Cote n° 136, pages 221–240

Cote n° 136 · batch 12 · pages 221–240 · Transcription · Complexe de De Rham à puissance divisée [conférence de 1976 à l’IHÉS] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1975-1976]
Édition de démonstration

221la page s'ouvre au milieu d'une phrase, commencée avant ce lot. linéaire sur $\mathcal{M}$, on trouve une unique antidérivation $\delta$ de $\dot\Lambda\mathcal{M}$ qui sur $\Lambda^1\mathcal{M}$ se réduise à $\varphi$, et on a $\delta^2 = 0$. (N.B. On a $H_0(\dot\Lambda\mathcal{M}, \delta) = S/\varphi(\mathcal{M})$, et si $\mathcal{M}$ est libre de t.f., alors $H_i(\dot\Lambda\mathcal{M}, \delta) = 0$ pour $i \neq 0$ ssi $\mathcal{M} \to S$ est « transversale » – il suffit p.ex. que une base de $\mathcal{M}$ définisse une suite $S$-régulière, et c'est aussi néc. si $S$ noeth et $\varphi(\mathcal{M}) \subset \operatorname{rad} S$.) Ceci dit, on obtient les complexes (2) et (4) en prenant respectivement $S = \mathrm{Sym}^*M$ ou $S = \Gamma^*M$, $\mathcal{M} = M \otimes_A S$, et en prenant l'hom $\mathcal{M} \to S$ […] déduit par extension des scalaires de l'hom can $M \xrightarrow{\sim}$ $\mathrm{Sym}^1M$ $S^1 \subset S$ […] ($S^1 = \mathrm{Sym}^1M$ resp. $\Gamma^1M$).

Les opérateurs $d\delta$, $\delta d$ dans $\mathrm{Sym}^*\otimes\dot\Lambda$ resp. $\Gamma^*\otimes\dot\Lambda$ ne sont pas bien jolis, mais on voit de suite (tout anticommutateur de antidérivations étant une dérivation) que \[ \theta = d\delta + \delta d \] est une dérivation, et; en changeant […] le bidegré […] $S^* = \Gamma^*$ et compatible aux […], et qui sur $S^1 = \mathrm{Sym}^1$ ou $\Gamma^1$ ⌜(de plus si $S^* = \Gamma^*$, il est compatible aux puiss. div. sur $\Gamma^*$)⌝ et sur $\dot\Lambda^1$ est l'identité; (Donc on en conclut facilement) que l'on a \[ (d\delta + \delta d)x = \theta x = nx \qquad \text{$x$ de degré total $n$,} \] \[ \text{i.e. } x \in \textstyle\sum_{p+q=n} S^p \otimes \Lambda^q . \] Cela montre donc que si $A$ est de car. zéro (ou même que $n$ inversible $\forall n > 0$), alors $H^n_{\mathrm{DR}}(S^*\otimes\dot\Lambda)$ et $H^n_{\mathrm{Kosz}}(S^*\otimes\dot\Lambda)$ sont nuls quel que soit $n > 0$ ($S^*$ étant $\mathrm{Sym}^* \simeq \Gamma^*$) (sans hyp. de platitude!). Plus gén., $H^n_{\mathrm{DR}}$ et $H^n_{\mathrm{Kosz}}$ sont nuls pour tout $n$ tel que $n.1_A$ inv. dans $A$. la lecture des lignes biffées et ajoutées en interligne autour de « en changeant … bidegré » est très incertaine ; l'ordre des fragments est reconstitué.

222Revenant au cas $A$ de car. $0$, que peut-on dire de $H^0_{\mathrm{DR}}$ et $H_0^{\mathrm{Kosz}}$? Pour $H_0$, on sait déjà que c'est $\simeq A$; est-il vrai que l'hom évident $A \to H^0_{\mathrm{DR}}$ est aussi un isom?, […] i.e. que $\forall f \in \mathrm{Sym}^*(M)$ tel que $df = 0$ soit […] une constante, ?, i.e. ⌜($f \in \mathrm{Sym}^k(M)$, si $k>0$)⌝ $k > 0$ et $df = 0 \Rightarrow f = 0$, i.e. \[ \mathrm{Sym}^kM \xrightarrow{\ d\ } (\mathrm{Sym}^{k-1}M) \otimes M \] ⌜($M$ étant ici $\simeq \dot\Lambda^1 M$)⌝ est injectif? Or composant avec $\mathrm{Sym}^{k-1}(M) \otimes M \xrightarrow{\ \delta\ } \mathrm{Sym}^kM$ ⌜($M \simeq \mathrm{Sym}^1M$)⌝ on trouve la multiplication par $k$ (car $\theta = d\delta + \delta d$ est égal à $\delta d$ sur $\mathrm{Sym}^kM$ puisque $\delta$ y est nulle), donc inj, ok. (Plus gén., inj. pourvu que $k$ inv. dans $A$.)

Dualité. Supposons $M$ et $M'$ deux $A$-modules accouplés vers $A$, \[ M \otimes M' \to A ; \] alors on en conclut des accouplements (degré par degré) \[ \mathrm{Sym}^*M \times \Gamma^*M' \to A, \qquad \dot\Lambda M \times \dot\Lambda M' \to A \] qui est une dualité parfaite si $M$ est projectif t.f. et $M'$ s'identifie à son dual. On en conclut des accouplements \[ \text{\struck{$\mathrm{Sym}$}}\ S^*\Lambda^*(M) \times \Gamma^*\Lambda^*(M') \to A . \] Ceci posé, on vérifie que les op. $d_M$ et $\delta_{M'}$, $\delta_M$ et $d_{M'}$ sont […] en transposition par ces accouplements. D'ailleurs, on vérifie aussi que l'op. de multipli\-cation d'un côté est en dualité avec l'op. de comultiplication de l'autre. Donc dans le cas de dualité parfaite, les opérations $d_M$ et $\delta_{M'}$, $\delta_M$ et $d_{M'}$, multiplication et comultiplication, se déterminent mutuellement.

224au crayon, en travers de la marge : Feuille volante paumée… feuillet isolé, d'une encre plus pâle, qui ne fait pas suite à la p. 222 ; il porte sa propre numérotation (« Prop 6 », renvois aux « prop. 3, 5 » et « prop 4 » d'un texte qui n'est pas dans ce lot). Prop 6. Soit $\mathfrak{B}$ une catégorie […]. Alors le foncteur \[ ND_\bullet : \mathfrak{B}^*_* \to \mathfrak{B}_\bullet \] est donné (à isom. can. près) par \[ ND_i(L_*) \simeq \mathrm{Hom}_{k,*}(\underbrace{\dot\Lambda^i\mathfrak{L}_*}_{\mathfrak{L}^i_*}, L_*) \] (pour la définition de $\mathrm{Hom}_{k,*}$, cf. prop. 3, 5), […] \[ ND_\bullet(L_*) \simeq \mathrm{Hom}_{k,*}(\underbrace{\dot\Lambda\mathfrak{L}_*}_{\mathfrak{L}^\bullet_*}, L_*) ; \] l'opérateur diff. sur $ND_\bullet(L_*)$ provient de l'op. différentiel sur $T_*$ et sur $\dot\Lambda\mathfrak{L}_*$.

En effet, […] posant $L_\bullet = ND_\bullet(L_*)$, ⌜et […]⌝ $\mathfrak{L}(i)_\bullet = ND_\bullet(\dot\Lambda^i\mathfrak{L}_*)$, alors on a par la symétrie de Dold-Puppe \[ \mathrm{Hom}_{k,*}(\dot\Lambda^i\mathfrak{L}_*, L_*) \simeq \mathrm{Hom}_{k_\bullet}(\mathfrak{L}(i)_\bullet, L_\bullet) . \] Or $\mathfrak{L}(i)_\bullet \simeq C_\bullet^{i-1}$ pour $i \geq 1$ (prop 4), et $\mathfrak{L}(0)_\bullet = k$ placé en degré $0$; on a bien \[ \begin{cases} \mathrm{Hom}_{k_\bullet}(C_\bullet^{i-1}, L_\bullet) \simeq L_i & (i \geq 1) \\ \mathrm{Hom}_{k_\bullet}(k[0]_\bullet, L_\bullet) \simeq L_0 \end{cases} \] et il reste à faire de petites vérifications de compatibilité…

Cor. Le foncteur $ND^\bullet : \mathfrak{B}^* \to \mathfrak{B}^\bullet$ s'explicite comme \[ ND^\bullet(L^*) \simeq \dot\Lambda\mathfrak{L}_* \otimes_{k,*} L^* \] [où pour $M_* \in \mathrm{Ab}_{k_*}$ et $L^* \in \mathfrak{B}^*$, $M_* \otimes_{k_*} L^*$ désigne l'objet de $\underline{\mathrm{Hom}}(\mathfrak{B}, (\mathrm{Ab}))$ indice de $\mathrm{Ab}$ illisible \[ b \longmapsto \mathrm{Hom}_{\mathrm{Ab}_{k_*}}(M_*, \mathrm{Hom}_{\mathfrak{B}}(L^*, b)) \ ] \] Il suffit d'appliquer la prop. 6 à $\mathfrak{B}^\circ$.

225feuillet du même type que la p. 224, qui semble le précéder dans l'ordre de rédaction (la « Prop 6 » y est ébauchée puis biffée) ; il commence au milieu d'un énoncé. en haut à gauche, en oblique : […] pour un foncteur […] sur $\mathfrak{B}$ […] Kan-[…] \[ F(x) \simeq \mathrm{Hom}^*_k(\alpha^*(x), C^*_F), \qquad C^*_F \overset{\mathrm{dfn}}{=} F(C^*) \] après la formule, un ou deux signes biffés. où la définition des $\mathrm{Hom}^*$ se fait comme dans la prop. 3.

le passage suivant, jusqu'à la flèche $F(C^i) = C^i \to \dots$, est entouré d'un trait et barré de traits obliques. $F(x) \otimes \alpha^{[n]}(x) \to C^{[n]}_F$, avec $\simeq \mathrm{Hom}(x, C^{[n]})$ et $C^{[n]}_F = F(C^{[n]})$. On procède comme pour la prop. 3 pour définir la flèche dans $\widehat{\mathfrak{B}}$, et pour montrer que c'est un iso, on se ramène au cas où $x$ est de la forme $C^i_\xi$, $C$ fixe, prenons […] $F(C^i) = C^i \to \mathrm{Hom}^*_k($[…]$C^*)$. à gauche du passage biffé : par définitions des $\alpha^*$ et […] DP adjoint, […] et commutation des DP aux foncteurs etc.

En fait, on trouve tout de suite que si $K^\bullet \in \mathrm{Ab}_k^\bullet$, $C^\bullet \in \mathfrak{B}^\bullet$, $K^* = DP(K^\bullet)$ et $C^* = DP(K^*)$sic, pour $DP(C^\bullet)$ sans doute, alors on a un iso. can. bifonctoriel dans $\widehat{\mathfrak{B}}$ \[ DP : \mathrm{Hom}^\bullet_k(K^\bullet, C^\bullet) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}^*_k(K^*, C^*), \] et on conclut par prop 3.

le passage suivant est encadré et barré de traits obliques. Prop 6 (*) Le foncteur $ND : \mathrm{Ab}_{k_*} \to \mathrm{Ab}_{k_\bullet}$ est donné par $(ND)(L_*)$ $\simeq \mathrm{Hom}_{k,*}(C^\bullet_*, L_*)$, i.e. $ND(L_*)_i$ $\simeq \mathrm{Hom}_{k,*}(C^i_*, L_*)$ pour $i \geq 0$ ($C^i_* = \dot\Lambda^i\mathfrak{L}_*$, $i \geq 1$), l'hom ⌜bord⌝ $ND(L_*)_i$ $\to ND(L_*)_{i-1}$ étant le transposé de $C^{i-1}_*$ $\to C^i_*$.

226

Quelques calculs d'homotopie

Soit $k$ un anneau (de base commun), $\mathfrak{L}_* = \mathfrak{L}^k_*$ le $k$-module ½simplicial $I \mapsto k^I$, $k_*$ le $k$-module ½simpl. constant défini par $k$, $I \mapsto k$. On a une application diagonale \[ k_* \to \mathfrak{L}_* \] d'où un quotient \[ \Psi_* = \mathfrak{L}_*/k_* : I \mapsto k^I/k . \]

Proposition 1. $\mathfrak{L}_*$ est homotope à $0$ […] (⌜i.e. sur $k$⌝ module ½simplicial $0$).

Par le yoga de Puppe-Dold, il suffit de voir que le complexe de chaînes $\mathfrak{L}^!_*$ associé à $\mathfrak{L}$ est homot. à $0$. Pour ceci, on se rappelle que \[ \mathfrak{L}^!_n = \{ x \in \mathfrak{L}_n \mid \partial_1(x) = \dots = \partial_n(x) = 0 \} \] d'où aussitôt $\mathfrak{L}^!_n = \begin{cases} 0 & \text{si } n \geq 2 \\ k & \text{si } n = 0, 1 \end{cases}$, l'op. […] bord \[ \partial = \partial_0 : \mathfrak{L}^!_1 \to \mathfrak{L}^!_0 \qquad (\mathfrak{L}^!_1 \simeq k,\ \mathfrak{L}^!_0 \simeq k) \] étant l'identité, d'où la conclusion.

Corollaire 1.1. Pour tt foncteur $F : \mathrm{Mod}(k) \to \mathcal{C}$ ($\mathcal{C}$ une catégorie […]) $F(\mathfrak{L}_*)$ est homotope à $F(0)$. En particulier, ⌜$(\Gamma^i_k\mathfrak{L}_*, \mathrm{Sym}^i_k\mathfrak{L}_*)$⌝ \[ \dot\Lambda^i_k\mathfrak{L}_* \text{ est homotope à } \dot\Lambda^i_k(0) = \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 0 \\ k_* & \text{si } i = 0 \end{cases} \] ⌜(de même $\Gamma^i_k(0)$, $\mathrm{Sym}^i_k(0)$)⌝ $\Gamma^i_k\mathfrak{L}_*$ […] $\Gamma^i_k(0) = \dots$ une seconde ligne de l'accolade, pour $\Gamma^i_k\mathfrak{L}_*$, est biffée d'une rature serrée ; l'énoncé est reporté dans l'ajout entre parenthèses.

Corollaire 1.2. Les groupes d'homotopie de $\Psi_* = \mathfrak{L}_*/k_*$ sont \[ \pi_i(\Psi_*) \simeq \pi_{i-1}(k_*) = \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 1 \\ k & \text{si } i = 1 \end{cases} \] En d'autres termes, $\Psi_*$ […] est un $K_*(k, 1)$. [En fait, on a $(\Psi^!_*) =$ complexe réduit à $k$ placé en degré $1$.] On conclut de ceci et du yoga de Dold-Puppe

Corollaire 1.3. \[ \pi_j(\dot\Lambda^i(\mathfrak{L}_*/k_*)) = \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i \\ k & \text{si } j = i \end{cases} \] (i.e. $\dot\Lambda^i\mathfrak{L}_*/k_*$ est un $K_*(k, i)$).

228Dans le langage de Dold-Puppe des foncteurs dérivés de $\dot\Lambda$, compte tenu de $(\mathfrak{L}_*/k_*)^! = k[1]$, l'assertion équivaut à \[ (L\dot\Lambda^i)(k[1]) \simeq \dot\Lambda^i k[1] = k[\text{-}i] \] la fin de la formule se lit $k[-i]$ ou $k[i]$ ; le N.B. plus bas écrit $k[i]$. – plus généralement, si on se donne un complexe de chaînes de $k$-modules $L_\bullet$ projectifs en chaque degré, est-ce vrai? \[ (L\dot\Lambda)(L_\bullet) \xrightarrow{\ \sim\ } \dot\Lambda(L_\bullet) . \] On peut aussi noter que la filtration de $\mathfrak{L}_*$ par \[ 0 \to k_* \to \mathfrak{L}_* \to \Psi_* \to 0 \qquad (\Psi_* \overset{\mathrm{dfn}}{=} \mathfrak{L}_*/k_*) \] définit pour les $i \geq 0$ une filtration \[ 0 \to \underbrace{\dot\Lambda^{i-1}\Psi_* \otimes k_*}_{\dot\Lambda^{i-1}\Psi_*} \to \underbrace{\dot\Lambda^i\mathfrak{L}_*}_{\text{flasque}} \to \dot\Lambda^i\Psi_* \to 0 \] d'où \[ 0 \to (\dot\Lambda^{i-1}\Psi_*)^! \to \underbrace{(\dot\Lambda^i\mathfrak{L}_*)^!}_{\text{flasque}} \to \dot\Lambda^i\Psi_* \to 0 \] cette dernière suite est entourée d'un trait. d'où la conclusion, car on a aussi $\pi_j(\dot\Lambda^i\Psi_*) \simeq \pi_{j-1}(\dot\Lambda^{i-1}\Psi_*)$ par suite exacte d'homotopie.

NB. Il est probable que $(\dot\Lambda^i\Psi_*)^!$ est […] $k[i]$ ($k$ placé en dim $i$). On n'en aura pas besoin.

b) Les mêmes arguments montrent que $\Gamma^i(\Psi^*)$ et […] $\mathrm{Sym}^i(\Psi^*)$ sont des $K(k, i)$une lettre biffée précède aussi $\Psi^*$ dans $\Gamma^i(\Psi^*)$. ⌜[…] $\otimes \Psi^*$⌝ (mais nettement moins « économiques »!)

Cor. 1.4. Si $A_*$ est un $k$-module ½simplicial, […] \[ \pi_\ell(A_* \otimes \dot\Lambda^i\Psi_*) \simeq \pi_{\ell-i}(A_*) \] [de façon plus précise, ⌜on doit avoir⌝ $A_* \otimes \dot\Lambda^i\Psi_* \simeq$ $\Omega^i$ $\mathrm{Susp}^iA_*$, où Susp est la « suspension additive »]

230Par Eilenberg-Zilber, l'[…]homologie de $C_*(A_* \otimes B_*)$ (⌜$A_*$, $B_*$⌝ deux $k$-modules ½simpliciaux […]) ⌜$C_*(A_* \otimes B_*) = A_* \otimes B_*$⌝ complexe de chaînes ⌜op.⌝ bord $\partial = (\sum\partial_n)$, $\partial_n = \sum_0^n (-1)^i\partial_{i,n}$, – c'est donc, par Dold-Puppe, aussi $\pi_*(A_* \otimes B_*)$, se calcule en prenant ⌜l'homologie⌝ du produit tensoriel des complexes $C_*(A_*) \otimes C_*(B_*)$, qui est lui-même « ⌜chaîne-⌝homotope », par Dold-Puppe, à […] $A^!_* \otimes B^!_*$ (car $A^!_* \xrightarrow{\ \sim\ } A_*$ ⌜chaîne-homotopisme⌝, $B^!_* \to B_*$); ⌜a son homologie⌝ laquelle qui se calcule par Künneth. Ici $B^!_* = (\dot\Lambda^i\Psi_*)^! \approx k[i]$, donc on doit avoir a \[ \underbrace{H_\ell(A^!_* \otimes B^!_*)}_{\pi_\ell(A_* \otimes B_*)} \simeq \underbrace{H_{\ell-i}(A^!_*)}_{\pi_{\ell-i}(A_* \otimes B_*)} \] sous $H_{\ell-i}(A^!_*)$ on lit $\pi_{\ell-i}(A_* \otimes B_*)$, sans doute pour $\pi_{\ell-i}(A_*)$.

Cor. 1.5. Considérons p.ex. le complexe ⌜½simplicial⌝ de chaînes De Rham à puissances divisées \[ A^{**}_* \simeq \Gamma^*(\mathfrak{L}_*) \otimes_k \dot\Lambda\Psi_* \qquad \text{(degré total, degré ext)} \] on trouve alors \[ \pi_\ell(A^{*i}_*) \simeq \pi_{\ell-i}(\underbrace{A^{*0}_*}_{\Gamma^*(\mathfrak{L}_*)}) \rightleftarrows \pi_{\ell-i}(\underbrace{A^{00}_*}_{\Gamma^*(0) = k_*}) = \begin{cases} 0 & \text{si } \ell \neq i \\ k & \text{si } \ell = i \end{cases} \] En particulier […] \[ \pi_\ell(\underbrace{A^{p,i}_*}_{\Gamma^{p-i}_k\mathfrak{L}_* \otimes \dot\Lambda^i\Psi_*}) \simeq \pi_{\ell-i}(\underbrace{A^{p-i,0}_*}_{\Gamma^{p-i}_*\mathfrak{L}_*}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } \ell \neq i \text{ ou } p \neq i \\ k & \text{si } i = \ell = p \end{cases} \] donc, pour $p$ fixé, $i$ variable, on trouve que les comp. ⌜composantes⌝ $A^{p,0}_*, A^{p,1}_*, \dots, A^{p,p-1}_*$ (en degré $< p$) de $A^{p*}_*$ (qui est une résolution de $k_*$) sont flasques, la seule composante non flasque étant $A^{p,p}_*$ (ayant comme seul gr. d'homot. non nul $\pi_p(A^{p,p}_*) = k$). On peut donc considérer que

232ce complexe est déduit d'une résolution flasque $\widetilde{\mathfrak{L}}^{p*}_*$ de […] $k_*$ en la « tronquant » en dimension degré $\leq p$, i.e. en prenant $\mathfrak{L}^{p*}_* = \tau^{\leq p}\widetilde{\mathfrak{L}}^{p*}_*$, […] i.e. \[ \mathfrak{L}^{pi}_* = \begin{cases} \widetilde{\mathfrak{L}}^{p,i}_* & \text{si } i < p \\ Z^p(\widetilde{\mathfrak{L}}^{p,*}_*) & \text{si } i = p \\ 0 & \text{si } i > p \end{cases} \] Par suite, pour tout $\mathcal{X}$ semi-simplicial, on aura \[ \underbrace{\mathrm{Hom}(\mathcal{X}, \mathfrak{L}^{p*}_*)}_{C^{p*}_{\mathrm{DR\,pd}}(\mathcal{X}, k)} \simeq \mathrm{Hom}(X, \tau^{\leq p}\widetilde{\mathfrak{L}}^{p*}_*) \simeq \tau^{\leq p}\Gamma(X, \widetilde{\mathfrak{L}}^{p*}_*) \] \[ \simeq \tau^{\leq p}\mathbb{R}\Gamma(\mathcal{X}, k) \] sous $\mathrm{Hom}(\mathcal{X}, \mathfrak{L}^{p*}_*)$, un signe d'égalité marqué « dfn » ; la lettre surmontée d'un tilde se lit comme le $\mathfrak{L}$ des pages précédentes, sans certitude. en particulier \[ H^{p*}_{\mathrm{DR\,pd}}(\mathcal{X}, k) \to H^*(\mathcal{X}, k) \] est un isom tel que \[ H^{p,i}_{\mathrm{DR\,pd}}(\mathcal{X}, k) \begin{cases} \simeq H^i(\mathcal{X}, k) & \text{si } i \leq p \\ = 0 & \text{si } i > p . \end{cases} \]

Soit $S$ anneau avec idéal $S^+$ à p.d., muni d'un système de générateurs $t \in S^+$. Considérons le complété $S$ […] pour la top. engendrée par ces idéaux \[ S^{[i]} = \text{idéal engendré par les } t^{[j]} \ (j \geq i) \] – ou on suppose $S$ séparé et complet pour la top. définie par une suite décroissante d'idéaux $S^{[i]}$, chacun étant l'adhérence de l'idéal engendré par $t^{[j]}$ ($j \geq i$).

234On considère l'anneau ½simplicial \[ \widehat{A}^*_*(S, \gamma^*, t) \overset{\mathrm{dfn}}{=} \widehat{A}^{**}_* \] par \[ \widehat{A}^*_n \simeq S\{\{X_0, \dots, X_n\}\}/(\text{idéal à p.d.\ engendré par } \textstyle\sum X_i - t) \otimes_S \dot\Lambda[dX_0, \dots, dX_n]/\text{idéal}(\textstyle\sum dX_i) \] \[ (\simeq S\{\{Y_0, \dots, Y_n\}\}[dY_0, \dots, dY_n]) \] dans la parenthèse « idéal à p.d. … », quelques mots biffés avant « engendré par » ; la lettre lue $t$ ressemble à une majuscule $T$. On a donc \[ \widehat{A}^*_* \simeq \widehat{A}^0_* \otimes_S \dot\Lambda\Psi^S_* \] d'où \[ \pi_\ell(\widehat{A}^i_*) \simeq \pi_\ell(\widehat{A}^0_* \otimes \dot\Lambda^i\Psi^S_*) \simeq \pi_{\ell-i}(\widehat{A}^0_*) \] et il faut donc étudier $\pi_*(\widehat{A}^0_*)$.

On considère sur $\widehat{A}^0_*$ […] la filtration décroissante par idéaux fermés stables par p.d. « engendrée » par la condition que […] pour tout $n$, les $X_i$ et $t$ sont en filtration $\geq 1$. On a \[ \mathrm{Fil}^0(\widehat{A}^0_n) \simeq \widehat{A}^0_n \] \[\begin{align*} \mathrm{Fil}^p(\widehat{A}^0_n) &\simeq \Bigl\{ \textstyle\sum a_{i_0 \dots i_n} X_0^{[i_0]} \cdots X_n^{[i_n]} \Bigm| a_{i_0 \dots i_n} \in S^{[p - \sum_0^n i_\alpha]} \Bigr\} \\ &= \Bigl\{ \textstyle\sum a_{i_0, \dots, i_{n-1}} Y_0^{[i_0]} \cdots Y_{n-1}^{[i_{n-1}]} \Bigm| a_{i_0 \dots i_{n-1}} \in S^{[p - \sum_0 i_\alpha]} \Bigr\} \end{align*}\] Bien sûr, la topologie qui provient de […] sur $\widehat{A}_n$ est aussi celle définie par cette filtration, et par suite $\widehat{A}^0_n$ est séparé et complet pour cette filtration. Un calcul immédiat donne, posant \[ k = S/S^{[1]} \] \[ \mathrm{Gr}^p(\widehat{A}^0_*) \simeq \Gamma^p_k(\mathfrak{L}^k_*) \] ⌜$\simeq \widehat{A}^{p0}_*(\mathrm{Gr}^*(S), \widetilde{\gamma}^*, \widetilde{t})$, $k$-½simplicial gradué, gradué de $k[T]$⌝ […] si l'hom $k[T] \to \mathrm{Gr}^*(S)$ est un iso, d'où, dans cette hypothèse ⌜d'isomorphisme⌝, \[ \pi_i(\mathrm{Gr}^p(\widehat{A}^0_*)) = \begin{cases} 0 & \text{si } p \neq 0,\ i \neq 0 \\ k & \text{si } i, p = 0 \end{cases} \] (donc $\mathrm{Gr}^p(\widehat{A}^0_*)$ flasque si $p > 0$) d'où on conclut que […] $\mathrm{Fil}^1\widehat{A}^0_* \simeq \widehat{A}^0_*$ la page s'arrête sur cette conclusion biffée ; la p. 236 reprend.

236On trouve donc $H^i(C^*_{\mathrm{DR}}(\mathcal{X}, \widehat{A}^*_*)) = H^0(\mathcal{X}, S)$ si $i = 0$, $H^i(\mathcal{X}, S^+)$ si $i \neq 0$ cette accolade est barrée de traits obliques. \[ \& \begin{cases} \mathrm{Fil}^p(\widehat{A}^0_*) \text{ flasque pour tt } p \geq 1 \\ \pi_i(\widehat{A}^0_*) = \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq 0 \\ k & \text{si } i = 0 \end{cases} \quad \text{si } p = 0 \end{cases} \]

Considérons la filtration ⌜½simpl.⌝ […] sur $\widehat{A}^*_*$ prolongeant celle de $\widehat{A}^0_*$ et donnant […] à $\widehat{A}^1_*$ la filtration $1$, donc \[ \mathrm{Fil}^p\widehat{A}^*_* = \sum_{0 \leq i \leq p} \mathrm{Fil}^{p-i}(\widehat{A}^0_*) \otimes_S \dot\Lambda^i\Psi_* \] C'est stable par l'opérateur différentiel. On a donc \[\begin{align*} \pi_\ell(\mathrm{Fil}^p(\widehat{A}^i_*)) &= \pi_\ell(\mathrm{Fil}^{p-i}(\widehat{A}^0_*) \otimes_S \dot\Lambda^i\Psi_*) \\ &= \pi_{\ell-i}(\mathrm{Fil}^{p-i}(\widehat{A}^0_*)) \\ &= \begin{cases} 0 & \text{si } p \leq i \text{ et } \ell \neq i \\ k & \text{si } p \leq i = \ell \end{cases} \end{align*}\] la colonne de droite porte plusieurs essais biffés de ces conditions (« $\ell \neq p$ ou … », « $0$ si $\ell - i \neq$ … ») ; seule la dernière rédaction est donnée.

Donc: on en conclut la suite spectrale (pour […] fixé) si on regarde $\mathrm{Fil}^p(\widehat{A}^*_*)$ comme $E_2^{rs} = H^r$ […] $(\mathcal{X}$, […] une résolution ½simpliciale de $S^{[p]}_* = \mathrm{Fil}^pS$, on voit que tous les termes $\mathrm{Fil}^p(A^i_*)$ de cette résolution ⌜en degré $< p$⌝ sont flasques, […] […] ($j \geq p$) $\mathrm{Fil}^p(A^p_*) \simeq \widehat{A}^0_* \otimes_S \dot\Lambda^p\Psi_*$ dont le seul gr. d'homotopie non nul est $\pi_p(\cdot) \simeq k$. On en conclut

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small]
H^i(\underbrace{\mathrm{Fil}^pC^*_{\mathrm{DR}}(\mathcal{X}, \widehat{A}^*_*)}_{C^*_{\mathrm{DR}}(\mathcal{X}, \mathrm{Fil}\widehat{A}^*_*)}) \arrow[r, "\simeq"] \arrow[d] & H^i(\mathcal{X}, \underbrace{S^{[p]}}_{\mathrm{Fil}^pS}) \arrow[d] \\
H^i(C^*_{\mathrm{DR}}(\mathcal{X}, \widehat{A}^*_*)) \arrow[r] & H^i(\mathcal{X}, S)
\end{tikzcd}

si $i \leq p$. sous le premier terme, un signe « $\simeq$ dfn » relie $\mathrm{Fil}^pC^*_{\mathrm{DR}}(\mathcal{X}, \widehat{A}^*_*)$ à $C^*_{\mathrm{DR}}(\mathcal{X}, \mathrm{Fil}\,\widehat{A}^*_*)$ ; la flèche horizontale du haut est un isomorphisme pour $i \leq p$.

238qui s'écrit aussi

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small]
H^i(\mathrm{Fil}^pC^*_{\mathrm{DR}}(\mathcal{X}; S, t, \gamma^*)) \arrow[r, "\sim"] \arrow[d] & H^i(\mathcal{X}, \mathrm{Fil}^pS) \arrow[d] \\
H^i(\mathrm{Fil}^qC^*_{\mathrm{DR}}(\mathcal{X}; S, t, \gamma^*)) \arrow[r] & H^i(\mathcal{X}, \mathrm{Fil}^qS)
\end{tikzcd}

entouré, en haut à droite : iso si $i \leq p$ ; à droite de la seconde ligne : iso si $i \leq q$ ; à gauche : $q \leq p$

NB Si on ne suppose pas que l'hom \[ k\{T\} \to \mathrm{Gr}^*(S) \] est un iso, on ne peut rien dire. Prenons p.ex. le cas extrême et dégénéré où \[ t = 0, \quad \text{donc } S \xrightarrow{\ \sim\ } k \] on a alors \[ \mathrm{Gr}^p\widehat{A}^0_* \simeq \Gamma^p_k(\Psi_*), \] donc \[ \mathrm{Gr}^p(\widehat{A}^0_*) \simeq K_*(k, p) \] qui n'est flasque pour aucun $p \geq 0$ (si $k \neq 0$). Prenons aussi le cas de $(\mathbf{Z}_p, p)$, la p.d.-filtration définie par $p$ est cofinale à la filtration $p$-adique si $p \neq 2$ (si $p = 2$, c'est la filtration constante de valeur $\mathrm{Fil}^p\mathbf{Z}_2 = 2\mathbf{Z}_2$ si $p \geq 1$, donc $\mathrm{Gr}^*(S) \simeq \mathrm{Gr}^0(S) \simeq \mathbf{F}_2$ dans ce cas, i.e. c'est le cas de dégénérescence…), quel est exactement l'idéal $S^{[i]}$ engendré par les $S^{[i]} = (\frac{p^n}{n!}\mathbf{Z}_p)$ – i.e. quelle $\frac{p^j}{j!}$ pour $j \geq i$? i.e. probablement le « $\simeq$ » de $\mathrm{Gr}^*(S) \simeq \mathrm{Gr}^0(S)$ est souligné ; la ligne biffée est écrite entre les deux dernières lignes de la question.

240la page fait suite à la question qui clôt la p. 238 ; « $\mathrm{chiff}_p\,n$ » désigne, semble-t-il, la somme des chiffres de $n$ en base $p$. \[ v_p(n!) = \frac{1}{p-1}(n - \mathrm{chiff}_p\,n) \] \[ v_p(p^{(n)}) = v_p\Bigl(\frac{p^n}{n!}\Bigr) = \frac{1}{p-1}\bigl((p-2)n + \underline{\mathrm{chiff}_p\,n}\bigr) \] \[ \bigl(= \mathrm{chiff}_p(n) \text{ si } p = 2\bigr) \] Si $p$ \[ \gamma_{p,i} = \operatorname*{Inf}_{n \geq i} v_p(p^{(n)}) = \operatorname*{Inf}_{n \geq i} \frac{1}{p-1}\bigl(\underbrace{(p-2)n + \mathrm{chiff}_p(n)}_{\text{cette fonction n'est ni croissante ni décroissante…}}\bigr) \] \[ = \begin{cases} 1 & \text{si } p = 2 \\ > \frac{p-2}{p-1}\,i \xrightarrow[i \to +\infty]{} +\infty & \text{si } p \neq 2 \end{cases} \]

\[ i = i_0 + i_1p + \dots + i_rp^r \] donc $i_0$ si \[ = \underbrace{\underbrace{(p-1)}_{i_0} + \dots + \underbrace{(p-1)p^{s-1}}_{i_{s-1}}}_{p^s - 1} + \underset{< p-1}{i_s}\,p^s + \dots + i_rp^r \] \[ i + 1 = (i_s+1)p^s + \dots + i_rp^r \] \[ (p-2)i + (p-1)s + \sum_{\alpha \geq s} i_\alpha \leq (p-2)(i+1) + \sum_{\alpha \geq s} i'_\alpha \] les deux sommes $\sum_{\alpha \geq s}$ sont barrées d'un trait oblique, comme pour les simplifier l'une par l'autre. \[\begin{align*} [v_p(p^{(i)}) \leq v_p(p^{(i+1)})] &\Leftrightarrow [(p-1)s \leq (p-2)] \Leftrightarrow [s = 0] \Leftrightarrow [i_0 \neq p-1] \\ &\Leftrightarrow i + 1 \not\equiv 0 \ (p) \end{align*}\] sous $[i_0 \neq p-1]$, une variante encadrée et biffée : $i_0 < p-1$.

Exemple : si $\gamma_{p,i} = \gamma_{p,i+1}$: il suffit que l'on ait […] $v_p(p^{(i+1)}) \leq v_p(p^{(i)})$ i.e. que […] $i + 1 \equiv 0 \ (p)$ i.e. $i$ de la forme $p\ell - 1$. la page s'arrête ici ; l'étude des $\gamma_{p,i}$ se poursuit peut-être au-delà de ce lot.