Fonds Grothendieck, cote n° 136, pages 61–80

la moitié supérieure de la page est barrée de longs traits obliques ; on en donne ce qui se lit.

~~\Delta/\mathcal{X} \xrightarrow{\text{fibration}} \Delta~~

~~C \to B, F : C^{\circ} \to \mathcal{E}, C_b \overset{i^*}{\leftarrow} C_{b'}, x' \mapsto b' :~~ \text{\struck{$(b \in B) \longmapsto \sum_{x \in C_b} F(x) \longrightarrow F(i_*(x'))$}} \text{\struck{$(b' \in B) \longmapsto \sum_{x' \in C_{b'}} F(x') \longrightarrow F(x')$}} ~~(si dual)~~ \text{\struck{$(b \in B) \longmapsto \prod_{x \in C_b} F(x) \longrightarrow F(i^*(x'))$}} \text{\struck{$(b' \in B) \longmapsto \prod_{x \in C_{b'}} F(x) \longrightarrow F(x')$}} ~~\mathcal{E} (cat. avec sommes directes)~~

Si (\Delta/\mathcal{X})^{\circ} \xrightarrow{A_*} \mathcal{E} est un faisceau sur \mathcal{X} (i.e. ~~faisceau~~ système à coeff. contravariant par rapport au simplexe variable sur \mathcal{X}), on lui associe C_*(\mathcal{X}, A_*) = i_!(A_*) : \Delta^{\circ} \to \mathcal{E}, où i : \Delta/\mathcal{X} \to \Delta est le morphisme d'incarnation (des topos cat. associées).

Si \Delta/\mathcal{X} \xrightarrow{A^*} \mathcal{E} est un « cofaisceau » sur \mathcal{X} (i.e. syst. à coeff. covariant par rapport au simplexe variable de \mathcal{X}), on lui associe C^*(\mathcal{X}, A^*) = \ill{} : (\Delta \ill{}) \to \mathcal{E}.

On passe de l'un à l'autre en remplaçant \mathcal{E} par \mathcal{E}^{\circ} ; c'est compatible avec composition avec foncteurs \mathcal{E} \to \mathcal{E}' qui commutent aux sommes resp. produits.

la page commence en cours d'argument : ce qui précède est avant le lot, la p. 62 étant étrangère. (k anneau commutatif ) Mais si F sur X_* est loc. constant (un k-Module), alors on montre facilement que C^*(X_*, F) \simeq \Gamma\bigl(X_*, \underbrace{(C^*_*|X_*)}_{C^*_{X_*}} \otimes_{k_*} F\bigr) NB on C^*_* = C^*_{*k} notations et on vérifie tout de suite que C^*_{X_*} \otimes_{k_*} F est une résolution de F, laquelle est d'ailleurs flasque à vérifier en passant (que F soit loc. constant ou non, d'ailleurs). Donc, sans hypothèse de locale constance sur F, C^*(X_*, F) permet de calculer la coh. de X_* à coeff. dans F (i.e. on a un iso. canon. H^*\bigl(C^*(X_*, F)\bigr) \simeq H^*(X_*, F), \qquad C^*(X_*, F) \overset{\text{déf}}{=} \Gamma(X_*, C^*_{X_*} \otimes_k F), pour ~~compatible~~ fonctoriel en F (et (X_*, F) …) et compatible avec les cobords. De même, pour le calcul de l'hypercohomologie de X_* à coeff. dans un complexe de k-Modules F^*. En termes de catégories dérivées, on a un isomorphisme de foncteurs triangulés R\Gamma(X_*, F^*) \simeq \underbrace{C^*(X_*, F^*)}_{\text{par diagonale associé aux deux degrés}} (venant de C^* et de F^*).

Soit maintenant A^*_* un ~~k-module~~ complexe de cochaînes de k-modules \frac{1}{2}simpliciaux 0 \to A^0_* \to A^1_* \to A^2_* \to \cdots et proposons-nous de définir les homomorphismes de ce complexe dans les 0 \to C^0_{*M} \to C^1_{*M} \to C^2_{*M} \to \cdots (M un k-module donné). Tout d'abord, les termes de degré 0 A_* \to \ill{} (cf. (A)) sont les syst. d'hom. A^n_* \xrightarrow{u_n} C^n_{*M}, i.e. les syst. d'hom. de k-modules A^n_n \xrightarrow{k_n} M . L'hom. composé d_C \circ u_n : A^n_* \longrightarrow C^n_{*M} \longrightarrow C^{n+1}_{*M} correspond à l'hom. composé A^n_{n+1} \xrightarrow{\;k_n \partial_{n+1}\;} M, \qquad A^n_{n+1} \xrightarrow{\partial_{n+1}} A^n_n \xrightarrow{k_n} M, tandis que l'hom. composé u_{n+1} \circ d_A : A^n_* \longrightarrow A^{n+1}_* \longrightarrow C^{n+1}_{*M} correspond à l'hom. composé A^n_{n+1} \longrightarrow M, \qquad A^n_{n+1} \xrightarrow{d^n_A} A^{n+1}_{n+1} \xrightarrow{k_{n+1}} M,

et la condition que les u_n définissent un hom. de complexes est la « condition de Stokes » k_n \partial_{n+1} = k_{n+1} d :

\begin{tikzcd} A^n_{n+1} \arrow[r, "\partial_{n+1}"] \arrow[d, "d^n"'] & A^n_n \arrow[d, "k_n"] \\ A^{n+1}_{n+1} \arrow[r, "k_{n+1}"'] & M \end{tikzcd}

Sous ces conditions, pour X_* (\in \mathrm{ob}\,\widehat{\Delta}) un hom. déduit de u \Gamma(X_*, A^*_{X_*}) \Longrightarrow C^*(X_*, M_*) \simeq \Gamma(X_*, C^*_{*M}|X_*), qui représente un hom. dans la cat. dérivée \Gamma(X_*, A^*_{X_*}) \longrightarrow R\Gamma_{X_*}(M) associé à u_*. On aura alors commutativité dans

\begin{tikzcd} \Gamma(X_*, A^*_{X_*}) \arrow[r] \arrow[d] & {C^*(X_*, M) = \Gamma(X_*, C^*_M|X_*)} \arrow[d, "\wr"] \\ R\Gamma(X_*, A^*_{X_*}) \arrow[r] & R\Gamma(X_*, M) \end{tikzcd}

Si A^* est une résolution de M_*, et k_0 : A^0_0 \to M induit l'identité sur M \subset A^0_0, alors la dernière flèche horizontale est aussi un iso, et

on peut considérer la flèche \underset{\textstyle \mathrm{Hom}(X_*, A^*)}{\Gamma(X_*, A^*_{X_*})} \longrightarrow C(X_*, M) déduite du syst. de Stokes–De Rham (k_n) comme une réalisation de l'homom. canonique

\begin{tikzcd} \Gamma(X_*, A^*_{X_*}) \arrow[r] & R\Gamma(X_*, A^*_{X_*}) \\ & R\Gamma(X_*, M) \arrow[u, "\wr"'] \end{tikzcd}

~~On notera que sous les conditions de la prop. 1, il a~~

~~Supposons~~

NB L'hom. \mathrm{Hom}(X_*, A^n_*) = \Gamma(X_*, A^n_{X_*}) \xrightarrow{u^n} C^n(X_*, M) associé à k_n s'explicite ainsi : On considère, pour un élément f : X_* \to A^n_*, la composante f_n : X_n \to A^n_n et on prend u^n(f) = k_n \circ f_n \in \mathrm{Hom}(X_n, M).

Supposons maintenant dans la \frac{1}{2}simpliciale que A^*_* soit un complexe satisfaisant

a)A^i_n = 0 si i > n (i.e. aussi d A^n_n = Z^n_n, i.e. d(A^n_n) = 0 si n \geq 1) b)H^n(A^*_n) = 0 si n \geq 1 c)H^{n-1}(A^*_n) = 0 si n \geq 2.

Alors on sait qu'un syst. k_n : A^n_n \to M satisfaisant la condition de Stokes

est déterminé par la connaissance de k_0 : A^0_0 = A_0 \longrightarrow M et k_0 correspond à un (k_n) ssi k_0\bigl(\partial_1(\mathrm{Ker}(A^0_1 \xrightarrow{d} A^1_1))\bigr) = 0 (donc il y a un syst. d'intégrales de Stokes–De Rham « universel » à valeurs dans A_0 / \partial_1\bigl(\mathrm{Ker}(A^0_1 \xrightarrow{d} A^1_1)\bigr) ; le cas le plus intéressant est celui où \partial_1(\mathrm{Ker}(A^0_1 \xrightarrow{d} A^1_1)) = 0, donc où le choix universel est fourni par M = A_0, ce qui sera le cas en particulier si

c')H^0(A^*_1) \xleftarrow{\;\sim\;} \varepsilon^*(A^0_0) (où \varepsilon : \Delta_1 \to \Delta_0 …)

(ce qui est une variante de c) pour n = 1). ou H^0(A^*_1) = \varepsilon^*(Z^0_0) et

Sous ces conditions, on sait donc qu'il existe un unique hom. de complexes de cochaînes \frac{1}{2}simpliciaux A^*_* \longrightarrow C^*_{*M} qui sur A^0_0 = A_0 coïncide avec k_0 : A^0_0 \longrightarrow C^0_{0M} = M (donc l'identité, i.e. toutes fonctions pratiques). On peut noter que ~~fait~~ cet hom. est à valeurs dans C^{*!}_{*M} (les cochaînes non dégénérées), i.e. ~~fait~~ A^*_* \longrightarrow C^{*!}_{*M} \simeq \Lambda^{*+1} \Phi_{*k} \otimes_k M, en se rappelant que C^{n!}_{*M} = \bigcap_{\substack{\sigma : \Delta_m \to \Delta_n \\ m < n}} \mathrm{Ker}\bigl(C^n_{*M} \xrightarrow{\sigma^*} C^m_{*M}\bigr).

d'où \mathrm{Hom}(A^n_*, C^{n!}_{*M}) = \bigl\{ A^n_* \xrightarrow{f} C^n_{*M} \bigm| \sigma^* f = 0 \ \ \forall \sigma : \Delta_m \to \Delta_n,\ m < n \bigr\}.

\begin{tikzcd} A^n_* \arrow[r, "f"] \arrow[d, "\sigma^*_A"'] & C^n_* \arrow[d, "\sigma^*_C"] \\ A^m_* \arrow[r] & C^m_* \end{tikzcd}

Or A^n_* \to C^n_* est défini par A^n_n \xrightarrow{k_n} M, son composé A^n_* \to C^n_* \to C^m_* est défini par la A^n_m \longrightarrow M qui n'est autre que le composé A^n_m \xrightarrow{\sigma^A} A^n_n \xrightarrow{k_n} M, et ~~la condition f(A^n_*)~~ donc f^n(A^n_*) \subset C^{n!}_* \iff k_n \circ \sigma^* = 0 \quad \forall \sigma : \Delta_n \to \Delta_m,\ m < n (il suffit de le vérifier pour les des dégénérescences) ; or cette condition est toujours satisfaite si A^i_m = 0 si i > m, ce qu'on a supposé dans a).

Ex. Soit S un anneau à p.d. \ill{}, v.d., t \in J, considérons alors l'anneau différentiel simplicial à p.d. A^*_{*S} = \bigl(\Gamma^*(\Phi_{*S}) \otimes_S \Lambda^* \Psi_{*S}\bigr) / (T - t)_{pd}, c'est une résolution de S, et A^i_j = 0 si i > j, donc on a un syst. d'intégrales de Stokes–De Rham à valeurs dans S, donc A^*_* \xrightarrow{\;\sim\;} \bigl(\Gamma^*(\Phi_{*S}) \otimes_S \Lambda \Psi_{*S} / (T - t)_{pd}\bigr) \longrightarrow \Lambda^{*+1} \Phi_{*S} dont il faudrait étudier les propriétés multiplicatives …

(1)k_X \xrightarrow{\varepsilon_X} A^*_X, K_X = (K_n)_{n \geq 0}, K_n : A_n \to k, satisf. \left\{\begin{array}{l} \text{Stokes} \\ K_0 \varepsilon_0 = \mathrm{id} \end{array}\right. (2)Soit espace topologique X, faisceau différentiel \varepsilon \to \Omega^* qui est une résolution de k_X (p. ex. complexe de DR sur X variété C^{\infty}, k = \mathbb{R} = S). (3)Un sous-ensemble S(X)' du complexe singulier de X, tel que S(X)' \to S(X) induise un isom. pour les groupes d'homologie singulière (p. ex. X variété C^{\infty}, S(X)' ens. des simplexes singuliers C^{\infty}) (d'une base) et S(X) de S-complexes h-augm. (4)\forall \sigma \in S(X)', et \sigma^* : \varinjlim_{U \supset \operatorname{Supp}\sigma} \Omega^*(U) \longrightarrow A^*_n

donc le faisceau S'_{X,k} S'^{*}_{X,k} S'_{X,k} une rés. « \operatorname{Supp}\sigma » : lecture conjecturale d'une abréviation (« s–W ») qui revient dans toute la page, sous les limites inductives.

On suppose que si … on a commutativité

\begin{tikzcd} \varinjlim_{U \supset \operatorname{Supp}\sigma} \Omega^*(U) \arrow[r] \arrow[d, "\text{restriction}"'] & A^*_m \arrow[d] \\ \varinjlim_{V \supset \operatorname{Supp}\alpha^*(\sigma)} \Omega^*(V) \arrow[r] & A^*_n \end{tikzcd}

\Delta_n \xrightarrow{\alpha} \Delta_m, \sigma : \Delta_m \to S(X)' = \mathcal{X}, \alpha^*(\sigma) = \sigma \circ \alpha NB \operatorname{Supp}\alpha^*(\sigma) \subset \operatorname{Supp}\sigma.

[NB On peut dire que les \sigma \longmapsto \varinjlim_{U \supset \operatorname{Supp}\sigma} \Omega^*(U) forment un objet semi-simplicial \Omega^*_{S(X)'} (en fait, un complexe de S-modules k-augmentés) sur S(X)' = \mathcal{X}, et on se donne un hom. de celui-ci dans le complexe augmenté A^*_{*\mathcal{X}} sur \mathcal{X} = S(X)' défini par A^*_{*}.

NB Jusqu'ici (1) (A^*_*, \varepsilon_*, K_*) et (4) ne servent que pour pouvoir définir un \Omega^* \to S_X^{*\prime} compatible aux augm.

la première ligne de diagrammes est barrée de traits obliques ; on en donne ce qui se lit.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] R^*\Gamma(X, k) \arrow[r, "\varepsilon_{S^*_X}", "\sim"'] \arrow[d, "\wr"] & R^*\Gamma(X, S^*_X) \arrow[d, "\wr"] & \Gamma(X, S^*_X) \arrow[l, "\sim"'] \arrow[d, "\wr"] \\ R^*\Gamma(X, \Omega^*) \arrow[r, "\sim"] & R^*\Gamma(X, S'^*_X) & \Gamma(X, S'^*_X) \arrow[l, "\sim"'] \\ C^*(X, \Omega^*) \arrow[u] & & \end{tikzcd}

~~avec \Gamma(X, S^*_X) = C^*(S(X), k), \Gamma(X, S'^*_X) = C^*(S(X)', k) (S'^*_X homotopiquement )~~

NB la donnée (4) jointe aux K_* définit un hom. \Omega^* \to S'^*_X par K compatible avec les augmentations, d'où carré commutatif

\begin{tikzcd} \Omega^* \arrow[r] & S'^*_X \\ k \arrow[u] \arrow[r] & S^*_X \arrow[u] \end{tikzcd}

~~(i)~~ (d'isom. dans D(X, S)) d'où là : un cube commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] C^*(X, \Omega^*) \arrow[r] \arrow[dd, "\wr"'] & {C^*(X, S'^*_X) \overset{\text{déf}}{=} C(S'_X, k)} \arrow[dd, "\wr"] & \\ {[C(X, k)]} \arrow[rr, dashed] \arrow[u] & & {C^*(X, S^*_X) = C(S_X, k)} \arrow[ul, "\text{hypoth. } S'_X"'] \arrow[dd, "\wr"] \\ R^*\Gamma(X, \Omega^*) \arrow[r, "\sim"] & R^*\Gamma(X, S'^*_X) & \\ R^*\Gamma(X, k) \arrow[u, "\wr"] \arrow[rr, "\sim"] & & R^*\Gamma(X, S^*_X) \arrow[ul, "\wr"'] \end{tikzcd}

la disposition du cube est redessinée de façon approximative : la flèche partant de [C(X, k)] est en pointillé et barrée en partie ; la flèche verticale de droite porte « \wr (Cartan, S^*_X étant « homotopiquement fin ») ».

La base du cube est formée d'isom., car transformée par R^*\Gamma d'un carré d'isos dans une cat. dérivée ; la face du haut est formée d'isos, car le sont déjà pour deux autres, donc aussi pour la quatrième qui reste.

On travaille dans le topos \mathcal{S}s = \widehat{\Delta}, avec k anneau comm.

\Phi_* = \Phi_{*k} = i_{0*}(k) = \Phi_{*\mathbb{Z}} \otimes_{\mathbb{Z}} k = \Phi_{*\mathbb{Z}} \otimes_{\mathbb{Z}_*} k_*

T On le considère comme faisceau de k-modules, (pas comme faisceau d'anneaux) muni d'une section T \left\{\begin{array}{l} T \in \Gamma(\mathcal{S}s, \Phi_{*k}) \ \ [= \Gamma(\mathcal{S}s, C^{1,0}_*)] \\ k_* \hookrightarrow \Phi_{*k} \end{array}\right. définissant une injection.

On a l'~~algèbre~~ bigraduée différentielle à p.d. (diff. de bidegré -1, +1 …) ~~(alg.~~ alg. alternée pour degré tot., C^{**}_{*k} = \mathcal{C}^{**}_{*k} = \Gamma^*_k \Phi_* \otimes_k \Lambda^* \Phi_* Notations \overline{\Phi}_* pour \Lambda^1 \Phi_* et \overline{x} pour « 1 \cdot x » qui est une résolution de k. De façon précise, C^{00}_{*k} = k_*, et en degré total n > 0, on trouve une suite exacte 0 \to \Gamma^n \Phi_* \to \Gamma^{n-1} \Phi_* \otimes \Lambda^1 \Phi_* \to \Gamma^{n-2} \Phi_* \otimes \Lambda^2 \Phi_* \to \cdots \to \Phi_* \otimes \Lambda^{n-1} \Phi_* \to \Lambda^n \Phi_* \to 0 \to 0 \cdots dont les termes ~~sont~~ sont flasques.

On considère dT \in \Gamma(\mathcal{S}s, C^{01}_*) \simeq \Gamma(\mathcal{S}s, \overline{\Phi}_*), \qquad dT = \overline{T}, et ~~l'homomorphisme~~ \overline{T}_\wedge : C^{**}_* \longrightarrow C^{**}_k , de bidegré (0, 1), de carré nul, \mathrm{Im}(\overline{T}_\wedge) = \mathrm{Ker}(\overline{T}_\wedge) anticommutant à d \quad (d(\overline{T} \cdot x) = \underbrace{d\overline{T}}_{=0} \cdot x - \overline{T}\, dx = -\overline{T}\, dx), car injectif C^{*0}. On pose \begin{align*} DR^{pq}_k = DR^{pq}_* &= \mathrm{Ker}\bigl(C^{p,q+1}_* \xrightarrow{\overline{T}_\wedge} C^{p,q+2}_*\bigr) \\ &= \mathrm{Ker}\bigl(\Gamma^p \Phi_* \otimes \Lambda^{q+1} \Phi_* \to \Gamma^p \Phi_* \otimes \Lambda^{q+2} \Phi_*\bigr) \\ &\simeq \text{\struck{$\mathrm{Ker}$}}\ \Gamma^p \Phi_* \otimes \underbrace{\mathrm{Ker}\bigl(\Lambda^{q+1} \Phi_* \to \Lambda^{q+2} \Phi_*\bigr)}_{\Lambda^q \Psi_*} , \qquad \Psi_* = \Phi_* / k_* \\ &\simeq \Gamma^p \Phi_* \otimes \Lambda^q \Psi_* \end{align*} DR^{**}_* = (DR^{pq}_*)_{(p,q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}}, avec la bigraduation et la différentielle (au signe près) induites par C^{**}_* (mais avec décalage de degré total) , et une structure d'anneau ~~pour le degré tot.~~ multiplicative ~~qui est~~ à p.d. qui sont canoniques

par la propriété que l'hom. épi u = \text{\struck{$\overline{T}_\wedge$}} : C^{**}_* \xrightarrow{\;u\;} DR^{**}_* \overset{i}{\hookrightarrow} C^{**}_* soit compatible ~~aux~~ structures (en fait, tous ces structures). On aura aussi \left|\begin{array}{l} i(x\, u(y)) = i(x)\, y \\ i(u(y)\, x) = y\, i(x) \end{array}\right. \qquad i(x)\, i(y) = 0 ~~i(u x\, u(y)) =~~

Notons que la suite exacte 0 \to DR^{p,q}_* \overset{i}{\longrightarrow} C^{p,q+1}_* \xrightarrow{\;(\overline{T}_\wedge) = u\;} DR^{p,q+1}_* \to 0, \qquad DR^{p,q+1}_* \subset C^{p,q+2}_* et que le noyau DR^{p,q}_* est flasque si p \geq 0 — donc si X_* \in \mathrm{ob}\,\mathcal{S}s, \mathrm{Hom}(X_*, -) donne une suite exacte (puisque C^{p,i}(X_*) \xrightarrow{\overline{T}} DR^{p,i}(X_*) est surjectif).

Posons donc \Gamma = \mathrm{Hom}(X_*, -). C^{**} = C^{**}_*(X_*) = C^{**}(X_*, k) est une k-algèbre bigraduée différentielle à p.d., avec élément marqué T \in C^{1,0}, \text{(A)} \quad \left\{\begin{array}{l} C^{00} \simeq k^{\pi_0(X_*)} \quad (= k \text{ si } X_* \text{ connexe}), \qquad = H^{00} \\ H^{pq}(C^{**}) = 0 \ \text{ si } pq \neq 0, \end{array}\right. Posant \overline{T} = dT \in C^{0,1}, … de plus \text{(B)} \quad \left\{\begin{array}{l} 0 \to C^{p,0} \xrightarrow{\overline{T}_\wedge} C^{p,1} \xrightarrow{\overline{T}_\wedge} C^{p,2} \to \cdots \to C^{p,q} \xrightarrow{\overline{T}_\wedge} C^{p,q+1} \to \\ \text{est une suite exacte si } p > 0 \end{array}\right. tandis que, pour p = 0, comme \underset{\textstyle k}{\overset{0}{\Lambda} \Phi_*} \xrightarrow{\overline{T}_\wedge} \overset{1}{\Lambda} \Phi_* \xrightarrow{\overline{T}_\wedge} \overset{2}{\Lambda} \Phi_* \to est une suite exacte fournissant une résolution flasque de k_*, on trouve H^n\bigl(0 \to C^{0,0} \xrightarrow{\overline{T}_\wedge} C^{0,1} \to \cdots \to C^{0,q} \xrightarrow{\overline{T}_\wedge} C^{0,q+1} \to \cdots\bigr) \simeq \left\{\begin{array}{ll} 0 & \text{si } n \leq 1 \\ H^{n-1}(X_*, k) & \text{si } n \geq 2 \end{array}\right. H^n pour n \le 1 nul et H^{n-1}(X_*,k) pour n \ge 2 : tel quel sur la page.

Posant DR^{pq} = DR^{pq}(X_*) = \mathrm{Ker}\bigl(C^{p,q+1} \xrightarrow{\overline{T}_\wedge} C^{p,q+2}\bigr), \qquad DR^{**} = (DR^{pq})_{p,q \in \mathbb{Z}}, on aura donc C^{p,q} \xrightarrow{\;\overline{T}_\wedge =: u\;} DR^{pq}, \ \subset C^{p,q+1}, \quad \text{épi si } p \neq 0, \qquad \text{d'où} \quad C^{**} \xrightarrow{\;u\;} DR^{**} \overset{i}{\hookrightarrow} C^{**} \mathrm{Im}\, i = \mathrm{Ker}\, u, i \circ u = \overline{T}_\wedge(\cdot) \text{(C)} \quad i(x) \cdot i(y) = 0 (il en résulte que i(u(\ldots)) … i(u\, DR) = 0 donc i(DR^{p,q}) \times i(DR^{p',q'}) = 0 si p \neq 0, p' \neq 0) donc (C) implique i(DR^{0,p}) \cdot i(DR^{0,q}) \neq 0 et on aura sur DR^{**} une structure d'algèbre bigraduée différentielle à p.d. commutative, avec exposants usuels (alternée etc.) ~~telle que~~ u : C^{**} \longrightarrow DR^{**} soit compatible … toutes ces structures et \left\{\begin{array}{l} i(x\, u(y)) = i(x)\, y \\ i(u(y)\, x) = y\, i(x) \end{array}\right. Cette structure sur DR^{**} est presque déterminée par ces propriétés, plus celle que l'anticommutant DR^{**} \to C^{**} est de bidegré 0, 1 et commutant à la différentielle — à la détermination près des produits xy et des puissances divisées x^{(i)} (i \geq 2) prenant x, y de degré complémentaire, (auquel cas on ne peut pas nécessairement les écrire sous la forme u(x') u(y') tels dans C^{**}). (\mathrm{Im}\, u) \times DR et DR \times \mathrm{Im}\, u \to

(NB Il est évident que la définition sur DR \times DR à p.d. multiplicat., satisfait u(x \cdot y) = u(x)\, u(y), \qquad i(x\, u(y)) = i(x)\, y, \qquad i(u(y)\, x) = y\, i(x) ( la première relation équivaut, en appliquant i, à \overline{T} \cdot (xy) = i(u x \cdot u y), i.e. en multipliant à droite \overline{T} \cdot (xy) = (\overline{T} x)\, y donc il suffit de vérifier l'associativité et l'unicité de \mathrm{Im}\, u \times DR \to DR \quad \text{et} \quad DR \times \mathrm{Im}\, u \to DR satisfaisant les rel. 2 et 3. Or pour la 2^{\text{e}}, il suffit de montrer que

a)i(x)\, y \in ~~\mathrm{Ker}~~ DR = \mathrm{Ker}(\overline{T}_\wedge) = xy, car \overline{T}(xy) = (\overline{T} x)\, y = 0 car \overline{T} x = 0 puisque x \in DR b)i(x)\, y = xy ne dépend que de x \in DR et de u y \in DR, car si u(y) = 0 i.e. \overline{T} y = 0, i.e. y \in DR, … xy = 0 — Idem pour 3.

D …, il suffit que u(C^{**+}) \subset DR^{**+} des op. « puiss. div. » marquées données par la condition u(x)^{(i)} = u(x^{(i)}) car il suffit de prouver que si x' est tel que u x = u x', i.e. x' = x + y, \overline{T} \cdot y = 0, alors u(x'^{(i)}) = u(x^{(i)}), i.e. \overline{T}_\wedge x'^{(i)} = \overline{T} x^{(i)} x'^{(i)} = x^{(i)} + x^{(i-1)} y + x^{(i-2)} y^{(2)} + \cdots + y^{(i)}, il suffit de prouver que \overline{T}\, y^{(i)} = 0 pour i \geq 1, ce qui résulte du fait

(D)\underset{\textstyle \mathrm{Ker}(\overline{T}_\wedge(\cdot))}{DR^{**+}} \subset C^{**} ~~est stable par~~ est les puiss. div. (dans C^{**}) y^{(i)} (i \geq 2) \Rightarrow nulles

~~i.e. si y \in C^{**+}, \overline{T} \cdot y = 0 \Rightarrow \overline{T} \cdot y^{(i)} = 0 \forall i \geq 1,~~

(ceci se démontre résulte de la construction pour DR^{**}_* \subset C^{**}_*, où loc. y est de la forme \overline{T} z, donc \overline{T}\, y^{(i)} = \overline{T}^{i} z^{(i)}, qui est donc nul si i \geq 2.)

~~() i(\ldots\overline{T}\ldots DR^{\ldots} \subset C\ldots) \ldots~~

Ainsi, les seules données supplémentaires sur C^{**} pour déterminer ~~définir~~ les structures habituelles sur DR^{**} sont \text{(E)} \quad \left\{\begin{array}{lll} \text{multiplication} & DR^{0,p+} \times DR^{0,q+} \longrightarrow DR^{0,p+q+} & (p, q \geq 1) \\ \text{puiss. division} & DR^{0,p} \xrightarrow{\;\gamma^i\;} DR^{0,pi} & (i \geq 2) \end{array}\right. (marquées) dans (E), « DR » est chaque fois écrit sur un mot biffé illisible.

~~(NB Z^{0,1} \times Z^{0,q+1} \to \ldots pour p ou q = 1, Z^{0,1} est engendré par … Z^{0,p+1})~~

plus les axiomes auxquels il faut pour assurer que sur DR^{**}, … les propriétés habituelles pour les opérations.

Pb Trouver des splittings canoniques des suites exactes \begin{array}{ccc} 0 & & \\ \downarrow & & \\ \Gamma^p \Phi_* \otimes \Lambda^q \Psi_* & & \cdots \to \Lambda^{q+1} \Phi_* \\ \uparrow & \text{?} & \\ \Gamma^p \Phi_* \otimes \Lambda^q \overline{\Phi}_* & & \\ \uparrow & & \\ \Gamma^p \Phi_* \otimes \Lambda^{q-1} \Psi_* & & \cdots \to \Lambda^q \Phi_* \\ \uparrow & & \\ 0 & & \end{array} pour p \geq 1. la flèche courbe marquée « ? » va du terme du haut vers celui du milieu : c'est le scindage cherché.

NB Comme \Gamma^p \Phi_* \otimes \Lambda^q \Psi_* est un k-Module projectif (p \geq 1), il y a un splitting. On veut un choix simple. Notons que ce cas q = 0 est trivial (car \Lambda^{q-1} \Psi_* = 0).

Cas premier p = 1, q = 1.

La suite exacte est 0 \to \underset{\textstyle \Phi_*}{\Phi_* \otimes k} \longrightarrow \Phi_* \otimes \overline{\Phi}_* \longrightarrow \Phi_* \otimes \Psi_* \to 0 On note que \mathrm{Hom}_{k\text{-Mod}}\bigl(\Phi_* \otimes \Psi_*, \underset{\textstyle i_{0*}(k)}{\Phi_*}\bigr) \simeq \mathrm{Hom}_{k\text{-Mod}}\bigl((\Phi_* \otimes \Psi_*)_0, k\bigr) = 0, \qquad \text{car } (\Phi_* \otimes \Psi_*)_0 = \Phi_0 \otimes \Psi_0 = 0, donc splitting unique \Phi_* \otimes \overline{\Phi}_* \simeq (\Phi_* \otimes \Psi_*) \oplus \Phi_* Soit s : \Phi_* \otimes \Psi_* \longrightarrow \Phi_* \otimes \overline{\Phi}_* la page s'arrête ici ; la définition de s n'est pas donnée.

Faisceaux tests du topos De Rham

titre encadré de sa main, en haut à droite de la p. 79.

1. Soit X un topos, et \mathbb{Z} \xrightarrow{\;u\;} \Phi une immersion de \mathbb{Z} dans un faisceau \Phi, tel que

a)\mathrm{Coker}\,\Phi sic, pour le conoyau de u est \mathbb{Z}-plat b)Pour tout i > 0, \Lambda^i_{\mathbb{Z}} \Phi et \Gamma^i_{\mathbb{Z}} \Phi sont flasques, et le restent par tensorisation avec tout faisceau abélien.

En particulier, on en conclut

b')Si i, j \geq 0 et i + j > 0, alors ~~\Lambda~~ \Gamma^i_{\mathbb{Z}} \Phi \otimes \Lambda^j_{\mathbb{Z}} \Phi est flasque.

De b') on conclut (par récurrence et dévissage), posant \mathrm{Coker}\, i = \Psi

\alpha)que les \Gamma^i_{\mathbb{Z}} \Phi \otimes \Lambda^j_{\mathbb{Z}} \Psi sont flasques pour i > 0.

De ceci on conclut

\beta)Posant K^{\cdot\cdot}_u = \Gamma^*_{\mathbb{Z}} \Phi \otimes \Lambda^*_{\mathbb{Z}} \Psi, avec l'opér. diff. et compatible aux puissances divisées, qui, sur \Lambda \Psi est nulle et sur \Phi est l'hom. canonique \Phi \to \Psi, et définissant \mathbb{Z}\{T\} \longrightarrow \mathcal{H}^{*0}(K^{**}_u) par T \mapsto 1 \in \mathbb{Z} = \mathrm{Ker}(\Phi \xrightarrow{d} \Psi), et prolongeant par la condition d'être compatible aux p. div., on trouve que K^{\cdot\cdot}_u est une résolution de \mathbb{Z}\{T\}.

Utilisant encore a), et b), on trouve

\gamma)Pour tout faisceau d'anneaux comm. k sur X, K^{\cdot\cdot}_{u,k} \simeq K^{\cdot\cdot}_u \otimes k \simeq \Gamma^*_k \Phi_k \otimes \Lambda^*_k \Psi_k est une résolution de k\{T\} \simeq \mathcal{H}^{\cdot 0}(K^{\cdot\cdot}_{u,k}), et les \Gamma^i_k \Phi_k \otimes \Lambda^j_k \Psi_k sont flasques pour i > 0.

On va graduer K^{\cdot\cdot}_{u,k} par a) le degré extérieur venant de \Lambda^*_k \Psi_k (deg ext \Gamma^i \otimes \Lambda^j = j) et b) le degré total i + j. Ainsi d augmente le degré extérieur par 1, et invarie le degré total (le degré complémentaire étant deg comp \Gamma^i \otimes \Lambda^j = i, il est diminué de 1 par d…) Muni des degrés total (ou complémentaire) K^{\cdot\cdot}_{u,k} est une Algèbre graduée sur l'Anneau gradué k\{T\}.

Conséquences (de ce qui précède de suite)

Théorème Soit K^{\cdot\cdot}(X, u, k) = \Gamma(X, K^{\cdot\cdot}_{u,k}). Alors on a un hom. can. (du fait que K^{\cdot\cdot}_{u,k} est une résolution de k\{T\}) H^{**}(X, u, k) \overset{\text{déf}}{=} H^{**}\bigl(K^{\cdot\cdot}(X, u, k)\bigr) \longrightarrow H^{**}(X, k\{T\}) \simeq H^*(X, k) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}\{T\} le dernier membre est écrit \mathbb{Z}\{T\} et non k\{T\} ; tel quel. et ceci est un isomorphisme pour les bidegrés (i, j) tels que j \leq i, tandis que H^{i,j}(X, u, k) = 0 (et pas un iso.) pour j > i.

dans la marge gauche, un quadrant d'axes avec des points disposés en escalier sous la diagonale, figurant les bidegrés (i,j), j \le i, où le morphisme est un isomorphisme.

Corollaire plus général. Soit f : X \to Y un morphisme de topos. Alors f_* K^{\cdot\cdot}_{u,k} \longrightarrow Rf_*(k\{T\}) \simeq Rf_*(k) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}\{T\} la page s'arrête ici ; l'énoncé du corollaire se poursuit au-delà du lot.