Cote n° 136, pages 261–280

Cote n° 136 · batch 14 · pages 261–280 · Transcription · Complexe de De Rham à puissance divisée [conférence de 1976 à l’IHÉS] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1975-1976]
Édition de démonstration

262le calcul qui ouvre la page continue un exemple commencé avant ce lot.

Ex. $M = S[-i]$, […] d[…] … \[ \begin{aligned} H_i\bigl(R^{*}\varphi_N\,\tau_N(P)\bigr) &\simeq \mathbb{R}\operatorname{Hom}\bigl(\tau_N(S[-i]),\,P\bigr)\\ &\simeq \mathbb{R}\operatorname{Hom}\bigl((\tau_{N-i}S)[-i],\,P\bigr)\\ &\simeq \mathbb{R}\operatorname{Hom}^{i}(\tau_{N-i}S,\,P), \end{aligned} \] donc \[ \bigl(R^{n}\varphi_N(\tau_N P)\bigr)_i = \operatorname{Ext}^{n}\bigl((\tau_{N-i}S)[-i],\,P\bigr). \]

NB (c'est valable aussi en remplaçant $\varphi_N$ par $\varphi_{N',N}$ ($N'\leq N$), pourvu que $i \geq N'$ (si $i < N'$, on trouve $0$ bien sûr !)).

NB Supposons $P \in \operatorname{Im\,ess}\varphi_{N',N}$ $(N'\leq N)$, i.e. $P \xrightarrow{\sim} \varphi_{N',N}\tau_N P = R^{0}\varphi_{N',N}(\tau_N P)$. Alors $R^{n}(\varphi_{N',N}(\tau_N P)) = 0$ si $n>0$, i.e. $\operatorname{Ext}^{n}(\tau_{N-i}(S)[-i],\,P) = 0$ si $i \geq N'$, $n>0$. En effet, cela revient à passage encadré et barré de traits obliques ; suit une formule biffée, $R^{n}\varphi_N\tau(P)$, avec un $M_N$ au-dessous.

Soit $C$ une catégorie abélienne, ⌜et $N'_0 \leq N$ dans $\mathbb{Z}$,⌝ et \[ C \xrightarrow{\;i\;} M_{N'_0} \] un foncteur exact, tel que \[ i(C) \subset \operatorname{Im\,ess}\varphi_{N'_0,N}, \] i.e. \[ i(M) \xrightarrow{\sim} \varphi_{N'_0,N}\,\tau_{N,N'_0}\,i(M). \] l'indice que nous rendons par $N'_0$ porte un signe en exposant (prime ou astérisque) mal formé ; même lecture dans toute la page. Je dis que l'on a \[ \bigl(R^{n}\varphi_{N'_0,N}\bigr)(\tau_{N,N'_0}\circ i) = 0 \quad\text{si } n>0. \] En effet, comme $i \simeq \varphi_{N'_0,N}\,\tau_{N,N'_0}\,i$, on conclut \[ \begin{aligned} R^{*}i &\simeq R^{*}\bigl(\varphi_{N'_0,N}\,\tau_{N,N'_0}\,i\bigr)\\ &\simeq \bigl(R^{*}\varphi_{N'_0,N}\bigr)(\tau_{N,N'_0}\circ i) \quad\text{car } \tau_{N,N'_0}\circ i \text{ exacte}, \end{aligned} \] et $R^{*}i \simeq i$ car $i$ exact.

264d'où la conclusion.

Le cas qui nous intéresse est $N'_0 = 0 \leq N$, $C = \operatorname{Mod}(k)$, $i(M) = M\otimes_k S$, et on sait que \[ M\otimes_k S \subset \operatorname{Im\,ess}\varphi_{0N} \qquad \forall M \in \operatorname{Mod}(k), \] i.e. \[ M\otimes_k S \simeq \varphi_{0N}\,\tau_N(M\otimes_k S) \quad\bigl(= R^{0}\varphi_{0N}(\tau_N M\otimes_k S)\bigr) ; \] alors on a \[ R^{n}\varphi_{0N}\bigl(\tau_N(M\otimes_k S)\bigr) = 0 \quad\text{si } n>0, \] au-dessous de $\varphi_{0N}\tau_N(M\otimes_k S)$, un signe $=$ vertical mène à une formule biffée, $\operatorname{Hom}((\tau_{N-i}S)[-i],$ $M\otimes$. i.e. (encadré) \[ \boxed{\operatorname{Ext}^{n}_{\mathcal{M}}\bigl((\tau_{N-i}S)[-i],\,M\otimes_k S\bigr) = 0 \quad\text{si } n>0,\ i\geq 0.} \]

\[ \operatorname{Hom}_{\mathcal{M}}(M,\,\varphi_\omega P) \simeq \dots \simeq \varinjlim_N \operatorname{Hom}^{*}_{\mathcal{M}}(\tau_{N-i}M,\,P) \] l'indice $N-i$ de $\tau$ est douteux à la première ligne. Sous le premier $\simeq$, un renvoi : « si $M$ de prés. finie ».

Si de plus $M$ projectif, \[ \operatorname{Hom}\bigl(M,\,R^{*}\varphi_\omega(P)\bigr) \simeq \varinjlim_N \mathbb{R}\operatorname{Hom}_{\mathcal{M}}\bigl((\tau_{N-i}M)[-i],\,-\bigr), \] un symbole est noirci avant la virgule dans le dernier membre. en particulier \[ \operatorname{Hom}\bigl(M,\,R^{n}\varphi_\omega P\bigr) \simeq \varinjlim_N \operatorname{Ext}^{n}_{\mathcal{M}}\bigl((\tau_{N-i}M)[-i],\,P\bigr). \] P. ex. si $M = S[i]$, on trouve \[ \begin{aligned} \bigl(\text{\struck{$R^{*}$}}(\varphi_\omega P)\bigr)_i &= \varinjlim_N \operatorname{Hom}^{i}(\tau_{N-i}S,\,P),\\ \bigl(R^{*}\varphi_\omega(\tau_\omega P)\bigr)_i &\simeq \varinjlim_N R^{*}\operatorname{Hom}^{i}\bigl(\tau_{N-i}(S),\,P\bigr),\\ \bigl(R^{n}\varphi_\omega(\tau_\omega P)\bigr)_i &\simeq \varinjlim_N \operatorname{Ext}^{n}_{\mathcal{M}}\bigl(\tau_{N-i}(S)[-i],\,P\bigr). \end{aligned} \] la dernière ligne est précédée d'un début biffé illisible, […].

266Si $C \xrightarrow{\;i\;} \mathcal{M}_{N_0}$ est un foncteur exact, \[ \operatorname{Im\,ess} i \subset \operatorname{Im\,ess}\varphi_{N_0,\omega}, \] alors on a $i \simeq \varphi_{N_0,\omega}\,\tau_{\omega,N_0}\,i$, d'où \[ \bigl(R^{*}\varphi_{N_0,\omega}\bigr)(\tau_{\omega,N_0}\circ i) \simeq R^{*}i ; \] en particulier \[ \bigl(R^{n}\varphi_{N_0,\omega}\bigr)\bigl(\tau_{\omega,N_0}\,i(M)\bigr) = 0 \quad\text{si } n>0,\ M\in\operatorname{ob}C. \] On est intéressé au même cas particulier qu'avant.

Soit $K^{\bullet}$ un complexe de $C$, $L^{\bullet}$ un complexe de $\mathcal{M}$[…], et supposons donné un hom dans la catégorie dérivée $D(\mathcal{M}_{N_0})$ \[ i(K^{\bullet}) \xrightarrow{\;\alpha\;} L^{\bullet} \] tel que \[ \tau_{\omega,N_0}\,i(K) \xrightarrow[\sim]{\;\tau_\omega\alpha\;} \tau_{\omega,N_0}L^{\bullet} \] soit un isom dans $D(\mathcal{M}_\omega)$, i.e. tel que $\forall n$, \[ H^{n}(\alpha) : H^{n}\bigl(i(K)\bigr) \longrightarrow H^{n}(L^{\bullet}), \qquad H^{n}\bigl(i(K)\bigr) \simeq i\bigl(H^{n}(K)\bigr), \] soit un quasi-isom, i.e. noyau et conoyau sont négligeables. On en conclut

268on obtient que $\mathbb{R}\varphi_{0,\omega}$ \[ \bigl(\mathbb{R}^{*}\varphi_{N_0,\omega}\bigr)(\tau_{\omega,N_0}\,i)(K) \simeq \bigl(\mathbb{R}^{*}\varphi_{N_0,\omega}\bigr)(\tau_{\omega,N_0}L^{\bullet}) \] i.e. \[ i(K) \simeq \underbrace{\bigl(\mathbb{R}^{*}\varphi_{N_0,\omega}\bigr)(\tau_{\omega,N_0}L^{\bullet})}_{L'^{\bullet}}. \] le membre de gauche de la première ligne est souligné d'un trait renvoyant à $i(K)$ de la seconde.

Je dis que l'hom d'augmentation Mais c'est là un isom dans $D(\mathcal{M}_{N_0})$ seulement, — rien de plus précis que le domaine de départ — on aimerait un isom dans $D(C)$. Comme on suppose $i$ pl. fidèle et avec un adjoint à droite $k$, donc \[ k\circ i \simeq \mathrm{id}_C, \] et on suppose $k$ exact. Appliquant $k$ à l'isom obtenu, on trouve \[ \begin{aligned} K^{\bullet} &\simeq k\Bigl(\mathbb{R}^{*}\varphi_{N_0,\omega}\bigl(\tau_{\omega,N_0}L\bigr)\Bigr)\\ &\simeq \bigl(\mathbb{R}^{*}(k\,\varphi_{N_0,\omega})\bigr)(\tau_{\omega,N_0}L^{\bullet}) \end{aligned} \] i.e. $K^{\bullet}$ se reconstitue dans $D(C)$ à l'aide de \[ \tau_{\omega,N_0}\bigl(i(K^{\bullet})\bigr) \simeq \tau_{\omega,N_0}(L^{\bullet}) \] dans $D(\mathcal{M}_\omega)$. On va simplifier l'expression obtenue, en considérant \[ \text{\struck{$\varphi_{N_0,\omega}(\tau_{\omega,N_0}L^{\bullet}) \longrightarrow \mathbb{R}^{*}\varphi_{N_0,\omega}(\tau_{\omega,N_0}L)$}} \] Lemme. Cet hom est un quasi-isomorphisme.

Corollaire. \[ \text{\struck{$K^{\bullet} \simeq k\,\varphi_{N_0,\omega}(\tau_{\omega,N_0}L^{\bullet})$}} \] \[ \text{\struck{$\simeq k\,\varphi_{N_0,\omega}(\tau_{\omega,N_0}\,i\,K)$}} \] tout ce dernier passage, depuis « On va simplifier », est encadré et barré de traits obliques.

270\[ C \longrightarrow \mathcal{M}_\omega \] […] $= \sigma$ ; en retour : $k\,\varphi_{N_0,\omega} = \psi$. une flèche courbe revient de $\mathcal{M}_\omega$ vers $C$, marquée $k\varphi_{N_0\omega}=\psi$ ; le nom du foncteur aller, au-dessus, est surchargé et illisible (il s'agit vraisemblablement du composé de $i$ et de la troncation $\tau_{\omega,N_0}$).

$\sigma$ pl. fidèle, adj. à droite $\psi$, \[ \psi\sigma \xleftarrow{\;\sim\;} \mathrm{id}_C \] $\psi$ exact ; $\sigma$ exact ; $k$ exact ; mais $\psi$ peut-être pas exact.

$\mathbb{R}$ $\sigma(K^{\bullet}) \longrightarrow L^{\bullet}_\omega$ quasi-isom dans $\mathcal{M}_\omega$. \[ (R^{*}\psi)\,\sigma(K^{\bullet}) \xrightarrow{\;\sim\;} R^{*}\psi(L^{\bullet}_\omega) \xleftarrow[\;\sim\;]{?} \psi(L^{\bullet}_\omega) \] où $\sigma(K^{\bullet}) = R^{*}\sigma\,K$, et \[ (R^{*}\psi)\,\sigma(K^{\bullet}) = R^{*}(\psi\sigma)(K) \simeq K \qquad (\psi\sigma \simeq \mathrm{id}). \] \[ H^{*}\bigl(\mathbb{R}\psi(L^{\bullet}_\omega)\bigr) \Longleftarrow E_2^{pq} = R^{q}\psi\bigl(H^{p}(L^{\bullet}_\omega)\bigr) \] si $R^{q}\psi\bigl(H^{p}(L^{\bullet}_\omega)\bigr) = 0$ pour $q>0$ \[ \text{\struck{$E_1^{p,q} \to E_1^{p+1,q}$,\quad $E_2^{p,q} \to E^{p+2,q-1}$}} \] On trouve \[ H^{n}\bigl(\mathbb{R}\psi(L^{\bullet}_\omega)\bigr) \simeq \psi\bigl(H^{n}(L^{\bullet}_\omega)\bigr). \] ce calcul par la suite spectrale est traversé de deux grands traits obliques ; le $R^{*}\psi$ placé au-dessus de $H^{*}$ est biffé.

\[ \begin{aligned} i(K^{\bullet}) &\longleftarrow L^{\bullet}\\ \tau_{\omega N_0}\,i(K^{\bullet}) &\rightleftarrows \tau_{\omega N_0}(L^{\bullet})\\ K^{\bullet} &\simeq \mathbb{R}^{*}(k\circ\varphi_\omega)\bigl(\tau_{\omega N_0}(L^{\bullet})\bigr) \end{aligned} \] ces trois lignes sont également traversées de traits obliques.

\[ D\bigl(\operatorname{Mod}(k)\bigr) \longrightarrow D(\mathcal{M}_\omega) \quad\text{pl.\ fidèle} \]

272$\psi\sigma = \mathrm{id}$

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\begin{tikzcd}
D^{+}(C) \arrow[r, bend left=20, "R\sigma"] & D^{+}(\mathcal{M}_\omega) \arrow[l, bend left=20, "R\psi"]
\end{tikzcd}

\[ \psi\sigma \xleftarrow{\;\sim\;} \mathrm{id}_C, \qquad \sigma\psi \longrightarrow \mathrm{id}_{\mathcal{M}_\omega} \] ces deux relations sont écrites en haut à droite de la page.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal, nodes={font=\small}]
 & & {\operatorname{Hom}(R\sigma K,\, R\sigma R\psi(L))} \arrow[dll] \\
{\operatorname{Hom}(R\sigma(K),\, L)} \arrow[rr, "{?\ \sim}"] \arrow[dr] & & {\operatorname{Hom}(K,\, R\psi(L))} \arrow[u] \arrow[dl, no head, "\wr" description] \\
 & {\operatorname{Hom}(R\psi R\sigma K,\, R\psi L)} &
\end{tikzcd}

avec $R\sigma R\psi(L) = \mathbb{R}(\sigma\psi)(L)$ et $R\psi R\sigma K = R(\psi\sigma)(K) \simeq K$.

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\begin{tikzcd}
{R\sigma R\psi R\sigma K} \arrow[d] & {R\sigma R\psi L} \arrow[d] \\
R\sigma K & L
\end{tikzcd}

\[ D^{+}C \longrightarrow D^{+}\mathcal{M}_\omega \] pl. fid., compatible avec multiplication.

274\[ C \xrightarrow{\;i\;} \mathcal{M}, \qquad M \longmapsto M\otimes_k S \] \[ i \xrightarrow{\;\sim\;} \varphi_{0,N}\,\tau_{N,0}\, i \] un symbole est noirci entre $\tau_{N,0}$ et $i$. \[ M \hookrightarrow M^{[N,+\infty[} \rightrightarrows M^{[N,+\infty]\times\mathbb{N}} \] \[ x \longmapsto (c_{i,k-i}\,x)_{k\geq N}, \qquad (x_k)_{k\geq N} \rightrightarrows \bigl(c_{\ell,k}\,x_k - c_{\ell,k-i}\,x_{k+\ell}\bigr) \quad (0\leq i\leq N) \] les deux flèches parallèles sont celles d'un noyau ; l'indice $0\leq i\leq N$ est écrit au-dessus de la formule de droite. \[ M \longmapsto \underline{\operatorname{Hom}}^{*}_{k}(S,\,M) \] \[ \varphi^{0,N}\,\tau^{N,0}\circ i \longrightarrow i \qquad \text{syst.\ des } \underline{\operatorname{Hom}}_k(S_i,\,M) \simeq S\otimes_k M \] au-dessous : « $\mathrm{Ab}$ » et « $\operatorname{Ind}(\mathrm{Ab})$ ». \[ M\otimes_k S_i \longrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}^{i}\bigl(\tau_{N-i}(S),\,M\otimes_k S\bigr) \]

$C$ cat. ab. $k$-linéaire (i.e. $k \to \operatorname{End}(\mathrm{id}_C)$),

$X$ objet de $C$,

$M$ un $k$-module […] ([…] dans

$\underline{\operatorname{Hom}}(M,X) \in C$ défini par \[ \operatorname{Hom}\bigl(Y,\,\underline{\operatorname{Hom}}(M,X)\bigr) = \operatorname{Hom}_k\bigl(M,\,\operatorname{Hom}_C(Y,X)\bigr), \] $M\otimes_k X$ défini par \[ \operatorname{Hom}(M\otimes_k X,\,Y) \simeq \operatorname{Hom}_k\bigl(M,\,\operatorname{Hom}_C(X,Y)\bigr). \] Dans le […] ça existe ; \[ M \longmapsto \underline{\operatorname{Hom}}(M,X) \quad\text{et}\quad \text{\struck{$M\mapsto$}}\ M \longmapsto M\otimes_k X \] est exact à droite —

276\[ P \to Q \to R, \qquad P \to Q \to Z' \to 0, \qquad Z' \to R \] \[ \text{\struck{$P \to Z \to 0$\quad $0 \to Z \to Q \to Z' \to 0$}} \] considérons $T$ ; \[ 0 \to Z' \to R, \qquad T(P) \to T(Q) \to T(Z') \to 0 \]

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
T(Z) \arrow[r] & T(Q) \\
T(P) \arrow[u] &
\end{tikzcd}

\[ T(Q)/I \simeq T(Z') \overset{?}{\hookrightarrow} T(R), \qquad I = \operatorname{Im}\bigl(T(P)\bigr) \] \[ 0 \to Z \to Q \to Z' \hookrightarrow R, \qquad T(Z) \to T(Q) \to T(Z') \to 0 \] \[ I \hookrightarrow R \] vérifier […] injective en […]

transformer en surjection par $\operatorname{Hom}$ \[ Z' \hookrightarrow R \] \[ P \to Q \to I \hookrightarrow R, \qquad I \to 0 \] \[ T(P) \leftarrow T(Q) \leftarrow T^{\bullet}(I) \leftarrow 0, \qquad T(I) = \operatorname{Ker}\bigl(T(Q) \to T(P)\bigr) \] \[ \operatorname{Hom}(P,M), \qquad \operatorname{Hom}_{C,S}\bigl(\mathbb{N},\,\operatorname{Hom}(P,M)\bigr) \] \[ \text{\struck{$\operatorname{Hom}(\mathbb{N}\otimes P,\,M)$}}, \qquad \operatorname{Hom}_{\otimes} \] une grande ligne courbe sépare, sur la page, les calculs de gauche de cette colonne de droite. \[ \begin{matrix} T(R) & & & \\ \text{\struck{$\mathbb{Z}^{[N,+\infty[\times\mathbb{N}}$}} & \mathbb{Z}^{[N,+\infty]} & & \mathbb{Z}\\ \| & \| & & \|\\ P & \longrightarrow\ Q & \longrightarrow & R \longrightarrow 0\\ & & & \cup\\ & & & R' \end{matrix} \] une flèche oblique va de $Q$ à $R'$. \[ (\lambda_{k,\ell})_{k\geq N,\ \ell\geq 0} \longmapsto \sum_{k,\ell}\lambda_{k,\ell}\bigl(c_{\ell,k}\,e_k - c_{\ell,k-i}\,e_{k+\ell}\bigr) \] \[ (\lambda_k)_{k\geq 0} \longmapsto \sum \ill{} \] la dernière expression est entourée et entièrement hachurée ; on y devine $c_{\ell,k-i}\lambda_k$.

278\[ S = k[U], \qquad U^{n} = U_n \text{ de degré } -n \] ou $S^{k} = k\{\{T\}\}$ […] à priori en $S$-modules (gradués) avec $S = k\{T\}$.

$M \in \operatorname{Mod}(k)$,

$M \longmapsto M\otimes_k S$ un foncteur \[ C = \operatorname{Mod}(k) \xrightarrow{\;i_*\;} \operatorname{Mod\,gr.}\,k\{T\} = \mathcal{M}. \] Si $N\in\mathbb{Z}$, $\sigma_N(P) = P/\tau_{N+1}(P)$ « cotronqué » en dim $N$ ($\leftarrow$ « tronqué à gauche »), \[ \sigma_N(P)_i = \begin{cases} P_i & \text{si } i\leq N,\\ 0 & \text{si } i>N.\end{cases} \] Considérons le composé $\sigma_N\circ i_*$ ($N\leq 0$, on fera $N\to-\infty$).

Th. Le foncteur $\tau_N\,i_*$ est pl. fid. \[ \operatorname{Hom}_{\text{\struck{gr}}\,\mathcal{M}}\bigl(M\otimes_k S,\,\tau^{N}P\bigr) = \operatorname{Hom}_k\bigl(M,\,\operatorname{Hom}_{\mathcal{M}}(S,\,\ill{})\bigr) \] \[ \operatorname{Hom}_{\mathcal{M}_N}\bigl(\tau^{N}M\otimes_k S,\,\tau^{N}N\otimes_k S\bigr) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{M}}\bigl(M\otimes_k S,\,i^{N}\tau^{N}(N\otimes_k S)\bigr) \] \[ = \operatorname{Hom}_k\bigl(M,\,\operatorname{Hom}_{\mathcal{M}}(S,\,i^{N}\tau^{N}-)\bigr) \] \[ \operatorname{Hom}_{\mathcal{M}}\bigl(S,\,\tau^{N}N\otimes_k S\bigr) \simeq N\ ?? \] au-dessous, en regard : $\operatorname{Hom}_{V(S),\,\mathrm{gr}}\bigl(V(N\otimes S),\,V(S)\bigr)$. \[ \operatorname{Hom}_S(S,\,M\otimes_k S), \qquad \operatorname{Hom}_{\mathrm{coalg}}(S,\,M\otimes_k S) \] \[ = \operatorname{Hom}_{V(S)\text{-}\ill{}}\bigl(\operatorname{Hom}_k(M,\,V(S)),\,V(S)\bigr) \] \[ \text{\struck{$D$}}\ V_S(M) = V(M\otimes_k S) = \bigl(k' \mapsto \operatorname{Hom}_k(M,\,S^{k'})\bigr) \] $V(S)$ monoïde, $\operatorname{Hom}$ […] $V_S(M)$.

À gauche de la page : \[ U_{n+k} \xrightarrow[\;T^{(k)}\;]{\;c_{n,k}\;} U_n, \qquad \operatorname{P}_\infty \] \[ \eta_n \in P_{-n}, \qquad \xi_n\,T^{(k)}\,\eta_{n+k} = c_{n,k}\,\eta_n \] \[ \text{\struck{\ill{}}}, \qquad \eta_{n+k} = \xi_n \ill{} \] \[ \xi_{n+k}\,T^{(k)}\,U_{n+k} = \xi_n\,c_{n,k}\,U_n, \qquad T^{(k)}U_{n+k} = c_{n,k}\,U_n, \] \[ c_{n,k}\,(\eta_{n+k} - \xi_n) = 0. \] le placement des expressions de cette page, en deux colonnes séparées par un trait, est simplifié ; la lecture des indices de $\eta$ et $\xi$ est incertaine.

280la moitié supérieure de la page porte les calculs ci-dessous, à l'endroit ; la moitié inférieure, écrite tête-bêche, est donnée ensuite. \[ M\otimes S\otimes M'\otimes S, \qquad M\otimes M'\otimes S\otimes S \] \[ \begin{aligned} &\mathrm{id}_M\otimes u_S\otimes \mathrm{id}_{M'}\otimes \mathrm{id}_S, &\quad &\mathrm{id}_{M'}\otimes u_S\otimes \mathrm{id}_S,\\ &\mathrm{id}_M\otimes \mathrm{id}_S\otimes \mathrm{id}_{M'}\otimes u_S, & &\mathrm{id}_{M'}\otimes \mathrm{id}_S\otimes u_S \end{aligned} \] ces quatre lignes, d'une encre plus pâle, sont écrites dans la marge du haut. \[ S\boxtimes S = S, \qquad S\boxtimes C \simeq C, \qquad SL \] \[ \boxed{(M\otimes_k S)\boxtimes_S C \simeq M\otimes_k C}\ ? \] \[ \{M\otimes_k S\}\otimes_k C \longleftarrow M\otimes_k C, \qquad \begin{aligned} &\mathrm{id}_M\otimes u_S\otimes \mathrm{id}_C\\ &\mathrm{id}_M\otimes \mathrm{id}_S\otimes u_C \end{aligned} \] en regard, à droite, « $\mathrm{MON}$ » et un petit cercle pointé, $\odot$. \[ C \longrightarrow C\otimes_k S \rightrightarrows C\otimes_k S\otimes_k S \] \[ \text{\struck{$V(S)\otimes V(C) \to V(C')$}}, \qquad \operatorname{Hom}_k(M,\,S^{k'})\times C^{k'} \longrightarrow C'^{k'} \] \[ V(M\otimes_k S)(k') = \operatorname{Hom}_k(M,\,S^{k'}), \] \[ \operatorname{Hom}_{k'}(M\otimes_k S,\,k') = \operatorname{Hom}_k(M,\,S^{k'}) \quad\text{est un } S^{k'}\text{-module\,!} \]

moitié inférieure, tête-bêche ; elle est traversée d'un long trait oblique et, en partie, entourée. \[ \alpha_*(\mathbb{1}),\ \gamma_0^{(i)}, \qquad \Delta\gamma_0^{i} = \sum_{j+k=i} \gamma_0^{j}\otimes\gamma_0^{k} \] \[ \beta_*(t) = \sum t^{(i)}\gamma_0^{i} = \exp(t\gamma_0) \] \[ A^{n}\,\widehat{\otimes}\,A^{n} \longleftarrow A^{n} \] \[ \bigl(A^{*}(\Sigma,\Sigma_+,t)\bigr)^{k'} = A_*\bigl(\Sigma^{k'},\Sigma_+^{k'},t^{k'}\bigr), \qquad A_*(S,S^{+},t) \] \[ A^{*}(\Sigma,\Sigma_+,t)^{\vee} = A_*^{\wedge}\bigl(\check\Sigma,\check\Sigma_+,\check t\bigr) \] $\Sigma/k$ : $\Sigma \supset \Sigma'$ coalgèbre avec […] sous-coalgèbre […] et puissances divisées […], […] on se donne $\Sigma \xrightarrow{\;t\;} k$ […] $\Sigma'$. \[ 0 \longrightarrow \text{\struck{$\Sigma'$}}^{\,k+} \longrightarrow \Sigma^{k} \longrightarrow \Sigma'^{k}, \qquad t_k, \qquad k\{\{T\}\}\{\{\gamma_0,\,-\gamma_0\}\} \] sous la suite exacte, « l'idéal » ; le passage entouré, sur les coalgèbres à puissances divisées et leur sous-coalgèbre, est très raturé et nos lectures y restent douteuses. Le calcul se poursuit vraisemblablement au-delà du lot.