Opérations sur complexes de De Rham à p.d.
Le titre ci-dessus est celui qu'il inscrit, au crayon, dans un cadre en tête de la page. Les notations \mathcal{A}(S,S^{+},t)_{*}, \mathcal{A}_{S}, \beta_{S'} viennent des pages qui précèdent ce lot.
Proposition Théorème. Soient (S,S^{+},t) et (S',S'^{+},t') deux anneaux (comm.) à idéal à p.d. et élément t (OPS S^{+}=(t)_{\mathrm{pd}}, S'^{+}=(t')_{\mathrm{pd}}), et \mathcal{A}(S,S^{+},t)_{*} et \mathcal{A}(S',S'^{+},t')_{*} qu'on considère comme ann. (=\mathcal{A}_{S}, \mathcal{A}_{S'}) affinables ½simpliciaux (faisant abstraction de leurs structures graduées, filtrées, à p.d., et de ). Alors les hom. de ann. affinables ½simpliciaux \varphi_{*} correspondent biunivoquement aux systèmes (\varphi_{0}, A'_{1}, (B'_{i})_{i\geq 1}), où
\begin{cases}
\varphi_{0}\colon S\to S' \ \text{un hom.\ d'anneaux}\\
A'_{1}\in S'\{X_{0}\}^{++}=\operatorname{Ker}\bigl(\alpha_{S'}\colon S'\{X_{0}\}\to S'\bigr)\\
B'_{i}\in S'\{X_{0}\}
\end{cases}
(\alpha(X_{0}^{(i)})=0 \forall i\geq 1), donnés en fonction de \varphi_{*} par
\begin{cases}
\varphi_{0} = \text{composante en degré } 0 \text{ de } \varphi_{*},\quad
\varphi_{0}\colon (\mathcal{A}_{S})_{0}\to(\mathcal{A}_{S'})_{0},\\
A'_{1} = k_{0}\,\varphi_{1}(X_{0}),\\
B'_{i} = k_{1}\,\varphi_{1}(X_{0}^{(i)}),
\end{cases}
avec (\mathcal{A}_{S})_{0}\simeq S, (\mathcal{A}_{S'})_{0}\simeq S', \varphi_{1}\colon S\{X_{0}\}[dX_{0}]\to S'\{X_{0}\}[dX_{0}] ({}\simeq(\mathcal{A}_{S})_{1}, (\mathcal{A}_{S'})_{1}), k_{0}, k_{1} les projections sur les composantes de degré 0 resp. 1. Les systèmes (\varphi_{0}, A'_{1}, B'_{i}\ (i\geq 1)) satisfaisant aux conditions
- \beta_{S'}(A'_{1})=\varphi_{0}(t), i.e. si A'_{1}=\sum_{j\geq 1}a'_{j}X_{0}^{(j)}, \sum_{j\geq 1}a'_{j}t'^{(j)}=\varphi_{0}(t)
- (2B'_{i})J'=0
(\forall\ldots) \forall i\geq 1, où J' est l'idéal de S' engendré par les coeff. a'_{j} de A'_{1} et les coeff. b'_{jk} des B'_{j}=\sum_{k\geq 0}b'_{jk}X_{0}^{(k)}.
[NB Si \varphi_{0}(t) est un diviseur élément régulier de S', alors on montre que J' est engendré par un élément régulier et (TSVP)
NB dans le th., l'indice 1 à A'_{1}
(3) signifie que 2B'_{i}=0 \forall i\geq 1. Il en est de même si \varphi_{0}(t) est (ex. ) que le coefficient dominant a'_{1} de A'_{1}(X_{0})=a'_{1}X_{0}+\cdots est inversible dans S'. Ainsi dans les conditions du cor. 5, si (\varphi_{0}(T))_{\mathrm{pd}}=(T')_{\mathrm{pd}}, i.e. \varphi_{0}(T)=\sum_{i\geq 1}\lambda_{i}T^{(i)} avec \lambda_{1} inversible, alors (2) donne a'_{1}\equiv 1 \bmod \ill{}, donc a'_{1} est inversible la cond. 2B'_{i}=0 (i\geq 1).]
Suite, sur ce verso, du « TSVP » de la page 161 ; la fin de la remarque est d'une écriture rapide et largement illisible.
On reconstitue \varphi \varphi_{*} à partir de \varphi_{0}, A'_{1} (=\sum_{j\geq 1}a'_{j}X_{0}^{(j)}), B'_{i} (i\geq 1) par
\begin{cases}
\varphi_{1}(\lambda)=\varphi_{0}(\lambda) & \text{si } \lambda\in S\\
\varphi_{1}(X_{0}^{(i)})=A_{1}'^{(i)}+B'_{i}\,dX_{0}\\
\varphi_{1}(dX_{0})=dA'_{1}
\end{cases}
(=A_{1}'^{\,\mathrm{dér}}\,dX_{0}, où A_{1}'^{\,\mathrm{dér}}=\sum_{j\geq 1}a'_{j}X_{0}^{(j-1)}), et \varphi_{n} (pour n\geq 2) en posant
U_{0}=X_{0},\ U_{1}=X_{0}+X_{1},\ \ldots,\ U_{n-1}=X_{0}+X_{1}+\cdots+X_{n-1}.
Cela notant que (\mathcal{A}_{S})_{n}=S\{U_{0},U_{1},\ldots,U_{n}\}[dU_{0},\ldots,dU_{n}], par
\begin{cases}
\varphi_{n}(\lambda)=\varphi_{0}(\lambda) & \text{si } \lambda\in S\\
\varphi_{n}(U_{r}^{(i)})=A_{1}'^{(i)}\{U_{r}\}+B'_{i}\{U_{r}\}\,dU_{r} & (0\leq r\leq n-1,\ i\geq 1)\\
\varphi_{n}(dU_{r})=dA'_{1}\{U_{r}\}=A_{1}'^{\,\mathrm{dér}}\{U_{r}\}\,dU_{r} & (0\leq r\leq n-1)
\end{cases}
[NB la condition 2B'_{i}J'=0 n'intervient pas pour la construction de \varphi_{1}, mais seulement pour n\geq 2, pour assurer que si 0\leq r\neq s\leq n-1, \varphi_{n}(U_{r}^{(i)}) et \varphi_{n}(dU_{s}) commute aux \varphi_{n}(U_{s}^{(i)}) et à \varphi_{n}(dU_{s}) …]
Corollaire 1. Si 2 est inversible dans S' et sous l'une des 3 conditions de la remarque après le th. (cf. « TSVP »), alors \varphi_{*} respecte \varphi_{*} respecte la structure graduée ; si de plus S^{+}=(t)_{\mathrm{pd}}, \varphi_{*} respecte la structure à p.d. Supposons S^{+}=(t)_{\mathrm{pd}}.
Corollaire 2. (Pour que \varphi commute aux p.d.,) il f. et s. qu'on ait
B'_{i}=A_{1}'^{(i-1)}B'_{1}\qquad\forall i\geq 1
(donc les \varphi_{*} en question sont donnés par les systèmes \varphi_{0}, A'_{1}, B'_{1} satisfaisant 1), 2) et 2B'_{1}J'=0 (qui tient lieu de 3)).
Pour que \varphi respecte les graduations, il f. et s. que B'_{i}=0 \forall i\geq 1 — (donc des des \varphi
commutant aux p.d. — et ils sont donnés par les couples (\varphi_{0},A'_{1}) satisfaisant 1) et 2) [ 3)] cette condition toujours vérifiée si 2 est inversible dans S'
Corollaire 3. Pour que \varphi_{*} respecte respecte la filtration (croiss. gross.), il f. et s. que A'_{1}\in\mathrm{Fil}^{1} et B'_{i}\in\mathrm{Fil}^{i-1} \forall i\geq 1, i.e.
A'_{1}=\underbrace{a'_{1}}_{\lambda}X_{0},\qquad
B'_{i}=b'_{i0}+b'_{i1}X_{0}+\cdots+b'_{i,i-1}X_{0}^{(i-1)}
(a'_{1}, b'_{ij}\in S') [donc la condition 2) devient
(2')\quad a'_{1}t'=\varphi_{0}(t)
et (3)
(3')\quad (2b'_{ij})J'=0\qquad (i\geq 1,\ 0\leq j\leq i-1)\ ].
Pour que \varphi_{*} respecte respecte les graduations et les filtrations, il f. et s. qu'on ait
A'_{1}=a'_{1}X_{0},\qquad B'_{i}=0\quad i\geq 0,
donc, si de plus on suppose S^{+}=(t)_{\mathrm{pd}}, ces \varphi correspondent exactement aux couples (\varphi_{0},\lambda)\colon (S,S^{+},t)\to(S',S'^{+},t')
Cor. 4. \varphi_{*} respecte toujours la filtration décroissante associée au degré extérieur.
Supposons maintenant
S=k\{T\},\ S^{+}=(T)_{\mathrm{pd}},\ t=T;\qquad
S'=k'\{T\},\ S'^{+}=(T)_{\mathrm{pd}},\ t'=T.
(1) La donnée de \varphi_{0} correspond donc à la donnée de :
(a) \varphi_{00}\colon k\to S'=k'\{T\}
(explicitable par un hom. k\xrightarrow{\delta_{0}}k' et des op. diff. \delta_{i} (i\geq 1), \delta_{i}\colon k\to k', définis par \varphi_{00}(\lambda)=\sum_{i\geq 0}\delta_{i}(\lambda)T^{(i)} [en d'autres termes \delta_{i}(1)=0 pour i\geq 1, \delta_{i}(\lambda\lambda')=\sum_{j+k=i}\delta_{j}(\lambda)\delta_{k}(\lambda') …])
(b) \varphi_{0}(T)\in S'^{+} soit fixée par la condition 2°) ; \varphi_{0}(T)=\sum_{i\geq 1}\eta'_{i}T^{(i)} (\eta'_{i}\in k',\ i\geq 1)
NB si on suppose qu'on se donne d'abord \varphi=\varphi_{00}\colon k\to k', et qu'on exige \varphi_{*} \varphi_{00}-semi-linéaire, i.e. \varphi_{0} \varphi_{00}-semi-linéaire, la donnée 1) se réduit à (b).
(2) A'_{1}\in S'\{X_{0}\}\simeq k'\{X_{0},X_{1}\}, A'_{1}=\sum_{i,j\geq 0}\alpha_{ij}X_{0}^{(i)}X_{1}^{(j)}. La condition A'_{1}\in S'\{X_{0}\}^{++} signifie \alpha_{ij}=0 si i=0, i.e.
A'_{1}=\sum_{i\geq 1,\ j\geq 0}\alpha_{ij}X_{0}^{(i)}X_{1}^{(j)}.
On a \beta_{S'}(A'_{1})=\sum_{i\geq 1}\alpha_{i,0}T^{(i)}, et la condition donne
\varphi_{0}(T)=\sum_{i\geq 1}\alpha_{i,0}T^{(i)}.
Ici et plus bas il note X_{1} la variable que la page appelle aussi T : S'\{X_{0}\}=k'\{T\}\{X_{0}\}\simeq k'\{X_{0},X_{1}\} ; lecture de l'identification incertaine.
(3) B'_{i}\in S'\{X_{0}\}\simeq k'\{X_{0},X_{1}\} sont liés par les seules conditions (2B'_{i})J'=0.
En résumé :
Cor. 5. Les hom. d'anneaux aff. ½simpliciaux
\mathcal{A}_{k*}=\mathcal{A}(k\{T\},k\{T\}^{+},T)\to\mathcal{A}_{k'*}=\mathcal{A}(k'\{T\},k'\{T\}^{+},T)
sont définis par les systèmes d'objets
\begin{cases}
\varphi_{00}\colon k\to k'\{T\}\ \text{hom.\ d'anneaux}\\
A'_{1}\in k'\{T\}\{X_{0}\}^{++}\simeq k'\{X_{0},X_{1}\}\\
B'_{i}\in k'\{T\}\{X_{0}\}\simeq k'\{X_{0},X_{1}\}\quad (i\geq 1)
\end{cases}
satisfaisant les conditions
a) A'_{1}\in k'\{T\}\{X_{0}\}^{++}, i.e. A'_{1}=\sum_{i\geq 1,\ j\geq 0}\alpha'_{ij}X_{0}^{(i)}X_{1}^{(j)}
b) (2B'_{i})J'=0 (\forall i\geq 1), où J'\subset S_{k'}=k'\{T\} est l'idéal de S_{k'} engendré par les coeff. a'_{j} et b'_{ij}
(b') (2b'_{ij})J'=0 pour i\geq 1, j\geq 0.
De plus
a) \varphi_{*} commute aux p.d. ssi B'_{i}=A_{1}'^{(i-1)}B'_{1} \forall i\geq 1
b) \varphi_{*} commute aux graduations extérieures ssi B'_{i}=0 \forall i\geq 1
c) \varphi_{*} commute aux filtrations croissantes grossières (dont les termes sont des sous-S-modules) ssi A'_{1}=\lambda'X_{0} (\lambda'\in k'\{T\}) et B'_{i}=\sum_{0\leq j\leq i-1}b'_{ij}X_{0}^{(j)}
d) \varphi_{*} commute aux filtrations décroissantes fines [dont les termes sont des sous-k-modules (ou S-modules) ]
\mathrm{Fil}^{\mathrm{gross}}_{d}\mathcal{A}_{kn}
=\Bigl\{\textstyle\sum F_{i_{0}\ldots i_{r}}\,dX_{i_{0}}\wedge\cdots\wedge dX_{i_{r}}\Bigr\}
F_{i_{0}\ldots i_{r}}\in k\{X_{0},\ldots,X_{n}\} \text{ de « degré » }\leq d-r,
donc c'est la filtration croissante la plus fine pour laquelle il f. et s. qu'on ait
\begin{cases}
\varphi_{0}(k)\subset k'\\
A'_{1}=\alpha'_{0}X_{0},\quad \alpha'_{0}\in k'\\
B'_{i}=\sum\limits_{\substack{j,k\geq 0\\ j+k\leq i-1}}\alpha'_{ijk}X_{0}^{(j)}X_{1}^{(k)}\quad (\forall i\geq 1)
\end{cases}
(cette condition est vide si 2 inversible dans k', donc les B'_{i} sont nuls !)
NB La filtration grossière la filtration fine les filtrations
La note marginale, écrite le long du bord gauche, est presque entièrement illisible.
auquel cas on a
\varphi_{0}(T)=\alpha'_{0}T.
De si on suppose que \varphi_{0}(k)\subset k', alors
L'hom. \varphi_{*} respecte respecte le degré total ssi on a
\begin{cases}
\varphi_{0}k\subset k'\\
A'_{1}=\alpha'_{0}X_{0}\quad (\alpha'_{0}\in k')\\
B'_{i}=\sum\limits_{\substack{j,k\geq 0\\ j+k=i-1}}\alpha'_{i,j,k}X_{0}^{(j)}X_{1}^{(k)},\quad i\geq 1
\end{cases}
(ces conditions vides si 2 inversible dans S')
L'hom. \varphi_{*} commute aux deux graduations (totale et extérieure) il en commute à la graduation ssi triples couples (\varphi_{00}\colon k\to k',\ \alpha'_{0}\in k'), et sont les hom.
\mathcal{A}_{*}(S_{k},S_{k}^{+},T)\to\mathcal{A}_{*}(S_{k'},S_{k'}^{+},T)
associés à l'hom.
(u_{\varphi_{00},\alpha'_{0}})\colon (S_{k},S_{k}^{+},T)\to(S_{k'},S_{k'}^{+},T)
défini par
u_{\varphi_{00},\alpha'_{0}}\colon k\{T\}\to k'\{T\}
défini par \varphi_{00} sur k et par T\mapsto\alpha'_{0}T.
e) Considérons la filtration décroissante sur \mathcal{A}_{kn} et \mathcal{A}_{k'n} associée au degré total (filtration par des sous-S ou sous-S'-modules). Pour que \varphi_{*} la respecte, il f. et s. que l'on ait
B'_{i}=\sum_{\substack{j,k\geq 0\\ j+k\geq i-1}}\alpha'_{i,j,k}X_{0}^{(j)}X_{1}^{(k)}
(conditions toujours vérifiées, en particulier si 2 inversible)
La condition sur \varphi_{0} et A'_{1} qui devrait précéder celle-ci sous e) ne se lit pas sur la page : seule la ligne des B'_{i} est écrite.
Cas des automorphismes de
\widehat{\mathcal{A}}_{k*}
Titre encadré par lui en tête de la page 173.
Nous nous intéressons maintenant aux automorphismes de la k-algèbre affinable ½simpliciale \mathcal{A}_{k*}=\mathcal{A}_{*}(k\{T\},k\{T\}^{+},T). Mais de résultats simples qu'en complétant en
\widehat{\mathcal{A}}_{k*}=\bigl(\widehat{\mathcal{A}}_{k,n}\bigr),
\widehat{\mathcal{A}}_{k,n}\simeq k\{\{X_{0},\ldots,X_{n}\}\}[dX_{0},\ldots,dX_{n}]\big/\textstyle\sum dX_{i}
\simeq k\{\{T\}\}\{\{X_{0},\ldots,X_{n}\}\}[dX_{0},\ldots,dX_{n}]\big/\bigl(\textstyle\sum X_{i}-T,\ \sum dX_{i}\bigr)_{\mathrm{pd}}
\simeq k\{\{T\}\}\{\{X_{0},\ldots,X_{n-1}\}\}[dX_{0},\ldots,dX_{n-1}].
Les résultats sur les hom. d'un \widehat{\mathcal{A}}_{k,*} dans un \widehat{\mathcal{A}}_{k',*} sont les mêmes que tantôt [] surtout en un \mathcal{A}_{*}(S,S^{+},t)^{\wedge} (où on
infinité de termes].
Soit \varphi_{*} un auto endomorphisme de la k-algèbre diff. ½simpliciale \widehat{\mathcal{A}}_{k*}, associé à
A,\ \struck{B}\,B_{i}\in\widehat{S}_{k}\{\{X_{0}\}\}\simeq k\{\{T\}\}\{\{X_{0}\}\}\simeq k\{\{X_{0},X_{1}\}\}\qquad (i\geq 1).
Posons
\begin{cases}
A=\sum\limits_{j\geq 1}a_{j}X_{0}^{(j)} & (a_{j}\in\widehat{S}_{k}\simeq k\{\{T\}\},\ j\geq 0)\\
\text{avec } a_{j}=\sum\limits_{k\geq 0}a_{j,k}T^{(k)}, & a_{jk}\in k \text{ pour } j\geq 1,\ k\geq 0.
\end{cases}
On peut aussi écrire
A=\sum_{i\geq 1,\ j\geq 0}\alpha_{ij}X_{0}^{(i)}X_{1}^{(j)},\qquad \alpha_{ij}\in k.
Posons
\varphi_{0}(T)=\sum_{j\geq 1}\lambda_{j}T^{(j)},\qquad \lambda_{j}\in k.
Ceci posé, un calcul immédiat montre
\boxed{a_{1,0}=\alpha_{1,0}=\lambda_{1}}\in k.
Cet élément de k s'appelle le discriminant déterminant indicateur (noté \Delta(\varphi_{*})) de \varphi_{*} (peut aussi se définir si \varphi_{*}\colon\widehat{\mathcal{A}}_{k}\to\widehat{\mathcal{A}}_{k'} associé à k\to k' donné d'avance, on trouve un élément de k').
Le mot de la ligne, sous « discriminant » biffé et « déterminant » ajouté au-dessus, se lit « indicateur », doublement souligné et peut-être lui aussi barré ; c'est le terme qu'emploie l'énoncé qui suit.
Théorème. Pour que \varphi_{*} soit un automorphisme de \widehat{\mathcal{A}}_{k*}, il f. et s. que son indicateur soit un élément inversible de k. En ce cas, \Delta(\varphi_{*}) dépend multiplicativement de \varphi_{*}, et \Delta(1)=1 — donc \Delta est un hom. des groupes
\Omega(k)=\operatorname{Aut}_{k\text{-alg.\ diff.\ }\frac{1}{2}\text{simpl.}}\bigl(\widehat{\mathcal{A}}_{k*}\bigr)
dans k^{*}=\mathbf{G}_{m}(k).
Les automorphismes de éléments de \Omega(k) correspondent ainsi aux systèmes (A,(B_{i})_{i\geq 1}) d'objets de \widehat{S}_{k}\{\{X_{0}\}\},
A=\sum_{j\geq 1}a_{j}X_{0}^{(j)},\qquad
B_{i}=\sum_{j\geq 0}b_{ij}X_{0}^{(j)}\qquad\Bigm|\qquad a_{j}, b_{ij}\in\widehat{S}_{k}=k\{\{T\}\}
tels que
a) \varepsilon(a_{1}) (=\Delta(\varphi_{*})) \in k^{*} (\varepsilon\colon\widehat{S}_{k}\to k l'augmentation)
b) 2B_{i}=0 \forall i\geq 1, i.e. 2b_{ij}=0 \forall i\geq 1, j\geq 0.
On peut aussi l'écrire comme l'ens. des systèmes (a_{jk})_{j\geq 1,k\geq 0}, (b_{ijk})_{i\geq 1,j\geq 0,k\geq 0} d'éléments de k (qui sont les coeff. des développements de a_{j} et b_{ij} comme séries à p.d. en T) avec les seules conditions
a_{10}\in k^{*},\qquad 2b_{ijk}=0.
Pour k variable, le
Ainsi
\Omega peut être considéré comme un schéma en groupes sur \mathbf{Z}, qui est le schéma des automorphismes du foncteur des \mathbf{Z}-algèbres vers les k-alg. diff. affinables ½simpliciales k\mapsto\widehat{\mathcal{A}}_{k*} (ou encore comme nous
disons par abus de langage le schéma en groupes d'automorphismes de l'anneau différentiel ½simplicial \widehat{\mathcal{A}}_{\mathbf{Z}*}). On a un hom. de schémas en groupes
\Delta\colon\Omega\to\mathbf{G}_{m}
et on a d'ailleurs une section évidente
\delta\colon\mathbf{G}_{m}\to\Omega
(\delta(\lambda)=(A,(B_{i})_{i\geq 1}) avec B_{i}=0 \forall i\geq 1,
A=\lambda X_{0}\quad\text{i.e.}\quad \varphi_{1}(X_{0})=\lambda X_{0},\ \text{d'où}\ \varphi_{1}(X_{1})=\lambda X_{1},
\varphi_{0}(T)=\lambda T,\qquad \varphi_{n}(X_{i})=\lambda X_{i}\quad\forall\, 0\leq i\leq n).
Ainsi \Omega est écrit un pr. semi-direct de \mathbf{G}_{m} et d'un groupe qui est unipotent fibre par fibre.
Si 2 est inversible dans k,