Cote n° 136, pages 61–80

Cote n° 136 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Complexe de De Rham à puissance divisée [conférence de 1976 à l’IHÉS] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1975-1976]
Édition de démonstration

61la moitié supérieure de la page est barrée de longs traits obliques ; on en donne ce qui se lit.

$\Delta/\mathcal{X} \xrightarrow{\text{fibration}} \Delta$

$C \to B$, $F : C^{\circ} \to \mathcal{E}$, $C_b \overset{i^*}{\leftarrow} C_{b'}$, $x' \mapsto b'$ : \[ \text{\struck{$(b \in B) \longmapsto \sum_{x \in C_b} F(x) \longrightarrow F(i_*(x'))$}} \] \[ \text{\struck{$(b' \in B) \longmapsto \sum_{x' \in C_{b'}} F(x') \longrightarrow F(x')$}} \] (si dual) \[ \text{\struck{$(b \in B) \longmapsto \prod_{x \in C_b} F(x) \longrightarrow F(i^*(x'))$}} \] \[ \text{\struck{$(b' \in B) \longmapsto \prod_{x \in C_{b'}} F(x) \longrightarrow F(x')$}} \] $\mathcal{E}$ (cat. avec sommes directes)

Si $(\Delta/\mathcal{X})^{\circ} \xrightarrow{A_*} \mathcal{E}$ […] est un faisceau sur $\mathcal{X}$ (i.e. faisceau ⌜système⌝ à coeff. contravariant par rapport au simplexe variable sur $\mathcal{X}$), on lui associe $C_*(\mathcal{X}, A_*) = i_!(A_*) : \Delta^{\circ} \to \mathcal{E}$, où $i : \Delta/\mathcal{X} \to \Delta$ est le morphisme d'incarnation (⌜des topos⌝ cat. associées).

Si $\Delta/\mathcal{X} \xrightarrow{A^*} \mathcal{E}$ […] est un « cofaisceau » sur $\mathcal{X}$ (i.e. syst. à coeff. covariant par rapport au simplexe variable de $\mathcal{X}$), on lui associe $C^*(\mathcal{X}, A^*) = \ill{} : (\Delta \ill{}) \to \mathcal{E}$.

On passe de l'un à l'autre en remplaçant $\mathcal{E}$ par $\mathcal{E}^{\circ}$ ; c'est compatible avec composition avec foncteurs $\mathcal{E} \to \mathcal{E}'$ qui commutent aux sommes resp. produits.

63la page commence en cours d'argument : ce qui précède est avant le lot, la p. 62 étant étrangère. ($k$ anneau commutatif […]) Mais si $F$ ⌜sur $X_*$⌝ est loc. constant ⌜(un $k$-Module)⌝, alors on montre facilement que \[ C^*(X_*, F) \simeq \Gamma\bigl(X_*, \underbrace{(C^*_*|X_*)}_{C^*_{X_*}} \otimes_{k_*} F\bigr) \] NB on […] $C^*_* = C^*_{*k}$ […] notations et on vérifie tout de suite que $C^*_{X_*} \otimes_{k_*} F$ est une résolution de $F$, laquelle est d'ailleurs flasque à vérifier en passant (que $F$ soit loc. constant ou non, d'ailleurs). Donc, sans hypothèse de locale constance sur $F$, $C^*(X_*, F)$ permet de calculer la coh. de $X_*$ à coeff. dans $F$ (i.e. on a un iso. canon. \[ H^*\bigl(C^*(X_*, F)\bigr) \simeq H^*(X_*, F), \qquad C^*(X_*, F) \overset{\text{déf}}{=} \Gamma(X_*, C^*_{X_*} \otimes_k F), \] pour compatible fonctoriel en $F$ (et […] $(X_*, F)$ …) et compatible avec les cobords. De même, pour le calcul de l'hypercohomologie de $X_*$ à coeff. dans un complexe de $k$-Modules $F^*$. En termes de catégories dérivées, on a un isomorphisme de foncteurs triangulés \[ R\Gamma(X_*, F^*) \simeq \underbrace{C^*(X_*, F^*)}_{\text{par diagonale associé aux deux degrés}} \] (venant de $C^*$ et de $F^*$).

64Soit maintenant $A^*_*$ un $k$-module complexe de cochaînes de $k$-modules $\frac{1}{2}$simpliciaux \[ 0 \to A^0_* \to A^1_* \to A^2_* \to \cdots \] et proposons-nous de définir les homomorphismes de ce complexe dans les \[ 0 \to C^0_{*M} \to C^1_{*M} \to C^2_{*M} \to \cdots \] ($M$ un $k$-module donné). Tout d'abord, les termes de degré $0$ […] […] $A_* \to \ill{}$ (cf. (A)) sont les syst. d'hom. \[ A^n_* \xrightarrow{u_n} C^n_{*M}, \] i.e. les syst. d'hom. de $k$-modules \[ A^n_n \xrightarrow{k_n} M . \] […] L'hom. composé \[ d_C \circ u_n : A^n_* \longrightarrow C^n_{*M} \longrightarrow C^{n+1}_{*M} \] correspond à l'hom. composé \[ A^n_{n+1} \xrightarrow{\;k_n \partial_{n+1}\;} M, \qquad A^n_{n+1} \xrightarrow{\partial_{n+1}} A^n_n \xrightarrow{k_n} M, \] tandis que l'hom. composé \[ u_{n+1} \circ d_A : A^n_* \longrightarrow A^{n+1}_* \longrightarrow C^{n+1}_{*M} \] correspond à l'hom. composé \[ A^n_{n+1} \longrightarrow M, \qquad A^n_{n+1} \xrightarrow{d^n_A} A^{n+1}_{n+1} \xrightarrow{k_{n+1}} M, \]

65et la condition que les $u_n$ définissent un hom. de complexes est la « condition de Stokes » \[ k_n \partial_{n+1} = k_{n+1} d : \]

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\begin{tikzcd}
A^n_{n+1} \arrow[r, "\partial_{n+1}"] \arrow[d, "d^n"'] & A^n_n \arrow[d, "k_n"] \\
A^{n+1}_{n+1} \arrow[r, "k_{n+1}"'] & M
\end{tikzcd}

Sous ces conditions, pour $X_*$ ($\in \mathrm{ob}\,\widehat{\Delta}$) […] un hom. déduit de $u$ \[ \Gamma(X_*, A^*_{X_*}) \Longrightarrow C^*(X_*, M_*) \simeq \Gamma(X_*, C^*_{*M}|X_*), \] qui représente un hom. dans la cat. dérivée \[ \Gamma(X_*, A^*_{X_*}) \longrightarrow R\Gamma_{X_*}(M) \] associé à $u_*$. On aura alors commutativité dans

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\begin{tikzcd}
\Gamma(X_*, A^*_{X_*}) \arrow[r] \arrow[d] & {C^*(X_*, M) = \Gamma(X_*, C^*_M|X_*)} \arrow[d, "\wr"] \\
R\Gamma(X_*, A^*_{X_*}) \arrow[r] & R\Gamma(X_*, M)
\end{tikzcd}

Si $A^*$ est une résolution de $M_*$, et $k_0 : A^0_0 \to M$ induit l'identité sur $M \subset A^0_0$, alors la dernière flèche horizontale est aussi un iso, et

66on peut considérer la flèche \[ \underset{\textstyle \mathrm{Hom}(X_*, A^*)}{\Gamma(X_*, A^*_{X_*})} \longrightarrow C(X_*, M) \] déduite du syst. de Stokes–De Rham $(k_n)$ comme une réalisation de l'homom. canonique

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\begin{tikzcd}
\Gamma(X_*, A^*_{X_*}) \arrow[r] & R\Gamma(X_*, A^*_{X_*}) \\
 & R\Gamma(X_*, M) \arrow[u, "\wr"']
\end{tikzcd}

On notera que sous les conditions de la prop. 1, il a

Supposons

NB L'hom. \[ \mathrm{Hom}(X_*, A^n_*) = \Gamma(X_*, A^n_{X_*}) \xrightarrow{u^n} C^n(X_*, M) \] associé à $k_n$ s'explicite ainsi : On considère, pour un […] élément $f : X_* \to A^n_*$, la composante \[ f_n : X_n \to A^n_n \] et on prend \[ u^n(f) = k_n \circ f_n \in \mathrm{Hom}(X_n, M). \]

Supposons maintenant ⌜dans la $\frac{1}{2}$simpliciale⌝ que $A^*_*$ […] soit un complexe satisfaisant

a)$A^i_n = 0$ si $i > n$ (i.e. aussi $d A^n_n = Z^n_n$, i.e. $d(A^n_n) = 0$ si $n \geq 1$)
b)$H^n(A^*_n) = 0$ si $n \geq 1$
c)$H^{n-1}(A^*_n) = 0$ si $n \geq 2$.

Alors on sait qu'un syst. $k_n : A^n_n \to M$ satisfaisant la condition de Stokes

67est déterminé par la connaissance de \[ k_0 : A^0_0 = A_0 \longrightarrow M \] et $k_0$ correspond à un $(k_n)$ ssi \[ k_0\bigl(\partial_1(\mathrm{Ker}(A^0_1 \xrightarrow{d} A^1_1))\bigr) = 0 \] (donc il y a un syst. d'intégrales de Stokes–De Rham « universel » à valeurs dans \[ A_0 / \partial_1\bigl(\mathrm{Ker}(A^0_1 \xrightarrow{d} A^1_1)\bigr) ; \] le cas le plus intéressant est celui où $\partial_1(\mathrm{Ker}(A^0_1 \xrightarrow{d} A^1_1)) = 0$, donc où le choix universel est fourni par $M = A_0$, ce qui sera le cas en particulier si

c')$H^0(A^*_1) \xleftarrow{\;\sim\;} \varepsilon^*(A^0_0)$ (où $\varepsilon : \Delta_1 \to \Delta_0$ …)

(ce qui est une variante de c) pour $n = 1$). ou $H^0(A^*_1) = \varepsilon^*(Z^0_0)$ […] et […] […]

Sous ces conditions, on sait donc qu'il existe un unique hom. de complexes de cochaînes $\frac{1}{2}$simpliciaux \[ A^*_* \longrightarrow C^*_{*M} \] qui sur $A^0_0 = A_0$ coïncide avec \[ k_0 : A^0_0 \longrightarrow C^0_{0M} = M \] (donc l'identité, i.e. toutes fonctions pratiques). On peut noter que fait cet hom. est à valeurs dans $C^{*!}_{*M}$ (les cochaînes non dégénérées), i.e. fait \[ A^*_* \longrightarrow C^{*!}_{*M} \simeq \Lambda^{*+1} \Phi_{*k} \otimes_k M, \] en se rappelant que \[ C^{n!}_{*M} = \bigcap_{\substack{\sigma : \Delta_m \to \Delta_n \\ m < n}} \mathrm{Ker}\bigl(C^n_{*M} \xrightarrow{\sigma^*} C^m_{*M}\bigr). \]

68d'où \[ \mathrm{Hom}(A^n_*, C^{n!}_{*M}) = \bigl\{ A^n_* \xrightarrow{f} C^n_{*M} \bigm| \sigma^* f = 0 \ \ \forall \sigma : \Delta_m \to \Delta_n,\ m < n \bigr\}. \]

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\begin{tikzcd}
A^n_* \arrow[r, "f"] \arrow[d, "\sigma^*_A"'] & C^n_* \arrow[d, "\sigma^*_C"] \\
A^m_* \arrow[r] & C^m_*
\end{tikzcd}

Or $A^n_* \to C^n_*$ est défini par \[ A^n_n \xrightarrow{k_n} M, \] son composé $A^n_* \to C^n_* \to C^m_*$ est défini par la \[ A^n_m \longrightarrow M \] qui n'est autre que le composé \[ A^n_m \xrightarrow{\sigma^A} A^n_n \xrightarrow{k_n} M, \] et la condition $f(A^n_*)$ […] donc \[ f^n(A^n_*) \subset C^{n!}_* \iff k_n \circ \sigma^* = 0 \quad \forall \sigma : \Delta_n \to \Delta_m,\ m < n \] (il suffit […] de le vérifier pour les […] des dégénérescences) ; or cette condition est toujours satisfaite si $A^i_m = 0$ si $i > m$, ce qu'on a supposé dans a).

Ex. Soit $S$ un anneau à p.d. $\ill{}$, v.d., $t \in J$, considérons alors l'anneau différentiel simplicial à p.d. \[ A^*_{*S} = \bigl(\Gamma^*(\Phi_{*S}) \otimes_S \Lambda^* \Psi_{*S}\bigr) / (T - t)_{pd}, \] c'est une résolution de $S$, et $A^i_j = 0$ si $i > j$, donc on a un syst. d'intégrales de Stokes–De Rham à valeurs dans $S$, donc \[ A^*_* \xrightarrow{\;\sim\;} \bigl(\Gamma^*(\Phi_{*S}) \otimes_S \Lambda \Psi_{*S} / (T - t)_{pd}\bigr) \longrightarrow \Lambda^{*+1} \Phi_{*S} \] dont il faudrait étudier les propriétés multiplicatives … […]

(1)$k_X \xrightarrow{\varepsilon_X} A^*_X$, $K_X = (K_n)_{n \geq 0}$, $K_n : A_n \to k$, satisf. $\left\{\begin{array}{l} \text{Stokes} \\ K_0 \varepsilon_0 = \mathrm{id} \end{array}\right.$
(2)Soit […] espace topologique $X$, ⌜[…]⌝ faisceau différentiel $\varepsilon \to \Omega^*$ qui est une résolution de $k_X$ (p. ex. complexe de DR sur $X$ variété $C^{\infty}$, $k = \mathbb{R} = S$).
(3)Un sous-ensemble $S(X)'$ du complexe singulier de $X$, tel que $S(X)' \to S(X)$ […] induise un isom. pour les groupes d'homologie ⌜singulière⌝ (p. ex. $X$ variété $C^{\infty}$, $S(X)'$ ens. des simplexes singuliers $C^{\infty}$) ⌜(d'une base) et […] […] $S(X)$ […] de $S$-complexes⌝ […] […] […] $h$-augm.
(4)$\forall \sigma \in S(X)'$, et […] \[ \sigma^* : \varinjlim_{U \supset \operatorname{Supp}\sigma} \Omega^*(U) \longrightarrow A^*_n \]

donc […] le faisceau […] […] $S'_{X,k}$ […] $S'^{*}_{X,k}$ […] $S'_{X,k}$ […] une rés. […] « $\operatorname{Supp}\sigma$ » : lecture conjecturale d'une abréviation (« s–W ») qui revient dans toute la page, sous les limites inductives.

On suppose que si … on a commutativité

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\begin{tikzcd}
\varinjlim_{U \supset \operatorname{Supp}\sigma} \Omega^*(U) \arrow[r] \arrow[d, "\text{restriction}"'] & A^*_m \arrow[d] \\
\varinjlim_{V \supset \operatorname{Supp}\alpha^*(\sigma)} \Omega^*(V) \arrow[r] & A^*_n
\end{tikzcd}

$\Delta_n \xrightarrow{\alpha} \Delta_m$, $\sigma : \Delta_m \to S(X)' = \mathcal{X}$, $\alpha^*(\sigma) = \sigma \circ \alpha$ NB $\operatorname{Supp}\alpha^*(\sigma) \subset \operatorname{Supp}\sigma$.

[NB On peut dire que les \[ \sigma \longmapsto \varinjlim_{U \supset \operatorname{Supp}\sigma} \Omega^*(U) \] forment un […] objet semi-simplicial $\Omega^*_{S(X)'}$ (en fait, un complexe de $S$-modules $k$-augmentés) sur $S(X)' = \mathcal{X}$, et on se donne un hom. de celui-ci dans le complexe augmenté $A^*_{*\mathcal{X}}$ sur $\mathcal{X} = S(X)'$ défini par $A^*_{*}$.

NB Jusqu'ici (1) $(A^*_*, \varepsilon_*, K_*)$ et (4) ne servent que pour pouvoir définir un $\Omega^* \to S_X^{*\prime}$ compatible aux augm.

71la première ligne de diagrammes est barrée de traits obliques ; on en donne ce qui se lit.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
R^*\Gamma(X, k) \arrow[r, "\varepsilon_{S^*_X}", "\sim"'] \arrow[d, "\wr"] & R^*\Gamma(X, S^*_X) \arrow[d, "\wr"] & \Gamma(X, S^*_X) \arrow[l, "\sim"'] \arrow[d, "\wr"] \\
R^*\Gamma(X, \Omega^*) \arrow[r, "\sim"] & R^*\Gamma(X, S'^*_X) & \Gamma(X, S'^*_X) \arrow[l, "\sim"'] \\
C^*(X, \Omega^*) \arrow[u] & &
\end{tikzcd}

avec $\Gamma(X, S^*_X) = C^*(S(X), k)$, $\Gamma(X, S'^*_X) = C^*(S(X)', k)$ ($S'^*_X$ […] […] homotopiquement […])

NB la donnée (4) jointe aux $K_*$ définit un hom. $\Omega^* \to S'^*_X$ par $K$ compatible avec les augmentations, d'où carré commutatif

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\begin{tikzcd}
\Omega^* \arrow[r] & S'^*_X \\
k \arrow[u] \arrow[r] & S^*_X \arrow[u]
\end{tikzcd}

(i) […] (d'isom. dans $D(X, S)$) d'où là : un cube commutatif

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
C^*(X, \Omega^*) \arrow[r] \arrow[dd, "\wr"'] & {C^*(X, S'^*_X) \overset{\text{déf}}{=} C(S'_X, k)} \arrow[dd, "\wr"] & \\
 {[C(X, k)]} \arrow[rr, dashed] \arrow[u] & & {C^*(X, S^*_X) = C(S_X, k)} \arrow[ul, "\text{hypoth. } S'_X"'] \arrow[dd, "\wr"] \\
R^*\Gamma(X, \Omega^*) \arrow[r, "\sim"] & R^*\Gamma(X, S'^*_X) & \\
R^*\Gamma(X, k) \arrow[u, "\wr"] \arrow[rr, "\sim"] & & R^*\Gamma(X, S^*_X) \arrow[ul, "\wr"']
\end{tikzcd}

la disposition du cube est redessinée de façon approximative : la flèche partant de $[C(X, k)]$ est en pointillé et barrée en partie ; la flèche verticale de droite porte « $\wr$ (Cartan, $S^*_X$ étant « homotopiquement fin ») ».

La base du cube est formée d'isom., car transformée par $R^*\Gamma$ d'un carré d'isos dans une cat. dérivée ; la face […] du haut est formée d'isos, car […] le sont déjà pour deux autres, donc aussi pour la quatrième qui reste.

73On travaille dans le topos $\mathcal{S}s = \widehat{\Delta}$, avec $k$ anneau comm.

$\Phi_* = \Phi_{*k} = i_{0*}(k) = \Phi_{*\mathbb{Z}} \otimes_{\mathbb{Z}} k = \Phi_{*\mathbb{Z}} \otimes_{\mathbb{Z}_*} k_*$

$T$ On le considère comme faisceau de $k$-modules, (pas comme faisceau d'anneaux) muni d'une section $T$ \[ \left\{\begin{array}{l} T \in \Gamma(\mathcal{S}s, \Phi_{*k}) \ \ [= \Gamma(\mathcal{S}s, C^{1,0}_*)] \\ k_* \hookrightarrow \Phi_{*k} \end{array}\right. \] définissant une injection.

On a l'algèbre bigraduée […] différentielle à p.d. (diff. de bidegré $-1, +1$ …) (alg. alg. alternée pour degré tot., \[ C^{**}_{*k} = \mathcal{C}^{**}_{*k} = \Gamma^*_k \Phi_* \otimes_k \Lambda^* \Phi_* \] Notations $\overline{\Phi}_*$ pour $\Lambda^1 \Phi_*$ et $\overline{x}$ pour « $1 \cdot x$ » […] […] […] qui est une résolution de $k$. De façon précise, \[ C^{00}_{*k} = k_*, \] et en degré total $n > 0$, on trouve une suite exacte \[ 0 \to \Gamma^n \Phi_* \to \Gamma^{n-1} \Phi_* \otimes \Lambda^1 \Phi_* \to \Gamma^{n-2} \Phi_* \otimes \Lambda^2 \Phi_* \to \] \[ \cdots \to \Phi_* \otimes \Lambda^{n-1} \Phi_* \to \Lambda^n \Phi_* \to 0 \to 0 \cdots \] dont les termes sont sont flasques.

On considère \[ dT \in \Gamma(\mathcal{S}s, C^{01}_*) \simeq \Gamma(\mathcal{S}s, \overline{\Phi}_*), \qquad dT = \overline{T}, \] et l'homomorphisme […] \[ \overline{T}_\wedge : C^{**}_* \longrightarrow C^{**}_k , \] de bidegré $(0, 1)$, de carré nul, $\mathrm{Im}(\overline{T}_\wedge) = \mathrm{Ker}(\overline{T}_\wedge)$ ⌜anti⌝commutant à \[ d \quad (d(\overline{T} \cdot x) = \underbrace{d\overline{T}}_{=0} \cdot x - \overline{T}\, dx = -\overline{T}\, dx), \] car injectif […] $C^{*0}$. On pose \[\begin{align*} DR^{pq}_k = DR^{pq}_* &= \mathrm{Ker}\bigl(C^{p,q+1}_* \xrightarrow{\overline{T}_\wedge} C^{p,q+2}_*\bigr) \\ &= \mathrm{Ker}\bigl(\Gamma^p \Phi_* \otimes \Lambda^{q+1} \Phi_* \to \Gamma^p \Phi_* \otimes \Lambda^{q+2} \Phi_*\bigr) \\ &\simeq \text{\struck{$\mathrm{Ker}$}}\ \Gamma^p \Phi_* \otimes \underbrace{\mathrm{Ker}\bigl(\Lambda^{q+1} \Phi_* \to \Lambda^{q+2} \Phi_*\bigr)}_{\Lambda^q \Psi_*} , \qquad \Psi_* = \Phi_* / k_* \\ &\simeq \Gamma^p \Phi_* \otimes \Lambda^q \Psi_* \end{align*}\] \[ DR^{**}_* = (DR^{pq}_*)_{(p,q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}}, \] avec la bigraduation et la différentielle (au signe près) induites par $C^{**}_*$ ⌜(mais avec décalage de degré total)⌝ […], et une structure d'anneau pour le degré tot. multiplicative qui est à p.d. qui sont canoniques

74par la propriété que l'hom. épi \[ u = \text{\struck{$\overline{T}_\wedge$}} : C^{**}_* \xrightarrow{\;u\;} DR^{**}_* \overset{i}{\hookrightarrow} C^{**}_* \] soit compatible aux structures (en fait, tous ces structures). On aura aussi \[ \left|\begin{array}{l} i(x\, u(y)) = i(x)\, y \\ i(u(y)\, x) = y\, i(x) \end{array}\right. \qquad i(x)\, i(y) = 0 \] $i(u x\, u(y)) =$

Notons que la suite exacte \[ 0 \to DR^{p,q}_* \overset{i}{\longrightarrow} C^{p,q+1}_* \xrightarrow{\;(\overline{T}_\wedge) = u\;} DR^{p,q+1}_* \to 0, \qquad DR^{p,q+1}_* \subset C^{p,q+2}_* \] et que le noyau $DR^{p,q}_*$ est flasque si $p \geq 0$ — donc […] si $X_* \in \mathrm{ob}\,\mathcal{S}s$, $\mathrm{Hom}(X_*, -)$ donne une suite exacte (puisque […] $C^{p,i}(X_*) \xrightarrow{\overline{T}} DR^{p,i}(X_*)$ est surjectif).

Posons donc $\Gamma = \mathrm{Hom}(X_*, -)$. \[ C^{**} = C^{**}_*(X_*) = C^{**}(X_*, k) \] est une $k$-algèbre bigraduée différentielle à p.d., avec élément marqué $T \in C^{1,0}$, \[ \text{(A)} \quad \left\{\begin{array}{l} C^{00} \simeq k^{\pi_0(X_*)} \quad (= k \text{ si } X_* \text{ connexe}), \qquad = H^{00} \\ H^{pq}(C^{**}) = 0 \ \text{ si } pq \neq 0, \end{array}\right. \] Posant $\overline{T} = dT \in C^{0,1}$, … de plus \[ \text{(B)} \quad \left\{\begin{array}{l} 0 \to C^{p,0} \xrightarrow{\overline{T}_\wedge} C^{p,1} \xrightarrow{\overline{T}_\wedge} C^{p,2} \to \cdots \to C^{p,q} \xrightarrow{\overline{T}_\wedge} C^{p,q+1} \to \\ \text{est une suite exacte si } p > 0 \end{array}\right. \] tandis que, pour $p = 0$, comme \[ \underset{\textstyle k}{\overset{0}{\Lambda} \Phi_*} \xrightarrow{\overline{T}_\wedge} \overset{1}{\Lambda} \Phi_* \xrightarrow{\overline{T}_\wedge} \overset{2}{\Lambda} \Phi_* \to \] est une suite exacte fournissant une résolution flasque de $k_*$, on trouve \[ H^n\bigl(0 \to C^{0,0} \xrightarrow{\overline{T}_\wedge} C^{0,1} \to \cdots \to C^{0,q} \xrightarrow{\overline{T}_\wedge} C^{0,q+1} \to \cdots\bigr) \simeq \left\{\begin{array}{ll} 0 & \text{si } n \leq 1 \\ H^{n-1}(X_*, k) & \text{si } n \geq 2 \end{array}\right. \] $H^n$ pour $n \le 1$ nul et $H^{n-1}(X_*,k)$ pour $n \ge 2$ : tel quel sur la page.

75Posant \[ DR^{pq} = DR^{pq}(X_*) = \mathrm{Ker}\bigl(C^{p,q+1} \xrightarrow{\overline{T}_\wedge} C^{p,q+2}\bigr), \qquad DR^{**} = (DR^{pq})_{p,q \in \mathbb{Z}}, \] on aura donc \[ C^{p,q} \xrightarrow{\;\overline{T}_\wedge =: u\;} DR^{pq}, \ \subset C^{p,q+1}, \quad \text{épi si } p \neq 0, \qquad \text{d'où} \quad C^{**} \xrightarrow{\;u\;} DR^{**} \overset{i}{\hookrightarrow} C^{**} \] $\mathrm{Im}\, i = \mathrm{Ker}\, u$, $i \circ u = \overline{T}_\wedge(\cdot)$ \[ \text{(C)} \quad i(x) \cdot i(y) = 0 \] (il en résulte que $i(u(\ldots))$ … $i(u\, DR) = 0$ donc $i(DR^{p,q}) \times i(DR^{p',q'}) = 0$ si $p \neq 0$, $p' \neq 0$) donc (C) implique $i(DR^{0,p}) \cdot i(DR^{0,q}) \neq 0$ […] et on aura sur $DR^{**}$ une structure d'algèbre bigraduée différentielle à p.d. ⌜commutative, avec exposants usuels (alternée etc.)⌝ telle que \[ u : C^{**} \longrightarrow DR^{**} \] soit compatible … toutes ces structures ⌜et $\left\{\begin{array}{l} i(x\, u(y)) = i(x)\, y \\ i(u(y)\, x) = y\, i(x) \end{array}\right.$⌝ Cette structure sur $DR^{**}$ est presque déterminée par ces propriétés, plus celle que l'⌜anti⌝commutant $DR^{**} \to C^{**}$ est de bidegré $0, 1$ et commutant à la différentielle — à la détermination près des produits $xy$ ⌜[…]⌝ et des puissances divisées $x^{(i)}$ ($i \geq 2$) prenant $x, y$ de degré complémentaire, (auquel cas on ne peut […] pas nécessairement les écrire sous la forme $u(x')$ ⌜$u(y')$⌝ tels dans $C^{**}$). ⌜$(\mathrm{Im}\, u) \times DR$⌝ […] ⌜et $DR \times \mathrm{Im}\, u \to$⌝ […]

(NB Il est évident que la […] ⌜définition sur $DR \times DR$⌝ ⌜à p.d. […]⌝ multiplicat., […] satisfait \[ u(x \cdot y) = u(x)\, u(y), \qquad i(x\, u(y)) = i(x)\, y, \qquad i(u(y)\, x) = y\, i(x) \] ([…] la première relation équivaut, en appliquant $i$, à $\overline{T} \cdot (xy) = i(u x \cdot u y)$, i.e. en multipliant à droite \[ \overline{T} \cdot (xy) = (\overline{T} x)\, y \] donc il suffit de vérifier l'associativité et l'unicité de \[ \mathrm{Im}\, u \times DR \to DR \quad \text{et} \quad DR \times \mathrm{Im}\, u \to DR \] satisfaisant les rel. 2 et 3. Or pour la $2^{\text{e}}$, il suffit de montrer que

a)$i(x)\, y \in$ $\mathrm{Ker}$ $DR = \mathrm{Ker}(\overline{T}_\wedge)$ ⌜$= xy$⌝, car $\overline{T}(xy) = (\overline{T} x)\, y = 0$ car $\overline{T} x = 0$ puisque $x \in DR$
b)$i(x)\, y$ ⌜$= xy$⌝ ne dépend que de $x \in DR$ et de $u y \in DR$, car si $u(y) = 0$ i.e. $\overline{T} y = 0$, i.e. $y \in DR$, … $xy = 0$ — Idem pour 3.

76D …, il suffit que $u(C^{**+}) \subset DR^{**+}$ des op. « puiss. div. » ⌜marquées⌝ données par la condition \[ u(x)^{(i)} = u(x^{(i)}) \] car il suffit de prouver que si $x'$ est tel que $u x = u x'$, i.e. $x' = x + y$, $\overline{T} \cdot y = 0$, alors $u(x'^{(i)}) = u(x^{(i)})$, i.e. $\overline{T}_\wedge x'^{(i)} = \overline{T} x^{(i)}$ \[ x'^{(i)} = x^{(i)} + x^{(i-1)} y + x^{(i-2)} y^{(2)} + \cdots + y^{(i)}, \] il suffit de prouver que $\overline{T}\, y^{(i)} = 0$ pour $i \geq 1$, ce qui résulte du fait […]

(D)$\underset{\textstyle \mathrm{Ker}(\overline{T}_\wedge(\cdot))}{DR^{**+}} \subset C^{**}$ est stable par ⌜est⌝ les puiss. div. (dans $C^{**}$) ⌜$y^{(i)}$ ($i \geq 2$) $\Rightarrow$ nulles⌝

i.e. si $y \in C^{**+}$, $\overline{T} \cdot y = 0 \Rightarrow \overline{T} \cdot y^{(i)} = 0$ $\forall i \geq 1$,

(ceci se démontre résulte de la construction pour $DR^{**}_* \subset C^{**}_*$, où loc. $y$ est de la forme $\overline{T} z$, donc $\overline{T}\, y^{(i)} = \overline{T}^{i} z^{(i)}$, qui est donc nul si $i \geq 2$.)

([…]) $i(\ldots\overline{T}\ldots DR^{\ldots} \subset C\ldots) \ldots$

Ainsi, les seules données supplémentaires sur $C^{**}$ pour ⌜déterminer⌝ définir les structures habituelles sur $DR^{**}$ sont \[ \text{(E)} \quad \left\{\begin{array}{lll} \text{multiplication} & DR^{0,p+} \times DR^{0,q+} \longrightarrow DR^{0,p+q+} & (p, q \geq 1) \\ \text{puiss. division} & DR^{0,p} \xrightarrow{\;\gamma^i\;} DR^{0,pi} & (i \geq 2) \end{array}\right. \] (marquées) dans (E), « DR » est chaque fois écrit sur un mot biffé illisible.

(NB […] $Z^{0,1} \times Z^{0,q+1} \to \ldots$ pour $p$ ou $q = 1$, $Z^{0,1}$ est engendré par … $Z^{0,p+1}$)

plus les axiomes auxquels il faut pour assurer que sur $DR^{**}$, … les propriétés habituelles pour les opérations.

77Pb Trouver des splittings canoniques des suites exactes \[ \begin{array}{ccc} 0 & & \\ \downarrow & & \\ \Gamma^p \Phi_* \otimes \Lambda^q \Psi_* & & \cdots \to \Lambda^{q+1} \Phi_* \\ \uparrow & \text{?} & \\ \Gamma^p \Phi_* \otimes \Lambda^q \overline{\Phi}_* & & \\ \uparrow & & \\ \Gamma^p \Phi_* \otimes \Lambda^{q-1} \Psi_* & & \cdots \to \Lambda^q \Phi_* \\ \uparrow & & \\ 0 & & \end{array} \] pour $p \geq 1$. la flèche courbe marquée « ? » va du terme du haut vers celui du milieu : c'est le scindage cherché.

NB Comme $\Gamma^p \Phi_* \otimes \Lambda^q \Psi_*$ est un $k$-Module projectif ⌜($p \geq 1$)⌝, il y a un splitting. On veut un choix simple. Notons que ce cas $q = 0$ est trivial (car $\Lambda^{q-1} \Psi_* = 0$).

Cas premier $p = 1$, $q = 1$.

La suite exacte est \[ 0 \to \underset{\textstyle \Phi_*}{\Phi_* \otimes k} \longrightarrow \Phi_* \otimes \overline{\Phi}_* \longrightarrow \Phi_* \otimes \Psi_* \to 0 \] On note que \[ \mathrm{Hom}_{k\text{-Mod}}\bigl(\Phi_* \otimes \Psi_*, \underset{\textstyle i_{0*}(k)}{\Phi_*}\bigr) \simeq \mathrm{Hom}_{k\text{-Mod}}\bigl((\Phi_* \otimes \Psi_*)_0, k\bigr) = 0, \qquad \text{car } (\Phi_* \otimes \Psi_*)_0 = \Phi_0 \otimes \Psi_0 = 0, \] donc splitting unique \[ \Phi_* \otimes \overline{\Phi}_* \simeq (\Phi_* \otimes \Psi_*) \oplus \Phi_* \] Soit […] \[ s : \Phi_* \otimes \Psi_* \longrightarrow \Phi_* \otimes \overline{\Phi}_* \] la page s'arrête ici ; la définition de $s$ n'est pas donnée.

Faisceaux tests du topos De Rham

titre encadré de sa main, en haut à droite de la p. 79.

791. Soit $X$ un topos, et \[ \mathbb{Z} \xrightarrow{\;u\;} \Phi \] une immersion de $\mathbb{Z}$ dans un faisceau $\Phi$, tel que

a)$\mathrm{Coker}\,\Phi$ sic, pour le conoyau de $u$ est $\mathbb{Z}$-plat
b)Pour tout $i > 0$, $\Lambda^i_{\mathbb{Z}} \Phi$ et $\Gamma^i_{\mathbb{Z}} \Phi$ sont flasques, et le restent par tensorisation avec tout faisceau abélien. […]

En particulier, on en conclut […]

b')Si $i, j \geq 0$ et $i + j > 0$, alors $\Lambda$ $\Gamma^i_{\mathbb{Z}} \Phi \otimes \Lambda^j_{\mathbb{Z}} \Phi$ est flasque.

De b') on conclut […] ⌜(par récurrence et dévissage)⌝, posant \[ \mathrm{Coker}\, i = \Psi \]

$\alpha$)⌜que⌝ les $\Gamma^i_{\mathbb{Z}} \Phi \otimes \Lambda^j_{\mathbb{Z}} \Psi$ sont flasques pour $i > 0$.

De ceci on conclut […]

$\beta$)Posant $K^{\cdot\cdot}_u = \Gamma^*_{\mathbb{Z}} \Phi \otimes \Lambda^*_{\mathbb{Z}} \Psi$, avec l'opér. diff. […] et compatible aux puissances divisées, qui, sur […] $\Lambda \Psi$ est nulle et sur $\Phi$ est l'hom. canonique $\Phi \to \Psi$, et définissant \[ \mathbb{Z}\{T\} \longrightarrow \mathcal{H}^{*0}(K^{**}_u) \] par $T \mapsto 1 \in \mathbb{Z} = \mathrm{Ker}(\Phi \xrightarrow{d} \Psi)$, et prolongeant par la condition d'être compatible aux p. div., on trouve que $K^{\cdot\cdot}_u$ est une résolution de $\mathbb{Z}\{T\}$.

Utilisant encore a), ⌜et b)⌝, on trouve

$\gamma$)Pour tout faisceau d'anneaux comm. $k$ sur $X$, $K^{\cdot\cdot}_{u,k} \simeq K^{\cdot\cdot}_u \otimes k \simeq \Gamma^*_k \Phi_k \otimes \Lambda^*_k \Psi_k$ est une résolution de $k\{T\} \simeq \mathcal{H}^{\cdot 0}(K^{\cdot\cdot}_{u,k})$, et les $\Gamma^i_k \Phi_k \otimes \Lambda^j_k \Psi_k$ sont flasques pour $i > 0$.

80On va graduer $K^{\cdot\cdot}_{u,k}$ par a) le degré extérieur venant de $\Lambda^*_k \Psi_k$ (deg ext $\Gamma^i \otimes \Lambda^j = j$) et b) le degré total $i + j$. Ainsi $d$ augmente le degré extérieur par $1$, et invarie le degré total […] (le degré complémentaire étant deg comp $\Gamma^i \otimes \Lambda^j = i$, il est diminué de $1$ par $d$…) Muni des degrés total (ou complémentaire) $K^{\cdot\cdot}_{u,k}$ est une Algèbre graduée sur l'Anneau gradué $k\{T\}$.

Conséquences (de ce qui précède de suite)

Théorème Soit $K^{\cdot\cdot}(X, u, k) = \Gamma(X, K^{\cdot\cdot}_{u,k})$. Alors on a un hom. can. (du fait que $K^{\cdot\cdot}_{u,k}$ […] est une résolution de $k\{T\}$) \[ H^{**}(X, u, k) \overset{\text{déf}}{=} H^{**}\bigl(K^{\cdot\cdot}(X, u, k)\bigr) \longrightarrow H^{**}(X, k\{T\}) \simeq H^*(X, k) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}\{T\} \] le dernier membre est écrit $\mathbb{Z}\{T\}$ et non $k\{T\}$ ; tel quel. et ceci est un isomorphisme pour les bidegrés $(i, j)$ tels que […] $j \leq i$, tandis que $H^{i,j}(X, u, k) = 0$ (et pas un iso.) pour $j > i$.

dans la marge gauche, un quadrant d'axes avec des points disposés en escalier sous la diagonale, figurant les bidegrés $(i,j)$, $j \le i$, où le morphisme est un isomorphisme.

Corollaire plus général. Soit $f : X \to Y$ un morphisme de topos. Alors \[ f_* K^{\cdot\cdot}_{u,k} \longrightarrow Rf_*(k\{T\}) \simeq Rf_*(k) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}\{T\} \] la page s'arrête ici ; l'énoncé du corollaire se poursuit au-delà du lot.