Cote n° 136, pages 81–100

Cote n° 136 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Complexe de De Rham à puissance divisée [conférence de 1976 à l’IHÉS] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1975-1976]
Édition de démonstration

81la phrase commence sur la page précédente, hors de ce lot est un isomorphisme ⌜en cohomologie⌝ (en bidegré $(i,j)$ avec $j\leq i$), tandis que la coh. du premier membre est nulle pour $j>i$.

On peut l'exprimer comme un isomorphisme du […] avec un certain […] du second…

Fonctorialités. a) en $k$, clair.

b) En $u$ […]. Soit \[ u'\colon L\longrightarrow\Phi' \] une deuxième immersion ; s'il existe un hom. $\lambda\colon\Phi\to\Phi'$ rendant commutatif

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\begin{tikzcd}
 & L \arrow[dl, "u"'] \arrow[dr, "{u'}"] & \\
\Phi \arrow[rr, "\lambda"'] & & {\Phi'}
\end{tikzcd}

i.e. $\lambda u=u'$, on en conclut $\bar\lambda\colon K^{\cdot\cdot}_{u}\to K^{\cdot\cdot}_{u'}$ et $\bar\lambda_{h}\colon K^{\cdot\cdot}_{u,h}\to K^{\cdot\cdot}_{u',h}$, compatible avec les structures, qui est un isom. dans telle catégorie dérivée, et le reste après application de $\Gamma(X,-)$ ou de $f_{*}$.

Supposons qu'on ait un autre, soit $\mu$, tel que $\mu u=u'$, donc, posant $\mu=\lambda+\Theta$, on trouve $\Theta u=0$ la page s'arrête ici

82$K^{\cdot\cdot}$ Algèbre de $\mathrm{DR}$ à p.d. élémentaire

a) Anneau bigradué, […] alterné pour ⌜« deg. ext »⌝ $\surd$

b) […] à bidegré $\geq0$

Structure à p.d. sur l'idéal $\sum\limits_{i+j>0}K^{ij}$

c) différentielle d'Anneau gradué (pour le grad. ext) en changeant pour le degré total, etc. comp. avec p.d.

d) $d\colon K^{1,0}=\Phi\longrightarrow K^{11}=\Psi$ est un épi.

e) Posant $k=K^{00}$, $K^{**}$ est l'algèbre ⌜alternée à p.d.⌝ libre engendrée par $\Phi$ et $\Psi$, i.e. $K^{**}\simeq\Gamma^{*}\Phi\otimes \bigwedge^{*}\Psi$ [Il en résulte que $K^{ij}=0$ si $j>i$]

f) Mono-plat $\Phi$ et $\Psi$ sont $k$-plats

(donc aussi $L=\operatorname{Ker}d=\mathcal{H}^{1\,0}(K^{\cdot\cdot})$)

Il résulte déjà de ceci que \[ H^{*i}(K^{\cdot\cdot})= \begin{cases} \Gamma^{*}L & \text{si } i=0\\ 0 & \text{si } i>0 \end{cases} \] donc que $K^{\cdot\cdot}$ est une résolution de $\Gamma^{*}L$. On va supposer le plus souvent

g) $L$ est un $k$-Module inversible ⌜loc. libre⌝ de rang $1$.

(voire libre de rang $1$ et trivialisé…)

84Soient $K^{\cdot\cdot}$ et $K'^{\cdot\cdot}$

Finalement, la donnée de $K^{\cdot\cdot}$ équivaut à celle de

$\alpha$) $k$, Anneau commutatif sur $X$

$\beta$) $L$, $k$-Module plat (voire inversible, voire $k$ lui-même…)

$\gamma$) Une immersion de $L$ dans un $k$-module $\Phi$, $u\colon L\to\Phi$.

Soit de même $K'^{\cdot\cdot}$ défini par $(k',L',\Phi',u')$. La donnée d'un hom. $\lambda$ de $K^{\cdot\cdot}$ dans $K'^{\cdot\cdot}$, compatible avec les structures, équivaut à la donnée d'un système d'hom. \[ k\xrightarrow{\ \lambda_{0}\ }k'\qquad\text{hom.\ d'Anneaux} \] $K^{\cdot\cdot}\to K'^{\cdot\cdot}$ \[ \Phi\xrightarrow{\ \lambda_{\Phi}\ }\Phi' \] hom. $\lambda_{0}$-½linéaire avec $\lambda_{\Phi}(u(L))\subset u'(L')$, […] donc $\lambda_{\Phi}$ induit un hom. ($\lambda_{0}$-½linéaire) « ½linéaire » : semi-linéaire, au-dessus de $\lambda_{0}$

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\begin{tikzcd}
L \arrow[r, "\lambda_{L}"] \arrow[d] & {L'} \arrow[d] \\
\Phi \arrow[r] & {\Phi'}
\end{tikzcd}

un premier tracé du même carré, à gauche, est biffé

Dans le cas $L\simeq k$, $L'\simeq k'$ donnés, on peut oublier $L,L'$ et retenir $\Phi,\Phi'$ avec sections marquées, et la condition sur $\lambda_{\Phi}$

86devient donc de transformer section marquée en section marquée.

Supposons qu'on ait deux hom. $\lambda,\mu$, correspondant : un $k\xrightarrow{\lambda_{0}=\mu_{0}}k'$ et deux hom. \[ \Phi\overset{\lambda_{\Phi},\,\mu_{\Phi}}{\rightrightarrows}\Phi' \] (ayant même effet sur la section marquée). Que peut-on dire des hom. $\lambda,\mu$ de $K^{\cdot\cdot}$ dans $K'^{\cdot\cdot}$ ?

88$X$, topos

$k$ Anneau sur $X$

$k\overset{u}{\hookrightarrow}\Phi$ mono dans $k$-Modules, avec \[ \begin{cases} \text{(a)}\ \Psi=\operatorname{Coker}u\ \ k\text{-plat}\\ \text{(b)}\ \forall\ k\text{-modules } N, M,\ \text{et } i>0,\\ \qquad\Gamma^{i}(N\otimes_{k}\Phi)\otimes M\ \text{est flasque} \end{cases} \]

Lemme. $\forall$ $k$-module $N$, $\exists$ homom. $N\xrightarrow{u_{N}}\check N$, qui est un $k$-mono « universel » (vérifiant mêmes propriétés […]) […] satisfaisant $N$ : (a) […] plat $\Rightarrow$ $\operatorname{Coker}u_{N}$ plat, et (b$'$) $\forall i>0$, et $k$-modules $N$, $M$ \[ \Gamma^{i}_{k}\bigl(\check N\,\text{\struck{$\otimes_{k}\Phi$}}\bigr)\otimes_{k}M \quad\text{flasque} \] On prend $\check N=\Phi\otimes_{k}N$, $u_{N}=u\otimes\mathrm{id}_{N}$, donc (a) résulte de (a), et (b$'$) de (b).

$\mathcal{DR}^{**}_{pd}($[…] $k,u)=\Gamma^{*}(\Phi)\otimes_{k}\bigwedge^{*}\Psi$ Algèbre bigraduée (degré complet $+$ alternée pour deg. ext), augm. cat. degré total) (différentielle à p.d. sur idéal des bi-degrés $>0$…) — résolution de $k\{T\}$ (où deg ext $T=0$, deg tot $T=1$) lecture des indices de degré incertaine

\[ \mathrm{DR}^{**}_{pd}(k,u)=\Gamma\bigl(X,\mathcal{DR}^{**}_{pd}(k,u)\bigr). \]

Soit $\mathbb{DR}^{**}$ la cat. des ⌜anneaux⌝ bigradués (à deg $\geq0$) ⌜alternés, diff. à p.d.⌝ anticommutatifs, engendrés par bidegré $(1,0)$, ⌜avec⌝ […] ⌜élément de degré $(1,0)$⌝ […]… On a défini un système transitif d'isom. dans $\mathbb{DR}^{**}$ entre les $\mathrm{DR}^{**}_{pd}(k,u)$, pour $k$ fixé et $u$ variable.

N.B. hom. pour […]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \Phi \arrow[d, "\lambda"] \\
k \arrow[ur, "u"] \arrow[r, "{u'}"'] & {\Phi'}
\end{tikzcd}

d'où $\lambda^{**}\colon\mathrm{DR}^{**}_{pd}(k,u)\to\mathrm{DR}^{**}_{pd}(k,u')$, donc $\lambda^{**}$ est un iso. dans $\mathbb{DR}^{**}$

il s'agit d'un hom. $\lambda$ quelconque, non de l'iso. donné par le lemme ; cf. ce qui suit

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & {\Phi'} \arrow[dr, hook] & & \\
k \arrow[ur, hook, "u"] \arrow[dr, hook, "{u'}"'] & & S \arrow[r, hook] & N \\
 & \Phi \arrow[ur, hook] & &
\end{tikzcd}

($S=\Phi\amalg_{k}\Phi'$, et $S\hookrightarrow N$ donné par le lemme), d'où $\mathrm{DR}(u)\xrightarrow{\ \sim\ }\mathrm{DR}(N)\xleftarrow{\ \sim\ }\mathrm{DR}(u')$, d'où $\mathrm{DR}(u)\simeq\mathrm{DR}(u')$ dans $\mathbb{DR}^{**}$

indépendant du choix de $S\hookrightarrow N$ avec $N$ comme […] dans le lemme :

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & N \arrow[dr, hook] & & \\
S \arrow[ur, hook] \arrow[dr, hook] & & T \arrow[r, hook] & {N''} \\
 & {N'} \arrow[ur, hook] & &
\end{tikzcd}

($T=N\amalg_{S}N'$, $T\hookrightarrow N''$ donné par le lemme), d'où

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\mathrm{DR}(u) \arrow[dr] & & \mathrm{DR}(N) \arrow[dr, "\sim"] & \\
 & \mathrm{DR}(S) \arrow[ur] \arrow[dr] & & \mathrm{DR}(N'') \\
\mathrm{DR}(u') \arrow[ur] & & \mathrm{DR}(N') \arrow[ur, "\sim"'] &
\end{tikzcd}

Transitivité évidente par diagramme

90à gauche, un schéma à traits sans flèches : $k$ relié par $u$, $u'$, $u''$ à $\Phi$, $\Phi'$ (écrit deux fois, un tracé biffé), $\Phi''$ ; $\Phi,\Phi'$ vers $N$, $\Phi',\Phi''$ vers $N'$, puis $N$ et $N'$ vers $N''$

d'où

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \Phi \arrow[dr] & \\
k \arrow[ur] \arrow[r] \arrow[dr] & {\Phi'} \arrow[r] & {N''} \\
 & {\Phi''} \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

\[ \begin{aligned} &\mathrm{DR}(\Phi)\ \cdots\\ &\mathrm{DR}(\Phi'')\xrightarrow{\ \simeq\ }\mathrm{DR}(N'')\\ &\mathrm{DR}(\Phi'')\nearrow\simeq \end{aligned} \] les trois flèches vers $\mathrm{DR}(N'')$ sont esquissées ; la deuxième ligne porte sans doute $\mathrm{DR}(\Phi')$, que la page écrit comme $\Phi''$

Argument analogue pour $f_{*}\bigl(\mathcal{DR}^{**}_{pd}(k,u)\bigr)$, où $f\colon X\to Y$ morphisme de topos.

Conditions de De Rham sur Anneau $k$ : la condition d'existence d'un $u\colon k\to\Phi$ tel que…

Si $k$ satisfait condition de De Rham, de même tt $k$-Algèbre. Donc le plus beau, c'est que $\mathbb{Z}_{X}$ y satisfasse ! C'est vrai pour

a) le topos SS $\widehat{\Delta}$

b) le topos défini par un espace topologique paracompact.

Conjecture. Est-ce vrai pour $\widehat{\Delta}^{\circ}$ (topos des ens. cosimpliciaux) ? Non « Non » souligné trois fois, sans doute ajouté après coup

Soit $A^{**}\in\operatorname{Ob}\mathbb{DR}^{**}_{pd}(X)$ une Algèbre bigr. donc à degrés positifs, alternée pour le degré ext, diff. à p. div. … Supposons que $A^{00}=k$ satisfasse la condition de De Rham, soit $u\colon k\to\Phi$, d'où $\mathcal{DR}^{**}_{pd}(k,u)$. Considérons alors \[ \overline{A^{**}}=\mathcal{DR}^{**}_{pd}(A^{**}) \overset{\mathrm{déf}}{=}\mathcal{DR}^{**}_{pd}(k,u)\otimes_{k\{T\}}A^{**}, \] l'augmentation $k\{T\}\to\mathcal{DR}^{**}_{pd}(k,u)$ (qui est un quasi-iso. universel) définit un hom. \[ A^{**}\longrightarrow\overline{A^{**}} \] qui est un quasi-iso. ⌜Ensuite⌝ […] la phrase s'arrête au bas de la page ; un mot souligné en fin de ligne, peut-être « Ensuite » écrit sur un mot biffé

Cat. des Alg. de De Rham spéciales

titre de sa main, encadré en haut à droite de la page

(à p. div. […])

Structure De Rham (à p.d. – sous-entendu) :

Anneau bigradué [à degrés – total et ext – $\geq0$] alterné pour degré ext \[ A^{ij}\neq0\ \text{\struck{$\Leftarrow$}}\Rightarrow 0\leq j\leq i \] degré complémentaire $=i-j\geq0$

différentiel [différentielle de bidegré $0,1$ ; c'est une diff. pour le degré ext : \[ d(xy)=(dx)y+(-1)^{\deg\mathrm{ext}\,x}x\,dy\ ] \] à p. div. sur l'idéal \[ \sum_{i+j>0}A^{ij}=A^{+} \] [p.d. […] compatible avec 2 grad. ($\gamma^{d}\colon A^{ij}\to A^{di,dj}$) et la différentielle ($d\,x^{(i)}=x^{(i-1)}dx$)]

élément marqué $T\in Z^{10}(A^{**})\ \bigl(\xrightarrow{\ \simeq\ }H^{10}(A^{**})\bigr)$]

[Cohomologie : $H^{*i}(A^{**})\simeq[h^{i}\otimes_{k}k\{T\},0]$, $k=A^{00}$] lecture de cette ligne incertaine

Structure de De Rham spéciale : \[ \begin{cases} k\{T\}\xrightarrow{\ \sim\ }H^{*0}(A^{**})\\ H^{*i}(A^{**})=0\quad(i>0)\\ \text{les } A^{ij}\text{ sont $k$-plats} \end{cases} \] [NB c'est utile pour la stabilité par $\otimes_{k}k'$] la condition $H^{*i}=0$ est écrite sans précision sur $i$ ; « $(i>0)$ » est notre lecture du contexte

[…] Univ. flasque : $\to$ flasques. […]

[Structure de De Rham flasque : les $A^{ij}$ ($1\leq i$) flasques.] ligne ajoutée en interligne ; lecture incertaine

On parle de $k$-structure de De Rham si $k=A^{00}$ est donné.

[…] $\mathfrak{X}$ topos. […]

$\mathbb{DR}\mathrm{sp}(\mathfrak{X},k)_{0}$ : structures de De Rham spéciales sur $\mathfrak{X}$ – avec comme flèches celles qui respectent toutes les structures (y compris les structures)

$\mathbb{DR}\mathrm{spfl}(\mathfrak{X},k)_{0}$ : « spéciales et flasques

$\mathbb{DR}\mathrm{spufl}(\mathfrak{X},k)_{0}$ : « — univ. flasques

$\mathbb{DR}\mathrm{sp}(\mathfrak{X},k)$, $\mathbb{DR}\mathrm{spfl}(\mathfrak{X},k)$, $\mathbb{DR}\mathrm{spufl}(\mathfrak{X},k)$ ⌜de fractions⌝ : catégories déduites en rendant inversibles les flèches qui sont des quasi-isom. — NB on […] la phrase se poursuit au haut de la page suivante, p. 95

95tableau des $A^{ij}$ en haut de la page ; les flèches verticales sont les différentielles

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
0 & 0 & A^{22} & \cdots \\
0 & A^{11} & A^{21} \arrow[u] & \cdots \\
k & A^{10} \arrow[u] & A^{20} \arrow[u] & \cdots
\end{tikzcd}

Soit $A^{**}\in\operatorname{Ob}\mathbb{DR}\mathrm{sp}(\mathfrak{X},k)$ ; $T\in\Gamma_{\mathfrak{X}}(A^{10})$ définit $k\to A^{10}=\Phi$, $\lambda\mapsto\lambda T$, avec suite exacte

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
0 \arrow[r] & k \arrow[r] & \Phi \arrow[r] \arrow[d, no head, "\Vert" description] & \Psi \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
 & & A^{10} & A^{20} &
\end{tikzcd}

la flèche verticale sous $\Psi$ va vers un terme que nous lisons $A^{20}$, peut-être $A^{11}$

Comme $\Psi$ est $k$-plat, $\Phi$ […] […], et on a […] \[ \mathrm{DR}(\Phi,T)=\underbrace{\Gamma^{*}(\Phi)}_{\text{deg compl}} \otimes_{k}\underbrace{\textstyle\bigwedge^{*}\Psi}_{\text{deg ext}} \] au-dessus de « $\mathrm{DR}$ » un mot ajouté, […]

[…] […] est […] et on a un $k$-[…] […]

donc la cat. de

Un hom. $A^{**}\to A'^{**}$ […]

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\begin{tikzcd}
\mathrm{DR}(\Phi,T) \arrow[r] \arrow[d] & A^{**} \arrow[d] \\
\mathrm{DR}(\Phi',T') \arrow[r] & {A'^{**}}
\end{tikzcd}

Cela implique […] ainsi que la cat. ⌜dérivée⌝ $\mathbb{DR}\mathrm{sp}(\mathfrak{X},k)_{0}$ est équivalente canoniquement : la […] cat. qui se déduit des ⌜dérivées⌝ de la forme $\mathrm{DR}(\Phi,T)$, qui est aussi celle des […] exactes $0\to k\to\Phi\to\Psi\to0$ avec $\Psi$ plat sur $k$.

97On sait que cette dernière est équivalente à la cat. ponctuelle. Donc $\mathbb{DR}\mathrm{sp}(\mathfrak{X},k)_{0}$ est équivalente à la cat. ponctuelle.

Si maintenant on travaille dans (cat. $\mathbb{DR}\mathrm{spufl}$) $\mathbb{DR}\mathrm{spufl}$ i.e. avec des $A^{**}$ flasques, ⌜u.⌝ $(A^{ij}$ flasque si $0<j)$ […] […], alors $\Phi$ est flasque. Supposons aussi que (les) […] les $\Gamma^{i}_{k}\Phi$ ($i>0$) sont univ. flasques, alors $\mathrm{DR}(\Phi,T)$ est aussi flasque, […] et on voit comme dessus que la cat. dérivée est équivalente à celle construite […] la cat. des $\mathrm{DR}(\Phi,T)$, avec $\Phi$ univ. flasque et $\Phi/k\cdot T$ plat, i.e. avec les suites exactes $0\to k\to\Phi\to\Psi\to0$, […] $\Phi$ univ. flasque et $\Psi$ $k$-plat ; or cette cat. dérivée est encore la catégorie ponctuelle. On a donc :

Prop. La cat. $\mathbb{DR}\mathrm{sp}(\mathfrak{X},k)_{0}$ est équivalente à la cat. ponctuelle. Il en est de même de la cat. $\mathbb{DR}\mathrm{spufl}(\mathfrak{X},k)_{0}$, ⌜$k$-modules⌝ […] si on suppose que pour […] […] $\Phi$ plat sur $k$ univ. flasque, les $\Gamma^{i}\Phi$ ($i>0$) sont aussi univ. flasques.

99Cette dernière condition est satisfaite pour le topos ⌜$(\mathrm{Ss})=$⌝ $\widehat{\Delta}$, car pour celui-ci \[ \text{flasque}+\text{plat}\Longrightarrow\text{homotope à $0$, donc} \] \[ \Downarrow \] (univ. projectif) univ. flasque et les $\Gamma^{i}(\Phi)$ univ. flasques ($i>0$). faux tel quel, à arranger ! l'accolade sous « flasque $+$ plat » renvoie à « univ. projectif », souligné ; la note marginale porte sur cette implication

Soit $P$ le topos ponctuel, et \[ i_{n}\colon P\longrightarrow\widehat{\Delta}(\mathrm{S}_{s}) \] le morphisme de topos associé au foncteur \[ u_{n}^{*}(K)=K_{n}=K(\Delta_{n}). \] Soit $k$ un anneau (commutatif, disons).

Lemme. $\forall$ $k$-module $M$, on a un \[ i_{0*}(M)\simeq\Phi_{*}\otimes_{\mathbb{Z}}M\simeq\Phi_{*k}\otimes_{k}M \] où $\Phi_{*}\in\operatorname{Ob}\bigl(\widehat{\Delta}_{ab}\simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta^{\circ},\mathrm{Ab})\bigr)$ est défini par $\Phi_{*}(I)=\mathbb{Z}^{I}$, donc $\Phi_{*k}(I)\simeq k^{I}$.

En effet, on a par construction de l'image directe \[ i_{0*}(M)(I)\simeq M(i_{0}^{*}(I))\simeq M^{I} \] \[ \mathrm{Hom}(I,i_{0*}(M))=\mathrm{Hom}\bigl(\underbrace{i_{0}^{*}(I)}_{\mathrm{Hom}(\Delta_{0},I)\simeq I},M\bigr) \] OK.

[…] Corollaire. Pour tout $k_{*}$-Module $A_{*}$, \[ \mathrm{Hom}(A_{*},\Phi_{*}\otimes_{k}M)\simeq\mathrm{Hom}_{k}(A_{0},M) \] en particulier on a un hom. can. (pour $M=A_{0}$) \[ \text{\struck{$\mathrm{Hom}$}}\ A_{*}\longrightarrow\Phi_{*}\otimes_{\mathbb{Z}}A_{0} \simeq\Phi_{*k}\otimes_{k}A_{0}\quad(\simeq i_{0*}i_{0}^{*}A_{*}) \] Appliquons ceci au cas d'une immersion \[ k_{*}\overset{u}{\hookrightarrow}A_{*}=A^{1,0}_{*} \] provenant d'une $A^{**}_{*}\in\operatorname{Ob}\mathbb{DR}\mathrm{sp}(\mathfrak{X}_{s},k_{*})$ la phrase se poursuit au-delà de ce lot