Cote n° 136, pages 161–180

Cote n° 136 · batch 9 · pages 161–180 · Transcription · Complexe de De Rham à puissance divisée [conférence de 1976 à l’IHÉS] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1975-1976]
Édition de démonstration

Opérations sur complexes de De Rham à p.d.

161Le titre ci-dessus est celui qu'il inscrit, au crayon, dans un cadre en tête de la page. Les notations \(\mathcal{A}(S,S^{+},t)_{*}\), \(\mathcal{A}_{S}\), \(\beta_{S'}\) viennent des pages qui précèdent ce lot.

Proposition Théorème. Soient \((S,S^{+},t)\) et \((S',S'^{+},t')\) deux anneaux (comm.) à idéal à p.d. et élément \(t\) (OPS \(S^{+}=(t)_{\mathrm{pd}}\), \(S'^{+}=(t')_{\mathrm{pd}}\)), et \(\mathcal{A}(S,S^{+},t)_{*}\) et \(\mathcal{A}(S',S'^{+},t')_{*}\) […] qu'on considère comme ann. […] (\(=\mathcal{A}_{S}\), \(\mathcal{A}_{S'}\)) affinables ½simpliciaux (faisant abstraction de leurs structures graduées, filtrées, à p.d., et de […]). Alors les hom. de ann. affinables ½simpliciaux \(\varphi_{*}\) correspondent biunivoquement aux systèmes \((\varphi_{0}, A'_{1}, (B'_{i})_{i\geq 1})\), où \[ \begin{cases} \varphi_{0}\colon S\to S' \ \text{un hom.\ d'anneaux}\\ A'_{1}\in S'\{X_{0}\}^{++}=\operatorname{Ker}\bigl(\alpha_{S'}\colon S'\{X_{0}\}\to S'\bigr)\\ B'_{i}\in S'\{X_{0}\} \end{cases} \] (\(\alpha(X_{0}^{(i)})=0\) \(\forall i\geq 1\)), donnés en fonction de \(\varphi_{*}\) par \[ \begin{cases} \varphi_{0} = \text{composante en degré } 0 \text{ de } \varphi_{*},\quad \varphi_{0}\colon (\mathcal{A}_{S})_{0}\to(\mathcal{A}_{S'})_{0},\\ A'_{1} = k_{0}\,\varphi_{1}(X_{0}),\\ B'_{i} = k_{1}\,\varphi_{1}(X_{0}^{(i)}), \end{cases} \] avec \((\mathcal{A}_{S})_{0}\simeq S\), \((\mathcal{A}_{S'})_{0}\simeq S'\), \(\varphi_{1}\colon S\{X_{0}\}[dX_{0}]\to S'\{X_{0}\}[dX_{0}]\) (\({}\simeq(\mathcal{A}_{S})_{1}\), \((\mathcal{A}_{S'})_{1}\)), \(k_{0}\), \(k_{1}\) les projections sur les composantes de degré \(0\) resp. \(1\). Les systèmes \((\varphi_{0}, A'_{1}, B'_{i}\ (i\geq 1))\) satisfaisant aux conditions

[…] \(\varphi_{0}(t^{(i)})=\varphi_{0}(t)^{(i)}\), i.e. \(\varphi_{0}\) commute aux p.d. sur \((t)_{\mathrm{pd}}\) (!)
\(\beta_{S'}(A'_{1})=\varphi_{0}(t)\), i.e. si \(A'_{1}=\sum_{j\geq 1}a'_{j}X_{0}^{(j)}\), \(\sum_{j\geq 1}a'_{j}t'^{(j)}=\varphi_{0}(t)\)
\((2B'_{i})J'=0\) \((\forall\ldots)\) \(\forall i\geq 1\), où \(J'\) est l'idéal de \(S'\) engendré par les coeff. \(a'_{j}\) de \(A'_{1}\) et les coeff. \(b'_{jk}\) des \(B'_{j}=\sum_{k\geq 0}b'_{jk}X_{0}^{(k)}\).

[NB Si \(\varphi_{0}(t)\) est un diviseur ⌜élément régulier⌝ de \(S'\), alors on montre que \(J'\) est engendré par un élément régulier et […] (TSVP)

NB dans le th., […] l'indice \(1\) à \(A'_{1}\) […]

162(3) signifie que \(2B'_{i}=0\) \(\forall i\geq 1\). Il en est de même si \(\varphi_{0}(t)\) est […] (ex. […]) […] que le coefficient dominant \(a'_{1}\) de \(A'_{1}(X_{0})=a'_{1}X_{0}+\cdots\) est inversible dans \(S'\). Ainsi dans les conditions du cor. 5, si \((\varphi_{0}(T))_{\mathrm{pd}}=(T')_{\mathrm{pd}}\), i.e. \(\varphi_{0}(T)=\sum_{i\geq 1}\lambda_{i}T^{(i)}\) avec \(\lambda_{1}\) inversible, alors […] (2) […] donne \(a'_{1}\equiv 1 \bmod \ill{}\), donc \(a'_{1}\) est inversible […] la cond. \(2B'_{i}=0\) \((i\geq 1)\).] Suite, sur ce verso, du « TSVP » de la page 161 ; la fin de la remarque est d'une écriture rapide et largement illisible.

163On reconstitue \(\varphi\) \(\varphi_{*}\) à partir de \(\varphi_{0}\), \(A'_{1}\) (\(=\sum_{j\geq 1}a'_{j}X_{0}^{(j)}\)), \(B'_{i}\) \((i\geq 1)\) par \[ \begin{cases} \varphi_{1}(\lambda)=\varphi_{0}(\lambda) & \text{si } \lambda\in S\\ \varphi_{1}(X_{0}^{(i)})=A_{1}'^{(i)}+B'_{i}\,dX_{0}\\ \varphi_{1}(dX_{0})=dA'_{1} \end{cases} \] (\(=A_{1}'^{\,\mathrm{dér}}\,dX_{0}\), où \(A_{1}'^{\,\mathrm{dér}}=\sum_{j\geq 1}a'_{j}X_{0}^{(j-1)}\)), et \(\varphi_{n}\) (pour \(n\geq 2\)) en posant \[ U_{0}=X_{0},\ U_{1}=X_{0}+X_{1},\ \ldots,\ U_{n-1}=X_{0}+X_{1}+\cdots+X_{n-1}. \] Cela notant que \((\mathcal{A}_{S})_{n}=S\{U_{0},U_{1},\ldots,U_{n}\}[dU_{0},\ldots,dU_{n}]\), par \[ \begin{cases} \varphi_{n}(\lambda)=\varphi_{0}(\lambda) & \text{si } \lambda\in S\\ \varphi_{n}(U_{r}^{(i)})=A_{1}'^{(i)}\{U_{r}\}+B'_{i}\{U_{r}\}\,dU_{r} & (0\leq r\leq n-1,\ i\geq 1)\\ \varphi_{n}(dU_{r})=dA'_{1}\{U_{r}\}=A_{1}'^{\,\mathrm{dér}}\{U_{r}\}\,dU_{r} & (0\leq r\leq n-1) \end{cases} \]

[NB la condition \(2B'_{i}J'=0\) n'intervient pas pour la construction de \(\varphi_{1}\), mais seulement pour \(n\geq 2\), pour assurer que si \(0\leq r\neq s\leq n-1\), \(\varphi_{n}(U_{r}^{(i)})\) et \(\varphi_{n}(dU_{s})\) ⌜commute⌝ aux \(\varphi_{n}(U_{s}^{(i)})\) et à \(\varphi_{n}(dU_{s})\) …]

Corollaire 1. Si \(2\) est inversible dans \(S'\) ⌜et sous l'une des 3 conditions de la remarque après le th. (cf. « TSVP »)⌝, alors \(\varphi_{*}\) respecte \(\varphi_{*}\) respecte la structure graduée ; si de plus \(S^{+}=(t)_{\mathrm{pd}}\), \(\varphi_{*}\) respecte la structure à p.d. Supposons \(S^{+}=(t)_{\mathrm{pd}}\).

Corollaire 2. (Pour que \(\varphi\) commute aux p.d.,) il f. et s. qu'on ait \[ B'_{i}=A_{1}'^{(i-1)}B'_{1}\qquad\forall i\geq 1 \] (donc les \(\varphi_{*}\) en question sont donnés par les systèmes \(\varphi_{0}\), \(A'_{1}\), \(B'_{1}\) satisfaisant 1), 2) et \(2B'_{1}J'=0\) (qui tient lieu de 3)).

Pour que \(\varphi\) respecte les graduations, il f. et s. que \(B'_{i}=0\) \(\forall i\geq 1\) — (donc des des \(\varphi\)

165commutant aux p.d. — et ils sont donnés par les couples \((\varphi_{0},A'_{1})\) satisfaisant 1) et 2) [[…] […] 3)] cette condition toujours vérifiée si \(2\) est inversible dans \(S'\)

Corollaire 3. Pour que \(\varphi_{*}\) respecte respecte la filtration ⌜(croiss. gross.)⌝, il f. et s. que \(A'_{1}\in\mathrm{Fil}^{1}\) et \(B'_{i}\in\mathrm{Fil}^{i-1}\) \(\forall i\geq 1\), i.e. \[ A'_{1}=\underbrace{a'_{1}}_{\lambda}X_{0},\qquad B'_{i}=b'_{i0}+b'_{i1}X_{0}+\cdots+b'_{i,i-1}X_{0}^{(i-1)} \] (\(a'_{1}, b'_{ij}\in S'\)) [donc la condition 2) devient \[ (2')\quad a'_{1}t'=\varphi_{0}(t) \] et (3) \[ (3')\quad (2b'_{ij})J'=0\qquad (i\geq 1,\ 0\leq j\leq i-1)\ ]. \]

Pour que \(\varphi_{*}\) respecte respecte les graduations et les filtrations, il f. et s. qu'on ait \[ A'_{1}=a'_{1}X_{0},\qquad B'_{i}=0\quad i\geq 0, \] donc, si de plus on suppose \(S^{+}=(t)_{\mathrm{pd}}\), ces \(\varphi\) correspondent exactement aux couples \((\varphi_{0},\lambda)\colon (S,S^{+},t)\to(S',S'^{+},t')\) […], par prolongement canonique \(\mathcal{A}_{S*}\to\mathcal{A}_{S'*}\) ! « \(B'_{i}=0\), \(i\geq 0\) » : sic, les \(B'_{i}\) n'étant définis que pour \(i\geq 1\).

Cor. 4. \(\varphi_{*}\) respecte toujours la filtration décroissante associée au degré extérieur.

Supposons maintenant \[ S=k\{T\},\ S^{+}=(T)_{\mathrm{pd}},\ t=T;\qquad S'=k'\{T\},\ S'^{+}=(T)_{\mathrm{pd}},\ t'=T. \]

(1) La donnée de \(\varphi_{0}\) correspond donc à la donnée de :

(a) \(\varphi_{00}\colon k\to S'=k'\{T\}\) […]

(explicitable par un hom. \(k\xrightarrow{\delta_{0}}k'\) […] et des ⌜op. diff.⌝ \(\delta_{i}\) \((i\geq 1)\), \(\delta_{i}\colon k\to k'\), définis par \(\varphi_{00}(\lambda)=\sum_{i\geq 0}\delta_{i}(\lambda)T^{(i)}\) [en d'autres termes \(\delta_{i}(1)=0\) pour \(i\geq 1\), \(\delta_{i}(\lambda\lambda')=\sum_{j+k=i}\delta_{j}(\lambda)\delta_{k}(\lambda')\) …])

167(b) \(\varphi_{0}(T)\in S'^{+}\) soit […] fixée par la condition 2°) ; \(\varphi_{0}(T)=\sum_{i\geq 1}\eta'_{i}T^{(i)}\) \((\eta'_{i}\in k',\ i\geq 1)\)

NB si on suppose qu'on se donne d'abord \(\varphi=\varphi_{00}\colon k\to k'\), et qu'on exige \(\varphi_{*}\) \(\varphi_{00}\)-semi-linéaire, i.e. \(\varphi_{0}\) \(\varphi_{00}\)-semi-linéaire, la donnée 1) se réduit à (b).

(2) \(A'_{1}\in S'\{X_{0}\}\simeq k'\{X_{0},X_{1}\}\), \(A'_{1}=\sum_{i,j\geq 0}\alpha_{ij}X_{0}^{(i)}X_{1}^{(j)}\). La condition \(A'_{1}\in S'\{X_{0}\}^{++}\) signifie \(\alpha_{ij}=0\) si \(i=0\), i.e. \[ A'_{1}=\sum_{i\geq 1,\ j\geq 0}\alpha_{ij}X_{0}^{(i)}X_{1}^{(j)}. \] On a \(\beta_{S'}(A'_{1})=\sum_{i\geq 1}\alpha_{i,0}T^{(i)}\), et la condition donne \[ \varphi_{0}(T)=\sum_{i\geq 1}\alpha_{i,0}T^{(i)}. \] Ici et plus bas il note \(X_{1}\) la variable que la page appelle aussi \(T\) : \(S'\{X_{0}\}=k'\{T\}\{X_{0}\}\simeq k'\{X_{0},X_{1}\}\) ; lecture de l'identification incertaine.

(3) \(B'_{i}\in S'\{X_{0}\}\simeq k'\{X_{0},X_{1}\}\) sont liés par les seules conditions \((2B'_{i})J'=0\).

En résumé :

Cor. 5. Les hom. d'anneaux aff. ½simpliciaux \[ \mathcal{A}_{k*}=\mathcal{A}(k\{T\},k\{T\}^{+},T)\to\mathcal{A}_{k'*}=\mathcal{A}(k'\{T\},k'\{T\}^{+},T) \] sont définis par les systèmes d'objets \[ \begin{cases} \varphi_{00}\colon k\to k'\{T\}\ \text{hom.\ d'anneaux}\\ A'_{1}\in k'\{T\}\{X_{0}\}^{++}\simeq k'\{X_{0},X_{1}\}\\ B'_{i}\in k'\{T\}\{X_{0}\}\simeq k'\{X_{0},X_{1}\}\quad (i\geq 1) \end{cases} \] satisfaisant les conditions

a) \(A'_{1}\in k'\{T\}\{X_{0}\}^{++}\), i.e. \(A'_{1}=\sum_{i\geq 1,\ j\geq 0}\alpha'_{ij}X_{0}^{(i)}X_{1}^{(j)}\)

b) \((2B'_{i})J'=0\) \((\forall i\geq 1)\), où \(J'\subset S_{k'}=k'\{T\}\) est l'idéal de \(S_{k'}\) engendré par les coeff. \(a'_{j}\) et \(b'_{ij}\) […] des \[ A'_{1}=\sum_{j\geq 1}a'_{j}X_{0}^{(j)}\quad (a'_{j}\in k'\{T\}=S_{k'}),\qquad B'_{i}=\sum_{j\geq 0}b'_{ij}X_{0}^{(j)}\quad (b'_{ij}\in k'\{T\}=S_{k'}). \] Donc b) équivaut aussi à

(b\('\)) \((2b'_{ij})J'=0\) pour \(i\geq 1\), \(j\geq 0\).

169De plus

a) \(\varphi_{*}\) commute aux p.d. ssi \(B'_{i}=A_{1}'^{(i-1)}B'_{1}\) \(\forall i\geq 1\)

b) \(\varphi_{*}\) commute aux graduations extérieures ssi \(B'_{i}=0\) \(\forall i\geq 1\)

c) \(\varphi_{*}\) commute aux filtrations croissantes grossières (dont les termes sont des sous-\(S\)-modules) ssi \(A'_{1}=\lambda'X_{0}\) \((\lambda'\in k'\{T\})\) et \(B'_{i}=\sum_{0\leq j\leq i-1}b'_{ij}X_{0}^{(j)}\) […], \(b'_{ij}\in k'\{T\}\) (i.e. au minimum)

d) \(\varphi_{*}\) commute aux filtrations décroissantes fines [dont les termes sont des sous-\(k\)-modules […] (ou \(S\)-modules) […]] \[ \mathrm{Fil}^{\mathrm{gross}}_{d}\mathcal{A}_{kn} =\Bigl\{\textstyle\sum F_{i_{0}\ldots i_{r}}\,dX_{i_{0}}\wedge\cdots\wedge dX_{i_{r}}\Bigr\} \] \[ F_{i_{0}\ldots i_{r}}\in k\{X_{0},\ldots,X_{n}\} \text{ de « degré » }\leq d-r, \] donc c'est la filtration croissante la plus fine pour laquelle […] \(k\subset\mathrm{Fil}_{0}\), \(X_{r}, dX_{r}\in\mathrm{Fil}_{1}\), \(\mathrm{Fil}_{i}\cdot\mathrm{Fil}_{j}\subset\mathrm{Fil}_{i+j}\), et \(x\in\mathrm{Fil}_{d}\Rightarrow x^{(i)}\in\mathrm{Fil}_{di}\) ; c'est aussi la filtration croissante associée à la graduation par le degré total de \[ (\mathcal{A}_{k})_{n}\simeq k\{X_{0},\ldots,X_{n}\}[dX_{0},\ldots,dX_{n}]\big/\textstyle\sum dX_{i} \] […] avec p.d. et tel que \(X_{r}\) et \(dX_{r}\) de degré \(1\) — […] — […] ce que \((\mathcal{A}_{k})_{n}\) devient […] un anneau gradué […] gradué \(S\), avec affinables […]] il f. et s. qu'on ait \[ \begin{cases} \varphi_{0}(k)\subset k'\\ A'_{1}=\alpha'_{0}X_{0},\quad \alpha'_{0}\in k'\\ B'_{i}=\sum\limits_{\substack{j,k\geq 0\\ j+k\leq i-1}}\alpha'_{ijk}X_{0}^{(j)}X_{1}^{(k)}\quad (\forall i\geq 1) \end{cases} \] (cette condition est vide si \(2\) inversible dans \(k'\), donc les \(B'_{i}\) sont nuls !)

NB La filtration grossière […] la filtration fine […] les filtrations […] La note marginale, écrite le long du bord gauche, est presque entièrement illisible.

171auquel cas on a \[ \varphi_{0}(T)=\alpha'_{0}T. \] De si on suppose que \(\varphi_{0}(k)\subset k'\), alors

L'hom. \(\varphi_{*}\) respecte respecte le degré total ssi on a \[ \begin{cases} \varphi_{0}k\subset k'\\ A'_{1}=\alpha'_{0}X_{0}\quad (\alpha'_{0}\in k')\\ B'_{i}=\sum\limits_{\substack{j,k\geq 0\\ j+k=i-1}}\alpha'_{i,j,k}X_{0}^{(j)}X_{1}^{(k)},\quad i\geq 1 \end{cases} \] (ces conditions vides si \(2\) inversible dans \(S'\))

L'hom. \(\varphi_{*}\) commute aux deux graduations (totale et extérieure) ⌜il en commute à la graduation⌝ ssi […] ext. et la filtration croissante fine, i.e. ssi on a \[ \begin{cases} \varphi_{0}k\subset k'\\ A'_{1}=\alpha'_{0}X_{0}\quad (\alpha'_{0}\in k')\\ B'_{i}=0\quad (i\geq 1) \end{cases} \] Et donc il commute aux p.d. — vous voyez un minimum !). Donc les \(\varphi_{*}\) en question correspondent 1–1 aux triples ⌜couples⌝ \((\varphi_{00}\colon k\to k',\ \alpha'_{0}\in k')\), et sont les hom. \[ \mathcal{A}_{*}(S_{k},S_{k}^{+},T)\to\mathcal{A}_{*}(S_{k'},S_{k'}^{+},T) \] associés à l'hom. \[ (u_{\varphi_{00},\alpha'_{0}})\colon (S_{k},S_{k}^{+},T)\to(S_{k'},S_{k'}^{+},T) \] défini par \[ u_{\varphi_{00},\alpha'_{0}}\colon k\{T\}\to k'\{T\} \] défini par \(\varphi_{00}\) sur \(k\) et par \(T\mapsto\alpha'_{0}T\).

e) Considérons la filtration décroissante sur \(\mathcal{A}_{kn}\) et \(\mathcal{A}_{k'n}\) associée au degré total (filtration par des sous-\(S\) ou sous-\(S'\)-modules). Pour que \(\varphi_{*}\) la respecte, il f. et s. que l'on ait \[ B'_{i}=\sum_{\substack{j,k\geq 0\\ j+k\geq i-1}}\alpha'_{i,j,k}X_{0}^{(j)}X_{1}^{(k)} \] (conditions toujours vérifiées, en particulier si \(2\) inversible) La condition sur \(\varphi_{0}\) et \(A'_{1}\) qui devrait précéder celle-ci sous e) ne se lit pas sur la page : seule la ligne des \(B'_{i}\) est écrite.

Cas des automorphismes de \(\widehat{\mathcal{A}}_{k*}\)

Titre encadré par lui en tête de la page 173.

173Nous nous intéressons maintenant aux automorphismes de la \(k\)-algèbre affinable ½simpliciale \(\mathcal{A}_{k*}=\mathcal{A}_{*}(k\{T\},k\{T\}^{+},T)\). Mais […] de résultats simples qu'en complétant en \[ \widehat{\mathcal{A}}_{k*}=\bigl(\widehat{\mathcal{A}}_{k,n}\bigr), \] \[ \widehat{\mathcal{A}}_{k,n}\simeq k\{\{X_{0},\ldots,X_{n}\}\}[dX_{0},\ldots,dX_{n}]\big/\textstyle\sum dX_{i} \] \[ \simeq k\{\{T\}\}\{\{X_{0},\ldots,X_{n}\}\}[dX_{0},\ldots,dX_{n}]\big/\bigl(\textstyle\sum X_{i}-T,\ \sum dX_{i}\bigr)_{\mathrm{pd}} \] \[ \simeq k\{\{T\}\}\{\{X_{0},\ldots,X_{n-1}\}\}[dX_{0},\ldots,dX_{n-1}]. \] Les résultats sur les hom. d'un \(\widehat{\mathcal{A}}_{k,*}\) dans un \(\widehat{\mathcal{A}}_{k',*}\) sont les mêmes que tantôt [[…]] surtout en un \(\mathcal{A}_{*}(S,S^{+},t)^{\wedge}\) (où on […] […] le cas \(S\simeq k\{\{T\}\}\)), avec \[ \mathcal{A}_{n}(S,S^{+},t)^{\wedge}\simeq S\{\{X_{0},\ldots,X_{n}\}\}[dX_{0},\ldots,dX_{n}] \] mod idéal à p.d. engendré par \(\sum X_{i}-t\), \(\sum dX_{i}\), \[ \simeq S\{\{X_{0},\ldots,X_{n-1}\}\}[dX_{0},\ldots,dX_{n-1}] \] — mais \(A'_{1}\) et les \(B'_{i}\) \((i\geq 1)\) sont dans \(\mathcal{A}_{1}(S,S^{+},t)^{\wedge}\simeq S\{\{X_{0}\}\}\), au lieu de \(S\{X_{0}\}\), i.e. les polynômes à p.d. en \(X_{0}\), coeff. dans \(S\), qui les exprimaient deviennent des séries à p.d. avec une

175infinité de termes].

Soit \(\varphi_{*}\) un auto endomorphisme de la \(k\)-algèbre diff. ½simpliciale \(\widehat{\mathcal{A}}_{k*}\), associé à \[ A,\ \struck{B}\,B_{i}\in\widehat{S}_{k}\{\{X_{0}\}\}\simeq k\{\{T\}\}\{\{X_{0}\}\}\simeq k\{\{X_{0},X_{1}\}\}\qquad (i\geq 1). \] Posons \[ \begin{cases} A=\sum\limits_{j\geq 1}a_{j}X_{0}^{(j)} & (a_{j}\in\widehat{S}_{k}\simeq k\{\{T\}\},\ j\geq 0)\\ \text{avec } a_{j}=\sum\limits_{k\geq 0}a_{j,k}T^{(k)}, & a_{jk}\in k \text{ pour } j\geq 1,\ k\geq 0. \end{cases} \] On peut aussi écrire \[ A=\sum_{i\geq 1,\ j\geq 0}\alpha_{ij}X_{0}^{(i)}X_{1}^{(j)},\qquad \alpha_{ij}\in k. \] Posons \[ \varphi_{0}(T)=\sum_{j\geq 1}\lambda_{j}T^{(j)},\qquad \lambda_{j}\in k. \] Ceci posé, un calcul immédiat montre \[ \boxed{a_{1,0}=\alpha_{1,0}=\lambda_{1}}\in k. \] Cet élément de \(k\) s'appelle le discriminant ⌜déterminant⌝ indicateur (noté \(\Delta(\varphi_{*})\)) de \(\varphi_{*}\) (peut aussi se définir si \(\varphi_{*}\colon\widehat{\mathcal{A}}_{k}\to\widehat{\mathcal{A}}_{k'}\) associé à \(k\to k'\) donné d'avance, on trouve un élément de \(k'\)). Le mot de la ligne, sous « discriminant » biffé et « déterminant » ajouté au-dessus, se lit « indicateur », doublement souligné et peut-être lui aussi barré ; c'est le terme qu'emploie l'énoncé qui suit.

Théorème. Pour que \(\varphi_{*}\) soit un automorphisme de \(\widehat{\mathcal{A}}_{k*}\), il f. et s. que son indicateur soit un élément inversible de \(k\). En ce cas, \(\Delta(\varphi_{*})\) dépend multiplicativement de \(\varphi_{*}\), et \(\Delta(1)=1\) — donc \(\Delta\) est un hom. des groupes \[ \Omega(k)=\operatorname{Aut}_{k\text{-alg.\ diff.\ }\frac{1}{2}\text{simpl.}}\bigl(\widehat{\mathcal{A}}_{k*}\bigr) \] dans \(k^{*}=\mathbf{G}_{m}(k)\).

177Les automorphismes de éléments de \(\Omega(k)\) correspondent ainsi aux systèmes \((A,(B_{i})_{i\geq 1})\) d'objets de \(\widehat{S}_{k}\{\{X_{0}\}\}\), \[ A=\sum_{j\geq 1}a_{j}X_{0}^{(j)},\qquad B_{i}=\sum_{j\geq 0}b_{ij}X_{0}^{(j)}\qquad\Bigm|\qquad a_{j}, b_{ij}\in\widehat{S}_{k}=k\{\{T\}\} \] tels que

a) \(\varepsilon(a_{1})\) (\(=\Delta(\varphi_{*})\)) \(\in k^{*}\) (\(\varepsilon\colon\widehat{S}_{k}\to k\) l'augmentation)

b) \(2B_{i}=0\) ⌜\(\forall i\geq 1\)⌝, i.e. \(2b_{ij}=0\) \(\forall i\geq 1\), \(j\geq 0\).

On peut aussi l'écrire comme l'ens. des systèmes \((a_{jk})_{j\geq 1,k\geq 0}\), \((b_{ijk})_{i\geq 1,j\geq 0,k\geq 0}\) d'éléments de \(k\) (qui sont les coeff. des développements de \(a_{j}\) et \(b_{ij}\) comme séries à p.d. en \(T\)) avec les seules conditions \[ a_{10}\in k^{*},\qquad 2b_{ijk}=0. \] Pour \(k\) variable, le […] ⌜foncteur⌝ \(\Omega(k)\) est donc représentable par ⌜le schéma affine sur \(\mathbf{Z}\)⌝ \[ \mathbf{G}_{m,\mathbf{Z}}\times{}_{2}\mathbf{G}_{a}^{\mathbf{N}^{*}\times\mathbf{N}}\times{}_{2}\mathbf{G}_{a}^{\mathbf{N}^{*}\times\mathbf{N}\times\mathbf{N}} \] Lu tel qu'écrit : l'indice \(2\) devant le premier facteur \(\mathbf{G}_{a}\) (qui correspond aux \(a_{jk}\), \(j\geq 1\), sans condition hors \(a_{10}\)) est peut-être un trait parasite. \[ \Omega\simeq\operatorname{Spec}\Bigl(\mathbf{Z}\bigl[(A_{jk})_{j\geq 1,k\geq 0},\ (B_{ijk})_{i\geq 1,j\geq 0,k\geq 0}\bigr]\Bigr) \] modulo idéal engendré par les \(2B_{ijk}\) et localisé du plus p.r. à \(A_{1,0}\). Devant le crochet il trace un signe surmonté d'un point, sur le \(\mathbf{Z}\), que nous ne savons pas lire.

Ainsi \(\Omega\) peut être considéré comme un schéma en groupes sur \(\mathbf{Z}\), qui est le schéma des automorphismes du foncteur des \(\mathbf{Z}\)-algèbres vers les \(k\)-alg. diff. affinables ½simpliciales \(k\mapsto\widehat{\mathcal{A}}_{k*}\) (ou encore comme nous

179disons par abus de langage le schéma en groupes d'automorphismes de l'anneau différentiel ½simplicial \(\widehat{\mathcal{A}}_{\mathbf{Z}*}\)). On a un hom. de schémas en groupes \[ \Delta\colon\Omega\to\mathbf{G}_{m} \] et on a d'ailleurs une section évidente \[ \delta\colon\mathbf{G}_{m}\to\Omega \] (\(\delta(\lambda)=(A,(B_{i})_{i\geq 1})\) avec \(B_{i}=0\) \(\forall i\geq 1\), \[ A=\lambda X_{0}\quad\text{i.e.}\quad \varphi_{1}(X_{0})=\lambda X_{0},\ \text{d'où}\ \varphi_{1}(X_{1})=\lambda X_{1}, \] \[ \varphi_{0}(T)=\lambda T,\qquad \varphi_{n}(X_{i})=\lambda X_{i}\quad\forall\, 0\leq i\leq n). \] Ainsi \(\Omega\) est écrit un pr. semi-direct de \(\mathbf{G}_{m}\) et d'un groupe qui est […] unipotent fibre par fibre.

Si \(2\) est inversible ⌜dans \(k\)⌝, […] ou plus généralement […] significations dans les automorphismes de \(\widehat{\mathcal{A}}_{k*}\) respectent le degré extérieur, — donc leurs effets sur \(\operatorname{Hom}(X,\widehat{\mathcal{A}}_{k*})\) ⌜\(X\) ens. ½simpl.⌝ […] sur la coh., des opérations cohomologiques ne changeant […] le degré — i.e. de degré \(0\). Donc […] idées d'invariance […] que […] (se factorisant […] \(\Delta\)) : mult. par \(\lambda^{i}\) dans \(H^{i}\) \((\lambda\in k^{*})\) L'argument se poursuit au-delà de ce lot : la phrase est interrompue en bas de la page 179.