Fonds Grothendieck, cote n° 136, pages 261–280

le calcul qui ouvre la page continue un exemple commencé avant ce lot.

Ex. M = S[-i], d … \begin{aligned} H_i\bigl(R^{*}\varphi_N\,\tau_N(P)\bigr) &\simeq \mathbb{R}\operatorname{Hom}\bigl(\tau_N(S[-i]),\,P\bigr)\\ &\simeq \mathbb{R}\operatorname{Hom}\bigl((\tau_{N-i}S)[-i],\,P\bigr)\\ &\simeq \mathbb{R}\operatorname{Hom}^{i}(\tau_{N-i}S,\,P), \end{aligned} donc \bigl(R^{n}\varphi_N(\tau_N P)\bigr)_i = \operatorname{Ext}^{n}\bigl((\tau_{N-i}S)[-i],\,P\bigr).

NB (c'est valable aussi en remplaçant \varphi_N par \varphi_{N',N} (N'\leq N), pourvu que i \geq N' (si i < N', on trouve 0 bien sûr !)).

NB Supposons P \in \operatorname{Im\,ess}\varphi_{N',N} (N'\leq N), i.e. P \xrightarrow{\sim} \varphi_{N',N}\tau_N P = R^{0}\varphi_{N',N}(\tau_N P). Alors R^{n}(\varphi_{N',N}(\tau_N P)) = 0 si n>0, i.e. \operatorname{Ext}^{n}(\tau_{N-i}(S)[-i],\,P) = 0 si i \geq N', n>0. En effet, cela revient à passage encadré et barré de traits obliques ; suit une formule biffée, ~~R^{n}\varphi_N\tau(P)~~, avec un M_N au-dessous.

Soit C une catégorie abélienne, et N'_0 \leq N dans \mathbb{Z}, et C \xrightarrow{\;i\;} M_{N'_0} un foncteur exact, tel que i(C) \subset \operatorname{Im\,ess}\varphi_{N'_0,N}, i.e. i(M) \xrightarrow{\sim} \varphi_{N'_0,N}\,\tau_{N,N'_0}\,i(M). l'indice que nous rendons par N'_0 porte un signe en exposant (prime ou astérisque) mal formé ; même lecture dans toute la page. Je dis que l'on a \bigl(R^{n}\varphi_{N'_0,N}\bigr)(\tau_{N,N'_0}\circ i) = 0 \quad\text{si } n>0. En effet, comme i \simeq \varphi_{N'_0,N}\,\tau_{N,N'_0}\,i, on conclut \begin{aligned} R^{*}i &\simeq R^{*}\bigl(\varphi_{N'_0,N}\,\tau_{N,N'_0}\,i\bigr)\\ &\simeq \bigl(R^{*}\varphi_{N'_0,N}\bigr)(\tau_{N,N'_0}\circ i) \quad\text{car } \tau_{N,N'_0}\circ i \text{ exacte}, \end{aligned} et R^{*}i \simeq i car i exact.

d'où la conclusion.

Le cas qui nous intéresse est N'_0 = 0 \leq N, C = \operatorname{Mod}(k), i(M) = M\otimes_k S, et on sait que M\otimes_k S \subset \operatorname{Im\,ess}\varphi_{0N} \qquad \forall M \in \operatorname{Mod}(k), i.e. M\otimes_k S \simeq \varphi_{0N}\,\tau_N(M\otimes_k S) \quad\bigl(= R^{0}\varphi_{0N}(\tau_N M\otimes_k S)\bigr) ; alors on a R^{n}\varphi_{0N}\bigl(\tau_N(M\otimes_k S)\bigr) = 0 \quad\text{si } n>0, au-dessous de \varphi_{0N}\tau_N(M\otimes_k S), un signe = vertical mène à une formule biffée, ~~\operatorname{Hom}((\tau_{N-i}S)[-i],~~ ~~M\otimes~~. i.e. (encadré) \boxed{\operatorname{Ext}^{n}_{\mathcal{M}}\bigl((\tau_{N-i}S)[-i],\,M\otimes_k S\bigr) = 0 \quad\text{si } n>0,\ i\geq 0.}

\operatorname{Hom}_{\mathcal{M}}(M,\,\varphi_\omega P) \simeq \dots \simeq \varinjlim_N \operatorname{Hom}^{*}_{\mathcal{M}}(\tau_{N-i}M,\,P) l'indice N-i de \tau est douteux à la première ligne. Sous le premier \simeq, un renvoi : « si M de prés. finie ».

Si de plus M projectif, \operatorname{Hom}\bigl(M,\,R^{*}\varphi_\omega(P)\bigr) \simeq \varinjlim_N \mathbb{R}\operatorname{Hom}_{\mathcal{M}}\bigl((\tau_{N-i}M)[-i],\,-\bigr), un symbole est noirci avant la virgule dans le dernier membre. en particulier \operatorname{Hom}\bigl(M,\,R^{n}\varphi_\omega P\bigr) \simeq \varinjlim_N \operatorname{Ext}^{n}_{\mathcal{M}}\bigl((\tau_{N-i}M)[-i],\,P\bigr). P. ex. si M = S[i], on trouve \begin{aligned} \bigl(\text{\struck{$R^{*}$}}(\varphi_\omega P)\bigr)_i &= \varinjlim_N \operatorname{Hom}^{i}(\tau_{N-i}S,\,P),\\ \bigl(R^{*}\varphi_\omega(\tau_\omega P)\bigr)_i &\simeq \varinjlim_N R^{*}\operatorname{Hom}^{i}\bigl(\tau_{N-i}(S),\,P\bigr),\\ \bigl(R^{n}\varphi_\omega(\tau_\omega P)\bigr)_i &\simeq \varinjlim_N \operatorname{Ext}^{n}_{\mathcal{M}}\bigl(\tau_{N-i}(S)[-i],\,P\bigr). \end{aligned} la dernière ligne est précédée d'un début biffé illisible, .

Si C \xrightarrow{\;i\;} \mathcal{M}_{N_0} est un foncteur exact, \operatorname{Im\,ess} i \subset \operatorname{Im\,ess}\varphi_{N_0,\omega}, alors on a i \simeq \varphi_{N_0,\omega}\,\tau_{\omega,N_0}\,i, d'où \bigl(R^{*}\varphi_{N_0,\omega}\bigr)(\tau_{\omega,N_0}\circ i) \simeq R^{*}i ; en particulier \bigl(R^{n}\varphi_{N_0,\omega}\bigr)\bigl(\tau_{\omega,N_0}\,i(M)\bigr) = 0 \quad\text{si } n>0,\ M\in\operatorname{ob}C. On est intéressé au même cas particulier qu'avant.

Soit K^{\bullet} un complexe de C, L^{\bullet} un complexe de \mathcal{M}, et supposons donné un hom dans la catégorie dérivée D(\mathcal{M}_{N_0}) i(K^{\bullet}) \xrightarrow{\;\alpha\;} L^{\bullet} tel que \tau_{\omega,N_0}\,i(K) \xrightarrow[\sim]{\;\tau_\omega\alpha\;} \tau_{\omega,N_0}L^{\bullet} soit un isom dans D(\mathcal{M}_\omega), i.e. tel que \forall n, H^{n}(\alpha) : H^{n}\bigl(i(K)\bigr) \longrightarrow H^{n}(L^{\bullet}), \qquad H^{n}\bigl(i(K)\bigr) \simeq i\bigl(H^{n}(K)\bigr), soit un quasi-isom, i.e. noyau et conoyau sont négligeables. On en conclut

on obtient que \mathbb{R}\varphi_{0,\omega} \bigl(\mathbb{R}^{*}\varphi_{N_0,\omega}\bigr)(\tau_{\omega,N_0}\,i)(K) \simeq \bigl(\mathbb{R}^{*}\varphi_{N_0,\omega}\bigr)(\tau_{\omega,N_0}L^{\bullet}) i.e. i(K) \simeq \underbrace{\bigl(\mathbb{R}^{*}\varphi_{N_0,\omega}\bigr)(\tau_{\omega,N_0}L^{\bullet})}_{L'^{\bullet}}. le membre de gauche de la première ligne est souligné d'un trait renvoyant à i(K) de la seconde.

~~Je dis que l'hom d'augmentation~~ Mais c'est là un isom dans D(\mathcal{M}_{N_0}) seulement, — rien de plus précis que le domaine de départ — on aimerait un isom dans D(C). Comme on suppose i pl. fidèle et avec un adjoint à droite k, donc k\circ i \simeq \mathrm{id}_C, et on suppose k exact. Appliquant k à l'isom obtenu, on trouve \begin{aligned} K^{\bullet} &\simeq k\Bigl(\mathbb{R}^{*}\varphi_{N_0,\omega}\bigl(\tau_{\omega,N_0}L\bigr)\Bigr)\\ &\simeq \bigl(\mathbb{R}^{*}(k\,\varphi_{N_0,\omega})\bigr)(\tau_{\omega,N_0}L^{\bullet}) \end{aligned} i.e. K^{\bullet} se reconstitue dans D(C) à l'aide de \tau_{\omega,N_0}\bigl(i(K^{\bullet})\bigr) \simeq \tau_{\omega,N_0}(L^{\bullet}) dans D(\mathcal{M}_\omega). ~~On va simplifier l'expression obtenue, en considérant~~ \text{\struck{$\varphi_{N_0,\omega}(\tau_{\omega,N_0}L^{\bullet}) \longrightarrow \mathbb{R}^{*}\varphi_{N_0,\omega}(\tau_{\omega,N_0}L)$}} ~~Lemme. Cet hom est un quasi-isomorphisme.~~

~~Corollaire.~~ \text{\struck{$K^{\bullet} \simeq k\,\varphi_{N_0,\omega}(\tau_{\omega,N_0}L^{\bullet})$}} \text{\struck{$\simeq k\,\varphi_{N_0,\omega}(\tau_{\omega,N_0}\,i\,K)$}} tout ce dernier passage, depuis « On va simplifier », est encadré et barré de traits obliques.

C \longrightarrow \mathcal{M}_\omega = \sigma ; en retour : k\,\varphi_{N_0,\omega} = \psi. une flèche courbe revient de \mathcal{M}_\omega vers C, marquée k\varphi_{N_0\omega}=\psi ; le nom du foncteur aller, au-dessus, est surchargé et illisible (il s'agit vraisemblablement du composé de i et de la troncation \tau_{\omega,N_0}).

\sigma pl. fidèle, adj. à droite \psi, \psi\sigma \xleftarrow{\;\sim\;} \mathrm{id}_C ~~\psi exact~~ ; \sigma exact ; k exact ; mais \psi peut-être pas exact.

~~\mathbb{R}~~ \sigma(K^{\bullet}) \longrightarrow L^{\bullet}_\omega quasi-isom dans \mathcal{M}_\omega. (R^{*}\psi)\,\sigma(K^{\bullet}) \xrightarrow{\;\sim\;} R^{*}\psi(L^{\bullet}_\omega) \xleftarrow[\;\sim\;]{?} \psi(L^{\bullet}_\omega) où \sigma(K^{\bullet}) = R^{*}\sigma\,K, et (R^{*}\psi)\,\sigma(K^{\bullet}) = R^{*}(\psi\sigma)(K) \simeq K \qquad (\psi\sigma \simeq \mathrm{id}). H^{*}\bigl(\mathbb{R}\psi(L^{\bullet}_\omega)\bigr) \Longleftarrow E_2^{pq} = R^{q}\psi\bigl(H^{p}(L^{\bullet}_\omega)\bigr) si R^{q}\psi\bigl(H^{p}(L^{\bullet}_\omega)\bigr) = 0 pour q>0 \text{\struck{$E_1^{p,q} \to E_1^{p+1,q}$,\quad $E_2^{p,q} \to E^{p+2,q-1}$}} On trouve H^{n}\bigl(\mathbb{R}\psi(L^{\bullet}_\omega)\bigr) \simeq \psi\bigl(H^{n}(L^{\bullet}_\omega)\bigr). ce calcul par la suite spectrale est traversé de deux grands traits obliques ; le R^{*}\psi placé au-dessus de H^{*} est biffé.

\begin{aligned} i(K^{\bullet}) &\longleftarrow L^{\bullet}\\ \tau_{\omega N_0}\,i(K^{\bullet}) &\rightleftarrows \tau_{\omega N_0}(L^{\bullet})\\ K^{\bullet} &\simeq \mathbb{R}^{*}(k\circ\varphi_\omega)\bigl(\tau_{\omega N_0}(L^{\bullet})\bigr) \end{aligned} ces trois lignes sont également traversées de traits obliques.

D\bigl(\operatorname{Mod}(k)\bigr) \longrightarrow D(\mathcal{M}_\omega) \quad\text{pl.\ fidèle}

~~\psi\sigma = \mathrm{id}~~

\begin{tikzcd} D^{+}(C) \arrow[r, bend left=20, "R\sigma"] & D^{+}(\mathcal{M}_\omega) \arrow[l, bend left=20, "R\psi"] \end{tikzcd}

\psi\sigma \xleftarrow{\;\sim\;} \mathrm{id}_C, \qquad \sigma\psi \longrightarrow \mathrm{id}_{\mathcal{M}_\omega} ces deux relations sont écrites en haut à droite de la page.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal, nodes={font=\small}] & & {\operatorname{Hom}(R\sigma K,\, R\sigma R\psi(L))} \arrow[dll] \\ {\operatorname{Hom}(R\sigma(K),\, L)} \arrow[rr, "{?\ \sim}"] \arrow[dr] & & {\operatorname{Hom}(K,\, R\psi(L))} \arrow[u] \arrow[dl, no head, "\wr" description] \\ & {\operatorname{Hom}(R\psi R\sigma K,\, R\psi L)} & \end{tikzcd}

avec R\sigma R\psi(L) = \mathbb{R}(\sigma\psi)(L) et R\psi R\sigma K = R(\psi\sigma)(K) \simeq K.

\begin{tikzcd} {R\sigma R\psi R\sigma K} \arrow[d] & {R\sigma R\psi L} \arrow[d] \\ R\sigma K & L \end{tikzcd}

D^{+}C \longrightarrow D^{+}\mathcal{M}_\omega pl. fid., compatible avec multiplication.

C \xrightarrow{\;i\;} \mathcal{M}, \qquad M \longmapsto M\otimes_k S i \xrightarrow{\;\sim\;} \varphi_{0,N}\,\tau_{N,0}\, i un symbole est noirci entre \tau_{N,0} et i. M \hookrightarrow M^{[N,+\infty[} \rightrightarrows M^{[N,+\infty]\times\mathbb{N}} x \longmapsto (c_{i,k-i}\,x)_{k\geq N}, \qquad (x_k)_{k\geq N} \rightrightarrows \bigl(c_{\ell,k}\,x_k - c_{\ell,k-i}\,x_{k+\ell}\bigr) \quad (0\leq i\leq N) les deux flèches parallèles sont celles d'un noyau ; l'indice 0\leq i\leq N est écrit au-dessus de la formule de droite. M \longmapsto \underline{\operatorname{Hom}}^{*}_{k}(S,\,M) \varphi^{0,N}\,\tau^{N,0}\circ i \longrightarrow i \qquad \text{syst.\ des } \underline{\operatorname{Hom}}_k(S_i,\,M) \simeq S\otimes_k M au-dessous : « \mathrm{Ab} » et « \operatorname{Ind}(\mathrm{Ab}) ». M\otimes_k S_i \longrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}^{i}\bigl(\tau_{N-i}(S),\,M\otimes_k S\bigr)

C cat. ab. k-linéaire (i.e. k \to \operatorname{End}(\mathrm{id}_C)),

X objet de C,

M un k-module ( dans

\underline{\operatorname{Hom}}(M,X) \in C défini par \operatorname{Hom}\bigl(Y,\,\underline{\operatorname{Hom}}(M,X)\bigr) = \operatorname{Hom}_k\bigl(M,\,\operatorname{Hom}_C(Y,X)\bigr), M\otimes_k X défini par \operatorname{Hom}(M\otimes_k X,\,Y) \simeq \operatorname{Hom}_k\bigl(M,\,\operatorname{Hom}_C(X,Y)\bigr). Dans le ça existe ; M \longmapsto \underline{\operatorname{Hom}}(M,X) \quad\text{et}\quad \text{\struck{$M\mapsto$}}\ M \longmapsto M\otimes_k X est exact à droite —

P \to Q \to R, \qquad P \to Q \to Z' \to 0, \qquad Z' \to R \text{\struck{$P \to Z \to 0$\quad $0 \to Z \to Q \to Z' \to 0$}} considérons T ; 0 \to Z' \to R, \qquad T(P) \to T(Q) \to T(Z') \to 0

\begin{tikzcd}[column sep=small] T(Z) \arrow[r] & T(Q) \\ T(P) \arrow[u] & \end{tikzcd}

T(Q)/I \simeq T(Z') \overset{?}{\hookrightarrow} T(R), \qquad I = \operatorname{Im}\bigl(T(P)\bigr) 0 \to Z \to Q \to Z' \hookrightarrow R, \qquad T(Z) \to T(Q) \to T(Z') \to 0 I \hookrightarrow R vérifier injective en

transformer en surjection par \operatorname{Hom} Z' \hookrightarrow R P \to Q \to I \hookrightarrow R, \qquad I \to 0 T(P) \leftarrow T(Q) \leftarrow T^{\bullet}(I) \leftarrow 0, \qquad T(I) = \operatorname{Ker}\bigl(T(Q) \to T(P)\bigr) \operatorname{Hom}(P,M), \qquad \operatorname{Hom}_{C,S}\bigl(\mathbb{N},\,\operatorname{Hom}(P,M)\bigr) \text{\struck{$\operatorname{Hom}(\mathbb{N}\otimes P,\,M)$}}, \qquad \operatorname{Hom}_{\otimes} une grande ligne courbe sépare, sur la page, les calculs de gauche de cette colonne de droite. \begin{matrix} T(R) & & & \\ \text{\struck{$\mathbb{Z}^{[N,+\infty[\times\mathbb{N}}$}} & \mathbb{Z}^{[N,+\infty]} & & \mathbb{Z}\\ \| & \| & & \|\\ P & \longrightarrow\ Q & \longrightarrow & R \longrightarrow 0\\ & & & \cup\\ & & & R' \end{matrix} une flèche oblique va de Q à R'. (\lambda_{k,\ell})_{k\geq N,\ \ell\geq 0} \longmapsto \sum_{k,\ell}\lambda_{k,\ell}\bigl(c_{\ell,k}\,e_k - c_{\ell,k-i}\,e_{k+\ell}\bigr) (\lambda_k)_{k\geq 0} \longmapsto \sum \ill{} la dernière expression est entourée et entièrement hachurée ; on y devine c_{\ell,k-i}\lambda_k.

S = k[U], \qquad U^{n} = U_n \text{ de degré } -n ou S^{k} = k\{\{T\}\} à priori en S-modules (gradués) avec S = k\{T\}.

M \in \operatorname{Mod}(k),

M \longmapsto M\otimes_k S un foncteur C = \operatorname{Mod}(k) \xrightarrow{\;i_*\;} \operatorname{Mod\,gr.}\,k\{T\} = \mathcal{M}. Si N\in\mathbb{Z}, \sigma_N(P) = P/\tau_{N+1}(P) « cotronqué » en dim N (\leftarrow « tronqué à gauche »), \sigma_N(P)_i = \begin{cases} P_i & \text{si } i\leq N,\\ 0 & \text{si } i>N.\end{cases} Considérons le composé \sigma_N\circ i_* (N\leq 0, on fera N\to-\infty).

Th. Le foncteur \tau_N\,i_* est pl. fid. \operatorname{Hom}_{\text{\struck{gr}}\,\mathcal{M}}\bigl(M\otimes_k S,\,\tau^{N}P\bigr) = \operatorname{Hom}_k\bigl(M,\,\operatorname{Hom}_{\mathcal{M}}(S,\,\ill{})\bigr) \operatorname{Hom}_{\mathcal{M}_N}\bigl(\tau^{N}M\otimes_k S,\,\tau^{N}N\otimes_k S\bigr) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{M}}\bigl(M\otimes_k S,\,i^{N}\tau^{N}(N\otimes_k S)\bigr) = \operatorname{Hom}_k\bigl(M,\,\operatorname{Hom}_{\mathcal{M}}(S,\,i^{N}\tau^{N}-)\bigr) \operatorname{Hom}_{\mathcal{M}}\bigl(S,\,\tau^{N}N\otimes_k S\bigr) \simeq N\ ?? au-dessous, en regard : \operatorname{Hom}_{V(S),\,\mathrm{gr}}\bigl(V(N\otimes S),\,V(S)\bigr). \operatorname{Hom}_S(S,\,M\otimes_k S), \qquad \operatorname{Hom}_{\mathrm{coalg}}(S,\,M\otimes_k S) = \operatorname{Hom}_{V(S)\text{-}\ill{}}\bigl(\operatorname{Hom}_k(M,\,V(S)),\,V(S)\bigr) \text{\struck{$D$}}\ V_S(M) = V(M\otimes_k S) = \bigl(k' \mapsto \operatorname{Hom}_k(M,\,S^{k'})\bigr) V(S) monoïde, \operatorname{Hom} V_S(M).

À gauche de la page : U_{n+k} \xrightarrow[\;T^{(k)}\;]{\;c_{n,k}\;} U_n, \qquad \operatorname{P}_\infty \eta_n \in P_{-n}, \qquad \xi_n\,T^{(k)}\,\eta_{n+k} = c_{n,k}\,\eta_n \text{\struck{\ill{}}}, \qquad \eta_{n+k} = \xi_n \ill{} \xi_{n+k}\,T^{(k)}\,U_{n+k} = \xi_n\,c_{n,k}\,U_n, \qquad T^{(k)}U_{n+k} = c_{n,k}\,U_n, c_{n,k}\,(\eta_{n+k} - \xi_n) = 0. le placement des expressions de cette page, en deux colonnes séparées par un trait, est simplifié ; la lecture des indices de \eta et \xi est incertaine.

la moitié supérieure de la page porte les calculs ci-dessous, à l'endroit ; la moitié inférieure, écrite tête-bêche, est donnée ensuite. M\otimes S\otimes M'\otimes S, \qquad M\otimes M'\otimes S\otimes S \begin{aligned} &\mathrm{id}_M\otimes u_S\otimes \mathrm{id}_{M'}\otimes \mathrm{id}_S, &\quad &\mathrm{id}_{M'}\otimes u_S\otimes \mathrm{id}_S,\\ &\mathrm{id}_M\otimes \mathrm{id}_S\otimes \mathrm{id}_{M'}\otimes u_S, & &\mathrm{id}_{M'}\otimes \mathrm{id}_S\otimes u_S \end{aligned} ces quatre lignes, d'une encre plus pâle, sont écrites dans la marge du haut. S\boxtimes S = S, \qquad S\boxtimes C \simeq C, \qquad SL \boxed{(M\otimes_k S)\boxtimes_S C \simeq M\otimes_k C}\ ? \{M\otimes_k S\}\otimes_k C \longleftarrow M\otimes_k C, \qquad \begin{aligned} &\mathrm{id}_M\otimes u_S\otimes \mathrm{id}_C\\ &\mathrm{id}_M\otimes \mathrm{id}_S\otimes u_C \end{aligned} en regard, à droite, « \mathrm{MON} » et un petit cercle pointé, \odot. C \longrightarrow C\otimes_k S \rightrightarrows C\otimes_k S\otimes_k S \text{\struck{$V(S)\otimes V(C) \to V(C')$}}, \qquad \operatorname{Hom}_k(M,\,S^{k'})\times C^{k'} \longrightarrow C'^{k'} V(M\otimes_k S)(k') = \operatorname{Hom}_k(M,\,S^{k'}), \operatorname{Hom}_{k'}(M\otimes_k S,\,k') = \operatorname{Hom}_k(M,\,S^{k'}) \quad\text{est un } S^{k'}\text{-module\,!}

moitié inférieure, tête-bêche ; elle est traversée d'un long trait oblique et, en partie, entourée. \alpha_*(\mathbb{1}),\ \gamma_0^{(i)}, \qquad \Delta\gamma_0^{i} = \sum_{j+k=i} \gamma_0^{j}\otimes\gamma_0^{k} \beta_*(t) = \sum t^{(i)}\gamma_0^{i} = \exp(t\gamma_0) A^{n}\,\widehat{\otimes}\,A^{n} \longleftarrow A^{n} \bigl(A^{*}(\Sigma,\Sigma_+,t)\bigr)^{k'} = A_*\bigl(\Sigma^{k'},\Sigma_+^{k'},t^{k'}\bigr), \qquad A_*(S,S^{+},t) A^{*}(\Sigma,\Sigma_+,t)^{\vee} = A_*^{\wedge}\bigl(\check\Sigma,\check\Sigma_+,\check t\bigr) \Sigma/k : \Sigma \supset \Sigma' coalgèbre avec sous-coalgèbre et puissances divisées , on se donne \Sigma \xrightarrow{\;t\;} k \Sigma'. 0 \longrightarrow \text{\struck{$\Sigma'$}}^{\,k+} \longrightarrow \Sigma^{k} \longrightarrow \Sigma'^{k}, \qquad t_k, \qquad k\{\{T\}\}\{\{\gamma_0,\,-\gamma_0\}\} sous la suite exacte, « l'idéal » ; le passage entouré, sur les coalgèbres à puissances divisées et leur sous-coalgèbre, est très raturé et nos lectures y restent douteuses. Le calcul se poursuit vraisemblablement au-delà du lot.