Cote n° 136 · pages 1–375 · Lecture modernisée · Complexe de De Rham à puissance divisée [conférence de 1976 à l’IHÉS] : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1975-1976]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et l'ordre des feuillets

Le dossier n'est pas une rédaction suivie. C'est une liasse de notes — séries paginées par l'auteur (pages 2 à 17, 301 à 317, 361 à 365), feuilles isolées, chemises de sa main (« Gribouillis vrac », « Au fil des jours… », page 318 ; « Gribouillis », page 335) — dont une bonne part est écrite au verso de tapuscrits sans rapport (épreuves de SGA 7, textes sur les accouplements de monodromie et les modèles de Néron, listings), que les transcriptions laissent de côté. L'ordre archivistique n'est pas l'ordre de rédaction : la version correcte du théorème sur les homomorphismes de l'algèbre simpliciale (page 161) précède dans la liasse la version fausse qu'il corrige (page 193).

Les stations

1. Le plan de la conférence (pages 2 à 17) : historique ; la construction \(C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(X_*,k)\) ; le calcul de sa cohomologie ; les ombres ; la liste des problèmes ouverts.
2. L'arithmétique des ombres (pages 19 à 44) : critère de Lucas, pleine fidélité des foncteurs « ombres » \(\omega_N\), le théorème sur \(M \otimes_k S\), les homomorphismes homogènes entre tronqués.
3. Cochaînes et intégration de Stokes (pages 47 à 77) : cochaînes des ensembles simpliciaux, intégrales de Stokes, comparaison avec De Rham classique, le complexe vu comme noyau de la multiplication par \(dT\).
4. Sur un topos quelconque ; unicité (pages 79 à 120) : faisceaux tests, « condition de De Rham », algèbres de De Rham spéciales, théories admissibles.
5. La version duale (pages 122 à 159) : coalgèbres, schémas affines en algèbres, chaînes de De Rham, dualisation de Stokes, le yoga coalgèbres \(\mapsto\) algèbres, comodules.
6. Homomorphismes et automorphismes (pages 161 à 211) : le théorème des pages 161 à 171, le schéma en groupes \(\Omega\), l'espoir de la caractéristique \(2\), les endomorphismes de \(\mathcal{A}_1\).
7. Outils (pages 214 à 240) : algèbre alternée libre à puissances divisées, les quatre complexes (De Rham, Koszul, et leurs versions à puissances divisées), calculs d'homotopie, version complétée et filtrée.
8. Les ombres dans les catégories dérivées (pages 243 à 298) : catégories \(\mathcal{M}_N\) et leurs adjoints, modules négligeables, reconstruction d'un complexe à partir de son ombre, produit cotensoriel.
9. Algèbre universelle des invariants (pages 300 à 354) : conventions simpliciales, foncteurs universels, Dold–Puppe ; brouillons sur coalgèbres et puissances divisées ; un feuillet étranger sur les courbes (pages 325 à 327).
10. Notes sur les opérations cohomologiques (pages 356 à 375) : Eilenberg–Zilber, Steenrod, Eilenberg–MacLane, \(K_2\) de Milnor, \(\operatorname{Ext}(\mathbf{G}_a, \mathbf{G}_a)\).

Conventions, valables pour tout le dossier

\(k\) est un anneau commutatif, \(S = S_k = k\{T\}\) l'algèbre des polynômes à puissances divisées en une variable, de base les \(T^{(i)}\) avec \(T^{(i)} T^{(j)} = c_{i,j}\, T^{(i+j)}\), où \(c_{i,j} = \frac{(i+j)!}{i!\,j!}\). Les ensembles simpliciaux forment le topos \(\mathrm{sSet} = \widehat{\Delta}\)¹ ; on note \(X_*\) un objet et \(X_{[n]}\) ses \(n\)-simplexes. On note \(\Phi_* : [n] \mapsto k^{n+1}\) le \(k\)-module simplicial des fonctions sur les sommets, \(k_* \subset \Phi_*\) le sous-module diagonal, \(\Psi_* = \Phi_*/k_*\), et \(T \in \Gamma(\Phi_*)\) la section « constante égale à \(1\) »² .

Le complexe central est la \(k\{T\}\)-algèbre bigraduée simpliciale \(C^{p,q}_* = \Gamma^p_k \Phi_* \otimes_k \Lambda^q_k \Psi_*\), où \(p\) est le degré complémentaire (le degré en puissances divisées), \(q\) le degré extérieur, \(n = p + q\) le degré total³ . Le complexe plus gros \(\mathcal{D}^{p,q}_* = \Gamma^p \Phi_* \otimes \Lambda^q \Phi_*\) des pages 16 et 73 est une résolution de \(k_*\) qui le contient. La translation des modules gradués est notée \(M \mapsto M[i]\), \((M[i])_j = M_{i+j}\)⁴ .

Trois homonymies à garder en tête. La lettre \(K\) désigne le bicomplexe \(K^{\bullet\bullet}_u\) d'une immersion (pages 79 à 86), un foncteur des pages 341 à 344, et les objets d'Eilenberg–MacLane \(K(G,n)\) ; ce sont trois objets sans rapport. \(\Phi_*\) (le module) n'a rien à voir avec \(\varphi_N\) (le foncteur adjoint de la troncature). Et l'« algèbre de De Rham standard » \(\mathrm{DR}(\Phi, T)\) des pages 95 à 107 est le même objet que \(C^{\bullet\bullet}_*\), vu sur un topos quelconque.

Ce qui n'est pas établi

La question qui motive la conférence — le complexe de De Rham à puissances divisées, avec toutes ses structures, détermine-t-il le type d'homotopie d'un espace simplement connexe de type fini ? (pages 11 et 12) — reste posée ; des modèles minimaux sur \(\mathbb{Z}\) qui permettraient de l'aborder, le dossier dit lui-même n'avoir « rien fait dans cette direction » (page 13). Sont également annoncés sans être établis : la connexité et la simple connexité du groupoïde des théories admissibles (page 120) ; le second des « deux groupes » de la page 105 ; le scindage canonique cherché page 77 ; la formule de Künneth (page 13). La reconstruction d'un complexe à partir de son ombre (pages 262 à 272) repose sur une annulation d'\(\operatorname{Ext}\) dont la justification écrite ne suffit pas.

2–3

Le plan de la conférence : historique (pages 2 et 3)

La série paginée de 1 à 16 par l'auteur s'ouvre sur un plan, encadré au crayon « Plan conf. IHÉS en 1976 », avec en marge la liste des cadres où la question se pose : géométrie différentielle, analytique, algébrique, arithmétique, topologie algébrique (linéaire par morceaux, simpliciale).

1. a)Formes différentielles (Poincaré) et formule de Stokes \(\int_C d\omega = \int_{\partial C} \omega\).
2. b)Le théorème de De Rham⁵ , \(H^*_{\mathrm{DR}}(X) \simeq H^*(X, \mathbb{C})\) ; on y perd la torsion. Il est « maintenant bien compris » par la théorie des faisceaux et le lemme de Poincaré.
3. c)La théorie de Hodge : bigraduation de \(H^*_{\mathrm{DR}}(X)\) pour \(X\) kählérienne compacte.
4. d)Le théorème de H. Cartan et Serre sur les variétés de Stein, où le lemme de Poincaré vaut dans le cadre analytique.
5. e)Les schémas sur un corps de caractéristique \(p\) : Dwork, Washnitzer–Monsky, puis le « yoga cristallin » de Berthelot, Illusie, Messing, Mazur⁶ . On y trouve des cohomologies dont les coefficients ne contiennent plus \(\mathbb{Q}\), et où la torsion n'est en principe pas perdue — « du point de vue de Weil », note la marge, la perte de la torsion « était un défaut impardonnable ».
6. f)Son propre théorème de comparaison pour les variétés algébriques sur \(\mathbb{C}\), généralisé à des coefficients par Deligne et Hartshorne, qui donne en caractéristique nulle la signification topologique de la cohomologie de De Rham algébrique.
7. g)Le complexe de De Rham–Sullivan d'un espace topologique : formes différentielles polynomiales sur les simplexes singuliers, à coefficients dans \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), qui calcule la cohomologie à ces coefficients. Sullivan montre davantage : le foncteur \(C^\bullet_{\mathrm{DRS}}\) induit une équivalence entre la catégorie homotopique rationnelle des espaces connexes et simplement connexes de type fini et une catégorie dérivée de \(\mathbb{Q}\)-algèbres différentielles graduées commutatives (au sens gradué) de degrés \(\geq 0\), avec \(H^0 \simeq \mathbb{Q}\) et \(H^1 = 0\)⁷ . La théorie des modèles minimaux lit les \(\pi_i \otimes \mathbb{Q}\) sur un tel modèle. Mais on perd à nouveau la torsion.

3–5

La démonstration de Sullivan, et l'obstacle sur \(\mathbb{Z}\) (pages 3 à 5)

Soit \(E^{[n]}\) l'espace affine \(\sum_0^n x_i = 1\) de \(\mathbb{R}^{n+1}\), avec sa \(\mathbb{Q}\)-structure, et \(\mathrm{DRS}^\bullet_{[n]} = C^\bullet_{\mathbb{Q}\text{-DR}}(E^{[n]})\) son complexe de De Rham algébrique sur \(\mathbb{Q}\) : \[ \mathrm{DRS}^\bullet_{[n]} = \mathbb{Q}[X_i, dX_i]_{0 \leq i \leq n} \big/ \Bigl(\textstyle\sum X_i - 1,\ \sum dX_i\Bigr) \simeq \mathbb{Q}[X_0, \ldots, X_{n-1}][dX_0, \ldots, dX_{n-1}] . \] C'est contravariant en \([n]\) : on obtient une \(\mathbb{Q}\)-algèbre différentielle graduée commutative simpliciale \(\mathrm{DRS}^\bullet_*\). Pour un ensemble simplicial \(X_*\) (par exemple le complexe singulier \(S_*(X)\) d'un espace), \[ C^\bullet_{\mathrm{DRS}}(X_*, \mathbb{Q}) = \operatorname{Hom}_{\mathrm{sSet}}(X_*, \mathrm{DRS}^\bullet_*) , \] et le foncteur ainsi défini sur \(\mathrm{sSet}\) est représenté par \(\mathrm{DRS}^\bullet_*\). Le théorème d'isomorphisme \(H^q(C^\bullet_{\mathrm{DRS}}(X_*)) \simeq H^q(X_*, \mathbb{Q})\) résulte de deux faits : \(\mathrm{DRS}^\bullet_*\) est une résolution de \(\mathbb{Q}_*\) (lemme de Poincaré algébrique sur les espaces affines rationnels) ; et chaque composante \(\mathrm{DRS}^i_*\) est un objet acyclique du topos \(\mathrm{sSet}\), ce qui revient à dire que ses groupes d'homotopie sont nuls. Le même argument vaut pour des formes \(C^\infty\), analytiques réelles ou complexes.

Sur \(\mathbb{Z}\), c'est le premier fait qui tombe : pour intégrer \(x^n\,dx\) il faut le dénominateur de \(x^{n+1}/(n+1)\)⁸ . La géométrie algébrique connaît le moyen de « sauter à pieds joints par-dessus le canular » : les puissances divisées. Si \(E^{[n]}\) avait une origine sur \(\mathbb{Z}\), on prendrait le complexe de De Rham à puissances divisées d'un \(\mathbb{Z}\)-module libre. Mais il n'en a pas : dans \(\mathbb{Z}\{X_0, \ldots, X_n\}\), l'élément \(\sum X_i - 1\) n'appartient pas à l'idéal à puissances divisées, et l'on ne peut « diviser par l'idéal à p.d. engendré » par lui.

5–8

La construction (pages 5 à 8)

Le simplexe de taille \(t\)

On remplace l'anneau de coefficients \(\mathbb{Z}\) par un anneau \(S\) muni d'un idéal à puissances divisées \(J\) et d'un « paramètre » \(t \in J\), et l'équation \(\sum X_i = 1\) par \(\sum X_i = t\). On pose \[ C^\bullet_{\mathrm{DRpd}[n]}(S, J, t) = S\{X_0, \ldots, X_n\}[dX_0, \ldots, dX_n] \big/ \Bigl(\textstyle\sum X_i - t,\ \sum dX_i\Bigr)_{\mathrm{pd}} , \] où l'on divise par l'idéal à puissances divisées engendré par \(\sum X_i - t\) et \(\sum dX_i\) ; cela a un sens, car l'idéal des formes d'augmentation dans \(J\) est un idéal à puissances divisées. C'est une \(S\)-algèbre différentielle graduée alternée, de degrés \(\geq 0\), augmentée vers \(S/J\), à puissances divisées sur l'idéal d'augmentation et compatibles à la différentielle (\(d(x^{(n)}) = x^{(n-1)}\,dx\)), et elle est isomorphe à \(S\{X_0, \ldots, X_{n-1}\}[dX_0, \ldots, dX_{n-1}]\) : c'est une résolution de \(S\). Pour \([n]\) variable on obtient une algèbre simpliciale \(C^\bullet_{\mathrm{DRpd}*}(S,J,t)\), fonctorielle en \((S,J,t)\), et pour un ensemble simplicial \(X_*\) \[ C^\bullet_{\mathrm{DRpd}}(X_*; S, J, t) = \operatorname{Hom}\bigl(X_*, C^\bullet_{\mathrm{DRpd}*}(S,J,t)\bigr) , \] contravariant en \(X_*\). On a seulement un homomorphisme \(H^\bullet_{\mathrm{DRpd}}(X_*; S,J,t) \to H^\bullet(X_*, S)\), qui en général n'est pas un isomorphisme.

Le cas universel \(S = k\{T\}\)

On prend \(S = k\{T\}\), \(J = k\{T\}^+\), \(t = T\). Alors \(k\{T, X_0, \ldots, X_n\}/(\sum X_i - T)_{\mathrm{pd}} \simeq k\{X_0, \ldots, X_n\}\), et \[ C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}*}(k) \overset{\mathrm{def}}{=} C^\bullet_{\mathrm{DRpd}*}\bigl(k\{T\}, k\{T\}^+, T\bigr) \simeq \Gamma^\bullet_k \Phi_* \otimes_k \Lambda^\bullet \Psi_* . \] C'est une algèbre bigraduée — degré complémentaire \(p\), degré extérieur \(q\) —, unitaire, associative, alternée pour le degré total (anticommutative, et de carré nul en degré impair), augmentée vers \(k\), à puissances divisées sur l'idéal d'augmentation, avec une différentielle de bidegré \((-1, +1)\), donc de degré total nul, compatible aux puissances divisées. Ces structures passent aux \[ C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(X_*, k) = \operatorname{Hom}\bigl(X_*, C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}*}(k)\bigr) , \] contravariant en \(X_*\), covariant en \(k\).

La cohomologie

\(\Phi_*\) est homotope à \(0\) (c'est la proposition 1 de la page 226) ; donc \(C^{p,q}_* = \Gamma^p \Phi_* \otimes \Lambda^q \Psi_*\) est homotope à \(0\), et acyclique, pour \(p \neq 0\). En degré total \(n\) fixé, la ligne \[ 0 \to k_* \xrightarrow{\ 1 \mapsto T^{(n)}\ } C^{n,0}_* \to C^{n-1,1}_* \to \cdots \to C^{1,n-1}_* \to C^{0,n}_* \to 0 \] est exacte⁹ , et tous ses termes sont acycliques sauf le dernier : c'est le tronqué en degré \(n\) d'une résolution acyclique de \(k_*\). D'où, pour tout ensemble simplicial \(X_*\), \[ H^{p,q}_{\mathrm{DRpd}}(X_*, k) \simeq H^q(X_*, k) \qquad \text{pour tout } p \geq 0 , \] et \(0\) pour \(p < 0\)¹⁰ .

9–11

Les ombres (pages 9 à 11)

Pour \(q\) fixé, la structure de \(k\{T\}\)-module de \(H^{\bullet, q}\) est la suivante : la classe d'un \(h \in H^q(X_*, k)\) dans la ligne de degré total \(n\) correspond à l'augmentation \(1 \mapsto T^{(n)}\), et la multiplication par \(T^{(j)}\) envoie la ligne \(n\) sur la ligne \(n+j\) par \(c_{j,n}\). Indexé par le degré total, on trouve donc \[ H^{\bullet, q}_{\mathrm{DRpd}}(X_*, k) \simeq \tau_{\geq q}\bigl(H^q(X_*, k) \otimes_k k\{T\}\bigr) , \] le module gradué \(H^q \otimes k\{T\}\) tronqué en degrés \(\geq q\) : c'est ce qu'il appelle une \(q\)-ombre. Les isomorphismes sont compatibles aux structures multiplicatives. A priori on ne récupère donc pas les \(H^q\) et leurs cup-produits, mais seulement leurs ombres et les accouplements qu'elles héritent.

Ce qui donne l'espoir que le complexe à puissances divisées porte une information homotopique précise, c'est l'observation suivante, démontrée aux pages 21 à 34 : un \(k\)-module \(M\) se reconstitue, à isomorphisme canonique près, à partir de n'importe lequel de ses tronqués \(\tau_{\geq q}(M \otimes_k S)\), et un accouplement \(M \otimes N \to P\) à partir de l'accouplement correspondant des tronqués, pour \(q\) assez grand. Cette « théorie des ombres » acquise, la connaissance de \(C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(X_*, k)\) comme \(S\)-algèbre différentielle bigraduée implique celle de l'algèbre graduée \(H^\bullet(X_*, k)\) — et, en raffinant un peu, celle de \(\mathrm{R}\Gamma(X_*, k)\) dans \(D(k)\) avec l'accouplement \(\mathrm{R}\Gamma \otimes^{\mathrm{L}} \mathrm{R}\Gamma \to \mathrm{R}\Gamma\) venant du cup-produit¹¹ .

11–17

Remarques et problèmes (pages 11 à 17)

a) Le lien avec Sullivan. Si \(k\) est une \(\mathbb{Q}\)-algèbre, \(C^\bullet_{\mathrm{DRS}}(X_*, k) \simeq C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(X_*, k)/(T-1)\). Plus généralement, pour tout \(k\), le quotient par \(T - 1\) donne \(C^\bullet_{\mathrm{DRS}}(X_*, k \otimes \mathbb{Q})\) — ce qui s'explique par \(\mathbb{Z}\{T\}/(T-1) \simeq \mathbb{Q}\), \(T^{(n)} \mapsto 1/n!\)¹² .

b) La question principale. Il a jusqu'ici négligé la structure à puissances divisées sur l'idéal d'augmentation de \(C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(X_*, k) \to H^0(X_*, k)\), qui est importante. Appelons complexe de De Rham à puissances divisées virtuel sur \(k\) une \(k\)-algèbre bigraduée différentielle, augmentée, associative, unitaire, alternée, à différentielle de bidegré \((-1,+1)\) et bidegrés \(\geq 0\), avec puissances divisées sur l'idéal d'augmentation compatibles à la différentielle, et telle que les \(H^{\bullet q}\) soient des \(q\)-ombres ; inversons les quasi-isomorphismes. On obtient un foncteur de la catégorie homotopique \((\mathrm{Hot})\) vers cette catégorie dérivée \((\mathrm{DRpd})\), et l'on peut se demander si sa restriction aux espaces connexes et simplement connexes à \(H^i(X, \mathbb{Z})\) de type fini induit une équivalence avec les complexes sur \(\mathbb{Z}\) tels que \(H^0 \simeq \mathbb{Z}\), \(H^1 = 0\) et les \(H^i\) de type fini¹³ .

c) Opérations cohomologiques. Il a cherché à reconstruire les opérations de type Steenrod ou Whitney à partir de \(C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(X_*, -)\), et n'a que des résultats partiels négatifs : avec les seules opérations multiplicatives de \(C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}*}(k)\), on ne trouve rien d'intéressant. (Les pages 173 à 181 précisent ce résultat négatif.)

d) Modèles minimaux. Il faudrait étudier des modèles minimaux à la Sullivan sur \(\mathbb{Z}\). Il n'a « rien fait dans cette direction », ni même développé une formule de Künneth pour un produit \(X_* \times Y_*\) : la difficulté technique est qu'on ne peut sans doute pas supposer les complexes plats sur \(k\{T\}\).

e) La version homologique. De même que le complexe de chaînes \(C_\bullet(X_*, \mathbb{Z})\) est l'objet « le plus fin », dont on déduit toutes les cochaînes par \(C^\bullet(X_*, k) \simeq \operatorname{Hom}^\bullet_{\mathbb{Z}} (C_\bullet(X_*, \mathbb{Z}), k)\), il existe une cogèbre différentielle bigraduée \(C^{\mathrm{DRpd}}_{\bullet\bullet}(X_*, k)\), à comultiplication divisée et coaugmentée, telle que \(C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(X_*, k') \simeq \operatorname{Hom}_k(C^{\mathrm{DRpd}}_{\bullet\bullet}(X_*, k), k')\) pour toute \(k\)-algèbre \(k'\), et \(C^{\mathrm{DRpd}}_{\bullet\bullet}(X_*, k') \simeq C^{\mathrm{DRpd}}_{\bullet\bullet}(X_*, k) \otimes_k k'\). C'est \(C^{\mathrm{DRpd}}_{\bullet\bullet}(X_*, \mathbb{Z})\) qu'il faudrait considérer pour aborder b), c), d) sans conditions de finitude ; il commute aux limites inductives quelconques en \(X_*\). (Construction aux pages 122 à 134.)

g) Faisceautisation. La définition a un sens pour un Anneau commutatif \(k\) d'un topos. On aimerait définir des \(\mathrm{R}f_*\) dans des catégories dérivées convenables, pour \(f\) un morphisme de topos, par exemple en remplaçant un complexe par un complexe quasi-isomorphe à composantes flasques — mais y en a-t-il toujours ? Le même problème se pose déjà, sur \(\mathbb{Q}\), pour les complexes de De Rham–Sullivan : c'est un problème posé par Deligne pour \(\widehat{\Delta} \to\) (point) ; « sauf erreur », il y a un topos qui marche pour les espaces topologiques¹⁴ .

h) Des invariants linéaires plus fins. Le complexe \(C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}*}(k)\) se déduit de \(\mathcal{D}^{\bullet\bullet}_* = \Gamma^\bullet \Phi_* \otimes \Lambda^\bullet \Phi_*\) — une algèbre différentielle à puissances divisées qui est une résolution de \(k\) — et de \(dT\) : en chaque bidegré, \[ C^{p,q}_* \simeq \operatorname{Ker}\bigl(\mathcal{D}^{p,q+1}_* \xrightarrow{\ dT \cdot\ } \mathcal{D}^{p,q+2}_*\bigr) , \] d'où la même formule pour les sections sur \(X_*\), et les structures de \(C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}\) peuvent se lire comme déduites de structures (compliquées) de \(\mathcal{D}^{\bullet\bullet}(X_*, k)\). On peut aussi définir « la structure multiplicative à puissances divisées cohomologique du type d'homotopie \(X_*\) », qui permettrait de reconstituer aussi bien \(C_{\mathrm{DRpd}}\) que \(\mathcal{D}\) ou les complexes de Sullivan. Il ignore si le complexe à puissances divisées suffit à la récupérer ; sinon c'est cette dernière qui serait la candidate pour exprimer le type d'homotopie. (La construction est reprise page 73.)

19–22

Coefficients binomiaux modulo \(p\) (pages 19 à 22)

Lemme 1 (Lucas). Soient \(p\) premier, \(i = \sum_\varepsilon u_\varepsilon p^\varepsilon\) et \(j = \sum_\varepsilon v_\varepsilon p^\varepsilon\) les développements \(p\)-adiques, \(0 \leq u_\varepsilon, v_\varepsilon \leq p-1\). Alors \(c_{i,j} \not\equiv 0 \pmod p\) si et seulement si \(u_\varepsilon + v_\varepsilon \leq p-1\) pour tout \(\varepsilon\), et en tout cas \(c_{i,j} \equiv \prod_\varepsilon c_{u_\varepsilon, v_\varepsilon} \pmod p\).¹⁵

On écrit \(i = u + pr\), \(j = v + ps\), on développe \((X+Y)^{i+j} = (X^p+Y^p)^{r+s}(X+Y)^{u+v}\) dans \(\mathbb{F}_p[X,Y]\), et l'on obtient \(c_{i,j} \equiv c_{u,v}\, c_{r,s}\), avec \(c_{u,v} \equiv 0\) exactement quand \(u + v \geq p\) ; le lemme suit par récurrence sur la longueur des développements.

Corollaire 2. Si \(N + 1 = (N'+1)p\) et \(\varepsilon \geq 1\), alors \(c_{N+1, p^\varepsilon - 1} \equiv c_{N'+1, p^{\varepsilon-1}-1}\), qui vaut \(1\) si \(p^{\varepsilon-1} \mid N'+1\) et \(0\) sinon ; et \(c_{N, p^\varepsilon} \equiv c_{N', p^{\varepsilon-1}} \equiv v_{\varepsilon-1} + 1\), où \(N' = \sum v_\alpha p^\alpha\). C'est le décalage d'un chiffre entre les développements de \(N\) et de \(N'\).

Lemme 2. Soient \(E\) un \(\mathbb{Z}_{(p)}\)-module, \(N \in \mathbb{N}\), \(e\) tel que \(p^e \geq N+1\), et des \(x_i \in E\) pour \(i \in \{N\} \cup \{N + p^\varepsilon\}_{0 \leq \varepsilon \leq e}\), tels que \(\binom{j}{i}(x_j - x_i) = 0\) pour \(i \in \{N, N+1\}\) et \(i < j\). Alors \(x_N = x_{N+1}\). On pose \(y_\varepsilon = x_{N+p^\varepsilon} - x_N\) ; on déduit la conclusion \(y_0 = 0\) du système plus faible obtenu en ne gardant que les équations dont le coefficient est une unité, par récurrence sur \(N\) : si \(p \nmid N+1\) c'est immédiat, et sinon le corollaire 2 ramène le système pour \(N\) au même système pour \(N' = \frac{N+1}{p} - 1 < N\) (« cqfd. Ouf ! »). La marge remarque que sur un \(\mathbb{F}_p\)-module on ne peut pas conclure que tous les \(x_i\) sont égaux.

Théorème 1. Soient \(E\) un groupe abélien, \(N \in \mathbb{N}\), et \((x_i)_{i \in \mathbb{N}}\) dans \(E\) tels que \(\binom{j}{i}(x_j - x_i) = 0\) pour \(j > i \geq N\). Alors \(x_i = x_N\) pour tout \(i \geq N\). On localise en chaque premier et l'on applique le lemme 2 de proche en proche.

22–25

Les foncteurs « ombres » \(\omega_N\) (pages 22 à 25)

Soient \(S^{+(N)} = \sum_{i \geq N} k\, T^{(i)}\) et, pour un \(k\)-module \(M\), le \(S\)-module gradué \(\omega_N(M) = M \otimes_k S^{+(N)}\)¹⁶ .

Corollaire 1. a) Le foncteur \(\omega_N\), des \(k\)-modules vers les \(S\)-modules gradués, est pleinement fidèle. b) L'application \(x \mapsto (x\, T^{(i)})_{i \geq N}\) identifie \(M\) aux familles \((x_i)_{i \geq N}\), \(x_i \in M\, T^{(i)}\), telles que \(T^{(j)} x_i = c_{i,j}\, x_{i+j}\) pour \(i \geq N\), \(j \geq 1\). Écrivant \(x_i = \xi_i T^{(i)}\), la condition devient \(c_{i,j}(\xi_{i+j} - \xi_i) = 0\), et le théorème 1 conclut ; pour a), un morphisme \(\omega_N(M) \to \omega_N(M')\) est une famille \(u_i : M \to M'\) avec \(c_{i,j}(u_{i+j} - u_i) = 0\), d'où \(u_i\) constant.

Remarque 1. \(\omega_N\) a un adjoint à droite \(\pi_N\), avec \(\pi_N(\mathcal{M}) = \{(x_i)_{i \geq N} \mid x_i T^{(j)} = c_{i,j} x_{i+j}\} \subset \prod_{i \geq N} \mathcal{M}_i\), et b) dit que l'unité \(M \to \pi_N \omega_N(M)\) est un isomorphisme.

Remarque 2. \(\omega_N(M) = S^{+(N)} \cdot \omega_0(M)\) est la troncature \(\tau_{\geq N}\) de \(\omega_{N'}(M)\) pour \(N \geq N'\). Les ombres sont donc d'autant plus grossières que \(N\) est grand, et toutes pleinement fidèles — alors que la troncature \(\tau_N\) elle-même ne l'est pas.

Soit \(\mathrm{Omb}(k)\) la catégorie des « ombres virtuelles », les \(S\)-modules gradués. Les modules nuls en degrés \(\geq N\) forment une sous-catégorie épaisse, et le quotient (les « \(N\)-ombres virtuelles ») est canoniquement équivalent aux modules nuls en degrés \(< N\), le foncteur quotient s'identifiant à \(\tau_N\)¹⁷ . Les modules négligeables — ceux dont chaque élément est annulé par \(S^{+(N)}\) pour \(N\) assez grand — forment encore une sous-catégorie épaisse ; la phrase sur le localisé s'interrompt, et la notion est reprise pages 253 à 258.

26–34

Le théorème sur \(M \otimes_k S\) (pages 26 à 34)

Théorème. Pour tout \(k\)-module \(M\) et tout \(N \geq 0\), l'homomorphisme canonique \(M \otimes_k S \to \varphi_N \tau_N(M \otimes_k S)\) est un isomorphisme en degrés \(\geq 0\) ; de façon équivalente, pour \(0 \leq i \leq N\), \[ (M \otimes_k S)_i = M\, T^{(i)} \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}^i\bigl(\tau_{N-i}(S), M \otimes_k S\bigr) . \] Ici \(\varphi_N\) est l'adjoint à droite de la troncature (pages 247 et 290) ; en degrés \(\geq N\) c'est clair, et le cas \(i = 0\) est le corollaire 1. Un homomorphisme de degré \(i\) de \(\tau_{N-i}(S)\) dans \(M \otimes S\) s'écrit \(T^{(k-i)} \mapsto \xi_k T^{(k)}\) pour \(k \geq N\), et la linéarité s'écrit \(c_{l,k}\,\xi_k = c_{l,k-i}\,\xi_{k+l}\). Le théorème équivaut donc à l'énoncé où \(k\) ne figure plus :

Théorème. Soient \(0 \leq i \leq N\), \(M\) un groupe abélien et \((\xi_k)_{k \geq N}\) dans \(M\) tels que \(c_{l,k}\,\xi_k = c_{l,k-i}\,\xi_{k+l}\) pour \(k \geq N\), \(l \geq 0\). Il existe un unique \(\xi \in M\) tel que \(\xi_k = \binom{k}{i}\,\xi\) pour tout \(k \geq N\).¹⁸

Démonstration. On se ramène à un \(\mathbb{Z}_{(p)}\)-module : les \(\binom{k}{i}\), \(k \geq N\), sont premiers entre eux dans leur ensemble (pour chaque \(p\), \(k = i + p^\varepsilon\) avec \(p^\varepsilon > i\) donne une unité), d'où une combinaison \(\sum m_\alpha \binom{k_\alpha}{i} = 1\) qui fixe \(\xi\) et son unicité, et l'égalité se vérifie dans chaque localisé. Sur \(\mathbb{Z}_{(p)}\), on retranche la solution évidente et l'on est ramené au Corollaire : si \((\xi_k)\) satisfait la relation et s'annule en un \(k_0\) avec \(\binom{k_0}{i}\) inversible, elle est nulle. Cela se fait en deux temps.

Lemme 1.1. Si \(k' \geq k \geq N\), \(j = k - i\), \(j' = k'-i\), et \(c_{i,j}\), \(c_{i,j'}\) sont des unités, alors \(c_{j'-j, j}\) est une unité si et seulement si \(c_{j'-j, j+i}\) l'est, et dans ce cas \(\xi_k = 0 \iff \xi_{k'} = 0\). Les quotients \(c_{j'-j,j+i}/c_{j'-j,j}\) et \(c_{i,j'}/c_{i,j}\) sont égaux dans \(\mathbb{Q}\), et la relation avec \(l = j'-j\) conclut.

Lemme 1. Les \(\xi_k\) tels que \(c_{i,k-i}\) soit une unité sont tous nuls ou tous non nuls. On complète \(i + j\) jusqu'à \(p^{r+1} - 1\) en ajoutant chiffre à chiffre \(\delta_\alpha = (p-1) - (i_\alpha + j_\alpha)\) ; la marge en donne une présentation plus simple : pour \(p^r > i+j\) et \(\delta = p^r - 1 - (i+j)\), on a \(c_{i, j+\delta}\) et \(c_{i+j, \delta}\) non nuls modulo \(p\), d'où \(\xi_k = 0 \iff \xi_{p^r - 1} = 0\).

Lemme 2. Pour \(i, j \geq 0\), il existe \(l \geq 0\) tel que \(c_{i+j,l}\) et \(c_{i,j+l}\) soient non nuls modulo \(p\) : on prend \(l = p^r - 1 - (i+j)\) avec \(p^r > i+j\)¹⁹ . Le lemme commun, dit-il, est que \(\mu + \nu = p^r - 1\) entraîne \(c_{\mu,\nu} \not\equiv 0 \pmod p\) — aucune retenue n'est possible.

Le théorème annonce encore un corollaire, \(\operatorname{Ext}^n\bigl( \tau_{N-i}(S)[-i], M \otimes_k S\bigr) = 0\) pour \(n > 0\), dont la lecture est incertaine et dont la démonstration ne vient qu'aux pages 262 à 264 (voir là-bas la réserve qu'elle appelle).

Le feuillet isolé de la page 34 consigne la formule de Legendre \(v_p(n!) = \frac{n - s_p(n)}{p-1}\), où \(s_p(n)\) est la somme des chiffres de \(n\) en base \(p\), d'où \(v_p(p^n/n!) = \frac{s_p(n) + n(p-2)}{p-1}\), et le calcul \(v_p\bigl(\frac{(p^{r+1})!}{(p^r!)^p\, p!}\bigr) = 0\), qui sert page 42.

36–44

Homomorphismes homogènes entre tronqués (pages 36 à 44)

Pour \(N^*\) dans la catégorie \(\mathcal{M}_N\) des modules gradués nuls en degrés \(< N\), l'adjonction donne \[ \operatorname{Hom}^d(M^*, \varphi_N N^*) \simeq \operatorname{Hom}^d(\tau_{N-d} M^*, N^*) , \] et en particulier, pour des \(k\)-modules \(M\), \(N\) et \(d \geq 0\), \(\operatorname{Hom}^d(M \otimes_k S, N \otimes_k S) \simeq \operatorname{Hom}^d(\tau_{N-d} M_S, \tau_N N_S) \simeq \operatorname{Hom}_k(M, N)\)²⁰ . On étudie ensuite les homomorphismes de degré \(d\) de \(\tau_\alpha M_S\) dans \(\tau_\beta N_S\), \(\beta \geq \alpha\), où \(M_S = M \otimes_k S\).

a) Si \(d \geq \beta - \alpha\), ils s'identifient à \(\operatorname{Hom}_k(M, N)\), \(u\) correspondant à \(m\,T^{(j)} \mapsto c_{d,j}\, u(m)\, T^{(d+j)}\).

b) Si \(0 \leq d < \beta - \alpha\), ce sont les \(u \in \operatorname{Hom}_k(M, N)\) tels que \(c_{d,j}\, u = 0\) pour \(\alpha \leq j \leq \beta - d - 1\) : il faut que les termes tombant en degré \(d + j < \beta\) s'annulent²¹ .

c) Si \(d < 0\) — homomorphismes de degré négatif — on se place, au feuillet de la page 42, sur une \(\mathbb{Z}_{(p)}\)-algèbre \(k\). Posant \(T_r = T^{(p^r)}\), on a \(T_r^{\,p} = p\,\nu'_r\, T_{r+1}\) avec \(\nu'_r = (p-1)!\, \frac{(p^{r+1})!}{(p^r!)^p\, p!}\) inversible dans \(\mathbb{Z}_{(p)}\) (page 34) ; \(\tau_{p^r}S\) est engendré par les \(T_s\), \(s \geq r\), avec les relations \(T_s^{p-1} T_s = p\nu'_s T_{s+1}\). Un homomorphisme de degré \(-d\), \(0 < d < p^r\), est donné par des \(\eta_s = u(T_s) \in M \otimes S_{p^s - d}\), et en écrivant \(\eta_s = \xi_s\, T_\nu^{\delta_\nu} \cdots T_{r-1}^{\delta_{r-1}}(T_r \cdots T_{s-1})^{p-1}\) (\(\nu = v_p(d)\)) la relation devient \(\xi_s = p\,\nu'_s\,\xi_{s+1}\). Chaque \(\xi_s\) est donc le premier terme d'une suite de divisions successives par \(p\).

Proposition. Soient \(k\) une \(\mathbb{Z}_{(p)}\)-algèbre, \(M\), \(N\) des \(k\)-modules, \(d > 0\), \(\alpha \geq d\), et \(N_0\) le plus grand sous-module \(p\)-divisible de \(N\). Tout \(u \in \operatorname{Hom}^{-d}(\tau_\alpha M_S, N_S)\) se factorise par \(N_{0\,S}\) : \(\operatorname{Hom}^{-d}(\tau_\alpha M_S, N_{0\,S}) \xrightarrow{\sim} \operatorname{Hom}^{-d}(\tau_\alpha M_S, N_S)\).²² Corollaire : si \(N\) n'a pas de sous-module divisible non nul, par exemple si \(k\) est de torsion, ces homomorphismes sont nuls.

47–51

Cohomologie des ensembles simpliciaux (pages 47 à 51)

Ces trois pages sont au crayon très pâle, et la transcription n'en lit guère que les formules : la lecture est mince ici. On y voit le cadre suivant. Un foncteur \(C^*\) des ensembles simpliciaux vers les complexes de \(k\)-modules, calculant fonctoriellement \(H^*(X_\bullet, M)\) et dont chaque composante transforme limites inductives en limites projectives, est représentable : \(C^n(X_\bullet) = \operatorname{Hom}(X_\bullet, C^n_\bullet)\), et les \(C^*_\bullet\) forment une résolution de \(M\), dont les cycles \(Z^n\) sont liés aux objets d'Eilenberg–MacLane \(K(M,n)\). Exemple 1 : les cochaînes ordinaires, représentées par \(C^n_{\bullet M}\) avec \((C^n_{\bullet M})_m = M^{\operatorname{Hom} (\Delta_n, \Delta_m)}\). Exemple 2 : les cochaînes normalisées, représentées par \[ (C^{n!}_{\bullet M})_m \simeq M^{\operatorname{Hom}_{\mathrm{mono}}(\Delta_n, \Delta_m)} \simeq \Lambda^{n+1}(k^{\Delta_m}) \otimes_k M , \] les applications strictement croissantes \([n] \to [m]\) correspondant aux parties à \(n+1\) éléments. Cette identification des cochaînes normalisées aux puissances extérieures de \(\Phi_*\) revient pages 67 et 337.

53–55

Intégration des algèbres simpliciales (pages 53 à 55)

Soit \(A_*\) un groupe différentiel gradué simplicial (\(d\) de degré \(+1\)), avec \(A^p_n = 0\) pour \(p \notin [0,n]\), et tel que, muni de l'augmentation \(\varepsilon_n : A_0 \to A^*_n\), chaque \(A^*_n\) soit une résolution de \(A_0\). Soit \(\partial = \sum_i (-1)^i \partial^*_{n,i} : A^*_n \to A^*_{n-1}\) l'opérateur de bord des faces.

Proposition 1. Il existe un et un seul système d'homomorphismes \(K_n : A^*_n \to A_0\) tel que a) \(K_0 = \mathrm{id}\) ; b) \(K_n(A^p_n) = 0\) pour \(p \neq n\) ; c) (Stokes) \(K_n(d\omega) = K_{n-1}(\partial\omega)\).

Par récurrence : tout \(\varpi \in A^N_N\) est un cobord \(d\omega\) puisque \(H^N(A^*_N) = 0\), et l'on pose \(K_N(d\omega) = K_{N-1}(\partial\omega)\) ; il faut que cela ne dépende pas de \(\omega\), c'est-à-dire que \(d\omega = 0\) entraîne \(K_{N-1}(\partial\omega) = 0\). Pour \(N \geq 2\), \(\omega = d\alpha\) et \(K_{N-1}(\partial d\alpha) = K_{N-1}(d\partial\alpha) = K_{N-2}(\partial\partial \alpha) = 0\) ; pour \(N = 1\), \(\omega = \varepsilon_1(\alpha)\) et \(\partial\varepsilon_1(\alpha) = 0\).

Remarques. 1) On n'a utilisé que \(H^N(A^*_N) = 0\) pour \(N \geq 1\), \(H^{N-1}(A^*_N) = 0\) pour \(N \geq 2\), et \(H^0(A^*_1) = \varepsilon_1(A_0)\). 2) Il y a une version abstraite, pour un bicomplexe augmenté satisfaisant ces conditions de degré dans une catégorie abélienne. 3) Par unicité, ces « intégrales » \(A^n_n \to A_0\) commutent aux structures supplémentaires — la fin de la remarque est illisible.

57–59

Le topos induit par un ensemble simplicial (pages 57 et 59)

Pour \(X \in \mathrm{sSet}\), le topos induit est \(\mathrm{sSet}/X \simeq \widehat{\Delta/X}\) ; l'étude cohomologique de \(X\) est celle de ce topos. Un faisceau abélien sur \(X\) est un foncteur \((\Delta/X)^\circ \to \mathrm{Ab}\) ; un objet simplicial \(A_\bullet\) définit le faisceau \(A \times X \to X\), composé \((\Delta/X)^\circ \to \Delta^\circ \xrightarrow{A} \mathrm{Ens}\), et l'on peut parler de l'hypercohomologie \(\mathrm{R}\Gamma(X, A^*_\bullet)\) d'un objet gradué. Le complexe des cochaînes d'un faisceau abélien \(A\) est \(C^n(X, A) = \prod_{\sigma \in X_{[n]}} A(\sigma)\).

61–68

Cochaînes et systèmes de Stokes (pages 61 à 68)

Un système de coefficients contravariant sur le simplexe variable \(A_* : (\Delta/X)^\circ \to \mathcal{E}\) donne les chaînes \(C_*(X, A_*) = i_!(A_*)\), où \(i : \Delta/X \to \Delta\) ; un « cofaisceau » covariant donne les cochaînes ; on passe de l'un à l'autre en remplaçant \(\mathcal{E}\) par \(\mathcal{E}^\circ\)²³ .

Pour un \(k\)-Module \(F\) sur \(X_*\), on a \(C^*(X_*, F) \simeq \Gamma(X_*, C^*_{X_*} \otimes_{k_*} F)\), et \(C^*_{X_*} \otimes F\) est une résolution flasque de \(F\) (« à vérifier en passant », dit la marge), que \(F\) soit localement constant ou non. D'où \(H^*(C^*(X_*, F)) \simeq H^*(X_*, F)\), et de même pour l'hypercohomologie d'un complexe, \(\mathrm{R}\Gamma(X_*, F^*) \simeq C^*(X_*, F^*)\) (complexe simple associé).

Soit maintenant \(A^*_*\) un complexe de \(k\)-modules simpliciaux, et \(M\) un \(k\)-module. Un morphisme de complexes \(A^*_* \to C^*_{*M}\) (les cochaînes représentantes) est un système \(k_n : A^n_n \to M\) satisfaisant la condition de Stokes \(k_n \circ \partial_{n+1} = k_{n+1} \circ d\) sur \(A^n_{n+1}\). Il induit, pour tout \(X_*\), un morphisme \(\Gamma(X_*, A^*_{X_*}) \to C^*(X_*, M)\), \(f \mapsto k_n \circ f_n\), qui réalise le morphisme canonique \(\Gamma \to \mathrm{R}\Gamma\) lorsque \(A^*\) est une résolution de \(M_*\) et que \(k_0\) induit l'identité sur \(M\).

Si de plus a) \(A^i_n = 0\) pour \(i > n\), b) \(H^n(A^*_n) = 0\) pour \(n \geq 1\), c) \(H^{n-1}(A^*_n) = 0\) pour \(n \geq 2\), alors un système de Stokes est déterminé par \(k_0\), et \(k_0\) en provient si et seulement s'il annule \(\partial_1(\operatorname{Ker}(A^0_1 \xrightarrow{d} A^1_1))\) — ce qui est automatique si c') \(H^0(A^*_1) = \varepsilon^*(A^0_0)\). Il y a alors un unique morphisme \(A^*_* \to C^*_{*M}\) prolongeant \(k_0\), et, grâce à a), il est à valeurs dans les cochaînes normalisées : \[ A^*_* \longrightarrow C^{*!}_{*M} \simeq \Lambda^{*+1}\Phi_* \otimes_k M . \]

Exemple. Pour un anneau à puissances divisées \((S, J)\) et \(t \in J\), l'algèbre \(\bigl(\Gamma^*\Phi_{*S} \otimes_S \Lambda^*\Psi_{*S}\bigr)/(T - t)_{\mathrm{pd}}\) est une résolution de \(S\) avec \(A^i_j = 0\) pour \(i > j\) : on a donc un système d'intégrales de Stokes à valeurs dans \(S\), et un morphisme canonique vers \(\Lambda^{*+1}\Phi_{*S}\), « dont il faudrait étudier les propriétés multiplicatives ». Le calcul explicite de ces intégrales est fait pages 136 à 140.

69–71

Comparaison avec le De Rham classique (pages 69 et 71)

Les données sont : (1) un complexe augmenté \(k_X \to A^*_X\) avec intégrales de Stokes \(K_n\) normalisées ; (2) un espace \(X\) et une résolution différentielle \(k_X \to \Omega^*\) (par exemple le De Rham d'une variété \(C^\infty\), \(k = \mathbb{R}\)) ; (3) un sous-ensemble \(S(X)'\) du complexe singulier qui donne la même homologie (les simplexes \(C^\infty\)) ; (4) pour chaque simplexe \(\sigma\), un « tiré en arrière » des germes de formes au voisinage du support de \(\sigma\) vers \(A^*_n\), compatible aux opérations simpliciales²⁴ . Les \(K_*\) et (4) définissent un morphisme \(\Omega^* \to S'^*_X\) compatible aux augmentations, d'où un cube commutatif dont la base est faite d'isomorphismes (image par \(\mathrm{R}\Gamma\) d'un carré d'isomorphismes dans une catégorie dérivée), la flèche verticale de droite étant un isomorphisme par Cartan, \(S^*_X\) étant « homotopiquement fin » ; la face du haut en hérite. La page 71 est en partie barrée, et le raisonnement n'est donné qu'à grands traits.

73–77

Le complexe comme noyau de la multiplication par \(dT\) (pages 73 à 77)

Sur \(\mathrm{sSet}\), \(\Phi_* = i_{0*}(k)\) est un \(k\)-module muni de la section \(T\), qui définit une injection \(k_* \hookrightarrow \Phi_*\). L'algèbre bigraduée différentielle à puissances divisées \(\mathcal{D}^{**}_* = \Gamma^*_k\Phi_* \otimes_k \Lambda^*\Phi_*\) (différentielle de bidegré \((-1,+1)\), alternée pour le degré total) est une résolution de \(k\) : \(\mathcal{D}^{00}_* = k_*\), et en degré total \(n > 0\) la suite \(0 \to \Gamma^n\Phi_* \to \Gamma^{n-1}\Phi_* \otimes \Lambda^1\Phi_* \to \cdots \to \Lambda^n\Phi_* \to 0\) est exacte, à termes flasques. Soit \(\overline{T} = dT \in \Lambda^1\Phi_*\) ; la multiplication \(\overline{T} \wedge\) est de carré nul, de bidegré \((0,1)\), anticommute à \(d\), et a noyau égal à son image. On pose \[ \mathrm{DR}^{p,q}_* = \operatorname{Ker}\bigl(\mathcal{D}^{p,q+1}_* \xrightarrow{\ \overline{T}\wedge\ } \mathcal{D}^{p,q+2}_*\bigr) \simeq \Gamma^p\Phi_* \otimes \Lambda^q \Psi_* = C^{p,q}_* , \] car le noyau de \(\overline{T} \wedge\) sur \(\Lambda^{q+1}\Phi_*\) est \(\overline{T} \wedge \Lambda^q\Phi_* \simeq \Lambda^q\Psi_*\). On a les suites exactes \(0 \to \mathrm{DR}^{p,q}_* \xrightarrow{i} \mathcal{D}^{p,q+1}_* \xrightarrow{u} \mathrm{DR}^{p,q+1}_* \to 0\), où \(u = \overline{T}\wedge\).

Sur un \(X_*\), avec \(\Gamma = \operatorname{Hom}(X_*, -)\) :

(A) \(\mathcal{D}^{00}(X_*) \simeq k^{\pi_0(X_*)}\) et \(H^{p,q}(\mathcal{D}(X_*)) = 0\) pour \((p,q) \neq (0,0)\)²⁵ ;

(B) les lignes \(0 \to \mathcal{D}^{p,0} \xrightarrow{\overline{T}\wedge} \mathcal{D}^{p,1} \to \cdots\) sont exactes pour \(p > 0\), tandis que pour \(p = 0\), \(\Lambda^\bullet\Phi_*\) muni de \(\overline{T}\wedge\) étant une résolution flasque décalée de \(k_*\), la cohomologie est nulle en degrés \(\leq 1\) et vaut \(H^{n-1}(X_*, k)\) en degré \(n \geq 2\).

La structure multiplicative à puissances divisées de \(\mathrm{DR}^{**}\) est déterminée par la condition que \(u : \mathcal{D}^{**} \to \mathrm{DR}^{**}\) soit compatible à toutes les structures, avec \(i(x\,u(y)) = i(x)\,y\), \(i(u(y)\,x) = y\,i(x)\) et \(i(x)\,i(y) = 0\) — à la détermination près (E) des produits \(\mathrm{DR}^{0,p} \times \mathrm{DR}^{0,q} \to \mathrm{DR}^{0,p+q}\) (\(p,q \geq 1\)) et des puissances divisées sur \(\mathrm{DR}^{0,p}\), qui sont les seules données supplémentaires. L'argument (D) : les puissances divisées de \(\mathrm{DR}^{**+} = \operatorname{Ker}(\overline{T}\wedge)\) sont nulles en ordre \(\geq 2\), car localement \(y = \overline{T}z\) et \(y^{(i)} = \overline{T}^i z^{(i)}\).

Problème (page 77). Trouver des scindages canoniques des suites exactes \(0 \to \Gamma^p\Phi_* \otimes \Lambda^{q-1}\Psi_* \to \Gamma^p\Phi_* \otimes \Lambda^q\Phi_* \to \Gamma^p\Phi_* \otimes \Lambda^q\Psi_* \to 0\), \(p \geq 1\). Un scindage existe, \(\Gamma^p\Phi_* \otimes \Lambda^q\Psi_*\) étant projectif pour \(p \geq 1\), dit-il. Pour \(p = q = 1\) il est unique, car \(\operatorname{Hom}(\Phi_* \otimes \Psi_*, \Phi_*) \simeq \operatorname{Hom}_k((\Phi_*\otimes\Psi_*)_0, k) = 0\), \(\Psi\) étant nul en degré simplicial \(0\) (\(\Phi_* = i_{0*}k\) est adjoint à droite de l'évaluation en \([0]\)). La page s'arrête sur « Soit \(s : \Phi_* \otimes \Psi_* \to \Phi_* \otimes \overline{\Phi}_*\) », sans le définir.

79–90

Faisceaux tests sur un topos ; la condition de De Rham (pages 79 à 90)

Le bicomplexe d'une immersion

Soient \(X\) un topos et \(u : \mathbb{Z} \to \Phi\) une immersion telle que a) \(\Psi = \operatorname{Coker} u\) soit plat, b) les \(\Lambda^i\Phi\) et \(\Gamma^i \Phi\), \(i > 0\), soient flasques et le restent après tout produit tensoriel. On en déduit que les \(\Gamma^i\Phi \otimes \Lambda^j\Phi\) (\(i + j > 0\)), puis les \(\Gamma^i\Phi \otimes \Lambda^j\Psi\) (\(i > 0\)), sont flasques. Le bicomplexe \(K^{\bullet\bullet}_u = \Gamma^*\Phi \otimes \Lambda^*\Psi\), avec la différentielle compatible aux puissances divisées qui est nulle sur \(\Lambda\Psi\) et égale à \(\Phi \to \Psi\) sur \(\Phi\), est une résolution de \(\mathbb{Z}\{T\}\), où \(T \mapsto 1 \in \operatorname{Ker}(\Phi \to \Psi)\) ; et pour tout Anneau commutatif \(k\) sur \(X\), \(K_{u,k} = \Gamma^*_k\Phi_k \otimes \Lambda^*_k\Psi_k\) est une résolution de \(k\{T\}\), à composantes flasques pour \(i > 0\).

Théorème. Soit \(K^{\bullet\bullet}(X, u, k) = \Gamma(X, K_{u,k})\). L'homomorphisme canonique \(H^{**}(X, u, k) \to H^*(X, k) \otimes_k k\{T\}\) est un isomorphisme sur la partie de bidegré (complémentaire \(p \geq 0\), extérieur \(q\)), où il s'écrit \(H^{p,q}(X,u,k) \simeq H^q(X,k)\), comme au cas simplicial.²⁶ Plus généralement, pour un morphisme de topos \(f : X \to Y\), on a \(f_* K_{u,k} \to \mathrm{R}f_*(k) \otimes_k k\{T\}\), isomorphisme en cohomologie dans le même domaine.

Fonctorialités

\(K_u\) est fonctoriel en \(k\) et en \(u\) : un \(\lambda : \Phi \to \Phi'\) tel que \(\lambda u = u'\) induit un morphisme compatible aux structures, isomorphisme dans la catégorie dérivée, qui le reste après \(\Gamma(X,-)\) ou \(f_*\). Deux tels morphismes \(\lambda\), \(\mu = \lambda + \Theta\) (\(\Theta u = 0\)) : que peut-on en dire ? La question est posée page 86 et reste sans réponse.

Les structures de \(K\) (page 82) : anneau bigradué alterné pour le degré extérieur, à bidegrés \(\geq 0\), puissances divisées sur l'idéal des bidegrés non nuls, différentielle compatible, \(d : K^{1,0} = \Phi \to K^{1,1} = \Psi\) épimorphique, \(K \simeq \Gamma^*\Phi \otimes \Lambda^*\Psi\) libre, \(\Phi\) et \(\Psi\) plats ; si \(L = \operatorname{Ker} d\), \(K\) est une résolution de \(\Gamma^*L\), et l'on suppose le plus souvent \(L\) localement libre de rang \(1\). La donnée de \(K\) équivaut à celle de \((k, L, \Phi, u : L \hookrightarrow \Phi)\), et un morphisme à celle d'un morphisme d'anneaux \(k \to k'\) et d'un \(\lambda_\Phi\) semi-linéaire respectant les images de \(L\).

Indépendance du choix de \(u\)

Lemme. Pour tout \(k\)-module \(N\), \(u_N = u \otimes \mathrm{id}_N : N \to \Phi \otimes_k N\) est un monomorphisme « universel », satisfaisant les mêmes conditions. Deux immersions \(u\), \(u'\) se plongent dans la somme amalgamée \(\Phi \amalg_k \Phi'\), puis dans un \(N\) du lemme ; d'où des isomorphismes \(\mathrm{DR}(u) \simeq \mathrm{DR}(N) \simeq \mathrm{DR}(u')\) dans la catégorie \(\mathbb{DR}^{**}\) des anneaux bigradués alternés différentiels à puissances divisées avec élément de bidegré \((1,0)\), indépendants des choix et transitifs (par le même argument appliqué à deux choix de \(N\)). L'argument vaut pour \(f_*\mathcal{DR}^{**}_{\mathrm{pd}}(k,u)\).

La condition de De Rham

Un Anneau \(k\) d'un topos satisfait la condition de De Rham s'il existe un \(u : k \to \Phi\) comme ci-dessus ; elle passe à toute \(k\)-Algèbre, et « le plus beau » serait que \(\mathbb{Z}_X\) y satisfasse. C'est vrai pour le topos \(\widehat{\Delta}\) et pour le topos d'un espace paracompact²⁷ ; pour le topos des ensembles cosimpliciaux, la réponse inscrite est « Non », soulignée trois fois. Si \(A^{**}\) est une algèbre bigraduée de ce type avec \(A^{00} = k\) satisfaisant la condition, l'augmentation \(k\{T\} \to \mathcal{DR}(k,u)\) définit un morphisme \(A^{**} \to \mathcal{DR}(k,u) \otimes_{k\{T\}} A^{**}\), qu'il affirme être un quasi-isomorphisme.

93–107

Les algèbres de De Rham spéciales (pages 93 à 107)

Définitions

Une structure de De Rham (à puissances divisées, sous-entendu) est un anneau bigradué \(A^{ij}\), \(0 \leq j \leq i\) (\(i\) total, \(j\) extérieur, \(i - j\) complémentaire), alterné pour le degré extérieur, avec une différentielle de bidegré \((0,1)\) — une dérivation graduée pour le degré extérieur —, des puissances divisées sur \(A^+ = \sum_{i+j>0} A^{ij}\) compatibles aux deux graduations (\(\gamma^d : A^{ij} \to A^{di,dj}\)) et à la différentielle, et un élément marqué \(T \in Z^{10}(A)\). Elle est spéciale si \(k\{T\} \xrightarrow{\sim} H^{*0}(A)\), \(H^{*j}(A) = 0\) pour \(j > 0\), et les \(A^{ij}\) sont \(k\)-plats²⁸ . D'où les catégories \(\mathbb{DR}\mathrm{sp}(\mathfrak{X}, k)_0\) (morphismes respectant toutes les structures), \(\mathbb{DR}\mathrm{spfl}\), \(\mathbb{DR}\mathrm{spufl}\) (flasques, universellement flasques), et leurs catégories de fractions obtenues en inversant les quasi-isomorphismes.

Réduction à l'algèbre standard

Pour \(A\) spéciale, \(T\) définit \(k \to A^{10} = \Phi\), d'où une suite exacte \(0 \to k \to \Phi \to \Psi \to 0\) avec \(\Psi\) plat, et un morphisme \(\mathrm{DR}(\Phi, T) = \Gamma^*\Phi \otimes \Lambda^*\Psi \to A\). Tout morphisme \(A \to A'\) s'inscrit dans un carré avec \(\mathrm{DR}(\Phi,T) \to \mathrm{DR}(\Phi', T')\).

Proposition (page 97). La catégorie localisée de \(\mathbb{DR}\mathrm{sp}(\mathfrak{X}, k)_0\) est équivalente à la catégorie ponctuelle ; de même pour \(\mathbb{DR}\mathrm{spufl}(\mathfrak{X},k)_0\), si les \(\Gamma^i\Phi\) (\(i > 0\)) d'un \(\Phi\) plat universellement flasque sont encore universellement flasques. Elle se ramène à la même assertion pour la catégorie des extensions \(0 \to k \to \Phi \to \Psi \to 0\) à \(\Psi\) plat, que la page dit « on sait » équivalente à la catégorie ponctuelle²⁹ .

Sur \(\widehat{\Delta}\)

Soit \(i_n : P \to \widehat{\Delta}\) le point \(K \mapsto K_{[n]}\). Lemme. \(i_{0*}(M) \simeq \Phi_* \otimes_k M\), avec \(\Phi_*(I) = k^I\). Car \(i_{0*}(M)(I) = M^I\). Corollaire. \(\operatorname{Hom}(A_*, \Phi_* \otimes_k M) \simeq \operatorname{Hom}_k(A_0, M)\), d'où un morphisme canonique \(A_* \to \Phi_* \otimes A_0 = i_{0*}i_0^*A_*\). Appliqué à \(k_* \hookrightarrow A^{1,0}_*\), cela relie toute algèbre de De Rham spéciale, « en trois crans », à l'algèbre standard \(\mathrm{DR}(\Phi_{*k}, T)\), « qui semble la plus économique de toutes » (page 101) : \[ A^{**}_* \longleftarrow \mathrm{DR}(A^{10}_*, T) \longrightarrow \mathrm{DR}(A^{10}_0 \otimes \Phi_*, T) \longleftarrow \mathrm{DR}(\Phi_{*k}, T) , \] diagramme qui reste dans les flasques si \(A^{10}_*\) l'est.

Il introduit ensuite des catégories \(\mathbb{DR}\mathrm{sp}'\), \(\mathbb{DR}\mathrm{spfl}'\) ayant plus de morphismes : les homomorphismes d'anneaux à puissances divisées entre complétés \(\widehat{A} = \prod A^{ij}\) respectant \(T\). Les groupoïdes engendrés seraient « triviaux » (réunion d'objets reliés par des isomorphismes transitifs), et équivalents « au groupoïde connexe défini par deux groupes, que nous nous proposons de déterminer » dans le cas de \(\widehat{\Delta}\) (page 105). Les pages 105 et 107 commencent la détermination des morphismes de \(\widehat{\mathrm{DR}}_{*k}\) dans une algèbre de De Rham : des composantes \(v(p,q)\), avec \(v(1,0)(T) = T\), et, page 107 — au crayon très pâle, lue par fragments seulement —, un élément \(\xi_0\) en degré simplicial \(1\) et des relations de commutation entre ses images par les deux dégénérescences \(\Delta_2 \to \Delta_1\). Le premier groupe est déterminé aux pages 161 à 179 ; le second n'apparaît pas dans le dossier³⁰ .

110–120

Les théories de De Rham admissibles (pages 110 à 120)

On considère les foncteurs \(C^{**} : \mathrm{sSet}^\circ \to \mathfrak{D}\), où \(\mathfrak{D}\) est la catégorie des \(S_k\)-algèbres bigraduées alternées différentielles augmentées à puissances divisées, qui transforment limites inductives en limites projectives ; ils sont représentables, c'est-à-dire donnés par des objets simpliciaux \(C^{**}_*\) de \(\mathfrak{D}\). À un tel \(C\) est associé le foncteur cohomologique \(\mathcal{H}^{**}_C(X) = H^{**}(C^{**}(X))\). \(C\) est admissible si, pour tout \(X\), l'image de \(H^{**}\) modulo les modules négligeables (le foncteur \(\tau_\omega\) des pages 253 à 258) est dans l'image essentielle des \(k\)-modules, \(\mathcal{H}_C(X) \approx H^*_C(X) \otimes_k S_k\).

Précisément : dans le diagramme \(\mathrm{R}\Gamma(X, S_k) \to \mathrm{R}\Gamma(X, C^{**}) \leftarrow C^{**}(X)\), on veut que les deux flèches deviennent des isomorphismes après \(\tau_\omega\), ce qui entraîne que les morphismes induits en cohomologie sont à noyau et conoyau négligeables. Pour \(X = \Delta_n\) cela se réduit à : 3a) \(S^i_k \to H^{i,0}(C_n)\) est un isomorphisme pour \(i \geq \lambda(n)\) ; 3b) \(H^{i,p}(C_n) = 0\) pour \(i \geq \lambda(p)\), \(p > 0\)³¹ — avec \(\lambda\) strictement croissante, dont « on suspecte » qu'on peut la prendre indépendante de \(n\). Dans ce cas la flèche horizontale devient un isomorphisme après \(\tau_\omega\), chaque \(C^{i*}_*\) étant une résolution de \((S^i_k)_*\) jusqu'en degré \(p\) pour \(i\) grand. Pour la flèche verticale suffit (4) : si \(\pi(i)\) est le plus petit entier tel que \(C^{ip}_*\) soit flasque pour \(p \geq \pi(i)\), on veut \(\pi(i) \to +\infty\).

Il aimerait un théorème d'unicité. Les morphismes entre théories admissibles sont déjà des quasi-isomorphismes modulo négligeables ; on passe au groupoïde engendré, et l'on « aimerait prouver que ce groupoïde est connexe et simplement connexe » : a) deux théories sont dominées par une troisième ; b) deux morphismes parallèles sont égalisés par un morphisme. Un grand « ? » en marge, et : « il y aurait plus de chances avec catégorie de fractions à droite ??? ».

122–134

La version duale : coalgèbres et chaînes de De Rham (pages 122 à 134)

Schémas affines en algèbres

Une nouvelle rédaction, intitulée « Complexes duaux de De Rham à p.d. »³² , part d'une \(k\)-coalgèbre \(s\) associative, unitaire, commutative, d'une sous-coalgèbre \(\bar s\), du quotient \(s^+ = s/\bar s\), d'un système de « copuissances divisées » \(\gamma^*_i : s^+ \to \operatorname{Sym}^i_k(s^+)\), et d'une forme \(t : s^+ \to k\). Le foncteur \(V_k(s) : k' \mapsto s^{k'} = \operatorname{Hom}_k(s, k')\) est à valeurs dans les anneaux commutatifs ; \(V_k(s^+)\) en est un Idéal, muni de puissances divisées par les \(\gamma^*_i\), et \(t\) en est une section. On obtient un objet simplicial dans les schémas affines en algèbres différentielles graduées alternées à idéal à puissances divisées : \[ \mathcal{A}_n(s,s^+,\gamma,t)(k') = s^{k'}\{\{X_0,\ldots,X_n\}\}[dX_0,\ldots,dX_n] \big/ \Bigl(\textstyle\sum X_i - t,\ \sum dX_i\Bigr)_{\mathrm{pd}} , \] où les doubles accolades désignent les séries formelles à puissances divisées. Comme foncteur en \(k'\) c'est \(\operatorname{Hom}_k(s,k')^{\mathbb{N}^n \times \mathfrak{P}([0,n-1])}\), donc \[ \mathcal{A}_n = V\bigl(\mathcal{A}^n\bigr), \qquad \mathcal{A}^n = s \otimes_k k[Y_0,\ldots,Y_{n-1}] \otimes_k \Lambda^*(y_0,\ldots,y_{n-1}) . \] a) Chaque \(\mathcal{A}^n\) est une \(k\)-coalgèbre graduée alternée codifférentielle (de degré \(-1\)), avec \(\bar s \hookrightarrow \mathcal{A}^n\) et des copuissances divisées ; b) les \(\mathcal{A}^n\) forment un objet cosimplicial ; c) \(\mathcal{A}_* = V_k(\mathcal{A}^*)\).

Chaînes de De Rham

d) Pour un ensemble simplicial \(\mathcal{X}\), \[ \operatorname{Hom}\bigl(\mathcal{X}, \mathcal{A}_*(k')\bigr) \simeq \varprojlim_{\sigma \in \Delta/\mathcal{X}} \mathcal{A}_{\dim\sigma}(k') \simeq \operatorname{Hom}_k\Bigl(\varinjlim_{\sigma \in \Delta/\mathcal{X}} \mathcal{A}^{\dim\sigma}, k'\Bigr) , \] et l'on pose \(C^{\mathrm{DR}}_*(\mathcal{X}; s, s^+, \gamma, t) = \varinjlim_{\sigma} \mathcal{A}^{\dim\sigma}\) : une \(k\)-coalgèbre graduée alternée codifférentielle avec un morphisme \(\bar s \to C^{\mathrm{DR}}_*\) (non nécessairement injectif : il est nul si \(\mathcal{X} = \varnothing\)) et des copuissances divisées. Elle commute aux limites inductives quelconques en \(\mathcal{X}\), et les cochaînes s'en déduisent par \(C^*_{\mathrm{DR}}(\mathcal{X}; s^{k'},\ldots) = \operatorname{Hom}_k(C^{\mathrm{DR}}_*, k')\). e) Elle est covariante en \((s, s^+, \gamma, t)\) et commute aux limites inductives filtrantes et à l'extension de la base. f) Si \(s\) est graduée et \(t\) homogène de degré \(\delta\), tout devient bigradué (\(\deg X_r = \deg dX_r = \delta\)).

g) On prend \(s = k[u]\), \(\bar s = k\), d'où \(s^{k'} = k'\{\{T\}\}\) ; les copuissances divisées sont celles qui correspondent aux puissances divisées de \(k'\{\{T\}\}^+\), et \(t = T\), c'est-à-dire \(t(u^n) = 1\) si \(n = 1\), \(0\) sinon. On obtient \(\mathcal{A}^*_{k*}\) avec \(\operatorname{Hom}_k(\mathcal{A}^*_k, k') \simeq \mathcal{A}_*(k')^\wedge\) — le complété du complexe des pages 5 à 8 —, et la coalgèbre bigraduée \(C^{\mathrm{DR,pd}}_*(\mathcal{X}, k)\) qui redonne par dualité toutes les structures de \(C^*_{\mathrm{DR,pd}}(\mathcal{X}, k')\). Enfin tout se déduit du cas \(\mathbb{Z}\) : \[ C^{\mathrm{DR,pd}}_*(\mathcal{X}, k) \simeq C^{\mathrm{DR,pd}}_*(\mathcal{X}) \otimes_{\mathbb{Z}} k , \qquad C^*_{\mathrm{DR,pd}}(\mathcal{X}; M) = \operatorname{Hom}\bigl(C^{\mathrm{DR,pd}}_*(\mathcal{X}), M\bigr) \] pour tout groupe abélien \(M\). C'est l'objet « le plus fin » annoncé page 14.

136–140

Dualisation des homomorphismes de Stokes (pages 136 à 140)

Les intégrales de Stokes \(\pi_n : \mathcal{A}^n_n \to s^{k'}\) se dualisent en \(\kappa_n : s \to (\mathcal{A}^*)_n\) en degré \(n\), avec \(\kappa_0 = \mathrm{id}\) et la condition de Stokes \(d_{\mathcal{A}^*}\kappa_n = \partial\,\kappa_{n-1}\), d'où des morphismes \(C^{\mathrm{sing}}_*(\mathcal{X}, s) \to C^{\mathrm{DR}}_*(\mathcal{X}; s, s^+, \gamma, t)\)³³ .

La dualité est explicite (page 138) : en degré cotangent \(0\), \(k\{\{T\}\}\{\{X_0,\ldots,X_n\}\}/(\sum X_i - T)_{\mathrm{pd}} \simeq k\{\{X_0,\ldots,X_n\}\}\) est dual de \(k[Z_0,\ldots,Z_n] \hookrightarrow k[U, Y_0,\ldots,Y_n]\), \(Z_i \mapsto U + Y_i\), par l'accouplement \(\langle X^{(i)}, Z^j\rangle = \delta_{i,j}\) ; l'image est l'intersection des noyaux des opérateurs différentiels divisés \(\bigl(\sum_i \partial/\partial Y_i - \partial/\partial U\bigr)^{(m)}\). En degré total égal au degré cotangent, \(\Lambda^*[dX_0,\ldots,dX_n]/(\sum dX_i)\) est dual du sous-espace des vecteurs de somme nulle, noyau du produit intérieur par la forme « somme des coordonnées ».

L'intégrale elle-même est calculée page 140 : sur \((\mathcal{A}^*_n)^n \simeq S\{X_0,\ldots,X_{n-1}\}\, dX_0\wedge\cdots\wedge dX_{n-1}\), \[ \kappa^n\bigl(X_0^{(i_0)} \cdots X_{n-1}^{(i_{n-1})}\, dX_0 \wedge \cdots \wedge dX_{n-1}\bigr) = \gamma_{i_0 \ldots i_{n-1}}\; t^{(n + \sum i_\alpha)} , \] avec \(\gamma_{i} = \frac{(n+\sum i_\alpha)!}{\prod i_\alpha!} \int_{\sigma_n} X_0^{i_0}\cdots X_{n-1}^{i_{n-1}}\,dX_0\cdots dX_{n-1}\) sur le simplexe \(\sigma_n = \{X_\alpha \geq 0,\ \sum X_\alpha \leq 1\}\). La page calcule ensuite \(\gamma\) par récurrence sur \(n\) au moyen de Stokes, et la récurrence s'arrête au bas de la page. En fait \(\gamma_i = 1\) pour tout \(i\) : c'est l'intégrale de Dirichlet \(\int_{\sigma_n} \prod X_\alpha^{i_\alpha} = \prod i_\alpha! / (n + \sum i_\alpha)!\)³⁴ . L'intégrale, sur le simplexe de taille \(t\), d'un monôme en puissances divisées est donc la puissance divisée de \(t\) de l'ordre total : \[ \int_{t\sigma_n} X_0^{(i_0)} \cdots X_{n-1}^{(i_{n-1})}\, dX_0\cdots dX_{n-1} = t^{(n + \sum i_\alpha)} , \] ce qui explique pourquoi l'intégration de Stokes est définie sans dénominateur.

143–151

Le yoga coalgèbres \(\mapsto\) Algèbres (pages 143 à 151)

On travaille dans le topos \(\widehat{C}_k\) des préfaisceaux sur la catégorie opposée des \(k\)-algèbres, où le foncteur oubli est une \(k\)-Algèbre \(\mathcal{O}_k\). Pour un \(k\)-module \(M\), \(V(M)(A) = \operatorname{Hom}_k(M, A)\) est un \(\mathcal{O}_k\)-Module, représenté par \(\operatorname{Sym}^*(M)\) ; d'où \(\operatorname{Hom}_{\widehat{C}_k}(V(N), F) \simeq F(\operatorname{Sym}^* N)\) et \[ \operatorname{Hom}_{\widehat{C}_k}(V(N), V(M)) \simeq \operatorname{Hom}_k(M, \operatorname{Sym}^* N) . \] Un morphisme \(u^*\) est homogène de degré \(n\) si et seulement si le \(u\) correspondant tombe dans \(\operatorname{Sym}^n N\) (on teste sur \(A = k[T]\), \(\lambda = T\)) ; les morphismes homogènes de degré \(1\) sont donc exactement les \(\operatorname{Hom}_k(M, N)\), nécessairement \(\mathcal{O}_k\)-linéaires, et \(V\) est pleinement fidèle (contravariant). De même, \(V\) transforme sommes en produits, et les accouplements multilinéaires \(\prod V(N_\alpha) \to V(M)\) correspondent aux \(M \to \bigotimes N_\alpha\) ; une loi bilinéaire sur \(V(M)\) est donc une comultiplication \(\Delta : M \to M \otimes M\), associative, commutative, unitaire si la loi l'est ; une unité de \(V(M)\) est une counité \(M \to k\), une augmentation \(V(M) \to \mathcal{O}_k\) un élément \(e\) avec \(\Delta e = e \otimes e\). Une limite inductive quelconque de coalgèbres est une coalgèbre.

Une graduation de type \(Z\) de \(M\) revient à décomposer \(V(M)\) en produit, et, si \(Z\) est un groupe, à une action du groupe diagonalisable \(D(Z) = \operatorname{Spec} k[Z]\). Une coalgèbre graduée correspond à une loi compatible aux graduations ; avec \(Z \to \mathbb{Z}/2\) on définit les coalgèbres anticommutatives et alternées (\(x^2 = 0\) en degré impair), alterné entraînant anticommutatif ; ces conditions passent aux limites. Les codérivations et coantidérivations correspondent aux dérivations et antidérivations de \(V(M)\) ; un endomorphisme de degré \(\nu\) de \(M\) donne un endomorphisme de degré \(-\nu\) de \(V(M)\), ce qui n'importe pas pour les dérivations, où seule la parité compte. Les « coproduits divisés » sont à traiter de même, après le cas ordinaire.

152–159

Coalgèbres et comodules (pages 152 à 159)

Si \(C\) est un comodule sur la coalgèbre \(s\), \(V(C)\) est un Module sur \(V(s)\), donc \(C\) est un module ordinaire sur l'algèbre duale \(s^k = \operatorname{Hom}_k(s, k)\), \(u \in s^k\) opérant par \(C \xrightarrow{\Delta_C} C \otimes s \xrightarrow{\mathrm{id} \otimes u} C\). On récupère la structure de comodule si \(C \otimes s \to \prod_{u \in s^k} C\) est injectif, ce qui est le cas si \(s\) est libre sur \(k\) (sans hypothèse de platitude sur \(C\)). Exemple : \(s = k[U]\), \(s^k = k\{\{T\}\}\) ; \(C = k[U, Y_0,\ldots,Y_n]\) est un module sur \(C^k = k\{\{T\}\}\{\{X_0,\ldots,X_n\}\}\), \(T^{(i)}X^{(i_0)}_0\cdots\) opérant par les opérateurs différentiels divisés \(D_U^{(i)} D_{Y_0}^{(i_0)} \cdots\), localement nilpotents.

Pour \(s\) cocommutative, unitaire et libre de base \((e_\alpha)\), les modules qui proviennent d'un comodule sont ceux pour lesquels \(u \mapsto u.x\) est continu pour la topologie de la convergence simple sur \(s^k \simeq k^A\) et la topologie discrète sur \(C\) ; la catégorie des \(s\)-comodules gradués équivaut à celle des \(s^k\)-modules gradués « localement nilpotents » en ce sens³⁵ . Si \(u \in (s^k)_n\), \(u_C\) diminue les degrés de \(n\) ; pour qu'il les augmente il faut changer le signe des degrés, \(V(C)^m = V(C_{-m})\) — ce que reprennent les notes de la page 159.

161–171

Les homomorphismes de l'algèbre simpliciale \(\mathcal{A}_*\) (pages 161 à 171)

Notons \(\mathcal{A}_S = \mathcal{A}(S, S^+, t)_*\) l'algèbre simpliciale des pages 5 à 8, pour un anneau \(S\) à idéal à puissances divisées \(S^+\) et \(t \in S^+\) ; on a \((\mathcal{A}_S)_0 = S\) et \((\mathcal{A}_S)_1 \simeq S\{X_0\}[dX_0]\), avec les deux augmentations \(\alpha(X_0) = 0\) et \(\beta(X_0) = t\) (faces vers \((\mathcal{A}_S)_0\)).

Théorème (page 161). Les homomorphismes d'anneaux simpliciaux \(\varphi_* : \mathcal{A}_S \to \mathcal{A}_{S'}\) — sans respecter a priori ni graduation, ni filtration, ni puissances divisées — correspondent biunivoquement aux systèmes \((\varphi_0, A'_1, (B'_i)_{i \geq 1})\) formés d'un homomorphisme d'anneaux \(\varphi_0 : S \to S'\), de \(A'_1 = \sum_{j \geq 1} a'_j X_0^{(j)} \in \operatorname{Ker}(\alpha)\) et de \(B'_i = \sum_{j \geq 0} b'_{ij}X_0^{(j)} \in S'\{X_0\}\), soumis aux conditions : 1) \(\varphi_0(t^{(i)}) = \varphi_0(t)^{(i)}\) — \(\varphi_0\) commute nécessairement aux puissances divisées sur \((t)_{\mathrm{pd}}\) ; 2) \(\beta(A'_1) = \varphi_0(t)\), i.e. \(\sum_j a'_j\, t'^{(j)} = \varphi_0(t)\) ; 3) \((2B'_i)\,J' = 0\) pour tout \(i\), où \(J' \subset S'\) est l'idéal engendré par les coefficients \(a'_j\) et \(b'_{jk}\).

On reconstitue \(\varphi_1\) par \(\varphi_1|_S = \varphi_0\), \(\varphi_1(X_0^{(i)}) = A_1'^{(i)} + B'_i\,dX_0\), \(\varphi_1(dX_0) = dA'_1\), et \(\varphi_n\) en écrivant \((\mathcal{A}_S)_n = S\{U_0,\ldots,U_{n-1}\}[dU_0, \ldots,dU_{n-1}]\), \(U_r = X_0 + \cdots + X_r\), et en posant \(\varphi_n(U_r^{(i)}) = A_1'^{(i)}\{U_r\} + B'_i\{U_r\}\,dU_r\). La condition 3) ne sert qu'à partir de \(n = 2\), pour que les images de variables différentes commutent³⁶ . Si \(\varphi_0(t)\) est régulier, ou si le coefficient \(a'_1\) est inversible, 3) signifie \(2B'_i = 0\).

Corollaire 1. Si \(2\) est inversible dans \(S'\) (sous l'une de ces conditions), \(\varphi_*\) respecte la graduation, et si \(S^+ = (t)_{\mathrm{pd}}\), les puissances divisées. Corollaire 2. \(\varphi_*\) commute aux puissances divisées si et seulement si \(B'_i = A_1'^{(i-1)}B'_1\) ; il respecte les graduations si et seulement si \(B'_i = 0\) (et alors il commute aux puissances divisées). Corollaire 3. Il respecte la filtration croissante grossière si et seulement si \(A'_1 = a'_1X_0\) et \(B'_i \in \mathrm{Fil}^{i-1}\) ; graduations et filtrations ensemble : \(A'_1 = a'_1X_0\) et \(B'_i = 0\), et ces \(\varphi\) sont les prolongements canoniques des \((\varphi_0, \lambda)\) avec \(\lambda t' = \varphi_0(t)\)³⁷ . Corollaire 4. \(\varphi_*\) respecte toujours la filtration décroissante associée au degré extérieur.

Le cas \(S = k\{T\}\), \(S' = k'\{T\}\). \(\varphi_0\) est donné par \(\varphi_{00} : k \to k'\{T\}\), \(\lambda \mapsto \sum_i \delta_i(\lambda) T^{(i)}\), avec \(\delta_0\) homomorphisme, \(\delta_i(1) = 0\) pour \(i \geq 1\) et \(\delta_i(\lambda\lambda') = \sum_{j+l=i} \binom{i}{j} \delta_j(\lambda) \delta_l(\lambda')\)³⁸ , et par \(\varphi_0(T)\), fixé par 2). Identifiant \(S'\{X_0\} = k'\{T\}\{X_0\} \simeq k'\{X_0, X_1\}\) (\(T = X_0 + X_1\)), on a \(A'_1 = \sum_{i \geq 1, j \geq 0} \alpha_{ij}X_0^{(i)}X_1^{(j)}\) et \(\varphi_0(T) = \sum_i \alpha_{i,0}T^{(i)}\).

Corollaire 5. Les homomorphismes \(\mathcal{A}(k\{T\}, k\{T\}^+, T) \to \mathcal{A}(k'\{T\}, k'\{T\}^+, T)\) sont donnés par \(\varphi_{00} : k \to k'\{T\}\), \(A'_1 \in k'\{X_0,X_1\}\) sans terme en \(X_1^{(j)}\) seul, et des \(B'_i \in k'\{X_0,X_1\}\), avec la seule condition \((2b'_{ij})J' = 0\). Ils commutent aux puissances divisées si \(B'_i = A_1'^{(i-1)}B'_1\), aux graduations extérieures si \(B'_i = 0\), aux filtrations croissantes grossière ou fine sous des conditions explicites (pages 169 et 171), au degré total si \(\varphi_0(k) \subset k'\), \(A'_1 = \alpha'_0X_0\) et \(B'_i\) homogène de degré \(i-1\) en \((X_0,X_1)\). Ceux qui respectent les deux graduations sont exactement les prolongements des \(u_{\varphi_{00}, \alpha'_0} : k\{T\} \to k'\{T\}\), \(T \mapsto \alpha'_0 T\) — « vous voyez un minimum ! »³⁹ .

173–179

Le schéma en groupes des automorphismes (pages 173 à 179)

On complète : \(\widehat{\mathcal{A}}_{k,n} \simeq k\{\{T\}\}\{\{X_0,\ldots, X_{n-1}\}\}[dX_0,\ldots,dX_{n-1}]\) ; les résultats sont les mêmes, \(A\) et les \(B_i\) devenant des séries à puissances divisées dans \(k\{\{X_0,X_1\}\}\). Pour un endomorphisme \(\varphi_*\) de la \(k\)-algèbre différentielle simpliciale \(\widehat{\mathcal{A}}_{k*}\), écrivons \(A = \sum_{i \geq 1, j \geq 0} \alpha_{ij}X_0^{(i)}X_1^{(j)}\) et \(\varphi_0(T) = \sum_{j \geq 1} \lambda_j T^{(j)}\) ; on a \(\alpha_{1,0} = \lambda_1\), l'indicateur \(\Delta(\varphi_*)\) de \(\varphi_*\)⁴⁰ .

Théorème. \(\varphi_*\) est un automorphisme si et seulement si son indicateur est inversible. \(\Delta\) est alors multiplicatif, \(\Delta(1) = 1\), d'où un homomorphisme \(\Delta : \Omega(k) = \operatorname{Aut}(\widehat{\mathcal{A}}_{k*}) \to k^* = \mathbf{G}_m(k)\).

Les éléments de \(\Omega(k)\) sont les systèmes \((a_{jk})_{j \geq 1, k \geq 0}\), \((b_{ijk})\) d'éléments de \(k\) (coefficients de \(A\) et des \(B_i\) en puissances divisées de \(T\)), soumis aux seules conditions \(a_{10} \in k^*\) et \(2b_{ijk} = 0\) (la condition 3 du théorème, \(a_{10}\) étant inversible). Le foncteur \(\Omega\) est donc représentable par le schéma affine \[ \Omega \simeq \operatorname{Spec}\Bigl(\mathbb{Z}\bigl[(A_{jk}), (B_{ijk})\bigr] \big/ (2B_{ijk})\Bigr)\bigl[A_{10}^{-1}\bigr] , \] c'est-à-dire \(\mathbf{G}_m \times \mathbf{G}_a^{(\mathbb{N}^* \times \mathbb{N}) \smallsetminus \{(1,0)\}} \times {}_2\mathbf{G}_a^{\mathbb{N}^* \times \mathbb{N} \times \mathbb{N}}\) comme schéma, où \({}_2\mathbf{G}_a\) est le noyau de la multiplication par \(2\)⁴¹ . C'est un schéma en groupes sur \(\mathbb{Z}\) — « par abus de langage, le schéma en groupes d'automorphismes de l'anneau différentiel simplicial \(\widehat{\mathcal{A}}_{\mathbb{Z}*}\) ». La section \(\delta : \mathbf{G}_m \to \Omega\), \(\lambda \mapsto (A = \lambda X_0, B_i = 0)\), soit \(T \mapsto \lambda T\) et \(X_i \mapsto \lambda X_i\), fait de \(\Omega\) un produit semi-direct de \(\mathbf{G}_m\) et d'un groupe unipotent fibre par fibre.

Si \(2\) est inversible dans \(k\), les automorphismes respectent le degré extérieur ; leurs effets sur la cohomologie des \(\operatorname{Hom}(X_*, \widehat{\mathcal{A}}_{k*})\) sont donc des opérations de degré \(0\), qui se factorisent par \(\Delta\) : des multiplications par des puissances de \(\lambda \in k^*\) fixées par le bidegré⁴² . Aucune opération intéressante ne sort donc de là.

181–199

La caractéristique \(2\), et les endomorphismes de \(\mathcal{A}_1\) (pages 181 à 199)

« Si donc on veut trouver des opérations cohomologiques intéressantes », il faut se placer dans le cas où \(2\) n'est pas inversible : « on peut espérer trouver alors une description des carrés de Steenrod mod \(2\) ». On peut aussi appliquer le foncteur \(\tau_\omega\), \(M \mapsto M_\omega\), qui fait de \(X_* \mapsto \operatorname{Hom}(X_*, \mathcal{A}_*)\) un foncteur à valeurs dans les algèbres différentielles de la catégorie abélienne \(\mathcal{M}_\omega\) (« de type Artin », avec un \(\otimes\)), et chercher les types d'anneaux et de foncteurs en oubliant la graduation. Le dossier ne revient pas sur ces espoirs.

Proposition (page 185). Soient \(S\) un anneau commutatif et \(A = S\{X_0\}[dX_0]\), augmentée par \(\alpha\). Les endomorphismes de \(S\)-algèbre différentielle augmentée de \(A\) sont donnés par \(\varphi(X_0^{(i)}) = A_1^{(i)} + B_i\,dX_0\), \(\varphi(dX_0) = A_1'\,dX_0\), où \(A_1 \in S\{X_0\}^+\) et les \(B_i \in S\{X_0\}\) sont arbitraires ; \(\varphi\) commute aux puissances divisées si et seulement si \(B_i = A_1^{(i-1)}B_1\). Corollaire : s'il respecte la graduation, il respecte les puissances divisées. Pour \(S = k\{T\}\), la compatibilité à la seconde augmentation \(\beta\) (\(\beta(X_0) = T\)) s'écrit \(\beta(A_1) = T\) ; posant \(f = A_1 - X_0\) et identifiant \(S\{X_0\} \simeq k\{X_0, X_1\}\), les deux conditions disent \(f \in (X_0)_{\mathrm{pd}} \cap (X_1)_{\mathrm{pd}}\), soit \(f = \sum_{i,j \geq 1} f_{ij}X_0^{(i)}X_1^{(j)}\).

Proposition (pages 189 à 191). Les endomorphismes de la \(S\)-algèbre différentielle \(\mathcal{A}_1\) compatibles aux deux augmentations sont donnés par \(f = \sum_{i,j \geq 1} f_{ij}X_0^{(i)}X_1^{(j)}\) et des \(B_i \in k\{X_0,X_1\}\), par \(\varphi(X_0^{(i)}) = (X_0 + f)^{(i)} + B_i\,dX_0\) et \(\varphi(dX_0) = dX_0 + df\).⁴³ Échanger \(X_0\) et \(X_1\) change \(f\) en \(-f\) et les \(B_i\) en \(C_i = \sum_{j \leq i} (-1)^{j+1}T^{(i-j)}B_j\).

Proposition (page 193). Un tel \(\varphi\) se prolonge de façon unique en des \(\varphi_n\) compatibles à toutes les \(\sigma : \Delta_n \to \Delta_1\). Le corollaire — les endomorphismes de l'algèbre simpliciale \(A_*\) correspondent aux \(\varphi\) — est barré, avec en marge « faux tel quel ; vrai si \(2B_i = 0\) ». C'est exactement la condition 3) du théorème de la page 161, qui en est la version corrigée. La démonstration (pages 195 à 199) utilise les surjections \(\sigma_r : \Delta_n \to \Delta_1\), \(A_*(\sigma_r)(X_0) = U_r = X_0 + \cdots + X_r\), le lemme \(A_n^0 \simeq S\{U_0,\ldots,U_{n-1}\}\), et l'unique morphisme d'algèbres \(U_r^{(i)} \mapsto \sigma_r^*(\xi_i)\) ; il reste à vérifier que les images des \(dU_r\) sont de carré nul, anticommutent entre elles et commutent aux \(\xi_{s,i}\) — c'est là que surgit, dans la note marginale, l'annulation de \(2b_{ik}\). Le lemme final sur les morphismes d'algèbres différentielles \(S\{U\}[dU] \to B\) s'interrompt avec le lot.

201–211

Endomorphismes de l'anneau différentiel simplicial (pages 201 à 211)

On ne demande plus que \(\varphi\) induise l'identité sur \(\mathcal{A}_0 = S\). \(\mathcal{A}_*(S, S^+, t)\) est fonctoriel en \((S, S^+, t)\) pour les morphismes \((u, \lambda)\), \(u\) homomorphisme à puissances divisées et \(\lambda \in S'\) avec \(u(t) = \lambda t'\), par \(X_i \mapsto \lambda X_i\), \(dX_i \mapsto \lambda dX_i\) ; la composition est \((u', \lambda')(u, \lambda) = (u'u, u'(\lambda)\lambda')\), et ces morphismes respectent la filtration naturelle \(\mathrm{Fil}\)⁴⁴ . Si \(t'\) est régulier, \(\lambda\) est déterminé par \(u\) ; c'est le cas pour \(S = k\{T\}\), \(t = T\), lorsque \(k\) est sans torsion.

Soient \(G_k\) le monoïde des \((u, \lambda)\) avec \(u(T) = \lambda T\), \(H_k\) celui des endomorphismes \(S_k\)-linéaires, \(\Omega_k\) celui de tous les endomorphismes de \(k\)-algèbre différentielle simpliciale. On a \[ G_k \cap H_k = \Bigl\{u_\lambda \Bigm| \lambda = 1 + \textstyle\sum_{i \geq 1}\lambda_iT^{(i)},\ (i+1)\lambda_i = 0\Bigr\} , \] puisque \(\lambda T = \sum_i (i+1)\lambda_iT^{(i+1)}\) ; c'est trivial si \(k\) est sans torsion, et si \(k\) est une \(\mathbb{Q}\)-algèbre \(\Omega_k\) est produit semi-direct de \(G_k \simeq G'_k = \operatorname{End}_{k\text{-alg.\ augm.}}(k\{T\})\) et du noyau.

Premier invariant : \(\varphi_0 \in \operatorname{End}(S_k)\), donné par les \(\tau_i = \varphi_0(T^{(i)})\) avec \(\tau_i\tau_j = c_{i,j}\tau_{i+j}\) ; chaque \(\varphi_n\) est \(\varphi_0\)-semi-linéaire. Second invariant : \(\varphi_1\). Proposition (page 209). Les homomorphismes d'anneaux différentiels \(S\{X_0\}[dX_0] \to S'\{X_0\}[dX_0]\) au-dessus de \(\varphi_0\), compatibles à l'augmentation \(\alpha\), sont donnés par des \(\xi_i = A_i + B_i\,dX_0\) avec \(A_i = A_1^{(i)} \in S'\{X_0\}^+\), via \(\varphi_1(X_0^{(i)}) = \xi_i\), \(\varphi_1(dX_0) = d\xi_1\) ; graduations respectées si et seulement si \(B_i = 0\), puissances divisées si et seulement si \(B_i = A_1^{(i-1)}B_1\). Remarque : tout \(\varphi_1\) s'écrit de façon unique \(\psi_1 \circ \overline{\varphi}_0\), où \(\overline{\varphi}_0\) prolonge \(\varphi_0\) canoniquement et \(\psi_1\) est un \(S'\)-endomorphisme augmenté. La compatibilité à \(\beta\) donne \(\beta(A_1) = \varphi_0(T)\) et \(\varphi_0(T^{(i)}) = \varphi_0(T)^{(i)}\) ; lorsque \(\varphi_0(T) = T\), on retrouve \(A_1 = X_0 + f\) avec \(f = \sum_{i,j \geq 1} f_{ij}X_0^{(i)}X_1^{(j)}\)⁴⁵ . Le calcul de la page 201, qui développe \(A_0\) en puissances de \(X_0\), appartient à ce même fil.

214–216

L'algèbre alternée libre à puissances divisées (pages 214 à 216)

Sur une feuille marquée « Feuille à part ! » :

Théorème. Soient \((S, I)\) un anneau à idéal à puissances divisées, \(M^* = M^0 \oplus M^1\) un \(S\)-module gradué modulo \(2\), \(A(M^*) = \Gamma^*_S(M^0) \otimes_S \Lambda^* M^1\), augmentée vers \(S\), et \(J = \varepsilon^{-1}(I)\). a) Il existe une unique structure à puissances divisées, au sens gradué, sur \(J\) — c'est-à-dire sur ses éléments de degré pair, les puissances divisées d'ordre \(\geq 2\) d'un élément impair étant nulles —, compatible à celle de \(I\) et fonctorielle en \((S, M^*)\). b) Pour toute \(S\)-algèbre alternée graduée modulo \(2\), \(B^*\), munie d'un idéal gradué à puissances divisées \(K^*\) compatible à \(I\), la restriction \[ \operatorname{Hom}_{S\text{-alg.\ à p.d.}}\bigl((A(M^*), J), (B^*, K^*)\bigr) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{S\text{-mod.\ gr.}}(M^*, K^*) \] est bijective : \(A(M^*)\) est l'algèbre alternée à puissances divisées libre engendrée par \(M^*\).⁴⁶

218–222

Les quatre complexes (pages 218 à 222)

Soient \(A\) un anneau commutatif et \(M\) un \(A\)-module ; on gradue par le degré de \(\Lambda^*M\).

(1) De Rham. Sur \(\operatorname{Sym}^*M \otimes \Lambda^*M\), l'unique antidérivation \(d\) nulle sur \(\Lambda^1M\) et égale à l'isomorphisme canonique sur \(\operatorname{Sym}^1M\) ; \(d^2 = 0\), \(d : \operatorname{Sym}^p \otimes \Lambda^q \to \operatorname{Sym}^{p-1} \otimes \Lambda^{q+1}\). C'est le complexe de De Rham du fibré vectoriel \(V(M)\). Si \(M\) est plat et \(A\) une \(\mathbb{Q}\)-algèbre, sa cohomologie est \(A\) en degré \(0\) (lemme de Poincaré) ; en caractéristique \(p\), il y a « les opérations de Cartier »⁴⁷ .

(2) Koszul. L'unique antidérivation \(\delta\) nulle sur \(\operatorname{Sym}^1M\), égale à l'isomorphisme \(\Lambda^1M \to \operatorname{Sym}^1M\) sur \(\Lambda^1\) ; \(\delta : \operatorname{Sym}^p \otimes \Lambda^q \to \operatorname{Sym}^{p+1} \otimes \Lambda^{q-1}\). Si \(M\) est plat, sans condition de caractéristique, l'homologie est \(A\) en degré \(0\).

(3) De Rham à puissances divisées. Sur \(\Gamma^*M \otimes \Lambda^*M\), l'unique antidérivation compatible aux puissances divisées, \(d(x^{(i)}) = x^{(i-1)}dx\), nulle sur \(\Lambda^1M\) et égale à l'isomorphisme sur \(\Gamma^1M\) : c'est le complexe de De Rham à puissances divisées de \(\Gamma^*M\). Si \(M\) est plat, sa cohomologie est \(A\) en degré \(0\), sans condition de caractéristique.

(4) Koszul à puissances divisées. L'unique dérivation compatible aux puissances divisées, nulle sur \(\Gamma^1M\), induisant \(\Lambda^1M \to \Gamma^1M\) ; si \(M\) est plat et \(A\) de caractéristique \(0\), l'homologie est \(A\) en degré \(0\) ; en caractéristique \(p\) « on doit avoir une histoire d'opérations de Cartier ».

Relations (page 220). Les quatre algèbres différentielles sont fonctorielles en \((A, M)\), transforment sommes en produits tensoriels et commutent aux limites inductives filtrantes. Le morphisme canonique \(\operatorname{Sym}^*M \otimes \Lambda^*M \to \Gamma^*M \otimes \Lambda^*M\) est compatible à \(d\) et à \(\delta\), et c'est un isomorphisme en caractéristique \(0\). Le calcul de (3) se fait en se ramenant à \(M\) libre de type fini (Lazard), puis par Künneth à \(M\) libre de rang \(1\) ; celui de (4) se ramène à (2), qui se traite comme (1). L'opérateur \(\delta\) est un cas particulier du complexe de Koszul d'une forme linéaire \(\varphi : \mathcal{M} \to S\) : \(H_0 = S/\varphi(\mathcal{M})\), et pour \(\mathcal{M}\) libre de type fini l'acyclicité en degrés \(> 0\) a lieu si une base donne une suite \(S\)-régulière, condition nécessaire si \(S\) est noethérien et \(\varphi(\mathcal{M}) \subset \operatorname{rad}S\).

L'opérateur d'Euler (page 221). \(\theta = d\delta + \delta d\), anticommutateur de deux antidérivations, est une dérivation (compatible aux puissances divisées dans le cas de \(\Gamma\)), égale à l'identité sur \(\operatorname{Sym}^1\) (ou \(\Gamma^1\)) et sur \(\Lambda^1\) ; c'est donc la multiplication par le degré total \(n = p + q\) sur \(\operatorname{Sym}^p \otimes \Lambda^q\) (ou \(\Gamma^p \otimes \Lambda^q\)). Comme \(d\) et \(\delta\) conservent le degré total, chaque complexe se scinde selon ce degré, et la composante de degré total \(n\) est acyclique, pour \(d\) comme pour \(\delta\), dès que \(n \cdot 1_A\) est inversible — sans hypothèse de platitude⁴⁸ . En particulier \(\operatorname{Sym}^kM \xrightarrow{d} \operatorname{Sym}^{k-1}M \otimes M\) est injectif si \(k\) est inversible, car \(\delta d = k\) sur \(\operatorname{Sym}^kM\).

Dualité. Un accouplement \(M \otimes M' \to A\) induit \(\operatorname{Sym}^*M \times \Gamma^*M' \to A\) et \(\Lambda^*M \times \Lambda^*M' \to A\), parfaits si \(M\) est projectif de type fini et \(M'\) son dual ; par ces accouplements \(d_M\) et \(\delta_{M'}\), \(\delta_M\) et \(d_{M'}\), multiplication et comultiplication sont transposés les uns des autres.

224–225

Deux feuilles volantes sur Dold–Puppe (pages 224 et 225)

Deux feuillets d'une encre plus pâle, « paumés » dit la marge, appartiennent à une rédaction numérotée qui n'est pas dans le dossier (ils renvoient à des propositions 3, 4 et 5 absentes). La « Proposition 6 » exprime le foncteur \(\mathrm{ND}_\bullet\) des chaînes normalisées : \(\mathrm{ND}_i(L_*) \simeq \operatorname{Hom}_{k,*}(\Lambda^i\Phi_*, L_*)\), la différentielle provenant de celle de \(\Lambda^\bullet\Phi_*\), par la symétrie de Dold–Puppe et \(\mathrm{ND}(\Lambda^i\Phi_*) \simeq C^{i-1}_\bullet\) ; le corollaire donne la version cosimpliciale \(\mathrm{ND}^\bullet(L^*) \simeq \Lambda\Phi_* \otimes_{k,*} L^*\). La page 225 en contient une première ébauche, biffée.

226–232

Calculs d'homotopie (pages 226 à 232)

Proposition 1. \(\Phi_*\) est homotope à \(0\). Par Dold–Puppe il suffit que le complexe normalisé le soit : il est réduit à \(k\) en degrés \(0\) et \(1\), l'opérateur de bord étant l'identité.

Corollaire 1.1. Pour tout foncteur \(F\), \(F(\Phi_*)\) est homotope à \(F(0)\) ; en particulier \(\Lambda^i\Phi_*\), \(\Gamma^i\Phi_*\), \(\operatorname{Sym}^i\Phi_*\) sont homotopes à \(0\) pour \(i \neq 0\).

Corollaire 1.2. \(\pi_i(\Psi_*) \simeq \pi_{i-1}(k_*)\) : \(\Psi_*\) est un \(K(k,1)\), de complexe normalisé \(k[1]\).

Corollaire 1.3. \(\Lambda^i\Psi_*\) est un \(K(k, i)\). Dans le langage des foncteurs dérivés de Dold–Puppe, c'est \(\mathrm{L}\Lambda^i(k[1]) \simeq k[i]\) ; on le voit aussi par la suite exacte \(0 \to \Lambda^{i-1}\Psi_* \to \Lambda^i\Phi_* \to \Lambda^i\Psi_* \to 0\), à terme médian contractile.

Les « mêmes arguments », ajoute la page, montreraient que \(\Gamma^i\Psi_*\) et \(\operatorname{Sym}^i\Psi_*\) sont des \(K(k,i)\), « nettement moins économiques »⁴⁹ .

Corollaire 1.4. Pour un \(k\)-module simplicial \(A_*\), \(\pi_\ell(A_* \otimes \Lambda^i\Psi_*) \simeq \pi_{\ell-i}(A_*)\) : par Eilenberg–Zilber, le complexe de \(A_* \otimes B_*\) est équivalent à \(A^!_* \otimes B^!_*\), et \((\Lambda^i\Psi_*)^!\), complexe de projectifs d'homologie \(k\) en degré \(i\), est homotopiquement équivalent à \(k[i]\) ; c'est une « suspension additive ».

Corollaire 1.5. Pour \(C^{p,q}_* = \Gamma^p\Phi_* \otimes \Lambda^q \Psi_*\), \(\pi_\ell(C^{p,q}_*)\) vaut \(k\) si \(p = 0\) et \(\ell = q\), et \(0\) sinon. En degré total \(n\), les composantes \(C^{n,0}_*, \ldots, C^{1,n-1}_*\) sont donc flasques, et seule \(C^{0,n}_*\) ne l'est pas : la ligne est le tronqué \(\tau^{\leq n}\) d'une résolution flasque de \(k_*\), et \[ C^{\bullet,\, \text{total } n}_{\mathrm{DRpd}}(X_*, k) \simeq \tau^{\leq n}\,\mathrm{R}\Gamma(X_*, k) , \qquad H^{p,q}_{\mathrm{DRpd}}(X_*, k) \simeq H^q(X_*, k) \quad (p \geq 0) , \] ce qui redémontre le calcul de la page 8⁵⁰ .

232–240

La version complétée et filtrée (pages 232 à 240)

Soient \(S\) un anneau à idéal à puissances divisées \(S^+\), \(t \in S^+\), et supposons \(S\) séparé et complet pour la filtration par les \(S^{[i]}\), adhérences des idéaux engendrés par les \(t^{[j]}\), \(j \geq i\). On considère l'anneau simplicial complété \[ \widehat{A}^*_n = S\{\{X_0,\ldots,X_n\}\}/(\textstyle\sum X_i - t)_{\mathrm{pd}} \otimes_S \Lambda[dX_0,\ldots,dX_n]/(\textstyle\sum dX_i) , \] de sorte que \(\widehat{A}^*_* \simeq \widehat{A}^0_* \otimes_S \Lambda\Psi^S_*\) et \(\pi_\ell(\widehat{A}^i_*) \simeq \pi_{\ell-i}(\widehat{A}^0_*)\). On filtre \(\widehat{A}^0_*\) par les idéaux fermés stables par puissances divisées engendrés par la condition que les \(X_i\) et \(t\) soient de filtration \(\geq 1\) : \(\mathrm{Fil}^p\) est formé des \(\sum a_{i}X^{[i]}\) avec \(a_i \in S^{[p - \sum i_\alpha]}\). Avec \(k = S/S^{[1]}\), et si \(k\{T\} \to \mathrm{Gr}^*(S)\) est un isomorphisme, \(\mathrm{Gr}^p(\widehat{A}^0_*) \simeq \Gamma^p_k(\Phi^k_*)\) est contractile pour \(p > 0\). Filtrant \(\widehat{A}^*_*\) par \(\mathrm{Fil}^p = \sum_{i \leq p} \mathrm{Fil}^{p-i}(\widehat{A}^0_*) \otimes \Lambda^i\Psi_*\), stable par la différentielle, on voit \(\mathrm{Fil}^p(\widehat{A}^*_*)\) comme une résolution de \(\mathrm{Fil}^pS\) dont les termes de degré \(< p\) sont flasques et dont le terme de degré \(p\) a pour seul groupe d'homotopie \(\pi_p = k\). D'où, pour \(q \leq p\), un carré commutatif \[ \begin{array}{ccc} H^i\bigl(\mathrm{Fil}^p C^*_{\mathrm{DR}}(\mathcal{X}; S, t, \gamma)\bigr) & \xrightarrow{\ \sim\ } & H^i(\mathcal{X}, \mathrm{Fil}^pS) \\ \downarrow & & \downarrow \\ H^i\bigl(\mathrm{Fil}^q C^*_{\mathrm{DR}}(\mathcal{X}; S, t, \gamma)\bigr) & \longrightarrow & H^i(\mathcal{X}, \mathrm{Fil}^qS) \end{array} \] dont la flèche du haut est un isomorphisme pour \(i \leq p\), celle du bas pour \(i \leq q\).

Sans l'hypothèse sur \(\mathrm{Gr}^*(S)\), « on ne peut rien dire ». Pour \(t = 0\), \(S \simeq k\) et \(\mathrm{Gr}^p \simeq \Gamma^p_k(\Psi_*)\), qui n'est flasque pour aucun \(p\) si \(k \neq 0\). Pour \((\mathbb{Z}_p, p)\), la filtration à puissances divisées définie par \(p\) est cofinale à la filtration \(p\)-adique si \(p \neq 2\) ; pour \(p = 2\) elle est constante, \(\mathrm{Fil}^i\mathbb{Z}_2 = 2\mathbb{Z}_2\) pour \(i \geq 1\), et \(\mathrm{Gr}^*(S) \simeq \mathbb{F}_2\) : cas dégénéré. Le calcul de la page 240 le justifie : avec la formule de Legendre, \(v_p(p^n/n!) = \frac{(p-2)n + s_p(n)}{p-1}\), et \(\gamma_{p,i} = \inf_{n \geq i} v_p(p^n/n!)\) vaut \(1\) si \(p = 2\) (les puissances de \(2\) ont un seul chiffre) et est \(> \frac{p-2}{p-1}\,i \to +\infty\) si \(p \neq 2\). Si \(i\) se termine par \(s\) chiffres \(p - 1\), on a \(v_p(p^{(i+1)}) - v_p(p^{(i)}) = 1 - s\), donc \[ v_p\bigl(p^{(i)}\bigr) \leq v_p\bigl(p^{(i+1)}\bigr) \iff s \leq 1 \iff p^2 \nmid i+1 , \] et \(\gamma_{p,i} = \gamma_{p,i+1}\) dès que \(p \mid i+1\)⁵¹ .

243–260

Les catégories \(\mathcal{M}_N\) et les modules négligeables (pages 243 à 260)

Adjoints de l'inclusion

Soit \(S\) un anneau commutatif \(\mathbb{Z}\)-gradué à degrés \(\geq 0\), \(S^0 = k\), \(\mathcal{M}\) la catégorie des \(S\)-modules gradués, \(\mathcal{M}_N\) celle des modules nuls en degrés \(< N\) (\(\mathcal{M}_N = \mathcal{M}_0[-N]\)), \(\mathcal{N}\) celle des \(k\)-modules, et \(i : \mathcal{N} \to \mathcal{M}_0\), \(M \mapsto M \otimes_k S\). L'inclusion \(i_{N,N'} : \mathcal{M}_{N'} \hookrightarrow \mathcal{M}_N\) (\(N' \geq N\)) commute aux limites ; elle a un adjoint à droite, la troncature \(\tau_{N'}\) (sous-module \(\bigoplus_{i \geq N'} M_i\)), et un adjoint à gauche \(q_{N'}(M) = M/\langle M_i,\ i < N'\rangle\). Ce sont des « foncteurs de localisation » ; \(q\) est exact à droite, \(\tau\) exact et commute à toutes les limites, donc est le quotient par la sous-catégorie épaisse des modules nuls en degrés \(\geq N'\), et a encore un adjoint à droite : \[ \rho_{N'}(P)_i = \operatorname{Hom}^i_{\mathcal{M}}\bigl(\tau_{N'-i}S, P\bigr) , \qquad \rho_{N,N'} = \tau_N\,\rho_{N'} . \] On a donc la chaîne d'adjoints \(q_{N'} \dashv i_{N'} \dashv \tau_{N'} \dashv \rho_{N'}\), \(i\) et \(\rho\) pleinement fidèles⁵² .

Le foncteur \(\tau_N \circ i : \mathcal{N} \to \mathcal{M}_N\) a pour adjoint à droite \(k \circ \rho_N\) (\(k\) = composante de degré \(0\)), et sont équivalents (page 251) : a) \(\tau_N \circ i\) est pleinement fidèle ; b) \(P \xrightarrow{\sim} (\rho_N\tau_N(P \otimes_k S))_0\) ; c) \(k \circ \rho_N\) est une localisation ; et aussi c') pour \(0 \leq \alpha \leq N-1\), \(P \otimes S_\alpha \xrightarrow{\sim} \operatorname{Hom}^\alpha(\tau_{N-\alpha}S, P \otimes_k S)\), soit \(\operatorname{Hom}^\alpha(S/\tau_{N-\alpha}S, P \otimes_k S) = 0\) — c'est le théorème des pages 26 à 31.

Algèbres différentielles graduées à puissances divisées

Les feuilles 246 et 248, écrites tête-bêche, fixent les axiomes d'une algèbre \((A^*, \cdot, d, J, \gamma)\) : groupe gradué à degrés \(\geq 0\), algèbre associative unitaire alternée (\(xy = (-1)^{ij}yx\), \(x^2 = 0\) en degré impair), différentielle de degré \(+1\) dérivation graduée, idéal \(J = J^0 + A^+\), puissances divisées sur \(J\) avec \(x^{(\alpha)} \in A^{\alpha i}\), \(x^{(\alpha)} = 0\) pour \(x\) impair et \(\alpha \geq 2\), et \(d\,x^{(\alpha)} = x^{(\alpha-1)}dx\). Elles vérifient, pour \(z = x + y\) (\(x \in J^0\), \(y\) impair), \(z^{(\alpha)} = x^{(\alpha)} + x^{(\alpha-1)}y\) : l'additivité « OK si \(yy' = 0\) », la règle \((\lambda z)^{(\alpha)} = \lambda^\alpha z^{(\alpha)}\) « OK si \(\eta y = 0\) », et, sans condition, \(z^{(p)}z^{(q)} = c_{p,q}z^{(p+q)}\) et \((z^{(\alpha)})^{(\beta)} = \frac{(\alpha\beta)!}{\beta!(\alpha!)^\beta}z^{(\alpha\beta)}\). C'est l'achèvement de la vérification laissée en suspens page 216.

La page 250 écrit le complexe \(C^*(X, (A, \pi, \gamma))\) : pour un anneau \(A\) à puissances divisées et \(\pi\) dans l'idéal, \(A\{(X_i, dX_i)\}/(\sum X_i - \pi, \sum dX_i)\), contravariant en \(X\) et covariant en \((A,\pi,\gamma)\) pour les couples \((\varphi, \lambda)\) avec \(\varphi(\pi) = \lambda\pi'\), \(X_i \mapsto \lambda X_i\). La page 252, tête-bêche elle aussi, est une suite de formules sans texte autour des \(\Gamma^*_{(A,\pi)}(J^I)\), de la flèche \(H^{2i}(X, J) \to H^{2i\alpha}(X, \Gamma^\alpha J)\) et de \(i!\,x^{(i)} = x^i\) ; elle ne se lit pas comme un argument.

Modules négligeables

Un module est \(N\)-négligeable si \(M_i = 0\) pour \(i \geq N\), \(\infty\)-négligeable s'il l'est pour un \(N\), négligeable si chacun de ses éléments est annulé par un \(\tau_NS\), c'est-à-dire s'il est limite inductive de modules \(\infty\)-négligeables ; pour un module de type fini, négligeable équivaut à \(\infty\)-négligeable. Ces classes forment des sous-catégories épaisses, avec \(\mathcal{M}/\mathrm{Nég}_N \simeq \mathcal{M}_N\). Notons \(\mathcal{M}_\omega = \mathcal{M}/\mathrm{Nég}\) et \(\tau_\omega\), \(\varphi_\omega\) le foncteur quotient et son adjoint ; la page 253 note que \(\varinjlim \mathcal{M}_N \simeq \mathcal{M}/\mathrm{Nég}_\infty\) n'est pas une catégorie à limites inductives filtrantes exactes⁵³ .

Proposition (page 256) : \(\varinjlim_N \varphi_N\tau_N P \xrightarrow{\sim} \varphi_\omega\tau_\omega P\). On teste sur les modules de présentation finie \(M\) : les deux membres sont \(\varinjlim \operatorname{Hom}(\tau_NM, P)\) et \(\varinjlim_{M' \subset M,\ M/M' \text{ négl.}} \operatorname{Hom}(M', P)\), et pour \(M\) de type fini les deux systèmes de sous-objets sont cofinaux. En particulier \((\varphi_\omega\tau_\omega P)_i \simeq \varinjlim_N \operatorname{Hom}^i(\tau_NS, P)\), et \(P\) est dans l'image essentielle de \(\varphi_\omega\) si et seulement si a) \(P\) n'a pas d'élément négligeable non nul, et b) tout homomorphisme de degré \(i\) d'un \(\tau_NS\) dans \(P\) se prolonge à \(S\) — toute extension de \((S/\tau_NS)[-i]\) par \(P\) est triviale.

Foncteurs dérivés (page 260). De \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{M}}(M, \varphi_N\tau_NP) = \operatorname{Hom}(i_N\tau_NM, P)\) et de l'exactitude de \(\tau_N\) vient, pour \(M\) projectif, \[ \operatorname{Hom}\bigl(M, \mathrm{R}\varphi_N(\tau_NP)\bigr) \simeq \mathrm{R}\operatorname{Hom}(\tau_NM, P) , \qquad \operatorname{Hom}\bigl(M, \mathrm{R}^n\varphi_N(\tau_NP)\bigr) \simeq \operatorname{Ext}^n(\tau_NM, P) . \]

262–276

Reconstruire un complexe à partir de son ombre (pages 262 à 276)

Avec \(M = S[-i]\) : \(\bigl(\mathrm{R}^n\varphi_N(\tau_NP)\bigr)_i \simeq \operatorname{Ext}^n\bigl((\tau_{N-i}S)[-i], P\bigr)\), et de même pour \(\varphi_\omega\) en passant à la limite sur \(N\).

Soient \(C\) une catégorie abélienne et \(i : C \to \mathcal{M}_{N_0}\) un foncteur exact tel que \(i \simeq \varphi\tau\, i\). La page en conclut \((\mathrm{R}^n\varphi)(\tau\, i(M)) = 0\) pour \(n > 0\), en écrivant \(\mathrm{R}^*i \simeq \mathrm{R}^*(\varphi\tau i) \simeq (\mathrm{R}^*\varphi)(\tau i)\) « car \(\tau i\) est exact ». Appliqué à \(C = \mathrm{Mod}(k)\), \(i(M) = M \otimes_k S\) — qui est bien dans l'image essentielle, par le théorème de la page 26 —, cela donnerait l'énoncé encadré \[ \operatorname{Ext}^n_{\mathcal{M}}\bigl((\tau_{N-i}S)[-i], M \otimes_k S\bigr) = 0 \qquad (n > 0,\ i \geq 0) , \] le corollaire annoncé page 26. La justification ne suffit pas telle quelle⁵⁴ .

Sous cette annulation, la reconstruction suit (pages 266 à 272). Soient \(K^\bullet\) un complexe de \(C\), \(L^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{M}\) et \(\alpha : i(K^\bullet) \to L^\bullet\) dans \(D(\mathcal{M}_{N_0})\) tel que \(\tau_\omega\alpha\) soit un isomorphisme dans \(D(\mathcal{M}_\omega)\) — noyau et conoyau des \(H^n(\alpha)\) négligeables. Alors \(i(K) \simeq \mathrm{R}\varphi_\omega(\tau_\omega L^\bullet)\), et si \(i\) est pleinement fidèle avec un adjoint à droite \(k\) exact, \(k \circ i \simeq \mathrm{id}\), on obtient dans \(D(C)\) \[ K^\bullet \simeq \mathrm{R}(k \circ \varphi_\omega)\bigl(\tau_\omega L^\bullet\bigr) : \] \(K^\bullet\) se reconstitue à partir de son ombre \(\tau_\omega(i(K^\bullet)) \simeq \tau_\omega(L^\bullet)\). En termes de \(\sigma = \tau_\omega \circ i : C \to \mathcal{M}_\omega\), pleinement fidèle et exact, d'adjoint à droite \(\psi = k\varphi_\omega\) (« peut-être pas exact »), avec \(\psi\sigma \simeq \mathrm{id}\), la page 272 énonce : \(D^+(C) \to D^+(\mathcal{M}_\omega)\) est pleinement fidèle, compatible à la multiplication⁵⁵ . C'est le « en raffinant un peu » de la page 10 : la catégorie dérivée des \(k\)-modules se plonge dans celle des ombres.

Les pages 274 et 276 cherchent à écrire explicitement \(i \to \varphi_{0,N}\tau_{N,0}\,i\) comme un noyau, \(M \hookrightarrow M^{[N,+\infty[} \rightrightarrows M^{[N,+\infty[ \times \mathbb{N}}\), avec les relations \(c_{\ell,k}x_k - c_{\ell,k-i}x_{k+\ell}\), et définissent, dans une catégorie abélienne \(k\)-linéaire, les objets \(\underline{\operatorname{Hom}}(M, X)\) et \(M \otimes_k X\) par leurs propriétés universelles ; la page 276 est un brouillon sur l'exactitude d'un foncteur, sans conclusion.

278–284

Le produit cotensoriel (pages 278 à 284)

La page 278 reprend le point de vue des coalgèbres : \(S = k[U]\) (\(U^n\) de degré \(-n\)), d'algèbre duale \(k\{\{T\}\}\), le foncteur \(i_* : M \mapsto M \otimes_k S\), et la cotroncature \(\sigma_N(P) = P/\tau_{N+1}(P)\) ; un théorème de pleine fidélité est énoncé et le calcul s'arrête sur « \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{M}}(S, \tau^NN \otimes_kS) \simeq N\) ?? ». Les pages 280 à 284 posent, pour deux comodules \(C\), \(C'\) sur la coalgèbre \(S\), \[ P = C \,\square_S\, C' = \operatorname{Ker}\bigl(C \otimes C' \rightrightarrows C \otimes S \otimes C'\bigr) , \] le produit tensoriel « au-dessus de \(S\) » des comodules, dual de \(V(C) \boxtimes_{V(S)} V(C')\)⁵⁶ ; la question encadrée est \((M \otimes_k S) \boxtimes_S C \simeq M \otimes_k C\) ?, et la page 284 écrit qu'un accouplement \(V(C) \times V(C') \to V(C'')\) bilinéaire par rapport à \(V(S)\) revient à un morphisme de coalgèbres \(C'' \to C \,\square_S\, C'\).

286–298

Modules gradués : la mise au propre (pages 286 à 298)

\(S\) commutatif \(\mathbb{Z}\)-gradué à degrés \(\geq 0\), \(k = S_0\), \(\mathcal{M}\) les \(S\)-modules gradués, \(M[i]\) la translation. Pour tout \(N\), on pose \(\mathcal{M}_N\) (modules nuls en degrés \(< N\)) et \(\mathcal{M}^N\) (nuls en degrés \(> N\)) ; \(\mathcal{M}_N = \mathcal{M}_0[-N]\), \(\mathcal{M}^N = \mathcal{M}^0[-N]\), et toute la donnée équivaut au couple \((\mathcal{M}_0, \mathcal{M}^0)\).

Proposition 1. L'inclusion \(i_N : \mathcal{M}_N \hookrightarrow \mathcal{M}\) s'insère dans une suite de quatre foncteurs adjoints \(q_N \dashv i_N \dashv \tau_N \dashv \varphi_N\), avec \(\tau_N(P) = \bigoplus_{i \geq N}P_i \subset P\) et \[ (\varphi_N Q)_i = \operatorname{Hom}^i_{\mathcal{M}}\bigl(\tau_{N-i}(S), Q\bigr) = \operatorname{Hom}^*_{\mathcal{M}}\bigl(\tau_{N-i}(S)[-i], Q\bigr)_0 , \] la structure de module venant de la multiplication \(\tau_{N-i-k}S \to \tau_{N-i}S\) par \(u \in S_k\), transposée. La coünité \(\tau_N\varphi_N Q \xrightarrow{\sim} Q\) est un isomorphisme ; l'unité \(P \to \varphi_N\tau_NP\) vient de \(P_i \simeq \operatorname{Hom}^i(S, P) \to \operatorname{Hom}^i(\tau_{N-i}S, \tau_NP)\), tout homomorphisme de degré \(i\) de \(\tau_{N-i}S\) dans \(P\) tombant dans \(\tau_NP\). Enfin \(q_N(P) = P/\langle P_i,\ i < N\rangle\), « qu'on n'utilisera pas ».

Corollaire. \(i_N\) et \(\tau_N\) commutent à toutes les limites, \(q_N\) aux limites inductives, \(\varphi_N\) aux limites projectives ; \(i_N\) et \(\varphi_N\) sont pleinement fidèles, \(q_N\) et \(\tau_N\) des localisations ; \(\tau_N\) est la localisation par la sous-catégorie épaisse \(\mathcal{M}^{N-1}\).

La page 294 généralise à \(\mathcal{M}(C,S)\), les \(S\)-modules gradués dans une catégorie abélienne \(C\) : l'adjoint \(\varphi_N\) existe si \(C\) ou \(C^\circ\) est une catégorie de Grothendieck, le foncteur \(P \mapsto \operatorname{Hom}(\tau_NP, Q)\) transformant limites inductives en limites projectives, et la même formule le décrit⁵⁷ ; par dualité, \(\mathcal{M}^N(C,S)^\circ \simeq \mathcal{M}_{-N}(C^\circ, S)\), et \(i^N\) s'insère dans la suite \(\varphi^N \dashv \tau^N \dashv i^N \dashv q^N\). Le feuillet 298, sans prose, reprend les homomorphismes homogènes entre tronqués des pages 36 à 40 et la relation \(c_{i,\ell}\,\xi_{i+\ell} = c_{i-d,\ell}\,\xi_i\) pour les homomorphismes de degré négatif.

300–309

Notations simpliciales. Constructions universelles (pages 300 à 309)

Une chemise de sa main (page 300) ouvre une série paginée de 1 à 17. \(\Delta\) est la catégorie des ordinaux \(\Delta^n = [0,n]\), \(\widehat{\Delta} = \mathcal{S}s = \mathrm{Ens}_*\) ; pour une catégorie \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{A}_* = \underline{\operatorname{Hom}}(\Delta^\circ, \mathcal{A})\) (objets simpliciaux), \(\mathcal{A}^* = \underline{\operatorname{Hom}}(\Delta, \mathcal{A})\) (objets cosimpliciaux), et \((\mathcal{A}^\circ)^* = (\mathcal{A}_*)^\circ\)⁵⁸ . Le programme est énoncé d'emblée : étudier les objets simpliciaux — « l'équivalent combinatoire des espaces topologiques » — et leurs types d'homotopie via des invariants covariants ou contravariants, « dans l'esprit de l'algèbre universelle », avec leurs structures et les opérations qu'on peut définir sur eux.

Les composantes s'écrivent \(K_{[n]}\) et non \(K_n\), réservé aux complexes de chaînes ; une dualité \(v : \mathcal{A}^\circ \simeq \mathcal{B}\) (typiquement les modules projectifs de type fini sur \(k\) commutatif) fait « monter et descendre les indices », \(K^{[n]} = K_{[n]}^\vee\). Le foncteur pleinement fidèle \(\Delta \hookrightarrow \widehat{\Delta}\), \(n \mapsto \Delta^n_*\), est l'objet cosimplicial universel \(\Delta^*_*\), avec \(\operatorname{Hom}(\Delta^n_*, X_*) \simeq X_{[n]}\). Les objets à plusieurs indices s'écrivent \(K^*{}_*\), \(K^{**}\), \(K_{**}\), avec un symbole \({}^\sigma K\) pour le symétrisé, afin de ne pas brouiller la convention de montée des indices.

Proposition 1. Si \(\mathcal{A}\) a des limites inductives, \(F \mapsto F(\Delta^*)\) est une équivalence de la catégorie des foncteurs \(\mathcal{S}s \to \mathcal{A}\) commutant aux limites inductives sur \(\mathcal{A}^*\) ; dualement pour \(\mathcal{B}\) à limites projectives et les foncteurs \(\mathcal{S}s^\circ \to \mathcal{B}\) transformant limites inductives en limites projectives, avec \(\mathcal{B}_*\). L'inverse est \(X_* \mapsto \varinjlim_{\Delta^n \in \Delta/X_*} K^{[n]}\) ; c'est vrai pour toute petite catégorie, et « bien connu »⁵⁹ . Le yoga : les invariants covariants commutant aux limites inductives sont des objets cosimpliciaux de \(\mathcal{A}\) ; les invariants contravariants correspondants sont des objets simpliciaux de \(\mathcal{B}\), et pour \(\mathcal{B} = \mathrm{Ens}\) des ensembles simpliciaux \(K_*\), représentant \(X_* \mapsto \operatorname{Hom}(X_*, K_*)\).

Puis la réflexion de méthode qui oriente tout le dossier. Ces invariants obtenus « à coups de foncteurs représentables » sont de nature trop « grosse » et « fruste » pour être intéressants directement — ce ne sont pas des invariants du type d'homotopie. On devra en extraire d'autres, plus subtils, « qui ne seront pas de nature si simple ». « Notre propos sera de mettre sur les invariants gros […] une machinerie de structures supplémentaires raisonnables, et dans les catégories de structures de ce type (complexes de chaînes ou de cochaînes, algèbres cosimpliciales etc.) d'inverser les flèches qui sont obtenues à partir d'équivalences d'homotopie […] L'invariant ainsi obtenu, plus grossier bien sûr, mais plus subtil dans sa définition, et moins redondant, exprime donc de façon plus ou moins complète le type d'homotopie, ou en saisit de façon adéquate tel ou tel aspect. »

Pour \(\mathcal{A}\) additive karoubienne, la théorie de Dold–Puppe donne des équivalences \(\mathrm{ND} : \mathcal{A}_* \rightleftarrows \mathcal{A}_\bullet : \mathrm{DP}\) avec les complexes de chaînes, et dualement avec les complexes de cochaînes ; la même lettre désigne alors quatre avatars \(K^*\), \(K_*\), \(K^\bullet\), \(K_\bullet\)⁶⁰ , et les objets mixtes sont des bicomplexes. Remarque essentielle : les bicomplexes sont à différentielles qui commutent, contrairement aux conventions de Cartan–Eilenberg, avec un signe dans la différentielle totale ; il « n'a pas eu encore besoin vraiment » d'une convention de degré pour les bicomplexes mixtes.

310–317

L'invariant additif universel (pages 310 à 317)

Proposition 2. Si \(\mathcal{A}\) est additive à limites inductives, les foncteurs \(\mathcal{S}s \to \mathcal{A}\) commutant aux limites inductives équivalent aux complexes de cochaînes \(\mathcal{A}^\bullet\) ; si \(\mathcal{B}\) est additive à limites projectives, les foncteurs \(\mathcal{S}s^\circ \to \mathcal{B}\) qui transforment limites inductives en limites projectives équivalent aux complexes de chaînes \(\mathcal{B}_\bullet\).⁶¹

Pour \(\mathcal{B} = \mathrm{Ab}\) : si \(K_\bullet\) correspond à \(F\), et \(\mathbb{C}_*(X_*) = \mathbb{Z}(X_*) = (n \mapsto \mathbb{Z}^{(X_{[n]})})\) est l'abélianisé de \(X_*\), \(\mathbb{C}_\bullet(X_*)\) son complexe normalisé, \[ F(X_*) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathrm{Ab}_*}\bigl(\mathbb{C}_*(X_*), K_*\bigr) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathrm{Ab}_\bullet}\bigl(\mathbb{C}_\bullet(X_*), K_\bullet\bigr) . \] Deux conclusions. 1° Ces invariants ne dépendent que de \(\mathbb{C}_\bullet(X_*)\), « l'invariant additif universel » ; vus comme foncteurs de \(C_\bullet\), ce sont exactement les représentables. Une structure plus riche sur \(F\) — une multiplication — n'est pas reconstruite par \(C_\bullet\) seul : il faut tenir compte de structures supplémentaires de \(C_\bullet\) « qui peuvent s'expliciter en se rappelant que \(C_\bullet\) provient d'un \(X_*\) », et « l'étude systématique de ces structures » est, dit-il, « le contenu essentiel de nos réflexions ». Une structure de \(k\)-module, en revanche, se lit sur \(C_\bullet \otimes k\). 2° Il y a une solution universelle, \(F_0(X_*) = \mathbb{C}_\bullet(X_*)\) à valeurs dans \(\mathcal{B}_0 = (\mathrm{Ab}_\bullet)^\circ\).

Proposition 3 (« nouvelle forme de l'énoncé du théorème de Dold–Puppe »). Pour toute catégorie additive \(\mathcal{B}\) à limites projectives, \(\varphi \mapsto \varphi \circ F_0\) est une équivalence entre les foncteurs \(\mathcal{B}_0 \to \mathcal{B}\) et les foncteurs \(\mathcal{S}s^\circ \to \mathcal{B}\) qui commutent aux limites au sens ci-dessus. Sous la forme équivalente avec \(\widehat{\Delta}_{\mathrm{ab}}\) et l'abélianisation \(G_0 : X \mapsto \mathbb{Z}(X)\), l'énoncé vaut pour toute petite catégorie à la place de \(\Delta\) : un foncteur \(\widehat{\Delta}_{\mathrm{ab}} \to \mathcal{A}\) commutant aux limites inductives a un adjoint à droite, et se lit sur \(\underline{\operatorname{Hom}}(\Delta, \mathcal{A})\)⁶² . En variante : l'objet cosimplicial \(n \mapsto \mathbb{Z}(\Delta^n_*)\) de \(\mathrm{Ab}_*\) est universel pour les objets cosimpliciaux des catégories additives à limites inductives.

Du point de vue de l'algèbre universelle : les invariants additifs s'expriment par des objets simpliciaux ou des complexes, et les « opérations sur les invariants » \(\Omega\) par des objets \(L_*\) ou \(L_\bullet\) de \(\mathrm{Ab}_*\) ou \(\mathrm{Ab}_\bullet\), avec \(\Omega(F) \simeq \operatorname{Hom}(L_*, K_*)\), et dualement \(G(X_*) \simeq \mathbb{C}_*(X_*) \otimes K^*\) pour les covariants. Remarques. a) Les mêmes \(L\) servent, contravariants dans un cas, covariants dans l'autre. b) La question des constructions possibles est ainsi résolue « de façon quasi-tautologique », parce qu'on a admis des catégories de valeurs très générales ; si l'on se restreint à un type \(L\) de limites, on doit trouver la sous-catégorie pleine \(U_L\) engendrée par les \(\mathbb{C}_*(\Delta^n)\) par ces limites — « il doit résulter des principes généraux (que je n'ai pas détaillés) » ; on le vérifie pour \(L = \varnothing\), sommes finies. c) Pour \(\mathcal{B} = \mathrm{Ab}\), \(F(X_*) \simeq \Omega_*(\mathbb{C}_*(X_*)^\circ)\). Tout cela vaut pour une petite catégorie quelconque, et dans le contexte non additif⁶³ .

e) Le rôle de Dold–Puppe. L'avantage des complexes sur les objets simpliciaux est que la description d'un objet y est « nettement plus simple — on se perd facilement dans la description des opérations simpliciales ! » ; \(L_*\) apparaît comme « une sorte de version pléthorique de \(L_\bullet\) ». « Néanmoins, dès que \(\mathrm{Ab}_{k*}\) et \(\mathrm{Ab}_{k\bullet}\) ont chacun leur structure multiplicative — qui ne se correspondent pas par DP et ND —, celle de \(\mathrm{Ab}_{k*}\) est plus simple à beaucoup d'égards, et s'introduit d'ailleurs de bien des façons par la suite de façon absolument impérieuse », et les opérations \(\Lambda^i\), \(\otimes^i\), \(\operatorname{Sym}^i\) « manquent purement et simplement » sur les complexes, sauf à les y transporter par DP⁶⁴ .

319–324

Gribouillis : coalgèbres et puissances divisées (pages 319 à 324)

Une chemise bleue (page 318) porte « Gribouillis vrac » et « Au fil des jours… ». Pour une coalgèbre \(A\) et \(F_A(X) = \operatorname{Hom}(A, X)\), il cherche une transformation naturelle \(\Gamma^*F_A(X) \to F_A(\Gamma^*X)\) et montre que les données suivantes se déterminent (pages 319 à 322, puis 328) : (1) une quasi-commutation de \(F_A\) aux \(\Gamma^p\), compatible à la structure multiplicative \(\beta_{pq}\) de \(\Gamma\) et à la composition \(\gamma_{pq} : \Gamma^{pq} \to \Gamma^p\Gamma^q\) ; (2) des \(u_p \in \operatorname{Hom}(A, \Gamma^pA)\) tels que \[ u_0 = 1,\quad u_1 = \mathrm{id}, \qquad u_p\,u_q = c_{p,q}\,u_{p+q} , \qquad \Gamma^p(u_q) \circ u_p = \gamma^A_{pq} \circ u_{pq} , \] c'est-à-dire un homomorphisme d'algèbres à puissances divisées \(k\{T\} \to \operatorname{Hom}(A, \Gamma^*A)\) avec \(\Gamma^p(u(T^{(q)}))\,u(T^{(p)}) = \gamma^A_{pq}\,u(T^{(pq)})\) ; (3) des applications non linéaires \(f \mapsto f^{(p)}\) de \(\operatorname{Hom}_k(A, M)\) dans \(\operatorname{Hom}_k(A, \Gamma^pM)\), fonctorielles en \(M\), avec \((f+g)^{(p)} = \sum f^{(i)}g^{(j)}\) ; (4)–(6) des puissances divisées fonctorielles sur \(\operatorname{Hom}_k(A, J)\) pour tout anneau à idéal à puissances divisées \((B, J)\). L'additivité se vérifie sur le cas universel \(f = \mathrm{pr}_1\), \(g = \mathrm{pr}_2\) : \(\Gamma^p(\Delta) (u_p) = \sum_{i+j=p} u_i \otimes u_j\).

Les « deux questions » de la page 323 : \(\operatorname{Hom}_k(A, J)\) est-il un idéal à puissances divisées de l'anneau \(\operatorname{Hom}_k(A, B)\) (c'est \(\check{A} \otimes J\) si \(A\) est libre de type fini) ? Les \(u_n = u_1^{(n)}\) pour \(B = \Gamma^*A\) satisfont-ils la relation, et sont-ils les seuls ? Et dualement pour une algèbre augmentée et une cogèbre à coproduits divisés. Ces pages, et les suivantes de même sujet, sont des calculs sans conclusion énoncée.

325–327

Un feuillet étranger : la structure projective d'une courbe (pages 325 à 327)

Trois feuillets à l'encre bleue, écrits en travers, changent de sujet. Pour une courbe \(X\) projective lisse connexe sur \(\mathbb{C}\) de genre \(g \geq 2\), l'uniformisation donne un torseur canonique sous \(GP(1)_{\mathbb{C}}\) muni d'une connexion intégrable : en chaque \(x\), les isomorphismes du revêtement universel pointé avec le demi-plan de Poincaré forment un torseur sous \(\operatorname{Aut} (D_0) \simeq GP(1, \mathbb{R})\), d'où par extension un torseur sous \(GP(1,\mathbb{C})\), plat, associé à \(\pi_1 \to GP(1, \mathbb{R}) \subset GP(1,\mathbb{C})\)⁶⁵ . La question encadrée : trouver une connexion intégrable algébrique canonique sur \(\mathbb{P}(\Omega^{-1} \oplus \Omega) = \overline{V(\Omega^2)}\). La page 327 calcule les classes d'Euler et l'obstruction à relever le torseur de \(GP(1,\mathbb{R})\) à \(SL(2,\mathbb{R})\) dans \(H^2(X, \mathbb{Z}/2)\), avec \(E' = \frac12 E\) et « \(2g - 2 \sim g - 1\) »⁶⁶ . Ces calculs sont épars et la lecture en est mince.

328–334

Gribouillis, suite : la structure à puissances divisées induite (pages 328 à 334)

Retour au sujet des pages 319 à 324. Le foncteur \(F_A\) commute au produit tensoriel ; on définit \(u^X_* : \Gamma^*F(X) \to F(\Gamma^*X)\) par \(x^{(p)} = u^X_p(\gamma^p(x))\), et l'on vérifie que c'est un homomorphisme d'algèbres et que \(x \mapsto x^{(p)}\) satisfait l'additivité, \((\lambda x)^{(p)} = \lambda^px^{(p)}\), \(x^{(p)}x^{(q)} = c_{p,q}x^{(p+q)}\), et — par le diagramme de la page 331 — \((x^{(p)})^{(q)} = \frac{(pq)!}{(p!)^q\,q!}\,x^{(pq)}\). La page 332 réduit la compatibilité d'un morphisme aux puissances divisées à la vérification sur des générateurs ; la page 333 écrit la liste des axiomes d'une algèbre \(A\) opérant sur un idéal \(J\) « sans \(1\) » muni de \(\gamma^p : J \to J\), et se demande si \(F(J) \subset F(A)\) hérite des puissances divisées. La moitié inférieure de la page 329, qui définit \(\operatorname{Sym}^*A \to A\) par \(x_1\cdots x_n \mapsto \frac{1}{n!}x_1\cdots x_n\), est barrée ; la page 330 ne porte qu'une ligne biffée.

336–340

Gribouillis : rangs et cochaînes normalisées (pages 336 à 340)

La page 336 compte les rangs, sur \(\Delta^N\) : \(\Phi_{(N)}\) est de rang \(N+1\), \(\Psi_{(N)}\) de rang \(N\), et \[ \operatorname{rg}\bigl(\Gamma^p\Phi_{(N)} \otimes \Lambda^q\Psi_{(N)}\bigr) = \binom{N+p}{p}\binom{N}{q} = c_{p,q}\binom{N+p}{p+q} , \] avec des relations de Pascal itérées \(\tau^p\varphi_r = \sum_j \binom{p}{j} \varphi_{r-j}\) sur les polynômes de rang, pour comparer aux \(\Lambda^{p+q}\Phi_*\) — des cochaînes normalisées.

Les pages 337 à 340 dressent le tableau des quatre avatars des cochaînes normalisées du simplexe : \(\mathbb{C}^m_* = \Lambda^{m+1}\Phi_*\), avec \(\mathbb{C}^m_{[n]} = \Lambda^{m+1}k^{n+1} = k^{\operatorname{Inj}_\Delta(\Delta^m, \Delta^n)}\), nul si \(m > n\) et égal à \(k\) si \(m = n\) ; le complexe normalisé \(\mathbb{C}^m_\bullet\) est \(k\) en degrés \(m\) et \(m+1\) ; et les duaux. Pour \(X_*\), \(\operatorname{Hom}(X_*, \mathbb{C}^i_*) = \mathbb{C}^i(X_*)\) (cochaînes non dégénérées), \(\mathbb{C}_*(X_*) = k^{(X_*)}\), \(\mathbb{C}^*(X_*) \simeq \mathbb{C}_*(X_*)^\vee\). À \(X_*\) il associe le foncteur \(F_{X_*} : M_* \mapsto \operatorname{Hom}(X_*, M_*)\), et calcule \(\operatorname{Hom}(F_{X_*}, F_{\Delta^n_*}) \simeq k[X_{[n]}]^{\vee\vee}\), isomorphe à \(k[X_{[n]}]\) si \(X_{[n]}\) est fini. Il note que \(k^{\operatorname{Hom}(\Delta_n, \Delta_m)} \to \operatorname{Hom}_k((k^{\Delta_m}, T_m), (k^{\Delta_n}, T_n))\) « n'est pas bijectif ! ». La page 340, numérisée à l'envers, construit l'objet cosimplicial \(n \mapsto C^{[n]}_\bullet\) de \(\mathrm{Ab}_{k\bullet}\) et son image par \(\operatorname{Hom}_\bullet(-, \tilde{\lambda}_\bullet)\)⁶⁷ .

341–345

Retrouver \(X\) à partir de ses cochaînes ; l'algèbre des opérateurs (pages 341 à 345)

Pour un ensemble simplicial \(X_*\), les cochaînes normalisées \(C^\bullet(X_*)\) ont une structure multiplicative ; il pose \(F_*(X_*) = \bigl(n \mapsto \operatorname{Hom}(C^\bullet(X_*), C^\bullet(\Delta^n_*))\bigr)\) et se demande si \(X_* \to F_*(X_*)\) est un isomorphisme, ou une équivalence d'homotopie (« est-ce une équiv. d'homotopie ? », page 344) : on a \(\operatorname{Hom}(\Delta^m_*, \Delta^n_*) \xrightarrow{\sim} \operatorname{Hom}_{\mathrm{mult}}(F(\Delta^n_*), F(\Delta^m_*))\), mais \(F_*(\Delta^m) = P^m_*\) est un torseur sous \(\Psi_m^\vee \otimes \Phi_*\), et l'échange de \(\varprojlim\) et \(\operatorname{Hom}\) est en question. L'exemple du cercle \(X_* = \operatorname{Coker}(\Delta^0_* \rightrightarrows \Delta^1_*)\) est commencé. La page 341 introduit un foncteur \(K\), noyau de \(M_{[1]} \rightrightarrows M_{[0]}\), et sa compatibilité au produit tensoriel. La page 342 contient un argument d'indépendance linéaire de caractères (homomorphismes \(u_i\) distincts, idéaux premiers \(\ker u_i\)) dont la conclusion ne se lit pas.

La page 345, feuillet couvert de calculs serrés, dresse l'algèbre des opérateurs agissant sur \(\Gamma\Phi \otimes \Lambda\Psi\) : \(d\), la multiplication \(\lambda\) par \(\overline{T} = dT\), l'opérateur de Koszul \(\delta\), les multiplications \(\mu_f\) par les \(f \in k\{T\}\), et l'opérateur de degré \(\Theta(x) = \deg(x)\,x\). Relations : \[ d\delta + \delta d = \Theta, \quad \delta\lambda + \lambda\delta = \mu_T, \quad d\mu_f - \mu_fd = \mu_{f'}\lambda, \quad \Theta\lambda - \lambda\Theta = \lambda, \quad \Theta\mu_f - \mu_f\Theta = \mu_{\Theta f} , \] et \(d^2 = \delta^2 = \lambda^2 = 0\), \(d\lambda + \lambda d = 0\), \(\lambda\mu_f = \mu_f\lambda\), \(\delta\mu_f = \mu_f\delta\), \(\Theta\) commutant à \(d\) et \(\delta\) ; tout élément de l'algèbre engendrée s'écrit \(\sum \mu_f \lambda^\alpha d^\beta \delta^\sigma \Theta^n\), \(\alpha, \beta, \sigma \in \{0,1\}\)⁶⁸ . Dans la colonne de droite, un début de construction du scindage de la page 77 pour \(q = 1\) et \(p\) quelconque, par \((\varphi, \psi) \mapsto s(\varphi \otimes \psi)\, \varphi^{(p-1)}\).

347–351

Algèbres différentielles sur un topos (pages 347 à 351)

Trois pages au crayon très pâle, qui ne se lisent que par fragments : la lecture est mince ici. Pour un topos \(\mathcal{X}\) et une résolution \(k \to C^*\), il cherche à munir \(C^*\) d'« accouplements » partiels \(Z^i \times C^j \to C^{i+j}\) et \(C^i \times Z^j \to C^{i+j}\), coïncidant sur \(Z^i \times Z^j\) à valeurs dans les cocycles, associatifs, unitaires, anticommutatifs, avec \(x \circ x = 0\) pour \(x\) cocycle de degré impair, et compatibles à \(d\) ; sous ces conditions, \(C^*(U) = \Gamma(U, C^*_U)\) est une \(k(U)\)-algèbre et \(H^*(C^*(U)) \to H^*(U, k_U)\) est un homomorphisme d'algèbres. L'exemple est \(C^i = \Lambda^{i+1}\Phi\), de cocycles \(Z^i \simeq \Lambda^i\Psi\), et la page 351 calcule \(\operatorname{Hom}_k(C^i \otimes Z^j, C^{i+j}) \simeq \Lambda^i\Psi \otimes \Lambda^j\Psi \simeq \Lambda^{i+j}\Psi \oplus (\cdots)\). Les pages 348, 350 et 352 sont un tapuscrit d'une autre main.

354–354

Le résumé des foncteurs universels (page 354)

Feuillet qui condense les pages 310 à 317 : pour un type \(\mathcal{L}\) de limites, \(\underline{\operatorname{Hom}}^!_{\mathcal{L}}(\mathcal{S}s^\circ, \mathcal{B}) \simeq \underline{\operatorname{Hom}}^!_{\mathcal{L}}(\mathcal{B}_0, \mathcal{B})\) avec \(\mathcal{B}_0 \simeq (\mathrm{Ab}_*)^\circ\), et, encadré, \(F(X_*) = \Omega_*(\mathbb{C}_*(X)) = \Omega_\bullet(\mathbb{C}_\bullet(X))\) ; la moitié tournée de la page refait l'argument de représentabilité des pages 312 et 313.

356–360

Notes : Eilenberg–Zilber et les opérations de Steenrod (pages 356 à 360)

Les pages 356 à 375 sont d'une autre facture que le reste : des notes, avec références (Mac Lane, Homology ; Steenrod–Epstein, Cohomology operations ; la thèse d'Illusie ; Dold ; Cartan ; Serre ; Lazard ; Milne, lecture incertaine), qui ressemblent à des notes d'exposés ou de lecture. Les pages ne disent pas de qui elles sont, et nous ne l'attribuons pas⁶⁹ .

Théorème d'Eilenberg–Zilber–Cartier. Pour un objet abélien bisimplicial \(X_{**}\), il existe des morphismes naturels \(\varphi : \int N X_{**} \to N\Delta X_{**}\) et \(\psi\) en sens inverse, entre le complexe total du bicomplexe normalisé et le normalisé de la diagonale, qui coïncident avec les flèches évidentes en degré \(0\) et sont inverses l'un de l'autre à homotopie naturelle près ; les homotopies sont elles-mêmes uniques à homotopie près. Les choix traditionnels sont l'application d'Alexander–Whitney et celle des shuffles, toutes deux associatives, la seconde (anti)commutative, la première commutative seulement à homotopie près ; on peut l'exprimer par des objets trisimpliciaux (thèse d'Illusie). E–Z–C entraîne E–Z, et le cup-produit \(h = \sum \pm f(x_1,\ldots,x_i)g(x_{i+1},\ldots)\) est associatif et commutatif à homotopie près, d'où l'anticommutativité de \(H^*(X, R)\). Les produits \(K(\mathbb{Z},i) \wedge K(\mathbb{Z}, j) \to K(\mathbb{Z}, i+j)\) se construisent par \(N(K \otimes K) \to NK \otimes NK = \mathbb{Z}[i] \otimes \mathbb{Z}[j]\).

Corollaire. Avec \(W_n = \mathbb{Z}E\Sigma_n\), résolution libre de \(\mathbb{Z}\) par des \(\Sigma_n\)-modules, on a des morphismes \(\Sigma_n\)-équivariants \(W_n \otimes \mathbb{Z}(X^n) \to (\mathbb{Z}X)^{\otimes n}\) et inverses, qui expriment la commutativité à homotopie près, avec toutes ses cohérences — comme pour un H-espace \(E\Sigma_n \times X^n \to X\) relevant la multiplication itérée, \(E\Sigma_2 = \varinjlim S^n\). Théorème (Dold, « Über Steenrodsche Operationen ») : \(\operatorname{Hom}^\bullet(\mathbb{Z}(X^n), (\mathbb{Z}X)^{\otimes n})\) est, pour \(X\) variable, une résolution libre de \(\mathbb{Z}\) dans les \(\Sigma_n\)-modules.

Construction des opérations de Steenrod (cf. Steenrod–Epstein, p. 99). Pour \(A\) de caractéristique \(p\) et \(f \in H^n(X, A)\), le composé \[ W_p \otimes \mathbb{Z}(X^p) \xrightarrow{\ \lambda\ } (\mathbb{Z}X)^{\otimes p} \xrightarrow{\ f^{\otimes p}\ } A[n]^{\otimes p} \xrightarrow{\ \mu\ } A[pn] \] donne \(Pf \in H^{pn}_{\Sigma_p}(E\Sigma_p \times X^p, A)\), et par la diagonale \(\Delta Pf \in H^{pn}(K(\Sigma_p,1) \times X, A) = H^*(K(\Sigma_p,1)) \otimes_{\mathbb{F}_p} H^*(X, A)\) ; les composantes \(D_ix \in H^{pn-i}(X,A)\) selon une base \(e_\alpha\) de \(H_*(K(\Sigma_p, 1))\) donnent, réindexées, les \(P^i\), et « ce réindexage est ce qui donne la formule de Cartan ». On travaille en fait avec \(\mathbb{Z}/p \subset \Sigma_p\).

361–367

Notes : décalage, espaces d'Eilenberg–MacLane, algèbre de Steenrod (pages 361 à 367)

Formule de décalage (Quillen–Bousfield, cf. thèse d'Illusie). Pour les foncteurs dérivés au sens de Dold–Puppe, \[ \mathrm{L}\operatorname{Sym}^i(X[1]) \simeq \mathrm{L}\Lambda^i(X)[i] , \qquad \mathrm{L}\Lambda^i(X[1]) \simeq \mathrm{L}\Gamma^i(X)[i] , \qquad \mathrm{L}\operatorname{Sym}^i(X[2]) \simeq \mathrm{L}\Gamma^i(X)[2i] , \] à partir des suites de Koszul \(0 \to \operatorname{Sym}^iK(M,n) \to \cdots \to \Lambda^iE(M,n+1) \to \Lambda^iK(M,n+1) \to 0\) associées à \(K(M,n) \to E(M,n+1) \to K(M,n+1)\) ; encadré : \(\mathrm{L}_r\operatorname{Sym}^iK(M,n+1) \simeq \mathrm{L}_{r-i}\Lambda^iK(M,n)\)⁷⁰ .

Dold–Thom et Dold–Puppe. \(\pi_i\operatorname{SP}^\infty X \simeq H_i(X)\) ; le théorème de Dold \(\mathbb{Z}\operatorname{SP}^\infty X \simeq \operatorname{Sym}\mathbb{Z}X\) donne \(H_*(K(G,n)) = \mathrm{L}_*\operatorname{Sym}(G, n)\), d'où une graduation « par le poids » sur l'homologie des espaces d'Eilenberg–MacLane, et la stabilité \(H_{n+r}K(M,n) \simeq H_{n+r+1}K(M,n+1)\) pour \(r < n\).

Opérations stables. Pour \(r < n\), \(H^{n+r}(K(\mathbb{F}_p, n), \mathbb{F}_p)\) est stable ; les opérations stables forment l'algèbre de Steenrod, \(\mathbb{F}_p[P^0, P^1, \ldots, \beta]/(\text{Adem}, P^0 = 1)\), \(\deg P^i = 2i(p-1)\), \(\deg\beta = 1\), pour \(p \neq 2\), et \(\mathbb{F}_2[\mathrm{Sq}^i]/ (\text{Adem}, \mathrm{Sq}^0 = 1)\), \(\deg\mathrm{Sq}^i = i\), avec \(\mathrm{Sq}^1 = \beta\), pour \(p = 2\) — par exemple \(\mathrm{Sq}^1\mathrm{Sq}^2 = \mathrm{Sq}^3\)⁷¹ . Formule de Cartan \(P^i(x \times y) = \sum_j P^j(x)P^{i-j}(y)\) ; monômes \(P^I = \beta^{\varepsilon_0}P^{\eta_1} \beta^{\varepsilon_1}\cdots\), admissibles si \(\eta_i \geq p\eta_{i+1} + \varepsilon_i\), qui forment une base ; excès \(e(I)\)⁷² . Théorème (Serre pour \(p = 2\), Cartan) : \(H^*(K(\mathbb{F}_p, n), \mathbb{F}_p)\) est l'algèbre commutative graduée libre engendrée par les \(P^I\iota_n\), \(I\) admissible d'excès \(< n\) (pour \(p\) impair, s'y ajoutent ceux d'excès \(n\) « qui se terminent par \(\beta\) ») ; l'homologie est l'algèbre à puissances divisées sur les éléments duaux. Démonstrations : par la suite spectrale du classifiant (séminaire Cartan, bar construction, Eilenberg–Moore, Rothenberg–Steenrod), ou par la méthode de Serre (1954).

L'algèbre duale de Milnor. La formule de Cartan donne la comultiplication \(\Delta P^i = \sum P^j \otimes P^k\) ; le dual est \(A_* = \operatorname{Sym}(\xi_i) \otimes \Lambda(\tau_j)\), \(\deg\xi_i = 2p^i - 2\), \(\deg\tau_j = 2p^j - 1\), avec \(\Delta\xi_k = \sum_i \xi_{k-i}^{p^i} \otimes \xi_i\) et \(\Delta\tau_k = \tau_k \otimes 1 + \sum_i \xi_{k-i}^{p^i} \otimes \tau_i\). Le cup-produit \(K(\mathbb{F}_p, n) \wedge K(\mathbb{F}_p, m) \to K(\mathbb{F}_p, m+n)\) induit la comultiplication de \(A\). \(\mathrm{L}\operatorname{Sym}^r = 0\) pour \(r \neq p^s\), et \(\mathrm{L}^{\mathrm{st}}_*\operatorname{Sym}\,\mathbb{F}_p = A_*\). La page 367 rappelle la bar construction \(\overline{B}(A)\) d'une algèbre différentielle graduée augmentée, \(\overline{B}(\mathbb{Z}K(G,n)) \sim \mathbb{Z}BK(G,n)\), et sa structure d'algèbre via Eilenberg–Zilber quand \(A\) est commutative.

369–372

Notes : \(K_2\) de Milnor ; cohomologie des Eilenberg–MacLane (pages 369 à 372)

\(K_2\) de Milnor. \(E(R) = [E(R), E(R)] \subset GL(R)\), \(K_1(R) = GL(R)/E(R)\), et \(E(R) = SL(R)\) si \(R\) est local ; la suite \(0 \to K_2(R) \to \mathrm{St}(R) \to E(R) \to 0\), et \(K_2(R) = H_2(E(R), \mathbb{Z}) = \pi_2(BGL(R)^+)\)⁷³ . Pour un schéma \(X\), la suite spectrale \(H^i_{\mathrm{Zar}}(X, \underline{K}_j) \Rightarrow K_{j-i}(X)\), la résolution de Gersten \(0 \to \underline{K}_i \to i_*\underline{K}_i \to \bigoplus_{\mathrm{codim}\,1} i_{x*}K_{i-1} \to \cdots \to \bigoplus_{\text{points fermés}} i_{x*}\mathbb{Z} \to 0\), et \(H^i(X, \underline{K}_i) = \) cycles de codimension \(i\) modulo l'équivalence rationnelle⁷⁴ .

Cohomologie des Eilenberg–MacLane. Les quatre cas \(H_*(K(\mathbb{F}_p, n), \mathbb{F}_p)\), \(H_*(K(\mathbb{Z},n), \mathbb{F}_p)\), \(H_*(K(\mathbb{F}_p,n), \mathbb{Z})\), \(H_*(K(\mathbb{Z},n),\mathbb{Z})\) ; pour \(G\) quelconque, la partie stable de l'homologie entière est de torsion première, par exemple \(H_{n+2}(K(G,n)) = G/2G\), \(H_{n+3} = {}_2G\). Les deux Bockstein \(\beta_1\), \(\beta_2\) sont des dérivations de \(A_* = \operatorname{Sym}(\xi_i) \otimes \Lambda(\tau_j)\), \(\tau_0 \mapsto 1\) pour l'un, \(\tau_j \mapsto \xi_j\) pour l'autre ; d'où \(H_*(K(\mathbb{F}_p, n), \mathbb{Z})\) et \(H_*(K(\mathbb{Z},n), \mathbb{Z})_{(p)} = \operatorname{Im}\beta_2 = \operatorname{Ker}\beta_2\) dans le domaine stable, et la conjugaison de Steenrod échange les deux Bockstein.

Théorème (Cartan) : sous des hypothèses sur les groupes \(G\), \(H\), l'homologie stable est symétrique : \(H_{m+i}(K(H,m); G) \simeq H_{n+i}(K(G,n); H)\) dans le domaine stable⁷⁵ . Démonstration 2 : \(X \mapsto \pi_{n+r}(K(\mathbb{Z},n) \wedge X)\) est une théorie d'homologie partielle pour \(r\) petit, égale à \(\widetilde{H}_r(X)\), via \(K(\mathbb{Z},n) \wedge X \to \mathbb{Z}^+(S^nX)\), quasi-isomorphisme jusqu'en degré \(2n-1\), et Eilenberg–Zilber pointé. La page 372 en déduit des résolutions simpliciales canoniques de \(K(G,n) = G \otimes \Lambda^n\Psi\) et la connectivité \(r = \min(n + 2p - 1, 2n + p - 1)\) de \(K(\mathbb{Z},n) \wedge K(G,p) \to \mathbb{Z}K(G,n+p)\).

373–375

Notes : les opérations sur \(\mathbf{G}_a\) et \(\operatorname{Ext}(\mathbf{G}_a, \mathbf{G}_a)\) (pages 373 à 375)

Pour un anneau \(R\) de caractéristique \(p\), \(H^q(X, R) \simeq H^q(X, \mathbb{F}_p) \otimes R\), et l'algèbre de Steenrod agit avec \(P^0_R = P^0 \otimes F\) (\(F\), le Frobenius, lecture probable). Sur le site des schémas sur \(\mathbb{F}_p\), avec le faisceau structural \(\mathbf{G}_a\) et \(K(\mathbf{G}_a, n) = \mathbf{G}_a \otimes \Lambda^n\Psi\), l'hypercohomologie \(\mathbb{H}^*(K(F,p), G)\) classe les opérations de type \((F,p;G,q)\) (Illusie ; Epstein, « Operations in homological algebra », 1966). Théorème : soit \(\mathcal{A}\) l'algèbre engendrée par les \(P^i\), \(i \geq 0\), avec les relations d'Adem mais pas \(P^0 = 1\) ; alors \(\mathbb{H}^*(K(\mathbf{G}_a, n), \mathbf{G}_a)\) est l'algèbre commutative graduée libre engendrée par les monômes admissibles de \(\mathcal{A}\) d'excès \(< n\)⁷⁶ .

Proposition : le \(k[F]\)-module \(\operatorname{Ext}^i(\mathbf{G}_a, \mathbf{G}_a)\) est de \(F\)-torsion pour \(i > 1\). Corollaire (attribué, lecture incertaine, à Milne) : sur le site parfait, avec \(\mathbf{G}_a^{\mathrm{parf}} = \varinjlim_F \mathbf{G}_a\), \(\operatorname{Ext}^i(\mathbf{G}_a^{\mathrm{parf}}, \mathbf{G}_a^{\mathrm{parf}}) = 0\) pour \(i > 1\). La démonstration utilise la suite spectrale du coefficient universel \(\operatorname{Ext}^i(\underline{H}_j(X), F) \Rightarrow \mathbb{H}^{i+j}(X, F)\) pour \(X = K(\mathbf{G}_a, n)\), \(n\) grand, dans les faisceaux de \(\mathbb{F}_p\)-modules et « modulo \(F\) », avec \(\operatorname{Hom} (\mathbf{G}_a, \mathbf{G}_a) = k[F]\) et \(\operatorname{Ext}^1(\mathbf{G}_a, \mathbf{G}_a) = 0\)⁷⁷ , deux lemmes (nullité d'un homomorphisme de bord ; générateurs \(P^I\iota_n\)), et la résolution par les \(\mathbb{Z}^jK(\mathbf{G}_a, n)\). La page 375 inscrit le résultat : \(\operatorname{Ext}^{2i+1}_{\mathbb{F}_p}(\mathbf{G}_a, \mathbf{G}_a) = 0\) et \(\operatorname{Ext}^{2i}(\mathbf{G}_a, \mathbf{G}_a) = k[F]/(F^d)\), \(d = v_p(i)\), pour \(i > 0\)⁷⁸ .