Fonds Grothendieck, cote n° 136, pages 141–160

Le yoga coalgèbres \mapsto Algèbres

titre encadré en tête de page : « Le yoga coalgèbres \mapsto Algèbres » ; il ouvre une suite continue jusqu'à la p. 151.

k anneau, on travaille dans le topos \widehat{C}, où C_k est la catégorie des k-algèbres. Le foncteur oubli C_k \longrightarrow \mathrm{Ens}, \qquad A \longmapsto A est un objet de \widehat{C}_k muni d'une structure de k-Algèbre, ~~foncteur vers les k-algèbres~~ noté \mathcal{O}_k. Si M est un k-module, V(M) (ou V_k(M)) désignera le ~~foncteur~~ \mathcal{O}_k-Module V(M)(A) = \operatorname{Hom}_{k\text{-mod}}(M, A) = \operatorname{Hom}_{A\text{-mod}}(M_A, A). V(M) dépend fonctoriellement de M, de façon contravariante, et on voit que V est un foncteur pl. fid. des k-modules vers les \mathcal{O}_k-Modules \operatorname{Hom}_k(M, N) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_k}(V(N), V(M)). De façon générale, comme V(N) est représentable par \operatorname{Sym}^*(N), les morphismes dans \widehat{C}_k V(N) \longrightarrow \text{\struck{$V(M), \operatorname{Sym}(B)$}}\ F \qquad (\text{où } F \in \operatorname{ob} \widehat{C}_k) correspondent aux éléments de F(\operatorname{Sym}^*(N)) : \operatorname{Hom}_{\widehat{C}_k}(V(N), F) \simeq F(\operatorname{Sym}^*(N)), en particulier si F = \operatorname{Spec} B \operatorname{Hom}_{\widehat{C}_k}(V(N), \operatorname{Spec} B) \simeq \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(B, \operatorname{Sym}^*(N)) ; en faisant B = \operatorname{Sym}^*(M) il vient \operatorname{Hom}_{\widehat{C}_k}(V(N), V(M)) \simeq \operatorname{Hom}_{k\text{-mod}}(M, \operatorname{Sym}^* N). Soit u^* : V(N) \longrightarrow V(M) correspondant à u : M \longrightarrow \operatorname{Sym}^*(N). On constate que u(x) = \sum u_i(x), \qquad u_i(x) \in \operatorname{Sym}^i(N) (la famille des u_i : M \longrightarrow \operatorname{Sym}^i(N) « loc. finie »), alors si on a \lambda \in \mathcal{O}_k(A) = A

et x^* \in V(N)(A) = \operatorname{Hom}_{k\text{-mod}}(N, A), u^*(x^*) = \widetilde{x^*} \circ u \in \operatorname{Hom}_{k\text{-mod}}(M, A), \qquad M \xrightarrow{\ u\ } \operatorname{Sym}^* N \xrightarrow{\ \widetilde{x^*}\ } A, où \widetilde{x^*} est l'hom. de k-alg. prolongeant x^*. On a donc u^*(x^*)(x) = \sum_{i \geqslant 0} \widetilde{x^*}^{\,i}(u_i(x)), \qquad x \in M (\widetilde{x^*}^{\,i} étant la restriction de x^* à \operatorname{Sym}^i N), d'où, si \lambda \in A, u^*(\lambda x^*)(x) = \sum_{i \geqslant 0} \lambda^i\, \widetilde{x^*}^{\,i}(u_i(x)) = \sum_{i \geqslant 0} \widetilde{x^*}^{\,i}(\lambda^i u_i(x)). Donc dans la correspondance entre u^* et u, A, de x^* la ~~multiplication~~ correspondance \lambda dans le \mathcal{O}_k-module N_A) correspond l'opération u = \sum u_i \longmapsto u^\lambda = \sum \lambda^i u_i . On en conclut que u^* est homogène de degré n (i.e. satisfait, pour A, \lambda variables, u^* \circ \lambda_{V(N)} = \lambda^n_{V(M)} \circ u^* \text{)} ssi tous les u_i pour i \neq n sont nuls, i.e. ssi u est un hom M \longrightarrow \operatorname{Sym}^n N. [En effet, il faut avoir \sum (\lambda^i - \lambda^n) u_i = 0 \forall A, \lambda \in A, prenant A = k[T] et \lambda = T, on doit avoir \sum (T^i - T^n) u_i(x) = 0, i.e. \sum (T^i - T^n) u_i(x) = 0 pour tout i \neq n, x \in M, n \neq i, d'où ~~u_i(x)~~ u_i(x) = 0

pour i \neq n, et (comme x arbitraire) u_i = 0 pour i \neq n.] Donc les morphismes homogènes de degré 1 de V(N) dans V(M) correspondent exactement aux homs de k-modules M \longrightarrow N (qui sont par suite nécessairement \mathcal{O}_k-linéaires !). Cela prouve en même temps la pleine fidélité.

On détermine de même les morphismes \prod_{i \in I} V(N_i) \longrightarrow F \qquad \text{\struck{$V(\textstyle\coprod_i N_i)$}} compte tenu de l'isom. évident \prod_{\alpha \in I} V(N_\alpha) \simeq V\Bigl(\bigoplus N_\alpha\Bigr) double trait vertical en marge gauche des deux lignes qui suivent. (de façon générale il est trivial que V transforme \varinjlim quelc. en \varprojlim). Dans le cas de F = V(M), cela correspond donc aux hom M \xrightarrow{\ u\ } \operatorname{Sym}^*\Bigl(\bigoplus N_\alpha\Bigr) = \bigotimes_\alpha \operatorname{Sym}^*(N_\alpha). Ici il y a lieu de décomposer M suivant les multidegrés i = (i_\alpha)_{\alpha \in I} \in \mathbb{N}^I, u(x) = \sum_{(i_\alpha)} \underbrace{u_{(i_\alpha)}(x)}_{\in\, \bigotimes_\alpha \operatorname{Sym}^{i_\alpha}(N_\alpha)}

on voit que si \lambda = (\lambda_\alpha) \in \mathcal{O}_k(A)^I, (x^*_\alpha) \in \bigl(\prod V(N_\alpha)\bigr)(A), u^*\bigl((\lambda_\alpha x^*_\alpha)_{\alpha \in I}\bigr) = (u^\lambda)^*(x^*_\alpha) i.e. u^* \prod_\alpha \lambda_{\alpha\, V(N_\alpha)} = (u^\lambda)^* , où ~~u^\lambda~~ u^\lambda = \sum_{(i_\alpha)} \Bigl(\prod_\alpha \lambda_\alpha^{i_\alpha}\Bigr) u_{(i_\alpha)} . Donc, si on se donne n = (n_\alpha)_{\alpha \in I} \in \mathbb{N}^I, u^* est multihomogène de multidegré n ssi c'est u : M \longrightarrow \bigotimes_\alpha \operatorname{Sym}^{n_\alpha}(N_\alpha). En particulier, si tous les n_\alpha sont égaux à 1, cela signifie que u^* est homogène de degré 1 en tous les arguments ssi u : M \longrightarrow \bigotimes_\alpha N_\alpha (en identifiant N_\alpha à \operatorname{Sym}^1 N_\alpha). Mais alors on constate tout de suite que u^* est multilinéaire (prouvant aussi du cas d'1 variable (« en fixant les autres »)). Donc les accouplements multil. \prod V(N_\alpha) \longrightarrow \text{\struck{\ill{}}}\ V(M) correspondent aux hom M \longrightarrow \bigotimes_\alpha N_\alpha , en particulier les accouplements bil. V(N) \times V(N') \longrightarrow V(M) correspondent aux hom M \longrightarrow N \otimes N' .

Faisant M = N = N', on trouve qu'une loi de composition bilinéaire sur V(M) correspond à un hom \Delta : M \longrightarrow M \otimes M à droite de la formule : « on dit que M devient une coalgèbre », la suite de la phrase biffée. (cf. aussi « application diagonale ») ; ~~on dit que~~ \Delta est associative, resp. ~~commutative~~, resp. ~~unitaire~~ si la loi de composition sur V(M) l'est. Cela s'explicite par les diagrammes bien connus. Pour l'unitarité, on note que e \in V(M)(k) s'identifie à une augmentation ou counité M \xrightarrow{\ \varepsilon\ } k (satisfaisant des conditions qu'on n'écrit pas, qui se définissent de façon unique). Par contre, une augmentation (ou multiplication) V(M) \to \mathcal{O}_k = V(k) correspond à un hom k \to M, i.e. à un élément de M (appelé unité) la condition ici est \Delta e = e \otimes e . Notons que par suite de la formule V\bigl(\varinjlim_i M_i\bigr) = \varprojlim_i V(M_i) (pour lim. d'indices quelc.), une lim. quelc. de coalgèbres est une coalgèbre, et les axiomes d'ass., d'unit., de comm.

passent à la limite.

Soit Z un ens. Une graduation de type Z de M est une décomposition en somme directe M \simeq \bigoplus_{\alpha \in Z} M_\alpha \qquad ((M_\alpha) \text{ sous-modules de } M) s'écrit aussi comme décomposition de V(M) en produit V(M) \simeq \prod_{\alpha \in Z} V(M_\alpha) (notations évidentes). Il est d'ailleurs commode ( de cela) les les M_* gradués, par Z comme des familles (M_\alpha)_{\alpha \in Z} de k-modules, donc V(M_*) comme la famille des V(M_\alpha) (\alpha \in Z).

Si Z est muni d'une structure de groupe abélien, alors la structure dite sur M revient à faire opérer le groupe diagonalisable de \widehat{C}_k D(Z) = G : A \longmapsto \operatorname{Hom}_{\mathrm{Ab}}(Z, A^*) \simeq \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(k(Z), A), G = \operatorname{Spec} k(Z) (k(Z) : algèbre de groupe) lin. sur M [ qu'on entend : sur W(M) : A \mapsto M \otimes A, au choix pour

en marge gauche, écrit en long et relié par une accolade au paragraphe suivant : « La donnée d'une telle \Delta revient à la donnée des \Delta_n : M_n \to \sum_{i+j=n} M_i \otimes M_j, i.e. de \prod_{i+j=n} V(M_i) \times V(M_j) \to V(M_{i+j}) », avec sous V(M_i) \times V(M_j) et V(M_{i+j}) les notations V(M)^i \times V(M)^j et « V(M)^n ». contragrédiente, sur V(M)].

Une structure de coalg. \Delta sur M est dite compatible avec la graduation, si \Delta : M \longrightarrow M \otimes M est compatible avec la « graduation totale » (\Delta(M_n) \subset \sum_{i+j=n} M_i \otimes M_j), ce qui revient au même, si la loi de composition sur V(M) est compatible avec les graduations, i.e. provient d'homs \underset{V(M)^i}{V(M_i)} \times \underset{V(M)^j}{V(M_j)} \longrightarrow \underset{V(M)^{i+j}}{V(M_{i+j})} . Il revient aussi au même de dire que la multiplication dans V(M) (donc la comultiplication de M) commute à l'action de G. NB dans ce pt de vue « familles de modules indexés par M_i », on tient compte que \Delta revient à se donner des \Delta^{(ij)} : M_{i+j} \to M_i \otimes M_j loc. finis : V(M)^i \times V(M)^j \to V(M)^{i+j} .

Bien sûr, les (resp. de coalgèbres graduées) correspondent aux des \mathcal{O}_k-Alg. correspondantes (éventuellement graduées).

Condition d'anticommutativité, lorsqu'on dispose d'un hom \text{\struck{\ill{}}}\ Z \longrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} (i.e. \mu_2 \to G) qui permet de déduire de la graduation de M une graduation de type \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, idem pour V(M).

en marge gauche, écrit en long : « signifie que le composé M^2 \xrightarrow{\Delta^{11}} M^1 \otimes M^1 \to \operatorname{Sym}^2 M^1 est nul (degré impair) » ; un trait le rattache à la condition x^2 = 0 ci-dessous. On dit ~~alors~~ que \Delta (ou la coalgèbre M) est anticommutative si la multiplication sur ~~V(M)~~ l'algèbre graduée ~~V(M) = V(M)^{\mathrm{pair}}~~ V(M) = V(M)^{\mathrm{pair}} \times V(M)^{\mathrm{impair}} l'est, i.e. si on a (pour x, y \in V(M)(A) homogènes mod 2) xy = (-1)^{\deg x \deg y}\, yx , i.e. xy = yx si x ou y est de degré pair , ~~xy = yx~~ xy = -yx i.e. xy + yx = 0 si l'un et l'autre de degré impair). On laisse au lecteur le soin de diagrammatiser cette condition.

On dit que \Delta (ou la coalgèbre M) est alternée si la multiplication de V(M) l'est, i.e. si on a pour x, y \in V(M)(A), homogènes mod 2, \begin{cases} xy = yx & \text{si } x \text{ ou } y \text{ de degré pair} \\ x^2 = 0 & \text{si } x \text{ de degré impair.} \end{cases} la condition x^2 = 0 est entourée. Comme, si x et y de degré impair, alterné \Rightarrow xy + yx = 0, donc x^2 = y^2 = (x+y)^2 = 0 , donc la coalgèbre associée l'Algèbre est anticomm., donc anticommutative. Bien sûr, alternance et anticommutativité la condition des coalgèbres se conservent par lim. quelc.

On définit les k-codérivations d'une coalgèbre, et les k-antidérivations (degré

supposé de degré impair, i.e. échangeant parité des degrés) pour des coalgèbres comme correspondant aux dérivations resp. antidérivations de la \mathcal{O}_k-Algèbre V(M) (soit graduée mod 2). On a donc que le crochet de deux dérivations est une dérivation, l'anticrochet de deux antidérivations est une antidérivation. On notera que si \partial (venant à un gr. de degrés quelc.) est un endom. de M et de degré \nu, alors l'endom. correspondant de V(M) est de degré -\nu — sauf si on change les degrés de signe par l'astuce \underset{V(M^{-i})}{V(M_i)} = V(M)^i = V(M)_{-i} . Mais pour les histoires de dérivation et antidérivation seul un degré mod 2 importe, donc il n'y a pas lieu de distinguer entre degré i et -i d'un endom. linéaire.

On traite de façon analogue les « coproduits divisés », ~~« » d'une coalgèbre~~ modules , sous-coalgèbre d'une coalgèbre Pour le faire avec la généralité qui convient (par seulement dans le cas comm., mais aussi le cas anticomm.) il faut d'abord disposer des résultats dans le cas pas « co », mais ordinaire.

Généralités sur coalg. et comodules

titre encadré en tête de page, de la main de Grothendieck. Soit s une k-coalg. (, ass., unit.) C un comodule (à g.) sur s,

donc V_k(C) est un Module (à g.) sur V_k(s) ; donc l'Alg. V_k(s) opère (à g.) sur V_k(C), donc l'algèbre V_k(s)(k) = s^k opère (à g.) sur V_k(C), donc à droite sur C. Donc C est un module (à droite) ordinaire sur s^k, et sa structure de k-module s'en déduit (par k \to s^k).

Quand peut-on récupérer la structure de comodule (à g.) sur s, connaissant la structure de module (à dr.) sur s^k ? [NB. il est clair que si on connaît la structure de module à dr. de C \otimes_k k' sur s^{k'} \forall k', alors on connaît la structure de comodule de C sur s ; de façon plus précise, une telle structure de comodule à g. revient à la donnée d'une structure de module, à droite de W(C) = (k' \longmapsto C \otimes_k k') \quad \text{sous} \quad V(s) = (k' \longmapsto s^{k'} = \operatorname{Hom}_{k\text{-mod}}(s, k')) \text{.]} Soit u \in s^k, u : s \to k, alors l'op. u_C de u sur C est le composé

\begin{tikzcd} C \arrow[r, "\Delta_C"] \arrow[rr, bend right=30, "u_C"'] & C \otimes s \arrow[r, "\mathrm{id}_C \otimes u"] & C \otimes k \simeq C \end{tikzcd}

donc la connaissance des u_C équivaut à la connaissance du composé C \xrightarrow{\ \Delta_C\ } C \otimes s \xrightarrow{\ \mathrm{id}_C \otimes u\ } \prod_{u \in s^k} C \otimes k et cela est bien si C \otimes s \longrightarrow \prod_{u \in s^k} C \otimes k est injectif.

Si C est plat sur k, et s \hookrightarrow k^I pour I convenable i.e. s \to k^{(s^k)} \bigl(x \mapsto (u(x))_{u \in s^k}\bigr) est injectif, alors C \otimes s \to C \otimes_s k^I est injectif, mais C \otimes_k k^{(I)} \longrightarrow (C \otimes_k k)^I = C^I \operatorname{Hom}(k^{(I)}, C) ce \operatorname{Hom} est écrit sous (C \otimes_k k)^I, relié par un signe d'égalité vertical. est-il injectif ? Oui, par passage à la limite inductive sur I, on se ramène au cas I fini // on conclut sans hypothèse de platitude sur C en supposant que s est libre sur k …

deux traits obliques en marge gauche. s = k[U] , \qquad s^k = k\{\{T\}\} \quad \text{structure de \uncertain{k-alg.\ ordinaire}} C = k[U][Y_0, \ldots, Y_n] = k[U, Y_0, \ldots, Y_n] , \qquad C^k = k\{\{T\}\}\{\{X_0, \ldots, X_n\}\} structure de k-alg. ordinaire qui est une s^k-alg.

C^k opère sur C par les T^{(i)} X_0^{(i_0)} \cdots X_n^{(i_n)} \quad \text{opérant par l'op.\ diff.} \quad D_U^{(i)} D_{Y_0}^{(i_0)} \cdots D_{Y_n}^{(i_n)} . NB Donc s^k opère par les D_U^{(i)}.

Remarque. Toutes ces opérations sont ~~nilpotentes~~ loc. nilpotentes, de façon précise si P \in C fixé, P de degré \leqslant n, si f \in C^k est d'ordre > n, alors D_f P = 0 fonction f \in s^k d’ordre > …

deux traits obliques en marge gauche. Supposons s k- coalgèbre cocommutative, unitaire, libre comme k-module, quelles sont les structures de s^k-Algèbres sur les k-modules C qui proviennent d'une structure de k-comodule ? i.e. comme s libre – cf. ci-dessus C \longrightarrow C \otimes_k s \hookrightarrow \operatorname{Hom}_k(s^k, C) \text{\struck{$C \otimes_k \operatorname{Hom}_k((s^k)^k, k)$}} \longrightarrow \operatorname{Hom}_k(s^k, C \otimes k) la dernière ligne est en partie biffée ; sous l'argument biffé on lit (s^k)^k. Le passage reste en suspens en bas de page.

On voit que dans OK ces \forall x \in C, l'application i_x : u \longmapsto u_C\, x , \qquad s^k \longrightarrow C est dans C \otimes_k s, i.e. en termes d'une base (e_\alpha)_{\alpha \in A} de s) on a une formule u_C\, x = \Bigl(\underbrace{\sum x_\alpha \otimes e_\alpha}_{\substack{\text{somme finie,} \\ x_\alpha \in C}}\Bigr)(u) = \sum u(e_\alpha)\, x_\alpha en posant, on pose u(e_\alpha) = u_\alpha \quad \text{dans} \quad u \longmapsto (u_\alpha)_{\alpha \in A} ,\ s^k \simeq k^A , u . x = \sum u_\alpha x_\alpha . triple trait vertical en marge gauche des trois lignes qui suivent. Cela signifie aussi que u \mapsto u.x est continue pour la top. discrète sur C et la top. de convergence simple sur s^k. On en conclut que s^k \longrightarrow \operatorname{Hom}_k(C, C) est continu, quand on met dans les deux cas la top. de conv. simple-discrète …

Supposons maintenant que s soit graduée = \sum s_n (graduée \Delta) donc s^k gradué, s^k = \prod_{n \in \mathbb{Z}} {s_n}^k = \prod_{n \in \mathbb{Z}} (s^k)_n . sous le dernier membre, une accolade porte « déf ». Soit C = \sum C_m comodule gradué — donc … C^k = \prod (C_m)^k = \prod (C^k)_m ~~comodule~~ gradué sur s^k = \prod (s^k)_n = \prod ({s_n}^k). Alors ~~si u \in s^k~~ si u \in (s^k)_n, (u_C)^k : V(C_m) \to V(C_{m+n}), donc u_C : C_{m+n} \to C_m i.e. u_C diminue les degrés de n ! (Pour qu'il les augmente il faudrait changer de signe les degrés de C ou plutôt exiger que V(C)^m \overset{\mathrm{def}}{=} V(C_{-m}) …)

Donc la catégorie des s-comodules gradués équivaut à la catégorie des s^k-modules gradués C qui sont « loc. nilpotents » i.e. tels que \forall x \in C, u \mapsto u.x de s^k dans C soit continue pour la top. simple sur s^k (= top. produit sur k^A).

notes de sa main dans la marge d'un feuillet dactylographié retourné ; elles reprennent le calcul de la p. 156. \text{\struck{\ill{}}}\ (s^k)^n = (s_{-n})^k u : \underset{V(C_{-m})}{V(C_m)^m} \longrightarrow \underset{V(C_{-m-n})}{V(C)^{m+n}} la suite de ces notes manque dans le lot ; l'argument se poursuit au-delà de la p. 160.