Cote n° 135 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Catégories [et Gr-catégories] : notes manuscrites (s.d.), copies de tapuscrit annoté (s.d.), copies de manuscrit annoté (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1974]
Édition de démonstration

Extensions d'une catégorie par un groupe, suite (pages 21 à 23)

21feuille sans pagination de l'auteur, couverte de calculs que séparent de longues diagonales ; elle prépare visiblement la note des pages 20, 22 et 23 ; nous transcrivons zone par zone, de haut en bas

\[ P_u \otimes P_v \otimes P_w \longrightarrow P_{uvw} \]

\(1 \times Q \otimes R \to S\), puis les quatre formes de l'accouplement : \[ P \otimes Q \to S \otimes R^{-1}, \qquad Q \otimes R \to P^{-1} \otimes S, \] \[ R \otimes S^{-1} \to Q^{-1} \otimes P^{-1}, \qquad S^{-1} \otimes P \to R^{-1} \otimes Q^{-1}. \] les quatre lignes sont réunies par une accolade ; les exposants \(^{-1}\) sont par endroits surchargés et restent douteux

La colonne simpliciale, chaque étage envoyé sur le suivant par un faisceau de barres verticales (les flèches de faces) : \[ \mathrm{Fl}_3\,F, \qquad M_{\Gamma_2} \to \mathrm{Fl}_2(\Gamma) = \mathrm{Fl}\,\Gamma \times_{\mathrm{Ob}} \mathrm{Fl}\,\Gamma, \qquad M_{\Gamma_1} \to \mathrm{Fl}_1(\Gamma) = \mathrm{Fl}\,F, \qquad M_{\Gamma_0} \to \mathrm{Fl}_0(\Gamma) = \mathrm{Ob}\,\Gamma \] l'auteur passe de \(F\) à \(\Gamma\) d'une ligne à l'autre ; le premier indice de la deuxième ligne, surchargé, se lit aussi bien \(M_{P_2}\) ; la base du produit fibré n'est pas écrite en toutes lettres \[ H^2(\Gamma, M), \qquad H^1(\Gamma, M), \qquad H^0(\Gamma, M), \] et, isolé plus bas, un \(H^2\).

L'échelle parallèle, à droite, avec les mêmes barres de faces entre étages — en marge des deux premiers étages : \(L_u \otimes L_v \otimes L_w \to L_{uvw}\) et \(L_u \otimes L_v \to L_{uv}\) :

\(P_I\) = ensemble des \ill triples \((L, M, \varphi)\) : \(L : I \to \mathrm{Ob}\,P\), soit \(L = (L_i)_{i \in I}\) ; \(M \in \mathrm{Ob}\,P\) ; \(\varphi : \bigotimes_{i \in I} L_i \to M\). sous le \(P_I\), un renvoi de deux mots que nous ne savons pas lire ; à droite, \(\Gamma_I \to \Pi_1(P)\)

\(L_u L_v \simeq L_w\) — le petit triangle en marge fixe les notations : deux flèches composables \(u\), \(v\), la composée \(w\), le côté \(u\) portant \(L_u\). \[ L_{.} \otimes L_{.} \longrightarrow M, \qquad L_{.} \otimes L_{.} \otimes M^{-1} \simeq\ \ill{}, \qquad L_{.} \otimes \cdots \otimes L_{.} \otimes S^{-1} \simeq 1. \] les indices des \(L\) de ces trois lignes sont réduits à des points ou surchargés

Les trois formes d'un accouplement : \[ P \otimes Q \to R, \qquad R \otimes Q^{-1} \to P, \qquad P^{-1} \otimes R \to Q. \] à droite, deux lignes griffonnées — on y lit un \(Q \otimes R\) — que nous ne savons pas raccorder

En bas à gauche, un tétraèdre esquissé : quatre sommets, les six arêtes portant \(u\), \(v\), \(w\), \(u'\), \(v'\), \(w'\), et le long de deux côtés \(L_u\) et \(L_v\). l'orientation de chaque arête ne se laisse pas fixer avec certitude ; nous ne dessinons pas ce que nous ne savons pas lire

Enfin les relations de cohérence, sur deux colonnes : \[ L_u L_v \sim L_{uv}, \qquad L_{uv} L_w \sim L_{uvw}, \qquad L_u L_v L_w \sim L_{uvw} ; \] \[ L_v L_w \sim L_{vw}, \qquad L_u L_{vw} \sim L_{uvw}, \qquad L_u L_v L_w \sim L_{uvw}. \] il s'agit visiblement des deux parenthésages du produit triple ; les indices exacts, serrés et par endroits surchargés, restent douteux

22page 2 de la main de l'auteur : la note commencée page 20 se poursuit, l'axiome c) des 2-extensions s'achevant sur son diagramme

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
(P_u \otimes P_v) \otimes P_w \arrow[r, "\varphi_{u,v} \otimes \mathrm{id}"]
\arrow[d, "\mathrm{can}"'] & P_{uv} \otimes P_w \arrow[dd, "\varphi_{uv,w}"] \\
P_u \otimes (P_v \otimes P_w) \arrow[d, "\mathrm{id} \otimes \varphi_{v,w}"'] & \\
P_u \otimes P_{vw} \arrow[r, "\varphi_{u,vw}"'] & P_{uvw}
\end{tikzcd}

entre les deux composés, la 2-flèche \(\alpha_{u,v,w}\)

d) Un axiome de compatibilité pour \ill quatre flèches composables. On veut en fait que tous les isomorphismes entre foncteurs de la forme \[ \bigl(\cdots((P_{u_1} \otimes P_{u_2}) \otimes P_{u_3}) \cdots\bigr) \longrightarrow P_{u_1 u_2 \cdots u_n}, \] déduits des \(\varphi_{u,v}\) et des isom. d'associativité, forment un système transitif. la phrase est chargée de ratures ; en marge gauche, une colonne biffée d'essais de parenthésages — \(((P_t \otimes P_u) \otimes P_v) \otimes P_w\), puis \((P_t \otimes (P_u \otimes P_v)) \otimes P_w\), chaque flèche marquée « can » — et un long trait ondulé menant à \(P_{u_1 u_2 \cdots u_n}\) et à \(P_t \otimes (P_u \otimes P_v \otimes P_w)\)

NB — Au lieu de \(M\), on peut aussi se donner une 2-Gr-cat.\ de Picard \(\widetilde{P}\) (p.ex. celle des \(M\)-gerbes)] : \[ \mathrm{Fl}_1(\Gamma) \longrightarrow \pi_0(\widetilde{P}), \qquad \mathrm{Fl}_2(\Gamma) \longrightarrow \ill{} \] un grand crochet droit court le long du NB et des deux formules ; la parenthèse qui suit \(\pi_0(\widetilde{P})\) ne se laisse pas lire

23page 3 de la main de l'auteur ; les numéros 1) à 3) sont cerclés sur la page

\(\Gamma\) cat., \(P\) Gr-cat. \[ \mathrm{Fl}(\Gamma) \xrightarrow{\ \alpha\ } \pi_0(P) \longrightarrow \mathrm{Aut}(\pi_1(P)), \] la composée étant notée \(\overline{\alpha}\). On va définir la 2-catégorie des \(\alpha\)-extensions de \(\Gamma\) par \(P\) :

1) 0-objets : les ext. de \(\Gamma\) par \(P\) subordonnées à \(\alpha\) ;

2) 1-objets : \(\{P_u, \varphi_{u,v}\} \to \{P'_u, \varphi'_{u,v}\}\) sont les systèmes d'hom \[ \lambda(u) : P_u \longrightarrow P'_u \] donnant lieu à diagrammes commutatifs avec les […] \(\Pi_{u,v,w}\) et \(\Pi'_{u,v,w}\) :

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\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=normal]
P_u \otimes P_v \arrow[r, "\varphi_{u,v}"]
\arrow[d, "\lambda(u) \otimes \lambda(v)"'] & P_{uv} \arrow[d, "\lambda(uv)"] \\
P'_u \otimes P'_v \arrow[r, "\varphi'_{u,v}"'] & P'_{uv}
\end{tikzcd}

NB — Si on a un tel \(\{\lambda(u)\}\), les autres \(\mu'(u)\) \(\{\mu(u)\}\) sont de la forme \(\lambda(u) \otimes f(u)\), \(f : \mathrm{Fl}\,\Gamma \to \pi_1(P)\), avec \[ f(uv) = f(u).(\alpha(u).f(v)), \] i.e. \(f\) définit une 1-cochaîne sur \(\Gamma\) à valeurs dans \((\pi_1(P), \overline{\alpha})\). Ainsi l'ens. des hom de \(\{P_u, \varphi_{u,v}\}\) en \(\{P'_u, \varphi'_{u,v}\}\) est un \ill pseudo-torseur sous \(Z^1(\Gamma, (\pi_1(P), \overline{\alpha}))\).

3) 2-objets : entre \((\lambda_u), (\mu_u) : \{P_u, \varphi_{u,v}\} \rightrightarrows \{P'_u, \varphi'_{u,v}\}\). Donc \(\mu_u = \lambda_u \otimes f(u)\), \(f(u) \in Z^1(\Gamma, \pi_1(P))\). On pose que l'ens. des flèches de \(\lambda\) en \(\mu\) est l'ens. des \(m \in Z^0(\Gamma, \pi_1(P))\) tels que \(f = \delta m\), i.e. \[ \mu_u = \lambda_u \otimes (m(y) - \alpha(u).m(x)) \qquad (?) \] le point d'interrogation final est de l'auteur ; le sous-indice du \(\mu\) de gauche, surchargé, n'est plus lisible ; en marge, le croquis \(x \xrightarrow{\ u\ } y\) fixe les notations

Un programme : \(n\)-catégories et \(n\)-champs (pages 25 à 29)

25les pages 25 à 29 forment une seule liste numérotée de 1 à 11 — un programme d'étude, d'une écriture serrée et très abrégée

1. \(n\)-catégories (strictes — pas strictes) et \(n\)-foncteurs (stricts ou pas). Il y a des chances que les « pas strictes » se ramènent aux strictes. Les \(n\)-catégories forment une \((n{+}1)\)-catégorie, les Hom y sont des \(n\)-catégories ; notion de \(i\)-fidélité (\(0 \leq i \leq n+1\)) — la \((n{+}1)\)-fidélité s'appelle \(n\)-équivalence. Relations entre \(n\)-catégories et […], catégories réduites (dans les 2 sens). Une Gr-catégorie « est » une 2-catégorie ayant un seul 0-objet.

2. Exemples liés aux structures semi-simpliciales.

Espaces topologiques, groupes top., anneaux top. etc. Ensembles (\(\tfrac12\)-)simpliciaux \ill (de Kan ?), groupes, anneaux, en connexion étroite itérés. Abstractisation : catégorie \(\tfrac12\)-simpliciale.

\(A\) catégorie, \(C\) \ill catégorie (p.ex. ens. finis tot.\ ordonnés non vides ...) : la donnée d'un foncteur \(\mathrm{Hom}. : A^{\circ} \times A \to \hat{C}\) \((A,B) \mapsto \mathrm{Hom}.(A,B)\) équivaut à celle d'un foncteur \(A^{\circ} \times A \times C^{\circ} \to\) Ens, ou encore \(C^{\circ} \times A \xrightarrow{\mathrm{Hom}} \hat{A}\), \((\sigma, B) \mapsto \mathrm{Hom}(\sigma, B)\), ou d'un foncteur \(\sigma \mapsto \varphi_{\sigma}\) \(C^{\circ} \to \mathrm{Hom}(A, \hat{A})\ [\cong \mathrm{Hom}_{!}(\hat{A}, \hat{A})]\) (le \(!\) indique les foncteurs qui commutent aux \(\varinjlim\) quelc.), soit encore un foncteur \(\hat{C}^{\circ} \to \mathrm{Hom}(A, \hat{A}) \simeq \mathrm{Hom}_{!}(\hat{A}, \hat{A})\) commutant aux \(\varinjlim\) quelc., qu'on note encore \(\sigma \mapsto h_{\sigma}\).

Si \(C\) a objet final \(e\) (exemple dans le cas précisé) alors la donnée d'un isom bifonctoriel \[ (\alpha) \qquad \mathrm{Hom}.(A,B)(e) \simeq \mathrm{Hom}(A,B) \] équivaut à la donnée d'un isom. \[ (\beta) \qquad \varphi_{e} = \mathrm{id}_{\hat{A}}. \]

La donnée d'accouplements de bifoncteurs \[ (a) \qquad \mathrm{Hom}.(A,B) \times \mathrm{Hom}.(B,C) \longrightarrow \mathrm{Hom}.(A,C) \] équivaut sauf erreur à celle d'homomorphismes bifonctoriels \[ (b) \qquad \varphi_{K \times L} \Longleftarrow \varphi_{K} \circ \varphi_{L} \] (ou encore, d'hom fonctoriels \((k)\ \varphi_{K} \longleftarrow \varphi_{M} \circ \varphi_{K}\)), et la condition d'un isom d'associativité pour les accouplements entre les Hom. équivaut sauf erreur à celle d'une \illcompatibilité d'associativité pour les données ci-dessus. Compatibilités \((b')\) quand \(\varphi\) est-il un isomorphisme ? \(\mathrm{Hom}.(A, \mathrm{Hom}(L,B)) \to \mathrm{Hom}(L, \mathrm{Hom}.(A,B))\) est un isom.

26entre données \(\alpha\) et \(a)\), resp. \(\beta\) et \(b)\) (ou \(c)\)).

Dans le cas \(C\) = ens. tot. ordonnés \(\neq \emptyset\), i.e. \(\hat{C}\) = ens. \(\tfrac12\)-simpl., on a dans les \(\mathrm{Hom}.(A,B)\) des notions d'homotopie. Cela permet d'associer à \(A\) des \(n\)-catégories pour tout \(n\) (construction facile si les \(\mathrm{Hom}.(A,B)\) sont des ens. \(\tfrac12\)-simpliciaux de Kan ...).

Hom Définition de \(\mathrm{Isom}.(A,B)\) et \(\mathrm{Aut}.(A)\) (le premier un groupe de \(\hat{C}\), le deuxième un pseudo-torseur sous celui-ci). l'ordre attendu est l'inverse — le groupe serait \(\mathrm{Aut}.(A)\) et le pseudo-torseur \(\mathrm{Isom}.(A,B)\) ; la page porte ce qu'elle porte Notions d'homotopie de morphismes, d'isotopie, d'isomorphismes. Foncteurs \(\tfrac12\)-simpliciaux des catégories à structure semi-simpliciales (groupoïdes à structure semi-simpliciale etc....). « à structure » est un ajout interlinéaire On peut dire quand un tel foncteur est une [\(n\)-]équivalence d'homotopie (s'il induit sur les Hom. des [\(n\)-]équivalences d'homotopie) ; sauf erreur, cela signifie aussi que le \(n\)-foncteur entre les \(n\)-catégories associées est une \(n\)-équivalence. Dold-Puppe. Cas des complexes dans cat. abéliennes : lien avec ce qui précède. ces derniers mots, en interligne serré, restent pour partie conjecturaux

2'. Topos de Quillen et interprétation des \(n\)-catégories strictes comme structures \(\tfrac12\)-simpliciales particulières.

3. \(n\)-catégories fibrées sur une catégorie, \(n\)-champs sur un site ou topos. Ils forment une \((n{+}1)\)-catégorie. Il faudrait voir :

  1. il y a une \((n{+}1)\)-équivalence entre \(n\)-champs sur un site, et \(n\)-champs sur le topos associé ;
  2. toute \(n\)-catégorie fibrée sur un site définit un \(n\)-champs enveloppant ;
  3. existence d'images inverses de \(n\)-champs (par morphismes (de sites ou) de topos). [NB — La notion d'image directe « est claire » ; celle d'images inverses s'en déduit par formule d'adjonction \[ \mathrm{Hom}(A, f_{*}(B)) \simeq \mathrm{Hom}(f^{*}(A), B) \] {[}équivalence de \(n\)-catégories....].

274. \ill \(n\)-champs de profondeur sur \(Y\) \(\geq i\) (\(0 \leq i \leq n+2\)), \(Y\) étant un fermé de \(X\).

5. Formules de chgt de base d'un top. ordinaire à ou une topologie étale... (Il y en a au moins trois \ill types principaux....) \(n\)-champs ind-finis constructibles etc....

6. \ill Théorèmes du type de Lefschetz en topologie étale (schémas) ou dans l'analytique-complexe.

7. \(n\)-champs localement constants.

Un morphisme de topos \(f : X \to Y\) est une équivalence d'homotopie ssi pour tout \(n\)-champ loc. ct. \(A\) sur \(Y\), il induit une équivalence \[ \Gamma(Y, A) \simeq \Gamma(X, f^{*}(A)). \] le signe \(\simeq\) porte un exposant entre parenthèses, surchargé — \((n)\) ? On peut donner une version avec les types d'homotopie « complétés » pour une catégorie de groupes : le Artin-Mazur ?

[Cela suggère qu'un « type d'homotopie » de topos est reconnu par la connaissance, pour tout \(n\), de la \((n{+}1)\)-catégorie des \(n\)-champs loc. constants dessus, avec les foncteurs de passage des \illchamps aux \((n{-}1)\)-champs sous-jacents et inversement. Dans le cadre d'Artin-Mazur, il faudrait des restrictions de constructibilité convenables sur les \(n\)-champs avec lesquels on travaille...]

8. Structures algébriques sur des \(n\)-catégories et \(n\)-champs : Gr-structures, structure de Picard, de Picard-stricte, torseurs etc. Stabilité par images directes et inverses de champs.

9. La \((n{+}1)\)-catégorie des \(n\)-champs de Picard stricts sur \(X\) est \((n{+}1)\)-équivalente à la sous-catégorie pleine de

28la catégorie dérivée \(D(\mathrm{Ab}(X))\) formée des complexes qui sont tels que \(\underline{H}^{i}(K^{\cdot}) = 0\) si \(i \notin [0,n]\). Les opérations, images inverses et images directes \ill sur les \(n\)-champs de Picard stricts correspondant aux opérations analogues dans les catégories dérivées (sauf qu'il faut tronquer, dans le cas de l'image directe). Les Hom de cat. de Picard strictes sur \([0,n]\) correspondent aux \(R\mathrm{Hom}\) tronqués dans les catégories dérivées.

NB — Il y aurait lieu d'interpréter de façon géométrique les objets tronqués de \(D(\mathrm{Mod}(O))\), \(O\) un Anneau sur \(X\), en termes de cat.\ de Picard strictes où \(O\) opère, et d'interpréter géométriquement les opérations \(Rf_{*}\), et \(Lf^{*}\) et \(R\mathrm{Hom}\). Interprétation des \(\otimes^{(L)}\) en termes d'accouplements « universels » des cat. de Picard ? le \(\otimes\) porte le \((L)\) en exposant, et au-dessous un indice biffé

10. Étude des \(n\)-Gr-champs. J'ai regardé le cas \(n = 1\), \(X\) quelconque (cf lettre à Deligne). Mais si \(X\) est le topos ponctuel je ne sais quoi dire pour le cas \(n = 2\) p.ex. Il faudrait examiner le cas de la \(n\)-catégorie associée à : un groupe \(\tfrac12\)-simplicial (p.ex. via un groupe topologique), cf. §2, étant la \(n\)-catégorie des homomorphismes de \ill l'objet \(\tfrac12\)-simplicial unité dans ledit groupe \(\tfrac12\)-simplicial (pas strict !).

11. \(n\)-catégoriechamp de Picard enveloppant d'un \((n)\)-\(\otimes\)-champ ACU. Ses invariants \(\pi_{i}\) sont les faisceaux \(K_{i}(A)\).

29Question — Que peut-on dire de la structure des \(n\)-champs de Picard pas stricts ? On voit pour \(n = 1\) (cf. correspondance avec Breen et Deligne), mais j'ignore pour \(n \geq 2\) ....

Tours de lacets et suites de fibrations, I (page 31)

31feuille de calcul sans un mot de prose : des treillis de suites de fibrations, à sept lettres — \(S\), \(Y\), \(G\), \(F\), \(X\), \(Z\), \(e\) — que nous transcrivons par blocs. Le motif de quatre rangées ci-dessous se répète sur la page une dizaine de colonnes durant (les exposants de \(\Omega\) croissant vers la droite jusqu'à \(\Omega^{5}\)), puis une seconde fois en entier, puis une troisième fois sur trois rangées s'achevant sur une colonne \(e\) ; un cadre tracé à main levée isole au centre un exemplaire du motif ; quelques croisements portent un carré plein, des doubles barres identifient verticalement certaines cases voisines, et un pâté d'encre biffe un essai sous le deuxième bloc

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
G \arrow[d] & \Omega S \arrow[l] \arrow[d] & \Omega Y \arrow[l] \arrow[d] &
\Omega G \arrow[l] \arrow[d] & \Omega^{2} S \arrow[l] \arrow[d] &
\Omega^{2} Y \arrow[l] \arrow[d] & \Omega^{2} G \arrow[l] \arrow[d] \\
e \arrow[d] & F \arrow[l] \arrow[d] & F \arrow[l, Rightarrow] \arrow[d] &
e \arrow[l] \arrow[d] & \Omega F \arrow[l] \arrow[d] &
\Omega F \arrow[l, Rightarrow] \arrow[d] & e \arrow[l] \arrow[d] \\
X \arrow[d] & Z \arrow[l] \arrow[d] & G \arrow[l] \arrow[d] &
\Omega X \arrow[l] \arrow[d] & \Omega Z \arrow[l] \arrow[d] &
\Omega G \arrow[l] \arrow[d] & \Omega^{2} X \arrow[l] \arrow[d] \\
S & Y \arrow[l] & G \arrow[l] & \Omega S \arrow[l] & \Omega Y \arrow[l] &
\Omega G \arrow[l] & \Omega^{2} S \arrow[l]
\end{tikzcd}

en fin de rangées, plusieurs exposants surchargés restent douteux

Au bas de la feuille, des essais autour d'un carré \(X_{ij}\) : \[ X_{00}, \qquad X_{20} \times X_{02} \longleftarrow Q \longleftarrow X_{22}, \] le \(X_{02}\) du produit est surchargé d'une rature \[ Q \longleftarrow P \longleftarrow P \times \Omega Q \longleftarrow \Omega Q \longleftarrow \Omega P \longleftarrow \Omega P \times \Omega^{2} Q, \]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
e \arrow[d] & X_{12} \arrow[l] \arrow[d] & \\
e \arrow[d] & X_{10} \arrow[l] \arrow[d] & \bullet \arrow[l] \arrow[d] \\
X_{00} & X_{10} \arrow[l] & X_{11} \arrow[l]
\end{tikzcd}

la case marquée \(\bullet\) est entièrement surchargée — un \(X_{12}\) récrit sur autre chose ? — et le \(X_{10}\) de la dernière rangée se lit aussi bien \(X_{01}\) \[ X_{20} \times X_{11} \times X_{02} \longleftarrow Q \longrightarrow\ ?, \qquad X_{00} \longleftarrow X_{11} \longleftarrow Q. \] le point d'interrogation est de l'auteur

Enfin trois lignes reliées verticalement par des doubles barres sous les \(Q\) : \[ X_{20} \longleftarrow Q \longleftarrow \uncertain{X_{12}} \longleftarrow \Omega X_{20}, \] \[ X_{20} \times X_{02} \longleftarrow Q \longleftarrow X_{22} \longleftarrow \uncertain{\Omega X_{10} \times \Omega X_{02}}, \] \[ X_{02} \longleftarrow Q \longleftarrow X_{21} \longleftarrow \ill{} \] la fin de la dernière ligne est griffonnée puis biffée

Catégorie de Picard-type non stricte (page 32)

32Catégorie de Picard-type non stricte.

\(A\) anneau commutatif (avec 1), \ill \(2 \cdot 1_{A} \neq 0\).

\(C\) : \(\mathrm{Ob}\,C\) = Modules gradués mod 2 sur \(A\), munis d'une base formée d'un élément, mais donnée seulement au signe près (soit : deux éléments, échangés par \(x \mapsto -x\), formant des bases) ; « mod 2 » est écrit en interligne ; la parenthèse, très abrégée sur la page, reste en partie conjecturale

\(\mathrm{Hom}(L,M)\) = ensemble des homomorphismes gradués \(\varphi : L \to M\) tels que \(\varphi(e_{L}) = e_{M}\) ;

\(\otimes\) = produit tensoriel gradué, avec \[ e_{(L \otimes M)} = \{\, x \otimes y \mid x \in e_{L},\ y \in e_{M} \,\} ; \]

donnée d'associativité : comme d'habitude (compatible d'après la structure des bases) ;

donnée de commutativité : règle de Koszul.

Description alternative : \ill \(C = (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}) \times C_{0}\), le premier facteur catégorie discrète, le second la catégorie des torseurs sous \(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\). une accolade réunit le produit sous la légende « torseurs gradués mod 2 sous \(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\) »

tout le bas de la page est barré de longues diagonales ; l'intitulé « Torseurs gradués », souligné, est lui-même rayé ; nous transcrivons le passage tel quel

Torseurs gradués. — \(F\) faisceau abélien sur topos \(S\) (écrit additivement) ; \(\Gamma\) groupe discret ; \(\Gamma \times \Gamma \to H^{0}(S,F)\) application […].

\(C = H^{0}(S, \Gamma) \times \mathrm{Tors}(F)\) — le premier facteur catégorie discrète d'ens. sous-jacent \(H^{0}(S, \Gamma)\), le second la catégorie des torseurs sous \(F\) ; \(C \times C \xrightarrow{\ \otimes\ } C\), \((\alpha, P) \otimes (\beta, Q) = (\alpha\beta,\ P \otimes Q)\) ; associativité : \(((\alpha,P) \otimes (\beta,Q)) \otimes (\gamma,R) \simeq (\alpha,P) \otimes ((\beta,Q) \otimes (\gamma,R))\), soit \((\alpha\beta\gamma,\ (P \otimes Q) \otimes R)\) et \((\alpha\beta\gamma,\ P \otimes (Q \otimes R))\) — provient de l'associativité de \(\otimes\) dans \(\mathrm{Tors}(F)\). l'argument du second \(H^{0}\) est abrégé sur la page — \(\Gamma_{S}\) ? — et plusieurs lettres grecques de la ligne d'associativité sont surchargées

Tours de lacets et suites de fibrations, II (pages 35 et 37)

35grande feuille pliée, couverte de diagrammes. Nous transcrivons dans l'ordre : l'escalier de suites de fibrations attaché à des flèches composables, les conditions équivalentes notées en clair au centre, les deux remarques cerclées du bas, et les formules sur les Hom de foncteurs ; une vingtaine de petits carrés d'essai, trop surchargés, restent hors d'atteinte

L'escalier, pour des flèches composables \(A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C\) (puis \(h\), avec un quatrième objet \(D\)) et leurs fibres \(\Gamma\) — chaque suite se déduisant de sa voisine en appliquant \(\Omega\), et l'escalier descendant jusqu'aux flèches elles-mêmes ; en voici les marches lisibles : \[ \Omega\Gamma_{f} \to \Omega\Gamma_{gf} \to \Omega A \to e, \qquad \Omega\Gamma_{g} \to \Omega D \to \Gamma(f) \to e, \] \[ \Omega C \to \Gamma(gf) \to \Gamma(g) \to e, \qquad \Omega D \to \Gamma(hgf) \to \Gamma(hg) \to \Gamma(h) \to e, \] plusieurs indices composés — \(gf\), \(hg\), \(hgf\) — sont serrés au point d'être conjecturaux ; l'escalier se prolonge vers le haut en \(\Omega^{2}\) et \(\Omega^{3}\) et, symétriquement, les mêmes suites en \(\Sigma\) : \[ e \leftarrow \Sigma\Gamma_{f} \leftarrow \Sigma\Gamma_{gf} \leftarrow \Sigma\Gamma_{hgf} \to \Sigma A, \qquad \Sigma\Gamma_{g} \to \Sigma\Gamma_{hg} \to \Sigma B \to \Sigma^{2}\Gamma_{f}, \] \[ \Sigma\Gamma_{h} \to \Sigma C \to \Sigma^{2}\Gamma_{gf}, \qquad \Sigma D. \]

Au centre gauche, le carré d'un produit fibré \(Z\) au-dessus de \(S\), avec ses projections \(p\), \(q\), la flèche \(r\) et les fibres \(\Gamma_{f}\), \(\Gamma_{g}\), \(\Gamma_{p}\), prolongé en \(\Omega X\), \(\Omega S\) ; puis, en clair :

Conditions équivalentes à « \(S\) connexe » (l'équiv. de a) et b) […]) :

  1. \(\Gamma_{g} \to \Gamma_{f}\) isom ;
  2. \(\Gamma_{p} \to \Gamma_{g}\) isom ;
  3. \(\forall\, T\), \(p' : T \to X\), \(q' : T \to Y\) avec \(f p' = g q'\), \(\exists\, u : T \to Z\) avec \(p' = pu\), \(q' = qu\) (NB — \(u\) n'est pas nécessairement unique […]) ;
  4. \(\Gamma_{r} \rightrightarrows \Gamma_{f}, \Gamma_{g}\) font de \(\Gamma_{r}\) un produit fibré de \(\Gamma_{f}\) et \(\Gamma_{g}\).

les étiquettes de la liste sont sur la page a), b), [a)], c) — le troisième item est encadré de crochets ; la fin du NB, trois lignes raturées et récrites, ne se laisse pas suivre

En bas, deux remarques cerclées :

Et les formules sur les Hom de foncteurs : \(D \xrightarrow{\ \varphi\ } \hat{C}\) avec lim finies […], \(\mathrm{Hom}\uncertain{{}_{sex}}(D, \hat{C})\) : \[ \mathrm{Hom}(\varphi, \psi) \in \hat{C}, \qquad \mathrm{Hom}(\varphi, \psi)(S) = \mathrm{Hom}(\uncertain{i_{S} \circ \varphi},\ \uncertain{i_{S} \circ \psi}). \] NB — Si \(C\) est une \(U\)-cat, et si \(\varphi\), \(\psi\) prennent leurs valeurs dans \(\hat{C}\), alors \(\mathrm{Hom}(\varphi, \psi) \in \hat{C}\).

NB — \(\mathrm{Hom}(E, \mathrm{Hom}(\varphi, \psi)) = \mathrm{Hom}(\uncertain{i_{E} \circ \varphi},\ \uncertain{i_{E} \circ \psi})\).

37même veine que la page 31, d'une plume plus posée : deux treillis. Dans le premier, un cadre à main levée isole le bloc des colonnes en \(\Omega\) ; les flèches verticales de la colonne de droite sont mises entre parenthèses sur la page. Entre les deux treillis, un bloc entièrement griffonné — on y devine les mêmes lettres — et, aux marges, des fragments que nous transcrivons à la suite sans pouvoir les raccorder

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
S \arrow[d] & X' \arrow[l] \arrow[d] & F' \arrow[l] \arrow[d] &
\Omega S \arrow[l] \arrow[d] & \Omega X' \arrow[l] \arrow[d] &
\Omega F' \arrow[l] \arrow[d] & \Omega^{2} S \arrow[l] \arrow[d] \\
F \arrow[d] & G \arrow[l] \arrow[d] & \Phi \arrow[l] \arrow[d] &
\Omega F \arrow[l] \arrow[d] & \Omega G \arrow[l] \arrow[d] &
\Omega\Phi \arrow[l] \arrow[d] & \phantom{e} \\
X \arrow[d] & Z \arrow[l] \arrow[d] & G' \arrow[l] \arrow[d] &
\Omega X \arrow[l] \arrow[d] & \Omega Z \arrow[l] \arrow[d] &
\Omega G' \arrow[l] & \phantom{e} \\
S & X' \arrow[l] & F' \arrow[l] & \Omega S \arrow[l] &
\Omega X' \arrow[l] & \Omega F' \arrow[l] & \phantom{e}
\end{tikzcd}

au-dessus du bloc, deux têtes de colonnes \(\Omega X\) et \(\Omega Z\) descendent sur \(\Omega S\) et \(\Omega X'\) ; les rangées se prolongent en pointillé vers la droite

Fragments en marge : \(\Phi \to Z \to P \leftarrow F'\) (le \(P\) surchargé) ; \(F \times F' \leftarrow \ill{}\) ; \(F \times F' \to P \leftarrow Z\), \(P \to s\).

Le treillis en escalier des \(X_{ij}\) :

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X_{20} \arrow[d] & & & & & & & & & \\
X_{10} \arrow[d] & & & & & & & & & \\
X_{00} & X_{01} \arrow[l] & X_{02} \arrow[l] &
\Omega X_{00} \arrow[l] \arrow[d] & \Omega X_{01} \arrow[l] \arrow[d] &
\Omega X_{02} \arrow[l] \arrow[d] & \Omega^{2} X_{00} \arrow[l] \arrow[d] &
& & \\
& & & X_{20} \arrow[d] & X_{21} \arrow[l] \arrow[d] &
X_{22} \arrow[l] \arrow[d] & \Omega X_{20} \arrow[l] \arrow[d] & & & \\
& & & X_{10} \arrow[d] & X_{11} \arrow[l] \arrow[d] &
X_{12} \arrow[l] \arrow[d] & \Omega X_{10} \arrow[l] \arrow[d] & & & \\
& & & X_{00} & X_{01} \arrow[l] & X_{02} \arrow[l] &
\Omega X_{00} \arrow[l] \arrow[d] & & & \\
& & & & & & X_{20} \arrow[d] & & & \\
& & & & & & X_{10} \arrow[d] & & & \\
& & & & & & X_{00} & X_{01} \arrow[l] & X_{02} \arrow[l] &
\Omega X_{00} \arrow[l]
\end{tikzcd}

deux petits arcs coiffent le \(\Omega X_{00}\) et le \(\Omega X_{02}\) de la première rangée ; l'escalier dit que les suites de fibrations des lignes et des colonnes d'un carré \(X_{ij}\) s'engrènent, chaque tour de trois rangées reprenant la précédente sous \(\Omega\)

« Esquisse d'une théorie des Gr-catégories », tapuscrit annoté (pages 39 et 40)

les pages 39 et 40 sont une copie, corrigée à l'encre, d'un tapuscrit ; nous transcrivons le texte tel que corrigé, chaque intervention manuscrite étant signalée ; la main des corrections n'est pas identifiée par la page. Le texte se poursuit au-delà de la page 40, dans le lot 3

39Esquisse d'une théorie des Gr-Catégories

par Mme Hoang Xuan Sinh

(Note présentée par M. Henri Cartan)

Nous donnons un résumé de quelques résultats sur les (Gr)-catégories, faisant l'objet d'un travail détaillé que l'auteur compte présenter prochainement comme thèse de doctorat [ ]. les crochets des renvois bibliographiques sont restés vides à la frappe, ici et plus bas

1. Structure des (Gr)-catégories.

Notre terminologie est celle de Saavedra [ ]. Nous nous intéressons à des catégories \(C\) munies d'une opération binaire \((X,Y) \mapsto X \otimes Y\) (foncteur de \(C \times C\) dans \(C\)) associative et unitaire à isomorphisme donné près (satisfaisant des conditions de compatibilité explicitées dans loc. cit.), appelées aussi \(\otimes\)-catégories AU (associatives-unitaires). On dit qu'une telle catégorie est une (Gr)-catégorie si c'est un groupoïde, et si tout objet \(X\) de \(C\) est « inversible », i.e. admet un objet « inverse » \(Y = X^{-1}\) (satisfaisant \(X \otimes Y \simeq Y \otimes X \simeq 1_{C}\), où \(1_{C}\) désigne l'objet unité de \(C\)). Les exemples abondent : « c'est un groupoïde, et si » est un ajout à l'encre au-dessus de la ligne

Exemples 1. \(X\) étant un espace topologique ponctué par \(x \in X\), on prend pour \(C\) la catégorie des lacets de \(X\) en \(x\), avec comme morphismes les classes d'homotopie d'homotopies entre lacets, comme opération \(\otimes\) la composition des lacets (qui n'est pas associative, mais associative « à homotopie près »). « ponctué par \(x \in X\) » remplace, à l'encre, une virgule de la frappe Cet exemple est un cas particulier du suivant, en prenant \(E = \Omega^{1}(X,x)\) (espace des lacets).

Variante : \(E\) est un espace de Hopf associatif (ou simplement homotopiquement associatif en un sens suffisamment fort), \(C\) la catégorie dont les objets sont les points de \(E\), les morphismes les classes d'homotopies de chemins entre points de \(E\), la loi \(\otimes\) étant induite par la loi de composition de \(E\). (NB Lorsque \(E\) admet un espace classifiant \(X\), on retrouve essentiellement l'exemple précédent). quelques mots tapés à la suite de la parenthèse sont raturés à l'encre, illisibles

Exemple 2. Si \(F\) est un faisceau abélien sur un espace topologique (ou plus généralement sur un topos), la catégorie \(C\) des torseurs sous \(F\), munie de la composition de Baer, est une (Gr)-catégorie (et même une catégorie de Picard stricte, cf. plus bas). On peut considérer la catégorie \(C\) des Modules inversibles sur un espace (ou topos) localement annelé \((X, O_{X})\) comme le cas particulier correspondant au cas \(F = O_{X}^{*}\). « abélien » et « localement » sont des ajouts à l'encre ; le mot « Exemple » est rayé ici et au n° 3, ne laissant que le numéro

Exemple 3. Si \(A\) est une catégorie, la sous-catégorie pleine \(C\) de \(\mathrm{Hom}(A,A)\), formée des équivalences de \(A\) avec elle-même, munie de l'opération de composition des foncteurs, est une (Gr)-catégorie. Au lieu de prendre pour \(A\) une catégorie, on peut plus généralement prendre pour \(A\) un objet d'une 2-catégorie quelconque. Si p.ex. \(F\) est un faisceau en groupes (pas nécessairement commutatifs) sur un espace topologique (ou un topos \(X\)), « \(C\) » et « plus généralement » sont des ajouts à l'encre ; le « \(X\) » final est barré d'une grande croix

40prenant pour \(A\) le « champ » sur \(X\) formé des \(F\)-torseurs à droite, la (Gr)-catégorie des auto-équivalences de \(A\) avec lui-même s'interprète comme la catégorie des « bitorseurs » sous \(F\), i.e. des faisceaux \(P\) sur lesquels \(F\) opère à la fois à droite et à gauche, ces opérations commutant et chacune d'elles faisant de \(P\) un torseur (à droite ou à gauche) sous \(F\), — la composition \(\otimes\) étant la composition de Baer évidente. Lorsque \(F\) est encore de la forme \(O_{X}^{*}\) (\(O_{X}\) étant un faisceau d'anneaux, qu'on ne suppose plus nécessairement commutatif) ces bitorseurs s'interprètent aussi en termes de bi-Modules « inversibles » sous \(O_{X}\). la frappe porte « la "champ" » ; le \(P\) après « faisceaux » est un ajout à l'encre

Structure. Soit \(C\) une (Gr)-catégorie, on lui associe

a) le groupe \(\pi_{0}(C)\) des classes d'isomorphisme d'objets de \(C\),

b) le groupe \(\pi_{1}(C)\) des automorphismes de \(1_{C}\) (objet unité de \(C\))

c) une action de \(\pi_{0}(C)\) sur \(\pi_{1}(C)\), en associant à tout objet \(X\) de \(C\) l'automorphisme \(\rho(X)\) de \(1_{C}\) déduit des deux isomorphismes \[ \mathrm{Aut}(1_{C}) \rightrightarrows \mathrm{Aut}(X) \] donnés par \(u \mapsto u \otimes \mathrm{id}_{X}\) et \(u \mapsto \mathrm{id}_{X} \otimes u\). On prouve que \(\pi_{1}(C)\) est un groupe commutatif et que l'on obtient bien par c) une structure de \(\pi_{0}(C)\)-module sur celui-ci. Ceci posé, si on choisit pour tout \(a \in \pi_{0}(C)\) un représentant \(L_{a} \in \mathrm{Ob}\,C\) de \(a\), et pour deux objets \(a, b\) un isomorphisme \[ \phi_{a,b} : L_{a} \otimes L_{b} \simeq L_{ab}, \] alors pour trois éléments \(a, b, c \in \pi_{0}(C)\), l'isomorphisme d'associativité \[ (L_{a} \otimes L_{b}) \otimes L_{c} \simeq L_{a} \otimes (L_{b} \otimes L_{c}), \] compte tenu des isomorphismes \(\phi_{a,b}\), \(\phi_{ab,c}\), \(\phi_{b,c}\) et \(\phi_{a,bc}\), peut s'interpréter comme un isomorphisme \[ L_{abc} \simeq L_{abc}, \] ou encore comme la tensorisation à gauche avec un élément bien déterminé \[ f(a,b,c) \in \pi_{1}(C). \] Les \(\phi_{a,b}\) étant choisis, on voit donc que la donnée d'un isomorphisme d'associativité fonctoriel \((L \otimes L') \otimes L'' \simeq L \otimes (L' \otimes L'')\) équivaut à la donnée de l'application \[ f : \pi_{0} \times \pi_{0} \times \pi_{0} \longrightarrow \pi_{1}. \] On vérifie alors que l'axiome standard d'autocompatibilité d'une donnée d'associativité (axiome des pentagones) s'exprime précisément par la condition que \(f\) soit un 3-cocycle du groupe \(\pi_{0}\) à valeurs dans le groupe \(\pi_{1}\). D'autre part, l'indétermination dans le choix du système d'isomorphismes \(\phi_{a,b}\) est précisément donnée par une 2-cochaine arbitraire, et on voit que si on change \(\phi\) par une 2-cochaine \(g\), \(f\) est changé en \(f + dg\) — donc l'ensemble des \(f\) correspondants à des choix différents de \(\phi\) est exactement une classe de 3-cohomologie « (axiome des pentagones) » est un ajout à l'encre ; la page s'interrompt sans ponctuation — la suite du tapuscrit est au lot 3