Fonds Grothendieck, cote n° 135, pages 41–58

« Esquisse d'une théorie des Gr-catégories », tapuscrit annoté — fin (pages 41 à 44)

la frappe reprend au milieu de la phrase interrompue à la page 40 : « ... une classe de 3-cohomologie » k(C) \in H^{3}(\pi_{0}(C), \pi_{1}(C)).

En précisant ces réflexions, on trouve que la classification, à \otimes-équivalence près, des (Gr)-catégories, se fait précisément en termes de la donnée d'un groupe \pi_{0}, d'un groupe commutatif \pi_{1} sur lequel \pi_{0} opère, et d'une classe de cohomologie (qui peut être prise arbitraire) dans H^{3}(\pi_{0}, \pi_{1}). La loi de groupe du H^{3} admet d'ailleurs une interprétation « géométrique » à la Baer, en termes d'opérations sur les (Gr)-catégories.

Cas particuliers. Dans l'exemple 1, on doit retrouver bien sûr le premier invariant de Postnikoff \in H^{3}(\pi_{1}(X), \pi_{2}(X)), avec une interprétation « géométrique » nouvelle. « doit » est un ajout à l'encre au-dessus de la ligne Dans l'exemple 2, on trouve \pi_{0} = H^{1}(X,F), \pi_{1} = H^{0}(X,F) et l'élément du H^{3} est nul (du fait qu'on a une « catégorie de Picard stricte », cf [Deligne [ ]]). « Deligne » est écrit à l'encre au-dessus des crochets laissés vides à la frappe Dans le dernier exemple, on a \pi_{0} = groupe des classes d'isomorphisme d'autoéquivalences de A, \pi_{1} = groupe des automorphismes du foncteur identique de A, et l'invariant k(C) semble nouveau (même dans le cas où C est la catégorie des biModules inversibles sous un Anneau O_{X}, où \pi_{0} peut donc s'interpréter comme un « groupoïde de Brandt » et \pi_{1} comme le groupe des « unités centrales » de O_{X}). Signalons cependant que lorsque A est la catégorie des torseurs sous un groupe (ordinaire) F, on trouve que \pi_{0} = groupe des automorphismes extérieurs de F, \pi_{1} = centre de F, et l'élément k(C) du H^{3} n'est autre que le classique invariant de Mac-Lane. Il resterait à développer un lien géométrique entre la théorie de Mac-Lane des extensions de groupes non commutatifs, et des « liens » (« kernels » dans sa terminologie) auxquels ils sont associés, et la théorie ~~développée~~ esquissée ici des (Gr)-catégories et de leurs splittages. « développer » est écrit à l'encre au-dessus d'un « établir » barré, et « géométrique » au-dessus de « direct »

2. Catégories de Picard.

On appelle « catégorie de Picard » une \otimes-catégorie ACU (associative-commutative-unitaire, cf. [ ]) qui est une (Gr)-catégorie pour sa \otimes-structure AU. On dit que c'est une catégorie de Picard stricte si pour tout X \in \mathrm{Ob}\,C, la symétrie de X \otimes X est l'identité. Ces dernières catégories sont étudiées systématiquement (dans le contexte plus général des « champs de Picards ») par Deligne [ ].

Soit C une catégorie de Picard. En tant que (Gr)-catégorie, C possède des invariants \pi_{0} et \pi_{1}, mais dans le cas actuel \pi_{0} est aussi commutatif et agit trivialement sur \pi_{1}. l'indice du dernier \pi est surchargé à la frappe On fera attention ici qu'une équivalence de (Gr)-catégories entre deux catégories de Picard C, C' n'est pas nécessairement compatible avec les contraintes de commutativité, donc n'est pas nécessairement une équivalence de catégories de

Picard — on peut dire que la classification « au sens Picard » est plus fine que la classification au sens des (Gr)-catégories.

Associant à tout X \in \mathrm{Ob}\,C la symétrie de X \otimes X, interprétée comme étant la tensorisation par un élément bien déterminé s(X) de \pi_{1}(C) = \mathrm{Aut}(1_{C}), on trouve un homomorphisme canonique s(C) = s : \pi_{0} \longrightarrow {}_{2}(\pi_{1}), où {}_{2}(\pi_{1}) désigne le sous-groupe des éléments x de \pi_{1} tels que 2x = 0. « homomorphisme » est écrit à l'encre au-dessus d'un « application » barré Le résultat principal de la théorie de structure des catégories de Picard peut s'énoncer en disant que C est déterminée (à équivalence non canonique de catégories de Picard près) par la donnée des groupes commutatifs \pi_{0} et \pi_{1}, et l'homomorphisme s : \pi_{0} \to {}_{2}(\pi_{1}). « non canonique » est un ajout à l'encre Dire que cet homomorphisme est nul signifie d'ailleurs que C est une catégorie de Picard stricte, et on retrouve le résultat de [ ] suivant lequel une catégorie de Picard stricte est déterminée (à équivalence près) par la connaissance de ses seuls invariants \pi_{0} et \pi_{1}.

Remarques. La théorie de loc. cit. nous permet, plus précisément, d'interpréter la 2-catégorie des catégories de Picard strictes en termes de la sous-catégorie pleine de la catégorie dérivée de (Ab) (cat. des groupes abéliens), formée des complexes K_{.} tels que H_{i}(K_{.}) = 0 pour i \neq 0, 1. les indices des H sont repassés à l'encre ; un mot glissé sous la ligne — « alors » ? — reste sans emploi clair Le résultat précédent, assez grossier, se réduit à la remarque qu'un objet de cette catégorie est déterminé à isomorphisme (non unique !) près par la connaissance de son H_{0} (= \pi_{0}) et H_{1} (= \pi_{1}). Il y aurait lieu de développer également pour les catégories de Picard non nécessairement strictes, et pour les (Gr)-catégories, une théorie de structure pour la 2-catégorie qu'ils forment. De plus, ces développements encore dans les limbes, tout comme ceux que nous venons d'esquisser, devraient être un jour étudiés dans le cadre des champs (en (Gr)-catégories, ou en catégories de Picard) tout comme dans Deligne [ ]. « développements » et « Deligne » sont des ajouts à l'encre, le premier au-dessus d'un mot barré

3. Catégories de Picard enveloppantes.

Soient C une \otimes-catégorie AUC (par exemple une catégorie avec objet final et admettant des produits cartésiens de deux éléments), S une partie de \mathrm{Ob}\,C. On se pose le problème universel d'envoyer (par un \otimes-foncteur AUC) C dans une \otimes-catégorie AUC G, de telle façon que pour tout X \in S, F(X) soit un objet inversible de G. « \otimes- » et « AUC G, » sont des ajouts à l'encre autour d'un mot barré ; la frappe écrit ici « AUC » là où la page 41 écrivait « ACU » Le résultat principal ici est que ce problème admet toujours une solution, qu'on pourra appeler la \otimes-catégorie AUC « de fractions » par rapport à l'ensemble S, et noter éventuellement S^{-1}C. On trouve en fait que pour toute G, le foncteur naturel

\mathrm{Hom}_{\otimes \mathrm{AUC}}(S^{-1}C, G) \longrightarrow \mathrm{Hom}^{S}_{\otimes \mathrm{AUC}}(C, G) (où l'exposant S dans le deuxième membre dénote la sous-catégorie pleine formée des \otimes-foncteurs AUC F : C \to G tels que F(X) soit inversible pour tout X \in \mathrm{Ob}\,S) est un isomorphisme de catégories.

Nous n'explicitons pas ici la construction, assez naturelle, mais dont l'explicitation pas à pas, avec la vérification de toutes les compatibilités voulues, est fort longue et fastidieuse. « avec » remplace, à l'encre, un mot barré Signalons seulement ici que lorsque S est l'ensemble de tous les objets de C, S^{-1}C est elle-même une catégorie de Picard (pas nécessairement stricte), qu'on pourra appeler la « catégorie de Picard enveloppante » de C. C'est sans doute le cas le plus important. Les invariants \pi_{0} et \pi_{1} de cette catégorie enveloppante méritent la notation K^{0}(C) et K^{1}(C) respectivement. Par exemple, lorsque C est la catégorie des modules projectifs de type fini sur un anneau A, avec l'opération de somme, ~~on peut démontrer que~~ ces groupes ne sont autres que les classiques invariants K^{0}(A) et K^{1}(A) étudiés par Grothendieck et par Whitehead-Bass. « avec l'opération de somme, » est un ajout à l'encre, et « on peut démontrer que » est barré d'un trait ondulé Le même résultat est sans doute valable pour toute catégorie additive C (munie de l'opération somme). Cela donne une interprétation remarquable des invariants K^{0} et K^{1} en termes d'une « catégorie stabilisée » (de la catégorie additive C), laquelle est une catégorie de Picard. Signalons seulement que, cette catégorie stabilisée (même dans le cas particulier des modules projectifs de type fini sur l'anneau A) n'étant pratiquement jamais une catégorie de Picard stricte, ces considérations semblent rendre peu probable qu'on arrive à construire un objet canonique dans la catégorie dérivée de la catégorie (Ab), qui soit un complexe de chaînes satisfaisant H_{0}(K_{.}) = K^{0}, H_{1}(K_{.}) = K^{1} — puisqu'une telle construction (grâce à la théorie de Deligne) nous fournirait précisément une catégorie de Picard stricte canonique dont les invariants seraient K^{0} et K^{1}.

On peut difficilement échapper à la question d'une interprétation géométrique analogue des invariants K^{i} supérieurs. Il y a tout lieu de croire qu'une telle interprétation est à chercher dans la théorie des n-catégories de Picard (en un sens convenable) et la construction des n-catégories de Picard enveloppantes d'une \otimes-catégorie AUC (ou d'une \otimes-n-catégorie AUC) arbitraire C, dont les invariants « homotopiques » \pi_{i} seraient les K^{i} cherchés. De tels développements obligerai-

Comme autre direction de recherche ouverte, suggérée par les résultats esquissés ici, signalons la construction d'une \otimes-catégorie de fractions d'une \otimes-catégorie AU (sans donnée de commutativité néces- ce dernier alinéa, barré de grands traits obliques, s'interrompt au bas de la page sur un mot coupé ; la phrase non barrée qui précède se poursuit, elle, en tête de la page suivante

-ent sans doute à tirer au clair les relations très étroites qu'on pressent entre les notions de n-catégorie (et de \infty-catégorie) d'une part, celle d'ensemble simplicial (ou d'espace topologique ...) d'autre part, tout comme la relation entre n-Gr-catégories (et \infty-Gr-catégories) et groupes simpliciaux (ou groupes topologiques), enfin entre n-catégories de Picard strictes et complexes de chaines tronqués à la dimension n. Il y aurait à s'attendre à une fusion plus ou moins complète entre ces trois visions : algèbre homologique, algèbre homotopique, algèbre catégorique, dans une vision commune (qui pourrait bien prendre le nom d'« algèbre homologique non commutative », étant entendu que ce qui porte actuellement ce nom n'est qu'une amorce très partielle de ce qui doit venir ...) « une », « très partielle » et « doit » sont des ajouts à l'encre, le dernier au-dessus d'un « reste à » barré

Comme dernière question, plus terre à terre, signalons celle liée à la remarque ~~que~~ suivante (lorsque ) : C est la catégorie des modules projectifs de type fini sur un anneau A commutatif (ou plus généralement une catégorie additive munie d'une opération \otimes ACU biadditive), alors la catégorie de Picard enveloppante, en plus de sa loi de composition évidente de « somme » (notée ici \oplus) donnée par sa définition même, est munie d'une opération \otimes provenant de l'opération de produit tensoriel ordinaire des modules, qui en fait également une \otimes-catégorie ACU (mais évidemment pas une (Gr)-catégorie), liée par des isomorphismes de distributivité évidents à l'opération \oplus. « suivante », « ACU », « par », « ordinaire » et « à l' » sont des retouches à l'encre sur la frappe Il y aurait lieu d'étudier systématiquement les catégories A ainsi munies de deux opérations \oplus et \otimes, toutes deux AUC (des données supplémentaires), avec une donnée de distributivité X \otimes (Y \oplus Z) \simeq X \otimes Y \oplus X \otimes Z et des compatibilités convenables pour celles-ci ; et de tenter de faire une théorie de structure pour de telles catégories qui sont de Picard pour la structure \oplus. Cela implique en particulier que \pi_{0}(A) est un anneau unitaire commutatif, et \pi_{1}(A) un module sous ce dernier. Quels autres invariants faut-il introduire pour caractériser A à équivalence près respectant toutes les structures ?

« Gr-categories », manuscrit anglais annoté (pages 46 à 58)

les pages 46 à 58 forment un manuscrit autonome de treize pages, paginées 1 à 13 par leur auteur, rédigé en anglais : le résumé de l'organisation d'un travail en trois chapitres sur les Gr-catégories, s'achevant sur une bibliographie. La main n'est pas celle des notes du dossier ; des annotations à l'encre et au crayon, signalées au fil du texte, s'y ajoutent. L'auteur souligne les lettres de catégories et l'objet unité — soulignement que nous ne reproduisons pas — et nous transcrivons l'anglais tel quel, sans le traduire

Gr-categories

Summary

The purpose of these notes is to study the Gr-categories and give some applications of them. Below is a brief description of the organization of the work.

Chapter I gives some definitions and results, which are used continually in the sequel, on \otimes-categories one can find in [2], [6], [11], [14], [15], the terminology employed in this chapter being of Neantro Saavedra Rivano [14]. A \otimes-category is a category C together with a law \otimes, i.e a covariant bifunctor \otimes : C \times C \longrightarrow C, \qquad (X, Y) \longmapsto X \otimes Y

An associativity constraint for a \otimes-category C is an isomorphism of trifunctors a_{X,Y,Z} : X \otimes (Y \otimes Z) \xrightarrow{\ \sim\ } (X \otimes Y) \otimes Z, \qquad X, Y, Z \in \mathrm{Ob}\,C satisfying the pentagon axiom, i.e all the pentagonal diagrams

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & (X \otimes Y) \otimes (Z \otimes T) \arrow[dr, "a_{X \otimes Y{,}Z{,}T}"] & \\ X \otimes (Y \otimes (Z \otimes T)) \arrow[ur, "a_{X{,}Y{,}Z \otimes T}"] \arrow[d, "\mathrm{id}_{X} \otimes a_{Y{,}Z{,}T}"'] & & ((X \otimes Y) \otimes Z) \otimes T \\ X \otimes ((Y \otimes Z) \otimes T) \arrow[rr, "a_{X{,}Y \otimes Z{,}T}"'] & & (X \otimes (Y \otimes Z)) \otimes T \arrow[u, "a_{X{,}Y{,}Z} \otimes \mathrm{id}_{T}"'] \end{tikzcd}

are commutative. A \otimes-category together with an associativity constraint is called a \otimes-associativite category. sic — l'orthographe flotte : deux pages plus loin la même plume écrit « associative »

A commutativity constraint for a \otimes-category C is an isomorphism

of bifunctors c_{X,Y} : X \otimes Y \xrightarrow{\ \sim\ } Y \otimes X, \qquad X, Y \in \mathrm{Ob}\,C, verifying the relation c_{Y,X} \circ c_{X,Y} = \mathrm{id}_{X \otimes Y}. The commutativity constraint c is said to be strict if c_{X,X} = \mathrm{id}_{X \otimes X} for all X \in \mathrm{Ob}\,C. A \otimes-category together with a commutativity constraint is a \otimes-commutative category. A \otimes-commutative category is strict if its commutativity constraint is strict.

An unity constraint for a \otimes-category C is a triple (1, g, d) where 1 is an object of C, g and d natural isomorphisms g_{X} : X \xrightarrow{\ \sim\ } 1 \otimes X, \qquad d_{X} : X \xrightarrow{\ \sim\ } X \otimes 1, \qquad X \in \mathrm{Ob}\,C such that g_{1} = d_{1}. A \otimes-category together with an unity constraint is a \otimes-unifer category.

A \otimes-category C together with an associativity constraint a and a commutativity constraint c is a \otimes-AC category if the hexagon axiom is fulfilled, i.e all the hexagonal diagrams commute

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & (X \otimes Y) \otimes Z \arrow[rr, "c_{X \otimes Y{,}Z}"] & & Z \otimes (X \otimes Y) \arrow[dr, "a_{Z{,}X{,}Y}"] & \\ X \otimes (Y \otimes Z) \arrow[ur, "a_{X{,}Y{,}Z}"] \arrow[dr, "\mathrm{id}_{X} \otimes c_{Y{,}Z}"'] & & & & (Z \otimes X) \otimes Y \\ & X \otimes (Z \otimes Y) \arrow[rr, "a_{X{,}Z{,}Y}"'] & & (X \otimes Z) \otimes Y \arrow[ur, "c_{X{,}Z} \otimes \mathrm{id}_{Y}"'] & \end{tikzcd}

A \otimes-category C together with an associativity constraint a and an unity constraint (1, g, d) is a \otimes-AU category if all the following triangles commute

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] X \otimes (1 \otimes Y) \arrow[rr, "a_{X{,}1{,}Y}"] & & (X \otimes 1) \otimes Y \\ & X \otimes Y \arrow[ul, "\mathrm{id}_{X} \otimes g_{Y}"] \arrow[ur, "d_{X} \otimes \mathrm{id}_{Y}"'] & \end{tikzcd}

A \otimes-ACU category is a \otimes-AC and AU category. An object X of a \otimes-ACU category C is invertible if there are two objects X', X'' \in \mathrm{Ob}\,C such that X' \otimes X \simeq X \otimes X'' \simeq 1.

A \otimes-functor from a \otimes-category C to a \otimes-category C' is a pair (F, \check{F}) where F is a functor C \to C' and \check{F} an isomorphism of bifunctors \check{F}_{X,Y} : FX \otimes FY \longrightarrow F(X \otimes Y), \qquad X, Y \in \mathrm{Ob}\,C.

A \otimes-functor (F, \check{F}) from a \otimes-associative category C to a \otimes-associative category C' is associative if the following diagram commutes:

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] FX \otimes (FY \otimes FZ) \arrow[r, "\mathrm{id} \otimes \check{F}"] \arrow[d, "a'"'] & FX \otimes F(Y \otimes Z) \arrow[r, "\check{F}"] & F(X \otimes (Y \otimes Z)) \arrow[d, "Fa"] \\ (FX \otimes FY) \otimes FZ \arrow[r, "\check{F} \otimes \mathrm{id}"'] & F(X \otimes Y) \otimes FZ \arrow[r, "\check{F}"'] & F((X \otimes Y) \otimes Z) \end{tikzcd}

where a is the associativity constraint of C and a' of C'.

A \otimes-functor (F, \check{F}) from a \otimes-commutative category C to a \otimes-commutative category C' is commutative if the following diagram commutes

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] FX \otimes FY \arrow[r, "\check{F}"] \arrow[d, "c'"'] & F(X \otimes Y) \arrow[d, "Fc"] \\ FY \otimes FX \arrow[r, "\check{F}"'] & F(Y \otimes X) \end{tikzcd}

c and c' being the commutativity constraints of C and C' respectively.

A \otimes-functor (F, \check{F}) from a \otimes-category C with an unity constraint (1, g, d) to a \otimes-category C' with an unity constraint (1', g', d') is a \otimes-unifer functor if there exists an isomorphism \hat{F} : 1' \simeq F1 such that the following diagrams commute:

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] 1' \otimes FX \arrow[r, "\hat{F} \otimes \mathrm{id}_{FX}"] & F1 \otimes FX \arrow[d, "\check{F}"] \\ FX \arrow[u, "g'_{FX}"] \arrow[r, "Fg_{X}"'] & F(1 \otimes X) \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] FX \otimes 1' \arrow[r, "\mathrm{id}_{FX} \otimes \hat{F}"] & FX \otimes F1 \arrow[d, "\check{F}"] \\ FX \arrow[u, "d'_{FX}"] \arrow[r, "Fd_{X}"'] & F(X \otimes 1) \end{tikzcd}

It follows from the definition that the isomorphism \hat{F} : 1' \simeq F1, if it exists, is unique.

A \otimes-AC functor is a \otimes-associative and commutative functor. A \otimes-ACU functor is a \otimes-associative, commutative and unifer functor.

Let (F, \check{F}) and (G, \check{G}) be \otimes-functors from a \otimes-category C to a \otimes-category C'. A \otimes-morphism from the \otimes-functor (F, \check{F}) to the \otimes-functor (G, \check{G}) is a morphism of functors \lambda : F \to G such that the following diagram commutes

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] FX \otimes FY \arrow[r, "\check{F}"] \arrow[d, "\lambda_{X} \otimes \lambda_{Y}"'] & F(X \otimes Y) \arrow[d, "\lambda_{X \otimes Y}"] \\ GX \otimes GY \arrow[r, "\check{G}"'] & G(X \otimes Y) \end{tikzcd}

X, Y \in \mathrm{Ob}\,C.

Chapter II is a study of Gr-categories and Pic-categories. A Gr-category is a \otimes-AU category, the objects of which are all invertible, and the base category a groupoid (i.e all arrows are isomorphisms). Thus a Gr-category is like a group. We obtain from this definition that if P is a Gr-category, the set \Pi_{0}(P) of the classes up to isomorphism of objects of P, together with the operation induced by the law \otimes of P, is a group ; the group \mathrm{Aut}(1) = \Pi_{1}(P) is a commutative group ; and for all X \in \mathrm{Ob}\,P \gamma_{X} : u \longmapsto u \otimes \mathrm{id}_{X} \ = \ \mathrm{Aut}(1) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Aut}(X), \delta_{X} : u \longmapsto \mathrm{id}_{X} \otimes u \ = \ \mathrm{Aut}(1) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Aut}(X). We attribute thus to a Gr-category P two groups \Pi_{0}(P) and \Pi_{1}(P) where \Pi_{1}(P) is commutative. Furthermore we can define an action of \Pi_{0}(P) on \Pi_{1}(P) by the formula su = \delta_{X}^{-1} \gamma_{X}(u) for s \in \Pi_{0}(P) represented by X and u \in \Pi_{1}(P). The commutative group \Pi_{1}(P) together with this action is a left \Pi_{0}(P)-module.

Let M be a group, N a left M-module. A preepinglage of le mot souligné se lit « preepinglages », avec un s ; le « of » qui le suit est répété au tournant de page

type (M,N) for a Gr-category P is a pair \varepsilon = (\varepsilon_{0}, \varepsilon_{1}) of isomorphisms \varepsilon_{0} : M \xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_{0}(P), \qquad \varepsilon_{1} : N \xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_{1}(P) compatible with the action of M on N, \Pi_{0}(P) on \Pi_{1}(P). A Gr-category preepingled of type (M,N) is a Gr-category P together with a preepinglage. Finally, an arrow of Gr-categories preepingled of type (M,N), (P, \varepsilon) \to (P', \varepsilon'), is a \otimes-associative functor such that the following triangles commute:

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \Pi_{0}(P) \arrow[rr] & & \Pi_{0}(P') \\ & M \arrow[ul, "\varepsilon_{0}"] \arrow[ur, "\varepsilon'_{0}"'] & \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \Pi_{1}(P) \arrow[rr] & & \Pi_{1}(P') \\ & N \arrow[ul, "\varepsilon_{1}"] \arrow[ur, "\varepsilon'_{1}"'] & \end{tikzcd}

It follows from this definition that a such arrow is a \otimes-equivalence. Thus the set of the equivalence classes of Gr-categories preepingled of type (M,N) is equal to the set of the connected components of the category of Gr-categories preepingled of type (M,N).

If we consider the cohomology group H^{3}(M,N) of the group M with coefficients N (in the sense of the group cohomoly [12]) we obtain a canonical bijection between the set H^{3}(M,N) and the set of the equivalence classes of Gr-categories preepingled of type (M,N). sic pour « cohomoly »

A Pic-category is a Gr-category together with a commutativity constraint which is compatible with its associativity constraint, i.e the hexagon axiom is satisfied. Thus a Pic-category is like a commutative group. We verify immediately that a necessary condition for the existence of a Pic-category structure on a Gr-category is that \Pi_{0}(P) must be commutative and act trivially on \Pi_{1}(P). A Pic-category is strict if its commutativity constraint is strict.

Let M, N be abelian groups. A preepinglage of type (M,N) for a Pic-category P is a pair \varepsilon = (\varepsilon_{0}, \varepsilon_{1}) of isomorphisms \varepsilon_{0} : M \xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_{0}(P), \qquad \varepsilon_{1} : N \xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_{1}(P).

A Pic-category preepingled of type (M,N) is a Pic-category together with a preepinglage. We define the arrow of such objects in the same way as for Gr-categories. le « preepingled » de la première ligne est souligné d'un trait ondulé — une marque de lecteur

For next propositions, let us consider two complexes of free abelian groups L_{.}(M) : L_{3}(M) \xrightarrow{\ d_{3}\ } L_{2}(M) \xrightarrow{\ d_{2}\ } L_{1}(M) \xrightarrow{\ d_{1}\ } L_{0}(M) \longrightarrow M {}'L_{.}(M) : {}'L_{3}(M) \xrightarrow{\ 'd_{3}\ } {}'L_{2}(M) \xrightarrow{\ 'd_{2}\ } {}'L_{1}(M) \xrightarrow{\ 'd_{1}\ } {}'L_{0}(M) \longrightarrow M where L_{0}(M) = {}'L_{0}(M) = \mathbf{Z}[M] L_{1}(M) = {}'L_{1}(M) = \mathbf{Z}[M \times M] L_{2}(M) = {}'L_{2}(M) = \mathbf{Z}[M \times M \times M] + \mathbf{Z}[M \times M] L_{3}(M) = {}'L_{3}(M) + \mathbf{Z}[M] {}'L_{3}(M) = \mathbf{Z}[M \times M \times M \times M] + \mathbf{Z}[M \times M \times M] + \mathbf{Z}[M \times M] d_{1}[x,y] = {}'d_{1}[x,y] = [y] - [x+y] + [x] d_{2}[x,y] = {}'d_{2}[x,y] = [x,y] - [y,x] d_{2}[x,y,z] = {}'d_{2}[x,y,z] = [y,z] - [x+y,z] + [x,y+z] - [x,y] d_{3}[x,y,z,t] = {}'d_{3}[x,y,z,t] = [y,z,t] - [x+y,z,t] + [x,y+z,t] - [x,y,z+t] + [x,y,z] d_{3}[x,y,z] = {}'d_{3}[x,y,z] = [x,y,z] - [x,z,y] + [z,x,y] - [y,z] + [x+y,z] - [x,z] d_{3}[x,y] = [x,y] + [y,x] = {}'d_{3}[x,y] d_{3}[x] = [x,x], so that L_{.}(M) is a truncated resolution of M. One obtains a canonical bijection between the set of the equivalence classes of

Pic-categories preepingled of type (M,N) and the set H^{2}(\mathrm{Hom}({}'L_{.}(M), N)). The exactitude of the complex L(M) gives us the triviality of the classification of Pic-categories preepingled of type (M,N) which are strict, i.e all Pic-categories preepingled of type (M,N) which are strict, are equivalent. en tête de page, une ligne au crayon à demi rognée par le bord — on y lit « déterminer H^{2}(\mathrm{Hom}({}'L_{.}(M), N)) », la suite échappe

Finally chapter III gives us the construction of the solution of two universal problems : problem of making objects « unity objects » and problem of reversing objects.

Let A be a \otimes-AC category, A' another \otimes-AC category whose base category is a groupoid, and (T, \check{T}) : A' \to A a \otimes-AC functor. We try to make the objects TA' of A, A' \in \mathrm{Ob}\,A', « unity object », i.e we try to get : en marge, deux mots au crayon — « auxiliary units » ? — d'une lecture incertaine

1° A \otimes-ACU category P

2° A \otimes-AC functor (D, \check{D}) : A \to P

3° A \otimes-isomorphism \lambda : (D, \check{D}) \circ (T, \check{T}) \xrightarrow{\ \sim\ } (I_{P}, \check{I}_{P}), where (I_{P}, \check{I}_{P}) is the \otimes-constant functor 1_{P} from A' to P. The triple (P, (D, \check{D}), \lambda) must be universal for triples (Q, (E, \check{E}), \mu) satisfying 1°, 2°, 3°.

For the description of the triple (P, (D, \check{D}), \lambda), we introduce a quotient category of a \otimes-AC category as follows :

Let A be a \otimes-AC category, S a multiplicative subset of A (that means a subset of the set of all ~~endomorphisms~~ arrows of A such that \mathrm{id}_{X} \in S for all X \in \mathrm{Ob}\,A and the tensor product of two arrows of S belongs to S). « arrows » est écrit au crayon au-dessus d'« endomorphisms » barré ; plus bas en marge, deux mots au crayon — « what about composition ? » — d'une lecture incertaine The \otimes-AC category quotient A^{S} of A with respect to S is the solution of the universal problem (K, \check{K}) : A \longrightarrow B, \qquad K(u) = \mathrm{id} \ \text{for all} \ u \in S where B is a \otimes-AC category and (K, \check{K}) a \otimes-AC functor.

Now let us give an idea of the construction of the triple (P, (D, \check{D}), \lambda) for A' \neq \emptyset :

1° \mathrm{Ob}\,P = \mathrm{Ob}\,A

2° \mathrm{Hom}_{P}(A,B) = \Phi(A,B)/R_{A,B}, A, B \in \mathrm{Ob}\,P,

\Phi(A,B) being the set of all triples (A', B', u) where A', B' \in \mathrm{Ob}\,A', u \in \mathrm{Fl}\,A, u : A \otimes TA' \to B \otimes TB' ; R_{A,B} the equivalence relation defined in \Phi(A,B) as follows (A'_{1}, B'_{1}, u) \ R_{A,B} \ (A'_{2}, B'_{2}, u) le troisième terme s'écrit u dans les deux triples ; le diagramme les distingue en u_{1} et u_{2} if and only if there are objects C'_{1}, C'_{2} and isomorphisms u' : A'_{1} \otimes C'_{1} \xrightarrow{\ \sim\ } A'_{2} \otimes C'_{2}, \qquad v' : B'_{1} \otimes C'_{1} \xrightarrow{\ \sim\ } B'_{2} \otimes C'_{2} of A' such that the following diagram commutes in A^{S}, \otimes-AC quotient category of A with respect to the multiplicative subset of A generated by the endomorphisms of the form T(c_{A',A'}) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] A \otimes T(A'_{1} \otimes C'_{1}) \arrow[r, "\mathrm{id} \otimes \check{T}^{-1}"] \arrow[d, "\mathrm{id} \otimes Tu'"'] & A \otimes (TA'_{1} \otimes TC'_{1}) \arrow[r, "a"] & (A \otimes TA'_{1}) \otimes TC'_{1} \arrow[r, "u_{1} \otimes \mathrm{id}"] & (B \otimes TB'_{1}) \otimes TC'_{1} \arrow[d, "a^{-1}"] \\ A \otimes T(A'_{2} \otimes C'_{2}) \arrow[d, "\mathrm{id} \otimes \check{T}^{-1}"'] & & & B \otimes (TB'_{1} \otimes TC'_{1}) \arrow[d, "\mathrm{id} \otimes \check{T}"] \\ A \otimes (TA'_{2} \otimes TC'_{2}) \arrow[d, "a"'] & & & B \otimes T(B'_{1} \otimes C'_{1}) \arrow[d, "\mathrm{id} \otimes Tv'"] \\ (A \otimes TA'_{2}) \otimes TC'_{2} \arrow[r, "u_{2} \otimes \mathrm{id}"'] & (B \otimes TB'_{2}) \otimes TC'_{2} \arrow[r, "a^{-1}"'] & B \otimes (TB'_{2} \otimes TC'_{2}) \arrow[r, "\mathrm{id} \otimes \check{T}^{-1}"'] & B \otimes T(B'_{2} \otimes C'_{2}) \end{tikzcd}

le dernier isomorphisme du bas se lit \mathrm{id} \otimes \check{T}^{-1} sur la page, là où l'on attendrait \mathrm{id} \otimes \check{T} ; le trait est trop court pour trancher

We denote by [A', B', u] the class which has (A', B', u) as representative.

3° Composition of arrows in P. Let [A', B', u] : A \to B, [B'', C'', v] : B \to C be arrows in P. We define [B'', C'', v] \circ [A', B', u] = [A' \otimes B'',\ B' \otimes C'',\ \omega] : A \longrightarrow C

where \omega is such that the following diagram commutes :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] A \otimes T(A' \otimes B'') \arrow[r, "\mathrm{id} \otimes \check{T}^{-1}"] \arrow[dddd, "\omega"'] & A \otimes (TA' \otimes TB'') \arrow[r, "a"] & (A \otimes TA') \otimes TB'' \arrow[r, "u \otimes \mathrm{id}"] & (B \otimes TB') \otimes TB'' \arrow[d, "a^{-1}"] \\ & & & B \otimes (TB' \otimes TB'') \arrow[d, "\mathrm{id} \otimes c"] \\ & & & B \otimes (TB'' \otimes TB') \arrow[d, "a"] \\ & & & (B \otimes TB'') \otimes TB' \arrow[d, "v \otimes \mathrm{id}"] \\ C \otimes T(B' \otimes C'') & C \otimes (TB' \otimes TC'') \arrow[l, "\mathrm{id} \otimes \check{T}"] & C \otimes (TC'' \otimes TB') \arrow[l, "\mathrm{id} \otimes c"] & (C \otimes TC'') \otimes TB' \arrow[l, "a^{-1}"] \end{tikzcd}

4° \otimes-Structure on P A \otimes E \ (\text{in } P) = A \otimes E \ (\text{in } A) [A', B', u] \otimes [E', F', v] = [A' \otimes E',\ B' \otimes F',\ W] where W is defined by the commutative diagram (1).

5° ACU constraint in P \bigl([A', A', a \otimes \mathrm{id}],\ [A', A', c \otimes \mathrm{id}],\ (1_{P} = TA'_{0},\ g_{A} = [A'_{0} \otimes A', A', t_{A}],\ d_{A} = [A'_{0} \otimes A', A', r_{A}])\bigr) where A'_{0} is a fixed object of A', A' an arbitrary object of A', g_{A} and d_{A} natural isomorphisms g_{A} : A \longrightarrow 1_{P} \otimes A, \qquad d_{A} : A \longrightarrow A \otimes 1_{P} with t_{A} and r_{A} defined by the commutative diagrams (2). la dernière lettre du crochet de d_{A} est rognée par la marge ; nous la restituons d'après le diagramme (2)

6° (D, \check{D}) is defined by DA = A, \qquad Du = [A', A', u \otimes \mathrm{id}_{TA'}], \qquad \check{D}_{A,B} = \mathrm{id}_{A \otimes B}

les deux diagrammes portent en marge les numéros (1) et (2) que le texte des pages précédentes appelle

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] (A \otimes TA') \otimes (E \otimes TE') \arrow[r, "u \otimes v"] \arrow[d, "a"'] & (B \otimes TB') \otimes (F \otimes TF') \arrow[d, "a"] \\ ((A \otimes TA') \otimes E) \otimes TE' \arrow[d, "a^{-1} \otimes \mathrm{id}"'] & ((B \otimes TB') \otimes F) \otimes TF' \arrow[d, "a^{-1} \otimes \mathrm{id}"] \\ (A \otimes (TA' \otimes E)) \otimes TE' \arrow[d, "(\mathrm{id} \otimes c) \otimes \mathrm{id}"'] & (B \otimes (TB' \otimes F)) \otimes TF' \arrow[d, "(\mathrm{id} \otimes c) \otimes \mathrm{id}"] \\ (A \otimes (E \otimes TA')) \otimes TE' \arrow[d, "a \otimes \mathrm{id}"'] & (B \otimes (F \otimes TB')) \otimes TF' \arrow[d, "a \otimes \mathrm{id}"] \\ ((A \otimes E) \otimes TA') \otimes TE' \arrow[d, "a^{-1}"'] & ((B \otimes F) \otimes TB') \otimes TF' \arrow[d, "a^{-1}"] \\ (A \otimes E) \otimes (TA' \otimes TE') \arrow[d, "\mathrm{id} \otimes \check{T}"'] & (B \otimes F) \otimes (TB' \otimes TF') \arrow[d, "\mathrm{id} \otimes \check{T}"] \\ (A \otimes E) \otimes T(A' \otimes E') \arrow[r, "W"'] & (B \otimes F) \otimes T(B' \otimes F') \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] A \otimes (TA'_{0} \otimes TA') \arrow[r, "\mathrm{id} \otimes \check{T}"] \arrow[d, "a"'] & A \otimes T(A'_{0} \otimes A') \arrow[d, "t_{A}"] \\ (A \otimes TA'_{0}) \otimes TA' \arrow[r, "c \otimes \mathrm{id}"'] & (TA'_{0} \otimes A) \otimes TA' \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] A \otimes (TA'_{0} \otimes TA') \arrow[r, "\mathrm{id} \otimes \check{T}"] \arrow[d, "a"'] & A \otimes T(A'_{0} \otimes A') \arrow[d, "r_{A}"] \\ (A \otimes TA'_{0}) \otimes TA' \arrow[r, no head] & (A \otimes TA'_{0}) \otimes TA' \end{tikzcd}

dans le second carré, le trait horizontal du bas est un double trait d'égalité sur la page

7° The \otimes-isomorphism \lambda : (D, \check{D}) \circ (T, \check{T}) \xrightarrow{\ \sim\ } (I_{P}, \check{I}_{P}) is defined by natural isomorphisms DTA' = TA' \xrightarrow{\ \lambda_{A'} = [A'_{0},\, A',\, c_{TA', TA'_{0}}]\ } I_{P} A' = TA'_{0}, \qquad A' \in \mathrm{Ob}\,A'

P is called the \otimes-ACU category of the \otimes-AC category A with respect to (A', (T, \check{T})). un point d'interrogation au crayon précède cette phrase, « ⊗-ACU category » y est cerclé, et « examples ? » est jeté à l'encre à la suite

For the problem of reversing objects, let us consider a \otimes-category

C with a ACU constraint (a, c, (1, g, d)), a \otimes-category C' with a ACU constraint (a', c', (1', g', d')), the base category of which is a groupoid, and a \otimes-ACU functor (F, \check{F}) : C' \to C. We try to find a \otimes-ACU category P and a \otimes-ACU functor (Q, \check{Q}) : C \to P having the following properties :

1° QFX' is invertible in P for all X' \in \mathrm{Ob}\,C'.

2° For all \otimes-ACU functor (Y, \check{Y}) from C to a \otimes-ACU category Q such that YFX' is invertible in Q for all X' \in \mathrm{Ob}\,C', there exists a \otimes-ACU functor (E, \check{E}), unique up to \otimes-isomorphism, from P to Q such that (Y, \check{Y}) \simeq (E, \check{E}) \circ (Q, \check{Q}). sur la page, les catégories sont soulignées : le foncteur (Q, \check{Q}) et la catégorie Q du 2° se distinguent ainsi. En marge, trois mots au crayon dont seuls « équivalence » et « catégories » se laissent lire

This problem is reduced by the first by putting A' = C', A = C \times C', TX' = (FX', X') and by remarking that if C, C', Q are \otimes-ACU categories, \mathrm{Hom}^{\otimes \mathrm{ACU}}(C, Q) the category of all \otimes-ACU functor from C to Q, then there is a canonical equivalence of categories \mathrm{Hom}^{\otimes \mathrm{ACU}}(C \times C', Q) \longrightarrow \mathrm{Hom}^{\otimes \mathrm{ACU}}(C, Q) \times \mathrm{Hom}^{\otimes \mathrm{ACU}}(C', Q). The \otimes-ACU category P thus defined is called the \otimes-category of fractions of the category C with respect to (C', (F, \check{F})). The \otimes-category of fractions of C with respect to (C^{is}, (\mathrm{id}_{C^{is}}, \mathrm{id})) is a Pic-category which is called the Pic-envelope of the category C, and denoted by \mathrm{Pic}(C).

For an application of the Pic-envelope, we take C = P(R), category of all finitely generated R-modules (R a ring) and P = \mathrm{Pic}(P(R)), then one obtains \Pi_{0}(P) \simeq K^{0}(R), \qquad \Pi_{1}(P) \simeq K^{1}(R) where K^{0}(R) is the Grothendieck group and K^{1}(R) the Whitehead group [1]. this Pic-envelope is not a strict Pic-category la note marginale, en anglais, est de la main de l'annotateur

The use of the \otimes-category of fractions of a \otimes-ACU category gives us the following result :

Let C be a \otimes-ACU category, Z an arbitrary object of C different from the unity object 1, S the functor from C to C defined by X \mapsto X \otimes Z. The suspension category of the \otimes-ACU category C defined by the object Z is the triple (P, i, p) which solves the universal problem for triples (Q, j, q), where Q is a category, j a functor from C to Q, and q an equivalence of categories from Q to Q, so that the following diagram commutes

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] C \arrow[r, "S"] \arrow[d, "j"'] & C \arrow[d, "j"] \\ Q \arrow[r, "q"'] & Q \end{tikzcd}

up to natural isomorphism. In the case where C is the homotopy category of pointed topological spaces \mathrm{Htp}_{*} together with the smash \wedge (the smash X \wedge Y of two spaces X and Y, with the base points x_{0} and y_{0}, is obtained from the product X \times Y by shrinking the subset X \vee Y = X \times \{y_{0}\} \cup \{x_{0}\} \times Y to a single point which is taken as the base point of X \wedge Y), and the usual ACU constraint ; and Z is the 1-sphere S^{1} hence S is the suspension functor, we get the well-known definition of the suspension category.

Let C' be the \otimes-stable subcategory of C generated by Z and P the \otimes-category of fractions of C with respect to (C', (F, \mathrm{id})) where F : C' \to C is the inclusion functor. One obtains a functor G : P \to P from the suspension category to the \otimes-category of fractions P. les deux P — la catégorie de suspension et la catégorie de fractions — s'écrivent de la même lettre sur la page ; la phrase les distingue If G is not faithful, that is the case of the homotopy category of pointed topological spaces \mathrm{Htp}_{*} together with the smash \wedge and the 1-sphere S^{1} ; then it is impossible to construct in P a law \otimes such that P together with this law is a \otimes-ACU category, iZ invertible in P, and i imbedded in a pair (i, \check{\imath}) which is a \otimes-ACU functor from C to P.

References

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