Cote n° 136, pages 141–160

Cote n° 136 · batch 8 · pages 141–160 · Transcription · Complexe de De Rham à puissance divisée [conférence de 1976 à l’IHÉS] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1975-1976]
Édition de démonstration

Le yoga coalgèbres $\mapsto$ Algèbres

143titre encadré en tête de page : « Le yoga coalgèbres $\mapsto$ Algèbres […] » ; il ouvre une suite continue jusqu'à la p. 151.

$k$ anneau, on travaille dans le topos $\widehat{C}$, où $C_k$ est la catégorie des $k$-algèbres. Le foncteur oubli \[ C_k \longrightarrow \mathrm{Ens}, \qquad A \longmapsto A \] est un objet de $\widehat{C}_k$ muni d'une structure de $k$-Algèbre, foncteur vers les $k$-algèbres noté $\mathcal{O}_k$. Si $M$ est un $k$-module, $V(M)$ (ou $V_k(M)$) désignera le foncteur $\mathcal{O}_k$-Module \[ V(M)(A) = \operatorname{Hom}_{k\text{-mod}}(M, A) = \operatorname{Hom}_{A\text{-mod}}(M_A, A). \] $V(M)$ dépend fonctoriellement de $M$, de façon contravariante, et on voit que $V$ est un foncteur pl. fid. des $k$-modules vers les $\mathcal{O}_k$-Modules \[ \operatorname{Hom}_k(M, N) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_k}(V(N), V(M)). \] De façon générale⌜, comme $V(N)$ est représentable par $\operatorname{Sym}^*(N)$,⌝ les morphismes dans $\widehat{C}_k$ \[ V(N) \longrightarrow \text{\struck{$V(M), \operatorname{Sym}(B)$}}\ F \qquad (\text{où } F \in \operatorname{ob} \widehat{C}_k) \] correspondent aux éléments de $F(\operatorname{Sym}^*(N))$ : \[ \operatorname{Hom}_{\widehat{C}_k}(V(N), F) \simeq F(\operatorname{Sym}^*(N)), \] en particulier si $F = \operatorname{Spec} B$ \[ \operatorname{Hom}_{\widehat{C}_k}(V(N), \operatorname{Spec} B) \simeq \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(B, \operatorname{Sym}^*(N)) ; \] en faisant $B = \operatorname{Sym}^*(M)$ il vient \[ \operatorname{Hom}_{\widehat{C}_k}(V(N), V(M)) \simeq \operatorname{Hom}_{k\text{-mod}}(M, \operatorname{Sym}^* N). \] Soit \[ u^* : V(N) \longrightarrow V(M) \] correspondant à \[ u : M \longrightarrow \operatorname{Sym}^*(N). \] On constate que […] \[ u(x) = \sum u_i(x), \qquad u_i(x) \in \operatorname{Sym}^i(N) \] (la famille des […] \[ u_i : M \longrightarrow \operatorname{Sym}^i(N) \] […] « loc. finie »), alors si on a $\lambda \in \mathcal{O}_k(A) = A$

144et $x^* \in V(N)(A) = \operatorname{Hom}_{k\text{-mod}}(N, A)$, \[ u^*(x^*) = \widetilde{x^*} \circ u \in \operatorname{Hom}_{k\text{-mod}}(M, A), \qquad M \xrightarrow{\ u\ } \operatorname{Sym}^* N \xrightarrow{\ \widetilde{x^*}\ } A, \] où $\widetilde{x^*}$ est l'hom. de $k$-alg. prolongeant $x^*$. On a donc \[ u^*(x^*)(x) = \sum_{i \geqslant 0} \widetilde{x^*}^{\,i}(u_i(x)), \qquad x \in M \] ($\widetilde{x^*}^{\,i}$ étant la restriction de $x^*$ à $\operatorname{Sym}^i N$), d'où, si $\lambda \in A$, \[ u^*(\lambda x^*)(x) = \sum_{i \geqslant 0} \lambda^i\, \widetilde{x^*}^{\,i}(u_i(x)) = \sum_{i \geqslant 0} \widetilde{x^*}^{\,i}(\lambda^i u_i(x)). \] Donc dans la correspondance entre $u^*$ et $u$, […] $A$, […] de […] $x^*$ […] la multiplication ⌜correspondance⌝ […] […] $\lambda$ dans le $\mathcal{O}_k$-module […] […] $N_A$) correspond l'opération \[ u = \sum u_i \longmapsto u^\lambda = \sum \lambda^i u_i . \] On en conclut que $u^*$ est homogène de degré $n$ (i.e. satisfait, pour $A$, $\lambda$ variables, \[ u^* \circ \lambda_{V(N)} = \lambda^n_{V(M)} \circ u^* \text{)} \] ssi tous les $u_i$ pour $i \neq n$ sont nuls, i.e. ssi $u$ est un hom \[ M \longrightarrow \operatorname{Sym}^n N. \] [En effet, il faut avoir $\sum (\lambda^i - \lambda^n) u_i = 0$ $\forall A$, $\lambda \in A$, prenant $A = k[T]$ et $\lambda = T$, on doit avoir $\sum (T^i - T^n) u_i(x) = 0$, i.e. $\sum (T^i - T^n) u_i(x) = 0$ pour tout $i \neq n$, $x \in M$, $n \neq i$, d'où $u_i(x)$ $u_i(x) = 0$

145pour $i \neq n$, et (comme $x$ arbitraire) $u_i = 0$ pour $i \neq n$.] Donc les […] ⌜morphismes⌝ homogènes de degré $1$ de $V(N)$ dans $V(M)$ correspondent exactement aux homs de $k$-modules \[ M \longrightarrow N \] (qui sont par suite nécessairement $\mathcal{O}_k$-linéaires !). Cela prouve en même temps la pleine fidélité.

On détermine de même les morphismes \[ \prod_{i \in I} V(N_i) \longrightarrow F \qquad \text{\struck{$V(\textstyle\coprod_i N_i)$}} \] compte tenu de l'isom. évident \[ \prod_{\alpha \in I} V(N_\alpha) \simeq V\Bigl(\bigoplus N_\alpha\Bigr) \] double trait vertical en marge gauche des deux lignes qui suivent. (de façon générale il est trivial que $V$ transforme $\varinjlim$ quelc. en $\varprojlim$). Dans le cas de $F = V(M)$, cela correspond donc aux hom \[ M \xrightarrow{\ u\ } \operatorname{Sym}^*\Bigl(\bigoplus N_\alpha\Bigr) = \bigotimes_\alpha \operatorname{Sym}^*(N_\alpha). \] Ici il y a lieu de décomposer $M$ suivant les multidegrés $i = (i_\alpha)_{\alpha \in I} \in \mathbb{N}^I$, \[ u(x) = \sum_{(i_\alpha)} \underbrace{u_{(i_\alpha)}(x)}_{\in\, \bigotimes_\alpha \operatorname{Sym}^{i_\alpha}(N_\alpha)} \]

146[…] on voit que si $\lambda = (\lambda_\alpha) \in \mathcal{O}_k(A)^I$, $(x^*_\alpha) \in \bigl(\prod V(N_\alpha)\bigr)(A)$, \[ u^*\bigl((\lambda_\alpha x^*_\alpha)_{\alpha \in I}\bigr) = (u^\lambda)^*(x^*_\alpha) \] i.e. \[ u^* \prod_\alpha \lambda_{\alpha\, V(N_\alpha)} = (u^\lambda)^* , \] où $u^\lambda$ \[ u^\lambda = \sum_{(i_\alpha)} \Bigl(\prod_\alpha \lambda_\alpha^{i_\alpha}\Bigr) u_{(i_\alpha)} . \] Donc, si on se donne $n = (n_\alpha)_{\alpha \in I} \in \mathbb{N}^I$, $u^*$ est multihomogène de ⌜multi⌝degré $n$ ssi c'est […] \[ u : M \longrightarrow \bigotimes_\alpha \operatorname{Sym}^{n_\alpha}(N_\alpha). \] En particulier, si tous les $n_\alpha$ sont égaux à $1$, cela signifie que $u^*$ est homogène de degré $1$ en tous les arguments ssi \[ u : M \longrightarrow \bigotimes_\alpha N_\alpha \] (en identifiant $N_\alpha$ à $\operatorname{Sym}^1 N_\alpha$). Mais alors on constate tout de suite que $u^*$ est ⌜[…]⌝ multilinéaire (prouvant aussi […] […] […] du cas d'$1$ variable (« en fixant les autres »)). Donc les accouplements multil. \[ \prod V(N_\alpha) \longrightarrow \text{\struck{\ill{}}}\ V(M) \] correspondent aux hom \[ M \longrightarrow \bigotimes_\alpha N_\alpha , \] en particulier les accouplements bil. \[ V(N) \times V(N') \longrightarrow V(M) \] correspondent aux hom \[ M \longrightarrow N \otimes N' . \]

147Faisant $M = N = N'$, on trouve qu'une loi de composition bilinéaire sur $V(M)$ correspond à un hom \[ \Delta : M \longrightarrow M \otimes M \] à droite de la formule : « on dit que $M$ devient une ⌜coalgèbre⌝ », la suite de la phrase biffée. (cf. aussi « application diagonale ») ; on dit que $\Delta$ est associative, ⌜resp.⌝ commutative, ⌜resp.⌝ unitaire si la loi de composition sur $V(M)$ l'est. […] Cela s'explicite par les diagrammes bien connus. Pour l'unitarité, on note que $e \in V(M)(k)$ s'identifie à une augmentation ou counité \[ M \xrightarrow{\ \varepsilon\ } k \] (satisfaisant des conditions qu'on n'écrit pas, qui se définissent de façon unique). Par contre, une augmentation (ou multiplication) $V(M) \to \mathcal{O}_k = V(k)$ correspond à un hom $k \to M$, i.e. à un élément de $M$ (appelé unité) la condition ici est \[ \Delta e = e \otimes e . \] Notons que par suite de la formule \[ V\bigl(\varinjlim_i M_i\bigr) = \varprojlim_i V(M_i) \] (pour […] ⌜lim.⌝ d'indices quelc.), une lim. quelc. de coalgèbres est une coalgèbre, et les […] ⌜axiomes⌝ d'ass., d'unit., de comm.

148passent à la limite.

Soit […] $Z$ un ens. Une graduation de type $Z$ de $M$ est une décomposition en somme directe \[ M \simeq \bigoplus_{\alpha \in Z} M_\alpha \qquad ((M_\alpha) \text{ sous-modules de } M) \] […] s'écrit aussi comme décomposition de $V(M)$ en produit \[ V(M) \simeq \prod_{\alpha \in Z} V(M_\alpha) \] (notations évidentes). Il est d'ailleurs commode ⌜([…] […] de cela)⌝ […] ⌜les⌝ […] les ⌜$M_*$ gradués⌝, par $Z$ comme des familles $(M_\alpha)_{\alpha \in Z}$ de $k$-modules, donc $V(M_*)$ comme la famille des $V(M_\alpha)$ $(\alpha \in Z)$.

Si $Z$ est muni d'une structure de groupe abélien, alors la structure dite sur $M$ revient à faire opérer le groupe diagonalisable de $\widehat{C}_k$ \[ D(Z) = G : A \longmapsto \operatorname{Hom}_{\mathrm{Ab}}(Z, A^*) \simeq \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(k(Z), A), \] \[ G = \operatorname{Spec} k(Z) \] ($k(Z)$ : algèbre de groupe) ⌜lin. sur⌝ $M$ [[…] […] qu'on entend : sur $W(M) : A \mapsto M \otimes A$, […] au choix pour

149en marge gauche, écrit en long et relié par une accolade au paragraphe suivant : « La donnée d'une telle $\Delta$ revient à la donnée des $\Delta_n : M_n \to \sum_{i+j=n} M_i \otimes M_j$, i.e. de $\prod_{i+j=n} V(M_i) \times V(M_j) \to V(M_{i+j})$ », avec sous $V(M_i) \times V(M_j)$ et $V(M_{i+j})$ les notations $V(M)^i \times V(M)^j$ et « $V(M)^n$ ». contragrédiente, sur $V(M)$].

Une structure de coalg. $\Delta$ sur $M$ est dite compatible avec la graduation, si \[ \Delta : M \longrightarrow M \otimes M \] est compatible avec la « graduation totale » ($\Delta(M_n) \subset \sum_{i+j=n} M_i \otimes M_j$), ce qui revient au même, si la loi de composition sur $V(M)$ est compatible avec les graduations, i.e. provient d'homs \[ \underset{V(M)^i}{V(M_i)} \times \underset{V(M)^j}{V(M_j)} \longrightarrow \underset{V(M)^{i+j}}{V(M_{i+j})} . \] Il revient aussi au même de dire que la multiplication dans $V(M)$ (donc la comultiplication de $M$) commute à l'action de $G$. NB dans ce pt de vue « familles de modules indexés par $M_i$ », on tient compte que […] $\Delta$ […] revient à se donner des $\Delta^{(ij)} : M_{i+j} \to M_i \otimes M_j$ […] […] loc. finis […] : $V(M)^i \times V(M)^j \to V(M)^{i+j}$ […] […].

Bien sûr, les […] (resp. de coalgèbres graduées) correspondent aux […] des $\mathcal{O}_k$-Alg. correspondantes (éventuellement graduées).

Condition d'anticommutativité, lorsqu'on dispose d'un hom \[ \text{\struck{\ill{}}}\ Z \longrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \] (i.e. $\mu_2 \to G$) qui permet de […] ⌜déduire de la graduation de $M$ une⌝ graduation de type $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, idem pour $V(M)$.

150en marge gauche, écrit en long : « signifie que le composé $M^2 \xrightarrow{\Delta^{11}} M^1 \otimes M^1 \to \operatorname{Sym}^2 M^1$ est nul (degré impair) » ; un trait le rattache à la condition $x^2 = 0$ ci-dessous. On dit alors que $\Delta$ (ou la coalgèbre $M$) est anticommutative si […] la multiplication sur $V(M)$ l'algèbre graduée $V(M) = V(M)^{\mathrm{pair}}$ \[ V(M) = V(M)^{\mathrm{pair}} \times V(M)^{\mathrm{impair}} \] l'est, i.e. si on a (pour $x, y \in V(M)(A)$ homogènes mod $2$) \[ xy = (-1)^{\deg x \deg y}\, yx , \] i.e. $xy = yx$ si $x$ ou $y$ ⌜est de degré pair⌝ […], $xy = yx$ $xy = -yx$ i.e. $xy + yx = 0$ si l'un et l'autre de degré impair). On laisse au lecteur le soin de diagrammatiser cette condition.

On dit que $\Delta$ (ou la coalgèbre $M$) est alternée si la multiplication de $V(M)$ l'est, i.e. si on a pour […] $x, y \in V(M)(A)$, homogènes mod $2$, […] \[ \begin{cases} xy = yx & \text{si } x \text{ ou } y \text{ de degré pair} \\ x^2 = 0 & \text{si } x \text{ de degré impair.} \end{cases} \] la condition $x^2 = 0$ est entourée. Comme, si $x$ et $y$ de degré impair, alterné $\Rightarrow$ $xy + yx = 0$, donc \[ x^2 = y^2 = (x+y)^2 = 0 , \] […] donc ⌜[…]⌝ la coalgèbre associée […] l'Algèbre est anticomm., donc […] anticommutative. Bien sûr, alternance et anticommutativité ⌜la condition⌝ […] ⌜[…]⌝ des […] […] coalgèbres se conservent par lim. quelc.

On définit les $k$-⌜co⌝dérivations d'une coalgèbre, et les $k$-antidérivations (degré

151supposé de degré impair, i.e. échangeant parité des degrés) pour des coalgèbres […] comme correspondant aux dérivations resp. antidérivations de la $\mathcal{O}_k$-Algèbre $V(M)$ (soit graduée mod $2$). On a donc que le crochet de deux dérivations est une dérivation, l'anticrochet de deux antidérivations est une antidérivation. On notera que si $\partial$ (venant à un gr. de degrés quelc.) est un endom. de $M$ et de degré $\nu$, alors l'endom. correspondant de $V(M)$ est de degré $-\nu$ — sauf si on change les degrés ⌜de signe⌝ […] par l'astuce \[ \underset{V(M^{-i})}{V(M_i)} = V(M)^i = V(M)_{-i} . \] Mais pour les histoires de dérivation ⌜et antidérivation⌝ […] seul un degré mod $2$ importe, donc il n'y a pas lieu de distinguer entre degré $i$ et $-i$ d'un endom. linéaire.

On traite de façon analogue les « coproduits divisés », […] « […] » d'une coalgèbre ⌜modules […], sous-coalgèbre d'une⌝ coalgèbre […] Pour le faire avec la généralité qui convient (par seulement dans le cas comm., […] mais aussi le cas anticomm.) il faut d'abord disposer des résultats dans le cas pas « co », mais ordinaire.

Généralités sur coalg. et comodules

152titre encadré en tête de page, de la main de Grothendieck. Soit $s$ une $k$-coalg. ([…], ass., unit.) $C$ un comodule ⌜(à g.)⌝ sur $s$,

donc $V_k(C)$ est un Module ⌜(à g.)⌝ sur $V_k(s)$ ; […] donc ⌜l'Alg.⌝ $V_k(s)$ opère ⌜(à g.)⌝ sur $V_k(C)$, donc l'algèbre $V_k(s)(k) = s^k$ opère ⌜(à g.)⌝ sur $V_k(C)$, donc ⌜à droite⌝ sur $C$. Donc $C$ est un module ⌜(à droite)⌝ ordinaire sur $s^k$, et sa structure de $k$-module s'en déduit (par $k \to s^k$).

Quand peut-on récupérer la structure de comodule ⌜(à g.)⌝ sur $s$, connaissant la structure de module ⌜(à dr.)⌝ sur $s^k$ ? [NB. il est clair que si on connaît la structure de […] module ⌜à dr.⌝ de $C \otimes_k k'$ sur $s^{k'}$ $\forall k'$, alors on connaît la structure de comodule de $C$ sur $s$ ; de façon plus précise, une telle structure de comodule ⌜à g.⌝ revient à la donnée d'une structure de module, ⌜à droite⌝ de \[ W(C) = (k' \longmapsto C \otimes_k k') \quad \text{sous} \quad V(s) = (k' \longmapsto s^{k'} = \operatorname{Hom}_{k\text{-mod}}(s, k')) \text{.]} \] Soit $u \in s^k$, $u : s \to k$, alors l'op. $u_C$ de $u$ sur $C$ est le composé

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\begin{tikzcd}
C \arrow[r, "\Delta_C"] \arrow[rr, bend right=30, "u_C"'] & C \otimes s \arrow[r, "\mathrm{id}_C \otimes u"] & C \otimes k \simeq C
\end{tikzcd}

donc la connaissance des $u_C$ équivaut à la connaissance du composé \[ C \xrightarrow{\ \Delta_C\ } C \otimes s \xrightarrow{\ \mathrm{id}_C \otimes u\ } \prod_{u \in s^k} C \otimes k \] et cela est bien si \[ C \otimes s \longrightarrow \prod_{u \in s^k} C \otimes k \] est injectif.

154Si $C$ est plat sur $k$, et $s \hookrightarrow k^I$ pour $I$ convenable i.e. $s \to k^{(s^k)}$ $\bigl(x \mapsto (u(x))_{u \in s^k}\bigr)$ est injectif, alors $C \otimes s \to C \otimes_s k^I$ est injectif, mais \[ C \otimes_k k^{(I)} \longrightarrow (C \otimes_k k)^I = C^I \] \[ \operatorname{Hom}(k^{(I)}, C) \] ce $\operatorname{Hom}$ est écrit sous $(C \otimes_k k)^I$, relié par un signe d'égalité vertical. est-il injectif ? Oui, par passage à la limite inductive sur $I$, on se ramène au cas $I$ fini // […] on conclut sans hypothèse de platitude sur $C$ en supposant que $s$ est libre sur $k$ …

deux traits obliques en marge gauche. \[ s = k[U] , \qquad s^k = k\{\{T\}\} \quad \text{structure de \uncertain{k-alg.\ ordinaire}} \] \[ C = k[U][Y_0, \ldots, Y_n] = k[U, Y_0, \ldots, Y_n] , \qquad C^k = k\{\{T\}\}\{\{X_0, \ldots, X_n\}\} \] structure de $k$-alg. ordinaire qui est une $s^k$-alg.

$C^k$ opère sur $C$ par les \[ T^{(i)} X_0^{(i_0)} \cdots X_n^{(i_n)} \quad \text{opérant par l'op.\ diff.} \quad D_U^{(i)} D_{Y_0}^{(i_0)} \cdots D_{Y_n}^{(i_n)} . \] NB Donc $s^k$ opère par les $D_U^{(i)}$.

Remarque. Toutes ces opérations sont nilpotentes ⌜loc.⌝ nilpotentes, de façon précise si $P \in C$ fixé, $P$ de degré $\leqslant n$, si $f \in C^k$ est d'ordre $> n$, alors $D_f P = 0$ […] fonction […] $f \in s^k$ d’ordre > …

deux traits obliques en marge gauche. Supposons $s$ $k$-[…] coalgèbre cocommutative, unitaire, libre comme $k$-module, quelles sont les structures de $s^k$-Algèbres sur ⌜les $k$-modules⌝ $C$ qui proviennent d'une structure de $k$-comodule ? ⌜i.e. comme $s$ libre – cf. ci-dessus⌝ \[ C \longrightarrow C \otimes_k s \hookrightarrow \operatorname{Hom}_k(s^k, C) \] \[ \text{\struck{$C \otimes_k \operatorname{Hom}_k((s^k)^k, k)$}} \longrightarrow \operatorname{Hom}_k(s^k, C \otimes k) \] la dernière ligne est en partie biffée ; sous l'argument biffé on lit $(s^k)^k$. Le passage reste en suspens en bas de page.

156On voit que dans OK ces $\forall x \in C$, l'application \[ i_x : u \longmapsto u_C\, x , \qquad s^k \longrightarrow C \] est dans $C \otimes_k s$, […] i.e. en termes d'une base $(e_\alpha)_{\alpha \in A}$ de $s$) on a une formule \[ u_C\, x = \Bigl(\underbrace{\sum x_\alpha \otimes e_\alpha}_{\substack{\text{somme finie,} \\ x_\alpha \in C}}\Bigr)(u) = \sum u(e_\alpha)\, x_\alpha \] en posant, on pose \[ u(e_\alpha) = u_\alpha \quad \text{dans} \quad u \longmapsto (u_\alpha)_{\alpha \in A} ,\ s^k \simeq k^A , \] \[ u . x = \sum u_\alpha x_\alpha . \] triple trait vertical en marge gauche des trois lignes qui suivent. Cela signifie aussi que $u \mapsto u.x$ est continue pour la top. discrète sur $C$ et la top. de convergence simple sur $s^k$. On en conclut que \[ s^k \longrightarrow \operatorname{Hom}_k(C, C) \] est continu, quand on met dans les deux cas la top. de conv. simple-discrète …

Supposons maintenant que $s$ soit graduée ⌜$= \sum s_n$⌝ (graduée $\Delta$) donc $s^k$ gradué, \[ s^k = \prod_{n \in \mathbb{Z}} {s_n}^k = \prod_{n \in \mathbb{Z}} (s^k)_n . \] sous le dernier membre, une accolade porte « déf ». Soit $C$ ⌜$= \sum C_m$⌝ comodule gradué — donc … $C^k = \prod (C_m)^k = \prod (C^k)_m$ comodule gradué sur $s^k = \prod (s^k)_n = \prod ({s_n}^k)$. Alors si $u \in s^k$ si $u \in (s^k)_n$, $(u_C)^k : V(C_m) \to V(C_{m+n})$, donc $u_C : C_{m+n} \to C_m$ i.e. $u_C$ diminue les degrés de $n$ ! (Pour qu'il les augmente il faudrait changer de signe les degrés de $C$ […] ⌜ou⌝ plutôt exiger que $V(C)^m \overset{\mathrm{def}}{=} V(C_{-m})$ …)

158Donc la catégorie des $s$-comodules gradués équivaut à la catégorie des $s^k$-modules gradués $C$ […] qui sont « […] loc. nilpotents » i.e. tels que $\forall x \in C$, $u \mapsto u.x$ de $s^k$ dans $C$ soit continue pour la top. simple sur $s^k$ ($=$ top. produit sur $k^A$).

159notes de sa main dans la marge d'un feuillet dactylographié retourné ; elles reprennent le calcul de la p. 156. \[ \text{\struck{\ill{}}}\ (s^k)^n = (s_{-n})^k \] \[ u : \underset{V(C_{-m})}{V(C_m)^m} \longrightarrow \underset{V(C_{-m-n})}{V(C)^{m+n}} \] la suite de ces notes manque dans le lot ; l'argument se poursuit au-delà de la p. 160.

Le yoga coalgèbres \(\mapsto\) Algèbres

Généralités sur coalg. et comodules