Endomorphismes de l'anneau différentiel ½simplicial \mathcal{A}_*

(NB. on ne demande plus de respecter la structure de S-algèbre, S = \mathcal{A}_0, i.e. on ne demande plus que \varphi induise l'identité sur \mathcal{A}_0).

Rappelons-nous qu'un complexe de De Rham peut se construire dès qu'on a un anneau comm. S avec idéal S^+ à puiss. divisées, et t \in S^+, via une S-algèbre anneau différentielle \Lambda^*-graduée à p.d. ½simpliciale \mathcal{A}_*(S, S^+, t), où \mathcal{A}_n(S, S^+, t) = S\{X_0, \ldots, X_n\}[dX_0, \ldots, dX_n] \big/ \bigl( \textstyle\sum X_i - t,\ \sum dX_i \bigr)_{\mathrm{pd}} . Si on a un hom. d'anneaux à p.d. S \xrightarrow{u} S' (u(S^+) \subset S'^+ \ldots) et \lambda' \in S' \lambda \in S^+ tel que u(t) = \lambda t', on en déduit un hom. de S-alg. ½gradués différentielles à p.d. \mathcal{A}_*(u, \lambda) : \mathcal{A}_*(S, S^+, t) \longrightarrow \mathcal{A}_*(S, S'^+, t'), qui en degré n est l'hom.

\begin{tikzcd} S\{X_0, \ldots, X_n\}[dX_0, \ldots, dX_n] / \ldots \arrow[d] \\ S'\{X_0, \ldots, X_n\}[dX_0, \ldots, dX_n] / \ldots \end{tikzcd}

donné par u : S \to S' sur les scalaires, X_0 \longmapsto \lambda X_0 \qquad \Bigl(\text{donc } \textstyle\sum X_0 - t \longmapsto \sum \lambda X_0 - u(t) = \sum \lambda X_0 - \lambda t' = \lambda \bigl(\sum X_0 - t'\bigr)\Bigr), dX_0 \longmapsto \lambda\, dX_0 . Ainsi \mathcal{A}_*(S, S^+, t) devient un foncteur covariant sur la catégorie des triples (S, S^+, t), où les hom. sont les couples (u, \lambda) (composition : (u', \lambda')(u, \lambda) = (u'u, u'(\lambda)\lambda')) comme ci-dessus. dans l'énoncé il écrit \lambda' \in S', puis u(t) = \lambda t' et \mathcal{A}_*(S, S'^+, t') là où l'on attend \lambda et S' ; transcrit tel quel.

NB En plus de sa graduation, \mathcal{A}_n(S, S^+, t) admet une filtration naturelle, où \operatorname{Fil}^n \mathcal{A}_n(S, S^+, t) est les sommes des expressions \sum F_{i_0 \ldots i_p}\, dX_{i_0} \wedge \ldots \wedge dX_{i_p}, \qquad F_{i_0 \ldots i_p} \in S\{X_0, \ldots, X_n\} élément de « degré » \leq n - p, le tout des sous-S-modules (pas des idéaux), on a \operatorname{Fil}^n \cdot \operatorname{Fil}^m \subset \operatorname{Fil}^{n+m}, \operatorname{Fil}^0 = S (scalaires), \operatorname{Fil}^n = 0 si n < 0. Cette filtration est respectée par les \mathcal{A}_*(u, \lambda).

Considérons le cas où t' \in S'^+ est un élément régulier de S' ; alors \lambda tel que u(t) = \lambda t' est uniquement déterminé par u ; donc si on se borne aux triples (S, S^+_{\mathrm{pd}}, t) tels que t soit régulier, et aux hom. u : (S, S^+, t) \to (S', S'^+, t') tels que u(t) \in S \cdot t', alors \mathcal{A}_*(S, S^+, t) devient un foncteur sur cette catégorie, à valeurs dans la cat. des anneaux gradués (½simpliciaux) et différentiels filtrés.

La condition envisagée sur (S, S^+_{\mathrm{pd}}, t) est satisfaite en particulier si on fait S = k\{T\}, S^+ = (T)_{\mathrm{pd}}, t = T, lorsque k est sans torsion.

Revenons alors : \mathcal{A}_*(k) \overset{\text{déf}}{=} \mathcal{A}_*(S_k, S_k^+, T), \qquad S_k = k\{T\}, et à la détermination des endomorphismes de celle-ci, comme k-algèbre anneau différentielle ½simpliciale (où on ne considère ni la structure de S-algèbre, ni la graduation, ni les p.d., ni la filtration a priori …) lorsqu'on . Soit G_k le monoïde groupe des couples (u, \lambda), où u est un endomorphisme de S comme k-algèbre à p.div., et \lambda \in S S^+, tel que u(T) = \lambda\{T\}\, T. Comme u est connu par u(T), G_k est donc \simeq le monoïde groupe la connaissance de u(T) d'un S^\times de S, avec la multiplication (\lambda' * \lambda)\{T\} = \lambda'\{T\} \; \text{\ill{}} \; \lambda'\{\lambda\} ; on désigne par (u_\lambda)_* l'endomorphisme de \mathcal{A}_*(k) défini par \lambda \in S (donc u_\lambda u_{\lambda'} = u_{\lambda \lambda'}). le bas de la page mêle deux couches, l'une à l'encre bleue, l'autre au crayon, écrites l'une dans l'autre ; la formule de composition, surchargée, n'est lue qu'en partie.

Il est clair que \lambda \mapsto u_\lambda est un hom. de monoïdes injectif (on fait \lambda \mapsto (u_\lambda)_* l'est déjà, car (u_\lambda)_*(X_0) = \lambda X_0 et \mathcal{A}_1(k) \simeq k\{T\}\{X_0\}). Ceci dit,

Si H_k est le monoïde des S_k-endomorphismes de la k-algèbre différentielle ½simpliciale \mathcal{A}_*(k), et \Omega_k le monoïde de tous les endomorphismes de la k-alg. diff. ½simpliciale, on a

G_k,\ H_k \subset \Omega_k G_k \cap H_k = \bigl\{ u_\lambda \bigm| \lambda \in S_k,\ \lambda T = T \text{ i.e. } (\lambda\{T\} - 1)\, T = 0 \bigr\} Si on pose \lambda\{T\} = \sum_{i \geq 0} \lambda_i T^{(i)}, alors la condition sur \lambda s'exprime \boxed{\lambda_0 = 1} \qquad \boxed{(i+1)\, \lambda_i = 0 \quad \forall i \geq 1} (ce qui implique en particulier \lambda_0 = 1. ( 0, et implique Si k sans torsion, cela implique que \lambda_i = 0 pour i \geq 1 i.e. \lambda = 1, i.e. u_\lambda = \mathrm{id}, d'où G_k \cap H_k = (1) dans ce cas. — Et dans ce cas on a le résultat (k de car. 0 i.e. une \mathbf{Q}-alg.), [Dans ce cas, G_k est aussi le groupe G'_k de tous les endomorphismes de S_k = k\{T\} comme k-alg. augmentée, l'hom. alors \Omega et par suite

\begin{tikzcd} (1 \arrow[r] & H'_k \arrow[r] & \Omega_k \arrow[r] & G'_k = \operatorname{End}_{k\text{-alg}}(k\{T\}) = S_k) \\ & & & G_k \arrow[u, "\simeq"'] \arrow[ull, bend left=20] \end{tikzcd}

le « = » final est écrit sous k\{T\} en dessous de « k-alg », un mot biffé à côté ; la flèche courbe de G_k vers \Omega_k est sur la page une boucle en forme de lacet ; la flèche verticale porte « \simeq » et, à côté, « (22) » entre parenthèses.

donc \Omega_k comme produit ½direct de G_k \simeq G'_k et de H'_k.]

Dans le cas général, on peut dire que

\begin{tikzcd} 1 \arrow[r] & H_k \arrow[r] & \Omega_k \arrow[r] & G'_k = \operatorname{End}_{k\text{-alg augm.}}(k\{T\}) \\ & & & G_k \arrow[u] \arrow[ull, bend left=20] \\ & & & G_k \cap H_k \arrow[u] \end{tikzcd}

G_k \cap H_k \simeq \Bigl\{ u_\lambda \Bigm| \lambda = 1 + \sum_{i \geq 1} \lambda_i T^{(i)},\ (i+1)\, \lambda_i = 0 \Bigr\}

Essayons de dire un peu davantage sur les \varphi_*, endom. de la k-alg. diff. ½simpliciale \mathcal{A}_*(k).

1) Premier invariant \varphi_0 \in \operatorname{End}_{k\text{-alg}}(S_k).

\varphi_0 \varphi_0 est donné par les \varphi_0(T^{(i)}) = \tau_i \in S_k \qquad i \geq 1 satisfaisant les conditions \boxed{\tau_i \tau_j = c_{ij}\, \tau_{i+j}} \tau_i est entouré d'un cercle sur la page.

Chaque \varphi_n est \varphi_0-semi-linéaire.

2) Deuxième invariant \varphi_1, endom. \varphi_0-semi-linéaire de S_k\{X_0\}[dX_0] considéré comme S_k-alg. différentielle. Il doit être compatible avec les augm. \alpha, \beta .

Prop. auxiliaire :

Prop. Soient S, S' deux anneaux comm., \varphi_0 : S \to S' un hom., on s'intéresse à la détermination des hom. d'anneaux différentiels \varphi_1 : \underbrace{S\{X_0\}[dX_0]}_{\mathcal{A}_S} \longrightarrow \underbrace{S'\{X_0\}[dX_0]}_{\mathcal{A}_{S'}} induisant \varphi_0 sur S, et compatibles avec augmentation (X_0 \mapsto 0, dX_0 \mapsto 0). Ils sont donnés par un système d'éléments \xi_i \in \mathcal{A}_{S'}^{+} = \operatorname{Ker}(\alpha_{S'} : \mathcal{A}_{S'} \to S'), \qquad \xi_i = A_i + B_i\, dX_0, \quad A_i \in S'\{X_0\}^+,\ B_i \in S'\{X_0\} satisfaisant A_i = A_1^{(i)} , \varphi_1 étant déterminé par \varphi_1(X_0^{(i)}) = \xi_i, \qquad \varphi_1(dX_0) = d\xi_1 . \varphi est compatible avec les graduations (resp. aux p.d.) ssi B_i = 0 \forall i \geq 1 (resp. B_i = A_1^{(i-1)} B_1 \forall i \geq 2).

\varphi_1(X_0^{(i)}) = \xi_i, \quad i \geq 1 \qquad\qquad \boxed{\xi_i \xi_j = c_{ij}\, \xi_{i+j}} \quad (i, j \geq 1) \varphi_1(dX_0) = d\xi_1 \qquad\qquad \boxed{d\xi_i = \xi_{i-1}\, d\xi_1} \qquad \boxed{\xi_i \in S'\{X_0\}^+} la première ligne de gauche est entourée ; dans la dernière boîte, une lettre est surchargée devant \{X_0\}^+. \xi_i = A_i + B_i\, dX_0 \qquad A_i, B_i \in S'\{X_0\}, \quad A_i \in S'\{X_0\}^+ dA_i = A_{i-1} A'_1 A_i = \xi_1^{(i)}

Remarque On voit donc que tout \varphi_1 s'écrit de façon unique sous la forme \psi_1 \circ \overline{\varphi}_0, où \overline{\varphi}_0 est l'hom. canonique prolongeant \varphi_0 (\overline{\varphi}_0(X_0^{(i)}) = X_0^{(i)}, \overline{\varphi}_0(dX_0) = dX_0) et \psi_1 est un S'-endom. de la S'-alg. diff. \mathcal{A}_{S'}, compatible avec l'augmentation.

Il faut maintenant exprimer (si S = k\{T\}, S' = k'\{T\}) la compatibilité de X_0^{(i)} \mapsto T^{(i)} de \varphi_1 avec augmentation \beta (X_0 \mapsto T, dX_0 \mapsto 0) ; on trouve que l'on doit avoir \beta_{S'}(\xi_i) = \varphi_0(T^{(i)}) \text{ i.e. } \quad \beta_{S'}(A_i) = \varphi_0(T^{(i)}) ce qui , évidemment, puisque A_i = A_1^{(i)}, à : \begin{cases} \beta_{S'}(A_1) = \varphi_0(T) \\ \varphi_0(T^{(i)}) = \varphi_0(T)^{(i)} \end{cases} devant la seconde formule de la ligne, un mot biffé illisible ; les deux formules en \varphi_0 et l'accolade sont repassées à l'encre bleue sur le crayon. donc on aura A_1 \text{\struck{$(X_0)$}} = X_0 + f \text{\struck{$(X_0)$}} où f \in \mathcal{A}_{1} = k\{X_0, X_1\} est donné par f = \sum_{i \geq 1,\, j \geq 1} X_0^{(i)} X_1^{(j)} La remarque ci-dessus se prolonge —

Feuille à part !

Théorème Soient S un anneau muni d'un idéal I à puiss. division, p.d. dans les anneaux alternés M^* = M^0 + M^1 un S-module gradué mod 2, A(M^*) = \Gamma^*(M^0) \otimes_S \overset{*}{\Lambda} M^1 S-algèbre graduée par la parité du degré total, [et augmentée vers S de la façon évidente \varepsilon : A \to S], J l'idéal engendré dans A par I (\subset S \subset A) et par M^* (\subset S), [donc J = \varepsilon^{-1}(I)]. « M^* (\subset S) » est écrit tel quel ; on attend M^* \subset A.

a) On peut trouver sur A J \subset A une structure à p.d. telle que 1°) S \to A soit un hom. d'anneaux compatible aux p.d. sur I \subset S et J \subset A 2°) Pour (S, M^*) variable, cette structure à p.d. est fonctorielle. Ces conditions caractérisent de façon unique la structure à p.d. envisagée.

b) Soit (B^*, K^*) une S-algèbre graduée mod 2, alternée stricte alternée, munie d'un idéal K^* gradué à p.d., compatible avec les p.d. l'application de restriction sur I \subset S. L'application de restriction \operatorname{Hom}_{S\text{-alg à p.d.}}\bigl( (A(M^*), J(M^*)),\ (B^*, K^*) \bigr) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{S\text{-mod grad}}(M^*, K^*) est bijective. (Donc il y a lieu d'appeler A(M^*) la S-algèbre graduée alternée à p.d. sur S engendrée par le S-module gradué M^*.)

Dém :

A = A^0 + A^1 \supset J^0 + J^1

A^0 anneau comm. A^1 A^0-module A^1 \times A^1 \xrightarrow{\varphi} A^0 forme alternée (écrite x \cdot y = \varphi(x, y)), \overline{\varphi} : A^1 \to \operatorname{Hom}(A^1, A^0) J^0 idéal de A^0 J^1 sous-module de A^1 tel que

J^0 A^1 \subset J^1 \subset \overline{\varphi}^{-1}\bigl( \operatorname{Hom}(A^1, J^0) \bigr) \qquad \bigl(\operatorname{Hom}(A^1, J^0) \subset \operatorname{Hom}(A^1, A^0)\bigr)

On s'est donné une structure de p.d. sur J^0 \subset A^0 : (A) \; \begin{cases} (0)\ x^{(i)} \ (i \geq 0) \quad x^{(0)} = 1,\ x^{(1)} = x,\ x^{(i)} \in J^0 \ (i \geq 1) \\ (1)\ (x + y)^{(i)} = \sum_{j+k=i} x^{(j)} y^{(k)} & x, y \in J^0,\ i \geq 0 \\ (2)\ (\lambda x)^{(i)} = \lambda^i x^{(i)} & \lambda \in A^0,\ x \in J^0 \\ (3)\ x^{(i)} x^{(j)} = c_{ij}\, x^{(i+j)} & x \in J^0,\ i, j \geq 0, \quad c_{ij} = \frac{(i+j)!}{i!\,j!} \\ (4)\ (x^{(i)})^{(j)} = d_{ij}\, x^{(ij)} & x \in J^0,\ i, j \geq 1, \quad d_{ij} = \frac{(ij)!}{(i!)^j\, j!} \end{cases} dans (2), un premier jet (« \lambda^{(i)} ») est surchargé à l'encre plus foncée.

On prolonge les op. x^{(i)} de J^0 à J = J^0 + J^1 par (*) \qquad (x + u)^{(i)} = x^{(i)} + x^{(i-1)} u \qquad x \in J^0,\ u \in J^1,\ i \geq 0 Voyons dans quelle mesure donc u^{(i)} = 0 si u \in J^1, i \geq 2.

On s'en servira : (5) (\lambda_1 x_1)^{(i)} = 0 i \geq 2 (\lambda_1 \in A^1, x_1 \in J^1). une flèche, tracée dans la marge gauche, renvoie de cette ligne à « On prolonge » plus haut.

Voyons dans quelle mesure (A) reste valable pour les éléments généraux de J = J^0 + J^1.

(0) OK (en convenant x^{(i)} = 0 si i < 0, x \in J^0)

(1) (x + y)^{(i)} = \sum_{j+k=i} x^{(j)} y^{(k)} car J^0 A^1 \subset J^1 si x, y \in J commutent strictement (i.e. posant (i.e. posant x = x^0 + x^1, y = y^0 + y^1, si on a non seulement x^1 y^1 = y^1 x^1 donc (= -x^1 y^1) i.e. 2 x^1 y^1 = 0, mais même x^1 y^1 = 0)

(2) (\lambda x)^{(i)} = \lambda^i x^{(i)} si \lambda \in A, x \in J commutent strictement [grâce à (5)]

(3) x^{(i)} x^{(j)} = c_{ij}\, x^{(i+j)} \forall x \in J ok

(4) (x^{(i)})^{(j)} = d_{ij}\, x^{(ij)} : la page s'arrête sur (4), sans conclusion.

(Quelques complexes d'algèbre différentielle.)

A anneau commutatif, M A-module. On considère \operatorname{Sym}^*(M) \otimes \overset{*}{\Lambda} M et \Gamma^*(M) \otimes \overset{*}{\Lambda} M comme A-alg. graduées par degré de \overset{*}{\Lambda} M.

De Rham (1) Sur \operatorname{Sym}^*(M) \otimes \overset{*}{\Lambda} M (algèbre bigraduée), il y a une et A-linéaire unique opérateur d de A-algèbre graduée (qui soit donc une antidérivation) (pour \operatorname{Sym}^i M de degré pair et \overset{*}{\Lambda} M de degré impair) a) qui soit nulle sur \overset{1}{\Lambda} M, et qui sur \operatorname{Sym}^1(M) soit l'isom. can. \operatorname{Sym}^1(M) \to \overset{1}{\Lambda} M.

Le d satisfait d^2 = 0, et applique \operatorname{Sym}^p \otimes \overset{q}{\Lambda} dans \operatorname{Sym}^{p-1} \otimes \overset{q+1}{\Lambda}. Il est \overset{*}{\Lambda} M-linéaire. C'est aussi le complexe de De Rham de \operatorname{Sym}^*(M) sur A, donc le complexe de De Rham du fibré vectoriel V(M) sur A. Si M est libre et si M est libre, Si … M plat (projectif, plat, …), A de car. 0 (i.e. A une \mathbf{Q}-algèbre), alors H^*(\operatorname{Sym}^* M \otimes \overset{*}{\Lambda} M) (gradué par le degré de \overset{*}{\Lambda} M) est nulle en degrés \neq 0, et en degré … (gradué suivant le degré de \overset{*}{\Lambda} M) H^i_{\mathrm{DR}}\bigl( \operatorname{Sym}^*(M) \otimes \overset{*}{\Lambda}(M) \bigr) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 0 \\ A = \operatorname{Sym}^0 \otimes \overset{0}{\Lambda} & \text{si } i = 0 \end{cases} (lemme de Poincaré, plat) (si A est de car. p > 0, alors on a … (théorie des opérations de Cartier …)). « intégrale » (?) est écrit dans la marge gauche, relié par un trait à « M plat ».

Koszul (2) Sur \operatorname{Sym}^*(M) \otimes \overset{*}{\Lambda} M, (algèbre bigraduée) il y a un unique opérateur \delta qui est A-linéaire a) une antidérivation de A-alg. graduée et pour \operatorname{Sym}^1 M de degrés pairs et b) \overset{*}{\Lambda} M de degrés impairs, b) nulle sur \overset{*}{\Lambda} \operatorname{Sym}^1 M, et sur \overset{1}{\Lambda} M c'est l'isom. can. \overset{1}{\Lambda} M \xrightarrow{\simeq} \operatorname{Sym}^1 M. Alors \delta satisfait \delta^2 = 0, il applique \operatorname{Sym}^p \otimes \overset{q}{\Lambda} dans \operatorname{Sym}^{p+1} \otimes \Lambda^{q-1}. Si M est libre (plus gén., plat) et sans condition de car. sur A, on a (graduant gradué par le degré de \overset{*}{\Lambda} (de sorte que \delta est de degré -1), qu'on écrit en bas : H_i^{\mathrm{Kos}}\bigl( \operatorname{Sym}^* M \otimes \overset{*}{\Lambda} M \bigr) = \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 0 \\ \simeq A = \operatorname{Sym}^0 \otimes \Lambda^0 & \text{si } i = 0 \end{cases}

De Rham P.D. (3) Sur \Gamma^* M \otimes \overset{*}{\Lambda} M (algèbre bigraduée), il y a un seul op. d qui soit a) A-linéaire a) une antidérivation si A-algèbre graduée \Gamma^*(M) de degrés pairs et \overset{*}{\Lambda} M de degrés impairs b) antidérivation de degré 1 compatible avec les puiss. division sur (\Gamma^* M)^+ i.e. d(x^{(i)}) = x^{(i-1)}\, dx , et c) d est nulle sur \overset{1}{\Lambda} M, et sur \Gamma^1 M c'est l'isom. can. \Gamma^1 M \to \overset{1}{\Lambda} M. Alors d satisfait d^2 = 0, il applique \Gamma^p \otimes \overset{q}{\Lambda} dans \Gamma^{p-1} \otimes \overset{q+1}{\Lambda}. Il est \overset{*}{\Lambda} M-linéaire. C'est aussi ? le « complexe de De Rham à puissances divisées » de la A-algèbre à p.d. \Gamma^* M (pour son idéal \Gamma^+ M). Si M est plat sur A, alors … (graduant par le degré de \overset{*}{\Lambda}) H^i_{\mathrm{DR\,p.d.}}\bigl( \Gamma^*(M) \otimes \overset{*}{\Lambda} M \bigr) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 0 \\ A = \Gamma^0 \otimes \Lambda^0 & \text{si } i = 0 \end{cases} la grande accolade qui, dans la marge gauche, embrasse les lignes « Il est \overset{*}{\Lambda} M-linéaire … \Gamma^+ M » est précédée d'un point d'interrogation.

Koszul P.D. (4) Sur \Gamma^* M \otimes \overset{*}{\Lambda} M, il y a un seul op. \delta qui soit a) dérivation de A-algèbre graduée b) compatible avec p.d. sur \Gamma^+(M) (d(x^{(i)}) = x^{(i-1)}\, dx si x \in \Gamma^+). c) nulle sur \Gamma^1 M (donc sur \Gamma^* M ) et induisant sur \overset{1}{\Lambda} M l'isom. \overset{1}{\Lambda} M \to \Gamma^1 M. Si M sur A, … est … A, \delta^2 = 0, il applique il applique \Gamma^p \otimes \overset{q}{\Lambda} dans \Gamma^{p+1} \otimes \Lambda^{q-1}). Il est \Gamma^* M-linéaire. Écrivant les degrés en bas, si M est plat sur A (limitatif) de car. 0, on a H_i^{\mathrm{Kos\,p.d}}\bigl( \Gamma^* M \otimes \overset{*}{\Lambda} M \bigr) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 0 \\ A = \Gamma^0 \otimes \Lambda^0 & \text{si } i = 0 \end{cases} Si A de car. p > 0, M plat, on doit avoir une histoire d'opérations de Cartier … le numéro entouré de ce paragraphe, mal formé, est confirmé (4) par les renvois de la page suivante.

Relations entre les 4 complexes, et fonctorialités.

Les complexes algèbres différentielles sont fonctorielles en (A, M). Pour A fixé, M variable, elles transforment sommes en produits tensoriels (donc, par chaque application compatible avec les différentielles), et commutent aux lim filtrantes.

L'hom. can. d'algèbres (fonctoriel en A, M) \begin{array}{ccc} \operatorname{Sym}^* M \otimes \overset{*}{\Lambda} M & \longrightarrow & \Gamma^* M \otimes \overset{*}{\Lambda} M \\ \| & & \| \\ C^*_{\mathrm{DR}} \operatorname{Sym}^* M & \longrightarrow & C^*_{\mathrm{DR\,p.d.}}(\Gamma^* M) \end{array} est compatible avec les différentielles d. C'est un isom. pour si A de car. 0 (quelque chose si M libre de rang > 0), dans le calcul de la cohomologie dans le cas considéré dans celui de (3). [Ce dernier se fait en réduisant au cas où M est libre de t.f. par Lazard, puis par Künneth au cas où M libre de rang 1, lorsque on conclut ].

L'hom. can. d'algèbres \operatorname{Sym}^* M \otimes \overset{*}{\Lambda} M \longrightarrow \Gamma^* M \otimes \overset{*}{\Lambda} M est aussi compatible avec les opérateurs diff. \delta. Par ce qui précède comme dans le dernier, le calcul de l'homologie de (4) est ramené à celui de (2), qui peut se traiter par la même méthode que pour (1).

La définition des opér. \delta dans (2) et (4) peut d'ailleurs se ramener à un cas plus général de Koszul : si S est un anneau comm., M un S-module, et \varphi : M \to S une forme la phrase se poursuit au-delà de ce lot.