Fonds Grothendieck, cote n° 136, pages 221–240

la page s'ouvre au milieu d'une phrase, commencée avant ce lot. linéaire sur \mathcal{M}, on trouve une unique antidérivation \delta de \dot\Lambda\mathcal{M} qui sur \Lambda^1\mathcal{M} se réduise à \varphi, et on a \delta^2 = 0. (N.B. On a H_0(\dot\Lambda\mathcal{M}, \delta) = S/\varphi(\mathcal{M}), et si \mathcal{M} est libre de t.f., alors H_i(\dot\Lambda\mathcal{M}, \delta) = 0 pour i \neq 0 ssi \mathcal{M} \to S est « transversale » – il suffit p.ex. que une base de \mathcal{M} définisse une suite S-régulière, et c'est aussi néc. si S noeth et \varphi(\mathcal{M}) \subset \operatorname{rad} S.) Ceci dit, on obtient les complexes (2) et (4) en prenant respectivement S = \mathrm{Sym}^*M ou S = \Gamma^*M, \mathcal{M} = M \otimes_A S, et en prenant l'hom \mathcal{M} \to S déduit par extension des scalaires de l'hom can M \xrightarrow{\sim} ~~\mathrm{Sym}^1M~~ S^1 \subset S (S^1 = \mathrm{Sym}^1M resp. \Gamma^1M).

Les opérateurs d\delta, \delta d dans \mathrm{Sym}^*\otimes\dot\Lambda resp. \Gamma^*\otimes\dot\Lambda ne sont pas bien jolis, mais on voit de suite (tout anticommutateur de antidérivations étant une dérivation) que \theta = d\delta + \delta d est une dérivation, et; en changeant le bidegré ~~S^* = \Gamma^* et compatible aux~~ , et qui sur S^1 = \mathrm{Sym}^1 ou \Gamma^1 (de plus si S^* = \Gamma^*, il est compatible aux puiss. div. sur \Gamma^*) et sur \dot\Lambda^1 est l'identité; (Donc on en conclut facilement) que l'on a (d\delta + \delta d)x = \theta x = nx \qquad \text{$x$ de degré total $n$,} \text{i.e. } x \in \textstyle\sum_{p+q=n} S^p \otimes \Lambda^q . Cela montre donc que si A est de car. zéro (ou même que n inversible \forall n > 0), alors H^n_{\mathrm{DR}}(S^*\otimes\dot\Lambda) et H^n_{\mathrm{Kosz}}(S^*\otimes\dot\Lambda) sont nuls quel que soit n > 0 (S^* étant \mathrm{Sym}^* \simeq \Gamma^*) (sans hyp. de platitude!). Plus gén., H^n_{\mathrm{DR}} et H^n_{\mathrm{Kosz}} sont nuls pour ~~tout~~ n tel que n.1_A inv. dans A. la lecture des lignes biffées et ajoutées en interligne autour de « en changeant … bidegré » est très incertaine ; l'ordre des fragments est reconstitué.

Revenant au cas A de car. 0, que peut-on dire de H^0_{\mathrm{DR}} et H_0^{\mathrm{Kosz}}? Pour H_0, on sait déjà que c'est \simeq A; est-il vrai que l'hom évident A \to H^0_{\mathrm{DR}} est aussi un isom?, i.e. que \forall f \in \mathrm{Sym}^*(M) tel que df = 0 soit une constante, ?, i.e. (f \in \mathrm{Sym}^k(M), si k>0) k > 0 et df = 0 \Rightarrow f = 0, i.e. \mathrm{Sym}^kM \xrightarrow{\ d\ } (\mathrm{Sym}^{k-1}M) \otimes M (M étant ici \simeq \dot\Lambda^1 M) est injectif? Or composant avec \mathrm{Sym}^{k-1}(M) \otimes M \xrightarrow{\ \delta\ } \mathrm{Sym}^kM (M \simeq \mathrm{Sym}^1M) on trouve la multiplication par k (car \theta = d\delta + \delta d est égal à \delta d sur \mathrm{Sym}^kM puisque \delta y est nulle), donc inj, ok. (Plus gén., inj. pourvu que k inv. dans A.)

Dualité. Supposons M et M' deux A-modules accouplés vers A, M \otimes M' \to A ; alors on en conclut des accouplements (degré par degré) \mathrm{Sym}^*M \times \Gamma^*M' \to A, \qquad \dot\Lambda M \times \dot\Lambda M' \to A qui est une dualité parfaite si M est projectif t.f. et M' s'identifie à son dual. On en conclut des accouplements \text{\struck{$\mathrm{Sym}$}}\ S^*\Lambda^*(M) \times \Gamma^*\Lambda^*(M') \to A . Ceci posé, on vérifie que les op. d_M et \delta_{M'}, \delta_M et d_{M'} sont en transposition par ces accouplements. D'ailleurs, on vérifie aussi que l'op. de multipli\-cation d'un côté est en dualité avec l'op. de comultiplication de l'autre. Donc dans le cas de dualité parfaite, les opérations d_M et \delta_{M'}, \delta_M et d_{M'}, multiplication et comultiplication, se déterminent mutuellement.

au crayon, en travers de la marge : Feuille volante paumée… feuillet isolé, d'une encre plus pâle, qui ne fait pas suite à la p. 222 ; il porte sa propre numérotation (« Prop 6 », renvois aux « prop. 3, 5 » et « prop 4 » d'un texte qui n'est pas dans ce lot). Prop 6. Soit \mathfrak{B} une catégorie . Alors le foncteur ND_\bullet : \mathfrak{B}^*_* \to \mathfrak{B}_\bullet est donné (à isom. can. près) par ND_i(L_*) \simeq \mathrm{Hom}_{k,*}(\underbrace{\dot\Lambda^i\mathfrak{L}_*}_{\mathfrak{L}^i_*}, L_*) (pour la définition de \mathrm{Hom}_{k,*}, cf. prop. 3, 5), ND_\bullet(L_*) \simeq \mathrm{Hom}_{k,*}(\underbrace{\dot\Lambda\mathfrak{L}_*}_{\mathfrak{L}^\bullet_*}, L_*) ; l'opérateur diff. sur ND_\bullet(L_*) provient de l'op. différentiel sur T_* et sur \dot\Lambda\mathfrak{L}_*.

En effet, posant L_\bullet = ND_\bullet(L_*), et \mathfrak{L}(i)_\bullet = ND_\bullet(\dot\Lambda^i\mathfrak{L}_*), alors on a par la symétrie de Dold-Puppe \mathrm{Hom}_{k,*}(\dot\Lambda^i\mathfrak{L}_*, L_*) \simeq \mathrm{Hom}_{k_\bullet}(\mathfrak{L}(i)_\bullet, L_\bullet) . Or \mathfrak{L}(i)_\bullet \simeq C_\bullet^{i-1} pour i \geq 1 (prop 4), et \mathfrak{L}(0)_\bullet = k placé en degré 0; on a bien \begin{cases} \mathrm{Hom}_{k_\bullet}(C_\bullet^{i-1}, L_\bullet) \simeq L_i & (i \geq 1) \\ \mathrm{Hom}_{k_\bullet}(k[0]_\bullet, L_\bullet) \simeq L_0 \end{cases} et il reste à faire de petites vérifications de compatibilité…

Cor. Le foncteur ND^\bullet : \mathfrak{B}^* \to \mathfrak{B}^\bullet s'explicite comme ND^\bullet(L^*) \simeq \dot\Lambda\mathfrak{L}_* \otimes_{k,*} L^* [où pour M_* \in \mathrm{Ab}_{k_*} et L^* \in \mathfrak{B}^*, M_* \otimes_{k_*} L^* désigne l'objet de \underline{\mathrm{Hom}}(\mathfrak{B}, (\mathrm{Ab})) indice de \mathrm{Ab} illisible b \longmapsto \mathrm{Hom}_{\mathrm{Ab}_{k_*}}(M_*, \mathrm{Hom}_{\mathfrak{B}}(L^*, b)) \ ] Il suffit d'appliquer la prop. 6 à \mathfrak{B}^\circ.

feuillet du même type que la p. 224, qui semble le précéder dans l'ordre de rédaction (la « Prop 6 » y est ébauchée puis biffée) ; il commence au milieu d'un énoncé. en haut à gauche, en oblique : pour un foncteur sur \mathfrak{B} Kan- F(x) \simeq \mathrm{Hom}^*_k(\alpha^*(x), C^*_F), \qquad C^*_F \overset{\mathrm{dfn}}{=} F(C^*) après la formule, un ou deux signes biffés. où la définition des \mathrm{Hom}^* se fait comme dans la prop. 3.

le passage suivant, jusqu'à la flèche F(C^i) = C^i \to \dots, est entouré d'un trait et barré de traits obliques. F(x) \otimes \alpha^{[n]}(x) \to C^{[n]}_F, avec \simeq \mathrm{Hom}(x, C^{[n]}) et C^{[n]}_F = F(C^{[n]}). On procède comme pour la prop. 3 pour définir la flèche dans \widehat{\mathfrak{B}}, et pour montrer que c'est un iso, on se ramène au cas où x est de la forme C^i_\xi, C fixe, prenons F(C^i) = C^i \to \mathrm{Hom}^*_k(C^*). à gauche du passage biffé : par définitions des \alpha^* et DP adjoint, et commutation des DP aux foncteurs etc.

En fait, on trouve tout de suite que si K^\bullet \in \mathrm{Ab}_k^\bullet, C^\bullet \in \mathfrak{B}^\bullet, K^* = DP(K^\bullet) et C^* = DP(K^*)sic, pour DP(C^\bullet) sans doute, alors on a un iso. can. bifonctoriel dans \widehat{\mathfrak{B}} DP : \mathrm{Hom}^\bullet_k(K^\bullet, C^\bullet) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}^*_k(K^*, C^*), et on conclut par prop 3.

le passage suivant est encadré et barré de traits obliques. Prop 6 (*) Le foncteur ND : \mathrm{Ab}_{k_*} \to \mathrm{Ab}_{k_\bullet} est donné par (ND)(L_*) \simeq \mathrm{Hom}_{k,*}(C^\bullet_*, L_*), i.e. ND(L_*)_i \simeq \mathrm{Hom}_{k,*}(C^i_*, L_*) pour i \geq 0 (C^i_* = \dot\Lambda^i\mathfrak{L}_*, i \geq 1), l'hom bord ND(L_*)_i \to ND(L_*)_{i-1} étant le transposé de C^{i-1}_* \to C^i_*.

Quelques calculs d'homotopie

Soit k un anneau (de base commun), \mathfrak{L}_* = \mathfrak{L}^k_* le k-module ½simplicial I \mapsto k^I, k_* le k-module ½simpl. constant défini par k, I \mapsto k. On a une application diagonale k_* \to \mathfrak{L}_* d'où un quotient \Psi_* = \mathfrak{L}_*/k_* : I \mapsto k^I/k .

Proposition 1. \mathfrak{L}_* est homotope à 0 (i.e. sur k module ½simplicial 0).

Par le yoga de Puppe-Dold, il suffit de voir que le complexe de chaînes \mathfrak{L}^!_* associé à \mathfrak{L} est homot. à 0. Pour ceci, on se rappelle que \mathfrak{L}^!_n = \{ x \in \mathfrak{L}_n \mid \partial_1(x) = \dots = \partial_n(x) = 0 \} d'où aussitôt \mathfrak{L}^!_n = \begin{cases} 0 & \text{si } n \geq 2 \\ k & \text{si } n = 0, 1 \end{cases}, l'op. bord \partial = \partial_0 : \mathfrak{L}^!_1 \to \mathfrak{L}^!_0 \qquad (\mathfrak{L}^!_1 \simeq k,\ \mathfrak{L}^!_0 \simeq k) étant l'identité, d'où la conclusion.

Corollaire 1.1. Pour tt foncteur F : \mathrm{Mod}(k) \to \mathcal{C} (\mathcal{C} une catégorie ) F(\mathfrak{L}_*) est homotope à F(0). En particulier, (\Gamma^i_k\mathfrak{L}_*, \mathrm{Sym}^i_k\mathfrak{L}_*) \dot\Lambda^i_k\mathfrak{L}_* \text{ est homotope à } \dot\Lambda^i_k(0) = \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 0 \\ k_* & \text{si } i = 0 \end{cases} (de même \Gamma^i_k(0), \mathrm{Sym}^i_k(0)) ~~\Gamma^i_k\mathfrak{L}_* \Gamma^i_k(0) = \dots~~ une seconde ligne de l'accolade, pour \Gamma^i_k\mathfrak{L}_*, est biffée d'une rature serrée ; l'énoncé est reporté dans l'ajout entre parenthèses.

Corollaire 1.2. Les groupes d'homotopie de \Psi_* = \mathfrak{L}_*/k_* sont \pi_i(\Psi_*) \simeq \pi_{i-1}(k_*) = \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 1 \\ k & \text{si } i = 1 \end{cases} En d'autres termes, \Psi_* est un K_*(k, 1). [En fait, on a (\Psi^!_*) = complexe réduit à k placé en degré 1.] On conclut de ceci ~~et du yoga de Dold-Puppe~~

Corollaire 1.3. \pi_j(\dot\Lambda^i(\mathfrak{L}_*/k_*)) = \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i \\ k & \text{si } j = i \end{cases} (i.e. \dot\Lambda^i\mathfrak{L}_*/k_* est un K_*(k, i)).

Dans le langage de Dold-Puppe des foncteurs dérivés de \dot\Lambda, compte tenu de (\mathfrak{L}_*/k_*)^! = k[1], l'assertion équivaut à (L\dot\Lambda^i)(k[1]) \simeq \dot\Lambda^i k[1] = k[\text{-}i] la fin de la formule se lit k[-i] ou k[i] ; le N.B. plus bas écrit k[i]. – plus généralement, si on se donne un complexe de chaînes de k-modules L_\bullet projectifs en chaque degré, est-ce vrai? (L\dot\Lambda)(L_\bullet) \xrightarrow{\ \sim\ } \dot\Lambda(L_\bullet) . On peut aussi noter que la filtration de \mathfrak{L}_* par 0 \to k_* \to \mathfrak{L}_* \to \Psi_* \to 0 \qquad (\Psi_* \overset{\mathrm{dfn}}{=} \mathfrak{L}_*/k_*) définit pour les i \geq 0 une filtration 0 \to \underbrace{\dot\Lambda^{i-1}\Psi_* \otimes k_*}_{\dot\Lambda^{i-1}\Psi_*} \to \underbrace{\dot\Lambda^i\mathfrak{L}_*}_{\text{flasque}} \to \dot\Lambda^i\Psi_* \to 0 d'où 0 \to (\dot\Lambda^{i-1}\Psi_*)^! \to \underbrace{(\dot\Lambda^i\mathfrak{L}_*)^!}_{\text{flasque}} \to \dot\Lambda^i\Psi_* \to 0 cette dernière suite est entourée d'un trait. d'où la conclusion, car on a aussi \pi_j(\dot\Lambda^i\Psi_*) \simeq \pi_{j-1}(\dot\Lambda^{i-1}\Psi_*) par suite exacte d'homotopie.

NB. Il est probable que (\dot\Lambda^i\Psi_*)^! est k[i] (k placé en dim i). On n'en aura pas besoin.

b) Les mêmes arguments montrent que \Gamma^i(\Psi^*) et \mathrm{Sym}^i(\Psi^*) sont des K(k, i)une lettre biffée précède aussi \Psi^* dans \Gamma^i(\Psi^*). \otimes \Psi^* (mais nettement moins « économiques »!)

Cor. 1.4. Si A_* est un k-module ½simplicial, \pi_\ell(A_* \otimes \dot\Lambda^i\Psi_*) \simeq \pi_{\ell-i}(A_*) [de façon plus précise, on doit avoir A_* \otimes \dot\Lambda^i\Psi_* \simeq ~~\Omega^i~~ \mathrm{Susp}^iA_*, où Susp est la « suspension additive »]

Par Eilenberg-Zilber, l'homologie de C_*(A_* \otimes B_*) (A_*, B_* deux k-modules ½simpliciaux ) C_*(A_* \otimes B_*) = A_* \otimes B_* ~~complexe de chaînes~~ op. bord \partial = (\sum\partial_n), \partial_n = \sum_0^n (-1)^i\partial_{i,n}, – c'est donc, par Dold-Puppe, aussi \pi_*(A_* \otimes B_*), se calcule en prenant l'homologie du produit tensoriel ~~des complexes~~ C_*(A_*) \otimes C_*(B_*), qui est lui-même « chaîne-~~homotope~~ », par Dold-Puppe, à A^!_* \otimes B^!_* (car A^!_* \xrightarrow{\ \sim\ } A_* chaîne-homotopisme, B^!_* \to B_*); a son homologie ~~laquelle~~ qui se calcule par Künneth. Ici B^!_* = (\dot\Lambda^i\Psi_*)^! \approx k[i], donc on ~~doit avoir~~ a \underbrace{H_\ell(A^!_* \otimes B^!_*)}_{\pi_\ell(A_* \otimes B_*)} \simeq \underbrace{H_{\ell-i}(A^!_*)}_{\pi_{\ell-i}(A_* \otimes B_*)} sous H_{\ell-i}(A^!_*) on lit \pi_{\ell-i}(A_* \otimes B_*), sans doute pour \pi_{\ell-i}(A_*).

Cor. 1.5. Considérons p.ex. le complexe ½simplicial ~~de chaînes~~ De Rham à puissances divisées A^{**}_* \simeq \Gamma^*(\mathfrak{L}_*) \otimes_k \dot\Lambda\Psi_* \qquad \text{(degré total, degré ext)} on trouve alors \pi_\ell(A^{*i}_*) \simeq \pi_{\ell-i}(\underbrace{A^{*0}_*}_{\Gamma^*(\mathfrak{L}_*)}) \rightleftarrows \pi_{\ell-i}(\underbrace{A^{00}_*}_{\Gamma^*(0) = k_*}) = \begin{cases} 0 & \text{si } \ell \neq i \\ k & \text{si } \ell = i \end{cases} En particulier \pi_\ell(\underbrace{A^{p,i}_*}_{\Gamma^{p-i}_k\mathfrak{L}_* \otimes \dot\Lambda^i\Psi_*}) \simeq \pi_{\ell-i}(\underbrace{A^{p-i,0}_*}_{\Gamma^{p-i}_*\mathfrak{L}_*}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } \ell \neq i \text{ ou } p \neq i \\ k & \text{si } i = \ell = p \end{cases} donc, pour p fixé, i variable, on trouve que les ~~comp.~~ composantes A^{p,0}_*, A^{p,1}_*, \dots, A^{p,p-1}_* (en degré < p) de A^{p*}_* (qui est une résolution de k_*) sont flasques, la seule composante non flasque étant A^{p,p}_* (ayant comme seul gr. d'homot. non nul \pi_p(A^{p,p}_*) = k). On peut donc considérer que

ce complexe est déduit d'une résolution flasque \widetilde{\mathfrak{L}}^{p*}_* de k_* en la « tronquant » en ~~dimension~~ degré \leq p, i.e. en prenant \mathfrak{L}^{p*}_* = \tau^{\leq p}\widetilde{\mathfrak{L}}^{p*}_*, i.e. \mathfrak{L}^{pi}_* = \begin{cases} \widetilde{\mathfrak{L}}^{p,i}_* & \text{si } i < p \\ Z^p(\widetilde{\mathfrak{L}}^{p,*}_*) & \text{si } i = p \\ 0 & \text{si } i > p \end{cases} Par suite, pour tout \mathcal{X} semi-simplicial, on aura \underbrace{\mathrm{Hom}(\mathcal{X}, \mathfrak{L}^{p*}_*)}_{C^{p*}_{\mathrm{DR\,pd}}(\mathcal{X}, k)} \simeq \mathrm{Hom}(X, \tau^{\leq p}\widetilde{\mathfrak{L}}^{p*}_*) \simeq \tau^{\leq p}\Gamma(X, \widetilde{\mathfrak{L}}^{p*}_*) \simeq \tau^{\leq p}\mathbb{R}\Gamma(\mathcal{X}, k) sous \mathrm{Hom}(\mathcal{X}, \mathfrak{L}^{p*}_*), un signe d'égalité marqué « dfn » ; la lettre surmontée d'un tilde se lit comme le \mathfrak{L} des pages précédentes, sans certitude. en particulier H^{p*}_{\mathrm{DR\,pd}}(\mathcal{X}, k) \to H^*(\mathcal{X}, k) ~~est un isom~~ tel que H^{p,i}_{\mathrm{DR\,pd}}(\mathcal{X}, k) \begin{cases} \simeq H^i(\mathcal{X}, k) & \text{si } i \leq p \\ = 0 & \text{si } i > p . \end{cases}

Soit S anneau avec idéal S^+ à p.d., muni d'un ~~système de générateurs~~ t \in S^+. Considérons le complété S pour la top. engendrée par ces idéaux S^{[i]} = \text{idéal engendré par les } t^{[j]} \ (j \geq i) – ou on suppose S séparé et complet pour la top. définie par une suite décroissante d'idéaux S^{[i]}, chacun étant l'adhérence de l'idéal engendré par t^{[j]} (j \geq i).

On considère l'anneau ½simplicial \widehat{A}^*_*(S, \gamma^*, t) \overset{\mathrm{dfn}}{=} \widehat{A}^{**}_* par \widehat{A}^*_n \simeq S\{\{X_0, \dots, X_n\}\}/(\text{idéal à p.d.\ engendré par } \textstyle\sum X_i - t) \otimes_S \dot\Lambda[dX_0, \dots, dX_n]/\text{idéal}(\textstyle\sum dX_i) (\simeq S\{\{Y_0, \dots, Y_n\}\}[dY_0, \dots, dY_n]) dans la parenthèse « idéal à p.d. … », quelques mots biffés avant « engendré par » ; la lettre lue t ressemble à une majuscule T. On a donc \widehat{A}^*_* \simeq \widehat{A}^0_* \otimes_S \dot\Lambda\Psi^S_* d'où \pi_\ell(\widehat{A}^i_*) \simeq \pi_\ell(\widehat{A}^0_* \otimes \dot\Lambda^i\Psi^S_*) \simeq \pi_{\ell-i}(\widehat{A}^0_*) et il faut donc étudier \pi_*(\widehat{A}^0_*).

On considère sur \widehat{A}^0_* la filtration décroissante par idéaux fermés stables par p.d. « engendrée » par la condition que pour tout n, les X_i et t sont en filtration \geq 1. On a \mathrm{Fil}^0(\widehat{A}^0_n) \simeq \widehat{A}^0_n \begin{align*} \mathrm{Fil}^p(\widehat{A}^0_n) &\simeq \Bigl\{ \textstyle\sum a_{i_0 \dots i_n} X_0^{[i_0]} \cdots X_n^{[i_n]} \Bigm| a_{i_0 \dots i_n} \in S^{[p - \sum_0^n i_\alpha]} \Bigr\} \\ &= \Bigl\{ \textstyle\sum a_{i_0, \dots, i_{n-1}} Y_0^{[i_0]} \cdots Y_{n-1}^{[i_{n-1}]} \Bigm| a_{i_0 \dots i_{n-1}} \in S^{[p - \sum_0 i_\alpha]} \Bigr\} \end{align*} Bien sûr, la topologie qui provient de sur \widehat{A}_n est aussi celle définie par cette filtration, et par suite \widehat{A}^0_n est séparé et complet pour cette filtration. Un calcul immédiat donne, posant k = S/S^{[1]} \mathrm{Gr}^p(\widehat{A}^0_*) \simeq \Gamma^p_k(\mathfrak{L}^k_*) \simeq \widehat{A}^{p0}_*(\mathrm{Gr}^*(S), \widetilde{\gamma}^*, \widetilde{t}), k-½simplicial gradué, gradué de k[T] si l'hom k[T] \to \mathrm{Gr}^*(S) est un iso, d'où, dans cette hypothèse d'isomorphisme, \pi_i(\mathrm{Gr}^p(\widehat{A}^0_*)) = \begin{cases} 0 & \text{si } p \neq 0,\ i \neq 0 \\ k & \text{si } i, p = 0 \end{cases} (donc \mathrm{Gr}^p(\widehat{A}^0_*) flasque si p > 0) d'où on conclut que \mathrm{Fil}^1\widehat{A}^0_* \simeq \widehat{A}^0_* la page s'arrête sur cette conclusion biffée ; la p. 236 reprend.

~~On trouve donc H^i(C^*_{\mathrm{DR}}(\mathcal{X}, \widehat{A}^*_*)) = H^0(\mathcal{X}, S) si i = 0, H^i(\mathcal{X}, S^+) si i \neq 0~~ cette accolade est barrée de traits obliques. \& \begin{cases} \mathrm{Fil}^p(\widehat{A}^0_*) \text{ flasque pour tt } p \geq 1 \\ \pi_i(\widehat{A}^0_*) = \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq 0 \\ k & \text{si } i = 0 \end{cases} \quad \text{si } p = 0 \end{cases}

Considérons la filtration ½simpl. sur \widehat{A}^*_* prolongeant celle de \widehat{A}^0_* et donnant à \widehat{A}^1_* la filtration 1, donc \mathrm{Fil}^p\widehat{A}^*_* = \sum_{0 \leq i \leq p} \mathrm{Fil}^{p-i}(\widehat{A}^0_*) \otimes_S \dot\Lambda^i\Psi_* C'est stable par l'opérateur différentiel. On a donc \begin{align*} \pi_\ell(\mathrm{Fil}^p(\widehat{A}^i_*)) &= \pi_\ell(\mathrm{Fil}^{p-i}(\widehat{A}^0_*) \otimes_S \dot\Lambda^i\Psi_*) \\ &= \pi_{\ell-i}(\mathrm{Fil}^{p-i}(\widehat{A}^0_*)) \\ &= \begin{cases} 0 & \text{si } p \leq i \text{ et } \ell \neq i \\ k & \text{si } p \leq i = \ell \end{cases} \end{align*} la colonne de droite porte plusieurs essais biffés de ces conditions (« \ell \neq p ou … », « 0 si \ell - i \neq … ») ; seule la dernière rédaction est donnée.

Donc: ~~on en conclut la suite spectrale (pour fixé)~~ si on regarde \mathrm{Fil}^p(\widehat{A}^*_*) comme ~~E_2^{rs} = H^r (\mathcal{X},~~ une résolution ½simpliciale de S^{[p]}_* = \mathrm{Fil}^pS, on voit que tous les termes \mathrm{Fil}^p(A^i_*) de cette résolution en degré < p sont flasques, (j \geq p) \mathrm{Fil}^p(A^p_*) \simeq \widehat{A}^0_* \otimes_S \dot\Lambda^p\Psi_* dont le seul gr. d'homotopie non nul est \pi_p(\cdot) \simeq k. On en conclut

\begin{tikzcd}[column sep=small] H^i(\underbrace{\mathrm{Fil}^pC^*_{\mathrm{DR}}(\mathcal{X}, \widehat{A}^*_*)}_{C^*_{\mathrm{DR}}(\mathcal{X}, \mathrm{Fil}\widehat{A}^*_*)}) \arrow[r, "\simeq"] \arrow[d] & H^i(\mathcal{X}, \underbrace{S^{[p]}}_{\mathrm{Fil}^pS}) \arrow[d] \\ H^i(C^*_{\mathrm{DR}}(\mathcal{X}, \widehat{A}^*_*)) \arrow[r] & H^i(\mathcal{X}, S) \end{tikzcd}

si i \leq p. sous le premier terme, un signe « \simeq dfn » relie \mathrm{Fil}^pC^*_{\mathrm{DR}}(\mathcal{X}, \widehat{A}^*_*) à C^*_{\mathrm{DR}}(\mathcal{X}, \mathrm{Fil}\,\widehat{A}^*_*) ; la flèche horizontale du haut est un isomorphisme pour i \leq p.

qui s'écrit aussi

\begin{tikzcd}[column sep=small] H^i(\mathrm{Fil}^pC^*_{\mathrm{DR}}(\mathcal{X}; S, t, \gamma^*)) \arrow[r, "\sim"] \arrow[d] & H^i(\mathcal{X}, \mathrm{Fil}^pS) \arrow[d] \\ H^i(\mathrm{Fil}^qC^*_{\mathrm{DR}}(\mathcal{X}; S, t, \gamma^*)) \arrow[r] & H^i(\mathcal{X}, \mathrm{Fil}^qS) \end{tikzcd}

entouré, en haut à droite : iso si i \leq p ; à droite de la seconde ligne : iso si i \leq q ; à gauche : q \leq p

NB Si on ne suppose pas que l'hom k\{T\} \to \mathrm{Gr}^*(S) est un iso, on ne peut rien dire. Prenons p.ex. le cas extrême et dégénéré où t = 0, \quad \text{donc } S \xrightarrow{\ \sim\ } k on a alors \mathrm{Gr}^p\widehat{A}^0_* \simeq \Gamma^p_k(\Psi_*), ~~donc~~ \mathrm{Gr}^p(\widehat{A}^0_*) \simeq K_*(k, p) qui n'est flasque pour aucun p \geq 0 (si k \neq 0). Prenons aussi le cas de (\mathbf{Z}_p, p), la p.d.-filtration définie par p est cofinale à la filtration p-adique si p \neq 2 (si p = 2, c'est la filtration constante de valeur \mathrm{Fil}^p\mathbf{Z}_2 = 2\mathbf{Z}_2 si p \geq 1, donc \mathrm{Gr}^*(S) \simeq \mathrm{Gr}^0(S) \simeq \mathbf{F}_2 dans ce cas, i.e. c'est le cas de dégénérescence…), quel est exactement l'idéal S^{[i]} engendré par les ~~S^{[i]} = (\frac{p^n}{n!}\mathbf{Z}_p) – i.e. quelle~~ \frac{p^j}{j!} pour j \geq i? ~~i.e. probablement~~ le « \simeq » de \mathrm{Gr}^*(S) \simeq \mathrm{Gr}^0(S) est souligné ; la ligne biffée est écrite entre les deux dernières lignes de la question.

la page fait suite à la question qui clôt la p. 238 ; « \mathrm{chiff}_p\,n » désigne, semble-t-il, la somme des chiffres de n en base p. v_p(n!) = \frac{1}{p-1}(n - \mathrm{chiff}_p\,n) v_p(p^{(n)}) = v_p\Bigl(\frac{p^n}{n!}\Bigr) = \frac{1}{p-1}\bigl((p-2)n + \underline{\mathrm{chiff}_p\,n}\bigr) \bigl(= \mathrm{chiff}_p(n) \text{ si } p = 2\bigr) ~~Si p~~ \gamma_{p,i} = \operatorname*{Inf}_{n \geq i} v_p(p^{(n)}) = \operatorname*{Inf}_{n \geq i} \frac{1}{p-1}\bigl(\underbrace{(p-2)n + \mathrm{chiff}_p(n)}_{\text{cette fonction n'est ni croissante ni décroissante…}}\bigr) = \begin{cases} 1 & \text{si } p = 2 \\ > \frac{p-2}{p-1}\,i \xrightarrow[i \to +\infty]{} +\infty & \text{si } p \neq 2 \end{cases}

i = i_0 + i_1p + \dots + i_rp^r ~~donc~~ ~~i_0~~ si = \underbrace{\underbrace{(p-1)}_{i_0} + \dots + \underbrace{(p-1)p^{s-1}}_{i_{s-1}}}_{p^s - 1} + \underset{< p-1}{i_s}\,p^s + \dots + i_rp^r i + 1 = (i_s+1)p^s + \dots + i_rp^r (p-2)i + (p-1)s + \sum_{\alpha \geq s} i_\alpha \leq (p-2)(i+1) + \sum_{\alpha \geq s} i'_\alpha les deux sommes \sum_{\alpha \geq s} sont barrées d'un trait oblique, comme pour les simplifier l'une par l'autre. \begin{align*} [v_p(p^{(i)}) \leq v_p(p^{(i+1)})] &\Leftrightarrow [(p-1)s \leq (p-2)] \Leftrightarrow [s = 0] \Leftrightarrow [i_0 \neq p-1] \\ &\Leftrightarrow i + 1 \not\equiv 0 \ (p) \end{align*} sous [i_0 \neq p-1], une variante encadrée et biffée : i_0 < p-1.

Exemple : si \gamma_{p,i} = \gamma_{p,i+1}: il suffit que l'on ait v_p(p^{(i+1)}) \leq v_p(p^{(i)}) i.e. que i + 1 \equiv 0 \ (p) i.e. i de la forme p\ell - 1. la page s'arrête ici ; l'étude des \gamma_{p,i} se poursuit peut-être au-delà de ce lot.