Cote n° 136, pages 181–200

Cote n° 136 · batch 10 · pages 181–200 · Transcription · Complexe de De Rham à puissance divisée [conférence de 1976 à l’IHÉS] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1975-1976]
Édition de démonstration

181la page commence au milieu d'un raisonnement venu des pages précédentes (« Si donc… »). Si donc on veut trouver des op. coh. intéressantes […] les opérations de $\Omega$ […] sur le corps, il faut […] se placer en Cas 2 (en caractéristique) – on peut espérer trouver alors une description des […] ⌜carrés⌝ de Steenrod mod 2 (regarder ce qu'il en est…).

Mais on peut essayer d'être plus astucieux, en appliquant p. ex. le foncteur \[ \tau_\omega : (\text{Mod gr de } S_h \Longrightarrow)\ M \longrightarrow M_\omega , \] donc $X_* \mapsto \operatorname{Hom}(X_*, A_h^{*})$ devient un foncteur sur (Semisimpl.) à valeurs dans les objets gradués ⌜algèbres⌝ diff. de $M_\omega$ (qui est une cat. abélienne « de Artin » avec $\otimes$ connu), et on peut se proposer, laissant tomber la structure graduée au profit de la structure d'anneau diff. sans plus, de déterminer les types des anneaux et des foncteurs (d'abord pour $h$ fixé, puis sa variation avec $h$). Peut-être trouverons-nous des op. coh. intéressantes […] puiss. de Steenrod…

183Endomorphismes de la $S$-algèbre différentielle semisimpliciale $A_*$ \[ A_1 = k\{X_0, X_1, dX_0, dX_1\}/(dX_0 + dX_1)_{\mathrm{pd}} = k\{T\}\{X_0, dX_0\} \simeq k\{T\}\{X_1, dX_1\}, \] \[ X_0 + X_1 = T . \] le signe $\simeq$ de la deuxième égalité est surchargé. \[ \varphi_1(X_0^{(i)}) = \xi_i , \] \[ (1)\qquad \boxed{\xi_i\,\xi_j = c_{ij}\,\xi_{i+j}} \qquad (i, j \geqslant 1) \] \[ \varphi_1(dX_0) = d\xi_1 \] au crayon : […] et $d\xi_1$ commute avec $\xi_i$ ($i \geqslant 1$) en $A_1$ commutatif ! à côté, une ligne au crayon et une rature hachurée, illisibles. \[ \varphi_1(dX_0^{(i)}) \overset{?}{=} d\varphi_1(X_0^{(i)}) , \] c'est-à-dire $\varphi_1(X_0^{(i-1)}dX_0) = d\xi_i$, et $\varphi_1(X_0^{(i-1)}dX_0) = \xi_{i-1}\,d\xi_1$, d'où \[ (2)\qquad \boxed{d\xi_i = \xi_{i-1}\,d\xi_1} \qquad (i \geqslant 2). \] au crayon : on aura $\varphi_1(d(X_0^{(i)}dX_0)) \overset{?}{=} d\varphi_1(X_0^{(i)}dX_0)$, avec $d(\xi_i\,d\xi_1) = 0$ et $\varphi_1(0) = 0$.

LaTeX source

\begin{tikzcd}
A_1 \arrow[r, bend left=20, "\alpha"] \arrow[r, bend right=20, "\beta"'] & A_0 = k\{T\}
\end{tikzcd}

\[ \alpha(X_0^{(i)}) = 0 \ \ \forall i \geqslant 1, \quad \alpha(dX_0) = 0 ; \qquad \beta(X_0^{(i)}) = T^{(i)} \ \ \forall i \geqslant 1, \quad \beta(dX_0) = 0 . \] \[ \begin{cases} \alpha \circ \varphi_1 = \alpha \\ \beta \circ \varphi_1 = \beta \end{cases} \] $\alpha\circ\varphi_1(X^{(i)}) = \alpha(\xi_i)$ et $\alpha(X^{(i)}) = 0$ ; $\beta\circ\varphi_1(X^{(i)}) = \beta(\xi_i)$ et $\beta(X^{(i)}) = T^{(i)}$ : \[ (3\mathrm{a})\quad \boxed{\alpha(\xi_i) = 0} \qquad\qquad (3\mathrm{b})\quad \boxed{\beta(\xi_i) = T^{(i)}} \] \[ \xi_i = \overbrace{\sum_{j \geqslant 0} a_{ij} X_0^{(j)}}^{A_i} + \Bigl(\overbrace{\sum_{j \geqslant 0} b_{ij} X_0^{(j)}}^{B_i}\Bigr) dX_0 , \qquad a_{ij}, b_{ij} \in k\{T\} . \] les accolades $A_i$, $B_i$ sont au crayon. (3a) s'écrit $a_{i,0} = 0$ pour tout $i \geqslant 1$, i.e. \[ (3'\mathrm{a})\qquad \xi_i = \sum_{j \geqslant 1} a_{ij} X_0^{(j)} + \cdots \qquad \forall i \geqslant 1 , \] (3b) s'écrit \[ (3'\mathrm{b})\qquad \sum_{j \geqslant 1} a_{ij}\,T^{(j)} = T^{(i)} \qquad \forall i \geqslant 1 . \] le développement de (3'a) est entouré et souligné trois fois ; avant (3'b), une somme biffée. \[ d\xi_i = \Bigl(\sum_{j \geqslant 1} a_{ij} X_0^{(j-1)}\Bigr) dX_0 , \qquad d\xi_1 = \Bigl(\sum_{j \geqslant 1} a_{1j} X_0^{(j-1)}\Bigr) dX_0 , \] \[ \xi_{i-1} = \sum_{j \geqslant 1} a_{i-1,j} X_0^{(j)} + \Bigl(\sum_{j \geqslant 0} b_{i-1,j} X_0^{(j)}\Bigr) dX_0 , \] \[ \xi_{i-1}\,d\xi_1 = \Bigl(\sum_{k \geqslant 1} a_{1k} X_0^{(k-1)}\Bigr) \Bigl(\sum_{k \geqslant 1} a_{i-1,k} X_0^{(k)}\Bigr) dX_0 . \] le calcul s'arrête là ; la page suivante repart sur une formulation générale.

185Finalement, on trouve

Proposition. Soit $S$ un anneau commutatif, $A = S\{X_0\}[dX_0]$, on cherche les $S$-algèbre diff. à puiss. div., augmentation $\alpha : A \to S$ ($\alpha(X_0^{(i)}) = 0$ pour $i \geqslant 1$, $\alpha(dX_0) = 0$) (N.B. on regarde $S$ comme anneau diff. avec $d_S = 0$, i.e. une puiss. div. compatible avec sa structure […]). On cherche les endomorphismes $\varphi$ de $S$-algèbre différentielle augmentée (on dit aussi p.d. !) […] de $A$ : \[ \varphi : A \to A \ \text{endom.\ de $S$-algèbre} \quad [\varphi(x+y) = \varphi(x) + \varphi(y),\ \varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y),\ \varphi(1) = 1], \] \[ \varphi\, d = d\, \varphi , \qquad \alpha\,\varphi = \alpha . \] Alors $\varphi$ est donné par les \[ \varphi(X_0^{(i)}) = \xi_i \in A \quad (i \geqslant 1), \qquad \xi_i = A_i + B_i\,dX_0 , \quad A_i, B_i \in S\{X_0\} \ (i \geqslant 1) \] (on aura $\varphi(dX_0) = d\varphi(X_0) = d\xi_1 = dA_1 = A_1'\,dX_0$), avec les conditions \[ \begin{cases} A_i = A_1^{(i)} \\ \alpha(A_1) = 0 , \ \text{i.e. } A_1 \in S\{X_0\}^{+} . \end{cases} \] Donc $\varphi$ est donné par \[ \boxed{\begin{array}{l} A_1 \in S\{X_0\}^{+} \\ B_i \in S\{X_0\} \ (i \geqslant 1) \end{array}} \] sans autre condition !

Pour que $\varphi$ commute aux p.d., il faut et il suffit que l'on ait $\xi_i = \xi_1^{(i)}$ ($i \geqslant 2$), ou encore \[ B_i = A_1^{(i-1)} B_1 . \]

187Donc les $\varphi$ correspondent exactement aux $\xi_1$ $A_1 + B_1\,dX_0$ $\in \operatorname{Ker}\alpha = A^{+}$ (i.e. on choisit $\xi_1 = A_1 + B_1\,dX_0$, $A_1, B_1 \in S\{X_0\}$), aux couples $A_1 \in S\{X_0\}^{+}$, $B_1 \in S\{X_0\}$.

Cor. Si $\varphi$ respecte la graduation et la structure d'algèbre différentielle augmentée, alors $\varphi$ respecte les p.d. !

On prend un anneau $S = k\{T\}$, et on regarde $S$ comme anneau ⌜$k\{T\}^{+}$⌝ p.d. par $A = A_1$. Donc $\alpha$ est compatible avec les structures, y compris les p.d. On définit \[ \beta : A_1 = S\{X_0, dX_0\} = k\{T\}\{X_0, dX_0\} \longrightarrow S , \] \[ A_1 \simeq k\{X_0, X_1, dX_0, dX_1\}/\bigl((X_0 + X_1 - T,\ dX_0 + dX_1)\bigr)_{\mathrm{pd}} , \] par la condition que $\beta$ soit comp. avec les structures, et $\beta(X_0) = T$, donc \[ \begin{cases} \beta(X_0^{(i)}) = T^{(i)} \\ \beta(dX_0) = 0 \end{cases} \] (car $dT = 0$ […] : on doit avoir […] diff. sur $S$). N.B. $\alpha(X_0) = 0$, $\alpha(X_1) = T$ ; $\beta(X_0) = T$, $\beta(X_1) = 0$.

Et on s'intéresse aux $\varphi$ compatibles ⌜[…]⌝ avec l'augmentation $\alpha$ et $\beta$. Cela signifie que l'on a $\beta\varphi = \beta$, i.e. $\beta\varphi(X_0^{(i)}) = \beta(X_0^{(i)})$ pour tout $i \geqslant 1$, où $\varphi(X_0^{(i)}) = A_1^{(i)} + B_i\,dX_0$, ou encore \[ \beta(A_1)^{(i)} = T^{(i)} \qquad \forall i \geqslant 1 , \] ou encore

189suite directe de la page 187. \[ \boxed{\beta(A_1) = T} \qquad \text{i.e. } A_1(T) = T . \] Donnons Considérons \[ A_1 - X_0 = \varphi^0_0(X_0) - X_0 = -\bigl(\varphi^0_0(X_1) - X_1\bigr) = f \in A_1^0 \] (où $\varphi_0(x)$ est la composante de $\varphi(x)$ suivant \[ S\{X_0\} \simeq k\{T\}\{X_0, X_1\}/(X_0 + X_1 - T)_{\mathrm{pd}} \] dans \[ A_1 = \underbrace{S\{X_0\}}_{A_1^0} + \underbrace{S\{X_0\}\,dX_0}_{A_1^1} \simeq S\{X_1\} + S\{X_1\}\,dX_1 \ ). \] [N.B. Comme $X_1 = T - X_0$, on a $\varphi^0_0(X_1) = \varphi^0_0(T) - \varphi^0_0(X_0) = T - \varphi^0_0(X_0)$, donc $\varphi^0_0(X_1) - X_1 = X_0 - \varphi^0_0(X_0)$.] l'indice inférieur de $\varphi^0_0$ est peu net.

Alors la conjonction des conditions $A_1(X_0) = 0$ et $A_1(T) = T$ s'écrit aussi \[ f \in (X_0)_{\mathrm{pd}} \cap (X_1)_{\mathrm{pd}} , \] donc, si l'on regarde $A_1^0$ comme produit de $k\{X_0, X_1\}$, cela signifie qu'on doit avoir \[ \boxed{f = \sum_{i, j \geqslant 1} f_{ij}\, X_0^{(i)} X_1^{(j)} , \quad f_{ij} \in k} \] d'où un résultat :

Prop. Les endom. $\varphi$ de la $S$-algèbre diff. \[ A_1 \simeq S\{X_0, X_1, dX_0, dX_1\}/\!/(X_0 + X_1 - T,\ dX_0 + dX_1)_{\mathrm{pd}} , \] où $S = k\{T\}$ (avec sa puiss. div.), qui sont compatibles aux deux augm. $\alpha, \beta : A_1 \to S$ ($\alpha(X_0) = 0$, $\alpha(X_1) = T$ ; $\beta(X_0) = T$, $\beta(X_1) = 0$) sont donnés exactement par les systèmes $f \in A_1^0 = k\{X_0, X_1\}$ avec \[ f \in \operatorname{Ker}\bigl(k\{X_0, X_1\} \to k\{X_0\}\bigr) \cap \operatorname{Ker}\bigl(k\{X_0, X_1\} \to k\{X_1\}\bigr) , \] \[ \text{i.e.}\quad \boxed{f = \sum_{i, j \geqslant 1} c_{ij}\, X_0^{(i)} X_1^{(j)}} \]

191suite directe de la page 189. et les \[ \boxed{B_i \in A_1^0 = k\{X_0, X_1\} \qquad (i \geqslant 0)} \] par les formules \[ \begin{cases} \varphi(X_0^{(i)}) = (X_0 + f)^{(i)} + B_i\,dX_0 \\ \varphi(dX_0) = 1 + df \end{cases} \] « $1 + df$ » est bien ce qu'on lit ; $d(X_0 + f) = dX_0 + df$ serait attendu. (on sait que $f = \varphi^0(X_0) - X_0 = -(\varphi^0(X_1) - X_1)$ ; $B_i\,dX_0 = \varphi^1(X_0^{(i)})$).

N.B. Si on échange le rôle de $X_0$ et $X_1$, $f$ change de signe, – qu'en est-il des $B_i$ ? Il faut calculer \[ \varphi^1(X_1^{(i)}) = \varphi^1\bigl((T - X_0)^{(i)}\bigr) = \varphi^1\Bigl(\sum_{0 \leqslant j \leqslant i} T^{(i-j)} X_0^{(j)} (-1)^j\Bigr) = \Bigl(\sum_{0 \leqslant j \leqslant i} T^{(i-j)} (-1)^j B_j\Bigr) dX_0 \] \[ = \Bigl(\underbrace{\sum_{0 \leqslant j \leqslant i} (-1)^{j+1} T^{(i-j)} B_j}_{C_i}\Bigr) dX_1 . \] En tout cas $\varphi^1(T)$ — \[ \varphi^1\bigl((X_0 + X_1)^{(i)}\bigr) = \varphi^1(T^{(i)}) = 0 , \qquad (X_0 + X_1)^{(i)} = \sum_{j+h=i} X_0^{(j)} X_1^{(h)} , \] \[ \varphi^1\bigl((X_0 + X_1)^{(i)}\bigr) = \text{comp.\ de degré 1 de }\sum_{j+h=i} \varphi(X_0^{(j)})\,\varphi(X_1^{(h)}) , \] \[ \varphi(X_0^{(j)}) = (X_0 + f)^{(j)} + B_j\,dX_0 , \qquad \varphi(X_1^{(h)}) = (X_1 - f)^{(h)} + C_h\,dX_1 , \quad dX_1 = -dX_0 , \] donc \[ \sum_{j+k=i} \Bigl[ -(X_0 + f)^{(j)} C_k + B_j (X_1 - f)^{(k)} \Bigr] = 0 . \] la ligne médiane porte, sous l'accolade, une notation « $K^1$ » pour la composante de degré 1 ; rendue ici en clair.

193Prop. Soit $\varphi$ un endom. de $A_1 \simeq k\{X_0, X_1, dX_0, dX_1\}/\ill{}$ \[ A_1 = k\{X_0, X_1\}[dX_0, dX_1]/(dX_0 + dX_1)\ \struck{\ill{}} , \] et $\varphi$ […] un endom. de $S$-algèbre différentielle ($S = k\{T\}$) compatible aux deux augmentations $\alpha$ et $\beta$ (qui en font des augm. simpliciales $A_1 \to A_0$ !). Soit $n \geqslant 0$ ; je dis qu'il existe un et un seul endom. $\varphi_n$ de $S$-alg. différentielle de $A_n$, telle que pour toute application simpliciale (croissante !) $\sigma : \Delta_n \to \Delta_1$, l'hom. $A_*(\sigma) : A_1 \to A_n$ satisfasse \[ \struck{\ill{}} \quad \varphi_n\, A_*(\sigma) = A_*(\sigma)\, \varphi_1 \] si $n$ (si $n \geqslant 1$, il suffit […] […] des celles […] aux $\sigma$ croissantes).

Cor. Donc $\varphi_1 = \varphi$, et les syst. $\varphi_* = (\varphi_n)$ Il y a un endom. de la $S$-algèbre différentielle semi-simpliciale $A_*$, caractérisé par le fait que $\varphi_1 = \varphi$. L'ens. des endom. de $S$-alg. diff. $A_*$ est en correspondance biunivoque (conservant les compositions) avec l'ens. des $\varphi$ (compatibles à la p.d.). un trait vertical en marge gauche réunit l'énoncé du corollaire ; un trait oblique le barre en partie, renvoyant à la note marginale « faux tel quel ». faux tel quel ; vrai si $2B_i = 0$ $\forall i \geqslant 1$, i.e. $2\varphi^1(X_0^{(i)}) = 0$ $\forall i \geqslant 1$ […] $2\cdot 1_k = 0$ ; c'est-à-dire si $\varphi$ conserve la […] $A_1^0$ qui soit comp. avec $\alpha^0, \beta^0$) en bas, en oblique : […]

Dém. du corollaire. (Il suffit de montrer que si $\tau : \Delta_{n'} \to \Delta_n$, d'où $A_*(\tau) : A_n \to A_{n'}$, alors \[ \varphi_{n'}\, A_*(\tau) = A_*(\tau)\, \varphi_n . \] (C'est clair si $n = 0$, car $A_0 = S$, et par hyp. si $n = 1$. On peut supposer $n \geqslant 1$.) Or il suffit de […] en composant avec les $\sigma : \Delta_n \to \Delta_1$ […] ⌜[…]⌝ les $A_*(\sigma) : A_1 \to A_n$ ([…] […] engendrent les algèbres $A_n$ dans […] sens […] […]

195suite directe de la page 193. \[ \varphi_{n'}\, \underbrace{A_*(\tau)\, A_*(\sigma)}_{A_*(\sigma\tau)} = A_*(\tau)\, \underbrace{\varphi_n\, A_*(\sigma)}_{A_*(\sigma)\,\varphi \ (\text{par hyp.\ sur } \varphi_n)} \qquad \forall \sigma : \Delta_n \to \Delta_1 , \] \[ \underbrace{\varphi_{n'}\, A_*(\sigma\tau)}_{A_*(\sigma\tau)\,\varphi \ (\text{par hyp.\ sur } \varphi_{n'})} \qquad\text{et}\qquad A_*(\tau)A_*(\sigma)\varphi = A_*(\sigma\tau)\,\varphi . \qquad \text{OK.} \]

Dém. de la prop. Le cas $n = 0$ est trivial ; pour le cas $n = 1$ il faut considérer les trois cas $\sigma = \mathrm{id}$, qui donne $\varphi_1 = \varphi$, puis $\sigma$ application constante de valeur $0$ ($\alpha_0$) ou $1$ ($\beta_0$), et cela signifie que $A_*(\alpha_0) = \alpha$, $A_*(\beta_0) = \beta$, et le fait que $\varphi_1 = \varphi$ y soit compat. tient à ce que l'hyp. […] sur $\varphi$ qu'elle soit compatible aux augmentations $\alpha, \beta$. On peut donc supposer $n \geqslant 2$. Considérons les ⌜corresp.⌝ applications $\sigma : \Delta_n \to \Delta_1$ ; elles sont surj. ou constantes. Considérons les surjectives, il y en a $n$, soit $\sigma_r$ ($0 \leqslant r \leqslant n-1$) : \[ \sigma_r(0) = 0, \ \ldots, \ \sigma_r(r) = 0, \quad \sigma_r(r+1) = 1, \ \ldots, \ \sigma_r(n) = 1 , \] donc \[ \begin{cases} A_*(\sigma_r)(X_0) = X_0 + \cdots + X_r \overset{\mathrm{df}}{=} U_r \\ A_*(\sigma_r)(X_1) = X_{r+1} + \cdots + X_n \end{cases} \] On doit donc avoir \[ A_*(\sigma_r)(X_0^{(i)}) = U_r^{(i)} . \]

Lemme. Les $U_r^{(i)}$ ($i \geqslant 1$, $0 \leqslant r \leqslant n-1$) engendrent la $S$-algèbre $A_n^0$, qui est isomorphe en fait à $S\{U_0, \ldots, U_{n-1}\}$,

197suite directe de la page 195. […] (donc est la $S$-algèbre engendrée par les $U_{r,i} = U_r^{(i)}$, $0 \leqslant r \leqslant n-1$, $i \geqslant 1$, soumis aux relations $U_{r,i}U_{r,j} = c_{ij}\,U_{r,i+j}$). Et \[ A_n \simeq S\{U_0, \ldots, U_{n-1}\}[dU_0, \ldots, dU_{n-1}] . \] C'est immédiat, puisque […] par $X_0, \ldots, X_{n-1}$ se réécrivent par $U_0, \ldots, U_{n-1}$ par \[ X_0 = U_0, \quad X_1 = U_1 - U_0, \quad \ldots, \quad X_{n-1} = U_{n-1} - U_{n-2} \] et que $A_n^0 \simeq S\{X_0, \ldots, X_{n-1}\}$. Ceci montre l'unicité de $\varphi_n$, et que on doit avoir \[ \varphi_n(\underbrace{U_{r,i}}_{U_r^{(i)}}) = \varphi_n\bigl(\underbrace{\sigma_r^{*}}_{\overset{\mathrm{df}}{=} A_*(\sigma_r)}(X_0^{(i)})\bigr) = \sigma_r^{*}\bigl(\varphi(X_0^{(i)})\bigr) = \sigma_r^{*}(\xi_i) , \] i.e. \[ \varphi_n(U_r^{(i)}) = \sigma_r^{*}(\xi_i) = \sum_j a_{ij}\,U_r^{(j)} + \Bigl(\sum_j b_{ij}\,U_r^{(j)}\Bigr) dU_r . \] un premier développement, biffé, est remplacé par la parenthèse. Il y a donc un hom. d'algèbres ⌜unique⌝ $A_n^0 \xrightarrow{\ \varphi_n^0\ } A_n$ tel que \[ \varphi_n^0(U_r^{(i)}) = \sigma_r^{*}(\xi_i) \overset{\mathrm{df}}{=} \xi_{r,i} ; \] on doit vérifier les relations $\sigma_r^{*}(\xi_i)\sigma_r^{*}($ \[ \xi_{r,i}\,\xi_{r,j} = c_{ij}\,\xi_{r,i+j} , \] i.e. \[ \sigma_r^{*}(\xi_i)\,\sigma_r^{*}(\xi_j) = c_{ij}\,\sigma_r^{*}(\xi_{i+j}) ; \] or $\sigma_r^{*}(\xi_i)\sigma_r^{*}(\xi_j) = \sigma_r^{*}(\xi_i\xi_j) = \sigma_r^{*}(c_{ij}\,\xi_{i+j}) = c_{ij}\,\sigma_r^{*}(\xi_{i+j})$. OK.

199suite directe de la page 197. Si on a ainsi étendu $\varphi_n^0$ en un hom. d'$S$-algèbres $\varphi_n : A_n \to A_n$, il faut se donner les images des $dU_0, \ldots, dU_{n-1}$, et vérifier seulement qu'elles sont de carré nul, […] anticommutent […] entre elles, mais commutent aux $\xi_{s,i}$ : \[ \varphi_n(dU_r) = d\varphi_n(U_r) = d\sigma_r^{*}(\xi_1) = \sigma_r^{*}(d\xi_1) \qquad \Bigl(= d\Bigl(\sum_{j \geqslant 0} a_{1j}\,U_r^{(j)}\Bigr) = \Bigl(\sum_{j \geqslant 1} a_{1j}\,U_r^{(j-1)}\Bigr) dU_r\Bigr) , \] \[ d\xi_1 = \sum_{j \geqslant 1} a_{1j}\,X_0^{(j-1)}\,dX_0 . \] au-dessous, la même formule récrite puis biffée. Ces éléments sont bien de carré nul […], anticommutent entre eux, mais commutent aux \[ \xi_{s,i} = \sigma_s^{*}(X_0^{(i)}) = \sum_{j \geqslant 0} a_{ij}\,U_s^{(j)} + \Bigl(\sum_{j \geqslant 0} b_{ij}\,U_s^{(j)}\Bigr) dU_s . \] une partie de ce passage est encadrée et rayée de deux traits obliques au crayon ; dans le cadre : $A = S\{U_0, \ldots, U_{n-1}\}[dU_0, \ldots, dU_{n-1}]$, et « vrai si $s \neq r$ », « […] $F + \sum_{0 \leqslant r \leqslant n-1} \ill{}\,dU_r$ ». Le cadre renvoie à une note marginale en oblique. en oblique : et $\sigma_r^{*}(d\xi_1)$ commute à $\sigma_s^{*}(X_0^{(i)}) = \xi_{s,i}$ (si $s \neq r$) ; […] $\sum a_{1j}\,U_r^{(j-1)}$, $\sum b_{ij}\,U_s^{(j)}$ […] ; $2\bigl(\sum_{j \geqslant 1} a_{1j} \ill{}\bigr)\bigl(\sum_{j \geqslant 0} b_{ij} \ill{}\bigr) = 0$ ; $2a_{11} = 1 + \ill{}$ ; […] $2b_{ik} = 0$ […]

On utilise, pour prouver que $\varphi_n$ (qui précisément est un hom. de $S$-algèbres) commute à la différentielle, le

Lemme. Soient $U_0, \ldots, U_m$ des variables, on considère […] la $S$-algèbre diff. \[ A = S\{U_0, \ldots, U_m\}[dU_0, \ldots, dU_m] \] (on munit la structure de p.d., … $dU_r^{(i)} = U_r^{(i-1)}\,dU_r$ …). Soit $B$ une $S$-alg. diff. […] (quasi-commutative, de degré $\leqslant 1$) graduée mod 2, différentielle. On s'intéresse aux hom. d'algèbres diff. $A \xrightarrow{\ \varphi\ } B$. Pour $A$ tel, on la phrase se poursuit au-delà de la fin du lot.