Fonds Grothendieck, cote n° 136, pages 181–200

la page commence au milieu d'un raisonnement venu des pages précédentes (« Si donc… »). Si donc on veut trouver des op. coh. intéressantes les opérations de \Omega sur le corps, il faut se placer en Cas 2 (en caractéristique) – on peut espérer trouver alors une description des carrés de Steenrod mod 2 (regarder ce qu'il en est…).

Mais on peut essayer d'être plus astucieux, en appliquant p. ex. le foncteur \tau_\omega : (\text{Mod gr de } S_h \Longrightarrow)\ M \longrightarrow M_\omega , donc X_* \mapsto \operatorname{Hom}(X_*, A_h^{*}) devient un foncteur sur (Semisimpl.) à valeurs dans les objets ~~gradués~~ algèbres diff. de M_\omega (qui est une cat. abélienne « de Artin » avec \otimes connu), et on peut se proposer, laissant tomber la structure graduée au profit de la structure d'anneau diff. sans plus, de déterminer les types des anneaux et des foncteurs (d'abord pour h fixé, puis sa variation avec h). Peut-être trouverons-nous des op. coh. intéressantes puiss. de Steenrod…

Endomorphismes de la S-algèbre différentielle semisimpliciale A_* A_1 = k\{X_0, X_1, dX_0, dX_1\}/(dX_0 + dX_1)_{\mathrm{pd}} = k\{T\}\{X_0, dX_0\} \simeq k\{T\}\{X_1, dX_1\}, X_0 + X_1 = T . le signe \simeq de la deuxième égalité est surchargé. \varphi_1(X_0^{(i)}) = \xi_i , (1)\qquad \boxed{\xi_i\,\xi_j = c_{ij}\,\xi_{i+j}} \qquad (i, j \geqslant 1) \varphi_1(dX_0) = d\xi_1 au crayon : et d\xi_1 commute avec \xi_i (i \geqslant 1) en A_1 commutatif ! à côté, une ligne au crayon et une rature hachurée, illisibles. \varphi_1(dX_0^{(i)}) \overset{?}{=} d\varphi_1(X_0^{(i)}) , c'est-à-dire \varphi_1(X_0^{(i-1)}dX_0) = d\xi_i, et \varphi_1(X_0^{(i-1)}dX_0) = \xi_{i-1}\,d\xi_1, d'où (2)\qquad \boxed{d\xi_i = \xi_{i-1}\,d\xi_1} \qquad (i \geqslant 2). au crayon : on aura \varphi_1(d(X_0^{(i)}dX_0)) \overset{?}{=} d\varphi_1(X_0^{(i)}dX_0), avec d(\xi_i\,d\xi_1) = 0 et \varphi_1(0) = 0.

\begin{tikzcd} A_1 \arrow[r, bend left=20, "\alpha"] \arrow[r, bend right=20, "\beta"'] & A_0 = k\{T\} \end{tikzcd}

\alpha(X_0^{(i)}) = 0 \ \ \forall i \geqslant 1, \quad \alpha(dX_0) = 0 ; \qquad \beta(X_0^{(i)}) = T^{(i)} \ \ \forall i \geqslant 1, \quad \beta(dX_0) = 0 . \begin{cases} \alpha \circ \varphi_1 = \alpha \\ \beta \circ \varphi_1 = \beta \end{cases} \alpha\circ\varphi_1(X^{(i)}) = \alpha(\xi_i) et \alpha(X^{(i)}) = 0 ; \beta\circ\varphi_1(X^{(i)}) = \beta(\xi_i) et \beta(X^{(i)}) = T^{(i)} : (3\mathrm{a})\quad \boxed{\alpha(\xi_i) = 0} \qquad\qquad (3\mathrm{b})\quad \boxed{\beta(\xi_i) = T^{(i)}} \xi_i = \overbrace{\sum_{j \geqslant 0} a_{ij} X_0^{(j)}}^{A_i} + \Bigl(\overbrace{\sum_{j \geqslant 0} b_{ij} X_0^{(j)}}^{B_i}\Bigr) dX_0 , \qquad a_{ij}, b_{ij} \in k\{T\} . les accolades A_i, B_i sont au crayon. (3a) s'écrit a_{i,0} = 0 pour tout i \geqslant 1, i.e. (3'\mathrm{a})\qquad \xi_i = \sum_{j \geqslant 1} a_{ij} X_0^{(j)} + \cdots \qquad \forall i \geqslant 1 , (3b) s'écrit (3'\mathrm{b})\qquad \sum_{j \geqslant 1} a_{ij}\,T^{(j)} = T^{(i)} \qquad \forall i \geqslant 1 . le développement de (3'a) est entouré et souligné trois fois ; avant (3'b), une somme biffée. d\xi_i = \Bigl(\sum_{j \geqslant 1} a_{ij} X_0^{(j-1)}\Bigr) dX_0 , \qquad d\xi_1 = \Bigl(\sum_{j \geqslant 1} a_{1j} X_0^{(j-1)}\Bigr) dX_0 , \xi_{i-1} = \sum_{j \geqslant 1} a_{i-1,j} X_0^{(j)} + \Bigl(\sum_{j \geqslant 0} b_{i-1,j} X_0^{(j)}\Bigr) dX_0 , \xi_{i-1}\,d\xi_1 = \Bigl(\sum_{k \geqslant 1} a_{1k} X_0^{(k-1)}\Bigr) \Bigl(\sum_{k \geqslant 1} a_{i-1,k} X_0^{(k)}\Bigr) dX_0 . le calcul s'arrête là ; la page suivante repart sur une formulation générale.

Finalement, on trouve

Proposition. Soit S un anneau commutatif, A = S\{X_0\}[dX_0], ~~on cherche les~~ S-algèbre diff. à puiss. div., augmentation \alpha : A \to S (\alpha(X_0^{(i)}) = 0 pour i \geqslant 1, \alpha(dX_0) = 0) (N.B. on regarde S comme anneau diff. avec d_S = 0, i.e. une puiss. div. compatible avec sa structure ). On cherche les endomorphismes \varphi de S-algèbre différentielle augmentée (on dit aussi p.d. !) de A : \varphi : A \to A \ \text{endom.\ de $S$-algèbre} \quad [\varphi(x+y) = \varphi(x) + \varphi(y),\ \varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y),\ \varphi(1) = 1], \varphi\, d = d\, \varphi , \qquad \alpha\,\varphi = \alpha . Alors \varphi est donné par les \varphi(X_0^{(i)}) = \xi_i \in A \quad (i \geqslant 1), \qquad \xi_i = A_i + B_i\,dX_0 , \quad A_i, B_i \in S\{X_0\} \ (i \geqslant 1) (on aura \varphi(dX_0) = d\varphi(X_0) = d\xi_1 = dA_1 = A_1'\,dX_0), avec les conditions \begin{cases} A_i = A_1^{(i)} \\ \alpha(A_1) = 0 , \ \text{i.e. } A_1 \in S\{X_0\}^{+} . \end{cases} Donc \varphi est donné par \boxed{\begin{array}{l} A_1 \in S\{X_0\}^{+} \\ B_i \in S\{X_0\} \ (i \geqslant 1) \end{array}} sans autre condition !

Pour que \varphi commute aux p.d., il faut et il suffit que l'on ait \xi_i = \xi_1^{(i)} (i \geqslant 2), ou encore B_i = A_1^{(i-1)} B_1 .

Donc les \varphi correspondent exactement aux \xi_1 ~~A_1 + B_1\,dX_0~~ \in \operatorname{Ker}\alpha = A^{+} (i.e. on choisit \xi_1 = A_1 + B_1\,dX_0, A_1, B_1 \in S\{X_0\}), aux couples A_1 \in S\{X_0\}^{+}, B_1 \in S\{X_0\}.

Cor. Si \varphi respecte la graduation et la structure d'algèbre différentielle augmentée, alors \varphi respecte les p.d. !

On prend un anneau S = k\{T\}, et on regarde S comme anneau k\{T\}^{+} p.d. par A = A_1. Donc \alpha est compatible avec les structures, y compris les p.d. On définit \beta : A_1 = S\{X_0, dX_0\} = k\{T\}\{X_0, dX_0\} \longrightarrow S , A_1 \simeq k\{X_0, X_1, dX_0, dX_1\}/\bigl((X_0 + X_1 - T,\ dX_0 + dX_1)\bigr)_{\mathrm{pd}} , par la condition que \beta soit comp. avec les structures, et \beta(X_0) = T, donc \begin{cases} \beta(X_0^{(i)}) = T^{(i)} \\ \beta(dX_0) = 0 \end{cases} (car dT = 0 : on doit avoir diff. sur S). N.B. \alpha(X_0) = 0, \alpha(X_1) = T ; \beta(X_0) = T, \beta(X_1) = 0.

Et on s'intéresse aux \varphi ~~compatibles~~ avec l'augmentation \alpha et \beta. Cela signifie que l'on a \beta\varphi = \beta, i.e. \beta\varphi(X_0^{(i)}) = \beta(X_0^{(i)}) pour tout i \geqslant 1, où \varphi(X_0^{(i)}) = A_1^{(i)} + B_i\,dX_0, ou encore \beta(A_1)^{(i)} = T^{(i)} \qquad \forall i \geqslant 1 , ou encore

suite directe de la page 187. \boxed{\beta(A_1) = T} \qquad \text{i.e. } A_1(T) = T . ~~Donnons~~ Considérons A_1 - X_0 = \varphi^0_0(X_0) - X_0 = -\bigl(\varphi^0_0(X_1) - X_1\bigr) = f \in A_1^0 (où \varphi_0(x) est la composante de \varphi(x) suivant S\{X_0\} \simeq k\{T\}\{X_0, X_1\}/(X_0 + X_1 - T)_{\mathrm{pd}} dans A_1 = \underbrace{S\{X_0\}}_{A_1^0} + \underbrace{S\{X_0\}\,dX_0}_{A_1^1} \simeq S\{X_1\} + S\{X_1\}\,dX_1 \ ). [N.B. Comme X_1 = T - X_0, on a \varphi^0_0(X_1) = \varphi^0_0(T) - \varphi^0_0(X_0) = T - \varphi^0_0(X_0), donc \varphi^0_0(X_1) - X_1 = X_0 - \varphi^0_0(X_0).] l'indice inférieur de \varphi^0_0 est peu net.

Alors la conjonction des conditions A_1(X_0) = 0 et A_1(T) = T s'écrit aussi f \in (X_0)_{\mathrm{pd}} \cap (X_1)_{\mathrm{pd}} , donc, si l'on regarde A_1^0 comme ~~produit de~~ k\{X_0, X_1\}, cela signifie qu'on doit avoir \boxed{f = \sum_{i, j \geqslant 1} f_{ij}\, X_0^{(i)} X_1^{(j)} , \quad f_{ij} \in k} d'où un résultat :

Prop. Les endom. \varphi de la S-algèbre diff. A_1 \simeq S\{X_0, X_1, dX_0, dX_1\}/\!/(X_0 + X_1 - T,\ dX_0 + dX_1)_{\mathrm{pd}} , où S = k\{T\} (avec sa puiss. div.), qui sont compatibles aux deux augm. \alpha, \beta : A_1 \to S (\alpha(X_0) = 0, \alpha(X_1) = T ; \beta(X_0) = T, \beta(X_1) = 0) sont donnés exactement par les systèmes f \in A_1^0 = k\{X_0, X_1\} avec f \in \operatorname{Ker}\bigl(k\{X_0, X_1\} \to k\{X_0\}\bigr) \cap \operatorname{Ker}\bigl(k\{X_0, X_1\} \to k\{X_1\}\bigr) , \text{i.e.}\quad \boxed{f = \sum_{i, j \geqslant 1} c_{ij}\, X_0^{(i)} X_1^{(j)}}

suite directe de la page 189. et les \boxed{B_i \in A_1^0 = k\{X_0, X_1\} \qquad (i \geqslant 0)} par les formules \begin{cases} \varphi(X_0^{(i)}) = (X_0 + f)^{(i)} + B_i\,dX_0 \\ \varphi(dX_0) = 1 + df \end{cases} « 1 + df » est bien ce qu'on lit ; d(X_0 + f) = dX_0 + df serait attendu. (on sait que f = \varphi^0(X_0) - X_0 = -(\varphi^0(X_1) - X_1) ; B_i\,dX_0 = \varphi^1(X_0^{(i)})).

N.B. Si on échange le rôle de X_0 et X_1, f change de signe, – qu'en est-il des B_i ? Il faut calculer \varphi^1(X_1^{(i)}) = \varphi^1\bigl((T - X_0)^{(i)}\bigr) = \varphi^1\Bigl(\sum_{0 \leqslant j \leqslant i} T^{(i-j)} X_0^{(j)} (-1)^j\Bigr) = \Bigl(\sum_{0 \leqslant j \leqslant i} T^{(i-j)} (-1)^j B_j\Bigr) dX_0 = \Bigl(\underbrace{\sum_{0 \leqslant j \leqslant i} (-1)^{j+1} T^{(i-j)} B_j}_{C_i}\Bigr) dX_1 . ~~En tout cas \varphi^1(T) —~~ \varphi^1\bigl((X_0 + X_1)^{(i)}\bigr) = \varphi^1(T^{(i)}) = 0 , \qquad (X_0 + X_1)^{(i)} = \sum_{j+h=i} X_0^{(j)} X_1^{(h)} , \varphi^1\bigl((X_0 + X_1)^{(i)}\bigr) = \text{comp.\ de degré 1 de }\sum_{j+h=i} \varphi(X_0^{(j)})\,\varphi(X_1^{(h)}) , \varphi(X_0^{(j)}) = (X_0 + f)^{(j)} + B_j\,dX_0 , \qquad \varphi(X_1^{(h)}) = (X_1 - f)^{(h)} + C_h\,dX_1 , \quad dX_1 = -dX_0 , donc \sum_{j+k=i} \Bigl[ -(X_0 + f)^{(j)} C_k + B_j (X_1 - f)^{(k)} \Bigr] = 0 . la ligne médiane porte, sous l'accolade, une notation « K^1 » pour la composante de degré 1 ; rendue ici en clair.

Prop. Soit \varphi un endom. de ~~A_1 \simeq k\{X_0, X_1, dX_0, dX_1\}/\ill{}~~ A_1 = k\{X_0, X_1\}[dX_0, dX_1]/(dX_0 + dX_1)\ \struck{\ill{}} , et \varphi un endom. de S-algèbre différentielle (S = k\{T\}) compatible aux deux augmentations \alpha et \beta (qui en font des augm. simpliciales A_1 \to A_0 !). Soit n \geqslant 0 ; je dis qu'il existe un et un seul endom. \varphi_n de S-alg. différentielle de A_n, telle que pour toute application simpliciale (croissante !) \sigma : \Delta_n \to \Delta_1, l'hom. A_*(\sigma) : A_1 \to A_n satisfasse \struck{\ill{}} \quad \varphi_n\, A_*(\sigma) = A_*(\sigma)\, \varphi_1 ~~si n~~ (si n \geqslant 1, il suffit des celles aux \sigma croissantes).

Cor. ~~Donc \varphi_1 = \varphi, et les syst. \varphi_* = (\varphi_n)~~ Il y a un endom. de la S-algèbre différentielle semi-simpliciale A_*, caractérisé par le fait que \varphi_1 = \varphi. L'ens. des endom. de S-alg. diff. A_* est en correspondance biunivoque (conservant les compositions) avec l'ens. des \varphi (compatibles à la p.d.). un trait vertical en marge gauche réunit l'énoncé du corollaire ; un trait oblique le barre en partie, renvoyant à la note marginale « faux tel quel ». faux tel quel ; vrai si 2B_i = 0 \forall i \geqslant 1, i.e. 2\varphi^1(X_0^{(i)}) = 0 \forall i \geqslant 1 2\cdot 1_k = 0 ; c'est-à-dire si \varphi conserve la A_1^0 qui soit comp. avec \alpha^0, \beta^0) en bas, en oblique :

Dém. du corollaire. (Il suffit de montrer que si \tau : \Delta_{n'} \to \Delta_n, d'où A_*(\tau) : A_n \to A_{n'}, alors \varphi_{n'}\, A_*(\tau) = A_*(\tau)\, \varphi_n . (C'est clair si n = 0, car A_0 = S, et par hyp. si n = 1. On peut supposer n \geqslant 1.) Or il suffit de en composant avec les \sigma : \Delta_n \to \Delta_1 les A_*(\sigma) : A_1 \to A_n ( engendrent les algèbres A_n dans sens

suite directe de la page 193. \varphi_{n'}\, \underbrace{A_*(\tau)\, A_*(\sigma)}_{A_*(\sigma\tau)} = A_*(\tau)\, \underbrace{\varphi_n\, A_*(\sigma)}_{A_*(\sigma)\,\varphi \ (\text{par hyp.\ sur } \varphi_n)} \qquad \forall \sigma : \Delta_n \to \Delta_1 , \underbrace{\varphi_{n'}\, A_*(\sigma\tau)}_{A_*(\sigma\tau)\,\varphi \ (\text{par hyp.\ sur } \varphi_{n'})} \qquad\text{et}\qquad A_*(\tau)A_*(\sigma)\varphi = A_*(\sigma\tau)\,\varphi . \qquad \text{OK.}

Dém. de la prop. Le cas n = 0 est trivial ; pour le cas n = 1 il faut considérer les trois cas \sigma = \mathrm{id}, qui donne \varphi_1 = \varphi, puis \sigma application constante de valeur 0 (\alpha_0) ou 1 (\beta_0), et cela signifie que A_*(\alpha_0) = \alpha, A_*(\beta_0) = \beta, et le fait que \varphi_1 = \varphi y soit compat. tient à ce que l'hyp. sur \varphi qu'elle soit compatible aux augmentations \alpha, \beta. On peut donc supposer n \geqslant 2. Considérons les corresp. applications \sigma : \Delta_n \to \Delta_1 ; elles sont surj. ou constantes. Considérons les surjectives, il y en a n, soit \sigma_r (0 \leqslant r \leqslant n-1) : \sigma_r(0) = 0, \ \ldots, \ \sigma_r(r) = 0, \quad \sigma_r(r+1) = 1, \ \ldots, \ \sigma_r(n) = 1 , donc \begin{cases} A_*(\sigma_r)(X_0) = X_0 + \cdots + X_r \overset{\mathrm{df}}{=} U_r \\ A_*(\sigma_r)(X_1) = X_{r+1} + \cdots + X_n \end{cases} On doit donc avoir A_*(\sigma_r)(X_0^{(i)}) = U_r^{(i)} .

Lemme. Les U_r^{(i)} (i \geqslant 1, 0 \leqslant r \leqslant n-1) engendrent la S-algèbre A_n^0, qui est isomorphe en fait à S\{U_0, \ldots, U_{n-1}\},

suite directe de la page 195. (donc est la S-algèbre engendrée par les U_{r,i} = U_r^{(i)}, 0 \leqslant r \leqslant n-1, i \geqslant 1, soumis aux relations U_{r,i}U_{r,j} = c_{ij}\,U_{r,i+j}). Et A_n \simeq S\{U_0, \ldots, U_{n-1}\}[dU_0, \ldots, dU_{n-1}] . C'est immédiat, puisque par X_0, \ldots, X_{n-1} se réécrivent par U_0, \ldots, U_{n-1} par X_0 = U_0, \quad X_1 = U_1 - U_0, \quad \ldots, \quad X_{n-1} = U_{n-1} - U_{n-2} et que A_n^0 \simeq S\{X_0, \ldots, X_{n-1}\}. Ceci montre l'unicité de \varphi_n, et que on doit avoir \varphi_n(\underbrace{U_{r,i}}_{U_r^{(i)}}) = \varphi_n\bigl(\underbrace{\sigma_r^{*}}_{\overset{\mathrm{df}}{=} A_*(\sigma_r)}(X_0^{(i)})\bigr) = \sigma_r^{*}\bigl(\varphi(X_0^{(i)})\bigr) = \sigma_r^{*}(\xi_i) , i.e. \varphi_n(U_r^{(i)}) = \sigma_r^{*}(\xi_i) = \sum_j a_{ij}\,U_r^{(j)} + \Bigl(\sum_j b_{ij}\,U_r^{(j)}\Bigr) dU_r . un premier développement, biffé, est remplacé par la parenthèse. Il y a donc un hom. d'algèbres unique A_n^0 \xrightarrow{\ \varphi_n^0\ } A_n tel que \varphi_n^0(U_r^{(i)}) = \sigma_r^{*}(\xi_i) \overset{\mathrm{df}}{=} \xi_{r,i} ; on doit vérifier les relations ~~\sigma_r^{*}(\xi_i)\sigma_r^{*}(~~ \xi_{r,i}\,\xi_{r,j} = c_{ij}\,\xi_{r,i+j} , i.e. \sigma_r^{*}(\xi_i)\,\sigma_r^{*}(\xi_j) = c_{ij}\,\sigma_r^{*}(\xi_{i+j}) ; or \sigma_r^{*}(\xi_i)\sigma_r^{*}(\xi_j) = \sigma_r^{*}(\xi_i\xi_j) = \sigma_r^{*}(c_{ij}\,\xi_{i+j}) = c_{ij}\,\sigma_r^{*}(\xi_{i+j}). OK.

suite directe de la page 197. Si on a ainsi étendu \varphi_n^0 en un hom. d'S-algèbres \varphi_n : A_n \to A_n, il faut se donner les images des dU_0, \ldots, dU_{n-1}, et vérifier seulement qu'elles sont de carré nul, anticommutent entre elles, mais commutent aux \xi_{s,i} : \varphi_n(dU_r) = d\varphi_n(U_r) = d\sigma_r^{*}(\xi_1) = \sigma_r^{*}(d\xi_1) \qquad \Bigl(= d\Bigl(\sum_{j \geqslant 0} a_{1j}\,U_r^{(j)}\Bigr) = \Bigl(\sum_{j \geqslant 1} a_{1j}\,U_r^{(j-1)}\Bigr) dU_r\Bigr) , d\xi_1 = \sum_{j \geqslant 1} a_{1j}\,X_0^{(j-1)}\,dX_0 . au-dessous, la même formule récrite puis biffée. Ces éléments sont bien de carré nul , anticommutent entre eux, mais commutent aux \xi_{s,i} = \sigma_s^{*}(X_0^{(i)}) = \sum_{j \geqslant 0} a_{ij}\,U_s^{(j)} + \Bigl(\sum_{j \geqslant 0} b_{ij}\,U_s^{(j)}\Bigr) dU_s . une partie de ce passage est encadrée et rayée de deux traits obliques au crayon ; dans le cadre : A = S\{U_0, \ldots, U_{n-1}\}[dU_0, \ldots, dU_{n-1}], et « vrai si s \neq r », « F + \sum_{0 \leqslant r \leqslant n-1} \ill{}\,dU_r ». Le cadre renvoie à une note marginale en oblique. en oblique : et \sigma_r^{*}(d\xi_1) commute à \sigma_s^{*}(X_0^{(i)}) = \xi_{s,i} (si s \neq r) ; \sum a_{1j}\,U_r^{(j-1)}, \sum b_{ij}\,U_s^{(j)} ; 2\bigl(\sum_{j \geqslant 1} a_{1j} \ill{}\bigr)\bigl(\sum_{j \geqslant 0} b_{ij} \ill{}\bigr) = 0 ; 2a_{11} = 1 + \ill{} ; 2b_{ik} = 0

On utilise, pour prouver que \varphi_n (qui précisément est un hom. de S-algèbres) commute à la différentielle, le

Lemme. Soient U_0, \ldots, U_m des variables, on considère la S-algèbre diff. A = S\{U_0, \ldots, U_m\}[dU_0, \ldots, dU_m] (on munit la structure de p.d., … dU_r^{(i)} = U_r^{(i-1)}\,dU_r …). Soit B une S-alg. diff. (quasi-commutative, de degré \leqslant 1) graduée mod 2, différentielle. On s'intéresse aux hom. d'algèbres diff. A \xrightarrow{\ \varphi\ } B. Pour A tel, on la phrase se poursuit au-delà de la fin du lot.