^n_*,\lambda_*) = \lambda_{[n]} \] prenons \(\lambda^\bullet = \mathbb{C}^\bullet(\Delta^m_*) \simeq \Lambda^{1+\bullet}k^{\Delta^m}\). \[ \mathrm{Hom}^\bullet\bigl(\Lambda^{1+\bullet}k^{\Delta^m},\Lambda^{1+\bullet}k^{\Delta^n}\bigr) = \mathrm{Hom}^\bullet(C^\bullet_{[m]},\lambda^\bullet) \] sous les deux arguments : « avec produit ext. ». \[ \mathrm{Hom}_\bullet\bigl(\Lambda^{1+\bullet}k^{\Delta^m},\Lambda^{1+\bullet}k^{\Delta^n}\bigr) \simeq \mathrm{Hom}_\bullet(C_\bullet^{[m]},\lambda_\bullet) \] sous les deux arguments : « avec prod. int. ». \[ \simeq \quad \lambda_{[n]} = \mathbb{C}_{[n]}(\Delta^m_*) = \mathbb{C}^{[n]}(\Delta^m_*)^\vee \] \(= \bigl(k^{\mathrm{Hom}(\Delta_n,\Delta_m)}\bigr)^\vee\) \[ \simeq k^{(\mathrm{Hom}(\Delta_n,\Delta_m))} \] \[ k^{\mathrm{Hom}(\Delta_n,\Delta_m)} \longrightarrow \mathrm{Hom}_k\bigl((k^{\Delta_m},T_m),(k^{\Delta_n},T_n)\bigr) \] pas bijectif ! \[ \searrow\;?\quad \mathrm{Hom}\bigl(\Lambda^{\bullet\bullet}k^{\Delta_m},\Lambda^{\bullet\bullet}k^{\Delta_n}\bigr) \] une longue flèche relie l'expression \(\simeq k^{(\ldots)}\) au \(\mathrm{Hom}_\bullet\) avec produit intérieur.

340\[ L_\bullet \longmapsto \mathrm{Hom}(\lambda_\bullet,L_\bullet) \] \[ \mathrm{Hom}(\lambda_\bullet,\mathbb{C}^i_\bullet) \simeq \lambda_i^\vee, \qquad \mathrm{Hom}(\lambda_\bullet,\mathbb{C}^\bullet_\bullet) \simeq \lambda^\vee_\bullet \] \[ \mathrm{Hom}\bigl(\lambda^\vee_\bullet,\Lambda^{*+1}k^{\Delta_n}\bigr) \simeq \mathrm{Hom}_\bullet\bigl(\mathbb{C}^{\bullet\vee}_{[n]},\lambda^{\vee\vee}_\bullet\bigr), \qquad \Lambda^{*+1}k^{\Delta_n} = \mathbb{C}^\bullet_n, \quad \mathbb{C}^{\bullet\vee}_{[n]} = C_\bullet^{[n]}, \quad \lambda^{\vee\vee}_\bullet = \lambda_\bullet \] […] ⌜\(k\)-module⌝ à simplicial pour une variable

\[ \begin{array}{ccc} C_i{}^n = \Lambda^{n+1}k^n & & \\ \downarrow{\scriptstyle\partial^*_*} & & \\ C_i{}^n & \longrightarrow & \tilde\lambda_i \\ \| & & \downarrow{\scriptstyle d_i} \\ \Lambda^{i+1}k^{n+1} & & \\ \downarrow & & \\ C_{i-1}{}^n & \longrightarrow & \tilde\lambda_{i-1} \end{array} \] la seconde flèche verticale de gauche est marquée « produit intérieur par \(T_n\) » ; entre les colonnes : « comm. ».

\(\mathrm{Hom}(\lambda_\bullet,\mathbb{C}^i_n)\) \(\mathrm{Hom}_\bullet(\lambda_\bullet,\mathbb{C}^i_\bullet)\) \(i\) variable \(i \mapsto \mathbb{C}^i_\bullet\) […] cosimplicial

\[ K_{n-1} \underset{k^*}{\overset{\partial^*}{\rightleftarrows}} K_n \;\longmapsto\; \bigl(n\mapsto \mathrm{Hom}_\bullet(\mathbb{C}_\bullet^{[n]},\tilde\lambda_\bullet)\bigr) = \mathrm{Hom}_\bullet(C_\bullet{}^*,\tilde\lambda_\bullet), \qquad K^{n-1} \underset{k_*}{\overset{\partial_*}{\rightleftarrows}} K^n \] \(\mathrm{Hom}(\lambda_\bullet,\ldots)\)

\(n \mapsto C_\bullet^{[n]}\) est un objet cosimplicial de \(\mathrm{Ab}_{k\bullet}\), qui transformé par le foncteur contravariant \(\mathrm{Hom}_\bullet(-,\tilde\lambda_\bullet)\) à valeurs dans \(\mathrm{Ab}_k^\bullet\), donne un objet simplicial de \(\mathrm{Ab}^\bullet_k\) (ou complexe de \(\mathrm{Ab}_k\)) dont […] le complexe associé est AD, […] on peut revenir […] que […] formule le AD en partant de \(\mathbb{C}_\bullet{}^*\) i.e. \(C_\bullet{}^\bullet\).

\[ (\mathbb{C}^i{}_*)_i \simeq C^\bullet_*, \qquad C^i_{[n]} = \Lambda^{i+1}k^{n+1} \] à côté : « produit ext. par les vecteurs de base de \(k^{n+1}\) » et, au-dessus, « pour degré \(i\) ». \[ (\mathbb{C}_i{}^*)_i = \mathbb{C}_\bullet{}^* = (\mathbb{C}^\bullet_*)^\vee, \qquad \mathbb{C}_i{}^{[n]} \simeq C^i_{[n]}{}^\vee \simeq \Lambda^{i+1}k^{n+1} \] (produit int. par les […] pour […]) \[ (\mathbb{C}^i_\bullet)_i = C^\bullet_\bullet, \qquad C^i_j = \begin{cases} 0 & \text{si } j\neq i, i+1 \\ k & \text{si } j = i, i+1 \end{cases} \] \[ (\mathbb{C}_i{}^\bullet)_i = C_\bullet{}^\bullet = C^\bullet_\bullet{}^\vee, \qquad C_i{}^j = C^i_j{}^\vee \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j\neq i, i+1 \\ k & \text{si } j\neq i, i+1 \end{cases} \] sic : la seconde condition répète « \(j\neq i,i+1\) » pour « \(j = i,i+1\) ». Rien n'indique que l'argument se poursuive au-delà du lot.