Fonds Grothendieck, cote n° 136, pages 81–100

la phrase commence sur la page précédente, hors de ce lot est un isomorphisme en cohomologie (en bidegré (i,j) avec j\leq i), tandis que la coh. du premier membre est nulle pour j>i.

On peut l'exprimer comme un isomorphisme du avec un certain du second…

Fonctorialités. a) en k, clair.

b) En u . Soit u'\colon L\longrightarrow\Phi' une deuxième immersion ; s'il existe un hom. \lambda\colon\Phi\to\Phi' rendant commutatif

\begin{tikzcd} & L \arrow[dl, "u"'] \arrow[dr, "{u'}"] & \\ \Phi \arrow[rr, "\lambda"'] & & {\Phi'} \end{tikzcd}

i.e. \lambda u=u', on en conclut \bar\lambda\colon K^{\cdot\cdot}_{u}\to K^{\cdot\cdot}_{u'} et \bar\lambda_{h}\colon K^{\cdot\cdot}_{u,h}\to K^{\cdot\cdot}_{u',h}, compatible avec les structures, qui est un isom. dans telle catégorie dérivée, et le reste après application de \Gamma(X,-) ou de f_{*}.

Supposons qu'on ait un autre, soit \mu, tel que \mu u=u', donc, posant \mu=\lambda+\Theta, on trouve \Theta u=0 la page s'arrête ici

K^{\cdot\cdot} Algèbre de \mathrm{DR} à p.d. élémentaire

a) Anneau bigradué, alterné pour « deg. ext » \surd

b) à bidegré \geq0

Structure à p.d. sur l'idéal \sum\limits_{i+j>0}K^{ij}

c) différentielle d'Anneau gradué (pour le grad. ext) en changeant pour le degré total, etc. comp. avec p.d.

d) d\colon K^{1,0}=\Phi\longrightarrow K^{11}=\Psi est un épi.

e) Posant k=K^{00}, K^{**} est l'algèbre alternée à p.d. libre engendrée par \Phi et \Psi, i.e. K^{**}\simeq\Gamma^{*}\Phi\otimes \bigwedge^{*}\Psi [Il en résulte que K^{ij}=0 si j>i]

f) ~~Mono-plat~~ \Phi et \Psi sont k-plats

(donc aussi L=\operatorname{Ker}d=\mathcal{H}^{1\,0}(K^{\cdot\cdot}))

Il résulte déjà de ceci que H^{*i}(K^{\cdot\cdot})= \begin{cases} \Gamma^{*}L & \text{si } i=0\\ 0 & \text{si } i>0 \end{cases} donc que K^{\cdot\cdot} est une résolution de \Gamma^{*}L. On va supposer le plus souvent

g) L est un k-Module ~~inversible~~ loc. libre de rang 1.

(voire libre de rang 1 et trivialisé…)

~~Soient K^{\cdot\cdot} et K'^{\cdot\cdot}~~

Finalement, la donnée de K^{\cdot\cdot} équivaut à celle de

\alpha) k, Anneau commutatif sur X

\beta) L, k-Module plat (voire inversible, voire k lui-même…)

\gamma) Une immersion de L dans un k-module \Phi, u\colon L\to\Phi.

Soit de même K'^{\cdot\cdot} défini par (k',L',\Phi',u'). La donnée d'un hom. \lambda de K^{\cdot\cdot} dans K'^{\cdot\cdot}, compatible avec les structures, équivaut à la donnée d'un système d'hom. k\xrightarrow{\ \lambda_{0}\ }k'\qquad\text{hom.\ d'Anneaux} ~~K^{\cdot\cdot}\to K'^{\cdot\cdot}~~ \Phi\xrightarrow{\ \lambda_{\Phi}\ }\Phi' hom. \lambda_{0}-½linéaire avec \lambda_{\Phi}(u(L))\subset u'(L'), donc \lambda_{\Phi} induit un hom. (\lambda_{0}-½linéaire) « ½linéaire » : semi-linéaire, au-dessus de \lambda_{0}

\begin{tikzcd} L \arrow[r, "\lambda_{L}"] \arrow[d] & {L'} \arrow[d] \\ \Phi \arrow[r] & {\Phi'} \end{tikzcd}

un premier tracé du même carré, à gauche, est biffé

Dans le cas L\simeq k, L'\simeq k' donnés, on peut oublier L,L' et retenir \Phi,\Phi' avec sections marquées, et la condition sur \lambda_{\Phi}

devient donc de transformer section marquée en section marquée.

Supposons qu'on ait deux hom. \lambda,\mu, correspondant : un k\xrightarrow{\lambda_{0}=\mu_{0}}k' et deux hom. \Phi\overset{\lambda_{\Phi},\,\mu_{\Phi}}{\rightrightarrows}\Phi' (ayant même effet sur la section marquée). Que peut-on dire des hom. \lambda,\mu de K^{\cdot\cdot} dans K'^{\cdot\cdot} ?

X, topos

k Anneau sur X

k\overset{u}{\hookrightarrow}\Phi mono dans k-Modules, avec \begin{cases} \text{(a)}\ \Psi=\operatorname{Coker}u\ \ k\text{-plat}\\ \text{(b)}\ \forall\ k\text{-modules } N, M,\ \text{et } i>0,\\ \qquad\Gamma^{i}(N\otimes_{k}\Phi)\otimes M\ \text{est flasque} \end{cases}

Lemme. \forall k-module N, \exists homom. N\xrightarrow{u_{N}}\check N, qui est un k-mono « universel » (vérifiant mêmes propriétés ) satisfaisant N : (a) plat \Rightarrow \operatorname{Coker}u_{N} plat, et (b') \forall i>0, et k-modules N, M \Gamma^{i}_{k}\bigl(\check N\,\text{\struck{$\otimes_{k}\Phi$}}\bigr)\otimes_{k}M \quad\text{flasque} On prend \check N=\Phi\otimes_{k}N, u_{N}=u\otimes\mathrm{id}_{N}, donc (a) résulte de (a), et (b') de (b).

\mathcal{DR}^{**}_{pd}( k,u)=\Gamma^{*}(\Phi)\otimes_{k}\bigwedge^{*}\Psi Algèbre bigraduée (degré complet + alternée pour deg. ext), augm. cat. degré total) (différentielle à p.d. sur idéal des bi-degrés >0…) — résolution de k\{T\} (où deg ext T=0, deg tot T=1) lecture des indices de degré incertaine

\mathrm{DR}^{**}_{pd}(k,u)=\Gamma\bigl(X,\mathcal{DR}^{**}_{pd}(k,u)\bigr).

Soit \mathbb{DR}^{**} la cat. des anneaux bigradués (à deg \geq0) alternés, diff. à p.d. ~~anticommutatifs, engendrés par bidegré (1,0)~~, avec élément de degré (1,0) … On a défini un système transitif d'isom. dans \mathbb{DR}^{**} entre les \mathrm{DR}^{**}_{pd}(k,u), pour k fixé et u variable.

N.B. hom. pour

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \Phi \arrow[d, "\lambda"] \\ k \arrow[ur, "u"] \arrow[r, "{u'}"'] & {\Phi'} \end{tikzcd}

d'où \lambda^{**}\colon\mathrm{DR}^{**}_{pd}(k,u)\to\mathrm{DR}^{**}_{pd}(k,u'), donc \lambda^{**} est un iso. dans \mathbb{DR}^{**}

il s'agit d'un hom. \lambda quelconque, non de l'iso. donné par le lemme ; cf. ce qui suit

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & {\Phi'} \arrow[dr, hook] & & \\ k \arrow[ur, hook, "u"] \arrow[dr, hook, "{u'}"'] & & S \arrow[r, hook] & N \\ & \Phi \arrow[ur, hook] & & \end{tikzcd}

(S=\Phi\amalg_{k}\Phi', et S\hookrightarrow N donné par le lemme), d'où \mathrm{DR}(u)\xrightarrow{\ \sim\ }\mathrm{DR}(N)\xleftarrow{\ \sim\ }\mathrm{DR}(u'), d'où \mathrm{DR}(u)\simeq\mathrm{DR}(u') dans \mathbb{DR}^{**}

indépendant du choix de S\hookrightarrow N avec N comme dans le lemme :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & N \arrow[dr, hook] & & \\ S \arrow[ur, hook] \arrow[dr, hook] & & T \arrow[r, hook] & {N''} \\ & {N'} \arrow[ur, hook] & & \end{tikzcd}

(T=N\amalg_{S}N', T\hookrightarrow N'' donné par le lemme), d'où

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \mathrm{DR}(u) \arrow[dr] & & \mathrm{DR}(N) \arrow[dr, "\sim"] & \\ & \mathrm{DR}(S) \arrow[ur] \arrow[dr] & & \mathrm{DR}(N'') \\ \mathrm{DR}(u') \arrow[ur] & & \mathrm{DR}(N') \arrow[ur, "\sim"'] & \end{tikzcd}

Transitivité évidente par diagramme

à gauche, un schéma à traits sans flèches : k relié par u, u', u'' à \Phi, \Phi' (écrit deux fois, un tracé biffé), \Phi'' ; \Phi,\Phi' vers N, \Phi',\Phi'' vers N', puis N et N' vers N''

d'où

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \Phi \arrow[dr] & \\ k \arrow[ur] \arrow[r] \arrow[dr] & {\Phi'} \arrow[r] & {N''} \\ & {\Phi''} \arrow[ur] & \end{tikzcd}

\begin{aligned} &\mathrm{DR}(\Phi)\ \cdots\\ &\mathrm{DR}(\Phi'')\xrightarrow{\ \simeq\ }\mathrm{DR}(N'')\\ &\mathrm{DR}(\Phi'')\nearrow\simeq \end{aligned} les trois flèches vers \mathrm{DR}(N'') sont esquissées ; la deuxième ligne porte sans doute \mathrm{DR}(\Phi'), que la page écrit comme \Phi''

Argument analogue pour f_{*}\bigl(\mathcal{DR}^{**}_{pd}(k,u)\bigr), où f\colon X\to Y morphisme de topos.

Conditions de De Rham sur Anneau k : la condition d'existence d'un u\colon k\to\Phi tel que…

Si k satisfait condition de De Rham, de même tt k-Algèbre. Donc le plus beau, c'est que \mathbb{Z}_{X} y satisfasse ! C'est vrai pour

a) le topos SS \widehat{\Delta}

b) le topos défini par un espace topologique paracompact.

Conjecture. Est-ce vrai pour \widehat{\Delta}^{\circ} (topos des ens. cosimpliciaux) ? Non « Non » souligné trois fois, sans doute ajouté après coup

Soit A^{**}\in\operatorname{Ob}\mathbb{DR}^{**}_{pd}(X) une Algèbre bigr. donc à degrés positifs, alternée pour le degré ext, diff. à p. div. … Supposons que A^{00}=k satisfasse la condition de De Rham, soit u\colon k\to\Phi, d'où \mathcal{DR}^{**}_{pd}(k,u). Considérons alors \overline{A^{**}}=\mathcal{DR}^{**}_{pd}(A^{**}) \overset{\mathrm{déf}}{=}\mathcal{DR}^{**}_{pd}(k,u)\otimes_{k\{T\}}A^{**}, l'augmentation k\{T\}\to\mathcal{DR}^{**}_{pd}(k,u) (qui est un quasi-iso. universel) définit un hom. A^{**}\longrightarrow\overline{A^{**}} qui est un quasi-iso. Ensuite la phrase s'arrête au bas de la page ; un mot souligné en fin de ligne, peut-être « Ensuite » écrit sur un mot biffé

Cat. des Alg. de De Rham spéciales

titre de sa main, encadré en haut à droite de la page

~~(à p. div. )~~

Structure De Rham (à p.d. – sous-entendu) :

Anneau bigradué [à degrés – total et ext – \geq0] alterné pour degré ext A^{ij}\neq0\ \text{\struck{$\Leftarrow$}}\Rightarrow 0\leq j\leq i degré complémentaire =i-j\geq0

différentiel [différentielle de bidegré 0,1 ; c'est une diff. pour le degré ext : d(xy)=(dx)y+(-1)^{\deg\mathrm{ext}\,x}x\,dy\ ] à p. div. sur l'idéal \sum_{i+j>0}A^{ij}=A^{+} [p.d. compatible avec 2 grad. (\gamma^{d}\colon A^{ij}\to A^{di,dj}) et la différentielle (d\,x^{(i)}=x^{(i-1)}dx)]

élément marqué T\in Z^{10}(A^{**})\ \bigl(\xrightarrow{\ \simeq\ }H^{10}(A^{**})\bigr)]

[Cohomologie : H^{*i}(A^{**})\simeq[h^{i}\otimes_{k}k\{T\},0], k=A^{00}] lecture de cette ligne incertaine

Structure de De Rham spéciale : \begin{cases} k\{T\}\xrightarrow{\ \sim\ }H^{*0}(A^{**})\\ H^{*i}(A^{**})=0\quad(i>0)\\ \text{les } A^{ij}\text{ sont $k$-plats} \end{cases} [NB c'est utile pour la stabilité par \otimes_{k}k'] la condition H^{*i}=0 est écrite sans précision sur i ; « (i>0) » est notre lecture du contexte

Univ. flasque : \to flasques.

[Structure de De Rham flasque : les A^{ij} (1\leq i) flasques.] ligne ajoutée en interligne ; lecture incertaine

On parle de k-structure de De Rham si k=A^{00} est donné.

\mathfrak{X} topos.

\mathbb{DR}\mathrm{sp}(\mathfrak{X},k)_{0} : structures de De Rham spéciales sur \mathfrak{X} – avec comme flèches celles qui respectent ~~toutes~~ les structures (y compris les structures)

\mathbb{DR}\mathrm{spfl}(\mathfrak{X},k)_{0} : « spéciales et flasques

\mathbb{DR}\mathrm{spufl}(\mathfrak{X},k)_{0} : « — univ. flasques

\mathbb{DR}\mathrm{sp}(\mathfrak{X},k), \mathbb{DR}\mathrm{spfl}(\mathfrak{X},k), \mathbb{DR}\mathrm{spufl}(\mathfrak{X},k) de fractions : catégories déduites en rendant inversibles les flèches qui sont des quasi-isom. — NB on la phrase se poursuit au haut de la page suivante, p. 95

tableau des A^{ij} en haut de la page ; les flèches verticales sont les différentielles

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] 0 & 0 & A^{22} & \cdots \\ 0 & A^{11} & A^{21} \arrow[u] & \cdots \\ k & A^{10} \arrow[u] & A^{20} \arrow[u] & \cdots \end{tikzcd}

Soit A^{**}\in\operatorname{Ob}\mathbb{DR}\mathrm{sp}(\mathfrak{X},k) ; T\in\Gamma_{\mathfrak{X}}(A^{10}) définit k\to A^{10}=\Phi, \lambda\mapsto\lambda T, avec suite exacte

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] 0 \arrow[r] & k \arrow[r] & \Phi \arrow[r] \arrow[d, no head, "\Vert" description] & \Psi \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\ & & A^{10} & A^{20} & \end{tikzcd}

la flèche verticale sous \Psi va vers un terme que nous lisons A^{20}, peut-être A^{11}

Comme \Psi est k-plat, \Phi , et on a \mathrm{DR}(\Phi,T)=\underbrace{\Gamma^{*}(\Phi)}_{\text{deg compl}} \otimes_{k}\underbrace{\textstyle\bigwedge^{*}\Psi}_{\text{deg ext}} au-dessus de « \mathrm{DR} » un mot ajouté,

est et on a un k-

~~donc la cat. de~~

Un hom. A^{**}\to A'^{**}

\begin{tikzcd} \mathrm{DR}(\Phi,T) \arrow[r] \arrow[d] & A^{**} \arrow[d] \\ \mathrm{DR}(\Phi',T') \arrow[r] & {A'^{**}} \end{tikzcd}

Cela implique ainsi que la cat. dérivée \mathbb{DR}\mathrm{sp}(\mathfrak{X},k)_{0} est équivalente canoniquement : la cat. qui se déduit des dérivées de la forme \mathrm{DR}(\Phi,T), qui est aussi celle des exactes 0\to k\to\Phi\to\Psi\to0 avec \Psi plat sur k.

On sait que cette dernière est équivalente à la cat. ponctuelle. Donc \mathbb{DR}\mathrm{sp}(\mathfrak{X},k)_{0} est équivalente à la cat. ponctuelle.

Si maintenant on travaille dans ~~(cat. \mathbb{DR}\mathrm{spufl})~~ \mathbb{DR}\mathrm{spufl} i.e. avec des A^{**} flasques, u. (A^{ij} flasque si 0<j) , alors \Phi est flasque. Supposons aussi que (les) les \Gamma^{i}_{k}\Phi (i>0) sont univ. flasques, alors \mathrm{DR}(\Phi,T) est aussi flasque, et on voit comme dessus que la cat. dérivée est équivalente à celle construite ~~la cat. des~~ \mathrm{DR}(\Phi,T), avec \Phi univ. flasque et \Phi/k\cdot T plat, i.e. avec les suites exactes 0\to k\to\Phi\to\Psi\to0, \Phi univ. flasque et \Psi k-plat ; or cette cat. dérivée est encore la catégorie ponctuelle. On a donc :

Prop. La cat. \mathbb{DR}\mathrm{sp}(\mathfrak{X},k)_{0} est équivalente à la cat. ponctuelle. Il en est de même de la cat. \mathbb{DR}\mathrm{spufl}(\mathfrak{X},k)_{0}, k-modules si on suppose que pour \Phi plat sur k univ. flasque, les \Gamma^{i}\Phi (i>0) sont aussi univ. flasques.

Cette dernière condition est satisfaite pour le topos (\mathrm{Ss})= \widehat{\Delta}, car pour celui-ci \text{flasque}+\text{plat}\Longrightarrow\text{homotope à $0$, donc} \Downarrow (univ. projectif) univ. flasque et les \Gamma^{i}(\Phi) univ. flasques (i>0). faux tel quel, à arranger ! l'accolade sous « flasque + plat » renvoie à « univ. projectif », souligné ; la note marginale porte sur cette implication

Soit P le topos ponctuel, et i_{n}\colon P\longrightarrow\widehat{\Delta}(\mathrm{S}_{s}) le morphisme de topos associé au foncteur u_{n}^{*}(K)=K_{n}=K(\Delta_{n}). Soit k un anneau (commutatif, disons).

Lemme. \forall k-module M, on a un i_{0*}(M)\simeq\Phi_{*}\otimes_{\mathbb{Z}}M\simeq\Phi_{*k}\otimes_{k}M où \Phi_{*}\in\operatorname{Ob}\bigl(\widehat{\Delta}_{ab}\simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta^{\circ},\mathrm{Ab})\bigr) est défini par \Phi_{*}(I)=\mathbb{Z}^{I}, donc \Phi_{*k}(I)\simeq k^{I}.

En effet, on a par construction de l'image directe i_{0*}(M)(I)\simeq M(i_{0}^{*}(I))\simeq M^{I} \mathrm{Hom}(I,i_{0*}(M))=\mathrm{Hom}\bigl(\underbrace{i_{0}^{*}(I)}_{\mathrm{Hom}(\Delta_{0},I)\simeq I},M\bigr) OK.

Corollaire. Pour tout k_{*}-Module A_{*}, \mathrm{Hom}(A_{*},\Phi_{*}\otimes_{k}M)\simeq\mathrm{Hom}_{k}(A_{0},M) en particulier on a un hom. can. (pour M=A_{0}) \text{\struck{$\mathrm{Hom}$}}\ A_{*}\longrightarrow\Phi_{*}\otimes_{\mathbb{Z}}A_{0} \simeq\Phi_{*k}\otimes_{k}A_{0}\quad(\simeq i_{0*}i_{0}^{*}A_{*}) Appliquons ceci au cas d'une immersion k_{*}\overset{u}{\hookrightarrow}A_{*}=A^{1,0}_{*} provenant d'une A^{**}_{*}\in\operatorname{Ob}\mathbb{DR}\mathrm{sp}(\mathfrak{X}_{s},k_{*}) la phrase se poursuit au-delà de ce lot