Cote n° 136, pages 201–220

Cote n° 136 · batch 11 · pages 201–220 · Transcription · Complexe de De Rham à puissance divisée [conférence de 1976 à l’IHÉS] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1975-1976]
Édition de démonstration

201la page continue un calcul commencé avant ce lot : les $f_{ij}$, $T$, $X_0$ et $A_0$ y sont introduits plus haut.

\[ X_0 + \sum_{i,j \geq 1} f_{ij}\, X_0^{(i)} \sum_{0 \leq k \leq j} T^{(j-k)} (-1)^k X_0^{k} \] \[ \sum_{\substack{i,j,k \\ 0 \leq k \leq j\,;\ i,j \geq 1}} f_{ij}\, T^{(j-k)} (-1)^k X_0^{(i+k)} \] avec \[ \begin{cases} i + k = \nu \geq 1 \\ 0 \leq k \leq \nu - 1 \\ j \geq \operatorname{Sup}(k,1) \end{cases} \qquad i = \nu - k \geq 1, \quad j = k + \delta, \quad \delta = j - k \geq 0 , \] \[ \text{\struck{$\displaystyle \sum_{\nu} X_0^{\nu} \sum_{0 \leq k \leq \nu-1} (-1)^k f_{\nu,k+\delta}$}} \] cette ligne est biffée d'un trait ; sous la somme intérieure il avait écrit $j \geq \operatorname{Sup}(k,1)$ (biffé), puis $\delta \geq 0$, $(k,\delta) \neq (0,0)$. \[ \sum_{\nu \geq 1} X_0^{\nu} \underbrace{\sum_{\substack{0 \leq k \leq \nu - 1 \\ \delta \geq 0 \\ k + \delta \geq 1}} (-1)^k f_{\nu-k,\,k+\delta}\, T^{\delta}}_{a_{1,\nu}} \] sous la somme, la condition « $(k,\delta) \neq 0$ » est biffée et remplacée par $k + \delta \geq 1$. \[ A_0 = X_0 \bigl( \underbrace{1 + \sum_{\delta \geq 1} f_{1,\delta}\, T^{(\delta)}}_{a_{1,1}} \bigr) + \sum \qquad (k = 0,\ \nu = 1) \]

$\varphi(\xi_1$ $\varphi(X_0)$

203

Endomorphismes de l'anneau différentiel ½simplicial $\mathcal{A}_*$

(NB. on ne demande plus de respecter la structure de $S$-algèbre, $S = \mathcal{A}_0$, i.e. on ne demande plus que $\varphi$ induise l'identité sur $\mathcal{A}_0$).

Rappelons-nous qu'un complexe de De Rham peut se construire dès qu'on a un anneau comm. $S$ avec idéal $S^+$ à puiss. divisées, et $t \in S^+$, via une ⌜$S$-algèbre⌝ anneau différentielle ⌜$\Lambda^*$-graduée à p.d.⌝ ½simpliciale $\mathcal{A}_*(S, S^+, t)$, où \[ \mathcal{A}_n(S, S^+, t) = S\{X_0, \ldots, X_n\}[dX_0, \ldots, dX_n] \big/ \bigl( \textstyle\sum X_i - t,\ \sum dX_i \bigr)_{\mathrm{pd}} . \] Si on a un hom. d'anneaux à p.d. $S \xrightarrow{u} S'$ ($u(S^+) \subset S'^+ \ldots$) et $\lambda' \in S'$ $\lambda \in S^+$ tel que $u(t) = \lambda t'$, on en déduit un hom. ⌜de $S$-alg. ½gradués différentielles à p.d.⌝ \[ \mathcal{A}_*(u, \lambda) : \mathcal{A}_*(S, S^+, t) \longrightarrow \mathcal{A}_*(S, S'^+, t'), \] qui en degré $n$ est l'hom.

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  S\{X_0, \ldots, X_n\}[dX_0, \ldots, dX_n] / \ldots \arrow[d] \\
  S'\{X_0, \ldots, X_n\}[dX_0, \ldots, dX_n] / \ldots
\end{tikzcd}

donné par […] $u : S \to S'$ sur les scalaires, \[ X_0 \longmapsto \lambda X_0 \qquad \Bigl(\text{donc } \textstyle\sum X_0 - t \longmapsto \sum \lambda X_0 - u(t) = \sum \lambda X_0 - \lambda t' = \lambda \bigl(\sum X_0 - t'\bigr)\Bigr), \] \[ dX_0 \longmapsto \lambda\, dX_0 . \] Ainsi $\mathcal{A}_*(S, S^+, t)$ devient un foncteur covariant […] sur la catégorie des triples $(S, S^+, t)$, où les hom. sont les couples $(u, \lambda)$ (composition : $(u', \lambda')(u, \lambda) = (u'u, u'(\lambda)\lambda')$) ⌜comme ci-dessus⌝. dans l'énoncé il écrit $\lambda' \in S'$, puis $u(t) = \lambda t'$ et $\mathcal{A}_*(S, S'^+, t')$ là où l'on attend $\lambda$ et $S'$ ; transcrit tel quel.

NB En plus de sa […] graduation, $\mathcal{A}_n(S, S^+, t)$ admet une filtration naturelle, où $\operatorname{Fil}^n \mathcal{A}_n(S, S^+, t)$ est […] les sommes des expressions \[ \sum F_{i_0 \ldots i_p}\, dX_{i_0} \wedge \ldots \wedge dX_{i_p}, \qquad F_{i_0 \ldots i_p} \in S\{X_0, \ldots, X_n\} \] élément de « degré » $\leq n - p$, le tout des sous-$S$-modules (pas des idéaux), on a $\operatorname{Fil}^n \cdot \operatorname{Fil}^m \subset \operatorname{Fil}^{n+m}$, $\operatorname{Fil}^0 = S$ (scalaires), $\operatorname{Fil}^n = 0$ si $n < 0$. Cette filtration est respectée par les $\mathcal{A}_*(u, \lambda)$.

205Considérons le cas où $t' \in S'^+$ est un élément régulier de $S'$ ; alors $\lambda$ tel que $u(t) = \lambda t'$ est uniquement déterminé par $u$ ; donc si on se borne aux triples $(S, S^+_{\mathrm{pd}}, t)$ tels que $t$ soit régulier, et aux hom. $u : (S, S^+, t) \to (S', S'^+, t')$ tels que $u(t) \in S \cdot t'$, alors $\mathcal{A}_*(S, S^+, t)$ devient un foncteur sur cette catégorie, à valeurs dans la cat. des anneaux gradués (½simpliciaux) et différentiels filtrés.

La condition envisagée sur $(S, S^+_{\mathrm{pd}}, t)$ est satisfaite en particulier si on fait $S = k\{T\}$, $S^+ = (T)_{\mathrm{pd}}$, $t = T$, lorsque $k$ est sans torsion.

Revenons alors : \[ \mathcal{A}_*(k) \overset{\text{déf}}{=} \mathcal{A}_*(S_k, S_k^+, T), \qquad S_k = k\{T\}, \] et à la détermination des endomorphismes de celle-ci, comme ⌜$k$-algèbre⌝ anneau différentielle ½simpliciale (où on ne considère […] ni la structure de $S$-algèbre, ni la graduation, ni les p.d., ni la filtration a priori …) lorsqu'on […]. Soit $G_k$ le ⌜monoïde⌝ groupe des couples $(u, \lambda)$, où $u$ est un endomorphisme de $S$ comme $k$-algèbre à p.div., et $\lambda \in S$ $S^+$, tel que $u(T) = \lambda\{T\}\, T$. Comme $u$ […] est connu par $u(T)$, $G_k$ est donc $\simeq$ le ⌜monoïde⌝ groupe […] ⌜la connaissance […] de $u(T)$⌝ d'un […] $S^\times$ de $S$, avec la multiplication \[ (\lambda' * \lambda)\{T\} = \lambda'\{T\} \; \text{\ill{}} \; \lambda'\{\lambda\} ; \] on désigne par $(u_\lambda)_*$ l'endomorphisme de $\mathcal{A}_*(k)$ défini par $\lambda \in S$ (donc $u_\lambda u_{\lambda'} = u_{\lambda \lambda'}$). le bas de la page mêle deux couches, l'une à l'encre bleue, l'autre au crayon, écrites l'une dans l'autre ; la formule de composition, surchargée, n'est lue qu'en partie.

Il est clair que $\lambda \mapsto u_\lambda$ est un hom. de monoïdes injectif (on fait $\lambda \mapsto (u_\lambda)_*$ l'est déjà, car $(u_\lambda)_*(X_0) = \lambda X_0$ et $\mathcal{A}_1(k) \simeq k\{T\}\{X_0\}$). Ceci dit,

Si $H_k$ est le monoïde des $S_k$-endomorphismes de la $k$-algèbre différentielle ½simpliciale $\mathcal{A}_*(k)$, et […] $\Omega_k$ le monoïde de tous les endomorphismes de la $k$-alg. diff. ½simpliciale, on a

207\[ G_k,\ H_k \subset \Omega_k \] \[ G_k \cap H_k = \bigl\{ u_\lambda \bigm| \lambda \in S_k,\ \lambda T = T \text{ i.e. } (\lambda\{T\} - 1)\, T = 0 \bigr\} \] Si on pose $\lambda\{T\} = \sum_{i \geq 0} \lambda_i T^{(i)}$, alors la condition sur $\lambda$ s'exprime \[ \boxed{\lambda_0 = 1} \qquad \boxed{(i+1)\, \lambda_i = 0 \quad \forall i \geq 1} \] (ce qui implique en particulier $\lambda_0 = 1$. ([…] $0$, et implique […] Si $k$ sans torsion, cela implique que $\lambda_i = 0$ pour $i \geq 1$ i.e. $\lambda = 1$, i.e. $u_\lambda = \mathrm{id}$, d'où $G_k \cap H_k = (1)$ dans ce cas. — Et dans ce cas on a le résultat (⌜$k$ de car. $0$ i.e. une $\mathbf{Q}$-alg.⌝), [Dans ce cas, $G_k$ est aussi le groupe $G'_k$ de tous les endomorphismes de $S_k = k\{T\}$ comme $k$-alg. augmentée, […] l'hom. […] alors $\Omega$ et par suite

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  (1 \arrow[r] & H'_k \arrow[r] & \Omega_k \arrow[r] & G'_k = \operatorname{End}_{k\text{-alg}}(k\{T\}) = S_k) \\
  & & & G_k \arrow[u, "\simeq"'] \arrow[ull, bend left=20]
\end{tikzcd}

le « $=$ » final est écrit sous $k\{T\}$ en dessous de « $k$-alg », un mot biffé à côté ; la flèche courbe de $G_k$ vers $\Omega_k$ est sur la page une boucle en forme de lacet ; la flèche verticale porte « $\simeq$ » et, à côté, « (22) » entre parenthèses.

donc $\Omega_k$ comme produit ½direct de $G_k \simeq G'_k$ et de $H'_k$.]

Dans le cas général, on peut dire que

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  1 \arrow[r] & H_k \arrow[r] & \Omega_k \arrow[r] & G'_k = \operatorname{End}_{k\text{-alg augm.}}(k\{T\}) \\
  & & & G_k \arrow[u] \arrow[ull, bend left=20] \\
  & & & G_k \cap H_k \arrow[u]
\end{tikzcd}

\[ G_k \cap H_k \simeq \Bigl\{ u_\lambda \Bigm| \lambda = 1 + \sum_{i \geq 1} \lambda_i T^{(i)},\ (i+1)\, \lambda_i = 0 \Bigr\} \]

209Essayons de dire un peu davantage sur les $\varphi_*$, endom. de la $k$-alg. diff. ½simpliciale $\mathcal{A}_*(k)$.

1) Premier invariant $\varphi_0 \in \operatorname{End}_{k\text{-alg}}(S_k)$.

$\varphi_0$ $\varphi_0$ est donné par les \[ \varphi_0(T^{(i)}) = \tau_i \in S_k \qquad i \geq 1 \] satisfaisant les conditions \[ \boxed{\tau_i \tau_j = c_{ij}\, \tau_{i+j}} \] $\tau_i$ est entouré d'un cercle sur la page.

Chaque $\varphi_n$ est $\varphi_0$-semi-linéaire.

2) Deuxième invariant $\varphi_1$, endom. $\varphi_0$-semi-linéaire de $S_k\{X_0\}[dX_0]$ considéré comme $S_k$-alg. différentielle. Il doit être compatible avec les augm. $\alpha$, $\beta$ […].

Prop. auxiliaire :

Prop. Soient $S$, $S'$ deux anneaux comm., $\varphi_0 : S \to S'$ un hom., on s'intéresse à la détermination des hom. d'anneaux différentiels \[ \varphi_1 : \underbrace{S\{X_0\}[dX_0]}_{\mathcal{A}_S} \longrightarrow \underbrace{S'\{X_0\}[dX_0]}_{\mathcal{A}_{S'}} \] induisant $\varphi_0$ sur $S$, et compatibles avec augmentation ($X_0 \mapsto 0$, $dX_0 \mapsto 0$). Ils sont donnés par un système d'éléments \[ \xi_i \in \mathcal{A}_{S'}^{+} = \operatorname{Ker}(\alpha_{S'} : \mathcal{A}_{S'} \to S'), \qquad \xi_i = A_i + B_i\, dX_0, \quad A_i \in S'\{X_0\}^+,\ B_i \in S'\{X_0\} \] satisfaisant \[ A_i = A_1^{(i)} \] […], $\varphi_1$ étant déterminé par \[ \varphi_1(X_0^{(i)}) = \xi_i, \qquad \varphi_1(dX_0) = d\xi_1 . \] $\varphi$ est compatible avec les graduations (resp. aux p.d.) ssi $B_i = 0$ $\forall i \geq 1$ (resp. $B_i = A_1^{(i-1)} B_1$ $\forall i \geq 2$).

211\[ \varphi_1(X_0^{(i)}) = \xi_i, \quad i \geq 1 \qquad\qquad \boxed{\xi_i \xi_j = c_{ij}\, \xi_{i+j}} \quad (i, j \geq 1) \] \[ \varphi_1(dX_0) = d\xi_1 \qquad\qquad \boxed{d\xi_i = \xi_{i-1}\, d\xi_1} \qquad \boxed{\xi_i \in S'\{X_0\}^+} \] la première ligne de gauche est entourée ; dans la dernière boîte, une lettre est surchargée devant $\{X_0\}^+$. \[ \xi_i = A_i + B_i\, dX_0 \qquad A_i, B_i \in S'\{X_0\}, \quad A_i \in S'\{X_0\}^+ \] \[ dA_i = A_{i-1} A'_1 \] \[ A_i = \xi_1^{(i)} \]

Remarque On voit donc que tout $\varphi_1$ s'écrit de façon unique sous la forme $\psi_1 \circ \overline{\varphi}_0$, où $\overline{\varphi}_0$ est l'hom. canonique prolongeant $\varphi_0$ ($\overline{\varphi}_0(X_0^{(i)}) = X_0^{(i)}$, $\overline{\varphi}_0(dX_0) =$ […] $dX_0$) et $\psi_1$ est un $S'$-endom. de la $S'$-alg. diff. $\mathcal{A}_{S'}$, compatible avec l'augmentation.

Il faut maintenant exprimer ⌜(si $S = k\{T\}$, $S' = k'\{T\}$)⌝ ⌜la compatibilité de $X_0^{(i)} \mapsto T^{(i)}$⌝ de $\varphi_1$ avec augmentation $\beta$ ($X_0 \mapsto T$, $dX_0 \mapsto 0$) ; on trouve que l'on doit avoir \[ \beta_{S'}(\xi_i) = \varphi_0(T^{(i)}) \text{ i.e. } \quad \beta_{S'}(A_i) = \varphi_0(T^{(i)}) \] ce qui […], évidemment, puisque $A_i = A_1^{(i)}$, à : \[ \begin{cases} \beta_{S'}(A_1) = \varphi_0(T) \\ \varphi_0(T^{(i)}) = \varphi_0(T)^{(i)} \end{cases} \] devant la seconde formule de la ligne, un mot biffé illisible ; les deux formules en $\varphi_0$ et l'accolade sont repassées à l'encre bleue sur le crayon. donc on aura \[ A_1 \text{\struck{$(X_0)$}} = X_0 + f \text{\struck{$(X_0)$}} \] où $f \in \mathcal{A}_{1} = k\{X_0, X_1\}$ est donné par \[ f = \sum_{i \geq 1,\, j \geq 1} X_0^{(i)} X_1^{(j)} \] La remarque ci-dessus se prolonge —

214Feuille à part !

Théorème Soient $S$ un anneau muni d'un idéal $I$ à puiss. division, ⌜p.d. dans les anneaux alternés⌝ $M^* = M^0 + M^1$ un $S$-module gradué mod $2$, $A(M^*) = \Gamma^*(M^0) \otimes_S \overset{*}{\Lambda} M^1$ ⌜$S$-algèbre⌝ graduée par la parité du degré total, [et augmentée vers $S$ de la façon évidente $\varepsilon : A \to S$], $J$ l'idéal engendré dans $A$ par $I$ ($\subset S \subset A$) et par $M^*$ ($\subset S$), [donc $J = \varepsilon^{-1}(I)$]. « $M^* (\subset S)$ » est écrit tel quel ; on attend $M^* \subset A$.

a) On peut trouver sur $A$ $J \subset A$ une structure à p.d. telle que 1°) $S \to A$ soit un hom. d'anneaux compatible aux p.d. sur $I \subset S$ et $J \subset A$ 2°) Pour $(S, M^*)$ variable, cette structure à p.d. est fonctorielle. Ces conditions caractérisent de façon unique la structure à p.d. envisagée.

b) Soit $(B^*$, $K^*$) une $S$-algèbre graduée mod $2$, alternée stricte alternée, munie d'un idéal $K^*$ gradué à p.d., ⌜compatible avec les p.d.⌝ l'application de restriction sur $I \subset S$. L'application de restriction \[ \operatorname{Hom}_{S\text{-alg à p.d.}}\bigl( (A(M^*), J(M^*)),\ (B^*, K^*) \bigr) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{S\text{-mod grad}}(M^*, K^*) \] est bijective. (Donc il y a lieu d'appeler $A(M^*)$ la $S$-algèbre ⌜graduée alternée⌝ à p.d. sur $S$ engendrée par le $S$-module gradué $M^*$.)

Dém :

216\[ A = A^0 + A^1 \supset J^0 + J^1 \]

$A^0$ anneau comm.
$A^1$ $A^0$-module
$A^1 \times A^1 \xrightarrow{\varphi} A^0$ forme alternée (écrite $x \cdot y = \varphi(x, y)$), $\overline{\varphi} : A^1 \to \operatorname{Hom}(A^1, A^0)$
$J^0$ idéal de $A^0$
$J^1$ […] sous-module de $A^1$ tel que

\[ J^0 A^1 \subset J^1 \subset \overline{\varphi}^{-1}\bigl( \operatorname{Hom}(A^1, J^0) \bigr) \qquad \bigl(\operatorname{Hom}(A^1, J^0) \subset \operatorname{Hom}(A^1, A^0)\bigr) \]

On s'est donné une structure de p.d. sur $J^0 \subset A^0$ : \[ (A) \; \begin{cases} (0)\ x^{(i)} \ (i \geq 0) \quad x^{(0)} = 1,\ x^{(1)} = x,\ x^{(i)} \in J^0 \ (i \geq 1) \\ (1)\ (x + y)^{(i)} = \sum_{j+k=i} x^{(j)} y^{(k)} & x, y \in J^0,\ i \geq 0 \\ (2)\ (\lambda x)^{(i)} = \lambda^i x^{(i)} & \lambda \in A^0,\ x \in J^0 \\ (3)\ x^{(i)} x^{(j)} = c_{ij}\, x^{(i+j)} & x \in J^0,\ i, j \geq 0, \quad c_{ij} = \frac{(i+j)!}{i!\,j!} \\ (4)\ (x^{(i)})^{(j)} = d_{ij}\, x^{(ij)} & x \in J^0,\ i, j \geq 1, \quad d_{ij} = \frac{(ij)!}{(i!)^j\, j!} \end{cases} \] dans (2), un premier jet (« $\lambda^{(i)}$ ») est surchargé à l'encre plus foncée.

On prolonge les op. $x^{(i)}$ de $J^0$ à $J = J^0 + J^1$ par \[ (*) \qquad (x + u)^{(i)} = x^{(i)} + x^{(i-1)} u \qquad x \in J^0,\ u \in J^1,\ i \geq 0 \] Voyons dans quelle mesure donc $u^{(i)} = 0$ si $u \in J^1$, $i \geq 2$.

On s'en servira : (5) $(\lambda_1 x_1)^{(i)} = 0$ $i \geq 2$ ($\lambda_1 \in A^1$, $x_1 \in J^1$). une flèche, tracée dans la marge gauche, renvoie de cette ligne à « On prolonge » plus haut.

Voyons dans quelle mesure (A) reste valable pour les éléments généraux de $J = J^0 + J^1$.

(0) OK (en convenant $x^{(i)} = 0$ si $i < 0$, $x \in J^0$)

(1) $(x + y)^{(i)} = \sum_{j+k=i} x^{(j)} y^{(k)}$ car $J^0 A^1 \subset J^1$ si $x, y \in J$ commutent strictement (i.e. posant (i.e. posant $x = x^0 + x^1$, $y = y^0 + y^1$, si on a non seulement $x^1 y^1 = y^1 x^1$ donc ($= -x^1 y^1$) i.e. $2 x^1 y^1 = 0$, mais même $x^1 y^1 = 0$)

(2) $(\lambda x)^{(i)} = \lambda^i x^{(i)}$ si $\lambda \in A$, $x \in J$ commutent strictement [grâce à (5)]

(3) […] $x^{(i)} x^{(j)} = c_{ij}\, x^{(i+j)}$ $\forall x \in J$ ok

(4) $(x^{(i)})^{(j)} = d_{ij}\, x^{(ij)}$ : la page s'arrête sur (4), sans conclusion.

218

(Quelques complexes d'algèbre différentielle.)

$A$ anneau commutatif, $M$ $A$-module. ⌜On considère $\operatorname{Sym}^*(M) \otimes \overset{*}{\Lambda} M$ et $\Gamma^*(M) \otimes \overset{*}{\Lambda} M$ comme $A$-alg. graduées par degré de $\overset{*}{\Lambda} M$.⌝

De Rham (1) Sur $\operatorname{Sym}^*(M) \otimes \overset{*}{\Lambda} M$ (algèbre bigraduée), il y a une et $A$-linéaire unique opérateur $d$ ⌜de $A$-algèbre graduée⌝ (qui soit donc une ⌜anti⌝dérivation) (pour $\operatorname{Sym}^i M$ de degré pair et $\overset{*}{\Lambda} M$ de degré impair) a) qui soit nulle sur $\overset{1}{\Lambda} M$, et qui sur $\operatorname{Sym}^1(M)$ soit l'isom. can. $\operatorname{Sym}^1(M) \to \overset{1}{\Lambda} M$.

Le $d$ satisfait $d^2 = 0$, et applique $\operatorname{Sym}^p \otimes \overset{q}{\Lambda}$ dans $\operatorname{Sym}^{p-1} \otimes \overset{q+1}{\Lambda}$. Il est $\overset{*}{\Lambda} M$-linéaire. […] C'est aussi le complexe de De Rham de $\operatorname{Sym}^*(M)$ sur $A$, donc le complexe de De Rham du fibré vectoriel $V(M)$ sur $A$. Si $M$ est libre et si $M$ est libre, Si … $M$ plat (projectif, plat, …), $A$ de car. $0$ (i.e. $A$ une $\mathbf{Q}$-algèbre), alors $H^*(\operatorname{Sym}^* M \otimes \overset{*}{\Lambda} M)$ (gradué par le degré de $\overset{*}{\Lambda} M$) est nulle en degrés $\neq 0$, et en degré … (gradué suivant le degré de $\overset{*}{\Lambda} M$) \[ H^i_{\mathrm{DR}}\bigl( \operatorname{Sym}^*(M) \otimes \overset{*}{\Lambda}(M) \bigr) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 0 \\ A = \operatorname{Sym}^0 \otimes \overset{0}{\Lambda} & \text{si } i = 0 \end{cases} \] (lemme de Poincaré, plat) (si $A$ est de car. $p > 0$, alors on a … (théorie des opérations de Cartier …)). « intégrale » (?) est écrit dans la marge gauche, relié par un trait à « $M$ plat ».

Koszul (2) Sur $\operatorname{Sym}^*(M) \otimes \overset{*}{\Lambda} M$, (algèbre bigraduée) il y a un unique opérateur $\delta$ qui est $A$-linéaire a) une ⌜anti⌝dérivation ⌜de⌝ $A$-alg. graduée ⌜et⌝ pour $\operatorname{Sym}^1 M$ de degrés pairs et b) $\overset{*}{\Lambda} M$ de degrés impairs, b) nulle sur $\overset{*}{\Lambda}$ $\operatorname{Sym}^1 M$, et sur $\overset{1}{\Lambda} M$ c'est l'isom. can. $\overset{1}{\Lambda} M \xrightarrow{\simeq} \operatorname{Sym}^1 M$. Alors $\delta$ satisfait $\delta^2 = 0$, il applique $\operatorname{Sym}^p \otimes \overset{q}{\Lambda}$ dans $\operatorname{Sym}^{p+1} \otimes \Lambda^{q-1}$. Si $M$ est libre (plus gén., plat) et sans condition de car. sur $A$, on a ⌜(graduant⌝ gradué ⌜par le degré de $\overset{*}{\Lambda}$ (de sorte que $\delta$ est de degré $-1$), ⌝⌜qu'on écrit en bas⌝ : \[ H_i^{\mathrm{Kos}}\bigl( \operatorname{Sym}^* M \otimes \overset{*}{\Lambda} M \bigr) = \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 0 \\ \simeq A = \operatorname{Sym}^0 \otimes \Lambda^0 & \text{si } i = 0 \end{cases} \]

219De Rham P.D. (3) Sur $\Gamma^* M \otimes \overset{*}{\Lambda} M$ (algèbre bigraduée), il y a un seul op. $d$ qui soit a) $A$-linéaire a) une ⌜anti⌝dérivation si ⌜$A$-algèbre graduée⌝ $\Gamma^*(M)$ de degrés pairs et $\overset{*}{\Lambda} M$ de degrés impairs b) ⌜antidérivation de degré 1⌝ compatible avec les puiss. division sur $(\Gamma^* M)^+$ i.e. \[ d(x^{(i)}) = x^{(i-1)}\, dx , \] et c) $d$ est nulle sur $\overset{1}{\Lambda} M$, et sur $\Gamma^1 M$ c'est l'isom. can. $\Gamma^1 M \to \overset{1}{\Lambda} M$. Alors $d$ satisfait $d^2 = 0$, il applique $\Gamma^p \otimes \overset{q}{\Lambda}$ dans $\Gamma^{p-1} \otimes \overset{q+1}{\Lambda}$. Il est $\overset{*}{\Lambda} M$-linéaire. C'est aussi ? le « complexe de De Rham à puissances divisées » de la $A$-algèbre à p.d. $\Gamma^* M$ (pour son idéal $\Gamma^+ M$). Si $M$ est plat sur $A$, alors … (graduant par le degré de $\overset{*}{\Lambda}$) \[ H^i_{\mathrm{DR\,p.d.}}\bigl( \Gamma^*(M) \otimes \overset{*}{\Lambda} M \bigr) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 0 \\ A = \Gamma^0 \otimes \Lambda^0 & \text{si } i = 0 \end{cases} \] la grande accolade qui, dans la marge gauche, embrasse les lignes « Il est $\overset{*}{\Lambda} M$-linéaire … $\Gamma^+ M$ » est précédée d'un point d'interrogation.

Koszul P.D. (4) Sur $\Gamma^* M \otimes \overset{*}{\Lambda} M$, il y a un seul op. $\delta$ qui soit a) dérivation de ⌜$A$-⌝algèbre graduée b) compatible avec p.d. sur $\Gamma^+(M)$ ($d(x^{(i)}) = x^{(i-1)}\, dx$ si $x \in \Gamma^+$). c) nulle sur $\Gamma^1 M$ (donc sur $\Gamma^* M$ […]) et induisant sur $\overset{1}{\Lambda} M$ l'isom. $\overset{1}{\Lambda} M \to \Gamma^1 M$. Si $M$ […] sur $A$, … est … $A$, $\delta^2 = 0$, il applique ⌜il applique⌝ $\Gamma^p \otimes \overset{q}{\Lambda}$ dans $\Gamma^{p+1} \otimes \Lambda^{q-1}$). Il est $\Gamma^* M$-linéaire. Écrivant les degrés en bas, si $M$ est ⌜plat⌝ […] sur $A$ (limitatif) de car. $0$, on a \[ H_i^{\mathrm{Kos\,p.d}}\bigl( \Gamma^* M \otimes \overset{*}{\Lambda} M \bigr) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 0 \\ A = \Gamma^0 \otimes \Lambda^0 & \text{si } i = 0 \end{cases} \] Si $A$ de car. $p > 0$, $M$ plat, on doit avoir une histoire d'opérations de Cartier … le numéro entouré de ce paragraphe, mal formé, est confirmé (4) par les renvois de la page suivante.

220

Relations entre les 4 complexes, et fonctorialités.

Les complexes algèbres différentielles sont fonctorielles en $(A, M)$. Pour $A$ fixé, $M$ variable, elles transforment sommes en produits tensoriels (donc, par chaque application […] compatible avec […] les différentielles), et commutent aux lim filtrantes.

L'hom. can. d'algèbres (fonctoriel en $A$, $M$) \[ \begin{array}{ccc} \operatorname{Sym}^* M \otimes \overset{*}{\Lambda} M & \longrightarrow & \Gamma^* M \otimes \overset{*}{\Lambda} M \\ \| & & \| \\ C^*_{\mathrm{DR}} \operatorname{Sym}^* M & \longrightarrow & C^*_{\mathrm{DR\,p.d.}}(\Gamma^* M) \end{array} \] est compatible avec les différentielles $d$. […] C'est un isom. pour si $A$ de car. $0$ (quelque chose si $M$ libre de rang $> 0$), dans le calcul de la cohomologie dans le cas considéré dans celui de (3). [Ce dernier se fait en réduisant au cas où $M$ est libre de t.f. par Lazard, puis par Künneth au cas où $M$ libre de rang 1, lorsque on conclut […]].

L'hom. can. d'algèbres \[ \operatorname{Sym}^* M \otimes \overset{*}{\Lambda} M \longrightarrow \Gamma^* M \otimes \overset{*}{\Lambda} M \] est aussi compatible avec les opérateurs diff. $\delta$. […] Par ce qui précède comme dans le dernier, le calcul de l'homologie de (4) est ramené à celui de (2), qui peut se traiter par la même méthode que pour (1).

La définition des opér. $\delta$ dans (2) et (4) peut d'ailleurs se ramener à un cas plus général de Koszul : si $S$ est un anneau comm., $M$ un $S$-module, […] et $\varphi : M \to S$ une forme la phrase se poursuit au-delà de ce lot.

Endomorphismes de l'anneau différentiel ½simplicial \(\mathcal{A}_*\)

(Quelques complexes d'algèbre différentielle.)

Relations entre les 4 complexes, et fonctorialités.