Cote n° 136, pages 301–320

Cote n° 136 · batch 16 · pages 301–320 · Transcription · Complexe de De Rham à puissance divisée [conférence de 1976 à l’IHÉS] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1975-1976]
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Les pages 301 à 317 forment une suite paginée par l'auteur de 1 à 17, qui commence avec ce lot ; elle ne semble pas reprendre un argument du lot précédent. La p. 317 s'achève sur la fin d'un paragraphe ; on ne sait pas si la suite continue au-delà

301folio de l'auteur (1) ; numéro au crayon des archivistes : 303. Une nouvelle suite paginée par l'auteur commence ici $\Delta$ = cat. des simplexes $\Delta^{n}$ ($n \geqslant 0$) $\Delta^{n} = [0, n] \subset \mathbb{N}$ avec rel. d'ordre totale

$\widehat{\Delta} = \mathcal{S}s = \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta^{\circ}, (\mathrm{Ens})) = \mathrm{Ens}_{*}$

Plus généralement, si $\mathcal{A}$ est une catégorie, on pose \[\mathcal{A}_{*} = \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta^{\circ}, \mathrm{Ens}), \qquad \mathcal{A}^{*} = \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta, \mathrm{Ens})\] « $\mathrm{Ens}$ » tel quel dans ces deux formules, là où l'on attend $\mathcal{A}$ donc \[(\mathcal{A}^{\circ})^{*} = (\mathcal{A}_{*})^{\circ}, \qquad \mathcal{A}^{*} \simeq ((\mathcal{A}^{\circ})_{*})^{\circ}\] où l'exposant $\circ$ désigne la ⌜[…]⌝ cat. opposée.

La notation $\widehat{\Delta}$ peut être utilisée de préf. quand on veut garder à l'esprit la nature algébrique très particulière de ce topos, la notation $\mathcal{S}s$ quand on veut l'oublier au profit de sa signification topologique.

Les objets de $\mathcal{A}_{*}$ (resp. $\mathcal{A}^{*}$) sont considérés comme des structures algébriques de type simple (sur une infinité d'objets de base) dans $\mathcal{A}$, les « objets semi-simpliciaux » resp. « semi-cosimpliciaux ». On écrit $\mathrm{Ens}_{*}$ quand on a en vue cet aspect, et $\widehat{\Delta}$ ⌜ou $\mathcal{S}s$⌝ (quand on a plutôt le p[oin]t de vue « objet d'un topos » ou « faisceau sur un topos »). Tous les développements qui suivent ont pour objet d'étudier ces objets, (l'équivalent combinatoire des espaces topologiques) et leurs « types d'homotopie », via des invariants qui leur sont associés, qui en dépendent de façon covariante ou contravariante. Nous avons ici en vue une étude systématique, dans l'esprit de l'algèbre universelle, de ces invariants, (qui sont donc des foncteurs sur $\widehat{\Delta} = \mathrm{Ens}_{*}$) ⌜de leurs structures et des⌝ et des opérations qui peuvent être définies sur elles, permettant d'en déduire certaines complexes à partir d'autres plus simples « semi-simpliciaux », « semi-cosimpliciaux » : il écrit ½simpliciaux, ½cosimpliciaux, au sens ancien de « simpliciaux »

302folio de l'auteur (2) ; numéro au crayon : 304 Un objet de $\mathcal{A}_{*}$ sera généralement noté par un symbole de la forme $K_{*}$, où $K_{*}$ désigne la famille des \[K_{*}(\Delta^{n}) = K_{[n]} \qquad K_{*} = (K_{[n]})_{n \geqslant 0}\] ⌜par abus de notation⌝ ⌜ou mieux $\Delta^{n} \longmapsto K_{[n]}$⌝ avec les opérations semi-simpliciales entre elles. On fera attention qu'on écrit $K_{[n]}$ et non $K_{n}$, pour des raisons qui vont apparaître limpidement lorsque $\mathcal{A}$ est additive …). De même un objet de $\mathcal{A}^{*}$ sera noté \[K^{*} = (n \longmapsto K^{[n]}) \overset{\text{abus.}}{=} (K^{[n]})_{n}\]

Nous aurons à travailler avec la situation, où on a deux catégories $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$, et une équivalence (notée […] $M \mapsto \check{M}$) \[v : \mathcal{A}^{\circ} \xrightarrow{\ \approx\ } \mathcal{B} \quad \text{d'où} \quad \mathcal{B}^{\circ} \xrightarrow{\ \approx\ } \mathcal{A}\] [le plus souvent $\mathcal{A} = \mathcal{B}$ et $(\check{M}^{\vee})^{\vee} \simeq M$ ⌜isom. fonct.⌝, avec compatibilités habituelles d'une autodualité…] on notera alors ⌜souvent⌝ par la même lettre un objet de $\mathcal{A}_{*}$ (ou $\mathcal{A}^{*}$) et l'objet de $\mathcal{A}^{*}$ (resp. $\mathcal{A}_{*}$) qui lui correspond par application de $v$, mais en indiquant la variance par la position du signe $*$ \[K^{*} = (K_{*})^{\vee} \qquad K^{[n]} = K_{[n]}{}^{\vee}\] \[K_{*} = (K^{*})^{\vee} \qquad K_{[n]} = K^{[n]\vee}\] On s'intéressera surtout au cas où ($k$ étant un anneau fixé) $\mathcal{A}$ […] \[\text{\struck{cat. $\mathcal{A}$}} \quad \begin{aligned} \mathcal{A} &= k\text{-modules à g. proj. de t.f.} \\ \mathcal{B} &= k\text{-modules à droite proj. de t.f.} \end{aligned}\] après « $\mathcal{A} =$ », un mot biffé et illisible (si $k$ est commutatif, on a $\mathcal{A} = \mathcal{B}$ et on a une autodualité sur $\mathcal{A}$).

On a le foncteur canonique pl. fid. \[(*) \qquad \Delta \hookrightarrow \widehat{\Delta} = \mathcal{S}s\] l'image par ce foncteur de $\Delta^{n}$ se note ⌜ou mieux $\Delta^{[n]}{}_{*}$ (puisqu'il est covariant en $n$)⌝ $\Delta^{n}{}_{*}$. On a donc \[\Delta^{n}{}_{*} \;(\text{ou } \Delta^{[n]}{}_{*}) = (m \longmapsto \Delta^{n}{}_{[m]} = \mathrm{Hom}_{\mathrm{Ens}}(\Delta^{m}, \Delta^{n}))\] et pour $X_{*} \in \mathrm{Ob}\,\widehat{\Delta}$, \[\mathrm{Hom}(\Delta^{n}{}_{*}, X_{*}) \simeq X_{*}(\Delta^{n}) \simeq X_{[n]}\] en particulier \[\mathrm{Hom}(\Delta^{n}{}_{*}, \Delta^{m}{}_{*}) \simeq \Delta^{m}{}_{*}(\Delta^{n}{}_{*}) \simeq \mathrm{Hom}_{\Delta}(\Delta^{n}, \Delta^{m}) \quad (= \mathrm{Hom}_{\mathrm{ord}}(\Delta^{n}, \Delta^{m}))\] l'indice de $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Ens}}$ et celui de $\mathrm{Hom}_{\Delta}$ sont lus avec doute ; $\mathrm{Hom}_{\mathrm{ord}}$ est écrit sous la ligne Pour $n$ variable, $\Delta^{n}{}_{*} \in \widehat{\Delta}$ dépend de façon covariante de $n$, i.e. donc le foncteur $n \mapsto \Delta^{n}{}_{*}$ (qui n'est autre que $(*)$) est un objet canonique de $\widehat{\Delta}^{*}$, qu'on appelle objet cosimplicial universel et note $\Delta^{*}$ (ou mieux $\Delta^{*}{}_{*}$) \[\Delta^{*}{}_{*} \in \widehat{\Delta}^{*} = (\mathrm{Ens}_{*})^{*} \quad \text{donc } \forall n \geqslant 0\] \[\Delta^{[n]}{}_{*} \in \widehat{\Delta} \qquad \Delta^{[n]}{}_{*} = \Delta^{n}{}_{*} = m \longmapsto \Delta^{n}{}_{[m]} = \mathrm{Hom}_{\Delta}(\Delta^{m}, \Delta^{n})\] […] [Une parenthèse de notations : considérons des catégories de la forme $(\mathcal{A}_{*})^{*}$, un objet de ladite est donc noté $K^{*} = (K^{[n]})_{n}$, où les $K^{[n]}$ sont des $\in \mathcal{A}_{*}$, donc s'écrivent $K^{[n]}{}_{*}$, \[K^{[n]}{}_{*} = (K^{[n]}{}_{[m]})_{m \geqslant 0}\] Ainsi, on est amené à noter $K^{*}{}_{*}$ les objets de $(\mathcal{A}_{*})^{*} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta \times \Delta^{\circ}, \mathcal{A})$ on

303folio de l'auteur (3) ; numéro au crayon : 305 \[K^{[m]}{}_{[n]} = K(\Delta^{m}, \Delta^{n}) \in \mathcal{A}\] De même, on note \[\begin{aligned} &K_{*}{}^{*} \ \text{les objets de } (\mathcal{A}^{*})_{*} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta^{\circ} \times \Delta, \mathcal{A}) \\ &K^{**} \ \text{les objets de } (\mathcal{A}^{*})^{*} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta^{\circ} \times \Delta, \mathcal{A}) \\ &K_{**} \ \text{les objets de } \mathcal{A}_{**} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta^{\circ} \times \Delta^{\circ}, \mathcal{A}) \end{aligned}\] pour $(\mathcal{A}^{*})^{*}$ il écrit $\Delta^{\circ} \times \Delta$, là où l'on attend $\Delta \times \Delta$

On fera attention que si on compare ⌜via⌝ les foncteurs de symétrie $(m, n) \mapsto (n, m)$ ⌜$(\Delta^{m}, \Delta^{n}) \mapsto (\Delta^{n}, \Delta^{m})$⌝ dans $\Delta \times \Delta$ ou dans $\Delta^{\circ} \times \Delta^{\circ}$, ou entre $\Delta \times \Delta^{\circ}$ et $\Delta^{\circ} \times \Delta$), on n'utilisera pas la même lettre pour désigner un complexe ⌜objet⌝ (tel que $K^{*}{}_{*}$ ou $K^{**}$ disons) et son transformé (qui devrait donc s'écrire $K_{*}{}^{*}$, ou encore une fois $K^{**}$), car cela compliquerait avec la convention plus haut de la « montée et descente des indices » $K_{*}{}^{*} \simeq K^{*}{}_{*}{}^{\vee}$ dans le premier cas, et serait […] ambigu : écrire \[K^{[m][n]} = K^{[n][m]}\] dans le deuxième ! On utilisera au besoin un symbole « de symétrie » tel que $\sigma$, pour désigner le symétrique de $K$ ($= K^{*}{}_{*}$, $K^{**}$) par \[{}^{\sigma}K \;(= ({}^{\sigma}K)_{*}{}^{*},\ ({}^{\sigma}K)^{**}) \quad \text{\struck{dans}} \;\ldots\] D'ailleurs, Ces conditions et notations ⌜$\in \mathrm{Ob}\,(\mathcal{A}^{*})^{*}{}_{*}$⌝ si on a un objet $K^{*}{}_{*}$ disons, alors pour $n \geqslant 0$, on peut considérer \[\text{\struck{\ill{}}} \quad K^{*}{}_{[n]} \overset{\text{df}}{=} (m \longmapsto K^{[m]}{}_{[n]})\] comme un objet de $\mathcal{A}^{*}$ ; le foncteur $[n] \longmapsto K^{*}{}_{[n]}$ de $\mathcal{A}^{*}{}_{*}$ n'est autre que ${}^{\sigma}K$. l'insertion « $\in \mathrm{Ob}\,(\mathcal{A}^{*})^{*}{}_{*}$ » est écrite au-dessus de la ligne biffée, son rattachement est incertain

On étend ces conventions et notations au cas de symboles $K$ à plus de deux indices, pour désigner des objets de catégories de

304folio de l'auteur (4) ; numéro au crayon des archivistes : 306 la forme $\mathcal{A}^{*}{}_{*}{}^{**} = [((\mathcal{A}^{*})_{*})^{*}]^{*}$ […] p.ex. — dans lesquels les objets sont notés par des lettres étoilées $K^{**}{}_{**}{}^{*}$ — ] sous le crochet, d'une insertion difficile à placer : « $= \mathrm{Ob}\,\mathcal{S}s^{*}$ »

Le rôle de $\Delta^{*} \in \mathrm{Ob}\,\widehat{\Delta}^{*}$ comme « objet cosimplicial universel » est explicité par la

Proposition 1. Soit $\mathcal{A}$ une catégorie où les $\varinjlim$ existent (resp. $\mathcal{B}$ une catégorie où les $\varprojlim$ existent). Alors

a)$\mathcal{A}^{*} \xleftarrow{\ \approx\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{\text{comm. à } \varinjlim}(\mathcal{S}s, \mathcal{A})$ par $F \longmapsto F(\Delta^{*})$
b)$\mathcal{B}_{*} \xleftarrow{\ \approx\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{\text{comm. à } \varprojlim}(\mathcal{S}s^{\circ}, \mathcal{B})$ par $F \longmapsto F((\Delta^{*})^{\circ})$

(où $(\Delta^{*})^{\circ}$ désigne l'objet simplicial de $\widehat{\Delta}^{\circ}$ défini par l'objet cosimplicial $\Delta^{*}$ de $\widehat{\Delta}$).

Bien sûr, b) n'est autre que a) appliqué à $\mathcal{A} = \mathcal{B}^{\circ}$ ; et a) signifie que le foncteur « restriction à $\Delta$ » \[\underline{\mathrm{Hom}}(\widehat{\Delta}, \mathcal{A}) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta, \mathcal{A})\] induit une équivalence sur la s-cat. $\underline{\mathrm{Hom}}$ $\underline{\mathrm{Hom}}_{\text{comm. à } \varinjlim}$ du premier membre. (C'est vrai pour les ⌜toute⌝ (petite) catégorie $C$ — pas seulement pour $\Delta$, et bien connu.) Le foncteur en sens inverse associe, à $K_{*} = \varphi : \Delta \to \mathcal{A}$, le foncteur \[X_{*} \longmapsto \varinjlim_{\Delta^{n} \in \Delta/X_{*}} \varphi(\Delta^{n}) = \varinjlim_{\Delta^{n} \in \Delta/X_{*}} K_{[n]} .\] il écrit ici $K_{*}$ et $K_{[n]}$ pour l'objet cosimplicial $\varphi : \Delta \to \mathcal{A}$, là où la notation des pages suivantes demanderait $K^{*}$, $K^{[n]}$ ; l'indice de $\Delta^{n}$ sous les $\varinjlim$ porte une marque illisible

Dans le cas b), i.e. dans \[\underline{\mathrm{Hom}}(\widehat{\Delta}^{\circ}, \mathcal{B}) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta^{\circ}, \mathcal{B})\] le foncteur en sens inverse associe à \[K^{*} = \psi : \Delta^{\circ} \to \mathcal{B}\] le foncteur contravariant \[X^{*} \longmapsto \varprojlim_{\Delta^{n} \in (\Delta/X_{*})^{\circ}} \varphi(\Delta^{n}) = \varprojlim_{\Delta^{n} \in (\Delta/X_{*})^{\circ}} K^{[n]} .\] $\varphi$ et non $\psi$ sous la limite, et $X^{*}$ à gauche pour $X_{*}$, tels quels sur la page

Yoga : nous nous intéressons surtout aux (en première étape) aux invariants covariants attachés à $X_{*}$, à valeurs dans une cat. $\mathcal{A}$, qui commutent aux $X_{*}$ ⌜commutent aux⌝ $\varinjlim$ par rapport à $X_{*}$, — ils sont donc exprimés (si $\mathcal{A}$ est « grande » pour contenir les $\varinjlim$ voulues) par des éléments de $\mathcal{A}^{*}$, i.e. des objets cosimpliciaux de $\mathcal{A}$. Pour les invariants contravariants en $X_{*}$, à val. dans une $\mathcal{B}$, dans nous abordons en premier lieu ceux qui […] transforment les $\varinjlim$ en $X_{*}$ en $\varprojlim$ dans $\mathcal{B}$ stable par $\varprojlim$ ; ils correspondent donc aux objets de $\mathcal{B}_{*}$, i.e. les objets semi-simpliciaux de $\mathcal{B}$. Si $\mathcal{B} = (\mathrm{Ens})$, ils correspondent donc à des ens. semi-simpliciaux, i.e. à des objets $K_{*}$ de $\mathcal{S}s$ lui-même. « semi-simpliciaux » : il écrit ½ simpliciaux ; au sens ancien, c'est-à-dire simpliciaux

305numéro au crayon : 307 ; en tête de la colonne droite, « 5 » Ce n'est autre que le foncteur représenté par $K_{*}$, et on ⌜l'⌝écrira aussi \[\text{\struck{$K_{*}(X_{*}) = $}} \quad X_{*} \longmapsto K_{*}(X_{*}) = \mathrm{Hom}(X_{*}, K_{*}) .\] Si $\mathcal{B} = (\mathcal{A}b)$, $K_{*}$ sera donc un objet de $\mathcal{S}s_{ab}$ […], et les […] foncteurs qu'il représente ont automatiquement […] ⌜une structure⌝ […]. Remarquons […] les structures algébriques (avec une ou plusieurs objets de base) qui « peuvent s'exprimer en termes de $\varprojlim$ exclusivement » (groupes, modules, anneaux, modules sur […] ⌜tels⌝, etc etc).

Pour les Tous les foncteurs invariants ainsi obtenus à coups de foncteurs représentables — plus généralement, d'objets simpliciaux ou cosimpliciaux de catégories $\mathcal{B}$ ou $\mathcal{A}$ — sont de nature trop « grosse » et « fruste » pour être intéressants directement — en particulier, ce ne sont pas des invariants du type d'homotopie de $X_{*}$. On devra en extraire des invariants plus subtils qui seront des invariants du type d'homotopie de $X_{*}$, — ceux-ci ne seront pas de nature si simple — i.e. « représentés » par un objet simplicial ou cosimplicial. Notre propos sera de mettre sur les invariants « gros » obtenus […] le dictionnaire, une machinerie de structures supplémentaires raisonnables, et dans les catégories de structures de ce type (complexes de chaînes ou de cochaînes, algèbres cosimpliciales etc) d'inverser les flèches qui sont obtenues à partir d'équiv. d'homotopie dans $\mathcal{S}s$, et de passer à des « catégories de fractions » en inversant ces flèches. L'invariant ainsi obtenu […] ⌜plus « grossier »⌝ bien sûr, mais plus subtil dans sa définition, et moins « redondant ») exprime donc de façon plus ou moins complète le type d'homotopie, ou en saisit de façon adéquate tel ou tel aspect.

Dans le cas où $\mathcal{A}$ est une catégorie additive karoubienne (tout projecteur admet un objet image ou un noyau, ou ce qui revient au même, tt proj. a un conoyau) la théorie de Dold–Puppe donne des équivalences canoniques \[\mathcal{A}_{*} \;\underset{DP_{*}}{\overset{ND.}{\rightleftarrows}}\; \mathcal{A}. ,\] $ND$ = « non dégénéré » $DP$ = « Dold–Puppe » les deux flèches portent chacune le signe $\approx$ où $\mathcal{A}.$ désigne la catégorie des complexes de chaînes dans $\mathcal{A}$. On désigne par une ⌜telle⌝ = lettre ⌜$K$⌝ deux objets qui se correspondent, mais en mettant un indice bas $*$ ou bas $\cdot$, suivant qu'il

306s'agit de désigner l'avatar « objet simplicial » ou « complexe de chaînes » : \[K. = ND.(K_{*}), \qquad K_{*} = DP_{*}(K.)\] \[K_{*} = (n \mapsto K_{[n]}), \qquad K. = (K_{n}, d_{n})_{n \geqslant 0}\] On est ainsi amené à noter par une notation $K.$ tel complexe de chaînes, par $K_{n}$ ses composantes (ce qui exclut l'utilisation de la notation $K_{n}$ pour la $n$-ième composante ⌜de⌝ $K_{*}$, et nous oblige à adopter une notation telle que $K_{[n]}$ !).

De même, la théorie de DP appliquée à $\mathcal{A}^{\circ}$ nous donne des équivalences \[\mathcal{A}^{*} \;\underset{DP^{*}}{\overset{ND^{\cdot}}{\rightleftarrows}}\; \mathcal{A}^{\cdot}\] et des notations \[K^{\cdot} = ND^{\cdot}(K^{*}), \qquad K^{*} = DP^{*}(K^{\cdot})\] \[K^{*} = (n \mapsto K^{[n]}), \qquad K^{\cdot} = (K^{n}, d^{n})_{n \geqslant 0} .\] Les foncteurs $ND^{\cdot}$ et $DP^{*}$ commutent aux foncteurs additifs. En particulier, dans le cas d'une équivalence \[\mathcal{A} \xleftrightarrow[\ v\ ]{\ \approx\ } \mathcal{B}^{\circ}\] dite dualité, étendant aux complexes de chaînes ou de cochaînes la convention de la montée ou de la descente des indices, on trouve que les foncteurs $ND$ et $DP$ y commutent. Donc dans ce cas, la même lettre $K$ désignera

307quatre avatars possibles \[K^{*} \quad K_{*} \quad K^{\cdot} \quad K.\] liés par les relations ci-dessus \[\begin{cases} K^{*} = DP^{*}(K^{\cdot}) & K^{\cdot} = ND^{\cdot}(K^{*}) \\ K_{*} = DP_{*}(K.) & K. = ND.(K_{*}) \end{cases}\] plus les relations \[\begin{cases} K^{*} = (K_{*})^{\vee}, & K_{*} = (K^{*})^{\vee} \\ K^{\cdot} = (K.)^{\vee}, & K. = (K^{\cdot})^{\vee} . \end{cases}\] ([…]) Ces $K$ notations est vaguement (i.e. à équivalence de catégories) s'étendent aux objets […] ⌜dépendant de⌝ plusieurs indices, p.ex. $K^{*}$ une même lettre $K$ (désignant ⌜p.ex. initialement⌝ un objet $K^{*}{}_{*}$ de $(\mathcal{A}_{*})^{*}$, ⌜disons⌝) désigne également […] quatre avatars distincts \[\begin{cases} K^{*}{}_{*} \in (\mathcal{A}_{*})^{*}, & (K^{\cdot}{}_{*}) \in (\mathcal{A}_{*})^{\cdot} \\ K^{\cdot}{}_{\cdot} \in (\mathcal{A}.)^{\cdot}, & (K^{*}{}_{\cdot}) \in (\mathcal{A}.)^{*} \end{cases}\] dans $(\mathcal{A}_{*})^{\cdot}$ l'exposant est surchargé (point sur une étoile) avec des notations \[K^{[n]}{}_{[m]}, \quad K^{n}{}_{[m]}, \qquad K^{n}{}_{m}, \quad K^{[n]}{}_{m}\] pour les composantes. De même, on aura, si on part p.ex. de $K^{**} \in (\mathcal{A}^{*})^{*}$, \[\begin{cases} K^{**} \in (\mathcal{A}^{*})^{*}, & K^{\cdot *} \in (\mathcal{A}^{\cdot})^{*} \\ K^{\cdot\cdot} \in (\mathcal{A}^{\cdot})^{\cdot}, & K^{*\cdot} \in (\mathcal{A}^{*})^{\cdot} \end{cases}\] \[\begin{cases} K^{[n][m]}, & K^{n[m]} \\ K^{nm}, & K^{[n]m} \end{cases}\] On notera quand objets de $(\mathcal{A}_{*})^{\cdot}$ ou un complexe de cochaînes ⌜$n \mapsto (K_{*}{}^{n}, d^{n})$⌝ dans la catégorie $\mathcal{A}_{*}$ des objets semi-simpliciaux de $\mathcal{A}$, « quand » tel quel ; l'insertion $n \mapsto (K_{*}{}^{n}, d^{n})$ est en interligne, sa fin lue avec doute

308[…] au dessus (moyennant l'équivalence de catégories canonique \[\sigma : (\mathcal{A}_{*})^{\cdot} \cong (\mathcal{A}^{\cdot})_{*} \;)\] un objet semi-simplicial dans la catégorie $\mathcal{A}^{\cdot}$ des complexes de cochaînes, noté \[n \longmapsto K_{[n]}{}^{\cdot} .\] On interprète de même les objets des autres catégories mixtes […] : \[(*) \quad \begin{cases} \mathcal{A}_{*\cdot}, \ \mathcal{A}_{\cdot *}, \ \mathcal{A}^{**}{}_{\cdot}, \ \text{\struck{\ill{}}} \\ \mathcal{A}^{*}{}_{*}, \ \mathcal{A}^{\cdot}{}_{*}, \ \mathcal{A}^{\cdot}{}_{*}, \ \text{\struck{\ill{}}} \end{cases}\] les indices des catégories mixtes de la liste $(*)$ sont surchargés et lus avec doute ; la fin de chaque ligne est biffée en hachures De façon analogue, les objets $K^{\cdot\cdot}$ de $(\mathcal{A}^{\cdot})^{\cdot}$ sont les bicomplexes de cochaînes, les objets $K..$ de $(\mathcal{A}.). = \mathcal{A}..$ sont les bicomplexes de chaînes, enfin les objets $K^{\cdot}.$ de $(\mathcal{A}.)^{\cdot}$ ou $K.^{\cdot}$ de $(\mathcal{A}^{\cdot}).$ sont les bicomplexes mixtes ⌜chaînes–cochaînes⌝ (de chaînes par un indice, de cochaînes par un autre). Dans le cas de $K^{\cdot\cdot}$ ou $K..$ le complexe simple associé est un complexe de cochaînes resp. de chaînes, tandis que dans le cas mixte $K^{\cdot}.$ ou $K.^{\cdot}$, on trouve des complexes simples avec des objets en degrés positifs et négatifs à priori (il y aurait lieu de fixer une convention de degré, si pour le degré total l'opérateur différentiel est de degré $+1$ ou $-1$, suivant

309qu'on donne la préférence […] cochaînes ou aux chaînes. (Je n'ai pas eu encore besoin vraiment d'une telle convention de notations…)

Dans le cas d'une dualité \[v : \mathcal{A} \xrightarrow{\ \approx\ } \mathcal{B}^{\circ}\] on étend les conventions de montée et descente des indices aux objets à plusieurs indices, ainsi \[(K_{*}{}^{\cdot})^{\vee} = K^{*}{}_{\cdot} .\] la flèche de $v$ est doublée d'un trait vers la gauche ; à droite de la formule, une marque biffée Dans la suite d'objets mixtes $(*)$ de la page précédente, on a écrit l'un au-dessous de l'autre des objets qui se correspondent par dualité.

Remarque. Il est essentiel pour notre système de conventions de définir (disons) des bicomplexes de cochaînes (objets de $\mathcal{A}^{\cdot\cdot}$) avec deux op. de diff. […], qui commutent — on n'utilisera donc pas les conventions de Cartan–Eilenberg. Il faudra donc un signe dans la diff. totale.

Du point de vue de la page 1 et du yoga […] […] « construction d'invariants associés à des $X_{*} \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{S}s$ », on peut dire que la théorie de Dold–Puppe

310folio de l'auteur 10 ; numéro au crayon : 312 fournit […]

Prop. 2. Avec les notations ⌜et hyp.⌝ de prop. 1, avec $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ additives […]

a)$\underline{\mathrm{Hom}}_{\text{comm. aux } \varinjlim}(\mathcal{S}s, \mathcal{A}) \xrightarrow{\ \approx\ } \mathcal{A}^{\cdot}$
b)$\underline{\mathrm{Hom}}_{\text{comm. aux } \varinjlim}((\mathcal{S}s)^{\circ}, \mathcal{B}) \xrightarrow{\ \approx\ } \mathcal{B}.$

sous les deux $\underline{\mathrm{Hom}}$, l'indice abrégé lu comme « comm. aux $\varinjlim$ », avec doute ; en b) on attendrait $\varprojlim$, la flèche est ambiguë

Nous allons préciser ⌜expliciter⌝ cette correspondance du point de vue de l'algèbre universelle. Prenons d'abord le cas de b), avec $\mathcal{B} = (\mathcal{A}b)$ pour simplifier. […] ⌜Dans cette optique⌝ précisons la relation entre \[F : (\mathcal{S}s)^{\circ} \xrightarrow[\text{aux } \varinjlim]{\text{commutant}} \mathcal{A}b \quad \text{et} \quad K. = (K_{n}, d_{n}) \in \mathcal{A}b.\] qui se déterminent mutuellement. On désigne comme de juste par $K_{*}$ l'objet de $\mathcal{A}b_{*}$ défini par $K.$ On a donc \[F(X_{*}) \simeq \mathrm{Hom}_{\widehat{\Delta}}(X_{*}, K_{*}) \simeq \mathrm{Hom}_{\widehat{\Delta}_{ab}}(\mathbb{Z}(X_{*}), K_{*})\] où $\mathbb{Z}(X_{*})$ désigne le « faisceau abélien libre engendré par $X_{*}$ », ou si on veut \[\mathbb{Z}(X_{*}) = (n \longmapsto \mathbb{Z}(X_{n}) = \mathbb{Z}^{(X_{n})})\] Ce groupe ⌜ab.⌝ semi-simplicial sera aussi noté $\mathbb{C}_{*}(X_{*})$, et $\mathbb{C}.(X_{*})$ le complexe de chaînes associé ⌜par DP⌝ : on aura donc \[\begin{cases} \mathbb{C}_{*}(X_{*}) = \mathbb{Z}(X_{*}) = (n \longmapsto \mathbb{Z}(X_{n}) = \mathbb{Z}^{(X_{n})}) \\ \mathbb{C}.(X_{*}) = ND.(\mathbb{C}_{*}(X_{*})) \end{cases}\] « par DP » est en interligne, alors que la formule écrit $ND.$ Donc par Dold–Puppe on aura \[F(X_{*}) \simeq \mathrm{Hom}_{\widehat{\Delta}_{ab} = \mathcal{A}b_{*}}(\mathbb{C}_{*}(X_{*}), K_{*}) \underset{\text{D.P.}}{\simeq} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}b.}(\mathbb{C}.(X_{*}), K.)\] Donc le foncteur $F_{K.} = F : \mathcal{S}s^{\circ} \longrightarrow \mathcal{A}b$ \[X_{*} \longmapsto F_{K.}(X_{*}) = F(X_{*})\] associé à $K. \in \mathcal{A}b.$ est donné par \[\boxed{F_{K.}(X_{*}) = \mathrm{Hom}.(\mathbb{C}.(X_{*}), K.)}\] On en tire deux conclusions :

1°) Les valeurs sur $X_{*}$ des foncteurs envisagés $F$ ($\mathcal{S}s^{\circ} \to \mathcal{A}b$, commutant aux $\varinjlim$) ne dépendent que de ⌜(« abélianisé de $X_{*}$ »),⌝ $\mathbb{C}_{*}(X_{*}) \in \mathcal{A}b_{*}$, ou ce qui revient au même, de $\mathbb{C}.(X_{*}) \in \mathcal{A}b.$ ; […] ce complexe de chaînes $\mathbb{C}.(X_{*})$, peut être considéré comme « l'invariant additif universel » de $X_{*}$. Quand on « oublie $X_{*}$ au profit de $\mathbb{C}.(X_{*}) = C. \in \mathcal{A}b.$ » les foncteurs envisagés (en tant que foncteurs en $C.$) sont exactement les foncteurs représentables sur $\mathcal{A}b.$.

[NB. Quand le foncteur $F$ a une structure plus riche, p.ex. une multiplication $F \otimes F \to F$ i.e. est à valeurs dans les $\mathbb{Z}$-algèbres, et […] cette structure sur $F(X_{*})$ n'est pas reconstruite par

311folio de l'auteur 11 ; numéro au crayon : 313 la seule connaissance de $C. \in \mathcal{A}b.$, au lieu de $X_{*}$ ; il faut, pour […] ⌜les⌝ décrire en termes de $C.$ ⌜certaines des⌝ structures ⌜ainsi⌝ qui peuvent exister sur $F(X_{*})$, en termes de celle de $F$, de tenir compte de structures supplémentaires éventuelles de $C.$, qui peuvent s'expliciter en se rappelant que $C.$ provient d'un $X_{*}$. […] ⌜Cela peut être considéré comme⌝ […] d'étude systématique de ces structures […] […] (le contenu essentiel de nos réflexions).

Mais bien sûr, si les structures […] ⌜dans le⌝ cas où on a sur $F$ une structure de $k$-module, i.e. $F : \mathcal{S}s^{\circ} \to \mathcal{A}b_{k}$ (où $\mathcal{A}b_{k}$ est la catégorie des $k$-modules), il suffit ⌜il est possible⌝ de se donner la structure simpl. sur $C.$, ou […] qui en fait de complexe de […] […] […] (i.e. se […] $k \to \mathrm{End}_{\mathcal{A}b}(C.)$) […] récupérer la structure complète de par les $K.$ qui décrivent $F$ maintenant dans $\mathcal{A}b_{k}.$ i.e. par \[k \longrightarrow \mathrm{End}_{\mathcal{A}b.}(K.)\] la qui est aussi sur $\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}b.}(C., K.)$, dont on récupère ainsi la structure de $k$-module. En fait il suffit, au lieu de $C.$, de connaître seulement $C_{k\cdot} = C. \otimes_{\mathbb{Z}} k$ (noté $\mathbb{C}_{k*}(X_{*})$), car on aura un passage encadré et barré de traits obliques, au milieu de la colonne gauche, est biffé ; on n'en donne que ce qui se lit

\[\text{\struck{\ill{}}} \quad \begin{cases} F(X_{*}) \simeq \mathrm{Hom}_{(\mathcal{A}b_{k}).}(C_{k\cdot}, K.) \\ C_{k\cdot} = \mathbb{C}_{k*}(X_{*}) = \mathbb{C}.(X_{*}) \otimes_{\mathbb{Z}} k \end{cases}\] Plus généralement, revenant au cas d'une $\mathcal{B}$ cat. additive générale stable par $\varinjlim$ et $F : (\mathcal{S}s)^{\circ} \to \mathcal{B}$ et $K. \in \mathcal{B}.$ se correspondant par la prop. 2, on peut encore écrire \[F(X_{*}) \simeq \mathrm{Hom}^{\cdot}.(\mathbb{C}.(X_{*}), K.)\] en définissant la deuxième expression comme objet de $\mathcal{B}$, en définissant d'abord le bicomplexe de $\mathcal{B}$ \[\mathcal{H}om^{\cdot}.(C., K.) = (\mathrm{Hom}_{\mathcal{B}}(C_{i}, K_{j}))_{i,j}\] (donc $\mathcal{H}om^{i}{}_{j}(C., K.) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{B}}(C_{i}, K_{j})$) — où l'objet $\mathrm{Hom}(A, M)$, pour $A \in \mathcal{A}b$ et $M \in \mathcal{B}$, se définissant par \[\mathrm{Hom}_{\mathcal{B}}(N, \mathrm{Hom}(A, M)) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}b}(A, \mathrm{Hom}_{\mathcal{B}}(N, M))\] (le foncteur […] ⌜du 2[e]⌝ […] étant bien représentable en $N$, pour $A, M$ fixés, grâce à l'hyp. faite sur $\mathcal{B}$ d'être stable par $\varprojlim$). On définit alors \[\mathrm{Hom}.(\mathbb{C}.\text{\struck{\ill{}}}, K.) \overset{\text{df}}{=} Z^{0}(\mathcal{H}om^{\cdot}.(C., K.))\] ⌜cycles de degré $0$ pour degré total (associé au bicomplexe)⌝ Si enfin $\mathcal{B}$ est une cat. $k$-linéaire ($k$ commutatif) i.e. munie d'un homom. d'anneaux $k \to \mathrm{End}(\mathrm{id}_{\mathcal{B}})$, « stable par $\varinjlim$ » plus haut, « stable par $\varprojlim$ » ici, tels quels

312folio de l'auteur 12 ; numéro au crayon : 314 alors la connaissance de $C_{k\cdot} = \mathbb{C}_{k\cdot}(X_{*}) = C. \otimes_{\mathbb{Z}} k$ est encore suffisante pour la construction de $F(X_{*})$, car on aura maintenant \[F(X_{*}) \simeq \mathrm{Hom}_{k.}(C._{k}, K.) \simeq Z^{0}(\underbrace{\mathcal{H}om_{k}{}^{\cdot}.(C._{k}, K.)}_{\mathcal{H}om_{k}{}^{i}{}_{j}(C._{k}, K.) = \mathcal{H}om_{k}(C_{i,k}, K_{j})})\] ($\mathcal{H}om_{k}(A, M)$, pour $A \in \mathcal{A}b_{k}$ et $M \in \mathcal{B}$, étant défini par \[\mathrm{Hom}_{\mathcal{B}}(N, \mathcal{H}om_{k}(A, M)) \simeq \mathrm{Hom}_{k}(A, \mathrm{Hom}_{\mathcal{B}}(N, M))).\]

2°) Si on regarde toutes les façons possibles d'[…] ⌜d'envoyer⌝ \[(\mathcal{S}s)^{\circ} \xrightarrow{\ F\ } \mathcal{B}\] dans $\mathcal{B}$ stable par $\varprojlim$, avec $F$ y commutant, il y en a […] une « universelle », dont toutes les autres sont « spécialisation », obtenue en prenant $\mathcal{B}_{0} = (\mathcal{A}b.)^{\circ}$, et $F_{0} : (\mathcal{S}s)^{\circ} \to \mathcal{B}_{0} = (\mathcal{A}b.)^{\circ}$ défini par \[F_{0}(X_{*}) = \mathbb{C}.(X_{*})\] (qui dépend de $X_{*}$ de façon contravariante quand $\mathbb{C}.(X_{*})$ s'envisage comme objet de $(\mathcal{A}b.)^{\circ}$). De façon précise ;

Nouvelle forme de l'énoncé du théorème de Dold–Puppe

Prop. 3. Considérons \[\mathcal{S}s^{\circ} \xrightarrow{\ F_{0}\ } \mathcal{B}_{0} = (\mathcal{A}b.)^{\circ} \simeq (\mathcal{A}b^{\circ})^{\cdot}\] défini par $F_{0}(X_{*}) = \mathbb{C}.(X_{*})$. Alors $\mathcal{B}_{0}$ est une catégorie ⌜add.⌝ avec $\varprojlim$, et pour toute autre telle catégorie $\mathcal{B}$, le foncteur \[\underline{\mathrm{Hom}}_{\text{comm. aux } \varprojlim}(\text{\struck{\ill{}}}\,\mathcal{B}_{0}, \mathcal{B}) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{\text{comm. } \varprojlim}(\mathcal{S}s^{\circ}, \mathcal{B}) \quad (\simeq \mathcal{B}. \text{ par prop. 2})\] donné par $\varphi \longmapsto \varphi \circ F_{0}$ est une équivalence de catégories […] […] prop. 2, cela signifie […] […] grâce au théorème de Dold–Puppe, […] […] par $F_{0}$ […] […] grâce […] : l'équivalence […] […] […] indique la condition […] aux $\varprojlim$) un passage de six lignes environ, encadré et barré de hachures, est biffé ; on n'en donne que les mots lisibles $\underline{\mathrm{Hom}}_{!}(\mathcal{B}_{0}, \mathcal{B})$ remplaçons dans la déf. de $F_{0}$, $\mathcal{B}_{0}$, $(\mathcal{A}b.)^{\circ}$ par $(\mathcal{A}b_{*})^{\circ} = \widehat{\Delta}_{ab}{}^{\circ}$, $\mathbb{C}.(X_{*})$ par $\mathbb{C}_{*}(X_{*})$ ⌜$= \mathbb{Z}(X_{*})$⌝ et l'équivalence s'écrit \[\underline{\mathrm{Hom}}_{!}(\widehat{\Delta}_{ab}{}^{\circ}, \mathcal{B}) \xrightarrow{\ \approx\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(\widehat{\Delta}^{\circ}, \mathcal{B})\] où l'exposant $!$ signifie qu'on se borne aux foncteurs qui commutent aux $\varprojlim$. sous les deux $\underline{\mathrm{Hom}}$ de la formule, un indice surchargé, illisible Or sous cette forme, l'assertion est valable quelle que soit la cat. (non pointée) $\Delta$, [⌜on a un foncteur « abélianisation »⌝ […] […] se faisant […] \[X \longmapsto \mathbb{Z}(X.) \qquad \widehat{\Delta} \longrightarrow \widehat{\Delta}_{ab}\] commutant aux $\varinjlim$ […] $\widehat{\Delta}^{\circ} \to \mathcal{B} = (\widehat{\Delta}_{ab})^{\circ}$

313folio de l'auteur 13 ; numéro au crayon : 315 donc \[\widehat{\Delta}^{\circ} \xrightarrow{\ F_{0}\ } \mathcal{B}_{0} = (\widehat{\Delta}_{ab})^{\circ} \cong \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta^{\circ}, \mathcal{A}b)^{\circ} \approx \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta, \mathcal{A}b^{\circ})\] \[[\approx (\mathcal{A}b^{\circ})^{*} \approx (\mathcal{A}b_{*})^{\circ} \text{ dans le cas qui nous intéresse}]\] commutant aux $\varinjlim$ d'où le foncteur \[\underline{\mathrm{Hom}}_{!}(\text{\struck{\ill{}}}\,\mathcal{B}_{0}, \mathcal{B}) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(\widehat{\Delta}^{\circ}, \mathcal{B})\] et on définit un foncteur dont on veut montrer que c'est une équiv. Posant $\mathcal{B} = \mathcal{A}^{\circ}$, $\mathcal{B}_{0} = (\mathcal{A}_{0})^{\circ}$, et $F_{0} = (G_{0})^{\circ}$, donc \[G_{0} : \widehat{\Delta} \to \widehat{\Delta}_{ab}, \qquad G_{0}(X) = \mathbb{Z}(X),\] on doit prouver que \[\underline{\mathrm{Hom}}_{!}(\widehat{\Delta}_{ab}, \mathcal{A}) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(\widehat{\Delta}, \mathcal{A}), \qquad \varphi \longmapsto \varphi \circ G_{0}\] est une équivalence, où $!$ désigne les foncteurs qui commutent aux $\varinjlim$. Or le deuxième membre est $\approx \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta, \mathcal{A})$ (par restriction à $\Delta \hookrightarrow \widehat{\Delta}$), donc le premier s'écrit ? on Prenons $\varphi \in \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(\widehat{\Delta}_{ab}, \mathcal{A})$ et notons que pour tout $M \in \mathcal{A}$, l'[…] le foncteur $X \mapsto \mathrm{Hom}(\varphi X, M)$ transforme $\varinjlim$ en $\varprojlim$, donc est représentable \[\mathrm{Hom}(\varphi X, M) \simeq \mathrm{Hom}(X, \psi M)\] i.e. l'hyp. de commutation de $\varphi$ aux $\varinjlim$ s'exprime par le fait qu'il admet un adjoint $\psi$ — la condition ici mise sur […] $\psi : \mathcal{A} \to \widehat{\Delta}_{ab}$ pour qu'il provienne d'un $\varphi$ étant que pour tout $X$ fixé dans $\widehat{\Delta}_{ab}$, $M \mapsto \mathrm{Hom}(X, \psi M)$ soit repr. Écrivant $\widehat{\Delta}_{ab} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta^{\circ}, (\mathcal{A}b))$ en termes d'interprétation de $\psi$ comme cat. $\underline{\mathrm{Hom}}_{!}(\widehat{\Delta}_{ab}, \mathcal{A})$ des $\varphi$ comme sous-cat. pleine de $\underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{A} \times \Delta^{\circ}, \mathcal{A}b)$ ⌜$\simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta^{\circ}, \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{A}, \mathcal{A}b))$ sous-cat. des⌝ foncteurs $\lambda$ satisfaisant une condition de repr. ⌜ci-dessus⌝ en $\mathcal{A}$. Or si $x \in \Delta$, le foncteur […] \[\lambda(x) : \mathcal{A} \to \mathcal{A}b \ (\in \mathcal{A}b \ldots)\] après $\lambda$, deux arguments surchargés et biffés ; l'insertion « $\lambda(x) : \mathcal{A} \to$ » est lue avec doute n'est autre que \[M \longmapsto \mathrm{Hom}(\mathbb{Z}(x), \psi(M))\] (car \[\lambda(x)(M) \overset{\text{df}}{=} \psi(M)(x) \simeq \mathrm{Hom}_{\widehat{\Delta}}(x, \psi(M)) = \mathrm{Hom}_{\widehat{\Delta}_{ab}}(\mathbb{Z}(x), \psi(M))\] donc il doit être représentable, […] grâce à $X = \mathbb{Z}(x)$) donc par $\varphi(x) \in \mathcal{A}$, donc on est dans $\underline{\mathrm{Hom}}(\Delta^{\circ}, \text{\struck{\ill{}}}\,\mathcal{A}^{\circ}) \cong \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta, \mathcal{A})$, on a pratiquement terminé…]

Quel est ⌜donc⌝ le foncteur commutant aux $\varinjlim$ le plus universel de $\widehat{\Delta}$ dans une cat. additive $\mathcal{A}$ avec $\varinjlim$ ? C'est \[X \longmapsto \mathbb{Z}(X) = \mathbb{Z}^{(X)} \quad \text{de } \widehat{\Delta} \text{ dans } \widehat{\Delta}_{ab}\] (ou le foncteur « abélianisation ») sans doute se vérifie pour un topos quelconque. ⌜(i.e. $\Delta$ = cat. des $\Delta^{n}$)⌝ Mais ici ⌜cela signifie⌝

Variante équiv. […] ⌜(a)⌝ (Dold–Puppe) : l'objet cosimplicial […] $n \longmapsto \mathbb{C}_{*}(\Delta^{n}{}_{*}) = \mathbb{Z}(\Delta^{n}{}_{*}) = \mathbb{Z}^{\Delta^{n}{}_{*}}$ de $\widehat{\Delta}_{ab} \simeq \mathcal{A}b_{*}$ est universel pour les objets cosimpliciaux dans des cat. additives avec $\varinjlim$ quelc. (pour des foncteurs entre telles cat. qui commutent aux $\varinjlim$). Donc l'objet ⌜complexe de cochaînes correspondant⌝

314folio de l'auteur 14 ; numéro au crayon : 316 dans $\widehat{\Delta}_{ab} \simeq \mathcal{A}b_{*}$ est universel pour les complexes de cochaînes dans des cat. additives $\mathcal{A}$ avec $\varinjlim$. […] (NB On peut aussi interpréter $\mathcal{A}b_{*}$ comme $\mathcal{A}b.$ dans cette description de la cat. contenant l'objet universel…).

b) En dualisant et interprétant $n \longmapsto \mathbb{C}_{*}(\Delta^{n}{}_{*})$ comme objet simplicial dans $(\mathcal{A}b_{*})^{\circ}$ ⌜$= (\mathcal{A}b^{\circ})^{*}$⌝, […] regardée comme cat. additive avec $\varprojlim$, il est universel pour les cat. $\mathcal{B}$ avec $\varprojlim$ et foncteurs entre icelles y commutant. De même pour le complexe de chaînes associé.

Du point de vue de l'algèbre universelle, on […] que les […] ⌜on peut exprimer le contenu de ces⌝ réflexions de la façon suivante :

1.Les inv. contravariants « commutant aux $\varprojlim$ » en $X_{*} \in \mathcal{S}s$, à valeurs dans une cat. additive $\mathcal{A}$ avec $\varprojlim$, s'expriment en termes d'objets simpliciaux ou en termes de complexes de chaînes de $\mathcal{A}$.
2.Les constructions qui se font sur de tels invariants ⌜(pourvu qu'elles soient⌝ […] compatibles aux foncteurs $\mathcal{A} \to \mathcal{A}'$ commutant aux $\varprojlim$) s'expriment : à l'aide des objets de $(\mathcal{A}b_{*})^{\circ}$ (où se trouve l'objet simplicial — pour cat. add. à $\varprojlim$ — universel), ou de $(\mathcal{A}b.)$

et $1'$), $2'$) les énoncés duals (formels à partir de 1), 2)).

Si $F$, $K_{*}$, $K.$ se correspondent dans 1, on a \[\begin{cases} F(X_{*}) \simeq \mathrm{Hom}_{*}(\mathbb{C}_{*}(X_{*}), K_{*}) \simeq \mathrm{Hom}.(\mathbb{C}.(X_{*}), K.) \\ K. = ND.(K_{*}), \quad K_{*} = DP_{*}(K.) \end{cases}\] Si de même $\Omega$ est une « opération sur des invariants », et si $L_{*}$ ⌜$\in \mathcal{A}b_{*}$⌝ et $L. \in \mathcal{A}b.$ y sont associés, on aura \[\begin{cases} \Omega(F) \simeq \mathrm{Hom}_{*}(L_{*}, K_{*}) \simeq \mathrm{Hom}.(L., K.) \qquad (= \Omega_{*}(K_{*}),\ = \Omega.(K.)) \\ L. = ND.(L_{*}), \quad L_{*} = DP_{*}(L.) \end{cases}\] $\Omega$ a deux expressions « opération sur des $K^{*}$ » ($\Omega^{*}$) et « op. sur des $K^{\cdot}$ » ($\Omega^{\cdot}$) — opérations sur des objets de $\mathcal{B}$ […] : notion d'un complexe (semi-simpl. ou de chaînes) dans $\mathcal{B}$ (La signification des symboles $\mathrm{Hom}_{*}$ ⌜des $\mathcal{A}b_{*}$⌝ (resp. $\mathrm{Hom}.$ ⌜des $\mathcal{A}b.$⌝) pour […] un $C_{*}$ ou $L_{*}$ (resp. $C.$ ou $L.$) a été expliquée plus haut).

Dualement, ⌜pour⌝ les […] ⌜invariants⌝ ⌜d'objets $X_{*} \in \mathcal{S}s$⌝ covariants commutant aux $\varinjlim$, à valeurs dans $\mathcal{A}$, si $G$, $K^{*}$, $K^{\cdot}$ se correspondent, on aura \[\begin{cases} G(X_{*}) \simeq \text{\struck{\ill{}}}\;\mathbb{C}_{*}(X_{*}) \overset{*}{\otimes} K^{*} \simeq \text{\struck{\ill{}}}\;\mathbb{C}.(X_{*}) \dot{\otimes} K^{\cdot} \\ K^{\cdot} = ND^{\cdot}(K^{*}), \quad K^{*} = ND^{*}(K^{\cdot}) \end{cases}\] : préciser la signification de ces formules $K^{*} = ND^{*}(K^{\cdot})$ tel quel, là où l'on attend $DP^{*}$ et si l'opération $\Omega$, $L_{*}$ et $L.$ se correspondent, ($L_{*} \in \mathcal{A}b_{*}$, $L. \in \mathcal{A}b.$) on aura \[\begin{cases} \Omega(G) \simeq L_{*} \overset{*}{\otimes} K^{*} \simeq L. \dot{\otimes} K^{\cdot} \\ L. \simeq ND.(L_{*}), \quad L_{*} \simeq DP_{*}(L.) \end{cases}\]

315folio de l'auteur 15 ; numéro au crayon : 317 Remarques. a) On trouve en utilisant les deux objets ($L_{*}$ ou $L.$) pour exprimer des opérations sur invariants additifs contravariants, ou sur invariants ⌜« additifs »⌝ covariants (du type envisagé) — c'était clair à priori à cause du passage de $\mathcal{A}$ à $\mathcal{B}$ par ⌜passage à la⌝ catégorie opposée — mais l'op. définie par $L_{*}$ […] et $L.$ de façon contravariante dans le premier cas, covariante dans le deuxième.

b) On a en principe résolu, et de façon quasi-tautologique, la question initiale des […] […] ⌜déterminations des constructions⌝ possibles sur invariants contravariants ou covariants « additifs » du type envisagé : on trouve […] grosses catégories, $\mathcal{A}b_{*}$ ou $\mathcal{A}b.$ (ou […] passage qui de celles-ci à l'opposée). Cela tient au fait que l'on a admis des catégories de valeurs ⌜$\mathcal{A}$⌝ ⌜$\mathcal{B}$ ou $\mathcal{A}$,⌝ assez générales […] où on peut effectuer […] les $\varprojlim$, ou bien les $\varinjlim$ — ce qui a pour effet que un tas d'opérations peuvent s'effectuer sur les […] invariants invariants, et op. sur les invariants.

On trouvera par lors qu'en est plus restrictif sur les opérations qu'on se permet, […] ⌜ou des⌝ […] plus restrictif sur $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$, on trouve des catégories correspondantes d'opérations (ou constructions) sur invariants plus petites — […] en même temps qu'on trouve des cat. « universelles » plus petites […] ⌜types⌝ invariants additifs covariants ou contrav. possibles. […] De façon précise, il doit résulter des principes généraux (que je n'ai pas détaillés) que si […] $F_{0} : \text{\struck{\ill{}}}\ \widehat{\Delta}^{\circ} \to \mathcal{B}_{0}$ est l'objet de $((\mathcal{A}b_{*})^{\circ})_{*} \simeq (\mathcal{A}b^{*}{}_{*})^{\circ}$ qui exprime l'objet ⌜$\mathcal{B}_{0}$⌝ semi-simplicial additif universel, alors la […] catégorie cherchée d'opérations [correspondant à un type $L$ de cat. d'indices par rapport auxquelles on se propose de […] prendre des $\varprojlim$ — dans des cat. $\mathcal{B}$ où on regarde des inv. de nature contravariante — resp. des $\varinjlim$ — dans le cas de cat. $\mathcal{A}$ où on regarde les inv. de nature cov.] est la sous-catégorie pleine ⌜$U_{L}$⌝ de $\mathcal{B}_{0} = (\mathcal{A}b_{*})^{\circ}$ engendrée par $F_{0}(\Delta^{n})$ grâce aux $\varprojlim$ de type $L$, et ⌜correspondant⌝ donc à la sous-catégorie pleine de $\mathcal{A}b_{*}$ engendrée par les $\mathbb{C}_{0}(\Delta^{n})$ ⌜grâce aux⌝ $\varinjlim$ de type $L$. « $U_{L}$ » est écrit dans la marge gauche, avec un renvoi vers « de $\mathcal{B}_{0}$ »

316folio de l'auteur 16 ; numéro au crayon : 318 (c'est ce qu'on vérifie directement dans certains cas remarquables, p.ex. celui où $L = \emptyset$ et où on trouve la ⌜sous⌝-catégorie pleine de $\mathcal{A}b_{*}$ engendrée par ⌜les⌝ $\mathbb{C}_{0}(\Delta^{n})$ grâce aux seules sommes finies.

c) On a oublié de noter que […] dans le cas particulier $\mathcal{B} = \mathcal{A}b$, on trouve les deux types d'objets (savoir ceux de $\mathcal{A}b_{*}$ ou de $\mathcal{A}b.$ au choix) pour exprimer les objets inv. contravariants ⌜$F$⌝ possibles à valeurs dans $\mathcal{A}b$ (commutant aux $\varprojlim$) et les op. ⌜$\Omega$⌝ qu'on peut faire sur des inv. contrav. quelconques ⌜de⌝ ce type, dans une cat. […] ⌜additive⌝ à $\varprojlim$, on a déjà dit comment \[\begin{aligned} &F \text{ correspondant à } K_{*} \in \mathcal{A}b_{*} \text{ ou } K. \in \mathcal{A}b. \\ &\Omega \text{ \struck{\ill{}} \quad\quad\quad\quad\quad } L_{*} \in \mathcal{A}b_{*} \text{ ou } L. \in \mathcal{A}b. \end{aligned}\] comment donc s'exprime directement la correspondance entre $F$ et $\Omega$, si $K = L$ ? On trouve dans la seconde ligne, un trait horizontal tient lieu de « correspondant à » On veut ici les applications d'objets […] […] […] $\mathcal{A}b_{*}$ […] $\mathcal{A}b$ — attention, dans cette formule, renversant la variance par rapport à la situation — il s'agit bien des $F$ contravariants […] à val. dans $\mathcal{A}b$ […] […] et non dans $(\mathcal{A}b)^{\circ}$…) note marginale écrite en oblique entre les deux colonnes, reliée par un trait au « $(\mathcal{A}b)$ » et à la formule encadrée ; lecture très partielle si $F_{0} \in ((\mathcal{A}b_{*})^{\circ})_{*} = \mathcal{B}_{0*}$ ⌜$\simeq (\mathcal{A}b_{*}{}^{*})^{\circ}$⌝ est le […] ⌜invariant⌝ universel considéré, à valeurs dans $\mathcal{B}_{0} = (\mathcal{A}b_{*})^{\circ}$, alors pour tout $X_{*} \in \mathcal{S}s = \widehat{\Delta}$ \[\boxed{F(X_{*}) \simeq \Omega^{*}_{*}(\mathbb{C}_{*}(X_{*})^{\circ}) \simeq \Omega^{\cdot}.(\mathbb{C}.(X_{*})^{\circ})}\] où l'expression $\mathbb{C}_{*}(X_{*})$ ou $\mathbb{C}.(X_{*})$ signifie la même, mais considérée comme objet non de $\mathcal{A}b_{*}$ ⌜resp. $\mathcal{A}b.$⌝, mais de $(\mathcal{A}b_{*})^{\circ}$ $\mathcal{B}'^{*}$ ⌜resp. $\mathcal{B}'^{\cdot}$⌝, où $\mathcal{B}' = \mathcal{A}b^{\circ}$, de façon que $\Omega^{*}$ resp. $\Omega^{\cdot}$ se définisse sur $\mathcal{A}b_{*}$ resp. se définisse sur $\mathcal{B}'^{*}$ resp. $\mathcal{B}'^{\cdot}$ ($\Omega^{*}_{\mathcal{B}} : \mathcal{B}'^{*} \to \mathcal{B}'$, $\Omega^{\cdot}_{\mathcal{B}} : \mathcal{B}'^{\cdot} \to \mathcal{B}'$) a un sens sur $\mathbb{C}_{*}(X_{*})^{\circ}$ ⌜resp. $\mathbb{C}.(X_{*})$⌝, et c'est alors dans $\mathcal{B} = (\mathcal{A}b)^{\circ}$ qu'on a $F(X_{*})$ (à isom. can. près).

Tous ces développements sont encore valables pour une catégorie $\Delta$ (ess. petite) quelconque — et aussi dans le contexte non additif — dans […] avec les $\varinjlim$ et non les $\varprojlim$, qui, eux, viendraient des catégories de valeurs additives et la […] spécial de Dold–Puppe.

En fait (revenant aux types $L$ de cat. d'indices envisagés dans b)) on s'intéressera surtout aux inv. contravariants en $X_{*}$ provenant d'objets $K_{*} \in \mathcal{A}b_{*}$ qui sont des $U_{L}$ — i.e. qui peuvent se déduire des composantes $\mathbb{C}^{[n]}{}_{*} \in (\mathcal{A}b)_{*}$ (et des opérations semi-simpliciales entre ⌜icelles⌝) : à l'aide des ⌜$L$⌝ opérations $\Omega_{*}$ ⌜prenant par dessus, sur des $\mathbb{C}^{n}{}_{*} \in (\mathcal{A}b_{*})^{\circ}$⌝ […] ⌜et des op. différentielles […] […] de telles opérations […] […]⌝ dire que l'on s'intéresse aux foncteurs […] fin de page très surchargée ; plusieurs insertions superposées, l'ordre de lecture est incertain

317folio de l'auteur 17 ; numéro au crayon : 319 \[F : X_{*} \longmapsto F(X_{*}) : \widehat{\Delta}^{\circ} \to \mathcal{A}b\] qui peuvent se déduire du foncteur universel $\widehat{\Delta}^{\circ} \xrightarrow{\ F_{0}\ } (\mathcal{A}b_{*})^{\circ}$ (défini par $(F_{0})^{\circ}(X_{*}) \simeq \mathbb{C}_{*}(X_{*})$) en lui appliquant d'opération $\Omega$ ⌜pour $\Omega^{*} \in U^{L}$⌝, ou encore qui se déduisent du foncteur cov. universel \[\widehat{\Delta} \xrightarrow{\ F_{0}{}^{\circ} = (X_{*} \mapsto \mathbb{C}_{*}(X_{*}))\ } (\mathcal{A}b_{*})\] qui on dérivée par $\mathbb{C}_{*}$, en lui appliquant ⌜de telles⌝ $\Omega_{*}$. Ce […] ⌜qui⌝ se formule très ? Sous réserve que $L$ soit choisi pour que les deux formulations soient équivalentes en vertu des projecteurs ! équivalemment en termes de $\Omega^{\cdot}$, $\Omega.$ opérant sur $(\mathcal{A}b.)^{\cdot}$ ($\Omega^{\cdot} : \mathcal{A}b^{\cdot} \to \mathcal{A}b$, $\Omega. : \mathcal{A}b. \to \mathcal{A}b$), en remplaçant $\mathbb{C}_{*}(X_{*})$ par $\mathbb{C}.(X_{*})$.

e) Quel est le rôle dans tout ceci de DP ? […] D'un côté on travaille que l'avantage de $\mathcal{A}.$ sur $\mathcal{A}_{*}$, c'est que la description d'un objet y est nettement plus simple — on se perd facilement dans la description des op. semi-simpliciales ! — et donc dans nos $L.$, $L_{*}$, $L.$ est aussi nettement « moins gros » que $L_{*}$ ($\mathcal{A}b$ un type […] […] comme facteur direct), $L_{*}$ apparaît comme une sorte de version pléthorique de $L.$ ! d) ne figure pas sur ces pages : la liste passe de c), p. 316, à e)

Néanmoins, dès que (dans le cas de $\mathcal{A} = \mathcal{A}b_{k}$ disons) $\mathcal{A}b_{k*}$ et $\mathcal{A}b_{k}.$ ont chacun leur structure multiplicative — qui ne se correspondent pas par DP et ND — celle de $\mathcal{A}b_{k*}$ est plus simple à beaucoup d'égards, et s'introduit d'ailleurs de bien des façons par la suite de façon absolument impérieuse, alors que celle de $\mathcal{A}b_{k}.$ ne s'introduit pratiquement pas. le paragraphe « Néanmoins … pas » est marqué d'un trait vertical dans la marge De plus, pour les opérations tensorielles du type $\overset{i}{\wedge}$, $\overset{i}{\otimes}$, $\mathrm{Sym}^{i}$, elles manquent purement et simplement dans $\mathcal{A}b_{k}.$ (sauf de les définir par transposition de structure via DP !) alors qu'elles sont évidentes pour sur $\mathcal{A}b_{k*}$ ! Or ces structures également joueront un rôle essentiel par la suite.

Gribouillis vrac

titre pris sur une chemise bleue (numéro au crayon 320) écrite de sa main au crayon : « Pré Gribouillis vrac » et, plus bas, « Au Fil des Jours… » ; lecture de « Pré » douteuse. Les deux feuillets qui suivent sont des brouillons sur papier réglé, sans lien visible avec la suite paginée 1–17 qui précède

319numéro au crayon : 321 ; feuillet de calculs en désordre, sur les puissances divisées $\Gamma^{p}$, $\Gamma^{q}$, $\Gamma^{pq}$ ; on n'en donne que les formules principales \[\text{\struck{$F_{A}(\Gamma^{pq}(X)) \longrightarrow$}} \qquad \Gamma^{pq}(F_{A}(X)) \xrightarrow{\ \sigma^{X}_{pq}\ } F_{A}(\Gamma^{pq}(X)) , \qquad f \longmapsto \Gamma^{pq}(f) \circ u_{pq}\] \[(f^{(q)})^{(p)} \quad \Gamma^{p}(\Gamma^{q}(F_{A}(X))) \xrightarrow{\ \Gamma^{p}(\sigma^{X}_{q})\ } \Gamma^{p}F_{A}(\Gamma^{q}(X)) \longrightarrow F_{A}(\Gamma^{p}(\Gamma^{q}(X)))\] \[(\Gamma^{q}(f) \circ u_{q})^{(p)} \longmapsto \Gamma^{p}(\Gamma^{q}(f) \circ u_{q}) \circ u_{p}\] à droite, dans une boucle reliée par des flèches : $(\gamma^{A}_{pq} \circ \Gamma^{pq}(f) \circ u_{pq})$ et $F_{A}(\gamma^{X}_{p,q})$ ; une ligne surchargée et biffée au milieu

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  A \arrow[r, "u_{pq}"] \arrow[d, "u_{p}"'] & \Gamma^{pq}(A) \arrow[r, "\Gamma^{pq}(f)"] & \Gamma^{pq}(X) \arrow[d, "\gamma^{X}_{pq}"] \\
  \Gamma^{p}(A) \arrow[r, "\Gamma^{p}(u_{q})"'] & \Gamma^{p}(\Gamma^{q}(A)) \arrow[r, "{\Gamma^{p}(\Gamma^{q}(f))}"'] & \Gamma^{p}(\Gamma^{q}(X))
\end{tikzcd}

deux flèches obliques, partant de $\Gamma^{p}(A)$ et de $\Gamma^{p}(\Gamma^{q}(A))$ vers la ligne du haut, sont à demi biffées \[f : A \to X, \qquad \Gamma^{q}f : \Gamma^{q}A \to \Gamma^{q}X, \qquad \Gamma^{q}f \circ u_{q} \ (\text{de } A)\] $X = A$, $f = \mathrm{id}_{A}$ :

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  A \arrow[r, "u_{pq}"] \arrow[d, "u_{p}"'] & \Gamma^{pq}(A) \arrow[d, "\gamma^{A}_{pq}"] \\
  \Gamma^{p}(A) \arrow[r, "\Gamma^{p}(u_{q})"'] & \Gamma^{p}(\Gamma^{q}(A))
\end{tikzcd}

ce carré est entouré d'un trait

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\begin{tikzcd}
  A \otimes A \arrow[r, "u_{p} \otimes u_{q}"] & \Gamma^{p}(A) \otimes \Gamma^{q}(A) \arrow[d, "\mu^{A}_{p,q}"] \\
  A \arrow[u, "\Delta"] \arrow[r, "c_{pq}\, u_{p+q}"'] & \Gamma^{p+q}(A)
\end{tikzcd}

le nom de la flèche verticale de droite est surchargé ; $\mu$ est une lecture douteuse, de même que « $c_{pq}$ » sous la flèche du bas \[\boxed{u_{p} \cdot u_{q} = c_{pq}\, u_{p+q}} \quad \text{dans} \quad \mathrm{Hom}_{1}(A, \Gamma^{\cdot} A) \simeq (\mathrm{Hom}_{1}(\mathrm{Sym}^{\cdot}\check{A}, \check{A})) \qquad \boxed{\begin{array}{l} u_{0} = 1 \\ u_{1} = \mathrm{id} \end{array}}\] qui est une alg. grâce à la structure de cog. sur $A$ et la structure d'alg. de $\Gamma^{\cdot} A$ au-dessus de $\mathrm{Hom}_{1}$, une flèche venant de « $k\{T\}$ »

320numéro au crayon : 322 ; la moitié supérieure de la page est barrée d'un long trait oblique \[X \xrightarrow{\ \text{dérivé}\ } Y, \qquad \Gamma^{n}(X) \nearrow, \qquad F(X) \overset{?}{\longrightarrow} F(Y)\] \[F(\Gamma^{n}X) \longrightarrow F(Y), \qquad \Gamma^{n}(F(X)) \longrightarrow F(\Gamma^{n}X)\] ce premier bloc est séparé du suivant par un trait horizontal \[F_{A}(X) = \mathrm{Hom}_{1}(A, X)\] \[\Gamma^{n}F_{A}(X) \overset{?}{\longrightarrow} F_{A}(\Gamma^{n}X)\] \[\Gamma^{n}\mathrm{Hom}_{1}(A, X) \xrightarrow{\ \beta\,?\ } \mathrm{Hom}_{1}(A, \Gamma^{n}X)\] $\beta(u^{(n)}) \to \ldots\ \Gamma^{n}(u)$ fonctorielle en […] \[X \longrightarrow X \otimes X\] \[F_{C}(X \otimes Y) \xleftarrow{\ f\ } F_{A}(X) \times F_{B}(Y) \qquad \text{bilin., fonction en } X, Y\] si $X = Y = A$, c'est […] $\mathrm{id}_{A}$, $\mathrm{id}_{A}$ donne une flèche \[A \longrightarrow A \otimes A\]

a)associativité ⌜coassoc.⌝ : morphisme de la cohom. […]
b)commutative ⌜cocommutative⌝
c)compatible avec $1$ i.e. $k \to F_{A}(\mathbb{1}) = \mathrm{Hom}(A, \mathbb{1})$

i.e. counité $A \xrightarrow{\ n\ } \mathbb{1}$ l'étiquette de la flèche $X \to Y$ est lue « dérivé » avec doute ; celle de $A \to \mathbb{1}$ est lue « $n$ »