Cote n° 135 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Catégories [et Gr-catégories] : notes manuscrites (s.d.), copies de tapuscrit annoté (s.d.), copies de manuscrit annoté (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1974]
Édition de démonstration

« Tordre » une catégorie de Picard (pages 2 et 4)

2« Tordre » une catégorie de Picard

1) Multiplier une Gr-catégorie par un groupe.

Soit \(C\) une (gr)-cat, \(\Gamma\) un groupe — on définit une nouvelle (Gr)-cat. notée \(\Gamma \times C\). Le plus simple est de dire que \(\Gamma\) désigne une catégorie discrète d'ensemble sous-jacent \(\Gamma\), et la loi de composition de \(\Gamma\) définit un foncteur \(\otimes\), avec une structure contrainte d'associativité stricte évidente. [Il existe une contrainte de commutativité ssi \(\Gamma\) est commutatif. (Les deux contraintes sont alors compatibles, et \(\Gamma\) est une catégorie ACU.)] On retrouve ainsi les produits des (Gr-cat) \(\Gamma\) et \(C\). \[ \pi_0(\Gamma \times C) = \pi_0(\Gamma) \times \pi_0(C) = \Gamma \times \pi_0(C) \xrightarrow{\ p\ } \pi_0(C) \] \[ \pi_1(\Gamma \times C) = \pi_1(\Gamma) \times \pi_1(C) = \pi_1(C), \qquad k_{\Gamma \times C} = p^{*}(k_C). \]

2) Supposons que \(C\) soit = une Pic-cat, et \(\Gamma\) commutatif. Alors \(\Gamma \times C\) est une Pic-catégorie. le signe « = » tient lieu de « même » sous la plume de l'auteur ; l'abréviation revient tout au long du dossier

3) Si \(C\) est une Pic-catégorie, les autres contraintes de comm. qui en font (avec sa contrainte d'associativité) une Pic-catégorie […] compatibles avec la contrainte d'ass., correspondent aux applications bilinéaires antisymétriques \[ \varphi : \pi_0(C) \times \pi_0(C) \longrightarrow \pi_1(C). \] L'application correspondante \(\pi_0(C) \xrightarrow{\ \Sigma_\varphi\ } \pi_1(C)\) est donnée par \(\Sigma_\varphi(x) = \varphi(x,x)\).

44) Lemme. Soient \(M\), \(N\) deux groupes commutatifs, et \(\Sigma : M \to {}_2N\) un hom. Alors il existe une application bilinéaire antisymétrique \(\varphi : M \times M \to N\) telle que \(\varphi(x,x) = \Sigma(x)\) pour tout \(x \in M\).

Remplaçant \(M\), \(N\) resp. par \(M_2\), \({}_2N\), on peut supposer \(M\), \(N\) des vectoriels sur \(\mathbf{F}_2\). la lettre qui précède \(M_2\) est indistincte ; comprendre sans doute \(M/2M\) Soit \((e_i)_{i \in I}\) une base de \(M\) ; alors \(\Sigma\) est donnée par les \(n_i = \Sigma(e_i) \in N\), tandis que \(\varphi\) sera donnée par les \(\varphi(e_i, e_j) = n_{ij}\), la condition d'antisymétrie (= symétrie) étant \(n_{ij} = n_{ji}\). On prendra \[ \varphi(e_i, e_j) = \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq j \\ n_i & \text{si } i = j \end{cases} \] OK.

Corollaire. Toute catégorie de Picard devient stricte en changeant sa seule contrainte de commutativité. En tant que Gr-catégorie, elle est de type triviale… les deux derniers membres de phrase sont des ajouts interlinéaires serrés

5) Soit \(C\) une catégorie de Picard, \(\Gamma\) un groupe commutatif, \(\varphi : \Gamma \times \Gamma \to \pi_1(C)\) une application bilinéaire antisymétrique. On désigne par \(\Gamma \times^{\varphi} C\) la catégorie de Picard déduite de \(\Gamma \times C\) (cf n°2) par l'application bilinéaire antisym. \[ \overline{\varphi} : \pi_0(\Gamma \times C) \times \pi_0(\Gamma \times C) \longrightarrow \pi_1(\Gamma \times C) \] (cf n°3) donnée par \(\overline{\varphi}((\alpha,x),(\beta,y)) = \varphi(\alpha,\beta)\). Avec comparaison de \[ \pi_0(\Gamma \times^{\varphi} C) \approx \pi_0(\Gamma \times C), \qquad \pi_1(\Gamma \times^{\varphi} C) \cong \pi_1(C). \] le premier membre de gauche ne laisse pas voir le \(\varphi\) ; sous ces formules, un griffonnage à demi biffé — une flèche vers « \(F \times \Gamma\) » et deux flèches marquées \(\nu\)?, \(\varphi\)? — que nous ne savons pas lire

6) le numéro reste seul : la note s'interrompt là

Représentations d'un complexe semi-simplicial et 2-gerbes sur \(B_G\) (pages 7 à 10)

7page 1 de la main de l'auteur 1. \(K\) complexe semi-simplicial, \(P\) Gr-catégorie \(\otimes\)-catégorie AU. « Représentation \(\Lambda\) de \(K\) dans \(P\) » : données

a) \(\forall\, u \in K_1\), \(\Lambda(u) \in P\) ;

b) \(\forall\, \sigma \in K_2\), posant \(u = d_1\sigma\), \(v = d_3(\sigma)\), \(w = d_2(\sigma)\) : \[ \Lambda(u) \otimes \Lambda(w) \simeq \Lambda(v) ; \] les lettres \(v\) et \(w\) se confondent sur la page, et le premier et le dernier indice de face sont douteux ; avec les indices tels que lus, la composition demanderait plutôt \(\Lambda(u) \otimes \Lambda(v) \simeq \Lambda(w)\)

c) \(\forall\, \Delta \in K_3\), … « axiome des pentagones ».

La composée \(K_1 \to P \to \pi_0(P)\) définit un « homomorphisme » \(K_1 \xrightarrow{\ \alpha\ } \pi_0(P) = G\), d'où un « homomorphisme » \(K_1 \xrightarrow{\ \overline{\alpha}\ } \mathrm{Aut}(\pi_1(P))\) [\(\pi_1(P) = M\)], d'où un système local sur \(K\) de valeur \(M\), noté \((M, \overline{\alpha}) = \overline{M}\).

Pb : quand \(K\), \(P\), \(\alpha\) (donc \(\overline{M}\)) sont fixés, on veut « classer » les représentations de \(K\) dans \(P\) correspondantes.

Résultat : ces représentations forment une 2-catégorie, qui est un « 2-torseur » sous une 2-catégorie de Picard stricte d'invariants \(H^2(K, \overline{M})\), \(H^1(K, \overline{M})\), \(H^0(K, \overline{M})\). les arguments des trois \(H\) portent des résidus biffés — l'auteur a d'abord écrit \((M, \alpha)\) avant de contracter en \(\overline{M}\) Cette 2-catégorie est contravariante p.r. à \(K\) variable, covariante p.r. à \(P\) variable.

Cas particuliers utiles pour la suite : \(K\) est le nerf d'une catégorie \(\mathcal{X}\).

\(\mathrm{REP}(K ; P, \alpha)\), \(\mathrm{REP}(\mathcal{X} ; P, \alpha)\)

2. \(P\) Gr-catégorie donnée, d'invariants \(\pi_0(P) = G\), \(\pi_1(P) = M\). On va lui associer une 2-gerbe \(\widetilde{P}\) sur \(B_G\) — donc à tout \(X \in \mathrm{Ob}\,B_G\) (ensemble où \(G\) opère) on va associer une catégorie \(\widetilde{P}(X)\), ainsi : soit \(\mathcal{X}\) le nerf de la catégorie sous-jacente à \(X\)

8(\(\mathrm{Ob}\,\mathcal{X} = X\), \(\mathrm{Fl}\,\mathcal{X} = G \times X\) …), avec l'application composée \(K_1 = \mathrm{Fl}\,\mathcal{X} = G \times X \xrightarrow{\ \mathrm{pr}\ } G\). On pose \[ \widetilde{P}(X) = \mathrm{Rep}(\mathcal{X} ; P, \alpha_X) = \mathrm{Rep}(X, P, \alpha_X) \] avec la contravariance p.r. à \(X\) évidente. On trouve que c'est un 2-champ, qui est une 2-gerbe liée par \(M_{(B_G)}\) (définie par l'opération de \(G\) sur \(M\)). un mot biffé — « construit » ? — précède la parenthèse

Variante — \(\widetilde{P}\) est covariante en \(P\) dans un sens évident… En fait cela définit un morphisme de la 3-catégorie des […] dans la 3-catégorie des 2-gerbes sur des \(B_G\) variables. passage chargé de ratures ; un « Fixons » est biffé en cours de phrase, et la marge gauche porte deux numéros d'alinéa dont l'un est biffé

3. On a ainsi une équivalence de 3-catégories. Plus explicitement, \(G\) et le \(G\)-module \(M\) étant fixés — … une équivalence entre la 3-catégorie des Gr-catégories de Pic… épinglées par \((G,M)\), et la 3-catégorie des 2-gerbes sur \(B_G\) liées par \(M_{(B_G)}\).

Soient \(P\) Gr-catégorie épinglée par \(G\), \(M\) ; \(P'\) —— \(G'\), \(M'\) ; \(G \xrightarrow{\ u\ } G'\), \(M \xrightarrow{\ v\ } M'\) homs compatibles avec les opérations. Alors les \(\otimes\)-hom \(P \to P'\) compatibles avec \(G \to G'\), \(M \to M'\) forment une 2-catégorie… « épinglée par » corrige un « d'invariants » biffé ; la ligne de \(P'\) répète celle de \(P\) par un long tiret

9page 2 de la main de l'auteur …qui est un 2-ps-torseur sous une 2-Pic-catégorie, et ce 2-torseur est 2-équivalent à celui des hom de 2-gerbes sur \(B_G\) liées par \(M'_{B_G}\), de \(\widetilde{P} \otimes_{M_{B_G}} M'_{B_G}\) dans \(B_u^{*}(\widetilde{P}')\). Les invariants de la 2-Pic-catégorie pertinente sont \(H^2(G,M')\), \(H^1(G,M')\), \(H^0(G,M')\). L'obstruction à trouver un objet dans le 2-ps-torseur est dans \(H^3(G,M')\), et cela se calcule comme différence de deux classes, images canoniques d'éléments qui dérivent des \(H^3(G,M)\) et \(H^3(G',M')\).

\(M_{B_G} \to M'_{B_G}\) ; \(B_G \xrightarrow{\ B_u\ } B_{G'}\)

4. Généralisation aux Gr-champs sur un topos \(S\). Bien sûr, si \(G\) (groupe sur \(S\)) et \(M\) (\(G\)-Module sur \(S\)) sont donnés, on interprète tout en termes de 2-gerbes « relatives » sur \(B_G\) mod \(S\), liées par \(M_{B_G}\), i.e. 2-gerbes sur \(B_G\) trivialisées sur \(S\) (par \(S \simeq B_e \to B_G\)). Il faudrait la mettre « en scène » avec l'histoire des 1-gerbes relatives sur \(B_G\), correspondant aux extensions de \(G\) par \(M\). Il faudrait traiter en = temps le cas d'un \(M\) non commutatif…

105. Relations avec les « noyaux » de Mac Lane, ou « liens ». Soit \(G\) groupe, \(F\) groupe, \[ \varphi : G \longrightarrow \mathrm{Autext}(F) \] hom (cela \(=\) se donner un lien sur \(B_G\)). On va lui associer une Gr-catégorie de Picard \(P(\varphi)\) d'invariants \(G\) et \(M = Z(F)\) (centre).

a) Description directe : on a la Gr-catégorie \(P(F)\) des bitorseurs sous \(F\), qui a comme invariants \[ \pi_0(P(F)) \in \mathrm{Autext}\,F ; \qquad \pi_1(P(F)) = Z(F), \ \text{centre de } F. \] le premier signe est bien « \(\in\) » sur la page ; on attendrait « \(=\) » On définit donc \(P(\varphi)\) comme image inverse.

b) Description en termes des 2-gerbes liées par \(M\).

NB. Les trivialisations de \(P(\varphi)\) correspondent aux réalisations de \(\varphi\) par une extension de \(G\) par \(F\) subordonnée à \(\varphi\). Il faudrait encore préciser ce point en termes d'une équivalence de 2-catégories (2-torseurs sous une 2-catégorie de Picard). On retrouve ainsi le cas de Mac Lane dans \(H^3(G,M)\), obstruction à la réalisabilité du « noyau » \(\varphi\) par une extension (cas analogue du lien \(\varphi\) par une 1-gerbe). Mais le fait que tous les éléments des \(H^3(G,M)\) (i.e. les catégories de Picard épinglées par \((G,M)\)) puissent ainsi s'obtenir à l'aide de « noyaux » ne fait pas (pour l'instant) l'objet d'une logique générale.

Catégories et champs de Picard épinglés (pages 11 à 17)

11page 3 de la main de l'auteur c) Soient \(P\), \(P'\) deux catégories de Picard, épinglées par \(M\), \(N\). Pour qu'elles soient équivalentes (avec leurs épinglages) il f. et s. que les applications \(\sigma_P\), \(\sigma_{P'}\) \(: M \to {}_2N\) soient les =s. La catégorie des équivalences est alors un 1-torseur sous la catégorie de Picard stricte d'invariants \(\mathrm{Ext}^1(M,N)\) et \(\mathrm{Hom}(M,N)\) (obtenus par \(\mathrm{RHom}(M,N)\) tronqué)

d) La classification… des cat. de Picard épinglées par \(M\), \(N\), à équivalence près, est (comme groupe) \(\simeq \mathrm{Hom}(M, {}_2N)\).

e) Revenant à la situation de c) et utilisant la multiplication de Baer des Pic-cat. épinglées par \((M,N)\) — trouver que celles qui correspondent à un \(\sigma : M \to {}_2N\) donné forment une 2-catégorie qui est un 2-torseur sous la 2-catégorie de Picard stricte formée des cat. de Pic. strictes épinglées par \(M\), \(N\) [qui est un 2-groupoïde connexe : tous les objets sont 2-équivalents…]

f) Les Pic-catégories forment une 2-catégorie AUC de façon évidente (et sur les objets et flèches) … la fin de la page, très raturée, s'interrompt sur « \(D\), » ; la page suivante reprend le sujet sous un nouveau numéro

126. Pic-catégories. On peut définir les Pic-catégories comme les objets d'une 3-catégorie, qui sera une sous-3-catégorie (pleine au niveau des 2-objets et 3-objets) de celle des Gr-catégories. suit un passage biffé : « Soient \(P\), \(P'\) deux Pic-catégories, et \(\Lambda, \Lambda' : P \rightrightarrows P'\) deux \(\otimes\)-foncteurs … »

Mais on peut aussi penser à la 2-catégorie associée en gardant les =s 0 et 1 objets, mais en prenant les 2-objets à isom. près (c'est en fait la solution […]) et oubliant les 3-objets. Si on se restreint aux cat. de Picard strictes, retrouve-t-on alors la 2-catégorie de Deligne (où les catégories Hom sont elles-mêmes des catégories de Picard, déduites des \(\mathrm{RHom}(L_{.}, L'_{.})\) par troncature).

Si on s'intéresse surtout aux Pic-cat. strictes, on peut dire ceci :

a) Soit \(P\) une Gr-catégorie. Elle admet une structure de Pic-catégorie (une contrainte de comm. compatible avec […]) ssi elle est splittable, i.e. \(k(P) \in H^3(\pi_0, \pi_1)\) est nul. Alors \(P\) admet = une structure de Picard stricte.

b) Les structures de Picard strictes sur \(P\) forment un torseur sous \(\mathrm{Bilant}\)\((\pi_0, \pi_0, \pi_1)\). Les structures de Picard strictes forment un sous-torseur sous \(\mathrm{Bilalt}(\pi_0, \pi_0 ; \pi_1)\). le premier mot, surchargé d'une correction, se lit « Bilant » ou « Bilalt » ; le second est nettement « Bilalt »

13page 4 de la main de l'auteur \ill Pour l'addition ordinaire ils forment des triples \((M, N, \sigma : M \to {}_2N)\). Si \(P\), \(P'\) sont associés à \((M,N,\sigma)\), \((M',N',\sigma')\), alors deux foncteurs \(\Lambda, \Lambda' : P \to P'\) \(\otimes\)-AUC — ils définissent le = hom \((M,N,\sigma) \to (M',N',\sigma')\) (dans la catégorie déduite de (Pic) en passant au quotient par les 2-flèches). Mais bien sûr, la catégorie des \(\otimes\)-foncteurs AUC \(P \to P'\) qui sont subordonnés à un hom donné \((M,N,\sigma) \to (M',N',\sigma')\) forment un groupoïde qui est un torseur sous la Pic-catégorie définie par troncation à partir de \(\mathrm{RHom}(M,N')\) (d'invariants \(\mathrm{Ext}^1(M,N')\), \(\mathrm{Hom}(M,N')\)).

NB : \(\mathrm{Hom}_{\otimes \mathrm{AUC}}(P, P')\) est un groupoïde

7) Traductions Extension aux champs de Picard sur un topos. Ils forment une 2-\(\otimes\)-catégorie AUC, et définissent un 2-\(\otimes\)-champ AUC. Il s'envoie dans la 1-\(\otimes\)-cat. AUC (ou 1-\(\otimes\)-champ AUC) des \((M, N, \sigma : M \to {}_2N)\), mais si \(\Lambda, \Lambda' : P \to P'\) définissent le = \((M,N,\sigma) \to (M',N',\sigma')\), p.ex. l'identité, on…

14page très raturée ; plusieurs raccords restent conjecturaux …ne peut plus affirmer que \(\Lambda\) et \(\Lambda'\) sont isomorphes (ni = loc. isom.), c'est tjrs vrai \ill \(\Lambda : P \to P'\) fixés si \(\mathrm{Ext}^1(S; M, N') = 0\) (resp.\ \(\mathrm{Ext}^1(M,N') = 0\)). On ne peut affirmer non plus qu'un hom \(\Lambda\) de \((M,N,\sigma)\) en \((M',N',\sigma')\) … [c'est OK si \(\mathrm{Ext}^2(S; M, N') = 0\), resp.\ \(\mathrm{Ext}^2\)\((M,N') = 0\)] … ni que tout \((M,N,\sigma)\) provienne (i.e. d'un \(P\) — cf. plus bas —) ; mais pour \(P\), \(P'\) \(\Lambda\) fixés, le champ des cat.\ des foncteurs AUC \(P \to P'\) correspondants est un 1-torseur sous le champ de Picard strict d'invariants \(\mathrm{Ext}^1(M,N')\), \(\mathrm{Hom}(M,N')\) obtenu par troncage de \(\mathrm{RHom}(M,N')\) ; l'obstruction à trouver un tel \(\widehat{\Lambda}\) est dans \(\mathrm{Ext}^2(S, M, N')\) [et il devient nul loc., et donc est dans \(H^0(S, \underline{\mathrm{Ext}}^2(M,N'))\)]. Tout ceci provient des jeux habituels : le Baer, et du fait qui en résulte, que pour \(M\), \(N\), \(\sigma\) fixés, les champs de Picard d'invariants…

On peut prendre pour \(\Lambda\) l'identité \ill

15page 5 de la main de l'auteur \(M\), \(N\), \(\sigma\) forment une 2-catégorie 2-équivalente qui est un 2-ps-torseur sous la catégorie des champs de Picard stricts d'inv. \(M\), \(N\) (et \(\sigma\) donné…) — la « différence » de deux \(P\) et \(P'\) (épinglés par \(M\), \(N\), \(\sigma\)) est donc une cat. de Picard stricte d'inv. \(M\), \(N\) — d'invariant \(\in \mathrm{Ext}^2(S; M, N)\).

Il reste encore à voir à quelles conditions un triple \((M,N,\sigma)\) provient d'un \(P\). (L'obstruction serait-elle dans \(\mathrm{Ext}^3(S;M,N)\) ?)

C'est OK si \(\sigma\) est la restriction d'une application bilin.\ (antisymétrique) \(M \times M \to N\), \(\varphi(x,y) = -\varphi(y,x)\) — c'est le cas si \(M_2\) suit une demi-ligne biffée, illisible est un faisceau « libre », p.ex. si \(M\) est « libre » sur \(\mathbf{Z}\). Cela montre déjà que si \(M\) est quotient d'un \(L\) tel que le composé \(L \xrightarrow{\ p\ } M \xrightarrow{\ \sigma\ } {}_2N\) est réalisable par une cat. de Picard (disons \(P\), munie d'un élément de \(\mathrm{Ext}^2(S;L,N)\)), la « restriction » de cette \(P\) : \((R,N)\) (\(R = \mathrm{Ker}\,p\)) définit une classe dans \(\mathrm{Ext}^2(S;R,N)\) déterminée mod. images d'éléments des \(\mathrm{Ext}^2(S;L,N)\), donc son image \(\omega(\sigma)\) dans \(\mathrm{Ext}^3(S;M,N)\) est can. déterminée, et elle est nulle ssi l'on peut

cette condition s'interprète : \(P\) (d'invariants \((M,N,\sigma)\)) admet une \ill contrainte de comm. qui en fasse un champ de Picard strict

16choisir \(P\) (Pic. d'invariants \(L\), \(N\)) telle que \(P|_R\) soit splittée — ou, ce qui revient au =, telle que \(P\) provienne d'une cat. de Pic.\ d'inv. \(M\), \(N\). le \(N\) des invariants corrige un \(M\) \ill On vérifie immédiatement que \(\omega(\sigma)\) ne dépend pas des choix particuliers de \(L \to M \to 0\), et que sa formation est fonctorielle en \(M\), \(N\) et compatible avec \ill les images inverses par morphismes de topos. On se place dans la situation universelle de \(M \to {}_2N\), soit \(M \xrightarrow{\ \sigma\ } {}_2N\) sur \(B\) — aurions \(\mathrm{Ext}^i(B; M,N) = 0\) pour \(i > 0\), en particulier \(\omega(\sigma) \in \mathrm{Ext}^3(B; M,N) = 0\) est nulle, donc \(\omega(\sigma)\) est nulle dans tous les cas !

17page 6 de la main de l'auteur \(M\), \(N\) faisceaux abéliens sur le topos \(X\). \(\mathcal{P}\) 2-catégorie des chps de Picard sur \(X\) épinglés par \(P\). comprendre sans doute « épinglés par \((M,N)\) » ; la page ne porte qu'une lettre \(\mathcal{P}\) est munie de la composition de Baer.

\(\pi_0(\mathcal{P})\) = groupe des objets de \(\mathcal{P}\) à équivalence près : \[ 0 \longrightarrow \mathrm{Ext}^2(M,N) \longrightarrow \pi_0(\mathcal{P}) \longrightarrow \mathrm{Hom}(M, {}_2N) \longrightarrow 0 \] le premier argument du \(\mathrm{Ext}^2\) se lit aussi bien \(N\) ; la suite exacte impose \(M\)

\(\pi_1(\mathcal{P})\) = groupe des classes d'isomorphie d'auto-équivalences d'un objet de \(\mathcal{P}\) \(= \mathrm{Ext}^1(M,N)\).

\(\pi_0(\mathcal{P})\) = groupe des automorphismes du foncteur identique d'un objet \(P\) de \(\mathcal{P}\) \(= \mathrm{Hom}(M,N)\). la page répète \(\pi_0\) ; il s'agit du groupe suivant, le \(\pi_2\)

\(\mathcal{P}\) 2-catégorie de Picard stricte ?

\(P \otimes P\) = catégorie dont les objets sont \((L, L')\) avec \(\partial L \simeq L'\) […] \[ \mathrm{Hom}\bigl((L,L'), (U,U')\bigr) = \bigl[\mathrm{Hom}(L,U) \times \mathrm{Hom}(L',U')\bigr] / N \quad \text{(diagonale)} \]

Splittages et la 2-gerbe associée à une Gr-catégorie (pages 18 et 19)

18page 7 de la main de l'auteur. La page ouvre sur un tableau de correspondances : deux blocs face à face reliés par une double flèche, un bloc médian, et une flèche montant d'un quatrième bloc vers celui de droite ; les lignes du haut du bloc de droite et du bloc médian sont en partie biffées

« La 3-catégorie des Gr-catégories \(C\) avec \(\pi_0(C) = G\), \(\pi_1(C) = M\) une lettre biffée précède le \(M\), et 2-catégories des splittages des Gr-catégories » — « "noyaux" et représentations des noyaux par extensions » — « La 3-catégorie des 2-gerbes sur \(B_G\) de faisceaux de liens […] de liens commutatifs donnés (avec \(G\) opérant dessus) » — « Liens sur \(B_G\) et 2-gerbes des représentations des liens ».

Soit \(C\) une Gr-catégorie d'invariants \(G\), \(M\). On va lui associer une 2-gerbe \(\widetilde{C}\) sur \(B_G\), donc : à tout objet \(X\) de \(B_G\) (aux \(G\)-ens) on associe une 2-catégorie. Si \(X\) est l'objet final de \(B_G\), ce sera la 2-catégorie des splittages de \(C\).

Fixons pour tout \(x \in G\) un représentant \(L(x) \in \mathrm{Ob}\,C\), et pour tout couple \((x,y)\), d'un isom \(\varphi_{x,y} : L(x) \otimes L(y) \simeq L(xy)\) ; […] \((L, \varphi)\) (\(L : G \to \mathrm{Ob}\,C\), \(\varphi : G \times G \to \mathrm{Fl}\,C\)) […] d'une 2-cochaîne […] \(\lambda : G \times G \to M\) […] \(\psi_{x,y} = \varphi_{x,y}\,\lambda(x,y)\), la donnée d'associativité […] soit nulle. L'ens. des \(L\) splitt. forme un espace principal homogène sous \(Z^2(G,M)\). Soient \((L,\varphi)\), \((L,\varphi')\) deux splittages épinglés de type \(G\), \(M\) tout ce passage est barré de grands traits obliques ; en marge et en interligne, un renvoi : « En termes de \(L\), \(\varphi\) — \(L : G \to \mathrm{Ob}\,C\), \(\varphi : G \times G \to \mathrm{Fl}(C)\) »

Soit \(C_0\) la (Gr-)catégorie ci-décrite, splittée (i.e. […] l'identité) : \[ \mathrm{Ob}\,C = G, \qquad \mathrm{Fl}\,C = G \times M \rightrightarrows G, \qquad s = b = \mathrm{pr}_1, \] \[ (g,m) \cdot (g,m') = (g, m+m'), \qquad g \otimes g' = gg', \] devant \(g \otimes g' = gg'\), un premier départ « \((g,m) \otimes (g',m')\) » est biffé \[ (g,m) \otimes (g',m') = (gg', m+m'), \qquad a_{g,g',g''} = \mathrm{id}_{gg'g''}. \] lire \(C_0\) — la page écrit \(C\) Or les splittages de \(C\) sont les équivalences des Gr-catégories (épinglées) \(S : C_0 \to C\), ([…] le \(S\) porte un exposant — \((L,\varphi)\) ? — surchargé

19\ill En tout cas, les splittages de \(C\) forment une catégorie, qui est un 1-torseur sous la Gr-catégorie des auto-équivalences de la Gr-catégorie \(C_0\) avec elle-=. Quels sont les invariants de cette dernière Gr-catégorie ?

Objets : les applications \(\varphi : G \times G \to M\) (2-cochaînes) qui sont des cobords.

Morphismes : \(\varphi \to \psi\) est l'ens. des 1-cochaînes dont le cobord est \(\psi - \varphi\).

Objets à isom. près : \(H^2(G,M)\) ; endomorphismes d'un objet : \(Z^1(G,M)\). la page porte bien « qui sont des cobords » quelques lignes avant « à isom. près : \(H^2(G,M)\) »

\begin{tikzcd}[column sep=normal]
C_0 \arrow[r, bend left=30, "S"] \arrow[r, bend right=30, "S'"'] & C
\end{tikzcd}

entre les deux flèches, une 2-flèche \(\alpha\) ; la flèche \(S\) porte les données \(L_x\), \(\varphi_{x,y}\), la flèche \(S'\) les données \(L'_{x'}\), \(\varphi'_{x',y'}\) \[ \alpha'(x) = \alpha(x)\,\varphi(x), \] d'où \(\delta\varphi = 0\) ; \[ \mathrm{Hom}(\alpha, \alpha') = \{\, m \in M \mid \alpha'(x) = \alpha(x)(gm - m) \,\} \] entre les deux membres, plusieurs essais biffés — on y lit « \(\alpha' = \alpha(\delta g)\) » ; la fin du second est rognée par la marge

un trait horizontal sépare ce qui précède de ce qui suit

Soit \(C\) une catégorie \ill d'invariants \(G\), \(M\) ; \(X\) un ens. où \(G\) opère. On va construire une 2-catégorie \(S(C,X)\) :

0-objets : systèmes \(L\), \(\varphi\) ainsi :

1. à tout couple \((x,g)\) (\(x \in X\), \(g \in G\)) un \(L(x,g) \in \mathrm{Ob}\,C\) ;
2. à tout triple \((x,g,g')\) (\(x \in X\), \(g \in G\), \(g' \in G\) l'appartenance du \(g'\) est surchargée) un isom \[ L(x,g) \otimes L(gx, g') \simeq L(x, g'g). \] le premier argument du second facteur est surchargé — un \(gx\) récrit sur autre chose

\(X \times G \rightrightarrows X\) (\(\mathrm{pr}_1\) et l'opération) ; \(x \xrightarrow{\ g\ } gx \xrightarrow{\ g'\ } g'gx\)

Extensions d'une catégorie par un groupe (page 20)

20la page ouvre une nouvelle numérotation — page 1 de la main de l'auteur ; la note se poursuit au lot 2 \(\Gamma\) catégorie, \(M\) groupe \ill.

Une extension de \(\Gamma\) par \(M\) est la donnée :

a) pour toute flèche \(u \in \mathrm{Fl}\,\Gamma\), d'un \(M\)-bitorseur \(P_u\) ;

b) pour deux flèches composables \((u,v)\) de \(\Gamma\), d'un isom \(\varphi_{u,v} : P_u \otimes P_v \simeq P_{uv}\), avec axiome de commutativité du diagramme suivant, si \((u,v,w)\) composables (axiome pentagonal) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
(P_u \otimes P_v) \otimes P_w \arrow[r, "\varphi_{u,v} \otimes \mathrm{id}"]
\arrow[d, "\mathrm{can}"'] & P_{uv} \otimes P_w \arrow[dd, "\varphi_{uv,w}"] \\
P_u \otimes (P_v \otimes P_w) \arrow[d, "\mathrm{id} \otimes \varphi_{v,w}"'] & \\
P_u \otimes P_{vw} \arrow[r, "\varphi_{u,vw}"'] & P_{uvw}
\end{tikzcd}

\(\mathrm{Fl}_3(\Gamma)\), \(\mathrm{Fl}_2(\Gamma)\), \(\mathrm{Fl}_1\Gamma\), \(\mathrm{Fl}_0\Gamma\), chaque étage envoyé sur le précédent par ses flèches de faces — quatre, trois, deux

[NB — au lieu de se donner \(M\), il suffit de se donner une catégorie de P\ill \(\widetilde{P}\) — ici la catégorie des \(M\)-bitorseurs.]

[Invariants : 1) \(\mathrm{Fl}(\Gamma) \xrightarrow{\ \alpha\ } \pi_0(\widetilde{P})\) (\(=\) \(\mathrm{Autext}(M)\)) ; 2) \(c \in H^2(\Gamma ; \widetilde{P})\) — (c'est un \(H^2\) non commutatif, en général sans élément neutre \ill [commutatif]).] les deux numéros sont cerclés sur la page ; l'intérieur du \(H^2\) est griffonné puis récrit, un \(\alpha\) y est biffé, et le \(\widetilde{P}\) des deux formules reste une lecture incertaine \(= \mathrm{Aut}(M)\) si \(M\) commutatif

Une 2-extension de \(\Gamma\) par \(M\) est la donnée :

a) pour toute flèche \(u \in \mathrm{Fl}\,\Gamma\), d'une \(M\)-gerbe \(P_u\) ;

b) pour deux flèches composables \(u\), \(v\), d'une équivalence \(\varphi_{u,v} : P_u \otimes P_v \simeq P_{uv}\) ;

c) pour trois flèches composables, d'un isom rendant commutatif le diagramme pentagonal